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Projet : EPFL | dgeo | Solar Impulse

Rédaction : Angélique Durussel

Graphisme : Anne-Sylvie Borter, Repro – Centre d’impression EPFL

Suivi de projet : Yolande Berga

Cette fiche permettra de découvrir des unités peu courantes dans la vie de tous les jours, mais très utilisées dans le monde de l’aviation : les degrés pour la latitude et la longitude, les milles marins pour la distance et les pieds pour l’altitude.

L’étude des cartes du point de vue du pilote et de l’équipe qui prépare le vol sera également abordée. On découvrira comment un vol se prépare, comment les pilotes se repèrent et quelles sont les cartes utilisées.

Finalement, ce sera l’occasion de travailler les changements d’unités et la proportionnalité grâce à des calculs d’échelles, d’altitudes, de longitudes et de latitudes.

Cette fiche propose également un petit parcours de l’historique des cartes, ainsi qu’une activité de recherche par groupes dans la partie « Remue-méninges ».

LES MAQUETTES ET PLANS « Fais-moi la courte échelle »

Notions abordéesMathématiques :

• Unités spéciales (pieds, unités de latitude et longitude, milles marins)

• Transformations d’unités

• Proportionnalité

• Echelle d’une carte

Objectifs d’apprentissage du PER MSN 33 - 35. Résoudre des problèmes numé-riques et algébriques :

• en choisissant l’outil de calcul le mieux appro-prié à la situation proposée.

• en estimant un résultat et en portant un regard critique sur le résultat obtenu.

• en modélisant une situation de proportionnalité.

MSN 34 - 35. Mobiliser la mesure pour comparer les grandeurs :

• en connaissant le système international d’uni-tés de mesures.

• en calculant des grandeurs composées et en en construisant les unités associées.

• en mobilisant l’instrument et l’unité de mesure adaptés.

• en exprimant une mesure dans différentes unités.

SHS 35. Modéliser des situations mathématiques :

• en mobilisant des représentations graphiques.

Disciplines et options concernéesMathématiques : 9e à 11e

OCOM - Mathématiques * : 9e à 11e

Durée de l’activitéIntroduction et discussion : 1 périodeExercices : 2 périodesRemue-méninges : 1 à 2 périodesPour aller plus loin : 1 période

* Disciplines spécifiques à la scolarité vaudoise OCOM : options de compétences orientées métiers OS MEP : option spécifique mathématiques et physique

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COMMENT CONNAÎTRE SA POSITION EN VOL ?

L’homme n’étant pas doté de système de navigation interne comme certains animaux (voir fiche «LES AIMANTS»), il dépend de représentations du monde, afin de ne pas s’égarer lors de grands déplace-ments. Depuis plus de 2000 ans, il élabore des cartes du monde et les améliore. Aujourd’hui, le GPS a remplacé les cartes papier. On le trouve dans les avions, les trains, les bateaux ou les téléphones portables.

Profitons de parler du fonctionnement du système GPS. Voilà un résumé simplifié, accessible à tous, permettant une base de discussion avec les élèves.

Système de positionnement par GPS (Global Position System)

Il y a une trentaine de satellites utilisés pour le positionnement GPS. Ils tournent autour de la Terre à une altitude de 20’200 km. Les satellites envoient des ondes qui se propagent à la vitesse de la lumière (300’000 km/s) et qui sont captées par les GPS. En plaçant une horloge dans le satellite et une dans le récepteur, on peut déterminer le temps que met l’onde pour parcourir ce trajet.

Cela permet de calculer la distance qui sépare le satellite du récepteur : distance = vitesse · temps

Une des difficultés de ce procédé est de synchroniser l’horloge du satellite et celle du récepteur.Un récepteur est en communication avec plusieurs satellites. Il en faut au moins trois pour que la position du récepteur soit déterminée avec précision. Un quatrième est nécessaire pour déterminer, en plus, l’altitude.

Certains satellites tournent exactement à la même vitesse que la Terre. Vus depuis la Terre, ils pa-raissent immobiles. On les appelle satellites géostationnaires. Ils volent à une altitude de l’ordre de 36’000 km. Ils sont utilisés pour la météorologie et les communications militaires. Ils peuvent aussi servir de relais pour les activités spatiales. Il y a tellement de satellites géostationnaires qu’il y a risque de collision !

Les satellites utilisés pour le positionnement GPS ne sont pas géostationnaires : ils ne restent pas au-dessus d’une région donnée.

Une animation des satellites autour de la Terre :http://commons.wikimedia.org/wiki/File:ConstellationGPS.gif

Satellite 1

Satellite 2

d1

d2

d3

Satellite 3

P

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LES CARTES

Idée : On peut traiter ce sujet en même temps que le thème des Grandes Découvertes, sujet traité en Histoire en 10e.

LA LATITUDE ET LA LONGITUDE

Les GPS donnent les informations de latitude et de longitude du récepteur. Bien avant ceux-ci, les navigateurs connaissaient leur latitude grâce à l’étoile Polaire. Ils la fixaient avec un astro-labe et, par calcul, déterminaient leur latitude. Bien sûr, ils ne pouvaient déterminer leur latitude que la nuit.

La détermination de la longitude est plus compliquée, car elle fait intervenir la mesure précise du temps : le capitaine doit connaître avec précision l’intervalle de temps écoulé entre le passage au zénith du Soleil dans sa position actuelle et le pas-sage au zénith du Soleil dans la ville de départ dont il connaît la longitude. Cela lui permet de déterminer la distance est-ouest parcourue. Il a fallu l’invention en 1725 par Georges Harrison du chronomètre marin, qui n’est pas déréglé par les mouve-ments du bateau, pour pouvoir déterminer la longitude correc-tement. Jusque-là, les navigateurs ignoraient leur position est-ouest, et périssaient souvent en mer à cause d’une mauvaise estimation de leur longitude.

Rama (CC-BY-SA)

Astrolabe

Premier chronomètre marin de G. Harrisson

Les élèves peuvent tester l’effet de la modification de la latitude et de la longitude en temps réel grâce à l’animation suivante :

www.edumedia-sciences.com/fr/a718-longitude-latitude

edumédia, Longitude - Latitude

Idée : Synchroniser ce thème avec le cours de géographie.

L’ALTITUDE

Prolongement : Le pied est subdivisé en pouces (1 pied = 12 pouces).On peut donc imaginer des problèmes impliquant des fractions.

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LES ÉCHELLES

Il est essentiel que les élèves sachent transformer les unités de longueur. Si les distances sur la carte se mesurent souvent en cm, les distances sur le terrain sont exprimées généralement en m ou en km.On rencontre trois genres de problèmes lorsqu’il s’agit d’échelle :

Vrai Faux

Sur un plan à l’échelle, les proportions sont toujours gardées

4 cm mesurés sur une carte au 1 : 25’000 représentent 100 m dans la réalité

Un schéma représente toujours un objet plus petit que la réalité

Si 1 cm sur la carte représente 0,02 cm dans la réalité, l’échelle est au 50 : 1

Quiz

*

* La bonne réponse est 1’000 mètres

A) On connaît l’échelle (E) et la longueur sur la carte (C), il faut déterminer une distance dans la réalité (R).

B) On connaît la distance dans la réalité (R) et l’échelle (E) et il faut déterminer la distance sur la carte (C).

C) On connaît la distance sur la carte (C) et dans la réalité (R) et il faut déterminer l’échelle (E).

Lorsque la représentation de l’objet est plus grande que l’objet réel, on procède de même (attention à bien placer le 1 dans le tableau de proportionnalité) :

Les échelles sont un très bon exemple d’application du lien de proportionnalité. Il faut prendre garde à exprimer les grandeurs dans la même unité pour utiliser le coefficient de proportionnalité. Attention aux unités : il faut convertir les cm obtenus par calcul en m ou km.

?

1,5 km

2,5 km

?

3 cm

?

10 cm

3 cm

1 : 25’000

carte

carte

carte

carte

3 cm ?

? 1,5 km = 150000 cm

2,5 km = 250000 cm10 cm

3 cm

1

1

1

21

25’000

25’000

?

?

1

réalité

réalité

réalité

réalité

1 : 25’000

?

21 : 1

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ET TOUT CELA EN CHIFFRES...

Exercice 1

a)

Exercice 2

a) Pour un cercle, il y a 360° = 360 ∙ 60’’ = 21600’’. La circonférence de la Terre est de 40'000 km. Donc, on a 40'000 / 21'600 ≈ 1,852 km = 1 mille marin.

Exercice 3

Attention, si les élèves n’ont pas fait l’Exercice 2, leur donner la valeur du mille marin = 1,852 km.

a) Il y a donc 5,9 cm ∙ 4'500’000 = 26'550'000 cm = 265,5 km entre Paris et Bruxelles.

b) La latitude est 46° 50’ 35’’ N. Pour obtenir cette valeur en code décimal, il faut transformer les minutes et les secondes en de-

grés : 50 minutes / 60 ≈ 0,833 degré 35 secondes / 3’600 ≈ 0,010 degré On additionne ces deux valeurs à 46 et on obtient la latitude de l’aérodrome de Payerne en code

décimal : 46,843° Nord.

c) La différence de latitude entre les deux villes est de 47,633 – 46,843 = 0,790°. Une minute correspond à un mille marin. Ainsi 0,79 degré = 47,4 minutes d’angle, ce qui correspond à 47,4 ∙ 1,852 km ≈ 87,8 km. Les deux villes sont donc séparées par ~ 88 km.

maquette figurine

31,6 cm 180 / 202 = 0,89 cm63,8 m = 6’380 cm 180 cm

6’380 / 31,6 = 201,9 2021 1

réalité réalitéb)

L’échelle de la maquette est environ au 1: 202. La figurine du pilote mesurerait environ 0,89 cm.

b) On sait que 1 mille marin correspond à une minute d’angle et vaut 1,852 km.

La distance de 15'329 km entre les deux villes est égale

à 15'329 / 1,852 ≈ 8'277 milles marin, qui correspond à 8'277 minutes d’angle, soit 8'277 / 60 ≈ 137,9° = 137°57’.

On nous dit que la latitude d’Eyrarbakky est 63°50’. Ainsi, Lyddan est à 137°54’ - 63°50’ = 74° de latitude Sud.

latitude Nordlatitude Sud

Eyrarbakky

Lyddan

15'329 km

63,8°

74,1°

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Exercice 4

a) Sur le plan, la cote de l’Airbus mesure 14,1 cm. Il faut trouver combien de cm mesureront les

63,8 m des ailes de Solar Impulse :

Exercice 5

1 pied = 30,48 cm = 0,3048 m.Donc 4'900 pieds = 1'493,5 mètres et 28'000 pieds = 8'534,4 mètres.La différence entre les deux altitudes est de 7’040,9 mètres.

Exercice 6

1 pied = 30,48 cm = 0,3048 m.Donc 5’600 pieds = 1'706,9 mètresPour arriver à 2'200 m + 400 m = 2’600 m il faut donc monter de 893,1 mètres = 2'930,1 pieds.

Exercice 7

Sur le plan, 5,9 cm (mesurés entre le centre des roues) correspondent à 650 mm = 65 cm, donc l’échelle est environ au 1 : 11.La hauteur du trolley est de 7,6 cm sur le plan ce qui correspond à 83,6 cm dans la réalité.

plan plan

14,1 cm 14,1 cm64,45 m = 6’445 cm 64,45 m = 6’445 cm

63,8 m = 6’380 cm 11 m = 1’100 cm6’380 ∙ 14,1 / 6’445 ≈ 13,96 cm 1’100 ∙ 14,1 / 6’445 ≈ 2,41 cm

réalité réalité

b) Pour le Cessna :

c) Le rapport entre les envergures de Solar Impulse et de l’Airbus est de 63,8 : 64,45 soit 1 : 1,01.

d) Le rapport entre les envergures de Solar Impulse et du Cessna est de 63,8 : 11 soit 1 : 0,17.

La cote correspondant à l’envergure de Solar Impulse mesurera 13,96 cm.

La cote correspondant à l’envergure du Cessna mesurera 2,41 cm.

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REMUE-MÉNINGES

a) Pour trouver les villes sur la carte, il faut d’abord repérer où l’avion se situe à 6 heures. Sur la carte on tire un trait entre Le Russey et Morteau, et on en marque le milieu. Ensuite, on tire un trait droit depuis Payerne passant par ce milieu et on le prolonge dans les mêmes proportions que sur la représentation. On en déduit que l’avion est au-dessus de Rougemont à 7 heures.

En tirant les traits sur la carte routière avec les bons angles et en respectant la proportionnalité, on trouve que l’avion est au-dessus de Grostenquin à 9 heures, et au-dessus de Saarlouis à 10 heures. A midi, l’avion est quelques km au Nord de Marche-en-Famenne.

b) 1. Il faut calculer le nombre de kilomètres en se référant aux distances indiquées sur la carte. Entre Metz et Grostenquin : 43 + 16 = 59 km. En considèrant qu’une voiture roule à environ 60 km/h

sur une route secondaire, cela fait 1 heure de trajet pour ce tronçon.

Entre Grostenquin et Saarlouis, il y a environ : ~2 + 17 + 3 + 25 + ~3 = 50 km. Soit environ 50 minutes de trajet.

Entre Metz et Saarlouis : 27 + 26 + ~3 = 56 km. Soit un peu moins d’une heure.

Au final, si Jean veut observer l’avion aux deux endroits, il faudra qu’il se dépêche, puisqu’il y a 50 minutes de route entre Grostenquin et Saarlouis. S’il y a beaucoup de circulation ou un contrôle à la douane, il manquera le 2ème rendez-vous !

2. La meilleure solution serait d’aller près de St-Avold, puisqu’il y a environ 44 km (soit environ 45 minutes) à parcourir pour y arriver depuis Metz et que l’avion y passera aux alentours de 9 h 30.

3. Si Jean choisit St-Avold, il devra partir vers 8 h 30 pour avoir de la marge, et il sera de retour vers 11 h. Il aura bien le temps d’observer le passage de l’avion.

6:00

7:00

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c) Pour trouver la distance parcourue par l’avion entre Payerne et Bruxelles, il faut déterminer l’échelle de la carte, puis celle de la reproduction.

On trouve l’échelle de la carte en mesurant un tronçon droit sur la carte.

Par exemple, le tronçon de la route reliant Moudon à Payerne : 1,6 cm sur la carte correspondent à 20 km. L’échelle est donc de 1: 1’250’000.

La distance d’un trait droit tiré entre Payerne et Bruxelles sur cette carte est de 38,5 cm environ, ce qui correspond à une distance d’environ 480 km dans la réalité (38,5 ∙ 1’250’000 = 48’125’000 cm).

On utilise cette valeur pour retrouver l’échelle de la représentation : le trait entre Payerne et Bruxelles

sur la reproduction mesure environ 19,2 cm, ce qui signifie que l’échelle est de 1: 2’500’000. Il faut ensuite additionner tous les tronçons rectilignes tracés sur cette représentation qui repré-

sentent le trajet de l’avion. On obtient : 3,5 + 6,9 + 1,6 + 2,3 + 3,6 + 3,7 = 21,6 cm, ce qui correspond à une distance réelle d’environ 540 km.

Cette distance a été parcourue entre 5 h00 et 13 h00, ce qui fait une durée de 8 heures. L’avion a

volé à une vitesse moyenne de 67,5 km/h.

d) Si l’avion continue à avancer à 67,5 km/h pendant 7 heures, cela fait 472,5 km à parcourir dans les alentours de l’espace aérien de Bruxelles avant de pouvoir atterrir.

e) Environ 600 km à parcourir en voiture avec 15 heures à disposition, c’est tout à fait faisable ! A une vitesse moyenne de 100 km/h , le chauffeur aurait besoin de 6 heures. En comptant les bouchons éventuels et les arrêts, cela lui laisse une marge tout à fait raisonnable.

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POUR ALLER PLUS LOIN…

a) Les trois parties de l’aile ont été grisées, le cockpit ainsi que le fuselage sont en rouge, le stabilisa-teur horizontal en bleu et le stabilisateur vertical en vert :

b) Sur la reconstitution ci-dessous, la pièce verte (stabilisateur est vertical) est vue de dessus. La largeur des ailes mesurée sur les plans est plus petite que la largeur réelle des ailes, puisque les

portions des ailes sont placées de manière oblique dans le Boeing 747. On peut décider de ne pas en tenir compte. On peut aussi utiliser la réponse de la partie d) pour faire un croquis à l’échelle pour les élèves plus avancés.

c) On obtient les mesures suivantes : 8,6 cm + 8,5 cm + 8,5 cm. Ce qui fait un total de 25,6 cm, si on admet que les trois parties sont mises bout à bout dans la réalité.

Ces 25,6 cm correspondent donc à l’envergure de l’avion, soit 63,8 mètres. L’échelle du plan est donc d’environ 1 : 250. L’échelle indiquée sur le plan est 1 : 150. Ce qui signifie que le plan original a été réduit.

Prolongement : on peut demander le facteur de réduction aux élèves qui auraient de l’avance. Ce facteur est 150 : 250 = 0,6 = 60%.

d) Si l’échelle 1: 150 marquée sur la carte correspond en fait à une échelle 1: 250, cela signifie que l’échelle de 1: 75 pour la section en coupe est en fait de 1: 125. (car 250 : 150 = 1,666, donc 75 · 1,666 = 125) Les 2,6 cm mesurés pour la largeur de l’aile correspondent dans la réalité à environ 3,25 mètres.