Les lignes de transmission - .Ce qui explique l’abaque de Smith :   partir...

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  • Les lignes de transmission

    RMI SIESKIND remi.sieskind@ens-cachan.fr

    Table des matires

    1 Les lignes : utilit et mode de propagation 1

    1.1 Intrt et technologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Le mode TEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 LARQP et les hautes frquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    2 Modles de lignes 2

    2.1 Modle constante rparties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Modle de la ligne parfaite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    3 Impdance caractristique et adaptation 4

    3.1 Impdance et coefficient de rflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.2 Adaptation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.3 Abaque de Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    1 Les lignes : utilit et mode de propagation

    1.1 Intrt et technologies

    En transmission de linformation par micro-ondes, il existe deux types de propagation : la radio-propagation,dans lair, longue porte, et la propagation guide, dans les lignes de transmission quon trouve engnral entre une antenne et un analyseur. Une ligne de transmission est compose de deux conduc-teurs spars par un dilectrique dans lequel se propage lon de lectromagntique (

    !E ,

    !H ). Il existe

    trois grands types de ligne : La ligne coaxiale, la ligne bifilaire et la ligne microruban (fig. 1).

    1.2 Le mode TEM

    On appelle onde Transverse ElectroMagntique une onde lectromagntique telle que!E et

    !H soient

    orthogonaux au vecteur donde!k . On se limitera ltude de ce mode dans nos lignes car il permet

    de dfinir une dualit simple entre!E et une tensionV entre les deux conducteurs et entre

    !H et une

    intensit dans chaque (fig. 4).

    FIGURE 4 Exemple dans une ligne micro-ruban

    1

  • Leon lignes de transmission

    FIGURE 1 Ligne micro-rubanFIGURE 2 Ligne coaxiale

    FIGURE 3 Ligne bifilaire

    1.3 LARQP et les hautes frquences

    LApproximation des Rgimes Quasi-Permanents revient considrer comme ngligeable les temps depropagation des ondes lectromagntiques devant la priode du signal ou considrer les dimensionsdu circuit trs petites devant la longueur donde. A cette condition, un fil peut-tre considr commequipotentiel, mais dans le cas des micro-ondes, f ' 1 GHz et 30 cm. LARQP est donc mise endfaut dans nos lignes. En fonction de la charge lentre et la sortie, ces ondes vont tre rflchies ettransmises en bout de ligne, on essaye gnralement de limiter les rflexions qui constituent une pertede puissance de signal.

    2 Modles de lignes

    2.1 Modle constante rparties

    i(z, t)R1dz L1dz i(z + dz, t)

    G1dz C1dzv(z, t) v(z + dz, t)

    R1 = Rsistance srie linique en .m1L1 = Self inductance linique en H.m1G1 = Conductance linique de lisolant en 1.m1C1 = Capacit linique en F.m1

    On suppose lARQP valable entre z et z + dz.

    2

  • Leon lignes de transmission

    Loi des mailles :

    v(z, t) = R1dz.i(z, t) + L1dz@i(z, t)

    @t+ v(z + dz, t)

    Loi des noeuds :

    i(z, t) = G1dz.v(z + dz, t) + C1dz@v(z + dz, t)

    @t+ i(z + dz, t)

    Au premier ordre : 8>:

    @v@z

    = R1i+ L1@i

    @t

    @i@z

    = G1v + C1@v

    @t

    En drivant par rapport z :8>:

    @2v

    @z2= L1C1

    @2v

    @t2+ (R1C1 + L1G1)

    @v

    @t+R1G1v

    @2i

    @z2= L1C1

    @2i

    @t2+ (R1C1 + L1G1)

    @i

    @t+R1G1i

    Ces quations sont appeles quations des tlgraphistes. Comme elles sont identiques en v et en i, onne va rsoudre que pour v. On cherche v de la forme v(z, t) = V (z)ej!t (solution ondulatoire). On a

    alors :@2V

    @z2= L1C1!2V + j!(R1C1 + L1G1)V +R1G1V = (R1 + jL1!)(G1 + jC1!)V

    On crit :@2V

    @z2= 2V et on pose = + j.

    Do V = Vi

    ezejz + Vr

    ezejz et v(z, t) = Vi

    ezej(!tz) + Vr

    ezej(!t+z). On a donc la sommedune onde de tension incidente (vers les z croissants) et une onde de tension rflchie (vers les zdcroissants) et v

    p

    = !

    est appele vitesse de phase ( 2.108m.s1).

    2.2 Modle de la ligne parfaite

    On considre ici un conducteur parfait (R1 = 0) et un isolant parfait (G1 = 0)

    i(z, t)L1dz i(z + dz, t)

    C1dzv(z, t) v(z + dz, t)

    A nouveau, lARQP est valable entre z et z + dzLoi des mailles :

    v(z, t) = L1dz@i(z, t)

    @t+ v(z + dz, t)

    Loi des noeuds :

    i(z, t) = C1dz@v(z + dz, t)

    @t+ i(z + dz, t)

    3

  • Leon lignes de transmission

    Au premier ordre : 8>:

    @v@z

    = L1@i

    @t

    @i@z

    = C1@v

    @t

    En drivant par rapport z : 8>:

    @2v

    @z2= L1C1

    @2v

    @t2@2i

    @z2= L1C1

    @2i

    @t2

    A nouveau, on cherche v de la forme v(z, t) = V (z)ej!t (solution ondulatoire).On obtient v(z, t) = V

    i

    ej!(tzc ) + V

    r

    ej!(t+zc ) avec c = 1p

    L1C1.

    On perd le terme attnuateur en ez.

    3 Impdance caractristique et adaptation

    3.1 Impdance et coefficient de rflexion

    On dfinit Zc

    =Vi

    Ii= R1+jL1!

    do Zc

    =q

    R1+jL1!G1+jC1!

    Souvent Zc

    = 50 en micro-ondes 600 en tlphonie et 75 en vido.

    Dans le cas du modle sans pertes, on a Zc

    = Rc

    =q

    L1C1

    Exemple : cble coaxial RG-58U (dilectrique en po-lythylne)

    cond

    1, 7.108.m1

    2a 0, 406mm2b 1, 418mme 0, 25mmr

    2, 25r

    1isol

    3.1013.m1

    C1 =20rln( ba )

    100pF.m1

    L1 =120r ln(

    b

    a

    ) 0, 25H.m1

    c 2.108m.s1

    Rc

    50

    On dfinit L

    =Vr,L

    Vi,Lle coefficient de rflexion et

    L,d

    = L

    e2de2jd le coefficient ramen en d.

    ZL

    =VL

    IL

    =Vr,L

    + Vi,L

    Ir,L

    + Ii,L

    =Vi,L

    Ii,L

    1 + L

    1 L

    On pose z = ZLZC

    .

    4

  • Leon lignes de transmission

    FIGURE 5 Schma dune ligne charge

    Si ZL

    (ici, Rload

    ) = Zc

    alors L

    = 0, on na pas de rflexion (rgime donde progressive).

    FIGURE 6 Transmission dune impulsion vers une charge de 50

    Si ZL

    = 1 alors L

    = 1, on a rflexion.

    FIGURE 7 Transmission dune impulsion vers une charge infinie

    Si ZL

    = 0 alors L

    = 1, on a rflexion inverse.

    5

  • Leon lignes de transmission

    FIGURE 8 Transmission dune impulsion vers une charge nulle

    3.2 Adaptation

    On sintresse la puissance absorbe par un diple en bout de ligne. Pabs

    = Pinc

    Pref

    = Pinc

    (1 |

    L

    |2) et maximiser la puissance revient avoir L

    = 0, z = 1 ou ZL

    = ZC

    .Si on a une onde rflchie, il existe un systme donde stationnaires. On le caractrise par le TOS ouSWR =

    1+|L|1|L| 1, jusqu 1,2, on considre la charge bien adapte.

    NB : L,d

    = L

    si d = 4 , ce qui signifie quon peut changer un charge inductive en une chargecapacitive pour une certaine longueur donde en rajoutant une certaine longueur de ligne. De plus si lacharge vaut R1 un bout, londe voit R2 lautre bout tel que R1R2 = ZC2. La ligne quart donde estun adaptateur dimpdance.

    3.3 Abaque de Smith

    ( = p+ jq

    z = r + jx

    = z1z+1 donc p+ jq =

    r1+jxr+1+jx

    Do p(r + 1) qx+ j((r + 1)q + px) = r 1 + jx(p(r + 1) qx = r 1(r + 1)q + px = x

    (p(r + 1) q2 r+11p = r 1x = q r+11p

    Do p(r + 1)(1 p) q2(r + 1) = r 1 et (p r1+r )2 + q2 = ( 11+r )

    2 qui est lquation dun cercle pourr constant. De mme si on limine r au lieu de x, (p 1)2 + (q 1

    x

    )2 = ( 1x

    )2. Ce qui explique labaquede Smith : partir de z, on retrouve .

    6

  • Leon lignes de transmission

    FIGURE 9 Abaque de Smith

    7

    Les lignes : utilit et mode de propagationIntrt et technologiesLe mode TEML'ARQP et les hautes frquences

    Modles de lignesModle constante rpartiesModle de la ligne parfaite

    Impdance caractristique et adaptationImpdance et coefficient de rflexionAdaptationAbaque de Smith