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Les auteurs du présent livre proposent de parcourir ces frontières afin

de questionner aussi bien l'existence des ouvrages, leur production et

leur matérialité, que les visées de l'auteur, les attentes de ses destina-

taires et les réceptions des lecteurs. Les vingt-deux contributions

rassemblées ici explorent l’histoire des mathématiques, depuis l’Anti-

quité avec les Éléments d’Euclide jusqu’au XXe siècle avec la réforme des

« maths modernes », en passant par les travaux qui ont diffusé l’algèbre

à la Renaissance, les idées de Leibniz, de Newton, d’Euler ou de

Bourbaki dans les siècles suivants.

___________________________________________________________________________

Évelyne BARBIN, professeure d’histoire des mathématiques à l’université de

Nantes, est responsable de la commission inter-IREM « épistémologie et histoi-

re des mathématiques ». Ses recherches concernent l’histoire des mathémati-

ques du XVIIe au XIXe siècle et les relations entre histoire et enseignement.

Marc MOYON est maître de conférences en histoire des mathématiques à l’uni-

versité de Limoges (IUFM du Limousin). Ses travaux portent sur les mathéma-

tiques médiévales arabes et latines et sur l’introduction d’une perspective his-

torique dans l’enseignement des mathématiques.

_________________________________________________________________________

En couverture : Manuels anciens du fonds patrimonial de l’IUFM du Limousin.

ISBN : 978-2-84287-563-3 27 €

Les ouvrages de mathématiques

dans l’Histoire

Entre recherche, enseignement et culture

Coordonné par Évelyne BARBIN & Marc MOYON

Savoirs scientifiques & pratiques d’enseignement

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Les frontières qui séparent les ouvrages de mathématiques, qu'ils

soient destinés à la recherche, à l'enseignement ou à la culture, sont

poreuses. En effet, l'auteur d'un texte destiné à la recherche doit se

faire comprendre, surtout s'il propose des notions inédites. L'auteur

d'un manuel d'enseignement voit parfois des questions d'enseignement

devenir des problèmes mathématiques. Un écrit destiné à la culture

mathématique accumule les difficultés : diffuser des idées nouvelles à

un public non averti.

Les ouvrages de mathématiques dans l’histoire

Entre recherche, enseignement et culture

© Presses universitaires de Limoges, 2013

39C, rue Camille Guérin – 87031 Limoges cedex – France

Tél : 05.55.01.95.35 – Fax : 05.55.43.56.29

E-mail : pulim@unilim.fr

http ://pulim.unilim.fr

Les ouvrages de mathématiques dans l’histoire

Entre recherche, enseignement et culture

Coordonné par Évelyne BARBIN & Marc MOYON

Savoirs scientifiques & Pratiques d’enseignement

Collection dirigée par Marc MOYON & Stéphane VINATIER

La collection « Savoirs scientifiques et Pratiques d’enseignement » des Presses

Universitaires de Limoges entend explorer les champs de l’enseignement et de la

diffusion des sciences. Elle est aussi ouverte aux travaux plus généraux en histoire

de l’éducation. Elle s’attache à valoriser et diffuser des travaux de recherche

fondamentale ou appliquée et des travaux de synthèse. Ses ouvrages s’adressent

aux enseignants de l’école à l’université, aux professionnels de l’éducation et de la

formation et plus largement à tous les lecteurs curieux.

Peuvent être soumis au conseil scientifique de la collection divers types de

travaux, de préférence en langue française, qui intéressent tant le praticien que le

chercheur : des monographies, des recueils d’articles, des actes de colloques ou de

journées d’étude mais aussi des exposés d’activités et d’expérimentations en classe

réalisées dans le réseau des Instituts de Recherche sur l’Enseignement des

Mathématiques (IREM) ou encore des supports de cours qui privilégient une

réflexion sur l’objet enseigné.

La collection a vocation à s’enrichir des travaux menés en Limousin tout en

envisageant des contacts nationaux et internationaux, en particulier avec les

partenaires de l’Université de Limoges. La fréquence de publication envisagée est

de deux à trois titres par an.

Comité scientifique de la collection :

Michèle ARTIGUE (université Paris Diderot-Paris 7) ; Paolo BIANCHINI

(université de Turin) ; Christian BRACCO (université Sofia-Antipolis) ; René CORI

(université Paris Diderot-Paris 7) ; Jean-Paul DELAHAYE (université Lille 1) ;

Yves DUCEL (université de Franche-Comté) ; Renaud D’ENFERT (Ifé-ENS Lyon) ;

Marc MOYON (université de Limoges) ; Abdelkader NECER (université de

Limoges) ; Jean-Claude PONT (université de Genève) ; Sophie REMY (Lycée Gay-

Lussac, Limoges) ; Gaëlle SALADIN (université de Limoges) ; Danielle TROUTAUD

(université de Limoges) ; Jean-Claude VAREILLE (université de Limoges) ;

Stéphane VINATIER (université de Limoges)

Les ouvrages de mathématiques dans l’histoire, p. 87-99.

L’Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques de Gabriel Cramer :

Newton pour les débutants ?

Thierry JOFFREDO IREM de Rennes et Archives Poincaré, Université de Lorraine

Gabriel Cramer (1704-1752) fait paraître en 1750 à Genève son

traité intitulé Introduction à l’analyse des lignes courbes algébri-

ques, resté célèbre chez les lycéens et leurs enseignants pour un

court appendice présentant ce que l’on appellera plus tard la

méthode des déterminants pour la résolution des systèmes

linéaires. Dans ce traité Cramer poursuit et prolonge le travail de

classification des courbes algébriques d’ordre 3 proposé par Newton

dans son Énumération des lignes du troisième ordre (publié en

1704 mais écrit en 1668-69)1.

Après avoir brossé un rapide portrait du savant genevois et de

son œuvre, j’examinerai comment son traité s’inscrit dans le corpus

des études sur les courbes algébriques au XVIIIe siècle, en

établissant la généalogie qui le relie à l’œuvre de Newton sur les

courbes algébriques. Je m’attacherai ensuite à illustrer sur un

exemple la méthode du triangle analytique de Cramer, directement

héritée du parallélogramme analytique de Newton. Enfin, après

avoir mis en évidence les ambitions du traité et évoqué sa

1 Cet exposé s’appuie sur le mémoire que j’ai soutenu sous la direction

d’Olivier Bruneau en juin 2011 pour le Master d’histoire des sciences et

des techniques de l’université de Nantes, intitulé L’Introduction à

l’analyse des lignes courbes algébriques : Gabriel Cramer, héritier de

Newton.

Thierry JOFFREDO

88

réception, j’apporterai des éléments de réponse à la question posée par

le présent ouvrage, en tentant de rattacher ce livre à l’une des trois

grandes catégories : recherche, culture ou enseignement.

L’homme et l’œuvre

Gabriel Cramer voit le jour le 31 juillet 1704 à Genève. En 1724,

âgé d’à peine vingt ans, il est nommé co-titulaire de la chaire de

Mathématiques de l’Académie de Calvin avec son ami Jean-Louis

Calandrini2.

Figure 1 : Portrait de Gabriel Cramer par Robert Gardelle (détail).

Jacob Vernet3 nous décrit un enseignant fort estimé de ses

élèves et de ses collègues :

Il [Cramer] ne tarda pas à se montrer un grand Maître dans l’Art

d’enseigner ; assidu, régulier, affable, simplifiant les principes,

observant la gradation des idées, ayant l’expression juste, ne disant

ni trop ni trop peu, mettant de l’évidence dans tout ce qui en est

susceptible, avertissant du point où l’évidence cesse, & des sujets où

on ne doit pas la chercher ; pesant alors & combinant les degrés de

vraisemblance & les diverses probabilités avec une précision singu-

lière, ramenant au calcul des choses mêmes qui semblent n’y pas être

2 Physicien genevois (1703-1758), auteur d’une édition commentée des

Principia de Newton parue en 1739. 3 Théologien genevois (1698-1789), connu pour être l’éditeur de l’Esprit

des lois de Montesquieu, qui a écrit un Éloge de Cramer en 1752.

L’Introduction de Gabriel Cramer : Newton pour les débutants ?

89

sujettes ; ingénieux à présenter le même objet sous diverses faces, à

tout éclaircir par des exemples ; & à trouver des tours nouveaux pour

faire entrer la lumière dans les esprits4.

En 1727-1728, Cramer parcourt l’Europe savante : il séjourne à

Bâle chez les Bernoulli, puis voyage en Angleterre, en Hollande et

enfin en France où il noue de solides amitiés parmi les membres de

l’Académie des Sciences de Paris5. Il entretient une correspondance

nourrie avec de prestigieux homologues (Stirling, les Bernoulli,

Euler, d’Alembert, Buffon, Dortous de Mairan) et apparaît comme

un savant très estimé de ses pairs. Il est élu membre de l’Académie

de Berlin (1746) et de la Royal Society de Londres (1749) mais

échoue plusieurs fois à se faire élire à Paris.

Fin 1751, sa santé se dégrade. On lui conseille de passer l’hiver

dans le sud de la France. Parti de Genève le 21 décembre 1751, son

état de santé s’aggrave brutalement durant le voyage et il s’éteint

le 4 Janvier 1752 dans le Gard, à Bagnols-sur-Cèze, près de Nîmes.

Daniel Bernoulli écrira après avoir appris la mort de son ami :

J’ai perdu un ami intime ; votre ville et notre Suisse ont perdu un de

leurs plus beaux ornements et toute l’Europe un savant de premier

ordre, né pour augmenter et perfectionner les sciences. C’était non

seulement un illustre, mais encore un aimable savant6.

Une part importante de l’activité de Gabriel Cramer a été celle

d’éditeur et de commentateur des œuvres mathématiques de cer-

tains de ses contemporains, notamment les Opera Omnia de Jean I

Bernoulli (1742, 4 vol.), les Opera de Jacques Bernoulli (1744, 2

vol.) ou la Correspondance entre Leibniz et Jean Bernoulli (1745, 2

vol.).

Cramer commence à écrire son traité sur les courbes vers 1740.

Il sera finalement publié en 1750. Cette véritable somme de 700

pages7 réunit de très nombreux résultats sur les courbes algébri-

4 Jacob VERNET, « Éloge historique de M. Cramer, professeur de

philosophie & de mathématiques à Genève », Nouvelle Bibliothèque

Germanique […] Janvier, Février & Mars 1752, X, Amsterdam, Pierre

Mortier, 1752, p. 363. 5 Il se liera notamment à Dortous de Mairan, qui en sera le secrétaire

perpétuel de 1740 à 1743. Cramer reviendra à Paris pour un séjour d’un

an, en 1748-49 où il se liera avec d’Alembert.

6 Rudolf WOLF, Biographien zur Kulturgeschichte der Schweiz, vol. 3,

Zurich, Orell Füssli, 1860, p. 226. 7 Gabriel CRAMER, Introduction à l’analyse des lignes courbes

algébriques, Genève, Frères Cramer et Cl. Philibert, 1750. Une copie

numérisée de bonne qualité de ce traité est téléchargeable sur la page

Thierry JOFFREDO

90

ques et leurs éléments caractéristiques, accompagnés d’exemples

nombreux et gradués et de planches richement illustrées. Dans sa

préface, Gabriel Cramer affirme que son propos est de « distribuer

les Courbes en Ordres, Classes, Genres et Espèces : ce qui, comme

dans un Arsenal où les armes sont bien rangées, met en état de

choisir, sans hésiter, celles qui peuvent servir dans la Résolution

d’un Problème proposé »8.

Un appendice resté célèbre présente ce que l’on appelle

aujourd’hui la méthode des déterminants pour la résolution des

systèmes d’équations linéaires. Cet aspect de l’œuvre de Cramer

est fort bien étudié par ailleurs9, nous n’en parlerons pas

davantage ici.

L’Introduction : généalogie d’une œuvre

Gabriel Cramer, dès la préface, situe lui-même de manière très

explicite son traité dans une filiation directe avec un texte publié

quelques quarante-six ans plus tôt par Newton, intitulé

Enumeratio linearum tertii ordinis, dont le propos est la

classification des courbes algébriques du troisième ordre. Il cite

ensuite le commentaire livré par Stirling en 1717, intitulé Lineae

Tertii Ordinis Neutonian avant d’évoquer les Usages de l’analyse

de Descartes écrits par l’abbé De Gua de Malves en 1740. Non citée,

bien que largement utilisé, La méthode des fluxions et des séries

infinies de ce même Newton, dans sa traduction en français donnée

par Buffon (proche ami de Cramer) expose les principales

méthodes algébriques utilisées par Cramer pour établir ses

résultats : le parallélogramme analytique et la méthode des séries.

Ces quatre textes constituent autant de jalons dans la

conception du traité de Cramer : il leur emprunte leurs propos,

leurs méthodes ou leurs outils, tout en s’autorisant un regard

critique, pour construire la somme de près de 700 pages que

constitue l’Introduction.

http://www.e-rara.ch/doi/10.3931/e-rara-4048, une autre sur Google Books

à l’adresse http://books.google.fr/books?id=HzcVAAAAQAAJ (consultées le

6 janvier 2013). 8 Gabriel CRAMER, Introduction à l’analyse…, op. cit., préface, p. viii.

9 Liliane ALFONSI, « Étienne Bézout : Analyse algébrique au siècle des

lumières », Revue d’Histoire des Mathématiques, 14, 2008, p. 211-287.

L’Introduction de Gabriel Cramer : Newton pour les débutants ?

91

L’Enumeratio de Newton

En 1704, Newton fait publier, en annexe de son traité d’optique

intitulé Opticks : or, a treatise of the reflexions, refractions,

inflexions and colour of light, un court texte intitulé Enumeratio

linearum tertii ordinis (autrement dit, Énumération des lignes du

troisième ordre). Ce texte présente sur une trentaine de pages

seulement (dont six planches d’illustrations) des résultats sur les

courbes algébriques du troisième ordre que Newton a établis

quelques trente ans plus tôt.

Newton y définit d’abord quelques notions (genre et ordre d’une

courbe algébrique, centre, diamètre, sommet, axe, asymptote, bran-

che infinie) en généralisant aux courbes d’ordres supérieurs le

vocabulaire propre aux coniques. Puis il réduit à quatre le nombre

de formes canoniques que peut prendre l’équation d’une ligne du

troisième ordre. Chacun de ces quatre cas est alors étudié séparé-

ment, permettant une classification des courbes du troisième ordre

en classes, genres et espèces. Newton distingue au final pas moins

de 72 espèces différentes, toutes finement représentées sur les

planches accompagnant le texte. Il aurait dû en compter 78 au

total : 4 espèces seront ajoutées par Stirling en 1717, une par

François Nicole en 1731 et une dernière par Nicolas Bernoulli en

1733.

L’origine du projet de Cramer se trouve donc dans la lecture de

l’Enumeratio, comme le genevois l’écrit lui-même :

C’est à l’Illustre Mr NEWTON que la Géométrie est sur-tout redevable

de cette distribution. Son Énumération des Lignes du troisième

Ordre est un excellent modèle de ce qu’il faut faire en ce genre, & une

preuve convaincante que ce grand Homme a pénétré jusqu’au fonds

de ce que la Théorie des Courbes a de plus délié & de plus

intéressant10.

Mais la concision et la clarté du texte de Newton ont leur

contrepartie : l’auteur se contente de délivrer une liste de résultats

sans jamais se préoccuper de donner à voir les méthodes utilisées

ni de produire de démonstrations, ce qui rend ardue la tâche de ses

lecteurs. La critique de Cramer sur ce point est pour le moins

explicite : « Il est fâcheux que Mr. NEWTON se soit contenté d’étaler

ses découvertes sans y joindre les Démonstrations, & qu’il ait

préféré le plaisir de se faire admirer à celui d’instruire »11.

10 Gabriel CRAMER, Introduction à l’analyse…, op. cit., préface, p. viii. 11 Gabriel CRAMER, Introduction à l’analyse…, op. cit., préface, p. ix.

Thierry JOFFREDO

92

Il faut sans doute y voir l’une des lignes de force de la démarche

de Cramer : réécrire et prolonger les travaux de Newton en expli-

citant de manière détaillée les méthodes algébriques à l’œuvre,

afin de les rendre accessibles au lecteur non averti.

Le commentaire de Stirling

L’Écossais James Stirling (1692-1770) est le premier, en 1717, à

s’atteler à cette tâche d’explicitation des méthodes utilisées par

Newton dans l’Enumeratio en publiant un ouvrage intitulé Lineae

Tertii Ordinis Neutonianae. Il y reprend les résultats énoncés par

Newton tout en mettant en évidence les méthodes algébriques

utilisées par Newton, notamment la méthode des séries, et

complète la classification de Newton en y ajoutant quatre espèces.

Cramer a rencontré Stirling lors de son voyage en Angleterre en

1728, et ils ont entamé une correspondance au début des années

1730. Il témoigne de l’apport de Stirling à cette entreprise :

Ces légères inadvertences n’ont pas échappé à Mr. STIRLING, qui a

développé les Principes & la Méthode de Mr. NEWTON, dans l’excel-

lent Commentaire qu’il nous a donné sur son Livre. On y voit qu’il

ne manquoit presque rien à Mr. STIRLING pour donner une Théorie

complette des Courbes, & qu’il n’auroit laissé que peu de choses à

dire, s’il ne s’étoit pas attaché avec trop de scrupule à ne point

s’écarter de son Auteur12.

Les Usages de De Gua de Malves

L’abbé Jean-Paul de Gua de Malves (1712-1786) publie, en

1740, un traité intitulé Usages de l’analyse de Descartes. Dans la

préface de ce traité, De Gua déplore lui aussi, mais de manière

plus nuancée, l’absence de démonstrations dans l’Enumeratio :

On doit cependant en excepter quelques légères traces qu’il a eu soin

de laisser sur son passage aux endroits qui avoient mérité qu’on s’y

arrêtât plus long-tems. Ces endroits au reste sont presque toujours

assez distants les uns des autres. Si l’on se propose donc de suivre la

même carrière, on est obligé de se guider soi-même dans de longs

intervalles ; &, lorsqu’on essaye de le faire, on trouve bientôt qu’il

n’est guère possible d’y réussir qu’à l’aide de l’Analyse de Descartes,

portée même à un degré de perfection que le seul M. Newton paroît

avoir connu13.

12 Gabriel CRAMER, Introduction à l’analyse…, op. cit., préface, p. ix.

13 Jean-Paul DE GUA DE MALVES, Usages de l’Analyse de Descartes pour

découvrir, sans le secours du calcul différentiel, les propriétés ou affections

principales des lignes géométriques de tous ordres, Paris, Briasson, 1740,

p. iii.

L’Introduction de Gabriel Cramer : Newton pour les débutants ?

93

Lorsque Cramer prend connaissance du traité de l’abbé De Gua,

il a déjà commencé la rédaction de son propre ouvrage :

Cet Essai étoit à peu près fini, quand Mr. l’Abbé DE GUA fit paroître

l’Usage de l’Analyse de DESCARTES pour découvrir les propriétés des

Lignes géométriques de tous les Ordres. La substitution qu’il y fait

du Triangle algébrique au parallélogramme de NEWTON est une idée

heureuse, dont j’ai profité avec reconnoissance, aussi bien que de

quelques autres pensées ingénieuses de cet Auteur : mais je n’ai pas

cru devoir le suivre dans la méprise où il est tombé sur les Branches

infinies des Courbes & sur leurs Points multiples, pour avoir négligé

l’usage des Séries infinies, ou pour avoir voulu juger d’une Série

entière par son seul premier terme14.

De Gua a donc une démarche proche de celle de Cramer, mais

elle reste, selon le genevois, imparfaite et entachée d’erreurs.

La méthode des fluxions et des séries infinies de Newton

La méthode des séries, principalement mise en avant par

Stirling pour expliquer et démontrer les résultats de l’Enumeratio,

s’appuie sur un outil développé par Newton à la fin des années

1660, désigné sous le nom de parallélogramme analytique par

Cramer, qui en fait un usage important dans l’Introduction.

Figure 2 : Le parallélogramme analytique de Newton15.

Cette méthode a été exposée dans divers écrits de Newton,

notamment dans la Méthode des fluxions et des suites infinies,

traduit en français par Buffon, par ailleurs proche ami de Cramer.

14 Gabriel CRAMER, Introduction à l’analyse…, op. cit., préface, p. xi.

15 Isaac NEWTON, La méthode des fluxions et des suites infinies, traduit

par Buffon, Paris, Debure l’aîné, 1740, p. 10.

Thierry JOFFREDO

94

Le parallélogramme analytique est en fait un tableau permet-

tant de repérer les coefficients non nuls des monômes de l’équation

d’une courbe algébrique. Il est introduit par Newton dans le but

d’obtenir les développements en séries de en fonction de à

proximité de l’origine (ce qu’il appelle la résolution des équations

affectées en espèces16).

À la suite de De Gua, Cramer en adopte une version simplifiée

qu’il nomme triangle analytique :

Figure 3 : Le triangle analytique de Cramer17.

Le triangle analytique sert à identifier les termes prépon-

dérants de l’équation lorsque l’une des deux variables est supposée

infiniment petite ou infiniment grande : Si dans une équation indéterminée, on suppose une des variables x

ou y infinie ou infiniment petite, cette supposition rend certains

termes de l’équation infiniment plus grands que les autres. On peut

donc retrancher ceux-ci sans scrupule, parce qu’ils ne sont rien en

comparaison des plus grands, qui forment seuls toute l’équation. [...]

Il ne s’agit que d’avoir une Règle pour discerner dans une équation

16 Cette méthode est à mettre en relation directe avec l’algorithme

permettant de calculer une valeur approchée des racines réelles d’une

équation numérique, formulé par Newton et amélioré par Raphson. À ce

propos, on lira avec profit Jean-Luc CHABERT et al., Histoire d’algo-

rithmes : du caillou à la puce, Paris, Belin, 1994, p. 193-226. 17 Cette représentation se trouve dans Gabriel CRAMER, Introduction à

l’analyse…, op. cit., p. 6.

L’Introduction de Gabriel Cramer : Newton pour les débutants ?

95

proposée, quels sont les termes que la supposition d’x ou d’y

infiniment grande ou infiniment petite, rend infiniment plus grands

que tous les autres18.

Le triangle analytique en action

Examinons, à titre d’exemple, la manière dont Cramer utilise le

triangle analytique pour étudier, à proximité de l’origine, les

branches de la courbe d’équation19

La méthode est décrite par Cramer dans le chapitre VII de

l’Introduction, intitulé Détermination des plus grands termes d’une

équation :

Ayant tracé le Triangle analytique ; on placera chaque terme de

l’équation dans la Case qui lui est propre. Ou, ce qui dans la

pratique est plus commode, on formera le Triangle avec des points

disposés en quinconce, & on en changera en une étoile, ou en une

petite croix, chaque point qui tient la place d’un des termes de

l’équation. […] Si l’on suppose ou infiniment petite, on cherchera,

avec la Règle, quelles sont les Cases pleines par le centre desquelles

peut passer une Droite, sans laisser au-dessous d’elle aucune Case

pleine. Cette Droite, ou ces Droites, car il peut y en avoir plus d’une,

se nommeront des Déterminatrices inférieures, parce qu’elles

déterminent les plus grands termes de l’équation : ce sont ceux qui

occupent les Cases par le centre desquelles elle passe20.

Commençons donc par situer les coefficients de l’équation de

cette courbe sur le triangle analytique ; il existe une unique

déterminatrice inférieure, qui porte les termes en , et :

18 Gabriel CRAMER, Introduction à l’analyse…, op. cit., p. 148. 19 Gabriel CRAMER, Introduction à l’analyse…, op. cit., p. 590. 20 Gabriel CRAMER, Introduction à l’analyse…, op. cit., p. 165-166

Thierry JOFFREDO

96

Cette déterminatrice fournit donc l’équation :

qui se résout aisément en

Le premier terme du développement en série de en fonction de

à proximité de l’origine est donc

.

Ecrivons alors

et effectuons la substitution dans l’équation de départ ; après

quelques calculs nous obtenons une nouvelle équation en et :

Portons cette nouvelle équation sur le triangle analytique ; nous

distinguons une déterminatrice inférieure :

Cette déterminatrice porte les termes en et , et fournit une

nouvelle équation :

Dans le cas où est positif, cette équation a pour solutions

La série se scinde en deux séries distinctes dès le second terme, ce

qui indique deux branches distinctes à l’origine.

L’Introduction de Gabriel Cramer : Newton pour les débutants ?

97

En continuant les calculs, on obtient :

Ces deux branches forment un rebroussement en bec à l’origine

, comme on peut le voir sur la figure ci-dessus21.

L’Introduction : ambitions et réception

Les ambitions « pédagogiques » de Gabriel Cramer, lorsqu’il

débute la rédaction de son traité, sont pour le moins claires, comme

il l’annonce lui-même dans sa préface :

Tel est le Plan que je me suis proposé dans cet Essai. C’est à mes

Lecteurs à juger si je l’ai rempli. J’ai tant de graces à leur

demander, que je ne leur ferai point d’excuses, ni sur le style, où je

n’ai cherché que la clarté ; ni sur certains détails, que j’ai crû

nécessaires aux jeunes Géomètres en faveur desquels j’écris ; ni sur

la longueur de cet Ouvrage, dont je suis moi-même surpris. Elle

vient principalement du nombre d’Exemples que j’aporte pour

illustrer les Règles que je donne. Je sens fort bien que les Savans en

voudroient moins, mais en échange les Commençans en désireroient

peut-être davantage. Je puis dire aux uns, que je ne crois pas avoir

placé un seul Exemple sans quelque raison particulière ; & j’ose

assurer les autres que je ne pense pas qu’ils trouvent dans les Règles

aucune difficulté qui ne soit éclaircie par quelque Exemple22.

21 Gabriel CRAMER, Introduction à l’analyse…, op. cit., planche XXVI,

p. 600. 22 Gabriel CRAMER, Introduction à l’analyse…, op. cit., p. xxiii.

Thierry JOFFREDO

98

À une époque où le calcul différentiel se diffuse très largement

et se montre d’une efficacité redoutable pour l’étude des courbes, le

traité de Cramer a la particularité de proposer une approche

totalement algébrique, en se basant sur les travaux de Newton en

la matière. Les méthodes algébriques en action dans le traité de

Cramer sont systématiquement exposées et accompagnées d’exem-

ples progressifs, afin de permettre au lecteur même débutant de

suivre les calculs et de s’assurer de lui-même du bien-fondé des

résultats exposés et des raisonnements qui y conduisent. Et c’est

en cela que Cramer prend le contrepied de son modèle, qui s’était

contenté de livrer une suite de résultats sans indication aucune sur

les voies qu’il avait suivies.

Le traité des courbes de Cramer a été lu bien après la mort de

son auteur; les géomètres de la fin du XVIIIe et du XIXe siècle,

comme les historiens des mathématiques, s’en font l’écho. De

Montucla23 à Chasles24, en passant par Laplace25, nombreux sont

ceux qui accordent à l’Introduction une place centrale dans

l’histoire des courbes algébriques.

Laissons pour finir la parole à l’historien des mathématiques

Carl B. Boyer, qui rend un bel hommage au traité de Cramer :

One of the best-known single-volume textbooks of the period,

however, variantly and effectively maintained, free from reference to

the calculus, the tradition of Fermat, Newton and Euler against that

of Descartes, L’Hospital and Guisnée. This was the Introduction a

l’analyse des lignes courbes of Gabriel Cramer (1704-1752) which

appeared in 1750 [...]. Cramer’s Introduction is the work of an expert

on the subject. It includes almost 700 pages of exposition and hun-

dreds of illustrations - a worthy successor to Newton’s Enumeratio26.

Cette dernière phrase accrédite l’idée que le genevois est

parvenu à ses fins : écrire un ouvrage de référence sur les courbes,

qui en fasse un « digne successeur » de Newton.

23 Jean-Etienne MONTUCLA, Histoire des mathématiques, dans laquelle

on rend compte de leurs progrès depuis leur origine jusqu’à nos jours...,

Volume 3, Paris, Henri Agasse, 1802, p. 63-85. 24 Michel CHASLES, Aperçu historique sur l’histoire et le développement

des méthodes en géométrie, Bruxelles, Hayez, 1837, p. 152. 25 Pierre-Simon DE LAPLACE, « Leçons de mathématiques données à

l’École Normale, en 1795, par M Laplace », Journal de l’École Poly-

technique publié par le conseil d’instruction de cet établissement, II, 7e et 8e

cahiers, Paris, Imprimerie Impériale, 1812, p. 122-123. 26 Carl B. BOYER, History of analytic geometry, New York, Dover

Publications, 2004, p. 193-194, souligné par nous.

L’Introduction de Gabriel Cramer : Newton pour les débutants ?

99

En conclusion

On voit que Gabriel Cramer, avec cet ouvrage, réalise d’abord

une synthèse du savoir sur les courbes algébriques au mitan du

XVIIIe siècle, explicitant totalement – tout en le dépassant – le texte

publié par Newton au début du siècle. Qui sont les destinataires de

son texte ? Il s’adresse manifestement à un public non averti,

l’excluant a priori de la famille des ouvrages de recherche (même si

la nouveauté constituée par le passage sur les déterminants a dû

attirer l’œil des savants contemporains et ultérieurs). On peut donc

le ranger sans hésitation avec les ouvrages de culture mathé-

matique. J’avance également qu’il se rapproche fortement d’un

ouvrage d’enseignement : de prochaines recherches en archives me

permettront de rechercher des éléments de mise en relation entre

le contenu du traité de Cramer et les enseignements de

mathématiques qu’il prodiguait à Genève.

Les ouvrages de mathématiques dans l’histoire.

Table des Matières

Évelyne BARBIN & Marc MOYON, Avant-propos ..................................... 7

PREMIÈRE PARTIE : Des ouvrages héritiers d'Euclide

Odile KOUTEYNIKOFF, François LOGET & Marc MOYON, Quelques

lectures renaissantes des Éléments d’Euclide ................................... 13

Odile KOUTEYNIKOFF, Les Éléments d’Euclide au service d’une algèbre

du XVIe siècle ........................................................................................ 29

Thomas PRÉVERAUD, Destins croisés de manuels français en Amérique

(1819-1862) : l’exemple des Éléments de géométrie d’Adrien-Marie

Legendre .............................................................................................. 43

Évelyne BARBIN, Marta MENGHINI & Amirouche MOKTEFI, Les

dernières batailles d’Euclide : sur l’usage des Éléments pour

l’enseignement de la géométrie au XIXe siècle................................... 57

DEUXIÈME PARTIE : Des ouvrages pour initier à de nouvelles

mathématiques

Sandra BELLA, L’Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des

lignes courbes : ouvrage de recherche ou d’enseignement ? .............. 73

Thierry JOFFREDO, L’Introduction à l’analyse des lignes courbes

algébriques de Gabriel Cramer : Newton pour les débutants ? ........ 87

André STOLL, Une initiation à la lecture des Principes mathématiques

de la philosophie naturelle de Newton ............................................. 101

Évelyne BARBIN, Le genre « ouvrage d’initiation » : l’Exposé moderne

des mathématiques élémentaires de Lucienne Félix (1959-1961) ... 117

TROISIÈME PARTIE : Des ouvrages pour promouvoir des mathé-

matiques

Jean-Pierre LUBET, Faut-il étudier le calcul aux différences finies

avant d’aborder le calcul différentiel et intégral ? Un état de la

question dans la seconde moitié du XVIIIe siècle ............................. 133

340

Mahdi ABDELJAOUAD, L’importance des manuels de Bézout dans le

transfert des mathématiques européennes en Turquie et en Égypte

au XIXe siècle ...................................................................................... 149

André-Jean GLIÈRE, La révolution conceptuelle accomplie par

Hermann Hankel à propos des quantités négatives dans sa Théorie

des systèmes de nombres complexes .................................................. 161

François PLANTADE, Comment Jules Houël a rédigé la partie « Les

fonctions elliptiques » de son Cours de calcul infinitésimal avec l’aide

de Gösta Mittag-Leffler .................................................................... 173

QUATRIÈME PARTIE : Des ouvrages et des réformes d'enseigne-

ment

Valérie LEGROS, Des Exercices de calcul à L’arithmétique en riant. Les

mathématiques dans l’enseignement primaire : programmes et

manuels sous la IIIe République ...................................................... 189

Rudolf BKOUCHE, De la modernité dans l’enseignement des

mathématiques .................................................................................. 205

Hervé RENAUD, Les Leçons d’Arithmétique théorique et pratique de

Jules Tannery (1894) : enseigner les nombres comme fondements des

mathématiques .................................................................................. 217

Arnaud CARSALADE, François GOICHOT & Anne-Marie MARMIER,

Architecture d’une réforme : les mathématiques modernes ........... 229

CINQUIÈME PARTIE : Des ouvrages, des pratiques et des instru-

ments

Sophie COUTEAUD, Mise en perspective de L’arithmetique par les gects

de Pierre Forcadel de Béziers (1558) ............................................... 247

Frédéric MÉTIN, Les livres de fortification aux XVIe & XVIIe siècles : le

Papier, le Sang et la Brique .............................................................. 261

Patrick GUYOT & Frédéric MÉTIN, La Géométrie de Marolois, pilier du

fortificateur, ressource du professeur .............................................. 273

Pierre AGERON, Le Traité de fabricomologie ou ergastice du point ... 287

Anne-Marie AEBISCHER & Hombeline LANGUEREAU, Géométrie et

artillerie au début du XIXe siècle : François-Joseph Servois dans son

temps ................................................................................................. 305

Dominique TOURNÈS, Les cours d’André-Louis Cholesky à l’École

spéciale des travaux publics, du bâtiment et de l’industrie............ 319

Index des noms propres .................................................................. 333

Index des auteurs ............................................................................. 338

Table des Matières ............................................................................ 339