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Les mesures

Durée suggérée : 3 semaines

PROGRAMME D’ÉTUDES - MATHÉMATIQUES 6e ANNÉE (VERSION PROVISOIRE)252

LES MESURES

Aperçu du chapitre

Orientation et

contexte

Pourquoi est-ce

important ?

L’objectif principal du présent chapitre consiste à développer chez les élèves une

compréhension des mesures, plus précisément des concepts concrets de la distance

linéaire, de l’aire d’une fi gure à deux dimensions, du volume d’un objet à trois

dimensions et du degré de rotation. De par leur expérience de la vie, les élèves sont

déjà familiarisés avec la notion de mesures, et ils pourront prendre appui sur ces

connaissances pour approfondir leur apprentissage des mesures. La nature de la

matière se prête largement au travail d’équipe et aux activités pratiques, deux méthodes

qui peuvent accroître l’intérêt et la motivation des élèves et ainsi améliorer leur

apprentissage.

Dans le cadre du chapitre, les élèves de 6e année vont:

• approfondir leur connaissance des rotations (quart de tour, demi-tour, trois quarts

de tour, tour complet) et apprendre à classer les angles et à les mesurer en degrés;

• identifi er, classifi er et mesurer des exemples d’angle dans leur environnement;

• estimer la mesure de différents angles en degrés en utilisant les angles de référence;

• mesurer des angles au moyen d’un rapporteur à 180° et 360°;

• tracer des angles de manière précise et approximative, avec et sans rapporteur;

• examiner la relation entre les angles intérieurs des triangles et des quadrilatères;

• défi nir, par des activités exploratoires, des formules permettant de calculer

le périmètre d’un polygone, l’aire d’un rectangle et le volume d’un prisme

rectangulaire droit;

• recourir aux formules défi nies pour résoudre des problèmes faisant intervenir les

concepts du périmètre d’un polygone, de l’aire d’un rectangle et du volume d’un

prisme rectangulaire droit;

• résoudre des problèmes complexes de mesures en les décomposant en problèmes

plus simples.

Mesurer consiste à recourir à des valeurs quantitatives (numériques) pour décrire un attribut précis. Ces attributs mesurables peuvent être tangibles ou intangibles (p. ex. temps, température). Pour que les mesures prennent un sens, il importe de bien comprendre les unités, les relations entre elles et le principe de conversion. La compréhension approfondie des mesures est essentielle à la compréhension de concepts se rapportant à d’autres branches des mathématiques, comme la géométrie euclidienne, les transformations géométriques, l’algèbre et la statistique. Il est également important de s’assurer que les élèves saisissent bien le système métrique et qu’ils savent utiliser les unités de mesure appropriées.

Les mesures sont des liens essentiels entre les mathématiques et les sciences, les arts et d’autres domaines, et elles sont omniprésentes dans les activités quotidiennes. Il faut encourager les élèves à explorer comment les loisirs et les professions qui les intéressent font appel aux mesures. Présenter aux élèves des activités reposant sur des exemples de la vie courante permet d’améliorer leur apprentissage, car ils sont alors plus à même de saisir l’importance et la pertinence des mesures.

PROGRAMME D’ÉTUDES - MATHÉMATIQUES 6e ANNÉE (VERSION PROVISOIRE)

LES MESURES

253

DOMAINE RÉSULTATS D’APPRENTISSAGE

PROCESSUS MATHÉMATIQUES

La forme et l’espace

(La mesure)

6FE1 Démontrer une compréhension des angles en :• identifi ant des exemples d’angles dans l’environnement;• classifi ant des angles selon leur mesure;• estimant la mesure de différents angles en utilisant des angles de 45°, de 90° et de 180° comme angles de référence;• déterminant la mesure des angles en degrés;• dessinant et en étiquetant des angles lorsque leur mesure est donnée.

[C, CE, L, V]


(La mesure)

6FE2 Démontrer que la somme des angles intérieurs d’un :• triangle est égale à 180°;• quadrilatère est égale à 360°.

[C, R]


(La mesure)

6FE3 Développer et appliquer une formule pour déterminer : • le périmètre de polygones; • l’aire de rectangles;• le volume de prismes droits à base rectangulaire.

[C, L, R, RP, V]

Les régularités et les relations (les variables et les équations)

6RR3 Représenter des généralisations provenant de relations numériques à l’aide d’équations ayant des lettres pour variables.

[C, L, R, RP, V]

Processus

mathématiques

Résultats

d’apprentissage

[C] Communication [CE] Calcul mental et estimation

[L] Liens [R] Raisonnement

[RP] Résolution de problèmes

[T] Technologie [V] Visualisation

254 PROGRAMME D’ÉTUDES - MATHÉMATIQUES 6e ANNÉE (VERSION PROVISOIRE)

Résultats d’apprentissage

spécifi ques

LES MESURES

Stratégies d’enseignement et d’apprentissage

L’élève doit pouvoir :

Domaine : La forme et l’espace (la mesure)

6FE1 Démontrer une

compréhension des angles en :

• identifi ant des exemples

d’angles dans l’environnement;

• classifi ant des angles selon leur

mesure;

• estimant la mesure de différents

angles en utilisant des angles de

45°, de 90° et de 180° comme

angles de référence;

• déterminant la mesure des

angles en degrés;

• dessinant et en étiquetant des

angles lorsque leur mesure est

donnée.

[C, CE, L, V]

En 5e année, les élèves ont eu l’occasion d’aborder les angles en utilisant les fractions d’un cercle comme angles de référence. Jusqu’à maintenant, les élèves se sont familiarisés avec les concepts du quart de tour, du demi tour, des trois quarts de tour et du tour complet. En 6e année, les élèves apprendront à mesurer les angles en degrés et à manipuler un rapporteur. Comme point de départ de l’apprentissage, expliquer aux élèves qu’un cercle est formé de 360°.

Il pourrait s’avérer nécessaire de revoir en quoi consiste un angle. L’angle est défi ni comme étant l’amplitude de la rotation entre deux demi-droites issus de même origine (sommet). La mesure de l’angle correspond à la rotation que doit subir une demi-droite pour atteindre l’autre demi-droite. La longueur de la demi-droite n’a aucun effet sur la mesure de l’angle.

Par exemple, si on demande aux élèves lequel des angles ci-dessous est le plus grand, certains répondront peut-être l’angle ABC. En réalité, la mesure des deux angles est la même (l’amplitude de la rotation entre les deux demi-droites est la même dans les deux cas).

6FE1.1 Fournir des exemples

d’angles observés dans

l’environnement.

Pour la première étape de l’exploration des angles, les élèves seront appelés à reconnaître, dans leur environnement, des exemples où deux segments de droites sont issues d’un même point et forment un angle. Parmi les exemples repérés dans la classe, notons les cadres de porte et de fenêtre (angles droits), les carreaux adjacents du plancher (angles droits ou angles plats) et les aiguilles de l’horloge (tous les types d’angle, selon la position des aiguilles).

Pour le moment, les élèves seront appelés à décrire les angles en fonction des référents suivants : quart de tour (angle droit), demi-tour (angle plat) et trois quarts de tour. À titre d’exemple, si un élève voit un angle obtus, il dira que l’angle se situe entre le quart de tour et le demi-tour. Les termes « aigu », « obtus » et « rentrant » ne sont pas encore familiers à tous les élèves à cette étape-ci de l’apprentissage.

Indicateur de rendement :

255PROGRAMME D’ÉTUDES - MATHÉMATIQUES 6e ANNÉE (VERSION PROVISOIRE)

Stratégies d’évaluation Ressources / Notes

LES MESURES

Résultat d’apprentissage général : Résoudre des problèmes à l’aide de

mesures directes et indirectes

Performance

• Demander aux élèves de repérer des angles dans leur environnement tout au long de la journée ou dans le cadre d’un cours. Les élèves doivent consigner le lieu où ils ont observé l’angle et l’objet qui présente l’angle. Demander aux élèves de dessiner l’objet et de mettre l’angle en évidence en lui attribuant une couleur distincte. Les élèves doivent décrire brièvement la mesure de l’angle en utilisant les termes « quart de tour » (angle droit), « demi-tour » (angle plat) et « trois quarts de tour ».

(6FE1.1)

• Demander aux élèves d’attribuer la mention « aigu », « droit », « obtus », « plat » ou « rentrant » à chaque angle consigné dans leur registre.

(6FE1.2)

Compas Mathématique 6

Leçon 1 : Identifi er des angles

6FE1

GE p. 13 – 17

ME p. 244 - 247

Littérature jeunesse : (non inclus)



spécifi ques

LES MESURES




6FE1 Démontrer une





mesure;



45°, de 90° et de 180° comme



angles en degrés;



donnée.

[C, CE, L, V] (suite)


6FE1.2 Classifi er les angles d’un

ensemble donné en se basant sur

leur mesure, ex. : angles aigus,

droits, obtus, plats et rentrants.

Puisque les élèves se sont familiarisés avec le « quart de tour », le « demi-tour » et les « trois quarts de tour », il faut maintenant qu’ils apprennent à nommer les autres angles qui se situent entre ces points de repère.

• Angle droit (quart de tour) : deux demi-droites qui se rejoignent pour former une équerre (coin).

• Angle plat (demi-tour) : deux demi-droites qui se rejoignent pour former un segment de droite.

• Angle aigu : angle dont la mesure est inférieure à un angle droit (quart de tour).

• Angle obtus : angle dont la mesure est supérieure à un angle droit mais inférieure à un angle plat.

• Angle rentrant : angle dont la mesure est supérieure à un angle plat.

Certains élèves déduiront probablement que de l’autre côté d’un angle

aigu ou obtus se trouve un angle rentrant. Il serait pertinent d’aborder la

question avec l’ensemble du groupe. Tout angle formé par deux demi-

droites est associé à un autre angle à l’extérieur des demi-droites (le reste

de la rotation circulaire).



LES MESURES



Journal

• Demander aux élèves de déterminer le type d’angle formé par les aiguilles de l’horloge à différents moments de la journée. Demander aux élèves quel est l’angle formé par les aiguilles de l’horloge dans les images ci-dessous.

À quelle heure les aiguilles formeront-elles de nouveau le même type d’angle?

Note : « Angle rentrant » est également une réponse possible dans le cas des horloges affi chant 8 h 30, 11 h 25 et 3 h 30.

(6FE1.1, 6FE1.2)

Performance

• Demander aux élèves de dessiner un objet familier en utilisant un seul type d’angle, soit aigu ou obtus. Les élèves doivent ensuite comparer les angles ainsi tracés avec un angle droit (au moyen d’un coin de page, d’une règle, etc.) afi n de vérifi er qu’il s’agit bien d’angles aigus ou obtus. (6FE1.2)

• Remettre aux élèves des copies papier de drapeaux de différentes provinces, différents États ou différents pays. Choisir des drapeaux formés de lignes ou de formes variées. Le drapeau de Terre-Neuve-et-Labrador est un bon choix. Les élèves doivent repérer tous les angles que contient le drapeau et déterminer s’il s’agit d’angles aigus, droits, obtus, plats ou rentrants. (6FE1.2)


Leçon 1 (suite) : Identifi er des angles

6FE1

GE p. 13 – 17

ME p. 244 - 247

Lecture supplémentaire

(disponible en anglais) :

Small, Marion (2008) Making

Math Meaningful to Canadian

Students K-8. p. 455-466



spécifi ques

LES MESURES




6FE1 Démontrer une





mesure;



45°, de 90° et de 180° comme



angles en degrés;



donnée.


Aborder la notion du degré. Les élèves savent déjà utiliser les unités de mesure métriques, p.ex. cm, m et mm, pour mesurer des distances linéaires. Le degré est l’unité servant à mesurer la rotation dans un cercle et, subséquemment, à mesurer les angles.

Il est probable que certains élèves confondent les degrés d’un cercle et les degrés Celsius ou Fahrenheit, qui servent à mesurer la température. Il pourrait s’avérer nécessaire de faire la distinction. Même si le mot

« degré » est employé dans les deux contextes, il s’agit d’unités associées à deux choses bien distinctes.

Expliquer aux élèves que la mesure de la rotation dans le cas d’un tour complet dans un cercle sera toujours de 360°, et ce, peu importe la taille

(le diamètre) du cercle. Il est probable que les élèves aient déjà entendu

parler d’un surfeur des neiges, d’un planchiste ou d’un patineur, par

exemple, qui exécute un « 360 », c’est-à-dire qui fait un tour complet

et qui atterrit dans sa position initiale. Il peut s’agir là d’un bon point

de départ pour expliquer le concept. Les élèves ont aussi sûrement déjà

entendu parler d’un athlète qui exécute un « 180 », c’est-à-dire qui

fait un demi-tour et qui atterrit dans la position inverse de sa position

initiale. L’expression « faire un 180 » est utilisée parce que l’athlète fait

faire à son corps une rotation d’un demi-cercle et que 180° correspond à

la moitié de 360°.

Une fois qu’il sera bien établi qu’un tour complet équivaut à 360° et

qu’un demi-tour correspond à 180°, il sera aisé de parler des angles de

référence de 90° et de 45°. Puisqu’un demi-tour équivaut à 180°, un

quart de tour (moitié de 180°) correspond à 90° et un huitième de tour

(moitié de 90°), à 45°.

La notion d’utiliser des angles comme référents peut également être

abordée en invitant les élèves à construire un rapporteur.

Une fois que les élèves auront bien compris les angles de référence de 45°, 90° et 180°, ils pourront s’en servir pour estimer la mesure d’autres

angles.


6FE1.3 Estimer la mesure d’un

angle donné en utilisant les angles

de 45°, 90° et 180° comme

angles de référence.



LES MESURES



Performance

• Demander aux élèves de construire leur propre rapporteur à 360°

au moyen d’une feuille de papier de forme circulaire. En procédant

ainsi, les élèves pourront bien visualiser les angles de référence de

45°, 90° et 180°.

• Les élèves doivent d’abord bien comprendre

qu’un cercle (tour complet) est formé de

360°.

• Demander aux élèves de plier le cercle en

deux. Si la mesure du cercle complet est

de 360°, alors la moitié d’un cercle mesure

180°.

• Demander aux élèves de plier le demi-cercle

en deux. Ils obtiennent alors un quart de

cercle. Si la moitié d’un cercle mesure 180°,

alors un quart de cercle mesure 90°.

• Demander aux élèves de plier le quart de

cercle en deux. Ils obtiennent alors un

huitième de cercle. Si un quart de cercle

mesure 90°, alors un huitième de cercle

mesure 45°.

• Une fois le cercle entièrement déplié,

il deviendra évident que celui-ci

est composé de huit angles de 45°.

Demander aux élèves d’inscrire 0° au

bout d’un des plis puis d’attribuer à

chaque pli, dans le sens contraire des

aiguilles d’une montre, un multiple de

45°, comme l’indique l’illustration ci-contre.

Les élèves ont maintenant à leur disposition un outil à l’aide

duquel ils pourront estimer la mesure de n’importe quel angle.

(6FE1.3)


Leçon 2 : Fabriquer un rapporteur

6FE1

GE p. 18 - 21

ME p. 248 - 249

Les élèves doivent apprendre à

mesurer des angles à l’aide d’un

rapporteur. Par contre, il n’est pas

nécessaire de le construire.



spécifi ques

LES MESURES




6FE1 Démontrer une





mesure;



45°, de 90° et de 180° comme



angles en degrés;



donnée.


En plus d’estimer la mesure d’un angle au moyen des angles de référence

de 45°, 90° et 180°, les élèves devront être en mesure de tracer ces angles

sans recourir à un rapporteur et de décrire les liens entre eux.


6FE1.4 Dessiner des angles de

45°, de 90° et de 180° sans l’aide

d’un rapporteur et décrire les

relations qui existent entre eux.

Puisqu’ils se sont déjà exercés à estimer des angles, les élèves devraient

être en mesure de visualiser chacun des angles de référence (45°, 90° et

180°) individuellement. Ils peuvent maintenant combiner ces angles de

référence et tracer d’autres angles sans l’aide d’un rapporteur.

Il sera nécessaire d’expliquer aux élèves la bonne

façon d’identifi er les angles. Comme il a été souligné

antérieurement, tout angle peut en fait avoir deux

mesures : le petit angle compris entre les deux droites

et l’angle plus large à l’extérieur des droites (voir

l’illustration ci-contre).

Pour éviter la confusion quant à l’angle auquel on fait référence, un

arc sera tracé entre les deux droites. Il est à noter que l’angle droit a sa

propre marque caractéristique, soit un petit carré.

Exemple :

L’arc tracé entre les deux droites indique que l’angle que l’on veut mettre

en évidence dans cette illustration est celui de 270° et non celui de 90°.

(à suivre)



LES MESURES



Performance

• Jeu de devinettes sur les angles – Demander aux élèves de repérer un angle dans la classe, puis d’écrire quel est le type d’angle (aigu, droit, obtus, rentrant ou plat), d’estimer sa mesure et de faire une esquisse de son orientation. Les élèves forment ensuite des équipes de deux et essaient de trouver un élément dans la classe qui représente l’angle décrit par leur équipier (p. ex. plancher, mur, coin).

(6FE1.1, 6FE1.2, 6FE1.3, 6FE1.4)


Leçon 3 : Estimer des ouvertures

d’angle

6FE1

GE p. 22 - 25

ME p. 250 - 253



spécifi ques

LES MESURES




6FE1 Démontrer une





mesure;



45°, de 90° et de 180° comme



angles en degrés;



donnée.


À cette étape-ci, il convient d’expliquer aux élèves la bonne manière de nommer les angles. Lorsqu’un angle est représenté par trois points assortis de lettres ou d’une autre marque distinctive, l’angle doit être nommé au moyen du symbole < et des trois points (le sommet occupe la position centrale).

Exemples :

L’angle représenté par l’illustration ci-contre peut correctement être nommé <LMN ou <NML, car dans les deux cas, la lettre désignant le sommet se trouve au centre. Expliquer aux élèves qu’il n’est pas obligatoire d’écrire les lettres dans l’ordre alphabétique et qu’il ne sera pas nécessairement correct dans tous les cas de suivre l’ordre alphabétique (selon la lettre attribuée au sommet).

L’angle ci-contre pourrait être nommé <BAC ou <CAB. Dans ce cas, écrire les lettres en ordre alphabétique (<ABC) serait incorrect puisque la lettre désignant le sommet ne serait pas au centre.


6FE1.3 Estimer la mesure d’un

angle donné en utilisant les angles

de 45°, 90° et 180° comme

angles de référence. (suite)

Les représentations visuelles des angles de référence de 45°, 90° et 180° et leurs combinaisons peuvent maintenant être utilisées pour estimer la mesure d’autres angles.

Exemple : Estimer la mesure de l’angle ci-dessous.

Les élèves peuvent tracer les angles de référence sur une feuille à part ou directement sur l’angle donné, comme dans l’illustration ci-dessous. L’angle en question se situe entre 135° et 180°. On peut donc estimer plus précisément que la mesure de l’angle se situe entre 150° et 160°.



LES MESURES



Performance

• Demandez aux élèves de tracer chacun des angles suivants sans recourir à un rapporteur. Chaque point de l’angle doit être désigné correctement et les élèves doivent tracer un arc pour indiquer la direction ou la rotation.

i) <ABC : 135°

ii) <DOG : 275°

iii) <LMN : 88°

iv) <ZYX : 190°

v) <PRQ : 100°

vi) <GEF : 290°

vii) <CAT : 376°

Demander aux élèves sur quels angles de référence ils se sont appuyés pour tracer les angles demandés et comment ils s’y sont pris pour y parvenir. Prêter une attention particulière au raisonnement des élèves. (6FE1.4)

• Demandez aux élèves d’estimer la mesure de chacun des angles consignés dans le registre des angles qu’ils ont observés dans leur environnement. Dire aux élèves d’inscrire cette mesure entre les deux droites qui forment l’angle en question. (6FE1.3)

• Remettez aux élèves des drapeaux de différentes provinces, différents États et différents pays. Choisissez des drapeaux formés de lignes ou de formes variées. Le drapeau de Terre-Neuve-et-Labrador est un bon choix. Les élèves doivent repérer le plus d’angles possible sur le drapeau et estimer la mesure de chacun d’eux au moyen des angles de référence. Demander aux élèves d’expliquer leur démarche.

(6FE1.3)


Leçon 3 (suite) : Estimer des ouvertures d’angle

6FE1

GE p. 22 - 25

ME p. 250 - 253



spécifi ques

LES MESURES




6FE1 Démontrer une





mesure;



45°, de 90° et de 180° comme



angles en degrés;



donnée.


Les élèves vont maintenant se servir des compétences acquises précédemment en matière d’angles de référence et d’estimation pour mesurer les angles à l’aide d’un rapporteur. Il est recommandé que les élèves utilisent d’abord un rapporteur circulaire (360°) plutôt qu’un

rapporteur semi-circulaire (180°), car ils pourront ainsi ancrer davantage

leur compréhension de l’angle en tant que rotation dans un cercle.


6FE1.5 Mesurer à l’aide d’un

rapporteur des angles ayant

diverses orientations.

Les élèves recourront maintenant à un rapporteur à 360° pour mesurer

les angles au degré le plus près. Puisqu’il s’agit de la première fois que les

élèves manipulent un rapporteur, il faudra leur expliquer que seuls les

multiples de dix sont indiqués sur le rapporteur. Par conséquent, chaque

ligne représente 1°, ce qui permet aux élèves de mesurer les angles qui ne

correspondent pas exactement à des multiples de dix.

Ce ne sont pas tous les angles qui seront orientés de manière à ce qu’un

côté soit horizontal. Certains élèves pourraient voir là une diffi culté. Le

point central du rapporteur doit toujours être placé sur le sommet de

l’angle et la ligne du 0° doit être alignée sur un des côtés de l’angle. Si

l’orientation de l’angle pose problème, l’élève peut tourner la page ou le

livre de manière à ce qu’un côté soit horizontal.

(à suivre)



LES MESURES



Performance

• Remettre aux élèves des livres contenant des illustrations et leur demander de repérer des angles dans ces images et d’en estimer la mesure, puis de consigner ces renseignements sous forme de liste. Autre possibilité : remettre aux élèves des photocopies de ces illustrations de sorte que les élèves puissent colorier les angles ou les mettre en évidence et en indiquer la mesure approximative directement sur l’image. (6FE1.5)

Journal

• Communiquer aux élèves le scénario suivant :

Faites comme si vous étiez employé d’une entreprise qui fabrique et vend des rapporteurs d’angles. Votre travail consiste à rédiger les directives d’utilisation du rapporteur. Préparez une liste de directives détaillées (assorties de diagrammes au besoin) pour expliquer, étape par étape, comment mesurer un angle à l’aide du rapporteur. Vous devez supposer que le lecteur n’a jamais vu de rapporteur.

Demander aux élèves de se placer en équipe de deux. Chaque élève doit suivre les directives rédigées par son partenaire pour mesurer un angle.

L’élève doit ensuite dire quelles améliorations il apporterait aux directives de son partenaire. (6FE1.5)


Leçon 4 : Mesurer des angles

6FE1

GE p. 26 - 30

ME p. 254 - 257



spécifi ques

LES MESURES




6FE1 Démontrer une





mesure;



45°, de 90° et de 180° comme



angles en degrés;



donnée.


Lorsqu’on utilise un rapporteur pour mesurer un angle, il est important

de commencer la lecture à la ligne du 0°. Souvent, les élèves obtiennent

une mesure erronée parce qu’ils commencent la lecture à la ligne du

180°. Insister sur l’importance d’aligner un côté de l’angle avec la ligne

du 0° puis de compter les degrés entre cette ligne et l’autre côté de

l’angle. Ainsi, les élèves ne commettront pas d’erreurs de lecture.

Par ailleurs, les élèves doivent bien comprendre que la direction de

la rotation entre les deux côtés de l’angle déterminera l’échelle du

rapporteur qu’il convient d’utiliser. Si le premier côté de l’angle est

aligné avec la ligne du 0° et que l’élève compte les degrés jusqu’à l’autre

côté, il ne devrait pas y avoir de confusion quant à l’échelle qui doit être

utilisée. Rappeler aux élèves que l’arc tracé entre les deux côtés de l’angle

indique l’angle qui doit être mesuré.

Les élèves qui estiment la mesure des

angles avant d’utiliser le rapporteur

d’angles commettront moins d’erreurs

de lecture. Par exemple, un élève peut

estimer que l’angle ABC mesure un peu

plus de 90°.

Si l’élève lit incorrectement l’échelle et qu’il obtient une mesure de

88° au lieu de 92°, il devrait se rendre compte que la mesure trouvée

ne concorde pas avec son estimation et qu’elle est donc probablement

erronée.


6FE1.5 Mesurer à l’aide d’un

rapporteur des angles ayant

diverses orientations. (suite)



LES MESURES



Performance

• Création de drapeau – Remettez aux élèves une liste de mesures d’angles qui devront être intégrés dans un drapeau que les élèves

créeront. Les angles peuvent être indiqués par un code de couleur

ou une marque linéaire particulière. Par exemple, demander aux

élèves de créer un drapeau qui comportera au moins un angle de

45°, un angle de 120° et un angle de 155°.

Les élèves peuvent également mesurer tous les autres angles que

contient leur drapeau.

(6FE1.3)


Leçon 4 (suite) : Mesurer des

angles

6FE1

GE p. 26 - 30

ME p. 254 - 257



spécifi ques

LES MESURES




Les élèves ont appris à tracer des angles de manière approximative à l’aide des angles de référence. Maintenant, ils construiront des angles d’une mesure donnée au moyen d’un rapporteur d’angles et d’une règle.

Maintenant que les élèves sont habiles pour mesurer des angles avec un rapporteur, ils devront faire le processus inverse et construire des angles d’une mesure donnée à l’aide d’une règle et d’un rapporteur. Une fois l’angle tracé, les élèves doivent le mesurer avec le rapporteur afi n de valider leur dessin. Discutez avec l’ensemble du groupe de la démarche employée pour construire l’angle.


6FE1.6 Dessiner et étiqueter

un angle donné, dans des

orientations diverses, en utilisant

un rapporteur.

Il est possible que les élèves jugent plus facile et plus précis d’utiliser un rapporteur semi-circulaire (180°) pour construire des angles. Fait

important, comme dans le cas de certains rapporteurs circulaires,

les rapporteurs semi-circulaires comportent une échelle intérieure et

une échelle extérieure. Pour éviter toute confusion, les élèves doivent

toujours commencer à mesurer à la ligne 0°. Demander aux élèves de dessiner au préalable un angle approximatif à l’aide des angles de référence. À cette étape-ci de l’apprentissage, une représentation mentale de l’angle approximatif pourrait s’avérer suffi sante pour certains élèves.

Les élèves devraient toujours utiliser une règle pour tracer le premier côté de l’angle. À moins d’avis contraire, ce côté peut être horizontal. Le point central du rapporteur d’angles doit ensuite être placé à l’extrémité du premier côté, de manière à ce que la ligne du 0° soit alignée avec ce côté. Les élèves doivent garder à l’esprit que la direction de la rotation déterminera quelle échelle du rapporteur doit être utilisée et indiquera à partir de quelle marque du 0° (celle de gauche ou celle de droite) la mesure doit être prise. Les élèves doivent ensuite faire une marque au degré désiré, puis relier le point au sommet avec une règle. L’angle doit être identifi é par un arc reliant les deux droites, et les trois points doivent porter la désignation appropriée (il ne faut pas oublier que le sommet se trouve au milieu du nom de l’angle). Donner aux élèves de nombreuses occasions de s’exercer à tracer des angles de différentes mesures et de différentes orientations afi n qu’ils deviennent à l’aise avec cette opération.

6FE1 Démontrer une





mesure;



45°, de 90° et de 180° comme



angles en degrés;



donnée.




LES MESURES



Papier et crayon

• Demander aux élèves de tracer les angles ci-dessous à l’aide d’une

règle et d’un rapporteur d’angles :

i) 54°

ii) 135°

iii) 75°

iv) 156°

Chaque angle doit être identifi é et sa mesure doit être indiquée.

(6FE1.6)

Performance

• Création artistique – Demander aux élèves de faire une création

artistique qui intègre un certain nombre d’angles donnés. Par

exemple, demander aux élèves de faire un dessin qui contient un

angle de 46°, un angle de 125°, un angle de 270° et un angle de

285°. Les élèves doivent utiliser un rapporteur pour tracer les angles,

puis identifi er chaque angle au moyen d’un arc et de sa mesure. Si

les élèves ne veulent pas écrire sur leur dessin, ils peuvent utiliser

un code de couleur, c’est-à-dire utiliser une couleur différente pour

chaque angle et défi nir une légende pour indiquer la mesure.

(6FE1.6)

• Demander aux élèves de créer un personnage à

l’aide de cure-pipes ou de fi l et de le positionner

de sorte que ses membres forment des angles

donnés. (6FE1.6)


Leçon 5 : Dessiner des angles

6FE1

GE p. 31 - 34

ME p. 258 - 261

Curiosités mathématiques :

Bâtiments étranges

6FE1

GE p. 37 - 38

ME p. 264

Jeu de maths : Le trésor enfoui

6FE1

GE p. 39-40

ME p. 265



spécifi ques

LES MESURES




6FE2 Démontrer que la somme

des angles intérieurs d’un :

• triangle est égale à 180°;

• quadrilatère est égale à 360°.

[C, R]


6FE2.1 Expliquer à l’aide de

modèles que la somme des mesures

des angles intérieurs d’un triangle

est la même pour tout triangle.

Pour illustrer de manière visuelle que la somme des angles intérieurs est la même pour tous les triangles, demander aux élèves de découper dans du carton ou du papier de bricolage plusieurs triangles de différentes formes et de différentes dimensions. À l’aide du rapporteur d’angles, les élèves doivent tracer un arc pour identifi er les trois angles dans chacun des triangles. Demander aux élèves de couper les coins de chaque triangle le long de l’arc, puis de juxtaposer les trois coins de sorte que leurs sommets se touchent et qu’ils forment un angle plat. Les élèves constateront que lorsque les trois coins sont disposés de manière à ce que les sommets se rejoignent, ils forment alors un demi-cercle (180°).

En répétant l’expérience avec des triangles de différentes formes et de différentes dimensions, il devient évident que la somme des angles intérieurs correspond toujours à 180°, peu importe le triangle.

Le fait de couper les coins des triangles le long de l’arc et d’attribuer un symbole ou une lettre aux sommets permettra d’éviter toute confusion quant aux sommets qui doivent être juxtaposés lorsqu’on aligne les angles. Le rebord arrondi est visuellement pratique pour les élèves puisque les trois angles intérieurs juxtaposés forment toujours un demi-cercle, peu importe le triangle.

Il pourrait être utile de demander aux élèves de mesurer les angles intérieurs des triangles utilisés dans le cadre de l’activité ci-dessus au moyen d’un rapporteur et d’en calculer la somme. Ils pourraient constater que, dans certains cas, la somme n’est pas exactement 180°, mais qu’elle s’en rapproche. Cette activité offre l’occasion de discuter des sources d’erreur humaine dans les mesures.

Pour expliquer aux élèves la notion de somme des angles intérieurs d’un triangle ou d’un quadrilatère, il est recommandé de préconiser une approche exploratoire. Il pourrait également s’avérer nécessaire de passer en revue le concept de l’angle intérieur par rapport à un angle extérieur.

(à suivre)



LES MESURES




Leçon 5 (suite) : Dessiner des

angles

6FE1

GE p. 31 - 34

ME p. 258 - 261


Leçon 6 : Les relations entre les

angles dans les triangles

6FE2

GE p. 41 - 45

ME p. 266 - 269



spécifi ques

LES MESURES








[C, R] (suite)

Le concept de la somme des angles intérieurs d’un triangle peut être

approfondi davantage au moyen du programme informatique FX Draw

et du tableau blanc interactif. Utiliser le bouton en forme de triangle

pour tracer un triangle de n’importe quelle forme et de n’importe quelle

taille, puis utiliser la fonction de mesure d’angle pour déterminer

la mesure de chacun des angles intérieurs. Le logiciel attribuera

automatiquement la bonne mesure à chaque angle. Demander aux élèves

de déplacer les sommets du triangle sur le tableau blanc interactif pour

créer un triangle de forme et de taille différentes. Le logiciel rajustera

automatiquement la mesure des angles. Les élèves constateront ainsi que

peu importe la dimension et la forme du triangle, la somme des angles

intérieurs sera toujours de 180°.

Approfondissons maintenant le concept. Expliquez comment trouver la

mesure d’un angle d’un triangle lorsque la mesure des deux autres angles

est connue. Pour ce faire, il suffi t de soustraire de 180° la somme des

deux angles.

Indicateurs de rendement :


modèles que la somme des mesures

des angles intérieurs d’un triangle

est la même pour tout triangle.

(suite)

Maintenant que les élèves ont bien compris que la somme des angles

intérieurs de tout triangle correspond à 180°, ils peuvent tirer parti

de cette information pour explorer la somme des angles intérieurs de

n’importe quel quadrilatère. Les élèves doivent d’abord bien comprendre

qu’un quadrilatère est formé de deux triangles. Pour en faire une

représentation visuelle, il est possible de recourir à des pièces de casse-tête

chinois. En combinant deux pièces de forme triangulaire pour former

un quadrilatère, les élèves devraient déduire que, puisque la somme des

angles intérieurs d’un triangle est de 180°, alors la somme des angles

intérieurs d’un quadrilatère sera de 360° (180° + 180° = 360°).

La façon la plus directe de présenter le concept consiste sans doute à

demander aux élèves de tracer une diagonale reliant deux sommets

opposés d’un quadrilatère et de répéter l’expérience pour plusieurs

quadrilatères. Remettre aux élèves des quadrilatères découpés dans du

carton ou du papier de bricolage ou leur demander de créer leurs propres

fi gures. Demander ensuite aux élèves de couper le quadrilatère le long de

la diagonale qu’ils ont tracée, ce qui produira deux triangles. Puisqu’ils

ont assimilé que la somme des angles intérieurs d’un triangle est de 180°,

ils peuvent déduire qu’étant donné qu’un quadrilatère est formé de deux

triangles, la somme des angles intérieurs de tout quadrilatère est égale à

360° (180° + 180°).

6FE2.2 Expliquer à l’aide

de modèles que la somme des

mesures des angles intérieurs d’un

quadrilatère est la même pour

tout quadrilatère.

(à suivre)



LES MESURES



Journal

• Fournir aux élèves la mesure d’un angle dans un triangle et leur demander de trouver trois paires de mesures possibles pour les deux autres angles. Demander aux élèves de dessiner les trois triangles au moyen d’un rapporteur d’angles. Exemple : Un triangle comporte un angle de 45°. Donnez trois combinaisons de mesures possibles

pour les deux angles inconnus. Tracez ces triangles au moyen d’un

rapporteur d’angles et d’une règle.

Trois possibilités :

45° (angle donné) + 45° + 90° = 180°

45° (angle donné) + 20° + 115° = 180°

45° (angle donné) + 30° + 105° = 180°

Etc.

(6FE2.1, 6FE1.6)


Leçon 6 (suite) : Les relations

entre les angles dans les triangles

6FE2

GE p. 41 - 45

ME p. 266 - 269


Leçon 7 : Les relations entre les

angles dans les quadrilatères

6FE2

GE p. 46 - 50

ME p. 270 - 273



spécifi ques

LES MESURES





Il est possible d’adopter une approche semblable à celle employée dans

le cas des triangles. Demander aux élèves de découper des quadrilatères

de différentes formes et de différentes dimensions. Au moyen d’un

rapporteur d’angles, les élèves tracent ensuite des arcs entre les côtés des

quadrilatères pour délimiter les angles intérieurs, puis ils coupent chaque

angle le long de l’arc et juxtaposent les pièces de manière à ce que les

sommets se rejoignent au centre. Les élèves constateront que les quatre

angles de n’importe quel quadrilatère forment un cercle (360°).

Le logiciel FX Draw et le tableau blanc interactif peuvent aussi être

utilisés pour illustrer le concept. Utiliser le bouton en forme de

quadrilatère pour tracer un quadrilatère de n’importe quelle forme

et de n’importe quelle taille sur le tableau blanc interactif, puis utiliser

la fonction de mesure d’angle pour déterminer la mesure de chacun

des angles intérieurs. Demander aux élèves de déplacer les sommets

du quadrilatère pour créer une fi gure de forme et de taille différentes.

Le logiciel rajustera automatiquement la mesure des angles. Les élèves

constateront ainsi que peu importe la taille et la forme du quadrilatère,

la somme des angles intérieurs sera toujours de 360°.

Approfondissons maintenant le concept. Expliquer comment trouver la

mesure d’un angle d’un quadrilatère lorsque la mesure des trois autres

angles est connue. Pour ce faire, il suffi t de soustraire de 360° la somme

des trois angles.





[C, R] (suite)

6FE2.2 Expliquer à l’aide

de modèles que la somme des

mesures des angles intérieurs d’un

quadrilatère est la même pour

tout quadrilatère. (suite)



LES MESURES



Performance

• Organiser différentes stations dans la classe. À chaque station, disposer un quadrilatère ou un triangle. Indiquer la mesure de tous les angles intérieurs, à l’exception d’un qui aura été préalablement découpé. Former des petits groupes ou des équipes de deux et répartir les élèves dans les différentes stations. Demander aux élèves de trouver la mesure de l’angle manquant du triangle ou du quadrilatère associé à leur station. Les groupes doivent visiter toutes les stations et trouver tous les angles manquants.

(6FE2.2)

• Variante : Demander à chaque groupe de tracer un triangle ou un quadrilatère au moyen d’un rapporteur d’angles, de le découper, de déchirer un coin et d’indiquer la mesure des autres angles. Chaque groupe se voit attribuer une station, et les groupes doivent visiter toutes les autres stations et trouver tous les angles inconnus.

(6FE2.2, 6FE1.6)


Leçon 7 (suite) : Les relations entre les angles dans les quadrilatères

6FE2

GE p. 46 - 50

ME p. 270 - 273



spécifi ques

LES MESURES



Domaine : Les régularités et les relations (les variables et les équations)

6FE3 Développer et appliquer

une formule pour déterminer :

• le périmètre de polygones;

• l’aire de rectangles;

• le volume de prismes droits à

base rectangulaire.

[C, L, R, RP, V]

Il est important d’adopter une approche axée sur l’exploration plutôt que sur

l’apprentissage par cœur. Il faut donner l’occasion aux élèves de découvrir par

eux-mêmes la formule permettant de trouver l’aire d’un rectangle.

Pour ce faire, on peut recourir à du papier quadrillé (1 cm2). Les élèves

doivent d’abord comprendre que chaque carré sur la feuille a une aire de

1 cm2, c’est-à-dire que la hauteur est de 1 cm et la largeur, de 1 cm également.

Demander aux élèves de tracer des rectangles de différentes dimensions sur

la feuille quadrillée. Au départ, ils trouveront l’aire en comptant le nombre

de carrés de 1 cm2 que renferment leurs rectangles. Demander aux élèves

de trouver la longueur et la largeur de chaque rectangle. Inciter les élèves à

voir ces dimensions comme des rangées contenant un certain nombre de

centimètres carrés. En raisonnant ainsi, les élèves devraient déduire qu’ils

peuvent trouver l’aire du rectangle en considérant les dimensions comme des

groupes d’unités carrées (largeur x longueur).

Ex.,

Les élèves doivent comprendre que le fait de changer l’unité de mesure (mm2,

cm2, m2) modifi e la taille des unités qui forment le rectangle, mais l’aire

peut toujours être calculée de la même manière. Il est possible d’illustrer ces

explications en trouvant l’aire de rectangles tracés sur des feuilles quadrillées

dont les unités de base diffèrent.



modèles comment déterminer

l’aire d’un rectangle quelconque.

Comme il a été mentionné antérieurement, les élèves peuvent utiliser du

papier quadrillé pour faciliter leur compréhension de la matière. Les élèves

peuvent également recourir à des bandes pour représenter des rectangles et

des carrés de différentes aires. Les bandes aideront les élèves à visualiser l’aire

comme des groupes d’unités. Il faudra d’abord déterminer les dimensions et

l’aire de chaque unité qui compose la bande. Exemple :

Un élève utilise une bande composée de 4 unités de 1 cm2 pour représenter

un rectangle de 1 x 4.

Le rectangle est formé d’une rangée de 4 unités de 1 cm2. L’aire du rectangle

est donc de 4 cm2. L’élève peut ajouter une autre bande de 4 unités pour

former le rectangle suivant.

Le rectangle consiste en deux rangées de 4 unités de 1 cm2. L’aire du rectangle

est donc de 8 cm2 (2 x 4 = 8). On peut former d’autres rectangles et en

trouver l’aire à l’aide de cette méthode.



LES MESURES

Résultat d’apprentissage général : Représenter des expressions

algébriques de plusieurs façons


Leçon 8 : L’aire des rectangles

6RR3

6FE3

GE p. 51 - 54

ME p. 274 - 276



spécifi ques

LES MESURES









baserectangulaire.

[C, L, R, RP, V] (suite)

Les élèves ne se sont pas encore familiers avec le concept de la formule. Une formule est une règle (méthode) qui peut être utilisée pour trouver

une quantité ou une mesure. Grâce à l’activité précédente, les élèves ont fait ressortir la règle générale selon laquelle l’aire de tout rectangle peut être déterminée en multipliant la longueur par la largeur. Les

élèves devraient être en mesure d’exprimer cette règle en mots et sous

forme d’une formule faisant intervenir des variables pour représenter les

quantités variables.

En mots : On peut trouver l’aire d’un rectangle en multipliant sa

longueur par sa largeur.

Formule : A = L x l, où A = aire, L = longueur et l = largeur.

6FE3.2 Généraliser une

règle (formule) permettant

de déterminer l’aire de tout

rectangle.




LES MESURES



Performance

• Maison de rêve – Remettre aux élèves du papier quadrillé (1 cm2)

et leur demander de dessiner le plan d’étage de leur maison de rêve.

Les pièces peuvent prendre la forme de rectangles de différentes

dimensions. Les élèves peuvent même dessiner deux ou trois étages

sur des feuilles de papier quadrillé séparées. Une fois le plan d’étage

terminé, les élèves doivent faire appel à la formule permettant de

trouver l’aire d’un rectangle pour calculer l’aire de chaque pièce de

leur maison. Ils peuvent ensuite combiner les aires ainsi calculées

pour obtenir l’aire de plancher de la maison entière.

(6FE3.2)

• L’activité peut être élargie de manière à intégrer des éléments

d’autres modules. Par exemple, demander aux élèves de défi nir une

échelle pour leur plan d’étage. Que représenterait un centimètre

carré dans une vraie maison ? Autre possibilité : fournir aux élèves

le prix de différentes unités carrées de plancher et leur demander

de calculer le coût total du plancher de leur maison de rêve. Cette

activité peut s’inscrire dans le cadre d’un projet cumulatif intégrant

les objectifs de plusieurs modules.

(6FE3.2)

• Demander aux élèves de tracer (ou de construire) des rectangles

de même dimension au moyen de papier quadrillé (1 cm2) (ou de

blocs mosaïque). Dire aux élèves de calculer l’aire de chacun des

rectangles au moyen de la formule établie précédemment.

Demander aux élèves si l’unité a un effet sur la valeur numérique de

l’aire dans chacun des cas.

Quelle aire est la plus grande ? Demander aux élèves d’expliquer

pourquoi certaines aires sont plus grandes même si la valeur

numérique est la même.

(6FE3.2)


Leçon 8 (suite) : L’aire des

rectangles

6RR3

6FE3

GE p. 51 - 54

ME p. 274 - 276


Feuilles à reproduire p. 40 et 47.



spécifi ques

LES MESURES





[C, L, R, RP, V]

L’objectif ici consiste à développer des expressions pour représenter le

périmètre et l’aire de différents polygones plutôt que de calculer la valeur

du périmètre et de l’aire à partir de mesures déjà fournies.

Il pourrait être nécessaire de revoir la notion de l’aire en tant que mesure de la surface plane d’une fi gure (à deux dimensions). Il pourrait être plus

facile pour les élèves de voir l’aire comme la surface qu’ils colorieraient si

on leur demandait de colorier une fi gure. Il est possible d’illustrer cette

notion au moyen d’un programme informatique de dessin. Demander

aux élèves de tracer une forme fermée quelconque puis d’utiliser la

fonction « remplissage » pour la colorier.

Il pourrait également être nécessaire d’aborder de nouveau l’utilisation

des unités carrées aux fi ns du calcul de l’aire. Les élèves doivent

comprendre que les unités carrées sont employées pour mesurer des

formes à deux dimensions. On ne s’attend pas pour le moment à ce

que les élèves saisissent que n x n = n2, car ils ne verront les exposants

qu’au premier cycle du secondaire. Toutefois, à cette étape-ci, les élèves

peuvent considérer que l’exposant 2 attribué à une unité carrée est une

indication qu’il s’agit d’une fi gure à deux dimensions. Une fois que les

élèves auront élaboré une expression permettant de calculer l’aire d’un

rectangle, ils pourront y recourir pour trouver l’aire de n’importe quel

rectangle.


6RR3.3 Écrire et expliquer la formule pour calculer l’aire de n’importe quel rectangle donné.



LES MESURES




Leçon 8 (suite) : L’aire des

rectangles

6RR3

6FE3

GE p. 51 - 54

ME p. 274 - 276



spécifi ques

LES MESURES









base rectangulaire.


Les élèves se sont familiarisés avec la notion de périmètre dans les années antérieures. Ils ont appris que le périmètre est la distance autour d’une fi gure. On peut illustrer le périmètre en demandant à un élève de faire le tour de la classe en longeant les murs ou en demandant aux élèves de tracer le contour de leur bureau ou d’un manuel avec leur doigt.

Il pourrait s’avérer utile de revoir ce qu’est un polygone, c’est-à-dire une fi gure fermée comptant trois côtés ou plus (« polygone » signifi e « fi gure

à plusieurs côtés »).

À cette étape-ci de l’apprentissage, l’utilisation des variables L (longueur) et l (largeur) est déjà familière aux élèves. Cependant, dans le cas des carrés, des hexagones et des autres polygones réguliers qui ont des côtés

de longueur égale, la longueur et la largeur ne seront pas des notions

distinctes puisque tous les côtés sont égaux. Dans ce cas, la variable

c (côté) peut être employée.

Les élèves ont eu l’occasion de s’exercer à calculer le périmètre d’un polygone en mesurant les côtés et en additionnant ces mesures. L’objectif

ici consiste toutefois à généraliser une formule qui permettra de

déterminer le périmètre de n’importe quel polygone.

Le périmètre peut être déterminé en additionnant le nombre d’unités qui bordent les côtés de différents polygones préalablement tracés sur du

papier quadrillé (1 cm2). Toutefois, une représentation de cette nature

ne peut s’appliquer qu’aux carrés, aux rectangles ou aux combinaisons de

ces fi gures.



modèles comment déterminer

le périmètre d’un polygone

quelconque.



LES MESURES



Performance

• À la ferme – Découper dans du carton ou du papier de bricolage

divers polygones (carrés, rectangles, triangles, parallélogrammes,

etc.) ayant certains côtés en commun de par leur longueur, côtés qui

seront représentés par la même variable. Remettre ces polygones aux

élèves. Chaque polygone représente un espace de culture sur une

ferme. Les variables désignent la longueur des côtés.

En groupe, les élèves peuvent juxtaposer les polygones de manière à

créer des fermes de différentes formes.

Exemple :

L’agriculteur (l’élève) souhaite clôturer sa ferme. Il doit élaborer une

formule pour représenter le périmètre de la ferme. Par exemple, la

formule correspondant à l’image ci-dessus serait la suivante :

P = 3b + 2a + c + e

Une fois que les élèves ont élaboré la formule associée à leur ferme,

attribuer une valeur numérique à chaque variable et demander

aux élèves de calculer le périmètre à l’aide de leur formule. Par

exemple, si a = 5 mètres, b = 2 mètres, c = 3 mètres et e = 4 mètres,

le périmètre de la ferme ci-dessus serait le suivant :

P = 3(2) + 2(5) + 3 + 4

P = 6 + 10 + 3 + 4 = 23 mètres

(6FE3.3, 6FE3.4, 6FE3.7)

• Cette activité pourrait être élargie de manière à intégrer des opérations de multiplication faisant intervenir des nombres décimaux. Par exemple, fournir aux élèves le prix d’un mètre de clôture et leur demander de calculer le prix total de la clôture qui délimitera la ferme.

(6FE3.7)


Leçon 9 : Le périmètre des

polygones

6RR3

6FE3

GE p. 55 - 58

ME p. 277



spécifi ques

LES MESURES









base rectangulaire.


Remettre aux élèves une variété de polygones tracés sur du papier de bricolage ou du carton. Demander aux élèves de déterminer pour chaque polygone les côtés qui sont identiques (égaux). Expliquer aux élèves que

la somme des mesures des côtés égaux peut être établie en faisant des

additions répétées ou en faisant appel à la multiplication.

Par exemple, dans le carré ci-dessous, le périmètre peut être exprimé

sous la forme 3 cm + 3 cm + 3 cm + 3 cm ou sous la forme d’une

multiplication, soit 4 x 3 cm (quatre groupes de 3 cm), ce qui donne un

périmètre de 12 cm.

Dans le cas où la mesure d’un côté est inconnue, les élèves devraient être

capables de la remplacer par une variable et d’élaborer une formule. Par

exemple, dans l’hexagone régulier ci-dessous, la longueur des côtés est

inconnue. Par conséquent, on utilise la variable c pour la représenter.

Ainsi, on peut écrire le périmètre sous la forme d’additions répétées

(c + c + c + c + c + c) ou, de manière plus concise, sous la forme 6c.

Dans le cas des polygones dont les côtés ne sont pas tous égaux, il faut

additionner les combinaisons de côtés égaux. Par exemple :

Le périmètre de la fi gure ci-contre

peut être exprimé comme suit :

P = 2a + 2b + 2c



règle (formule) permettant

de déterminer le périmètre de

polygones, y compris des rectangles

et des carrés.

Les problèmes de ce type ne porteront pas nécessairement toujours

sur des polygones réguliers. Toutefois, si les élèves sont en mesure

de reconnaître les côtés congruents, ils devraient avoir de la facilité à

générer une formule.



LES MESURES



Performance

• Remettre aux élèves des blocs-formes et d’autres objets de formes et de tailles différentes. Demander aux élèves de repérer les côtés qui

ont la même longueur, puis de tracer les blocs-formes sur une feuille

et d’attribuer une variable ou une couleur commune aux côtés égaux

pour représenter la mesure inconnue. Dire aux élèves de défi nir une

expression pour représenter le périmètre de chaque bloc-formes.

Par ex.,

(6FE3.4)


Leçon 9 (suite) : Le périmètre des

polygones

6RR3

6FE3

GE p. 55 - 58

ME p. 277



spécifi ques

LES MESURES






Indicateurs de rendement :

6RR3.4 Écrire et expliquer la formule pour calculer le périmètre de n’importe quel rectangle donné.

Rappeler aux élèves que le périmètre est la mesure d’une distance linéaire et que, par conséquent, il fait intervenir des unités unidimensionnelles (p. ex. mm, cm, m, km).

L’objectif ici n’est pas de calculer le périmètre d’un rectangle, mais plutôt d’élaborer une règle qui permettra de déterminer le périmètre de

n’importe quel rectangle. Présenter aux élèves une variété de rectangles.

Les élèves doivent comprendre que les côtés de même longueur portent

la même marque distinctive.

Demander aux élèves de repérer les côtés congruents (égaux). La somme

des côtés congruents peut être déterminée en faisant des additions

répétées et donc, en faisant appel à la multiplication. Par exemple, dans le rectangle ci-dessous, la largeur combinée peut s’exprimer sous la forme l + l ou 2 x l (deux ensembles de la longueur).

La largeur combinée et la longueur combinée peuvent être représentées par les expressions 2l et 2L. Ainsi, le périmètre peut être exprimé sous la forme Périmètre = 2l + 2L. Les élèves doivent reconnaître que cette formule est équivalente à Périmètre = l + l + L + L.

Il sera également nécessaire d’expliquer aux élèves la convention selon laquelle dans les multiplications faisant intervenir une variable et un nombre, on omet le signe de la multiplication. Par exemple, 2 x l s’écrit 2l. Il s’agit de la forme la plus fréquemment utilisée en 7e, 8e et 9e année.

La propriété de commutativité évoque le fait que l’ordre dans lequel les termes sont additionnés ou multipliés n’a aucun effet sur le résultat fi nal.

On peut illustrer cette affi rmation au moyen d’exemples contenant des nombres réels, p. ex. :

2 + 4 = 6; 4 + 2 = 6

5 x 2 = 10; 2 x 5 = 10

En ce qui concerne la formule permettant de calculer le périmètre ou l’aire, la même propriété s’applique, p. ex. :

P = 2l + 2L donne le même résultat que P = 2L + 2l.

A = l x L donne le même résultat que A = L x l.

6RR3.5 Développer et justifi er des équations ayant des lettres comme variables afi n d’illustrer la commutativité de l’addition et de la multiplication, ex. : a + b = b + a; a × b = b × a.



LES MESURES



Performance

• Demander aux élèves de mesurer la longueur et la largeur d’une pièce rectangulaire de l’école à l’aide d’un ruban à mesurer. Si le plancher de la pièce est formé de carreaux, les élèves peuvent trouver la longueur d’un carreau puis déterminer la longueur de chaque mur en comptant le nombre de carreaux le long du mur. S’il y a des carreaux incomplets, la mesure peut être arrondie à l’entier le plus près. Une fois que la longueur et la largeur de la pièce sont établies, demander aux élèves d’utiliser la formule qu’ils ont défi nie pour calculer le périmètre de la pièce.

Approfondissement :

Demander aux élèves combien de fois ils devraient faire le tour de la pièce pour marcher l’équivalent de 1 km.

Demander aux élèves de calculer l’aire de la pièce.

(6FE3.1, 6RR3.4, 6FE3.7)


Leçon 9 (suite) : Le périmètre des polygones

6RR3

6FE3

GE p. 55 - 58

ME p. 277



spécifi ques

LES MESURES









base rectangulaire.


Les élèves ont appris que le volume correspond à l’espace occupé par un objet à trois dimensions. Rappeler aux élèves que le volume est mesuré sous forme d’unités cubiques (p. ex. mm3, cm3, m3). Comme c’était le cas précédemment, puisque les élèves n’ont pas encore abordé les exposants, ils pourraient croire que l’exposant 3 est une indication qu’il s’agit d’un objet à trois dimensions.



modèles comment déterminer le

volume de tout prisme droit à

base rectangulaire.

Utiliser des blocs de 1 cm3 (petits cubes) pour créer des prismes rectangulaires droits. Comme le volume de chaque cube est de 1 cm3, le volume total peut être calculé en comptant le nombre de cubes qui composent le prisme. Comme cette démarche peut être ardue dans le cas des gros prismes, il sera nécessaire d’élaborer une formule.

D’abord, faire la démonstration que le prisme a bien trois dimensions. Pour ce faire, il suffi t de compter le nombre de cubes qui bordent la longueur, la largeur et la hauteur du prisme. Rappeler aux élèves que ces dimensions sont des distances linéaires et qu’ils ne font pas intervenir d’unités cubiques. La hauteur indique combien d’étages de cubes compte le prisme. Les élèves sont déjà familiers avec la notion d’étage dans un solide à trois dimensions car ils ont travaillé dans le passé avec des planchettes de cent. Il faut en premier lieu trouver le volume d’un étage. Par exemple, dans le prisme ci-dessous, on constate que l’étage supérieur est composé de quatre rangées de 5 blocs de 1 cm3. Par conséquent, le volume de l’étage supérieur est de 20 cm3 (4 x 5 = 20).

Les élèves devraient ensuite parvenir à la conclusion que puisque le prisme compte 4 étages et que le volume de chaque étage est de 20 cm3, le volume total du prisme sera de 80 cm3 (4 groupes de 20 cm3).



LES MESURES



Performance

• Former des équipes de deux ou des petits groupes. Remettre à chaque groupe une quantité différente de matériel de manipulation, comme des blocs de 1 cm3 ou des cubes emboîtables (ou les deux, selon le matériel dont on dispose). Demander aux groupes de construire le plus gros prisme rectangulaire droit possible au moyen des blocs à leur disposition, puis de calculer le volume du prisme. Les élèves doivent ensuite circuler dans la classe et calculer le volume des prismes construits par les autres groupes. Une fois l’activité terminée, demander aux élèves de comparer leurs réponses et leur démarche avec celles des autres groupes puis de valider leurs résultats.

(6FE3.5)


Leçon 10 : Le volume des prismes

droits à base rectangulaire

6RR3

6FE3

GE p. 59 - 62

ME p. 278 - 281



spécifi ques

LES MESURES









base rectangulaire.


Les élèves ont déjà eu l’expérience à trouver le volume des modèles. Donc, ils auraient dû arriver à la conclusion que le volume d’un prisme rectangulaire droit peut être calculé en comptant le nombre de cubes que contient un étage (longueur x largeur), puis en multipliant ce nombre par le nombre total d’étages (hauteur).

Ainsi, on parvient à la formule générale suivante : V = L x l x h, où V = volume, L = longueur, l = largeur et h = hauteur.

Les élèves devraient être en mesure d’interpréter cette formule comme suit : « Le volume d’un prisme rectangulaire peut être calculé en multipliant la longueur, la largeur et la hauteur. »

Rappeler aux élèves la propriété de commutativité : les termes de la formule peuvent être multipliés dans n’importe quel ordre.

Exemples :

V = L x l x h

V = l x h x L

V = h x L x l

Etc.



règle (formule) permettant de

déterminer le volume de tout

prisme droit à base rectangulaire.



LES MESURES



Performance

• Remettre aux élèves divers blocs de base 10 et leur demander de calculer le volume de chaque type de bloc (p. ex. 1 petit cube = 1 cm3, 1 règlette = 10 cm3, 1 planchette = 100 cm3 et 1 gros cube = 1 000 cm3).

(6FE3.6)


Leçon 10 (suite) : Le volume des prismes droits à base rectangulaire

6RR3

6FE3

GE p. 59 - 62

ME p. 278 - 281



spécifi ques

LES MESURES









base rectangulaire.



6FE3.7 Résoudre un problème

donné qui comprend soit le

périmètre de polygones, soit

l’aire de rectangles, et/ou le

volume de prismes droits à base

rectangulaire.

L’activité ci-dessous fera intervenir des concepts abordés précédemment.

Il importe que les élèves comprennent que dans nombre de cas, la résolution d’un problème complexe passe par la résolution de plusieurs problèmes plus simples. La résolution du problème peut se faire en plusieurs étapes.

Aire des sections d’un drapeau – Remettre aux élèves une variété de drapeaux de différents pays qui comportent des formes rectangulaires. Les drapeaux des provinces et pays suivants constituent de bons choix: Le tricolore terre-neuvien, Irlande, Lettonie, Costa Rica, France, Allemagne, Autriche, Yémen, Pologne, Espagne, Côte d’Ivoire. Les

élèves pourraient aussi rassembler eux-mêmes ces drapeaux dans le cadre d’un autre cours, p. ex. le cours de sciences humaines, ou encore reproduire ces drapeaux dans leurs cours d’art. Les drapeaux doivent tous être de mêmes dimensions. Les drapeaux peuvent également être imprimés ou tracés sur du papier quadrillé (1 cm2) afi n qu’il soit plus facile de déterminer la longueur et la largeur de chaque rectangle qui compose le drapeau.

Distribuer les différents drapeaux aux élèves et demander à ces derniers de calculer la longueur et la largeur de chaque rectangle que contient leur drapeau, soit en mesurant à l’aide d’une règle ou, si le drapeau est tracé sur du papier quadrillé, en comptant les unités le long de chaque arête. À partir de ces dimensions, les élèves peuvent déterminer l’aire totale de chaque section colorée du drapeau. Par exemple, si les élèves ont le drapeau du tricolore terre-neuvien, ils doivent trouver l’aire de la section rose, de la section blanche et de la section verte. Il est également possible d’organiser cette activité sous forme de stations, en assignant un drapeau à chaque station.



LES MESURES



Papier et crayon

• Demander aux élèves de dessiner le plan d’une terrasse pour leur maison de rêve sur du papier quadrillé (1 cm2). Dire aux élèves

que leur terrasse doit être composée d’au moins deux rectangles.

Demander aux élèves de répondre aux questions suivantes :

• Quelle est l’aire

totale de la surface

de la terrasse qui

devrait être teinte ?

(Pour calculer

l’aire totale, il

suffi t de calculer

l’aire de chaque

rectangle puis de

trouver la

somme.)

• Si l’on voulait

placer des lanternes le long du périmètre de la terrasse, quelle

longueur de câble serait-il nécessaire d’acheter?

(6FE3.3, 6FE3.4, 6FE3.1, 6FE3.2, 6FE3.7)

Performance

• Construction 3D – Demander aux élèves de construire des prismes rectangulaires droits à l’aide de cubes emboîtaables ou de blocs Lego

ou Duplo. Dire aux élèves de combiner ces prismes pour créer un gros immeuble, puis de calculer le volume total de l’immeuble. Pour ce faire, les élèves doivent calculer le volume de chaque prisme qui compose la structure puis trouver la somme.

(6FE3.5, 6FE3.6, 6FE3.7)


Leçon 11 : Utiliser un problème simple pour résoudre un autre problème

6RR3

6FE3

GE p. 63 - 66

ME p. 282 - 283

PROGRAMME D’ÉTUDES - MATHÉMATIQUES 6e ANNÉE (VERSION PROVISOIRE)294

LES MESURES

Les mesures - ed.gov.nl.ca · Pour le moment, les élèves seront appelés à décrire les angles...

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