Les prévisions LOUTIL STATISTIQUE. Les prévisions 1- les données statistiques.

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Les prévisions L’OUTIL STATISTIQUE

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Les prévisions

L’OUTIL STATISTIQUE

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Les prévisions

1- les données statistiques

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Les prévisions

Pour bien analyser le passé, il faut d’abord disposer d’informations nombreuses et fiables.

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Par exemple, si nous nous intéressons aux ventes de téléviseurs des 4 dernières années, les totaux annuels ne nous apporterons pas grand chose.

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En revanche, si nous disposons des ventes mensuelles (48 observations), nous pourrons certainement en « tirer » beaucoup plus d’enseignements.

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Avec des statistiques hebdomadaires (plus de 200 observations), la base d’information serait encore plus riche…

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Les prévisions

Voici justement un exemple de ventes mensuelles de téléviseurs sur 4 ans ( nous nous situons en fin d’année 4 ). Imprimez-le car ce sera le support de plusieurs exercices dans ce chapitre.

Année 1

J

F

M

A

M

J

J

A

S

O

N

D

20

20

60

60

70

130

70

20

30

50

50

90

Année 2

J

F

M

A

M

J

J

A

S

O

N

D

Année 3

J

F

M

A

M

J

J

A

S

O

N

D

Année 4

J

F

M

A

M

J

J

A

S

O

N

D

Année 5

J

F

M

A

M

J

J

A

S

O

N

D

30

30

60

70

70

60

70

30

50

50

50

90

40

40

60

80

70

80

80

40

60

50

60

100

40

40

60

70

80

80

90

60

50

60

60

100

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Les prévisions

2- les mesures de tendance centrale

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LA MOYENNE : c’est la méthode la plus utilisée.

C’est la somme des données, divisée par le nombre de données.

X = X i

N

Symbole de la moyenne

Symbole de la somme

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Exemple: si les valeurs dont nous cherchons la moyenne sont

10 12 9 10 14 13 11 10 12 10 8 13 14 11 10 10 9 12

La somme de ces 18 valeurs est: 198

La moyenne est égale à : = 11198

18

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La moyenne n’est pas toujours significative, notamment si certaines valeurs sont extrêmes: si notre vendeur de téléviseurs, «décrochant » le marché du siècle, réussissait à vendre 4900 téléviseurs au lieu de 100 en décembre de l’année 3, la moyenne passerait à 160, ce qui n’aurait rien à voir avec les ventes généralement observées…

Les statisticiens utilisent deux autres notions assez proches: la médiane et le mode.

2- la médiane est la valeur qui se trouve au milieu de la liste de nombres (autant de valeurs inférieures que de valeurs supérieures). Dans notre exemple:20 20 20 30 30 30 30 40 40 40 40 40 50 50 50 50 50 50 50 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 70 70 70 70 70 70 70 80 80 80 80 80 90 90 90 100 100 130

il y a 23 observations avant la valeur 60, et 23 observations après.

est la médiane de notre série

60

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3- le mode est la valeur la plus fréquente. Dans notre exemple:

20 3

30 4

40 5

50 7

60 11

70 7

80 5

90 3

100 2

130 1

est le mode de la série d’observations !

60

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Les prévisions

Dans cet exemple: moyenne, médiane et mode sont identiques (60). C’est souvent le cas lorsque la série est « normale ».

On reconnaît graphiquement une série dite normale par son apparence « en cloche »:

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

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Les prévisions

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

11 données sont dans la moyenne

Nombre d’observations

valeur

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Les prévisions

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Les autres données représentent la dispersion autour de la moyenne

Nombre d’observations

valeur

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Les prévisions

La fonction statistique qui caractérise la dispersion s’appelle la variance.

Elle est égale à l’écart au carré moyen de chaque valeur par rapport à la moyenne.

Pour les valeurs 1, 2 et 3, par exemple, la moyenne est:

(1+2+3) : 3 = 2

La variance sera:

(1 – 2)2 + (2 – 2)2 + (3 – 2)2 : 3 = 0,667

(le fait d’élever au carré évite que les écarts positifs et négatifs se « neutralisent »)

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Pour revenir à une valeur de dispersion comparable aux valeurs de départ, on retient généralement la racine carrée de la variance qu’on appelle l’écart-type.

Dans l’exemple précédent, l’écart-type sera:

0,667 = 0,82

Si notre petite série de valeurs avait été: 0, 2, 4

Moyenne = 2

Variance = (0 – 2)2 + (2 – 2)2 + (4 – 2)2 : 3 = 2,67

Écart-type = 2,67 = 1,64 (la dispersion est 2 fois plus

importante, ce qui n’est pas vraiment surprenant !)

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Les prévisions

EXERCICE

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Les prévisions

Année 1

J

F

M

A

M

J

J

A

S

O

N

D

20

20

60

60

70

130

70

20

30

50

50

90

Année 2

J

F

M

A

M

J

J

A

S

O

N

D

Année 3

J

F

M

A

M

J

J

A

S

O

N

D

Année 4

J

F

M

A

M

J

J

A

S

O

N

D

Année 5

J

F

M

A

M

J

J

A

S

O

N

D

30

30

60

70

70

60

70

30

50

50

50

90

40

40

60

80

70

80

80

40

60

50

60

100

40

40

60

70

80

80

90

60

50

60

60

100

En repartant de nos statistiques de ventes de téléviseurs…

… calculez pour la série de données allant de janvier année 1 à décembre année 4…

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Les prévisions

1- la variance

2- l’écart-type

Questions subsidiaires:

a) que représente l’écart-type calculé ?

b) L’écart-type donne-t-il une information plus intéressante que le simple écart moyen en valeur absolue ?

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Les prévisions

solution

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1- variance:

Nous avions déjà calculé la moyenne: 60

La variance sera donnée par la formule

(20 – 60)2 + (20 – 60)2 + (60 – 60)2 …… + (60 – 60)2 : 48 = 512,50

2- écart-type:

512,50 = 23

L’écart-type est un indicateur de la dispersion. Par rapport à l’écart moyen en valeur absolue, il donne également une idée de la présence de valeurs « aberrantes » dans la série observée…

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… en effet, si l’écart, positif ou négatif, est toujours le même, l’écart-type sera égal à la moyenne des écarts en valeur absolue.

Ex: 10 10 30 30 10 30 10 30 10 30

Moyenne = 200 : 10 = 20

Écarts: -10 -10 10 10 -10 10 -10 10 -10 10

Écarts valeur absolue:

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

Moyenne: 10

Variance: 100+100+100+100+100+100+100+100+100+100

= 1000 : 10 = 100

Écart-type: 100 = 10

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Autre série: 0 50 0 10 0 100 0 10 0 30

Moyenne = 200 : 10 = 20

Écarts en valeur absolue:

20 30 20 10 20 80 20 10 20 10

Écart moyen: 250 : 10 = 25

Variance: 400 900 400 400 400 6400 400 100 400 100

= 9900 : 10 = 990

Écart-type: 990 = 31

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La différence sensible entre l’écart moyen 25 et l’écart-type 31 témoigne de la présence de la valeur « aberrante » 100.

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Les statisticiens désignent l’écart-type avec la lettre grecque

( sigma minuscule)

Reprenons notre exemple initial, et la courbe correspondante…

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Les prévisions

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Nombre d’observations

valeur

-- 2 +-

+ 2

Nous observons que 5 + 7 + 11 + 7 + 5 = 35 valeurs, soit 73% du total de 48 sont

situées entre – et + par rapport à la moyenne.

47 valeurs, soit 98% sont situées entre – 2 et + 2 par rapport à cette même moyenne.

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Les prévisions

Dans la réalité, plus le nombre d’observations est important, plus on se rapproche des valeurs suivantes:

De – à + on trouve 68% des données

De – 2 à + 2 on trouve 95% des données

De – 3 à + 3 on trouve 99% des données

En terme de probabilités, cela veut dire que l’on a par exemple 95% de chances qu’une donnée se situe à 2 « autour » de la moyenne.

Nous verrons plus loin que ceci nous aidera notamment:

- à apprécier la qualité d’une prévision.

- à viser un stock de protection.