Les mathématiques de la décision

Pierre Fiastre

Les mathématiques de la décision

Pierre Fiastre

La bonne porte

A B C

Pierre Fiastre

SOMMAIRESOMMAIRE

Mesurer le hasard L’attraction de la moyenne Attention à l’intuition Elémentaire, mon cher… Extra et infra-ordinaire L’abolition du hasard Rien ne dure

Vivre d ’espérance David et Goliath Le salaire de la peur Défier les éléments L’art de la stratégie Bluffer n’est pas mentir Donnant-donnant Naissance de l ’éthique

R

Pierre Fiastre

La bonne porte

A B CA

Pierre Fiastre

La bonne porte

A CB

Pierre Fiastre

La bonne porte

A B CC

Pierre Fiastre

SOMMAIRESOMMAIRE

Mesurer le hasard L’attraction de la

moyenne Attention à l’intuition Elémentaire, mon cher… Extra et infra-ordinaire L’abolition du hasard Rien ne dure

Vivre d ’espérance David et Goliath Le salaire de la peur Défier les éléments L’art de la stratégie Bluffer n’est pas mentir Donnant-donnant Naissance de l ’éthique

R

Pierre Fiastre

Mesurer le hasard

(le calcul des probabilités)

Partout où le hasard semble jouer, il est sous l’emprise de lois cachées. Friedrich Engels

Pierre Fiastre

Les probabilités

Une probabilité est la mesure de notre ignorance du futur

Elle s’exprime par un nombre compris entre 0 et 1– Une chance sur 100– 1/100– 0,01– 10-2

Pierre Fiastre

Le vocabulaire

CertainPresque certainTrès probable

Probable

Possible

Improbable

Très improbablePresque impossibleImpossible

10,99999…0,99

0,9

10-1

10-2

10-?

0

1

0

Pierre Fiastre

Les petites probabilités

Probabilité de gagner le gros lot au loto:

Probabilité de mourir dans la semaine:

Probabilité d’avoir une main de 13 piques au bridge:

Probabilité qu’un singe écrive Le Cid:

Probabilité qu’un œuf saute de la casserole:

10-7

10-4 à10-5

10-12

10-50

10-40

Pierre Fiastre

Jet d’un dé

1

2

3

4

5

6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1

La somme des

probabilités de tous

les

évènements possibles est 1

Pierre Fiastre

Jet de deux dés

1er dé

1

2

3

4

5

6

2ème dé

1 2 3 4 5 6

2 3 4 5 6 7

3 4 5 6 7 8

4 5 6 7 8 9

5 6 7 8 9 10

6 7 8 9 10 11

7 8 9 10 11 12

1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36

5/36

4/36

3/36

2/36

1/36

Pierre Fiastre

Les probabilités composées

La probabilité que la France batte la Nouvelle-Zélande en 1/4 finale est de 0,4

La probabilité que l’Afrique du Sud batte les Fidji en 1/4 de finale de 0,8

Quelle est la probabilité que la France soit en 1/2 finale et que l’Afrique du Sud soit en 1/2 finale

0,4 x 0,8 = 0, 32et = x ?

Pierre Fiastre

La stratégie de Dirty

Nos prix sont supérieurs à ceux de nos concurrents Mais notre publicité affirme « si vous trouvez moins cher

ailleurs, nous vous remboursons 3 fois la différence » Nos enquêtes montrent que:

– seulement la moitié des clients comparent les prix– seulement la moitié des clients gardent leur ticket de caisse

La probabilité que nous ayons à rembourser est donc 1/4, ce qui démontre la rentabilité de l’opération….

1/4 x 3 x

Pierre Fiastre

Les statistiques de Dirty

Clients comparant les prix 500

Clients ne comparant pas les prix 500

Total 1000

Clients gardant leur ticket de caisse 500

Clients ne gardant pas leur ticket de caisse

500

Total 1000

Pierre Fiastre

L’analyse croisée

Clients comparant les prix

Clients ne comparant pas les prix

Total

Clients gardant leur ticket

400 100 500

Clients ne gardant pas leur ticket

100 400 500

Total 500 500 1000

Pierre Fiastre

et = x ? La probabilité de remboursement est de 0,40

et non pas 0,25 On ne peut pas multiplier les probabilités

des évènements « comparer les prix » et « garder son ticket » car ceux-ci sont liés

et = x si les évènements sont indépendants

Pierre Fiastre

Les probabilités additives

La probabilité pour que ce soit la Nouvelle-Zélande qui gagne la coupe du monde est 0,40

La probabilité pour que ce soit l’Australie qui gagne la coupe du monde est 0,20

Quelle est la probabilité pour que le la Nouvelle-Zélande ou l’Australie gagne la coupe du monde ?

0,40 + 0,20 = 0,60ou = + ?

Pierre Fiastre

La stratégie de Camlot

Nous achetons nos machines auprès de fabricants de produits de mauvaise qualité, mais nous garantissons nos machines 5 ans par échange standard

Les pannes peuvent provenir:– Du moteur,probabilité de panne dans les 5 ans: 0,2 – De la pompe,probabilité de panne dans les 5 ans: 0,2– Probabilité totale de panne: 0,4

Nous remplaçons ainsi 40% de nos machines

Pierre Fiastre

La probabilité de panne

100 machines

80 ont un bon moteur20 ont un mauvais moteur

100 x 0,2 100 x 0,8

64 ont un bon moteur et une bonne pompe

16 ont unemauvaise pompe

16 ont unmauvais moteur

4 ontdeuxdéfauts

20 x 0,2 20 x 0,8 80 x 0,880 x 0,2

0,36 0,64

Pierre Fiastre

OU = + ?

La probabilité de panne n’est pas 0,40 mais 0,36

On ne peut pas ajouter les probabilités correspondant à « avoir un mauvais moteur » et « avoir une mauvaise pompe » car ces évènements ne sont pas incompatibles

ou = + si les évènements sont incompatibles

Pierre Fiastre

Règle n°1Règle n°1

Calcul des probabilités La somme des probabilités de tous les

possibles est 1« ou » = « + » si les évènements sont

incompatibles« et » = « x » si les évènements sont

indépendants

Pierre Fiastre

L’attraction de la moyenne

(la courbe en cloche)

En moyenne, chaque être humain possède un testicule. Woody Allen

Pierre Fiastre

Pile ou face

PPPPFFFFFFFPFFPFFFPPFPFFFPFPFPPFFPPPPFFFPFFPPFPFPFPPPPFFPPFPPPPF1/161/161/161/161/161/161/161/161/161/161/161/161/161/161/161/16

FFFFFPFPFFPPPFFPFPPPFPPP1/81/81/81/81/81/81/81/8

PFFPPPFF1/41/41/41/4

1/21/2FP

Pierre Fiastre

Combien de piles ?

FFFFFPFPFFPPPFFPFPPPFPPP

PFFPPPFF

FP

1 jet

2 jets

3 jets

4 jets

Pierre Fiastre

Combien de piles ?

FFFP FPFPFPPPPFFF PFPFPPFF

PPPF

F P

0 pile 1 pile

PFFP PPFF

1 pile0 pile 2 piles

FFF FFP FPF FPPPFF PFP PPF PPP

1 pile0 pile 2 piles 3 piles

FFFF FFPF FFPPFPFF FPPF PFFP PFPP PPFP PPPP

1 pile0 pile

2 piles 3 piles 4 piles

Pierre Fiastre

Combien de piles ?

0 10 1 20 1 2 30 1 2 3 40 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5 60 1 2 3 4 5 6 70 1 2 3 4 5 6 7 8

Pierre Fiastre

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Combien de piles ?

Pierre Fiastre

La courbe « en cloche »

MOYENNE

ECARTTYPE

Pierre Fiastre

Le dispositif de Galton

Pierre Fiastre

Règle n°2

L’apparition de la courbe en cloche

Lorsqu’un grand nombre de petits évènements aléatoires indépendants se cumulent, la valeur probable de leur total a la forme de la « courbe en cloche »:– Elle est centrée autour de la « moyenne »– L’écart-type définit son épaisseur

Pierre Fiastre

Attention à l’intuition

(quelques paradoxes)

L’intuition est le nom qu’on donne à l’incompétence lorsque, par hasard, elle réussit. Charles de Gaulle

Pierre Fiastre

Pierre Fiastre

La loi du premier chiffre

Le premier chiffre significatif est le premier chiffre d’un nombre qui soit différent de 0756 -> 7

12,56 -> 1

0,00378 -> 3

On cherche le premier chiffre significatif d ’une série de nombres pris au hasard– Les distances des planètes au soleil– Les superficies des lacs africains– Les taux de change des monnaies en $

Pierre Fiastre

La réponse intuitive

0,0%

2,0%

4,0%

6,0%

8,0%

10,0%

12,0%

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Pierre Fiastre

Les vraies fréquences...

0,0%

5,0%

10,0%

15,0%

20,0%

25,0%

30,0%

35,0%

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Pierre Fiastre 19876543211098765432

65432186,5613,1219,6826,2432,839,3645,9252,4859,0465,679123456

Pierre Fiastre

Pierre Fiastre

Règle n° 3

Calcul des probabilités: méfiez-vous de votre intuition !

Pierre Fiastre

Elémentaire mon cher...

(les probabilités des causes)

Le hasard, c’est le purgatoire de la causalité. Jean Baudrillard

Pierre Fiastre

Le problème de Poincaré

Je joue à l’écarté contre un inconnu A la première donne il retourne un roi Quelle est la probabilité que ce soit un

tricheur ?

Pierre Fiastre

Le problème de Poincaré

0,999 0,001

Nontricheur Tricheur

Roi Autre Roi Autre

0,125 0,875 1 0

0,124 0,875 0,001 0

Probabilité que ce soit un tricheur:0,001

0,124+0,001= 0,008

0,124 0,875 0,001 0

Pierre Fiastre

La bonne porte

A B C

1/3 1/3 1/3

2/3

Pierre Fiastre

La bonne porte

A B CC

Pierre Fiastre

La bonne porte

A B C

01/3

2/3

2/3

Pierre Fiastre

Règle n° 4Règle n° 4

Les probabilités sont la mesure de notre ignorance...

...donc toute nouvelle information vient les modifier.

Pierre Fiastre

Extra et infra-ordinaire

(les coïncidences)

Un hasard n’est rien pour une âme distraite.Il est un signe divin pour une âme obsédée. Ernest Renan

Pierre Fiastre

Des ressemblances très étranges existent entre John Fitzgerald Kennedy et Abraham Lincoln, en plus d'avoir été président des Etats-Unis et assassinés tous les deux. · Lincoln fut élu président en 1860, Kennedy en 1960.· Au cours de leur présidence, John Kennedy et Abraham Lincoln ont du résoudre les conflits et des carences en matière de droits civiques. · Tous deux furent abattus un vendredi et en présence de leur femme respective. · Tous deux ont pris une balle dans le dos et une autre dans la tête. · Leurs successeurs s'appelaient Johnson, ils étaient Démocrates, du sud et étaient au sénat. · Andrew Johnson est né en 1808 et Lyndon Johnson en 1908. · Tous deux sont morts dix ans après l'assassinat des deux présidents, soit 1873 pour Andrew Johnson et 1973 pour Lyndon B. Johnson. · John Wilkes Booth est né en 1839 et Lee Harvey Oswald en 1939. · Les femmes des deux présidents ont perdu un enfant alors qu'elles vivaient à la maison blanche. · La secrétaire de Lincoln, qui s'appelait Kennedy, lui recommanda de ne pas aller au théâtre. Celle de Kennedy s'appelait Evelyne Lincoln et elle aussi lui recommanda de ne pas aller à Dallas ! · Lincoln et Kennedy contiennent chacun sept lettres, John Wilkes Booth et Lee Harvey Oswald contiennent chacun 15 lettres. · Les deux assassins furent tués avant de passer en jugement, 2 jours après les assassinats. Et ironie de l'Histoire, Kennedy fut abattu en roulant dans une Lincoln décapotable.

Pierre Fiastre

Les coïncidences

Coïncidence classique = proba 10-4

Coïncidence extraordinaire = proba 10-6

Phénomène paranormal = proba 10-10

arrive trois fois par an

arrive une fois tous les 30 ans,soit en moyenne 2 fois par vie

arrive une fois tous les 300 000 ans,donc à une personne sur 5000 dans sa vie,est donc arrivé à à 5000 personnes en france

Pierre Fiastre

La coïncidence des anniversaires

Pierre Fiastre

Où est le hasard ?

1 2

3 4

Pierre Fiastre

La théorie « small world »

Pierre Fiastre

Règle n° 5

Il est normal que des coïncidences arrivent…

…mais on ne peut pas prévoir lesquelles.

Pierre Fiastre

L’abolition du hasard

(la loi des grands nombres)

Un coup de dés jamais n’abolira le hasard. Stéphane Mallarmé

Pierre Fiastre

La loi des grands nombres

Lorsque le nombre d ’expériences répétées augmente, la réalité observée tend vers la

probabilité.

Mais attention aux contresens: les probabilités n’ont pas de mémoire l’écart relatif entre l’observation et la probabilité diminue mais l’écart absolu augmente

Pierre Fiastre

Les probabilitésn’ont pas de mémoire

Pile

Face

Pierre Fiastre

Les probabilités n’ont pas de mémoire

Sur 100 tirages, j’ai obtenu 60 piles et 40 faces Si, je fais encore 100 tirages:

– La probabilité de pile ou face reste 1/2– Mon résultat le plus probable est 60+50 = 110 piles et 40+50 = 90

faces– Le résultat équilibré (100 piles et 100 faces) est possible mais

moins probable– En continuant, on a une grande probabilité (en fait une certitude) de

revenir un jour à l’équilibre, mais ce sera long et « par hasard », non « par nécessité »

Pierre Fiastre

Ecartrelatif

%L’écartabsolu

augmente

L’écartrelatif

diminueEcart

absolu


La loi desgrands nombres

Pile

Face

Pierre Fiastre

L’écart relatif possible diminue avec le nombre d’expériences

Sur 100 tirages:– j’ai obtenu 60 piles et 40 faces, soit un écart à la

moyenne de 10/50 = 20%– si, je fais encore 100 tirages, le résultat le plus

probable est 110 piles et 90 faces, soit un écart à la moyenne de 10/100 = 10%

Obtenir 20% d ’écart relatif:– est très possible sur 100 tirages (60 piles et 40

faces)– est impossibleimpossible sur 10 000 tirages (6000 piles et

4000 faces)

Pierre Fiastre

Pourtant l’écart absolu peut augmenter

L ’écart absolu possible augmente avec le nombre d ’expériences

Sur 100 tirages, il y a une probabilité de 10-6

qu’il atteigne 25 (au moins 50+25=75 piles) Sur 1000 tirages la probabilité qu’il atteigne

25 (au moins 500+25=525 piles) est de 10-1

Pierre Fiastre

Pierre Fiastre

Règle n° 6


Plus une expérience est répétée, plus la réalité a des chances d ’être conforme aux prévisions...

….mais les probabilités n ’ont pas de mémoire.

Pierre Fiastre

Rien ne dure

(la régression vers la moyenne)

La roche tarpéienne est près du Capitole. Mirabeau

Pierre Fiastre

La courbe des experts

Pierre Fiastre

La régression vers la moyenne

Un très bon résultat d ’expérience a plus de chances d’avoir été au dessus de sa moyenne normale qu’en dessous

Il est donc probable qu’il ne se répétera pas avec autant de succès

La moyenne future de la même expérience sera donc probablement inférieure

Et c’est l’inverse pour les très mauvais résultats

Pierre Fiastre

Un championnat de footballJoué Gagné Nul Perdu Points

A 18 11 2 5 35

B 18 9 4 5 31

C 18 9 3 6 30

D 18 8 3 7 27

E 18 7 5 6 26

F 18 7 3 8 24

G 18 6 5 7 23

H 18 5 6 7 21

I 18 3 8 7 17

J 18 3 5 10 14

Pierre Fiastre

Règle n° 7

Régression vers la moyenneCe qui a été très bon va sûrement se

détériorer...

…et ce qui a été très mauvais va sûrement s ’améliorer.

Pierre Fiastre

Vivre d’espérance

(l’espérance mathématique)

Le plus grand de tous les dons est de pouvoir estimer les choses à leur vraie valeur. La Rochefoucauld

Pierre Fiastre

L’espérance mathématique

Si je joue à un jeu où la probabilité de gagner 10 est de 0,5 par partie, la loi des grands nombres dit qu’en jouant de nombreuses parties, je gagnerai en moyenne 5 par partie.

Autrement dit, mon espérance de gain est égale à la probabilité de gagner multipliée par le gain.

C’est le prix « équitable » que je devrais payer pour jouer une partie.

Les espérances mathématiques des diverses éventualités s’ajoutent.

Pierre Fiastre

Jet d’un dé

1

2

3

4

5

6

1/6 x 1 = 1/6

1/6 x 2 = 2/6

1/6 x 3 = 3/6

1/6 x 4 = 4/6

1/6 x 5 = 5/6

1/6 x 6 = 6/6

21/6

=3,5

Je jette un dé et je gagne la somme indiquée par le dé. Quelle est

mon espérance

?

Pierre Fiastre

Jet de deux dés

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6

2 3 4 5 6 7

3 4 5 6 7 8

4 5 6 7 8 9

5 6 7 8 9 10

6 7 8 9 10 11

7 8 9 10 11 12

1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36

5/36

4/36

3/36

2/36

1/36

Je jette deux dés et je

gagne la somme des nombres indiqués par les deux dés. Quelle est

mon espérance

?

42/6 =7

Pierre Fiastre

Un carnet de commandes

Monatant en k€ Probabilité Espérance en k€D'Alembert 3000 1 3000Pascal 500 1 500Bernouilli 800 1 800Laplace 300 1 300Gauss 1000 1 1000

Commandes sûres 5600 5600Borel 700 0,9 630Von Neumann 2500 0,9 2250Morgenstern 1400 0,5 700Savage 600 0,3 180Nash 270 0,3 81Black 2200 0,1 220Scholes 500 0,1 50

CA probable 13770

Pierre Fiastre

Les loteries

Une loterie met en vente 1000 billets Le tirage donnera lieu à un seul gagnant pour un

lot de 10 000 € La probabilité de gagner est 1/1000 L ’espérance mathématique d ’un billet est :

1/1000 x 10 000 = 10 € Si l ’organisateur vend le billet 15 €, son gain est

de 5 € par billet. Pourquoi l’acheter ?

Pierre Fiastre

Les jeux de casino

Probabilité de gagner sur une mise simple à la roulette 1/37

Gain 36€ pour 1€ Chaque fois qu’il joue un euro, le joueur

perd:

36/37 - 1 = - 0,03 €

Et il n’existe pas de martingale...

Pierre Fiastre

La Française des Jeux

Espérance d’un bulletin de loto de 2€ : 1€ Il n’existe aucun « système de jeu » 55% des français jouent...

Pierre Fiastre

Le concept d ’« utilité »

Premier jeu : pile ou face– Si pile sort, vous perdez 10 €– Si face sort, vous gagnez 20 €

Second jeu : pile ou face– Si pile sort, vous perdez 100 000 €– Si face sort, vous gagnez 200 000 €

Troisième jeu : pile ou face– Si pile sort, vous perdez 0 €– Si face sort, vous gagnez 100 000 €

Beaucoup de gens acceptent le premier jeu et très peu acceptent le second. Tout le monde accepte le troisième.

Espérance + 5 €

Espérance + 50 000 €

Espérance + 50 000 €

Pierre Fiastre

Le concept d ’« utilité »

Les pertes ne sont pas symétriques des gains.L ’appréciation des gains (et des pertes) n’est pas proportionnelle.Le risque a un prix.

Pierre Fiastre

Les transferts de risque

1

10-1

10-2

10-3

10-4

10-5

10-6

10-7

10-8

1€ 102€ 103€ 104€ 105€10€ 106€-1€-10€-102€-103€-104€-105€-106€

Pierre Fiastre

Règle n° 8

L ’espérance mathématique est le produit de la probabilité par le gain (ou la perte)

La bonne décision est de la maximiser si:

- les probabilités ne sont pas trop petites

- les gains (ou les pertes) ne sont pas trop élevé(e)s

Pierre Fiastre

David et Goliath

(la ruine des joueurs)

La raison du plus fort est toujours la meilleure. Jean de la Fontaine

Pierre Fiastre

Une longue partie de pile ou face

-15

-10

-5

0

5

10

Pierre Fiastre

Une longue partie depile ou face

F1 ma fortune, F2 celle de mon adversaire

Le jeu ne prendra fin que lorsque l ’un d ’entre nous sera ruiné:p ma probabilité de le ruiner

1-p la probabilité qu’il me ruine

Le jeu est équitable Donc nos espérances mathématiques sont égales

p x F2 = (1-p) x F1

Ma probabilité de gagner est donc p= F1/(F2+F1)

Pierre Fiastre

Règle n° 9

L’égalité des chances ne suffit pas à rendre une compétition équitable...

…il faut aussi l ’égalité des moyens.

Pierre Fiastre

Le salaire de la peur

(l’aversion pour le risque)

L’habituel défaut de l’homme est de ne pas prévoir l’orage par beau temps. Machiavel

Pierre Fiastre

Le prix du risque

Le risque positif a un prix: beaucoup de gens sont prêts à « payer » pour un espoir de gain important.

Le succès de la Française des Jeux L ’absence de risque négatif a un prix: beaucoup de gens

sont prêts à payer pour ne pas risquer de subir une perte importante.

L ’utilité des compagnies d’assurance

Pierre Fiastre

Evaluer le risque ?

Probabilité de mourir par:– Accident de la route– Electrocution– Accident d’avion– Impact d’astéroïde– Tornade– Piqûre de serpent– Accident de feu d’artifice

1 / 1001 / 5 0001 / 20 0001 / 20 0001 / 50 0001 / 100 0001 / 1 000 000

Pierre Fiastre

Les risques pour l’entreprise

Risque de perte P1:– Une perte qui ne met pas significativement en

péril le résultat de l ’année– P1 << bénéfice

Risque de perte P2:– Une perte qui met en péril le résultat– P2 ~ bénéfice

Risque de perte P3:– Une perte qui met en péril la survie de

l ’entreprise– P3 ~ fonds propres (ou >)

Pierre Fiastre

Domaine de l’assurance

Pertesinsignifiantes

Probasnégligeables

PerteP3P2P1

Probabilité110-110-210-310-410510-610-710-810-9

Evénementsfréquents

Entreprisenon viable

Pierre Fiastre

Règle n°10

Quand s’assurer ? Définissez 3 plages de pertes:

– P1: perte acceptable– P2: perte grave– P3: perte fatale

N ’assurez-pas:– Les pertes négligeables– Les probabilités supérieures à 10-1

– Les probabilités inférieures à 10-8

Assurez :– Toujours les pertes fatales– Les pertes graves en fonction de leur probabilité

Pierre Fiastre

Défier les éléments

(les jeux contre la nature)

Dieu est rusé, mais il n’est pas méchant. Albert Einstein

Pierre Fiastre

Le pari de Pascal

PASCAL

DIEU EXISTE

0

1 1VIE

PIEUSE

VIE DEPLAISIR

DIEU N ’EXISTE

PAS

8

Pierre Fiastre

Le dilemme du marchand ambulant

BEAU COUVERT PLUIE

SANDWICHES 2000 2000 2000

PARAPLUIES 0 2000 4000

MARRONS 1500 1500 3000

Pierre Fiastre

Le critère du maximin

On choisit la décision qui maximise le gain minimum.

Pierre Fiastre

Le critère du maximin

BEAU COUVERT PLUIE



MARRONS 1500 1500 3000

Pierre Fiastre


BEAU COUVERT PLUIE



MARRONS 1500 1500 3000

Pierre Fiastre

Le critère du maximax

On choisit la décision qui maximise le gain maximum.

Pierre Fiastre

Le critère du maximax

BEAU COUVERT PLUIE



MARRONS 1500 1500 3000

Pierre Fiastre


BEAU COUVERT PLUIE



MARRONS 1500 1500 3000

Pierre Fiastre

Le critère du minimax-regret

On choisit la décision qui minimise le regret maximum.

Pierre Fiastre


BEAU COUVERT PLUIE



MARRONS 1500 1500 3000

Pierre Fiastre


BEAU COUVERT PLUIE

SANDWICHES 0 0 2000

PARAPLUIES 2000 0 0

MARRONS 500 500 1000

Pierre Fiastre

Règle n°11

Choisissez la stratégie la plus adaptée à votre tempérament– Maximin:choisir la stratégie qui maximise le

gain minimum– Maximax: choisir la stratégie qui maximise le

gain maximum– Minimax-regret:

• établir la matrice des regrets• choisir la stratégie qui minimise le regret

maximum

Pierre Fiastre

L ’art de la stratégie

(la théorie des jeux)

Connais l’adversaire et surtout connais toi toi-même, et tu seras invincible. Sun Ze

Pierre Fiastre

La matrice du jeu

Joueur 2

Joueur 1 10-5

72

0 3-5 5

Décision A

Décision B

Décision Décision

Pierre Fiastre

Les jeux à somme nulle

Joueur 2

Joueur 1 10-10

-22

0 0-5 5

Décision A

Décision B

Décision Décision

Pierre Fiastre

Une représentation simplifiéedes jeux à somme nulle

Joueur 2

Joueur 1 10 -2

0-5

Décision A

Décision B

Décision Décision

Pierre Fiastre

L’origine militaire de la stratégie des jeux

LA GUERILLA

LE CONVOI

PLAINE

-10 0

0 -100

MONTAGNE

PLAINE

MONTAGNE

Pierre Fiastre

Premier cas: l’élimination des stratégies dominées

VOUS

VOTRE ADVERSAIRE

A

B

C

D F

5 2 2

4 4 3

1 2 2

Pierre Fiastre

Dezuxième cas: l’équilibre de Nash

VOUSVOUS

VOTRE ADVERSAIRE

A

B

C

D F

5 2 1

4 3 4

1 2 5

Pierre Fiastre

Troisième cas: pas d’équilibre

VOUS

VOTRE ADVERSAIRE

A

B

C

D E F

5 2 3

4 4 3

1 2 5

Pierre Fiastre

L’angoisse du gardien de but avant le penalty

LE GARDIEN

LE TIREUR

DROITE

0 1

1 0

GAUCHE

DROITE

GAUCHE

Pierre Fiastre

La sérénité du gardien de but avant le penalty

LE GARDIEN

LE TIREUR

DROITE

0 1

1 0

GAUCHE

DROITE

GAUCHE

Stratégie

mixte

Stratégie

mixte

0,5

0,5

0,50,5 0,5

1/2 1/2

1/2

1/2

Pierre Fiastre

La solution de l’embuscade

Stratégie

mixte

Stratégie

mixte

-9,1

-9,1

10/11 1/11

10/11

1/11

LA GUERILLA

LE CONVOI

PLAINE

-10 0

0 -100

MONTAGNE

PLAINE

MONTAGNE

-9,1-9,1 -9,1

Pierre Fiastre

Règle n°12

Jeux à somme nulle

Eliminez les stratégies dominées: le problème peut se simplifier et la solution peut apparaître

Cherchez un « col » (équilibre de Nash) Si tout a échoué, la bonne stratégie est

« mixte » (il faut tirer au sort entre les stratégies)

Pierre Fiastre

Bluffer n’est pas mentir

(stratégies mixtes)

L’adultère est au mariage ce que le bluff est au poker: il ne fait pas partie des règles, mais sans lui le jeu serait ennuyeux à mourir.

Sacha Guitry

Pierre Fiastre

Le poker minimal

Vous jouez contre la banque. Chacun mise d’abord 100.Puis deux cartes sont distribuées, un As et un Roi.Vous regardez votre carte. Si c’est un Roi, la banque gagne. Si c’est un As vous gagnez. Vous avez alors deux possibilités:

Vous misez 100

La banque peut alors

Rajouter 100 pour voir

On regarde les cartes

Vous passez

-100Vous perdez

Vous avez le roi

-200Vous perdez

Vous avez l’as

Vous gagnez +200

Vous gagnez +100

Passer

Pierre Fiastre

Le jeu raisonnable (sans bluff)

Il consiste à se coucher si vous vous savez perdant et à miser si vous vous savez gagnant.La banque n’est pas idiote: elle ne vous suit pas.

Vous avez le roi: vous passez

-100Vous perdez

Vous avez l’as: vous misez 100

Vous gagnez

La banque

+100

Passe

Espérance 0

Pierre Fiastre

Le jeu inconscient (bluff systématique)

Il consiste a miser tout le temps, quelle que soit la carte vue. La banque, qui a compris votre jeu, va vous suivre.

Vous rajoutez 100

La banque

Vous avez le roi

Rajoute 100 pour voir


Vous avez l’as

-200Vous perdez Vous gagnez +200

Espérance 0

Pierre Fiastre

La matrice du jeu

LA BANQUE

VOUS

NE JAMAISSUIVRE

0

0

TOUJOURSSUIVRE

JEURAISONNABLE

JEUINCONSCIENT

Pierre Fiastre

Le jeu raisonnable si la banque joue mal

La banque vous suit quand vous misez.

Vous passez

-100Vous perdez La banque

Vous rajoutez 100

Rajoute 100 pour voir


Vous avez l’as

Vous gagnez +200

Espérance +50

Pierre Fiastre

Le jeu inconscient si la banque joue mal

Vous misez toujours, la banque passe tout le temps.

Vous misez 100

Vous gagnez

La banque

+100

S’écrase

Espérance +100

Pierre Fiastre

La matrice du jeu

LA BANQUE

VOUS

NE JAMAISSUIVRE

0 +50

+100 0

TOUJOURSSUIVRE

JEURAISONNABLE

JEUINCONSCIENT

Pierre Fiastre

La matrice du jeu

Stratégie

mixte

Stratégie

mixte+33 +33

2/3 1/3

2/3

1/3

0 +50

+100 0

LA BANQUE

VOUS

NE JAMAISSUIVRE

TOUJOURSSUIVRE

JEURAISONNABLE

JEUINCONSCIENT

+33

+33

+33

Pierre Fiastre

Règle n°13Règle n°13

Le bluffBluffer n’est pas mentir: c’est éviter de

donner à votre adversaire des informations qu’il pourrait déduire de votre comportement.

Il faut savoir bluffer pour éviter qu’il ne tire parti de ces informations.

Mais il ne faut surtout pas le faire systématiquement, car le résultat serait encore pire !

Pierre Fiastre

Donnant-donnant

(le dilemme du prisonnier)

On est plus souvent dupé par la défiance que par la confiance. Cardinal de Retz

Pierre Fiastre

Les pieds nickelés en prison

RIBOULDINGUE

FILOCHARD

AVOUERNE PAS AVOUER

AVOUER

NE PAS AVOUER

-5-5

0-8

-1 -1-8 0

Pierre Fiastre

Le point de vue de Filochard

RIBOULDINGUE

FILOCHARD

AVOUERNE PAS AVOUER

AVOUER

NE PAS AVOUER

-5 0

-1-8

Pierre Fiastre

Le point de vue de Ribouldingue

RIBOULDINGUE

FILOCHARD

AVOUERNE PAS AVOUER

AVOUER

NE PAS AVOUER

-5 -8

-10

Pierre Fiastre

L’apparition du dilemme

RIBOULDINGUE

FILOCHARD

AVOUERNE PAS AVOUER

AVOUER

NE PAS AVOUER

-5-5

0-8

-1 -1-8 0

Pierre Fiastre

Le dilemme du prisonnier sous sa forme standard

VOTRE ADVERSAIRE

VOUS

DEFECTION

COOPERATION

55

08

1 18 0

DEFECTIONCOOPERATION

Pierre Fiastre

Comment reconnaître un dilemme du prisonnier ?

Chaque fois que:– On a le choix entre une attitude de

« coopération » et une attitude de « défection »– On préfèrerait que tout le monde choisisse la

« coopération » plutôt que la « défection »– Mais on gagnerait plus à choisir soi-même la

« défection »

Pierre Fiastre

Exemple: la bretelle d’autoroute

Pierre Fiastre

Exemple: Bison Fûté

Les conseils de Bison Fûté permettent d’éviter que les jours de pointe soient trop chargés

Le système est donc très utile pour ceux qui ne les suivent pas

Pierre Fiastre

Exemple: les élections

Je raccourcis mon week-end pour voter aux présidentielles à 19h55

A 20h, alors que mon enveloppe n’a pas été ouverte on m’annonce les résultats

Mon vote ne sert à rien… Si j’avais voté à 8h, c’était pareil…

Pierre Fiastre

Exemple: la grève

Un conflit social se termine toujours par un accord

Chacune des parties a subi des pertes avant d’aboutir à ce résultat

Le même résultat sans grève aurait été préférable pour les deux parties

Pierre Fiastre

Exemple: la justice

A l’issue d’un procès, une des parties obtient un petit avantage

Les frais de justice rendent le bilan négatif pour les deux…

Pierre Fiastre

Exemple: les impôts

Tout le monde accepte l’opinion que les impôts sont nécessaires

Chacun aimerait bien être le seul (ou presque) à ne pas en payer

C’est pourquoi les impôts sont obligatoires La fraude augmente nos impôts de 10%…

Pierre Fiastre

Exemple: la concurrence sur les prix

Si les concurrents sur un marché font une guerre des prix, leur bénéfice tend vers zéro

Ils ont donc tout intérêt à s’entendre sur des prix plus élevés

Mais c’est interdit…

Pierre Fiastre

Exemple: la tragédie des communs

Chaque pêcheur a intérêt a pêcher le plus de poissons possible

Si tous procèdent ainsi, il n’y aura plus de poisson à pêcher

L’Europe impose des quotas

Pierre Fiastre

Exemple: les émissions de gaz à effet de serre

Chaque pays a intérêt à privilégier sa croissance économique sans se préoccuper des ses émissions

Si c’est le cas, les conséquences du réchauffement climatique coûteront plus à chacun que sa prévention

La prise de conscience: Kyoto

Pierre Fiastre

Un modèle des relations humaines par la théorie des jeux

Dilemme du prisonnier

Jeux à somme nulle

Autres jeux à somme non

nulle

Pierre Fiastre

La vision du dilemme du prisonnier par la société

De manière générale, l’attitude de défection est jugée immorale et incivique

Les moyens d’y échapper: – La contrainte– Les accords– Le sens civique

Il y a un seul domaine dans lequel c’est la coopération qui est réprouvée: l’économie de la concurrence

Pierre Fiastre

LE TOURNOI D’AXELROD

DD

D

S

MD

MR

PMPG

MM

L

GM

1. Gentille

12. Donnant-Donnant-Dur2. Méchante

11. Sondeur

10. Majorité-Dur

9. Méfiante

8. Majorité-Mou

7. Pério-Gentille

6. Pério-Méchante

5. Rancunière

4. Donnant-Donnant

3. Lunatique

Pierre Fiastre

LES RESULTATS DE L’EVOLUTION

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

DON-DONNANT

MAJORITE-MOU

RANCUNIERE

DON-DON-DUR

GENTILLE

PERIO-GENTILLE

SONDEUR

LUNATIQUE

MEFIANTE

MAJORITE-DUR

MECHANTE

PERIO-MECHANTE

Pierre Fiastre

L ’infiltration de donnant-donnant

0

200

400

600

800

1000

1200

0 5 10 15 20 25 30

GENERATIONS

EFFECTIF

DONNANT-DONNANT

MECHANTE

Pierre Fiastre

Règle n°14

Jouez donnant-donnant Ne soyez pas envieux : c ’est votre gain qui

compte, pas celui de l’autreSoyez bienveillant : coopérez a prioriSoyez susceptible : rendez œil pour œilNe cherchez pas à être trop malin : soyez

lisible dans votre comportement

Pierre Fiastre

Naissance de l ’éthique

(le management coopératif)

En affaires, mentir n’est jamais nécessaire, rarementutile et toujours dangereux. Auguste Detoeuf

Pierre Fiastre

La prime à la coopération

VOTRE ADVERSAIRE

VOUS

DEFECTION

COOPERATION 8

1 18

55

00


1010

55

Pierre Fiastre

La sanction de la défection

VOTRE ADVERSAIRE

VOUS

DEFECTION

COOPERATION 8

1 18

55

00


3

-4 -43

Pierre Fiastre

La mutualisation des gains

VOTRE ADVERSAIRE

VOUS

DEFECTION

COOPERATION

55

1 10

8

8 0


4 44 4

Pierre Fiastre

Règle n°15

Incitez à la coopérationModifiez les gains :

Récompensez la coopérationPénalisez la défectionMutualisez les gains

Enseignez la réciprocité Rendez les relations stablesAugmentez l’importance de l’avenir par

rapport au présent

Les mathématiques de la décision

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