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  • Les oprateurs de symtrie dorientation

    1- Symtrie dorientation des cristaux-Edifice atomique du cristal en concidence avec lui-mme.

    2- Symtrie dorientation des rseaux-Noeuds du rseau en concidence avec eux-mmes.

    Notion fondamentale : La symtrie dorientation dun cristal est infrieure ou gale la symtrie dorientation de son rseau.

    3- Oprateurs de symtrie dorientation compatibles avec la triple priodicit des rseaux

    Prop.1 : tout rseau est centrosymtrique

    Prop.2 : Oprateurs compatibles : 1, 2, 3, 4, 6, 1, 2, 3, 4, 6

    Lemme 1 : La symtrie du rseau rciproque est identique celle du rseau directe

    Lemme 2 :Tout axe de symtrie dorientation dun rseau est une direction de range du RD et du RR

  • 4- Dmonstration de la limitation de lordre des oprateurs de symtrie

    A B

    C D

    Phi Phi

    AB = paramtre de la range = aCD = ka

    --> sin2(Phi/2) = k/4 k entier

  • 5- Reprsentation strographique des oprateurs de symtrie

  • 6- 3me proprits

    des rseaux

    Tout rseau (donc possdant

    un centre de symtrie)

    possdant un axe de symtrie

    p > 2, possde galement p

    axes binaires qui lui sont

    perpendiculaires, ainsi que

    p miroirs passant par laxe

    DENOMBREMENT DES CLASSES DE SYMETRIE

    Les groupes dterminer sont rangs dans un tableau 5 lignes.Principe : on construit dans un premier temps les groupes avec un seul axe de symtrie p>2. Puis les autres.(Cf. polycopi)

  • 7- DEGRE DE SYMETRIE DUNE CLASSE CRISTALLINE

    Def. : Une direction de demi-droite quelconque issue de lorigine est rpte par les oprations de symtrie dune classe cristalline dans S directions quivalentes :

    S est appel degr de symtrie de la classe.

    Moyen pratique : examiner la projection strographique rsultant de la rptition dun point plac en dehors de tout lment de symtrie.

    Le degr de symtrie peut galement se calculer laide de la relation :

    S = 1 + n2 + 2n3 + 3n4 + 5n6

    n2, n3 etc..., reprsentent le nombre daxes binaires,

    ternaires, etc... prsents dans la classe de symtrie. Si la classe possde un centre de symtrie le degr de symtrie est donn par S = 2S.

    Parmi les 32 classes, le degr de symtrie varie de 1 pour la classe 1, 48 pour la classe m3m.

  • Les 32 groupes de symtrie ponctuelle.

  • 8- CLASSES HOLOEDRES ET CLASSES MERIEDRES

    Dfinition :Une classe de symtrie est holodre si sa symtrie est

    compatible avec la symtrie des rseaux.Cest donc une classe centrosymtrique. Il existe 11

    classes centrosymtriques. Ce sont les classes :

    1, 2/m, mmm, 3, 3m, 4/m mm, 6/m, 6/m mm, m3, m3m.

    De plus pour tre compatible avec la symtrie des rseaux, si ces classes possdent un axe de rotation dordre suprieur 2, elles doivent possder galement p axes binaires et p miroirs en faisceaux rguliers, de manire vrifier la seconde proprit des rseaux. Parmi ces 11 classes, seules 3m, 4/m mm, 6/m mm et m3m possdent cette proprit.

    En consquence, seules les 7 classes :1, 2/m, mmm, 3m, 4/m mm, 6/m mm et m3m ont une symtrie compatible avec celle des rseaux.

    Les 25 classes restantes sont dites mridres.

    9- CLASSIFICATION DES 32 CLASSES EN 7 SYSTEMES

    Considrons les 25 classes mridres. Les cristaux qui possdent une telle symtrie ont ncessairement une symtrie de rseau suprieure la symtrie du cristal. Pour obtenir la symtrie du rseau, il faut :

    - ajouter un centre de symtrie, si celui-ci est absent dans la classe

    - ajouter p axes binaires, ou p miroirs, ou les deux la fois si la classe possde un axe de rotation suprieur 2.

  • On aboutit alors lune des 7 classes holodres.- si le degr de symtrie de la classe est gal S/2, on

    dit que la classe est hmidre.- si le degr de symtrie de la classe est gal S/4, on

    dit que la classe est ttartodre.- si le degr de symtrie de la classe est gal S/8, on

    dit que la classe est ogdodre.

    Les 14 modes de rseaux de Bravais

    LA QUESTION : Existe-t-il des mailles multiples qui conservent les proprits de symtrie dun rseau donn ?

    1- Recherche des modes de rseauDfinition : On a un mode de rseau maille multiple sil est impossible de rduire la maille multiple en une maille simple en respectant les conditions de symtrie du systme cristallin.

    Maille lmentaire : P , Z = 1

    Si maille multiple : t = ua + vb + wc avec u,v, w = 0 ou 1/2Ceci implique : 3 types de maille multiple

    A) Mode centr : t = 1/2 a + 1/2 b + 1/2 c mode I (Z = 2)

  • B) Mode base centre (symbole gnral S) :t = 1/2 a + 1/2b mode C (Z = 2)

    t = 1/2 b + 1/2 c mode A (Z = 2)t = 1/2 a + 1/2 c mode B (Z = 2)

    C) Mode faces centres :

    t = 1/2 a + 1/2b

    et t = 1/2 b + 1/2 cet t = 1/2 a + 1/2 c mode F (Z = 4)

    2- Dnombrement des 14 modes de rseaux

    Comme il y a 7 systmes cristallins, a-t-on 28 rseaux de Bravais ? NON. 2 contraintes : conservation de la symtrie et maille la plus petite possible.

  • 3- Rseaux rciproques des rseaux de BravaisLes rseaux rciproques ont la mme symtrie que les rseaux directs dont ils drivent. Notions dabsences systmatiques.

    Ex : Reprsenter le rseaux rciproques dun RD de type C (bidimen.)

  • LA SYMETRIE DE POSITIONDANS LES CRISTAUX

    Ide : se proccuper du remplissage de la maille par les atomes -> symtrie du motif

    Oprateurs de symtrie de position ? --> atomes quivalentsCes oprateurs : oprateurs du rseau + translation t telle que:t < a, b, c

    I) Les oprateurs de symtrie de position

    a) Oprateurs directs - Combinaison dune rotation et dune translation1) Si les 2 oprateurs sont perpendiculaires --> rotation dplace2) Si les 2 oprateurs sont parallles --> axe hlicodal

    Thorme :- Les axes hlicodaux sont parallles aux ranges du rseau- Les seuls rotations possibles sont : 1, 2, 3, 4 et 6 et les translations correspondantes :

    t = q p

    n p est lordre de laxe

    q un nombre entier < pn vecteur paramtrique dune range.

    Pour t = 0, cest une rotation normale. Pour t = 1/p....p-1/p, on a un oprateur nouveau : laxe hlicodal

  • b) Oprateurs inverses

    - Combinaison dune rotation inverse (-1, m, -3, -4 et -6) et dune translation.

    1) -1 => -1 dplac

    2) m : deux cas : a) t perpendiculaire au plan = m dplac b) t parallle au plan = miroir translatoire

    3) -3, -4 = pas doprateurs nouveaux

    Thorme :

    t compatible avec la structure rticulaire lorsque :

    t = a 2...ou...

    b 2...ou...

    c 2...ou...

    a + b 2...ou...

    b + c 2...ou...

    a + c 2

    Si la translation est parallle a, b ou c, les miroirs seront nots respectivement :

    a, b ou c

    Si la translation est diagonale :

    miroir n

  • Reprsentation des axes hlicodaux construits sur 2, 3 et 4.

  • Reprsentation graphique des oprateurs de symtrie de position

  • II) Association des oprateurs de symtrie de position

    La combinaison des oprateurs de symtr ie dorientation --> 32 classes cristallines

    32 classes cristallines + modes de rseau + oprateurs translatoires = 230 groupes despace

    Exemples examins lors de la construction des groupes les plus simples (P-1, P2, Pm, etc...)

    III) Relation entre groupe spatial et classe de symtrie

    Si suffit de remplacer les lments de symtrie de position par les lments de symtrie ponctuelle correspondant :Exemples :P212121 : classe : 2 2 2C 2/c : classe 2/mPmna : classe mmm

    Dnombrement des groupes despace (par systme cristallin) :Triclinique : 2 ; Monoclinique : 13 ; Orthorhombique : 59Quadratique : 68 ; Rhombodrique : 25 ; Hexagonal : 27Cubique : 36.

  • IV) Groupe et mode de rseau

    Lassociation des lments de symtrie de position amne considrer des mailles multiples : cest une autre voie pour retrouver les modes de rseau.

    V) Notation des groupes

    Nous utilisons la notation dHermann et Maugin

    1) Une majuscule indiquant le mode de rseau :P, A, B, C, I , F

    2) Un groupe de trois lettre ou chiffre qui se rapporte aux axes a,b et c (en notation tendue)

    - Si chiffre, axe de rotation parallle laxe (a, b ou c)- Si lettre, miroir perpendiculaire laxe (a, b ou c)

    Dans le groupe orthorhombique P212121, 3 axes hlicodaux 21 parallles respectivement aux trois axes

    .Le g roupe monoc l in ique C2/c do i t s c r i re normalement : C 1 2/c 1 ; ici, laxe 2 est parallle ,le miroir c est perpendiculaire .

    Exemples de groupe 3D (que vous pouvez construire !) :P-1, C2, Cm, P2/c, P ca21, Imm2, Pccn, Ccca, P4/m.

  • VI) Positions quivalentes, positions gnrales, positions spciales

    La lecture du groupe spatial permet de retrouver tous les atomes quivalents dans la maille.

    - Position gnrale : x,y,z en dehors de tous lments de symtrie = degr de symtrie de la classe correspondante. Si mode de rseau, 2S ou 4S

    - Position spciale : x,y,z sur un ou plusieurs lments de symtrie

    - Symtrie dun site : ensemble des lments de symtrie sans glissement passant par ce point.

    Remarques :a) Le nombre de positions spciales est une fraction du

    nombre de positions gnrales.

    b) Les positions sont repres par des lettres (Wyckoff) dans les groupes despace.

    c) Pour les groupes avec mode de rseau non primitif, il faut ajouter les positions qui se dduisent par les translations du mode de rseau (x+1/2, y+1/2, z+1/2 pour le mode de rseau I, par exemple).

  • VII) Description dune structure.

    Pour dcrire une structure, il faut (pour le moins) prciser :

    A) Le systme cristallin et le groupe spatial.(Ex: NaCl Systme cubique - Groupe Fm-3m)

    B) Les paramtres de la maille directe.(Ex: ZnS (cubique, F-43m) a = 5,41 )

    C) L