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Cours de maths en 4ème

Les fractions

PEUT-ON AJOUTER N'IMPORTE QUELLES FRACTIONS?

- Julien gagne les 34 de 100 € puis les

58 de 100 €.

Quelle fraction de 100 € obtient-il en tout?

Les 34 de 100 € + les

58 de 100 € = 3 5100 100 75 62,50 137,50 €

4 8× + × = + =

Or : 137,50 = 1375 11 125 111,375 100 100 100 100100 8 125 8

×× = × = × = ×

×

Sachant que : 3 5 3 5100 100 1004 8 4 8

⎛ ⎞× + × = + ×⎜ ⎟⎝ ⎠

Conclusion : 3 5 114 8 8+ =

Remarque : ce calcul est aussi possible en utilisant la règle de réduction au même dénominateur : 3 5 3 2 5 6 5 6 5 114 8 4 2 8 8 8 8 8

× ++ = + = + = =

×

- Marie gagne les

59 de 360 € puis les

712 de 360 €.

Quelle fraction de 360 € obtient-elle en tout? Utilise le même procédé que dans le § .

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Conclusion: 5 7 ......9 12+ =

- On veut ajouter 59 et

712 sans connaître la grandeur dont elles définissent une partie.

Les deux fractions doivent être écrites avec …………………………………………………………………………………………

Ce …………………………………………………………………………….………… est un ……………………………. de 9 et de 12

Il est souhaitable que ce ……………………………………………………………….…………… soit aussi petit que possible.

Conclusion: 59 s'écrit:…………………….………

712 s'écrit:……………………………

donc: 59 +

712 = …………………………………………………………….

LES FRACTIONS (Quotients de nombres entiers positifs)

- Quelques rappels

Règle de simplification d’une fraction

ab

kk

××

ab

=

Exemples :

22××26 13 13

14 7 7==

2552

25 1 1100 4 4

××

= =

Écriture d’un quotient de nombres décimaux sous la forme d’une fraction

b b k

k××

a a=

Exemples :

1003,18 3,18 318

0,07 0,0 7100××7

= = 2 2

12,5 12,5 252 4

2××

= =

Écriture d’une fraction avec un autre dénominateur

b b k

k××

a a=

Exemples :

7 7 2

15 151

45==

33×

×

54 4 209 9 55 4

××

= =

Remarque : Les deux fractions précédentes sont écrites avec le même dénominateur 45. 45 est un multiple de 15 et de 9 ; c’est même le plus petit multiple (non nul)de 15 et de 9. Comparaison de deux fractions

a b lors ue bd

qd

a< < d étant un nombre positif

Exemple :

4545 45

4 2020 21 4 79 20 21

7 21 945

1515

car donc=

< <

⎫⎪⎪

⎪⎪

<=

⎬

⎭

Addition de deux fractions

d d

b bd

a a ++ =

Exemple :

45 45

4 7 20 21 20 21 419 15 45 54

++ = + = =

Soustraction de deux fractions

d d

b bd

a a −− =

Exemple :

45 45

7 4 21 20 21 20 115 9 445 5

−− = − = =

Égalité de deux fractions

lorscad

ad beb

qu c= =

Exemple :

14 9914

99× 1386

13866

231 6231car

==×

⎧= ⎨

⎩

Produit de deux fractions

a c a cb d b d

×× =

×

Exemple:

35 54 35 54 5 2 1027 49 27 49 7 7

7 3 93 9 7

× × × × ×× = = =

× × × × On a simplifié par3 7 9× × avant d’effectuer les produits.

- Recherche d’un dénominateur commun

Un dénominateur commun à deux ou plusieurs fractions est un multiple de tous les dénominateurs. Exemple :

Recherche d’un dénominateur commun aux fractions 1736

et 2342

a) On peut écrire les listes des multiples de 36 et de 42 et choisir un multiple commun (si possible le plus petit) :

7× 6

(36) : ;36;72;108;144;180;216; ;288;324;360;396;432;468; ;540...(42) : ;42;84;126;168;210; ;2

0 252 5040 25 94;336;378;420;462; ;542 50 6;588;630...4

multiplesmultiples

On remarque que c’est 252 (36 ) et ( 42× ) le plus petit (0 étant exclu car on ne sait pas diviser par 0 !)

On écrit donc :

17 17 11936 3623 23

252

25

7

2

766

××××

13842 42

=

= =

= On peut alors comparer, ajouter ou retrancher ces deux fractions.

b) On peut utiliser les nombres premiers (ce sont des nombres qui ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes) Il est utile de connaître par cœur les premiers nombres premiers : 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,43,47…(voir une fiche de recherche du niveau 5ème)

On décompose les nombres 36 et 42 en produits de nombres premiers : Ce n’est pas très difficile en utilisant les critères de divisibilité (cours de 6ème)

Disposition des calculs : (non obligatoire) :

36 4218 21

9 73 11

2 22 333

7 d’où : 3642

2 2 3 32 3 7

= × × ×⎧⎨ = × ×⎩

Pour trouver le dénominateur commun le plus simple, on prend tous les facteurs de 36 puis tous les facteurs de 42 qui n’ont pas encore été écrits : (Ou tous les facteurs de 42 puis ceux de 36 qui n’ont pas encore été écrits)

3642 3

222 3

7= × × ×⎧

⎨ = × ×⎩

3

Le dénominateur commun est donc : 2 2 3 3 7 252× × × × = Remarque : Les deux méthodes précédentes sont rarement utilisées en 4ème car les dénominateurs sont en général très simples et un dénominateur commun est souvent trouvé intuitivement.

- Inverse d’une fraction

Définition : Deux nombres sont inverses l’un de l’autre lorsque leur produit est égal à 1 (C’est impossible si l’un des deux nombres est 0) Exemples : 2 est l’inverse de 0,5 car : 2 0,5 1× =

13

est l’inverse de 3 car : 1 1 33 13 3

×× = =

78

est l’inverse de 87

car : 7 8 18 7

7 88 7×

× = = ×

Propriété :

' 1b a b aest l inverse de cara b

b aa bba×

× = = ×

Remarque :

Seul 0 n’a pas d’inverse !

- Division des fractions

Diviser 4 par 3 revient à multiplier 4 par l’inverse de 3 car : 4 143 3= ×

De la même façon :

Diviser37

par 5 revient à multiplier 37

par l’inverse de 5 :

33 37

5 7 315 5

= × =

: 8

Diviser 6 par 58

revient à multiplier 6 par l’inverse de 58 5

6 6 8 4865 5 58

×= × = =

:

33 38

58 247

5 7 7 5 38

×= × = =

× 5 Diviser

37

par 58

revient à multiplier 37

par l’inverse de 58

Règle : Diviser par un nombre (non nul) revient à multiplier par l’inverse de ce nombre.

aa

cd

dbb c

= ×

Exemples :

3838 38 200 2 19 4 5050 2 4 819 50 50 19

20019 50 19

200

× × × ×= × = = = × =

× ×

2 3 140 14 15 1694 169 1695 7 35 35 35 352 3 140 14 15 139 35 13945 7 35 35 35 35

35139

+ + + += = = × =

+ − + −

Avec des FRACTIONS

- Effectue les calculs suivants (tu donneras les résultats sous leur forme irréductible) :

=+667

61

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

59

+ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

=+785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

233

911

− = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1940

1132

+ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

28720

+ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

112

− = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

25

− = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

23

34

+ + = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

112

23

+ − = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

229

373

56

+ + + = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

-Compare les fractions n

n + 1 et

nn+

+

12

sachant que :

a) n = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b) n = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c) n = 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Que pourrais-tu conclure ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

- Effectue les calculs suivants :

7

1232

× = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52720

× = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

34

× = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12514

28200

× = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

=32

4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

234= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15238

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

895

12

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +×

73

51

27

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

834

834

−

+= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

13

52

34

+

−= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices 2 AVEC DES FRACTIONS

- Jean a payé les 23

de la moitié d’un téléviseur.

Quelle part du prix du téléviseur lui reste-il à payer ? …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

- Monsieur Duchaîne verse 80 € pour l’achat d’un lecteur de DVD ; cela représente les 23

du prix du lecteur.

Quel est le prix du lecteur ? …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

- Combien de bouteilles de 34

de litre obtient-on avec une pièce de 220 litres ?

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

- Pour l’achat d’une photocopieuse, le collège propose d’en régler les 7

12, la ville finance 15 % du pris et le foyer du

collège offre 16

du prix.

Cela suffit-il ? …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

- Après un orage, 7 pommiers sur 15 ont été détruits dans le verger de M. Prunier et 4 sur 9 l’ont été dans le verger de M. Prunot. Quel verger est le plus touché par cet orage ? …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

- L’inverse de la somme de deux nombres est-il égal à la somme des inverses de ces deux nombres ? Si « oui », démontre-le

Si « non », contente-toi d’un contre-exemple. Commence d’ailleurs par un exemple numérique !

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

Devoir 1

- Est-il préférable de recevoir les 1721

ou les 2328

d'une certaine somme d'argent?

Conseil: il s'agit donc de comparer ces deux fractions après les avoir écrites avec le même dénominateur.

- Dans un collège où l’on étudie trois langues en sixième (l'anglais, l'allemand et l'espagnol), les 154 des

élèves font de l’allemand et 49

font de l’anglais.

Combien font de l’espagnol ? Conseil:écris le résultat sous la forme d'une fraction du nombre total d'élèves de sixième.

- Exprime 1 h 36 min en fraction d'heure. Conseil:écris le résultat sous forme irréductible

Rappel: dans une heure, il y a 60 minutes

- Calcule : et a( )2 a b− b− 2 sachant que :

a) 73=bet 7a =

b) 121bet

94a ==

Devoir 2 - Une somme de 17 500 F est partagée entre trois personnes de la façon suivante :

* la première reçoit les deux cinquièmes de la somme ; * la seconde obtient les trois quarts de la part de la première. Calculer la part de chacune.

- Étienne parcourt 158 km en 2 h 38 min. Exprimer la durée du parcours en fraction d’heure. En déduire la vitesse d’Étienne en km/h. - Calculer :

a ba b

ab bab

a+−

−= = et sachant que : et b5

6920

- On considère les nombres 35

et 3.

Calculer : • la somme de leurs inverses, • l’inverse de leur somme, • le produit de leurs inverses, • l’inverse de leur produit.

Devoir 3

- On considère la fraction 15730

On effectue les transformations suivantes :

15730

5 730

5 1307

5 1

4 27

5 1

4 172

5 1

4 1

3 12

= + = + = ++

= ++

= ++

+

...où tous les numérateurs sont égaux à 1.

Procède de la même façon pour la fraction : 19961983

- Une enquête sur l’apprentissage de l’allemand et de l’anglais chez les élèves de quatrième fait ressortir que :

• le tiers des élèves interrogés n’apprennent pas l’allemand, • 500 élèves apprennent à la fois l’allemand et l’anglais, • le quart des élèves interrogés n’apprennent pas l’anglais, • le douzième des élèves interrogés n’apprennent ni l’anglais ni l’allemand.

Combien d’élèves ont été interrogés au cours de cette enquête ?

PEUT-ON AJOUTER N'IMPORTE QUELLES FRACTIONS?

- Julien gagne les 34 de 100 € puis les

58 de 100 €.

Quelle fraction de 100 € obtient-il en tout?

Les 34 de 100 € + les

58 de 100 € = 3 5100 100 75 62,50 137,50 €

4 8× + × = + =

Or : 137,50 = 1375 11 125 111,375 100 100 100 100100 8 125 8

×× = × = × = ×

×

Sachant que : 3 5 3 5100 100 1004 8 4 8

⎛ ⎞× + × = + ×⎜ ⎟⎝ ⎠

Conclusion : 3 5 114 8 8+ =

Remarque : ce calcul est aussi possible en utilisant la règle de réduction au même dénominateur : 3 5 3 2 5 6 5 6 5 114 8 4 2 8 8 8 8 8

× ++ = + = + = =

×

- Marie gagne les

59 de 360 € puis les

712 de 360 €.

Quelle fraction de 360 € obtient-elle en tout? Utilise le même procédé que dans le § .

5 7 5 7les de 360 € les de 360 € 360 360 200 210 410 €9 12 9 12

410 360 410 41Or : 410 360 360360 360 365 7 5 7Sachant que : 360 360 3609 12 9 12

5 7 41Conclusion :9 12 36

+ = × + × = +

×= = × = ×

⎛ ⎞× + × = + ×⎜ ⎟⎝ ⎠

+ =

=

- On veut ajouter 59 et

712 sans connaître la grandeur dont elles définissent une partie.

Les deux fractions doivent être écrites avec le même dénominateur

Ce dénominateur commun est un multiple. de 9 et de 12

Il est souhaitable que ce multiple de 9 et de 12 soit aussi petit que possible.

Conclusion: 59 s'écrit:

5 4 209 4 36×

=×

712 s'écrit:

7 3 2112 3 36×

=×

donc: 59 +

712 =

20 21 4136 36 36

+ =

Avec des FRACTIONS

- Effectue les calculs suivants (tu donneras les résultats sous leur forme irréductible) :

11 7 18 966 66 66 3

76 3

16 6+ = + = =

27 35 626

3 539 63 637+ =+ =

35 8 437 7

57

87

+= =+ 253 27 22633 33

23 93 11 33

− =− =

76 55 131

160 16019 1140 3 1 02 6

= =+ + 25 49 74 37

140 140 140 705 728 20

+ = + = = . .

4 1 3 1

11

2 12 12 41

3 12− = =− =

25 4 2110 102 1

25 0

5− =− =

12 40 45 9760 60 60 6

1 2 35 03 4+ + = + + =

6 3 4 9 4 56 6

16 6

213 62 6

+ − = −= =+ −

44 54 42 15 15518 18

22 7 539 3 6 18 18 18

+ + + =+ + + =

-Compare les fractions n

n + 1 et

nn+

+

12

sachant que :

a) n = 1 n 1 1

n 1 1 1 2 6= = =

+ +3

et n 1 1 1 2 4n 2 1 2 3 6+ +

= = =+ +

comme 3 46 6< donc

n nn 1 n 2

+<

1+ +

b) n = 4 n 4 4 2

n 1 4 1 5 30= = =

+ +4

et n 1 4 1 5 25n 2 4 2 6 30+ +

= = =+ +

comme 24 2530 30

< donc n n

n 1 n 2+

<+ +

1

c) n = 9n 9 9 9

n 1 9 1 10 110= = =

+ +9

et n 1 9 1 10 100n 2 9 2 11 110+ +

= = =+ +

comme 99 100

110 110< donc

n nn 1 n 2

1+<

+ +

Que pourrais-tu conclure ? Il semble que n n

n 1 n 21+

<+ +

quel que soit l’entier naturel n.

- Effectue les calculs suivants :

7 3 7 3 7

12 27 3

12 22 3 4 8× ×

=× × ×

× = = 5 27 5 27 27

2027

55

0 42 4× ×

= =×

× =

6 3 2 36 3 3 97 4 7 2 2 17 4 4× × ×

× ×× == =

×

125 28 5 25 2 14 514 200

125 214 2 4 2

80 514 20 4

× × × ×× × ×

× = =×

=

4 2 4 823 3

23 3

×× = ==

4

2 1 2 1 13 4 3 2

23

24 6=

×× = =

× ×

15 8 15 8 3 5 4 2 202 3 2 3 2 3

15238

× × × ×= × = = =

× ×

8 12 8 12 8 3 4 329 5 9 5

895

123 3 5 15

× × ×× = = =

× × ×=

7 7 15 7 22 7 22 7 2 11 112 35 3

7 1 32 5 2 35 2 35 2 7 55 57

× × ×⎛ ⎞× + =⎛ ⎞× + =⎜ ⎟⎝ ⎠

× = = =⎜ ⎟ × × ×⎝ ⎠

32 3 2929 4 29 4 294 4 4

32 3 35 4 35 4 35 3

38438 54 4 4 4

−=

+

− ×= = × = =

×+

Exercices 2 AVEC DES FRACTIONS

- Jean a payé les 23

de la moitié d’un téléviseur.

Quelle part du prix du téléviseur lui reste-il à payer ?

Jean a payé :2 1 2 1 13 2 3 2 3

×× = =

× du prix du téléviseur

Il lui reste à payer :1 3 1 213 3 3 3

− = − = du prix du téléviseur

- Monsieur Duchaîne verse 80 € pour l’achat d’un lecteur de DVD ; cela représente les 23

du prix du lecteur.

Quel est le prix du lecteur ?

Si x est le prix du lecteur, M. Duchaîne a payé : 2 x 80 €3

=

x est donc le quotient de 80 par 23

; le prix du lecteur est :3x 80 120 €2

= × =

- Combien de bouteilles de 34

de litre obtient-on avec une pièce de 220 litres ?

La pièce contient : 220 4 880220 293 bouteilles3 3 3

4

= × = ≈

- Pour l’achat d’une photocopieuse, le collège propose d’en régler les 7

12, la ville finance 15 % du pris et le foyer du

collège offre 16

du prix.

Cela suffit-il ? Si x est le prix de la photocopieuse, il reste à payer :

7 15 1 7 15 1 7 3 1 60 35 9 10 6 1x x x x 1 x 1 x x x

12 100 6 12 100 6 12 20 6 60 60 20 60 60 10⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − = − − − = − − − = − − − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x

- Après un orage, 7 pommiers sur 15 ont été détruits dans le verger de M. Prunier et 4 sur 9 l’ont été dans le verger de M. Prunot. Quel verger est le plus touché par cet orage ?

Les 7

15 du verger de M. Prunier ont été détruits soit les

2145

de ce verger.

Les 49

du verger de M. Prunot ont été détruits soit les 2045

de ce verger.

Puisque 21 2045 45

> , c’est le verger de M. Prunier qui a été le plus touché par l’orage.

- L’inverse de la somme de deux nombres est-il égal à la somme des inverses de ces deux nombres ? Si « oui », démontre-le

Si « non », contente-toi d’un contre-exemple. Commence d’ailleurs par un exemple numérique !

Je choisis les nombres 2 et 3 :

L’inverse de leur somme est :1 1

2 3 5=

+ La somme de leurs inverses est :

1 1 3 2 52 3 6 6 6+ = + =

1 55 6≠ Ce contre-exemple prouve qu’on ne peut pas dire que l’inverse de la somme de deux nombres est

égal à la somme de leurs inverses.