Les Nombres Premiers

Yves Aubry

Cours de I 55 – L3 Info

Université du Sud Toulon-Var

Septembre 2008

Qu’est-ce qu’un nombre premier ?

C‘est un entier naturel (élément de

N={0,1,2,3,…})

qui vérifie une propriété de divisibilité.

Notion de divisibilité à introduire…

Domaine de la Théorie des Nombres

C’est la reine des Mathématiques

A la fois très ancienne et très actuelle

Médaille Fields

De nombreuses « médailles Fields » en théorie des nombres ; par exemple :

- Jean-Pierre Serre (1954)- Alan Baker (1970)- Laurent Lafforgue (2002)- Prix spécial à Andrew Wiles (1998)

Divisibilité

a divise b s’il existe un entier c tel que :

b=ac

Exemples

2 divise 6 car 6=2 x 3

3 ne divise pas 10 car le reste dans la division euclidienne de 10 par 3 n’est pas nul.

Remarques

Tout entier est divisible par 1.

En effet, pour tout entier n, on a:

n=1 x n

Tout entier est divisible par lui-même.

En effet, pour tout entier n, on a :

n=n x 1

Définition

Un nombre premier est un entier naturel qui est divisible par exactement deux entiers

naturels : 1 et lui-même.

Exemples

1 n’est pas premier. 2 est premier (c’est le seul entier pair qui soit

premier). 3 est premier. 4 n’est pas premier (4=2x2). 5 est premier.

Théorème Fondamental de l’Arithmétique

Tout entier non nul peut s’écrire (de manière unique à l’ordre des facteurs près) comme

produit de nombres premiers.

Exemples

6 = 2 x 3 5 500 = 2^2 x 5^3 x 11 1 260 = ?

1 260 = 2 x 630 = 2^2 x 315 = 2^2 x 3 x 105

= 2^2 x 3^2 x 35 = 2^2 x 3^2 x 5 x 7. 2^(2^5) +1 = 2 284 842 197 = ?

Démonstration

Supposons qu’il existe un entier qui ne s’écrive pas comme produit de nbres premiers.

Soit N le plus petit tel entier.Puisque N n’est pas premier, il s’écrit

N=nm avec 1<m,n<N.Par définition de N, les entiers m et n sont des

produits de premiers ; et donc N(=nm) aussi : contradiction.

Combien y a-t-il de nombres premiers ?

Théorème

Il existe une infinité de nombres premiers.

Démonstration d’Euclide

Mathématicien grec du IIIe siècle (AV. JC)

Démonstration (Euclide)

Supposons que la liste p_1=2, p_2=3,…, p_r, des nombres premiers soit finie. Considérons alors l’entier

P=p_1p_2…p_r +1Soit p un nombre premier divisant P. Il ne peut être égal à l’un des p_i car sinon il diviserait la

différence P-p_1p_2…p_r=1, ce qui est impossible. Donc, p est un nombre premier n’appartenant pas à la

liste.

Exercice

Démontrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n+1.

Indications Commencer par démontrer que si –1 est un carré modulo un

premier impair p alors p =1 (mod 4) (la réciproque est même vraie).

Considérer un entier n >1 et p un diviseur premier de N=(n!)^2 +1. Montrer que p>n et que p=1 mod 4.

Reconnaître les nombres premiers

Comment reconnaître qu’un entier N est premier ?

1ère méthode : on tente de le diviser par les entiers 2,3,4… jusqu’à la partie entière de

√N (le plus grand entier inférieur ou égal à √N).

Si aucun de ces entiers ne divise N alors il est premier.

Exemple

37 est-il premier ?

Notons que E(√37)=6.On regarde si 37 est divisible par les entiers

2,3,4,5 et 6. Ce n’est pas le cas : on en conclut que 37 est

premier !

Liste des premiers nombres premiers ?

On peut faire la liste des premiers nombres premiers en procédant au crible

d’Eratosthène.

Eratosthène

Mathématicien, astronome et philosophe grec de l'école d'Alexandrie (vers 290 AV. J.-C.)

La méthode du crible

- On écrit tous les entiers jusqu’à N.- On raye tous les multiples de 2 supérieurs à 2.- A chaque étape, on raye tous les multiples du plus

petit entier p qui n’a pas été encore rayé, et qui sont supérieurs à p.

- On le fait pour les p tels que p^2<N.- Ceux qui ne sont pas rayés sont tous les premiers

<=N.

Crible d’Eratosthène pour N=101

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

101

Crible d’Eratosthène : multiples de 2

2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100

101

Crible d’Eratosthène : multiples de 3

2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100

101

Crible d’Eratosthène : multiples de 5

2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100

101

Crible d’Eratosthène : multiples de 7

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

101

Nombres premiers jusqu’à 101

2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100

101

Critères de primalité

A-t’on des caractérisations des nombres premiers ?

Autrement dit, p est premier si et seulement si une formule est vérifiée ?

Petit théorème de Fermat

(Pierre de Fermat (1607-1665))

Si p est premier alors pour tout entier a on

a que

p divise a^p –a.

Congruences

On dit que a est congru à b modulo n :

a=b mod n

si

n divise a-b.

Nouvelle Formulation du petit théorème de Fermat

Si p est premier alors a^p=a mod p

pour tout entier a.

En particulier, si p (premier) ne divise pas a alors :

a^{p-1}=1 mod p

Démonstration du petit théorème de Fermat

Si a=1 alors 1^p=1 mod p Hypothèse de récurrence : on suppose que

pour un certain a>=1, on a : a^p=a mod p.On a : (a+1)^p=a^p+1=a+1 mod p car les coefficients binomiaux C_p^k pour

1<=k<=p-1 sont divisibles par p (exercice!).Donc, le résultat est vrai pour tout entier a.

Condition nécessaire

On a 2^8=4 mod 9 donc 2^8 not= 1 mod 9 donc 9 n’est pas premier.

La condition est-elle suffisante ?

Autrement dit, la réciproque du théorème de Fermat est-elle vraie ?

Autrement dit, est-ce une caractérisation des nombres premiers ?

Nombres de Carmichael

Il existe des entiers n qui ne sont pas premier et qui vérifient pourtant que a^{n-1}=1 mod n pour tout entier 1<a<n premier avec n.

Par exemple : 561=3.11.17 Ils sont appelés nombres de Carmichael. Il en existe une infinité (Alford-Granville-

Pomerance (1992)).

Exercice

Démontrer le théorème de Wilson qui affirme que si p est premier alors

(p-1)!= -1 mod p.

La réciproque est-elle vraie ?

Tests de Primalité

Il existe de nombreux tests de primalité (Miller-Rabin, Solovay-Strassen…) basés sur

des propriétés arithmétiques des entiers.

Notion de nombres « probablement premiers ».

Primalité pour des nombres particuliers :Nombres de Fermat I

Considérons les nombres de la forme :

2^m+1

Lemme : Si 2^m+1 est premier alors m est une puissance de 2.

Dém : Si m admet un facteur impair r : m=r.2^t, alors

2^m+1=(2^{2^t})^r-(-1)^r est factorisable.

Primalité pour des nombres particuliers :Nombres de Fermat II

On considère les nombres :

F_n=2^{2^n}+1

appelés nombres de Fermat.

F_0=3, F_1=5, F_2=17, F_3=257, F_4=65 537

Ils sont tous les cinq premiers !

Primalité pour des nombres particuliers :Nombres de Fermat III

- Fermat a conjecturé que tous les F_n étaient premiers.

- Euler a montré que F_5= 641x 6 700 417- On ne connaît pas d’autre nombre de Fermat qui

soit premier en dehors des cinq premiers !- Ceux dont on connaît la factorisation complète :

F_5, F_6, F_7, F_8, F_9 et F_11.- On ne sait pas si F_22 est premier ou non.

Primalité pour des nombres particuliers :Nombres de Fermat IV

Problème ouvert : existe-t-il une infinité de nombres de Fermat premiers ?

Intérêt : Polygones réguliers

Théorème (Gauss) : Si n est un entier >2, le polygone régulier à n côtés peut être construit à la règle et au compas seulement si n=2^k p_1…p_h

où k>=0, h>=0 et les p_i sont des nombres de Fermat premiers et distincts.

Primalité pour des nombres particuliers :Nombres de Mersenne I

On considère les nombres de la forme

a^m-1

Primalité pour des nombres particuliers :Nombres de Mersenne II

Lemme : Si a^m-1 est premier alors a=2.

Dém : a^m-1=(a-1)(a^{m-1}+…+1)

donc si cet entier est premier alors nécessairement a-1=1, c’est-à-dire a=2.

Primalité pour des nombres particuliers :Nombres de Mersenne III

Lemme : Si 2^m –1est premier alors m est premier.

Dém : si m=pq alors 2^m-1=(2^p)^q-1^q

qui se factorise.

Primalité pour des nombres particuliers :Nombres de Mersenne IV

Marin Mersenne (1588-1648)

Définition : Les nombres M_p=2^p-1 avec p premier sont appelés nombres de Mersenne.

Record !!

- Le plus grand nombre de Mersenne premier connu est M_24036583 :

224 036 583 - 1- C’est un nombre à 7 235 733 chiffres.- C’est le 41-ème nombre de Mersenne premier

trouvé.- Il a été trouvé le 15 mai 2004.- C’est le plus grand nombre premier connu.

Conjecture des nombres premiers jumeaux

Des nombres premiers jumeaux sont des couples de nombres premiers dont la différence vaut 2 (par exemple 11 et 13).

Conjecture : il existe une infinité de nombres premiers jumeaux.

Problème ouvert…

Record !!

Le plus grand couple de premiers jumeaux est :

33218925 · 2169690 +-1

Ils possèdent 51 090 chiffres !

(Brillhart-Lehmer-Selfridge, 2000)

Conjecture de Goldbach

Christian Goldbach (1690-1764)

Mathématicien prussien

4=2+2, 6=3+3, 8=3+5,…

Conjecture de Goldbach

Dans une lettre à Euler en 1742, Goldbach conjecture que :

(G) tout entier n>=5 est la somme de trois nombres premiers.

Euler lui répond qu’il est facile de voir que l’assertion est équivalente à :

(G’) tout entier pair 2n>=4 est la somme de deux nombres premiers.

Exercice

Montrer l’équivalence

des assertions (G) et (G’).

Toujours non démontré…

Factorisation

Difficulté ?

La factorisation de grands entiers est

un problème difficile.

Un vieil exemple

F_5=2^(2^5) +1 = 2 284 842 197 = ?Tester sa primalité avec des tables : suppose que l’on

dispose d’une table de nombres premiers jusqu’à 100 000 (pas le cas de Fermat).

Des années après Fermat, Euler a montré:

2^(2^5) +1 = 641 x 6 700 417

Un calcul

Divisions successives jusqu’à racine de n. D’après Tchebycheff, si pi(x) désigne le

nombre de nombres premiers inférieurs à x (cf plus loin), on a, pour  x>=11 :

pi(x)>(x/ln x)ln(2^(1/2)3^(1/3)5^(1/5)/30^(1/30))

Un calcul (suite)

Donc la méthode d'Ératosthène, pour factoriser un nombre de 100 chiffres qui serait le produit de deux nombres premiers de 50 chiffres, nécessiterait plus de

10^(50)/ln 10^(50) x 0,92 divisions.

A raison de mille divisions par nanoseconde sur un super-ordinateur, il faudrait donc la bagatelle de

2 x 10^(28) années…

ce qui est plus que l'âge de l'univers !!…

Rivest-Shamir-Adleman

R.S.A.

Le cryptosystème à clef publique R.S.A. (Rivest-Shamir-Adleman), proposé en 1976, est basé sur cette difficulté.

Un entier, connu de tous, est utilisé pour crypter un message.

Mais seuls ceux qui connaissent la factorisation de cet entier peuvent déchiffrer les messages.

C’est la cryptographie à clef publique

Utilisations de la cryptographie

Codes secrets des cartes bancaires Transactions financières (transferts de fonds,

paiements électroniques,…) Télévision à péage …

Comment se répartissent les nombres premiers ?

Nombres premiers inférieurs à 101

2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100

101

Il y en a 26.

Théorème des nombres premiers

Si l’on note pi(x) le nombre de premiers <=x, on a :

pi(x) équivalent à x/log x

i.e. lim (x : infini) pi(x)/(x/log x) =1

Hadamard et De La Vallée Poussin, 1896

Une meilleure approximation

Une meilleure approximation de pi(x) que x/log x est donnée par la fonction intégrale logarithmique :

Li(x)=int_2 ^x dt/log t

Résultat conjectural

Sous l’Hypothèse de Riemann (qui dit qu’une certaine fonction (la fonction zêta de Riemann introduite en 1859) n’a des zéros non triviaux que sur une certaine droite (la droite Re(s)=1/2)), on a :

pi(x) = Li(x)+O(sqrt{x} log x)

(pi(x)-Li(x) est une fonction dominée par sqrt{x}log x, i.e. qu’il existe une fonction u

bornée au voisinage de l’infini telle que pi(x) – Li(x) = u(x)sqrt{x}log x

au voisinage de l’infini )Bernhard Riemann

Postulat de Bertrand

Entre tout entier n>1 et 2n,

il y a toujours un nombre premier.

Autrement dit : pi(2n)-pi(n)>=1 pour n>=2.

(démontré par Tschebycheff en 1852)

Deux corollaires au théorème des nombres premiers

Le n-ième nombre premier

Si p_n désigne le n-ième nombre premier, le théorème des nombres premiers donne :

p_n équivalent à n log n

Probabilité de tirer un premier

Soit n un entier. Puisque n/log n des n entiers inférieurs à n sont premiers (théorème des nombres premiers), la probabilité que l’un d’entre eux soit premier est donc :

1/log n

Par exemple : un nombre de 100 chiffres a une chance sur log 10^100 =230 d’être premier.

Une formule pour pi(n)

(Willians, 1964) : Posons : F(j)=[cos^2 pi ((j-1)!+1)/j] Par Wilson, pour j>1, F(j)=1 si j est premier

et 0 sinon (F(1)=1). D’où : pi(n)=-1 + sum_{j=1}^n F(j)

Espacements entre nombres premiers consécutifs

Que peut-on dire de la différence d_n=p_n+1 –p_n entre deux nombres premiers consécutifs ?

d_n peut être arbitrairement grand : en effet, pour tout N>1, il existe une succession d’au moins N entiers consécutifs non premiers ;

par exemple : (N+1)!+2, (N+1)!+3,…, (N+1)!+(N+1)

Nombres premiers en progression arithmétique

Dirichlet a démontré en 1837 qu’il y en a une infinité

(théorème dit de la progression arithmétique)

Plus précisément :

Théorème de Dirichlet

Si d>=2 et a not=0 sont premiers entre eux alors la progression arithmétique

a, a+d, a+2d, a+3d,…

contient une infinité de nombres premiers.

Curiosité : un polynôme ayant une longue

série de valeurs premières

Le polynôme d’Euler

Le polynôme

X^2 + X + 41

prend des valeurs premières pour les 40 valeurs

0, 1, 2, …, 39.

(pour 40, la valeur est 41^2)Leonhard Euler 1707-1783

Sujet inépuisable…

Fin

Annexes : solutions des exercices

Annexe : p divise C_p^k

Soit 1<=k<=p-1. On a :

p!=C_p^k k! (p-k)!

Puisque C_p^k est un entier et que p divise p!, on en déduit que :

p divise C_p^k k! (p-k)!

Or, p est premier avec k! (p-k)! (car 1<=k<=p-1) ; d’après le théorème de Gauss, on en déduit donc que p divise C_p^k.

Annexe : Théorème de Wilson

Soit p premier. Il s’agit de démontrer que

(p-1) ! = -1 mod p.

D’après le petit Th. de Fermat, 1, 2, …, p-1 sont racines de X^{p-1} –1 mod p.

Ce polynôme ne peut avoir plus de racines modulo p (p premier !) que son degré.

Donc X^{p-1} –1 = (X-1)(X-2)…(X-(p-1)) mod p.

En comparant les termes constants, on obtient :

-1 = (-1)^{p-1} (p-1)! mod p

= (p-1)! mod p (car ou bien p=2 ou bien p impair).

Annexe : réciproque Wilson

Par contraposée.

Si N>1 est non premier alors

N=nm avec 1<n,m<N-1.

Donc m divise N et aussi (N-1)! (car (N-1)!=1.2….(N-1) et m<N-1).

Donc (N-1)!not= -1 mod N

car sinon il existerait un entier k tel que

(N-1)! + k N = -1

et m diviserait (N-1)! + k N = -1.

Annexe : réciproque Wilson bis

Une autre façon de démontrer la réciproquedu Th. De Wilson consiste à remarquer que si (n-1)!= -1 mod n alors –1.(n-1)!=1 mod n, que l’on peut aussi écrire :

(-1)(1)(2)…(n-1) = 1 mod n.Cela montre que tout élément non nul est inversible

modulo n (donc Z/nZ est un corps) et donc que n est premier.

Annexe : équivalence Goldbach

(G) Tout entier n>=5 est la somme de trois nombres premiers.(G’) Tout entier pair 2n>=4 est la somme de deux nombres

premiers.

(G’) implique (G) : 2n-2=p+p’où p et p’ sont premiers. Ainsi 2n=2+p+p’ et 2n+1=3+p+p’, ce qui démontre (G).

(G) implique (G’) : si 2n>=4 alors 2n+2=p+p’+p’’ où p,p’,p’’ sont premiers. Un de ces premiers est alors nécessairement pair, par exemple : p’’=2 ; donc 2n=p+p’, d’où (G’).

Annexe : les carrés modulo p premier impair

Proposition : Un élément x est un carré modulo un premier p impair ssi x^{(p-1)/2}=1.

Dém : Il y a au plus (p-1)/2 éléments vérifiant cette égalité car ce sont les racines d’un polynôme de degré (p-1)/2 dans un corps.

D’autre part, si x est un carré alors il vérifie cette équation car : si x=a^2 mod p alors x^{(p-1)/2}=a^{p-1}=1 mod p (par Petit Fermat). De plus, il y a (p-1)/2 carrés non nuls modulo p (car x donne x^2, pour x non nul modulo p, a pour noyau {1,-1}).

Annexe :-1 carré modulo p

Proposition : –1 est un carré modulo p premier impairssi

p=1 mod 4.

Dém : -1 est un carré modulo p ssi(-1)^{(p-1)/2}=1 mod p (propostion précédente)ssi (p-1)/2 est pairssi p = 1 mod 4.

Annexe : Premiers p=1 mod 4

Proposition : Il existe une infinité de premiers de la forme 4m+1.

Dém : Soit n un entier>1 et p un diviseur premier de N=(n!)^2+1. Si p<=n alors p divise n! donc p divise 1=N-(n!)^2 : absurde.

Donc, p>n. On a : -1=(n!)^2 mod p donc –1 est un carré modulo p, donc

p=1 mod 4 par la proposition précédente. Conclusion : pour n aussi grand que l’on veut, on peut trouver

un premier p plus grand que n et de la forme 4m+1. CQFD.

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 1009

Annexe :

Liste des nombres premiers inférieurs à 1010