y(x ') = y(x - vt)

Les ondes progressives

Le déplacement d’une impulsion

La fonction d’onde;

La fonction d’onde sinusoïdale progressive

Exemples

Comment exprimer mathématiquement le déplacement d’une impulsion ?

Soit une impulsion représentée animée d’une vitesse de 3 m /s vers la droite à t = 0 s

€

y(x) =2,5

(0,5 + x 2)

Soit une impulsion représentée animée d’une vitesse de 3 m /s vers la droite à t = 1 s

€

y(x) =2,5

(0,5 + (x − 3)2)

Soit une impulsion représentée animée d’une vitesse de 3 m /s vers la droite à t = 2 s

2

2,5( )

(0,5 ( 6) )y x

x=

+ −

La fonction progressive peut s’écrire:

y(x,t) =

2,5(0,5+ (x−vt)2 )

Où v est la vitesse de propagation de l’onde

Exemple 2.4

y(x,t) =

2,5(0,5+ (x−vt)2 )

longueur d’onde : distance entre deux maxima consécutifs.

A amplitude : élongation maximale.

v vitesse de propagation.

Où y : déformation transversale (en mètre) x : position x en (mètre) t : temps (en seconde) longueur d’onde (en mètre) T : période de la déformation (en seconde) A : amplitude de la déformation (en mètre)

y =Asin2π x

−

tT

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

où k : est le nombre d’onde (en m-1) : la fréquence angulaire (s-1) : constante de phase (en radian)

Que l’on peut réécrire de la façon suivante:

y = Asin kx− t+φ( )

Déplacement vertical d’un point « x »

Il est important de faire la distinction entre la vitesse de propagation de l’onde v et la vitesse d’une particule du milieu:

∂y∂ t

Soit la fonction y(x,t) = 0,03 sin (2,2 x – 3,5 t) m

(où x est en mètre et t en seconde).

Déterminez:

a) l’amplitude: Une simple lecture donne 0,03 mètre

b) le nombre d’onde: Une lecture donne 2,2 m-1

c) La pulsation: Une lecture donne 3,5 s-1

d) La longueur d’onde: Puisque k = 2π/, on trouve = 2,86 m

e) La période: Puisque T = 2π/, on trouve T = 1,80 s

f) La vitesse de l’onde: Puisque v = /k, on trouve v = 1,59 m/s

Soit la fonction y(x,t) = 0,03 sin (2,2 x – 3,5 t) m

(où x est en mètre et t en seconde).

Déterminez:

g) la vitesse transversale d’une particule

N.B. La vitesse transversale maximale (0,105 m/s) se produit lorsque y = 0

v

t=∂y∂ t

= -Acos k x−t + φ( )

Soit la fonction y(x,t) = 0,03 sin (2,2 x – 3,5 t) m

(où x est en mètre et t en seconde).

Déterminez:h) l’accélération d’une particule

N.B. L’accélération transversale maximale (0,368 m/s2) se produit lorsque y = A (soit y = 0,03 m)

a

t=∂

2

y

∂t2 =- 2Asin kx−t+φ( )

a

t=-(3,5)2 ×0,03sin 2,2 x−3,5t( ) m/s2

Faire l’exemple 2,5.

Question 2

Les exercices: 3, 5, 13, 15,17, 21 et 23.

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