LES NOMBRES RELATIFS - Univ-lille1

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OPÉRATIONS SUR LES NOMBRES RELATIFS : MULTIPLICATION ET DIVISION LES NOMBRES RELATIFS Dossier n°3 Juin 2005 Conçu et réalisé par : Marie-Christine LIEFOOGHE Bruno VANBAELINGHEM Annie VANDERSTRAELE Tous droits réservés au réseau AGRIMÉDIA

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OPÉRATIONS SUR

LES NOMBRES RELATIFS :

MULTIPLICATION ET DIVISION

LES NOMBRES RELATIFS

Dossier n°3

Juin 2005

Conçu et réalisé par :

Marie-Christine LIEFOOGHE

Bruno VANBAELINGHEM

Annie VANDERSTRAELE

Tous droits réservés au réseau AGRIMÉDIA

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LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n° 3 1

C.D.R.

AGRIMEDIA

LES NOMBRES RELATIFS :

- Multiplication - Division

Apprentissage

Objectif :

- Savoir effectuer des multiplications et des divisions sur des nombres relatifs

Contenu : - Savoir calculer le produit de deux nombres relatifs - Savoir calculer le produit de plusieurs nombres relatifs - Savoir diviser des nombres relatifs - Exercices de synthèse

Pré-requis : ( voir dossier n°1 )

- Les nombres relatifs

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LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n° 3 2

MULTIPLICATION DE NOMBRES RELATIFS

RAPPEL On appelle produit, le résultat d'une multiplication. 1er exemple : 6 est le produit de 2 et 3 car 2 x 3 = 6 2 et 3 sont appelés facteurs du produit

2ème exemple : 5 x 4 x 10 = 200 200 est le produit de 5, 4 et 10 5, 4 et 10 sont les facteurs du produit

I - PRODUIT DE DEUX NOMBRES RELATIFS

Multiplier deux nombres relatifs POSITIFS ne pose guère de problème... Ainsi, pour multiplier par exemple ( + 7,2 ) par ( + 11 ) il faut multiplier les valeurs absolues entre elles : 7,2 x 11 = 79,2

et donner le signe + au résultat car les 2 nombres sont positifs ;

d'où : ( + 7,2 ) x ( + 11 ) = ( + 79,2 )

La valeur absolue du produit de deux nombres relatifs est le produit des deux valeurs absolues.

Ainsi, la valeur absolue du produit de :

( + 4 ) et ( - 3,5 ) est 14 car 4 x 3,5 = 14 ( - 10 ) et ( - 5 ) est 50 car 10 x 5 = 50 ( - 8 ) et ( + 7 ) est 56 car 8 x 7 = 56

Mais quel signe devons-nous donner au résultat ?

Chapitre 1

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LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n° 3 3

Appliquons la règle des signes qui se résume par le tableau suivant :

Signe du 1er nombre relatif

Signe du 2ème

nombre relatif Signe du produit

Règle

+ + +

- - +

+ - -

- + -

Reprenons les exemples précédents :

• ( + 4 ) x ( - 3,5 ) = ?

Effectuons le produit des valeurs absolues :

4 x 3,5 = 14 d'après la règle des signes :

les nombres relatifs sont de signes contraires, le résultat est donc un nombre négatif

( + 4 ) x ( - 3,5 ) = - 14

• ( - 10 ) x ( - 5 ) = ?

Effectuons le produit des valeurs absolues :

10 x 5 = 50

d'après la règle des signes :

les nombres relatifs sont de même signe, le résultat est donc un nombre positif

( - 10 ) x ( - 5 ) = + 50

Le produit de deux nombres relatifs de même signe est

un nombre positif

Le produit de deux nombres relatifs de signes contraires est un nombre négatif

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LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n° 3 4

• ( - 8 ) x ( + 7 ) = ?

le produit des valeurs absolues est :

8 x 7 = 56

d'après la règle des signes :

les nombres relatifs sont de signes contraires, le résultat est donc un nombre négatif

( - 8 ) x ( + 7 ) = - 56 On retiendra : Pour obtenir le résultat du produit de 2 nombres relatifs, on commence

par multiplier les 2 valeurs absolues, puis pour trouver le signe du résultat, on applique la règle suivante :

⌦ Le produit de 2 nombres relatifs de même signe est un nombre relatif positif

Exemples :

- 5 x - 2 = + 10

+ 5 x + 2 = + 10

⌦ Le produit de 2 nombres relatifs de signes contraires est un nombre relatif négatif Exemples :

- 5 x + 2 = - 10

+ 5 x - 2 = - 10

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LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n° 3 5

Maintenant à vous !

Calculez :

( - 3,1 ) x ( + 7,2 ) =

( - 7 ) x ( - 4,3 ) =

( + 1 ) x ( - 4,2 ) =

( + 4 ) x ( + 3,42 ) =

( - 7 ) x ( + 8,4 ) =

( - 1 ) x ( - 5,1 ) =

( - 5,2 ) x 0 =

( + 3,5 ) x ( - 2,9 ) =

( - 13 ) x ( - 12 ) =

Voir réponses page suivante

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LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n° 3 6

RÉPONSES

( - 3,1 ) x ( + 7,2 ) = - 22,32

( - 7 ) x ( - 4,3 ) = + 30,1

( + 1 ) x ( - 4,2 ) = - 4,2

( + 4 ) x ( + 3,42 ) = + 13,68

( - 7 ) x ( + 8,4 ) = - 58,8

( - 1 ) x ( - 5,1 ) = + 5,1

( - 5,2 ) x 0 = 0

( + 3,5 ) x ( - 2,9 ) = - 10,15

( - 13 ) x ( - 12 ) = + 156

Très bien !

Passons à la suite !!

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LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n° 3 7

II - PRODUIT DE PLUSIEURS NOMBRES RELATIFS

Exemples • ( - 5 ) x ( + 2 ) x ( - 4 ) = ?

Effectuons le produit des valeurs absolues : 5 x 2 x 4 = 40 puis indiquons le signe du résultat.

Nous avons vu précédemment la règle des signes à appliquer pour le produit de deux nombres relatifs :

( - 5 ) x ( + 2 ) x ( - 4 )

( - 5 ) x ( + 2 ) x ( - 4 ) = + 40

puis - x -

+ • ( - 2,5 ) x ( - 3 ) x ( - 5,3 ) x ( + 8,1 ) = ?

Effectuons le produit des valeurs absolues : 2,5 x 3 x 5,3 x 8,1 = 321,975 puis indiquons le signe du résultat :

( - 2,5 ) x ( - 3 ) x ( - 5,3 ) x ( + 8,1 )

puis : + x -

puis : - +

-

( - 2,5 ) x ( - 3 ) x ( - 5,3 ) x ( + 8,1 ) = - 321,975

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LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n° 3 8

Remarque :

Autre méthode : pour connaître le signe d'un produit de plusieurs facteurs,

on peut compter le nombre de signes -

Si nous en trouvons un nombre pair ( 0 ; 2 ; 4... ) le produit est positif.

Si nous en trouvons un nombre impair ( 1 ; 3 ; 5... ) le produit est négatif.

Exemple 1 : ( - 2,6 ) x ( + 3,2 ) x ( - 6,8 ) = ?

Il y a deux signes -, le produit est donc positif.

Il ne reste plus qu'à calculer le produit des valeurs absolues.

( - 2,6 ) x ( + 3,2 ) x ( - 6,8 ) = + 56,576

Exemple 2 : ( - 3,7 ) x ( - 4,5 ) x ( - 7,8 ) = ?

Il y a trois signes -, le produit est donc négatif.

Il ne reste plus qu'à calculer le produit des valeurs absolues.

( - 3,7 ) x ( - 4,5 ) x ( - 7,8 ) = - 129,87

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LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n° 3 9

Maintenant à vous !

Exercice 1 Sans calculer les produits suivants, indiquez le signe de chacun d'eux après avoir compté

le nombre de signes -

PRODUITS Nombre de

signes -

Ce nombre est-il pair ou impair ?

Signe du

produit + ou -

Exemple : ( + 2,5 ) x ( - 5 ) x ( + 3,2 ) x ( - 12,6 ) 2 pair +

( - 3 ) x ( + 7,4 ) x ( + 4,3 ) x ( - 7 ) x ( + 4 ) x ( - 2,5 )

( + 7,8 ) x ( + 19 ) x ( - 7,3 ) x ( - 7,2 ) x ( - 5,3 ) x ( - 17,3 )

( + 5,2 ) x ( - 6,2 ) x ( + 72 ) x ( + 3,1 ) x ( - 32 ) x ( + 23 ) x ( + 5,1 )

( + 5 ) x ( + 2,4 ) x ( - 3,3 ) x ( - 53 ) x ( - 3 ) x ( - 12 ) x ( - 0,8 )

( + 3 ) x ( + 5 ) x ( + 7 ) x ( - 8 ) x ( + 10 ) x (+ 5 )

Exercice 2 Trouvez sans opération, le signe qui manque dans les égalités suivantes :

NB Dans l’exemple la bonne réponse est « - » car le produit est positif, il faut donc un nombre pair de signes « - ».

Voir réponses page suivante

ÉGALITÉS Entourez le signe manquant

Exemple : ( - 2,3 ) x ( ? 2,7 ) x ( + 56 ) = + 347,76 ? = + ou -

( + 32 ) x ( - 3 ) x ( - 10 ) x ( ? 2 ) = + 1 920 ? = + ou -

( + 125 ) x ( - 5 ) x ( ? 3,22 ) x ( + 4 ) = + 8 050 ? = + ou -

( - 8 ) x ( - 3,5 ) x ( + 0,7 ) x ( ? 1,7 ) x ( - 4 ) = - 133,28 ? = + ou -

( - 5,5 ) x ( - 2,1 ) x ( ? 0,12 ) x ( - 7 ) = + 9,702 ? = + ou -

( + 9,2 ) x ( - 1,2 ) x ( ? 8,6 ) x ( - 81 ) = - 7 690,46 ? = + ou -

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LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n° 3 10

RÉPONSES Exercice 1

PRODUITS Nombre de

signes -

Ce nombre est-il pair ou impair ?

Signe du

produit

+ ou -

( - 3 ) x ( + 7,4 ) x ( + 4,3 ) x ( - 7 ) x ( + 4 ) x ( - 2,5 ) 3 impair -

( + 7,8 ) x ( + 19 ) x ( - 7,3 ) x ( - 7,2 ) x ( - 5,3 ) x ( - 17,3 ) 4 pair +

( + 5,2 ) x ( - 6,2 ) x ( + 72 ) x ( + 3,1 ) x ( - 32 ) x ( + 23 ) x ( + 5,1 ) 2 pair +

( + 5 ) x ( + 2,4 ) x ( - 3,3 ) x ( - 53 ) x ( - 3 ) x ( - 12 ) x ( - 0,8 ) 5 impair -

( + 3 ) x ( + 5 ) x ( + 7 ) x ( - 8 ) x ( + 10 ) x (+ 5 ) 1 impair -

Exercice 2

ÉGALITÉS Entourez le signe manquant

( + 32 ) x ( - 3 ) x ( - 10 ) x ( ? 2 ) = + 1 920 ? = + ou -

( + 125 ) x ( - 5 ) x ( ? 3,22 ) x ( + 4 ) = + 8 050 ? = + ou -

( - 8 ) x ( - 3,5 ) x ( + 0,7 ) x ( ? 1,7 ) x ( - 4 ) = - 133,28 ? = + ou -

( - 5,5 ) x ( - 2,1 ) x ( ? 0,12 ) x ( - 7 ) = + 9,702 ? = + ou -

( + 9,2 ) x ( - 1,2 ) x ( ? 8,6 ) x ( - 81 ) = - 7 690,46 ? = + ou -

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LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n° 3 11

Maintenant à vous !

Calculez les produits suivants :

( - 3 ) x ( - 2 ) x ( + 10 ) =

( + 8 ) x ( - 5 ) x ( + 2,4 ) =

( + 3,1) x ( - 5,2 ) x ( - 10 ) =

( - 4 ) x ( - 2,1 ) x ( - 3,5 ) =

( + 2 ) x ( + 3,2 ) x ( - 4 ) =

( + 7 ) x ( - 5 ) x ( - 11 ) =

( - 7 ) x ( + 0,2 ) x 0 =

( - 7,2 ) x ( + 4,9 ) x ( - 3,2 ) =

( + 14,3 ) x ( - 15 ) x ( + 3 ) =

( + 3,5 ) x ( - 1,2 ) x ( + 5,2 ) =

( - 2,9 ) x ( + 5 ) x ( - 3,1 ) x ( + 5 ) =

( + 10,4 ) x ( + 3 ) x ( - 7 ) x ( - 3 ) =

( - 7,6 ) x ( - 4 ) x ( - 3 ) =

( + 2,25 ) x ( + 13 ) x ( + 7,5 ) x ( - 13 ) =

( + 4 ) x ( - 3 ) x ( - 11,5 ) x 0 x ( - 5,8 ) =

Voir réponses page suivante

Conseil : vous pouvez relire la page 8

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LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n° 3 12

RÉPONSES

( - 3 ) x ( - 2 ) x ( + 10 ) = + 60

( + 8 ) x ( - 5 ) x ( + 2,4 ) = - 96

( + 3,1 ) x ( - 5,2 ) x ( - 10 ) = + 161,2

( - 4 ) x ( - 2,1 ) x ( - 3,5 ) = - 29,4

( + 2 ) x ( + 3,2 ) x ( - 4 ) = - 25,6

( + 7 ) x ( - 5 ) x ( - 11 ) = + 385

( - 7 ) x ( + 0,2 ) x 0 = 0

( - 7,2 ) x ( + 4,9 ) x ( - 3,2 ) = + 112,896

( + 14,3 ) x ( - 15 ) x ( + 3 ) = - 643,5

( + 3,5 ) x ( - 1,2 ) x ( + 5,2 ) = - 21,84

( - 2,9 ) x ( + 5 ) x ( - 3,1 ) x ( + 5 ) = + 224,75

( + 10,4 ) x ( + 3 ) x ( - 7 ) x ( - 3 ) = + 655,2

( - 7,6 ) x ( - 4 ) x ( - 3 ) = - 91,2

( + 2,25 ) x ( + 13 ) x ( + 7,5 ) x ( - 13 ) = - 2 851,875

( + 4 ) x ( - 3 ) x ( - 11,5 ) x 0 x ( - 5,8 ) = 0

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LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n° 3 13

DIVISION DE NOMBRES RELATIFS

Maintenant, qu’en est-il de la division de deux nombres relatifs ?

DIVISION DE DEUX NOMBRES RELATIFS

- 5,4 Exemple : ( - 5,4 ) ÷ ( - 4 ) = ? on peut aussi écrire :

- 4 = ?

Pour diviser deux nombres relatifs, nous devons diviser les valeurs absolues.

5,4 ÷ 4 = 1,35

puis appliquer la même règle des signes que pour la multiplication.

Ici le résultat de la division est positif car les signes sont les mêmes.

- 5,4 ( - 5,4 ) ÷ ( - 4 ) = + 1,35 ou :

- 4 = + 1,35

- 14 Autre exemple :

+ 5 = ?

Divisons les valeurs absolues

14 ÷ 5 = 2,8

Appliquons la règle des signes :

les deux nombres relatifs sont de signes contraires, le résultat est donc négatif.

- 14

+ 5 = - 2,8

Chapitre 2

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LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n° 3 14

Maintenant à vous !

Calculez les quotients suivants : RAPPEL : le résultat d’une division s’appelle le QUOTIENT

( - 7 ) ÷ ( + 8 ) =

( + 14 ) ÷ ( - 3,5 ) = ( - 14 )

( - 5 ) =

( + 7 ) ÷ ( + 4 ) = ( + 13,188 )

( - 2,8 ) =

( - 31,6 )

( - 0,4 ) =

( + 1 472 ) ÷ ( - 0,4 ) =

( + 48,96 ) ÷ ( - 0,9 ) = ( - 3 )

( + 8 ) =

( - 75 )

( + 5 ) =

( + 36 )

( - 9 ) =

( + 1 ) ÷ ( + 0,5 ) =

Voir réponses page suivante

+-

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LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n° 3 15

RÉPONSES

( - 7 ) ÷ ( + 8 ) = - 0,875

( + 14 ) ÷ ( - 3,5 ) = - 4

( - 14 )

( - 5 ) = + 2,8

( + 7 ) ÷ ( + 4 ) = + 1,75

( + 13,188 )

( - 2,8 ) = - 4,71

( - 31,6 )

( - 0,4 ) = + 79

( + 1 472 ) ÷ ( - 0,4 ) = - 3 680

( + 48,96 ) ÷ ( - 0,9 ) = - 54,4

( - 3 )

( + 8 ) = - 0,375

( - 75 )

( + 5 ) = - 15

( + 36 )

( - 9 ) = - 4

( + 1 ) ÷ ( + 0,5 ) = + 2

+-

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LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n° 3 16

EXERCICES DE SYNTHÈSE

Calculez : a ) ( - 4,7 ) x ( + 12,8 ) x ( - 0,75 ) = ? b ) ( + 1,6 ) x ( - 3,2 ) ÷ ( - 2,5 ) = ?

( - 15,4 ) x ( - 2 ) c )

( + 0,8 ) x ( + 2,5 ) = ?

d ) ( + 7,5 ) x ( + 1,5 ) x ( - 5,2 ) ÷ ( + 9,36 ) = ? e ) ( - 3 ) x ( + 8 ) x ( - 2 ) x ( - 7 ) x ( + 1,05 ) = ?

( + 30,1 ) x ( + 1,5 ) f )

( - 5 ) x ( + 3,01 ) = ?

Voir réponses page suivante

Chapitre 3

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LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n° 3 17

RÉPONSES a) ( - 4,7 ) x ( + 12,8 ) x ( - 0,75 ) = + 45,12 b) ( + 1,6 ) x ( - 3,2 ) ÷ ( - 2,5 ) = + 2,048

( - 15,4 ) x ( - 2 ) + 30,8 c)

( + 0,8 ) x ( + 2,5 ) =

+ 2 = + 15,4

d) ( + 7,5 ) x ( + 1,5 ) x ( - 5,2 ) ÷ ( + 9,36 ) = - 6,25 e) ( - 3 ) x ( + 8 ) x ( - 2 ) x ( - 7 ) x ( + 1,05 ) = - 352,8

( + 30,1 ) x ( + 1,5 ) + 45,15 f)

( - 5 ) x ( + 3,01 ) =

- 15,05 = - 3

Fin