Les principaux résumés de la statistique Les résumés de position et de valeur centrale...

Les principaux résumés de la statistique

Les résumés de position et de valeur centraleLes résumés de position et de valeur centrale

DESCRIPTIVEDESCRIPTIVE

Année 2005-2006

LA STATISTIQUELA STATISTIQUE

MENU GENERALMENU GENERAL

COURSCOURS

EXERCICEEXERCICE

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FractalFractal

FINFIN

Menu du coursMenu du cours


MENU MENU GENERALGENERAL

Forme des distributions

Dispersion

Valeurs centrales

FractalFractal

Menu des résumés de positions et de valeurs Menu des résumés de positions et de valeurs centralescentrales

Médiane

Mode

Moyenne Arithmétique

Moyenne Géométrique

Moyenne Harmonique

Moyenne quadratique


RETOUR RETOUR MENUMENU

Quartiles

Déciles et centiles

Conditions de YULE

FractalFractal

Propriétés souhaitables


Les distributions statistiques à une variable sont représentées par un petit nombre d'indicateurs (résumés numériques) qui doivent être représentatifs de la distribution statistique. Il est souhaitable que les paramètres ou résumés numériques possèdent certaines propriétés, appelées conditions de Yule :

•être définis de manière objective,•dépendre de toutes les observations,•avoir une signification concrète,•être facilement calculables et interprétables,•être peu sensibles aux fluctuations d'échantillonnage,•se prêter aisément aux calculs algébriques.

La médiane

La médiane XM d'une distribution statistique est la valeur de la

variable qui partage l'effectif total de la distribution en deux

parties égales, telles que la première moitié des observations soit

inférieures (ou égales) à XM et la seconde moitié soit supérieures

(ou égales) à XM.

DéfinitionDéfinition

RETOUR MENURETOUR MENU

Voir exerciceVoir exercice

La médiane (suite)

X x aF

F Fx a

F

fM i ii

i ii i

i

i= +

−−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = +

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟−

−

−−

−1

1

11

10 5 0 5

, ,

Si (xi , Fi(x)) est la distribution des fréquences cumulées d'une

variable statistique, alors la médiane est donnée par l'équation :

F(XM) = 1/2

Si la variable est continue on effectue une interpolation à l’intérieure de la classe médiane.

Calcul de la médianeCalcul de la médiane



Les quartiles, déciles et centiles

Les quartiles Q1, Q2, Q3, sont les valeurs d'une série ou d'une distribution statistique rangée par ordre croissant (ou décroissant) qui partagent l'effectif total en quatre parties égales. Si (xi , Fi(x)) représente la distribution de fréquences relatives cumulées d'une variable statistique, alors les quartiles sont donnés par les équations :

F(Q1) = 0.25 F(Q2) = 0.5 F(Q3) = 0.75

Le quartile Q2 d'une variable statistique est égale à la médiane XM

Définition des quartilesDéfinition des quartiles


Les quantiles (suites)

Les déciles, notés D1, D2, D3 ,..., D9 (resp. les centiles ou percentiles, souvent notés C1, C2, C3,..., C99 ) partagent l'effectif total d'une série ou d'une distribution statistique rangée par ordre croissant (ou décroissant) en dix (resp. cent) parties égales. Si l'on reprend les notations ci-dessus nous avons la relation :

C50 = D5 = Q2 = XM ; C10 = D1 ; C90 = D9 .

Définition des déciles et centilesDéfinition des déciles et centiles


Le mode

Définition restrictiveDéfinition restrictive Le mode Xm d'une série ou d'une distribution statistique est la valeur de la variable pour laquelle l'effectif est le plus élevé ; on parle alors de mode absolu.

Définition élargieDéfinition élargie Le mode Xm d'une série ou d'une distribution statistique est la valeur de la variable dont l'effectif ou la fréquence est encadré par deux valeurs qui lui sont inférieures ; on parle alors de mode relatif.

Lorsqu'une série ou une distribution statistique possède un seul mode on dit que la série ou la distribution est unimodale, en possède plusieurs, on dit qu'elle est multimodale



Le mode (suite)

Lorsque les variables sont groupées en classes il est parfois utile de remplacer la notion de classe modale par la notion de mode, pour cela on effectue une interpolation linéaire à l'intérieur de la classe modale ; la détermination se fait de la façon suivante :

Calcul du mode

X x ad

d dm i i= ++

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟−1

1

1 2



La moyenne arithmétique

Soit x1, ..., xi, ..., xr les r observations numériques d'une variable

statistique X et soit les effectifs respectifs n1, ..., ni, ..., nr de ces

r valeurs numériques avec :

Définition

Xn x n x n x

n n n

n x

N Nn xi i r r

i r

i ii

i r

i ii

i r

=+ + + ++ + + +

= ==

=

=

=∑∑1 1

1

1

1

1... ...... ...



La moyenne géométrique

loglog ... log ... log

... ...log logG

n x n x n x

n n n Nn x f xi i r r

i ri i

i

i r

i ii

i r

=+ + + +

+ + + += =

=

=

=

=

∑ ∑1 1

1 1 1

1






La moyenne harmonique





1

1 1 1

111

1 1H

nx

nx

nx

n n n N

n

x

ii

rr

i r

i

ii

i r

=+ + + +

+ + + +=

=

=

∑... ...

... ...


La moyenne quadratique





Qn x n x n x

n n n Nn x f xi i r r

i ri

i

i r

i i ii

i r2 1 1

2 2 2

1 1

2 2

1

1=

+ + + ++ + + +

= ==

=

=

=

∑ ∑... ...... ...


Menu des résumés des valeurs de dispersionMenu des résumés des valeurs de dispersion

Étendue

Variance – écart type



FractalFractal

L’étendue

Les résumés de dispersionLes résumés de dispersion

L'étendue est la mesure la plus simple de la dispersion (ou

variabilité ou étalement) des observations faites sur une

variable. L'étendue ne dépend que très indirectement de

l'ensemble des valeurs xi de la variable X. L'étendue est très

influencée par les valeurs extrêmes de la variable statistique qui

sont parfois aberrantes, ce qui en fait une mesure peu utilisée.



La variance et l’écart-type


Soit X une variable statistique de distribution (xi, ni) où , on

appelle variance (mesure de dispersion ou de variabilité), notée,

la moyenne arithmétique pondérée des carrés des écarts à la

moyenne arithmétique pondérée :

( )sN

n x XX ii

i r

i2

1

21= −

=

=

∑

( ) ( )s sN

n x X f x XX X ii

i r

i ii

i r

i= = − = −=

=

=

=

∑ ∑2

1

2

1

21

On appelle écart-type de la variable X, noté, la racine carrée de la variance :



Les moments non-centrés d’ordre r

Soit la distribution statistique (xi, ni) où , on appelle moment

non centré d’ordre r de la variable statistique X ,la quantité

définie par :


mN

n np i ip

i

i r

ii

i r

= ==

=

=

=

∑ ∑1

1 1 x avec N



Les moments centrés d’ordre r

( )μp i ip

i

i r

ii

i r

Nn x X n= − =

=

=

=

=

∑ ∑1

1 1

avec N

Soit la distribution statistique (xi, ni) où , on appelle moment

non centré d’ordre r de la variable statistique X ,la quantité

définie par :


Voir exercice p=2Voir exercice p=2




Menu des caractéristiques asymétrie Menu des caractéristiques asymétrie et d’aplatissementet d’aplatissement

Moment non centré

Moment centré

Asymétrie

Aplatissement


Présentation


FractalFractal

Les caractéristiques de forme


Les différents indicateurs d’asymétrie et d’aplatissement permettent en premier lieu la comparaison entre les distributions statistiques.

• l’asymétrie d’une distribution peut être approchée par une comparaison entre le mode, la médiane et la moyenne arithmétique (vision empirique).• l’aplatissement peut être approchée par l’étude des observations aux alentours du mode. Plus le nombre d’individus ayant une valeur proche du mode de la distribution, plus la courbe sera concentrée et plus l’aplatissement sera faible.

Le coefficient d'asymétrie de Pearson

L'approche de la mesure de l’asymétrie est réalisée grâce à la notion de moment centré.


AP =μμ32

23

Si AP est nul alors la distribution est symétrique. Si AP est

positif alors il y a asymétrie. Le signe est donné par le

moment centré d’ordre 3

Voir asymétrie de Fisher



Le coefficient d'asymétrie de Fisher

A AsF P

X

= = =μμ

μ32

23

33

L'approche de la mesure de l’asymétrie pour Fisher est réalisée à partir de la définition de Pearson.


S’il est calculé directement, alors il est possible d’écrire :

Si AF = 0 alors la distribution est symétrique,

Si AF > 0 alors la distribution est étalée vers la droite,

Si AF < 0 alors la distribution est étalée vers la gauche.


Le coefficient d'aplatissement de Pearson

APP =μμ4

22

Si APP = 3 alors la distribution est dite « normale » ou mésokurtique

(de mêmes paramètres),,

Si APP < 3 alors la distribution est dite plus aplatie que la « normale » ou platykurtique (de mêmes paramètres),,

Si APP > 3 alors la distribution est dite moins aplatie que la « normale » ou leptokurtique (de mêmes paramètres).

L'approche de la mesure de l’aplatissement est réalisée grâce à la notion de moment centré.


Voir aplatissement de Fisher RETOUR MENURETOUR MENU

Le coefficient d'aplatissement de Fisher

APF = −μμ4

22 3

L'approche de la mesure de l’asymétrie pour Fisher est réalisée à partir de la définition de Pearson.


Si APP = 0 alors la distribution est dite « normale » ou mésokurtique

(de même paramètres),

Si APP < 0 alors la distribution est dite plus aplatie que la « normale » ou platykurtique (de même paramètres),

Si APP > 0 alors la distribution est dite moins aplatie que la « normale » ou leptokurtique (de même paramètres).



Menu exerciceMenu exercice


Les calculs

L’histogramme

Les effectifs

Le mode

La médiane

La moyenne

La variance

Les moments - m

Le moment – μ3

Asymétrie

Le moment – μ4

Aplatissement

MENU MENU COURSCOURS

FractalFractal

Age Somme Centre de classe ni x i ni x i _ ni x i3 ni x i4 r

20 à 40 ans 44 30 1320 39600 1188000 35640000 040 à 60 ans 26 50 1300 65000 3250000 162500000 1

60 à 75 ans 20 67,5 1350 91125 6150937,5 415188281 275 ans et plus 10 80 800 64000 5120000 409600000 3

Total 100 4770 259725 15708937,5 1022928281

Présentation d’un exerciceVariable statistique continue groupée en classes

LE TABLEAU DES CALCULS

∑=

=

=ri

iinN

1

∑=

=

ri

iii xn

1

∑=

=

ri

iii xn

1

2

L’ensemble de ces sommes permettent de déterminer les principaux résumés : moyenne, variance, moments, asymétrie et aplatissement

r est le nombre de classesMENU EXERCICE

∑=

=

ri

iii xn

1

3

∑=

=

ri

iii xn

1

4

211 +− +

= iii

xxx

xi est la borne de classe ni est l’effectif de classe

L’histogramme

Age Somme Centre de classe Amplitude rapport correction20 à 40 ans 44 30 20 4 11,040 à 60 ans 26 50 20 4 6,560 à 75 ans 20 67,5 15 3 6,775 à 85 ans 10 80 10 2 5,0

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

20 à 40 ans 40 à 60 ans 60 à 75 ans 75 à 85 ans

HISTOGRAMME

Mode

L’amplitude de base est de 5 unités

MENU EXERCICE


20 à 40 ans 44 30 1320 39600 1188000 35640000 040 à 60 ans 26 50 1300 65000 3250000 162500000 1

60 à 75 ans 20 67,5 1350 91125 6150937,5 415188281 275 ans et plus 10 80 800 64000 5120000 409600000 3

Total 100 4770 259725 15708937,5 1022928281

La somme des effectifs ou effectif total

Cette somme correspond au nombre d’individus de l’échantillon ou qui ont un age entre 20 ans et plus de 75 ans C’est l’effectif total.

MENU EXERCICE

∑=

=

=ri

iinN

1

ni est l’effectif de classe


20 à 40 ans 44 30 1320 39600 1188000 35640000 040 à 60 ans 26 50 1300 65000 3250000 162500000 1

60 à 75 ans 20 67,5 1350 91125 6150937,5 415188281,3 275 ans et plus 10 80 800 64000 5120000 409600000 3

Total 100 4770 259725 15708937,5 1022928281,3

Le mode (regroupement en classe)

Le mode XM d'une série ou d'une distribution statistique est la valeur de la variable pour laquelle l'effectif est le plus

élevé. Ici la distribution est unimodale. FAIRE LE CALCUL SUR LES EFFECTIFS CORRIGES

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++= −

21

11

dd

daxX iiM

Le mode n’existe pas. Nous avons un intervalle modal. Néanmoins, nous pouvons calculer une valeur qui par définition est obtenue par :

La classe modale

ansX M 2,342,14205,411

11.2020 =+=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+

+=MENU EXERCICE

La médiane

Age Somme Centre de classe ni x i ni x i _ ni x i3 ni x i4 Ni

20 à 40 ans 44 30 1320 39600 1188000 35640000 44

40 à 60 ans 26 50 1300 65000 3250000 162500000 7060 à 75 ans 20 67,5 1350 91125 6150937,5 415188281 90

75 ans et plus 10 80 800 64000 5120000 409600000 100Total 100 4770 259725 15708937,5 1022928281

La classe médianeLa médiane Xm d'une distribution statistique est la valeur de la variable qui partage l'effectif total

de la distribution en deux parties égales, telles que la première moitié des observations soit

inférieures (ou égales) à Xm et la seconde moitié soit supérieures (ou égales) à Xm.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

+=−

−−

1

11

)2/(

ii

iiim NN

NNaxX

ansX m 62.4462.4404470

44502040 =+=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−−

+=

Effectifs cumulés croissants


MENU EXERCICE


20 à 40 ans 44 30 1320 39600 1188000 35640000 040 à 60 ans 26 50 1300 65000 3250000 162500000 1

60 à 75 ans 20 67,5 1350 91125 6150937,5 415188281 275 ans et plus 10 80 800 64000 5120000 409600000 3

Total 100 4770 259725 15708937,5 1022928281

La moyenne arithmétique

Le rapport de ces deux quantités donne la moyenne arithmétique de la

distribution statistique

On obtient la moyenne arithmétique :

∑∑ =

=

=

= ==++++++++

=ri

iii

ri

iii

ri

rrii xnNN

xn

nnn

xnxnxnX

1

1

1

11 1

......

......

annéesxnN

Xri

iii 7,47

100

47701 1

0

=== ∑−=

=

MENU EXERCICE

∑=

=

ri

iii xn

1

∑=

=

=ri

iinN

1


20 à 40 ans 44 30 1320 39600 1188000 35640000 040 à 60 ans 26 50 1300 65000 3250000 162500000 1

60 à 75 ans 20 67,5 1350 91125 6150937,5 415188281 275 ans et plus 10 80 800 64000 5120000 409600000 3

Total 100 4770 259725 15708937,5 1022928281

La variance ou dispersion

Le rapport de ces deux quantités donne la variance de la distribution statistique.

On obtient :

On obtient : 221

0

2 1Xxn

Ns i

ri

iiX −= ∑

−=

=

( )21

0

2 1Xxn

Ns i

ri

iiX −= ∑

−=

=

222 )(96,327)7,47(100

259725anssX =−=

ansXxnN

s i

ri

iiX 94,1796,327

1 221

0

2 ==−= ∑−=

=

Voir également moment centré 2 MENU EXERCICE

∑=

=

=ri

iinN

1

∑=

=

ri

iii xn

1

2

Age Somme Centre de classe ni x i ni x i _ ni x i3 ni x i4

20 à 40 ans 44 30 1320 39600 1188000 3564000040 à 60 ans 26 50 1300 65000 3250000 162500000

60 à 75 ans 20 67,5 1350 91125 6150937,5 415188281,375 ans et plus 10 80 800 64000 5120000 409600000

Total 100 4770 259725 15708937,5 1022928281

Moments non centré d’ordre 2, 3 et 4

Moment non centré d’ordre ssi

ri

iis xn

Nm ∑

=

=

=1

1

( ) 22 )(25,2597259725

100

1ansm ==

33 )(37,157089

100

5,15708937ansm ==

44 )(81,10229282

100

1022928281ansm ==

MENU EXERCICE

2212

221

0

2 )(96,3271

ansmmXxnN

s i

ri

iiX =−=−= ∑

−=

=


20 à 40 ans 44 30 1320 39600 1188000 3564000040 à 60 ans 26 50 1300 65000 3250000 162500000

60 à 75 ans 20 67,5 1350 91125 6150937,5 41518828175 ans et plus 10 80 800 64000 5120000 409600000

Total 100 4770 259725 15708937,5 1022928281

Le moment centré d’ordre 2

Le moment centré d’ordre : correspond à la variance

La variance est un moment non centré d’ordre 2 moins un moment non centré d’ordre 1 élevé au carré.

221

02 )(25,2597

1ansxn

Nm i

ri

ii == ∑

−=

=

annéesxnN

Xmri

iii 7,47

1 1

01 === ∑

−=

=

MENU EXERCICE


20 à 40 ans 44 30 1320 39600 1188000 3564000040 à 60 ans 26 50 1300 65000 3250000 162500000

60 à 75 ans 20 67,5 1350 91125 6150937,5 41518828175 ans et plus 10 80 800 64000 5120000 409600000

Total 100 4770 259725 15708937,5 1022928281


CalculCalcul

312133 23 mmmm +−=μEn fonction des moments non centrésEn fonction des moments non centrés

56,248566,21706247,37166637,1570893 =+−=μ

33 )(56,2485 ans=μ

SolutionSolution

MENU MENU EXERCICEEXERCICE


20 à 40 ans 44 30 1320 39600 1188000 3564000040 à 60 ans 26 50 1300 65000 3250000 162500000

60 à 75 ans 20 67,5 1350 91125 6150937,5 41518828175 ans et plus 10 80 800 64000 5120000 409600000

Total 100 4770 259725 15708937,5 1022928281


En fonction des moments non centrésEn fonction des moments non centrés412

213144 364 mmmmmm −+−=μ

CalculCalcul

0,1827798,155308337,354569818,299726518,102292824 =−+−=μ

44 )(182779 ans=μ

SolutionSolution

MENU EXERCICE


20 à 40 ans 44 30 1320 39600 1188000 3564000040 à 60 ans 26 50 1300 65000 3250000 162500000

60 à 75 ans 20 67,5 1350 91125 6150937,5 41518828175 ans et plus 10 80 800 64000 5120000 409600000

Total 100 4770 259725 15708937,5 1022928281

Asymétrie de Pearson

Le coefficient de PearsonLe coefficient de Pearson 32

23

μμ

=PA

Coefficient sans dimensionCoefficient sans dimension

CalculCalcul175,0

5,35274643

48,6178013==PA

Décision :Décision :

La distribution est asymétrique étalée vers la droite. Le coefficient est positif (asymétrie) et le moment centré d’ordre 3 est positif (étalée vers la droite ou oblique à gauche)

MENU EXERCICE


20 à 40 ans 44 30 1320 39600 1188000 3564000040 à 60 ans 26 50 1300 65000 3250000 162500000

60 à 75 ans 20 67,5 1350 91125 6150937,5 41518828175 ans et plus 10 80 800 64000 5120000 409600000

Total 100 4770 259725 15708937,5 1022928281

Aplatissement de Fisher

Le coefficient de FisherLe coefficient de Fisher

Coefficient sans dimensionCoefficient sans dimensionCalculCalcul

30,1376,107557

0,182779−=−=PAP

322

4 −=μμ

FAP

Décision :Décision :

La distribution est plus aplatie que la loi normale de mêmes paramètres. La distribution est « platykurtique ». Les paramètres sont ici :

anssX 94,17=ansX 7,47= MENU EXERCICE

Fin des définitions & Graphiques

MENU MENU GENERALGENERAL

Année 2005-2006

LA STATISTIQUELA STATISTIQUE

DESCRIPTIVEDESCRIPTIVE

Les principaux résumés de la statistique Les résumés de position et de valeur centrale...

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