les feuilles d'exercices

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MASTER Ingénierie mathématique Mécanique du solide Chapitre 1

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Élasticité linéaire Rappels : • Relations déformations - déplacements en HPP (6 relations) :

• Relations de compatibilité d’un champ ! (6 relations) :

• Equations d’équilibre (3 relations) :

f : densité volumique de force

• Loi de Hooke (6 relations) :

ou encore :

! et µ : coefficients de Lamé, E : module de Young, " : nombre de de Poisson

L’ensemble de ces relations définies sur un domaine # et complété par des conditions aux limites portant sur u et/ou sur $ sur des parties %u# et/ou %"# de la frontière:

(F densité surfacique de force)

constitue un problème général d’élastostatique. En éliminant soit $ soit u on aboutit aux deux formulations classiques :

• Formulation en déplacements (équations de Lamé-Clapeyron) : (3 relations)

ou encore (puisque ) :

• Formulation en contraintes (équations de Beltrami) :

(6 relations)

Exercice 1 : Paramètres élastiques (!, µ), (E,"), (K, G)

1) On considère, dans un repère orthonormé (O,ex,ey,ez), les trois expériences suivantes pour lesquelles & est un nombre positif suffisamment petit pour que l’on puisse faire l’hypothèse des petites déformations. On envisagera pour chacune d’elles un système de forces (compatible avec l’intuition physique !) permettant de rendre compte de la déformation. On calculera le champ de déformation et le champ de contrainte correspondant. Les forces de volume sont négligées. Les milieux considérés sont homogènes et isotropes (loi de Hooke).

A) Cisaillement simple Un bloc rectangulaire subit la transformation suivante :

• quelle condition obtient-on sur µ ? • calculer la variation de volume ; • donner une interprétation physique à µ.

B) Compression uniforme Une sphère subit la transformation suivante :

• quelle condition obtient-on sur 3! + 2µ ? • calculer la variation de volume subie par la sphère ; • donner une interprétation physique à K = (3! + 2µ)/3.

C) Traction pure Un cylindre subit la transformation avec "

>0 • exprimer " en fonction de ! et µ ; • quelle condition obtient-on sur ! et µ ? • calculer la variation de volume ; • donner une interprétation physique à " et à

2) Exprimer la loi de comportement en fonction de K et G = µ

Résumé : relations entre (!,µ), (E,") et (K,G)


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Exercice 2 : Détermination expérimentale des paramètres élasticité Un essai de traction a été effectué sur un matériau. Les courbes contrainte ' déformation longitudinale ((l) et contrainte ' déformation transversale ((t) sont données par la figure ci-dessous. Déterminer le module de Young E et le coefficient de Poisson " de ce matériau.

Exercice 3 : Réservoir sphérique sous pression On considère une sphère creuse de rayon intérieur R1 et de rayon extérieur R2 soumise à une pression interne p1 et à une pression externe p2. 1) Déterminer, en négligeant les forces de volume, la fonction de déplacement

d’un point quelconque de la sphère. 2) En déduire les composantes du tenseur des petites déformations et celles

du tenseur des contraintes en supposant que le comportement de la sphère obéit à la loi de Hooke.

3) Exprimer les conditions aux limites du problème. 4) Etudier maintenant le cas d’une coque mince d’épaisseur h = R2-R1 avec

h << R1, soumise à une pression extérieure p2 = 0 et une pression intérieure p1 = p.

Exercice 4 : forces de volume Un milieu est en équilibre par rapport à un repère orthonormé absolu direct Oxyz. Les composantes du tenseur des contraintes dans ce repère sont

où & et l sont des constantes données. En déduire l’expression de la densité volumique des forces extérieures f.

Exercice 5 : Traction - compression d’une barre élastique On néglige l’action des efforts volumiques et le milieu considéré est une pièce cylindrique élastique d’axe Ox sollicitée en traction. On exerce, à cet effet, des forces superficielles sur les deux sections droites Sg et Sd du cylindre. On observe une déformation du milieu qui se caractérise par un

# déplacement ) suivant Ox des points de Sd, # déplacement nul suivant Ox des points de Sg

a) Sachant qu’au cours de la déformation les deux sections Sg et Sd restent identiques à toutes sections droites du cylindre, écrire les conditions aux limites auxquelles doivent satisfaire les contraintes et les déplacements.

b) Essayer un champ de contraintes, choisi très simplement, compatible avec les conditions aux bords. Vérifier s’il satisfait également aux conditions générales de Beltrami.

c) En supposant que la loi de Hooke est applicable, déduire de ce champ de contraintes le champ des vecteurs déplacements. Particulariser la solution ainsi obtenue en écrivant qu’un des points est fixe et que la rotation en son voisinage est nulle.

Exercice 6 : Déformation d’une colonne Une colonne de marbre de hauteur h repose sans frottement sur un sol rigide. La surface latérale et la section supérieure sont libres de tout effort. La verticale descendante est prise pour axe Ox3, l’origine O étant dans le plan de la section supérieure. Trouver un champ de contraintes statiquement admissible dont la seule composante non nulle est (pourquoi ?).

Calculer le champ des déformations associé et trouver le champ des déplacements. Particulariser la solution en imposant que le centre O de la section x3 = h reste en contact avec le sol rigide et que la rotation y est nulle. Représenter schématiquement et de manière amplifiée la forme prise par la colonne.


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Exercice 7 : Effet d’un champ gravitationnel Soit une boule pleine isolée et soumise à son propre champ de gravitation. Si g désigne le module de l’accélération de la pesanteur à la surface de la boule, les forces de volume en tout point M de la boule sont où R est

le rayon de la boule, O son centre, et * la masse volumique de la

substance la composant.

# Quelles sont les conditions aux limites du problème ?

# Dans l’hypothèse des petites déformations élastiques, déterminer le champ des déplacements et les déformations correspondantes.

Exercice 8 : Cylindre en rotation Un cylindre plein à base circulaire de rayon R est constitué par un matériau élastique de masse volumique *. Il est mis en rotation uniforme autour de son axe Ox3. En désignant par + la vitesse angulaire et en négligeant l’accélération de la pesanteur, les forces volumique se réduisent à la seule force centrifuge .

Calculer le champ des déplacements. Exercice 9 : Thermo-élasticité - Conditions de compatibilité L’espace est rapporté à un trièdre (O, x, y, z) orthonormé direct. On considère un milieu continu homogène et isotrope et on se place en petites déformations. Soit T une fonction scalaire représentant la variation de température en tout point du milieu dans son état de référence.

Le champ des déformations est supposé être donné par la relation :

où & est une constante et I le tenseur identité.

1) Déterminer dans ce cas la forme la plus générale de la fonction T compatible avec la continuité du milieu.

2) Le milieu occupe, dans l’état de référence, la région de l’espace situé entre z = h et z =-h. Calculer le champ des déplacements en tout point du milieu lorsque les particules situées dans les plans z = h et z =-h subissent respectivement une variation uniforme de température

on supposera que le vecteur déplacement et le tenseur rotation sont nuls en O. Déterminer l’équation de la surface déformée du plan z = 0.

Le milieu est supposé élastique linéaire. L’expression de la loi de comportement est alors

3) Déterminer l’expression des contraintes en fonction des déformations (on fera intervenir soit K et G soit ! et µ=G).

4) Le milieu occupe dans l’état de référence le domaine # de frontière $#. Il est soumis à des efforts volumiques de densité f et à des efforts surfaciques de densité F sur $# et à une variation de température T en tout point. Montrer que l’on peut formuler ce problème comme un problème classique d’élasticité linéaire.

Annexe : conditions de compatibilité en coordonnées cartésiennes


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Exercice 10 : Déformation d’un hangar L'espace est rapporté à un trièdre (O, x, y, z) orthonormé direct, lié à la terre. On désigne par g l'intensité de la pesanteur, (O, z) étant vertical ascendant. On désire réaliser l'étude simplifiée d'un hangar métallique H, en forme de calotte hémisphérique de faible épaisseur. Le matériau constitutif de masse volumique *, est homogène. On suppose acceptable l'hypothèse des petites perturbations. H repose sur un sol rigide, plan et horizontal, suivant une couronne circulaire de faible épaisseur et de rayon moyen R ; on admet que le contact entre la base et le sol a lieu sans frottement. De manière naturelle, on repère un point de H par ses coordonnées sphériques (r,,,-).

1) On recherche le champ de contraintes solution parmi les champs de

tenseurs de matrice représentative

a) Montrer que l'on doit avoir

(1)

b) Vérifier qu'une solution particulière du système (1) est

c) Montrer que la solution générale de (1) s'écrit

où k est une fonction arbitraire de r.

2) On suppose maintenant l'épaisseur de H négligeable. H est donc assimilé à une demi sphère reposant suivant son grand cercle C de rayon R et * s'interprète comme une densité surfacique. Déterminer complètement la solution en contrainte. On montrera que les diverses conditions à satisfaire imposent de ne conserver que la solution particulière de (1)

3) Le matériau utilisé pour construire H obéit à la loi de comportement

suivante :

les autres composantes n’étant pas prises en considération. Pour des raisons de symétrie évidentes, on fait l’hypothèse que le champ des déplacements solution a sa composante u% identiquement nulle et que ses composantes ur et u, sont fonction de , seulement. Enfin, on suppose que les points de la base C de H ne subissent aucun déplacement vers le haut. Déterminer, en tout point de H, les déformations et le

champ des déplacements.

Exercice 11 : Déformation antiplane (examen de septembre 2002) Présentation du problème - On se propose d’étudier la déformation statique d’une pièce entre deux plaques planes rigides. La pièce, qui est rapportée à un système d’axes orthonormée Ox1x2x3, est infinie dans la direction verticale Ox3 et à une section rectangulaire ! =]0,a["]0,b[ dans le plan Ox1x2. Les faces

x1 = 0 et x1 = a sont en contact sans frottement avec deux plaques parallèles rigides (déplacement normal nul et contraintes tangentielles nulles). On impose à la face x2 = b un déplacement tangentiel (0, 0, B) et une contrainte normale –S où B = B(x1) et S > 0 sont donnés. La face x2 = 0 est fixe (le


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vecteur déplacement est nul). Les forces volumiques (la pesanteur) sont (0, 0, -*g) où * est la densité de masse.

1) Mise en équation – Il s’agit d’écrire l’équation d’équilibre et les conditions

aux bords.

2) Simplification du problème – Il s’agit d’utiliser l’hypothèse u1 = 0, u2 = u2(x2), u3 = u3(x1,x2) pour écrire le tenseur des déformations linéarisé (ij et le tenseur des contraintes donné par

où ! > 0 et G > 0, afin de déduire le problème simplifié.

3) Trouver l’expression du déplacement u2 puis celle de la contrainte normale sur la face x1 = a.

4) Montrer que si B(x1) = . > 0 alors u3 = u3(x2) et trouver son expression.

Supposons dans ce qui suit que

5) Calculer T > 0 le plus grand pour lequel pour 0 < , < T nous avons

|| !D (x

1,x

2) || < k.

Trouver (x1!,x

2

!)"[0,a]# [0,b] où la condition || !D (x

1,x

2) || = k est satisfaite

pour , = T.


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Théorème de l’énergie potentielle

Exercice 12 : Torsion d’un arbre cylindrique On considère un arbre cylindrique ! de longueur l dont la section droite simplement connexe possède un centre de symétrie. On désigne par S la surface latérale de ce cylindre. Les bases "0 et "l sont des sections droites. "0 est située dans le plan z = 0, l'origine O étant confondue avec le centre de symétrie de "0. On désigne par " une section droite quelconque. On néglige les forces de volume et le matériau est élastique linéaire, homogène et isotrope. On étudie, sous les hypothèses des petites déformations et des petits déplacements, la torsion de ce cylindre. Sur S les charges extérieures sont nulles. En tout point de "0 :

et en tout point de "l , # étant une constante :

En conséquence, la partie de la frontière où les déplacements sont imposés est et la partie de la frontière où des efforts surfaciques sont

imposés (nuls) est

1) On peut rechercher le champ de contraintes solution de ce problème en le supposant a priori de la forme

où ! est une fonction des seules variables x et y, nulle sur le contour de toute section droite et µ est le module de cisaillement du matériau (second coefficient de Lamé).

Montrer, alors, que ! doit maximiser la fonctionnelle

2) On peut également rechercher le champ de déplacements solution en le

supposant de la forme

avec " fonction de x et y seulement, continûment différentiable. Montrer alors que " doit minimiser la fonctionnelle

3) "0 est le rectangle On souhaite obtenir la meilleur approximation de ! parmi les fonctions de la forme

Comment doit-on procéder pour déterminer les coefficients

optimaux ? Les calculer explicitement.

Annexe : théorème de l’énergie potentielle

$ énergie potentielle d’un champ de déplacements, , cinématiquement

admissible (CDCA) :

avec

, et sur

$ énergie potentielle d’un champ de contraintes, , statiquement admissible (CCSA) :

avec

, et sur


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Critères de plasticité - Élastoplasticité

Exercice 13 : Représentation de critères On considère les états de contraintes plans chacun d’eux étant

représenté par un point de coordonnées . Montrer que la limite du

domaine élastique est constituée par une ellipse dans le cas du critère de Von Mises, par un hexagone dans le cas du critère de Tresca. Exercice 14 : Identification de critères Soit un matériau dont on ne sait pas a priori s’il obéit au critère d’écoulement de Tresca ou au critère de Von Mises. En contraintes principales, ces deux critères s’écrivent respectivement :

1) On effectue un essai de traction simple. On constate que l’écoulement plastique commence lorsque le module du vecteur contrainte en un point, pour une normale n orientée dans la direction de la traction, atteint une valeur .

Donner l’expression de et en fonction de .

2) On effectue maintenant un essai de cisaillement pur. On constate que l’écoulement plastique commence lorsque le module de la contrainte tangentielle maximale atteint une valeur .

Donner l’expression de et en fonction de .

3) Comment, à partir des deux essais précédents, peut-on déterminer lequel des deux critères convient pour le matériau ?

4) En un point M du matériau, soient , les vecteurs unitaires,

orthogonaux deux à deux, associés à trois directions principales de

contrainte. Soit n la normale de composantes dans la

base formée par les . Montrer que le critère de Von Mises est équivalant

à dire qu’il y a écoulement plastique commençant, lorsque le carré de la contrainte tangentielle, associée au vecteur contrainte au point M, atteint la valeur limite .

Exercice 15 : Compression sous confinement Si est la limite d’élasticité du critère de Von Mises en traction-

compression d’un matériau élastique linéaire, homogène et isotrope, trouver la valeur limite du raccourcissement ! que peut subir un arbre cylindrique de hauteur l formé par un tel matériau dans un essai de compression sous pression de confinement p. Exercice 16 : Partie de l’examen de 1996 : Torsion d’un arbre cylindrique On se propose d’étudier la déformation d’une pièce (arbre) cylindrique. L’arbre qui est rapporté à un système d’axe orthonormé Oxyz a une section droite ! et occupe une région " = ! "] 0,L[ de IR3. Le matériau est supposé élastique, linéaire, homogène et isotrope (coefficients de Lamé # et µ) . Nous imposons une rotation nulle de la face z = 0 et une rotation d’angle aL de la face supérieure z = L (i.e. le déplacement tangentiel est ux =$aLy, uy = aLx pour z = L et ux = 0, uy = 0 pour z = 0). De plus nous imposons des efforts normaux nuls sur ces deux faces. La surface latérale du cylindre n’est soumise à aucun efforts et les forces volumiques (la pesanteur) sont supposées négligeables. Il faut passer par les étapes suivantes :

1) Mise en équation % Il s’agit d’écrire les équations, leurs interprétations physiques, leurs limites d’applicabilité et les conditions aux bords.

2) Simplification du problème # Il s’agit d’utiliser l’hypothèse

ux =$ayz, uy = axz, uz = a v(x,y)

d’écrire le tenseur des déformations linéarisé et le tenseur des contraintes afin de déduire un problème aux limites pour v. Etudier l’unicité de v.


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3) Étudier l’existence de t.q. , .

Démontrer que dans ! et w = const sur la frontière de !.

4) Déterminer w dans le cas d’une section circulaire

Trouver les contraintes tangentielles qui agissent sur la face z = L.

5) Supposons dans ce qui suit que la pièce est élastique parfaitement plastique (modèle de Hencky) avec le critère de plasticité de Von Mises. Calculer le plus grand pour lequel le comportement du matériau

est élastique (les contraintes sont à l’intérieur de la surface de plasticité) en chaque point de ".

Exercice 17 : Partie de l’examen de janvier 1999 Présentation du problème # On considère un massif pesant de forme parallélépipède constitué par un matériau homogène, élastique linéaire et isotrope, placé dans un caisson rigide ouvert en surface. Le contact entre le massif et le caisson est supposé se faire sans frottement. On désignera par

un repère orthonormé direct avec vertical descendant. La masse

volumique du massif sera notée & et l’accélération de la pesanteur g (les forces de volume sont donc représentées par le vecteur Le massif

occupe le domaine et le caisson le domaine avec H > 0 suffisamment grand. La face supérieure

du massif est libre de toute contrainte et la face est soumise à

un déplacement normal !.

1) Mise en équation # Enoncez toutes les conditions aux limites du problème ainsi posé.

2) Simplification du problème # Trouvez un champ de contrainte statiquement admissible en le cherchant de la forme :

si i ' j,

puis appliquez la loi de Hooke sous la forme

pour trouver le champ de déformation linéarisé et le champ des déplacements. Quelle doit être la valeur du déplacement imposé ( pour qu’aucun déplacement vertical ne soit observé en surface ( ) ?

On néglige maintenant l’action des forces de volume et on suppose que la limite d’élasticité du matériau est gouvernée par le critère de Tresca

3) Déterminez la valeur maximale du déplacement ( que peut supporter le massif sans qu’aucune irréversibilité n’apparaisse.

Exercice 18 : Réservoir sphérique élastoplastique On reprend le problème du réservoir sphérique de rayon interne et de

rayon externe soumis à une pression interne et à une pression

externe .

On rappelle que la solution élastique en contrainte est :

les autres composantes étant nulles et où on a noté

K et µ étant, respectivement le module de compression et le module de cisaillement.

On supposera pour se fixer les idées que la pression interne est plus

grande que la pression externe .

1) Montrer que l’état de contrainte peut, en tout point du réservoir, s’écrire comme la superposition d’un état isotrope et d’un état de compression simple.


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2) Le réservoir est fait d’un métal à plasticité parfaite dont la limite d’écoulement est la même en traction et en compression. Utiliser le critère de Tresca ou de Von Mises pour obtenir la valeur maximale que peut

avoir la différence de pression sans que n’apparaissent dans le

réservoir de déformation irréversible. Où sont situés les points où la limite d’écoulement sera atteinte en premier ?

3) On suppose maintenant, pour simplifier les calculs, que la pression extérieure est négligeable devant la pression intérieure .

a) Étudier le développement progressif de la zone plastique lorsque l’on augmente la pression à l’intérieur du réservoir.

b) Donner la valeur maximale pouvant être atteinte par (pression

de ruine).


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Viscoélasticité Exercice 19 : Torsion d’un cylindre viscoélastique Soit un cylindre à base circulaire constitué par un matériau dont le comportement obéit à la loi viscoélastique standard

avec

On désigne par ! toute section droite du cylindre et par !o et !1 les bases inférieure (z = 0) et supérieure (z = L), respectivement. Ce cylindre est soumis à une torsion d’angle par unité de longueur avec

La surface latérale du cylindre est supposée libre de toute contrainte et aucun effort normal ne s’exerce sur les faces !o et !1. On suppose de plus que le matériau est initialement non contraint

Le champ de déplacement solution est alors donné par

1) Montrer que le problème en contrainte revient à chercher

solution du problème

où l’on a posé

2) Calculer alors l’état de contrainte.

3) Étudier les cas : a)

b)

où a et b sont des constantes et H est la fonction de Heaviside.

4) Retrouver le cas de l’élasticité linéaire et le cas de la viscoélasticité de Maxwell.

Exercice 20 : Cisaillement d’une couche viscoélastique (partie d’examen) On considère le cisaillement quasi-statique d’une couche viscoélastique infinie limitée par les plans z = 0 et z = H, où H > 0. Au bord supérieur (z = H) on impose le vecteur contrainte (0, f(t), 0) et au bord inférieur (z = 0) on suppose que la couche est fixée (le déplacement est nul). Le matériau est modélisé par l’équation constitutive :

où

L’état initial (t = 0) est sans contraintes le déplacement

initial est :

et les forces de volume (la pesanteur) sont supposées négligeables. Il faut passer par les étapes suivantes :

1) Mise en équations ! Il s’agit d’écrire les équations, leur interprétation physique, leurs limites d’applicabilité, les conditions aux bords et initiales.

2) Simplification du problème ! Il s’agit d’utiliser l’hypothèse :

d’écrire le tenseur des déformations linéarisé et le tenseur des contraintes afin de déduire que et un problème de Cauchy pour v.

3) Supposons dans ce qui suit que f(t) = bt pour et f(t) = bT pour t > T. Trouver v(t,z) en fonction de a, b et T.

4) Calculer et donner l’interprétation physique de ce résultat.

MASTER Ingénierie mathématique Mécanique du solide Annexe

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Expressions des principaux opérateurs différentiels

coordonnées rectilignes (x,y,z) coordonnées cylindriques (r,!, z) coordonnées sphériques (r,!, ")

Gradient d’un champ scalaire f

Divergence d’un champ vectoriel v (div v = trace (grad v))

Laplacien d’un champ scalaire f (!f = div grad f)

Rotationnel d’un champ vectoriel v

Gradient d’un champ vectoriel v

(les vecteurs-lignes sont les grandients des composantes de v)

Divergence d’un champ tensoriel symétrique du 2eme ordre T

(les composantes sont les divergences des vecteurs-lignes de T)

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