LES NOMBRES ET LE CALCUL NUMERiQUEADDiTiON ET SOUSTRACTiON

Comment manipuler les nombres ?Comment tenir compte des parenthèses ?

Comment effectuer les opérations ?

?...1…-13…( )…+…-……-(-2)…-(5-7)…-2+6…?

COURS … COURS … COURS …

1.UN PEU DE VOCABULAiRE

Les catégories de nombres

0

25

102,37

1,5 = 3,1415…- 0,25

- 13- 3

- 215

- 37

510

les nombres entiers naturels :

les entiers relatifs :

les fractions :

les nombres décimaux :

0… …2… …5… … …10

- 13… …- 3 … …- 2… …0… …2… …5… … …10

- 37 ……

15 ……

510

- 0,25 ……1,5 ……2,37

- 13- 3

Les opérations

addition+

somme

-différence produit

quotient :

___ soustraction

multiplication division

quotient: ou ou ___

division

produitou . ou rienmultiplication

différence–soustraction

somme+addition

RésultatsSymbolesOpérations

.

.

Pourquoi des nombres négatifs ?

- 3 degré en dessous de zéro …… + 15 degré ……le thermomètre :

l’altitude : - 15 m sous le niveau de la mer …… + 4709 m le Mont Blanc

les étages : - 2ème sous-sol ……0 rez-de-chaussée …… + 5ème étage

le compte en banque : en + le crédit comme la paye

en – les débits comme le loyer etc…

Opposé d’un nombre

- 5+ 7 ou 7- 3

+ 5- 73

son opposé

un nombre

additionner+

n u nombrepositif ( + ) revient à

additionner +

additionner +

un nombre négatif ( - ) revient à

soustraire -

- un nombre positif

( + ) revient à soustraire

-soustraire

- un nombre négatif

( - ) revient à additionner

+ soustraire

un signe opératoire + ou -

On est dans la situation

et un nombre positif + ou négatif - entre parenthèses

2. LA REGLE DES SiGNES

Problème : comment supprimer la parenthèse et trouver le bon signe ?

+ ( - 13 )

Autre moyen de retenir :

si les 2 signes sont les mêmes alors résultat +alors résultat -si les 2 signes sont différents

Applications :

+( +5) =

+5 ou 5 +( -2) = - 2 -( +8) = - 8 +7 ou 7 -( -7) =

+ ( + ) ou – ( - )+ ( - ) ou – ( +)

on est dans la situation:

un signe + ou - un nombre un nombre

+ 5 - 13

il n’y a ni ( ), ni , ni

un signe + ou -

3. LA RÈGLE DU THERMOMÈTRE

il faitla temp. diminue de 4°

il fera

+ 3 - 4 = 1

-1 -2

+2 +3

+1 0°

-3

+4

-4

• Les 2 signes sont les mêmes: + et +

pas de problème : + 2 + 3 = + 5

• Les 2 signes sont opposés : + et –

REGLE c’est le devant le 4 qui l’emporte puis il faut soustraire les 2 valeurs 4 - 3 = 1

• Les 2 signes sont opposés : – et +

0°-1-2

+2+3

+1

-3

+4

-4

+1=+3-2

il fera

la temp.augmente de 3°

il fait

c’est le + devant le 3 qui l’emporte

puis il faut soustraire 3 - 2 = 1

ou simplement en commutant – 2 + 3 = + 3 - 2 = + 1

REGLE

• Les 2 signes sont les mêmes : – et –

-1-2

+2+3

+10°

-3

+4

-4

3=-2-1

il ferala temp.diminue de 2°

il fait

le signe est conservé

puis il faut additionner les 2 valeurs 1+2 = 3

REGLE

on est dans la situation + ( 5 - 3 )

4. COMMENT SUPPRIMER DES PARENTHESES ?

2

Problème : comment supprimer les parenthèses ?

d’où la règle à retenir :

en fait il faut supprimer les parenthèsesà condition de changer les signes

5 - ( 3 - 1) = 5 - 3 + 1 = 3

2ème solution : suppression de la parenthèsec’est comme soustrairechaque élément du paquet

5 - 3 - ( - 1 )

puis après application de la règle des signes

5 - 3 + 1 = 3

soustraire un paquet

5 - ( 3 - 1)

1ère solution :priorité à la parenthèse

5 - 2 = 3

d’où la règle à retenir :

en fait il suffit desupprimer les parenthèses

2 + ( 5 - 3 ) = 2 + 5 – 3 = 4

2ème solution : suppression de la parenthèsec’est comme additionnerchaque élément du "paquet« 

2 + 5 + ( - 3 )

puis après application de la règle des signes

2 + 5 - 3 = 4

additionner un « paquet »   2 + ( 5 - 3 )

1ère solution :priorité à la parenthèse

2 + 2 = 4

pour additionner une somme entre parenthèses ( c’est-à-dire si la ( ) est précédée d’un + ) il suffit de supprimer les parenthèses pour soustraire une somme entre parenthèses ( c’est-à-dire si la ( ) est précédée d’un signe - ) il faut supprimer les parenthèses à condition de changer les signes

ex + ( + … - … ) + … - …

ex - ( - … + … ) + … - …

Pourquoi supprimer les parenthèses ?

dans une situation comme la suivante : 5 – ( x – 5 ) pour poursuivre les calculs il faut d’abord supprimer les parenthèses

REGLE

Applications :

5 + ( - 3 - 1 ) = = 1

9 - ( - 5 - 3 ) = = 17

5 - 3 – 1 9 + 5 + 3

5. COMMENT EFFECTUER UNE SOMME ALGEBRiQUE ?

On est dans la situation :

- 5 + ( + 3 ) – ( - 4 ) – ( + 7 ) + ( 2 – 4 ) – ( 1 – 3 )

une suite d’additions et de soustractions avec des nombres + ou – et des ensembles entre parenthèses

Supprimer les ( ) en appliquant la règle des signes

- 5 + ( + 3 ) – ( - 4 ) – ( + 7 ) + ( 2 – 4 ) – ( 1 – 3 )

= - 5 + 3 + 4 – 7 + ( 2 – 4 ) – ( 1 – 3 )

Si c’est demandé, supprimer les ( )contenant des ensembles

= - 5 + 3 + 4 – 7 + 2 – 4 – 1 + 3

Additionner tous les nombres + entre eux et tous les – entre eux

Effectuer le denier calcul en appliquant la règle du thermomètre

= + 3 + 4 + 2 + 3 - 5 – 7 – 4 – 1 = +12 - 17

= - 5

+12 - 17le – du 17 l’emporte la différence des valeurs donne 5

ou

Effectuer les calculs de proche en proche en appliquant la règle du thermomètre

- 5 + 3 + 4 – 7 + 2 – 4 – 1 + 3= - 2 – 3 – 2 + 2

= - 5

EXERCICES … EXERCICES … EXERCICES …

Exercice 1 :

Effectuer les calculs suivants en supprimant d’abord les parenthèses

S1 = 4 - ( - 2 ) + ( - 1 ) - ( - 5 )S2 = 2 - ( - 8 + 2 ) - ( 3 + 1 )S3 = 24 - ( - 10 ) - ( - 3 + 12 )S4 = 12 + ( - 8 – 2 ) - ( - 2,5 + 1,2 – 3 )S5 = - 4 - ( - 6 – 2 ) + ( - 5 ) - ( - 4 + 25 – 6 ) - 8 - ( - 4 ) + ( - 2 )

Exercice 2 :

S1 = 3 - ( - 1 ) + ( - 2 ) - 5S2 = 3 - ( - 5 + 1 ) - ( 3 - 2 )S3 = 30 - ( + 10 ) - ( - 4 + 10 )S4 = 21 + ( - 6 – 1 ) - ( - 5,2 + 2,1 – 3 )S5 = - 6 - ( + 4 – 2 ) - ( - 7 ) - ( - 2 - 18 + 6 ) - 10 - ( - 2 ) - ( + 6 )

Effectuer les calculs suivants en supprimant d’abord les parenthèses

Les réponses : S1 = - 3 S2 = 6 S3 = 14 S4 = 20,1 S5 = -1

Les réponses : S1 = 10 S2 = 4 S3 = 25 S4 = 6,3 S5 = -22

Correction exercice 1 :

S1 = 4 - ( - 2 ) + ( - 1 ) - ( - 5 ) = 4 + 2 – 1 + 5= 11 – 1 = 10

= 2 + 8 – 2 – 3 -1=10 - 6= 4

S3 = 24 - ( - 10 ) - ( - 3 + 12 ) = 24 + 10 + 3 - 12= 37 - 12

= 25

S4 = 12 + ( - 8 – 2 ) - ( - 2,5 + 1,2 – 3 )

S5 = - 4 - ( - 6 – 2 ) + ( - 5 ) - ( - 4 + 25 – 6 ) - 8 - ( - 4 ) + ( - 2 )

= 12 – 8 – 2 + 2,5 – 1,2 + 3= 17,5 – 11,2= 6,3

= - 4 + 6 + 2 – 5 + 4 – 25 + 6 – 8 + 4 - 2= 22 – 44 = - 22

S2 = 2 - ( - 8 + 2 ) - ( 3 + 1 )

Correction exercice 2 :

S1 = 3 - ( - 1 ) + ( - 2 ) - 5 S2 = 3 - ( - 5 + 1 ) - ( 3 - 2 )

S3 = 30 - ( + 10 ) - ( - 4 + 10 ) S4 = 21 + ( - 6 – 1 ) - ( - 5,2 + 2,1 – 3 )

S5 = - 6 - ( + 4 – 2 ) - ( - 7 ) - ( - 2 - 18 + 6 ) - 10 - ( - 2 ) - ( + 6 )

= 3 + 1 – 2 - 5= 4 - 7

= - 3

= 3 + 5 – 1 – 3 + 2= 10 - 4= 6

= 30 – 10 + 4 - 10= 34 - 20= 14

= 21 - 6 - 1 + 5,2 – 2,1 + 3 = 29,2 – 9,1= 20,1

= - 6 – 4 + 2 + 7 + 2 + 18 – 6 – 10 + 2 - 6= 31 - 32

= - 1