Les ensembles de nombres

Q

R

Q’

Z

N

L’être humain crée les outils dont il a besoin.

Mesurer, faire du commerce, partager, exécuter un travail de haute précision, tous ces objectifs nécessitent l’utilisation de différentes sortes de nombres.

Ainsi, l’homme a créé différents ensembles (différentes familles) de nombres; chaque ensemble a ses propres caractéristiques et traduit des situations différentes.

N : les nombres entiers naturels

Z : les nombres entiers relatifs

Q : les nombres rationnels

Q’ : les nombres irrationnels

R : les nombres réels

Les nombres ont évolué. Au début, ils étaient assez simples, mais avec les besoins de plus en plus complexes de l’homme, ils se sont développés et spécialisés.

Avant de décrire les nombres et leurs ensembles, il faut savoir que ces différents nombres sont écrits avec des chiffres.

Il existe 10 chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Ces chiffres représentent l’alphabet des nombres

Par exemple : 145 est un nombre composé de 3 chiffres (le 1, le 4 et le 5).

6 est aussi un nombre composé d’un seul chiffre (le 6).

et conséquemment,

nous permettent d’écrire des nombres.

N :

Ces nombres servent à compter des objets entiers.

2 pommes 5 chaises 500 personnes 1 246 980 étoiles9 planètes

Ils débutent à 0 et ne se terminent jamais; après un nombre, il y en a toujours un de plus.

Historiquement, les nombres entiers naturels ont été les premiers à être utilisés. Les hommes de l’époque comptaient ce qu’ils possédaient.

3 enfants, 25 chèvres, 56 arbres, etc.

Ils s’étendent jusqu’à l’infini sans jamais l’atteindre.

Remarque : Les hommes ont inventé un symbole pour décrire l’infini; ce

symbole est le suivant : ∞

Ils sont tous des nombres entiers et positifs.

les nombres entiers naturels

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …N :

Sur une droite numérique, cet ensemble ne peut être représenté que par des points.

Les nombres entiers négatifs, les fractions et les nombres décimaux ne font pas partie de cet ensemble.

0 1 2 3 4 5 6 …

∞+

N

Ce dessin symbolise l’ensemble des entiers naturels. Tous les nombres entiers naturels se retrouvent à l’intérieur de ce cercle.

Z : les nombres entiers relatifs

Un jour, les hommes ont eu besoin de représenter de nouvelles situations.

- la température : +20 0C et - 20 0C ne signifient pas le même degré de chaleur.

- les dettes : quand tu reçois un salaire de 100 $, tu possèdes + 100 $, mais si tu

achètes un mp3 de 150 $, il te manque 50 $; tu es donc à – 50 $.

L’ensemble des entiers relatifs ne comporte que des nombres entiers (pas de fractions ni de décimaux) : il regroupe les nombres entiers naturels et les nombres entiers négatifs.

La famille s’agrandit !

Z : …, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …

Remarque : Un Allemand dénommé Zahl a été le premier a parlé de l’ensemble des entiers relatifs : d’où le « Z ».

Z

N

Exemples :

Ils permettent de construire une droite numérique à gauche du 0.

0 1 2 3 4 5 6 …∞+

Ils ne se terminent jamais s’en allant comme pour les nombres naturels vers l’infinipositif, mais aussi, vers l’infini négatif.

∞-

Comme pour l’ensemble des nombres naturels, on ne peut représenter l’ensemble des entiers relatifs sur une droite numérique que par des points.

- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1…

Q : les nombres rationnels

Comment faire pour représenter :

la moitié d’une pomme, 3 centièmes de seconde, le quart d’une tarte, 5,75 $ …

Nous avons besoin d’un nouvel ensemble qui regroupe toutes les fractions et les nombres décimaux périodiques.

Q : …, -6, …, -5,24, …, -1/2, …, 0, …, 3/4, …, 2, …, 7,238, …

Il existe une définition formelle pour décrire cet ensemble :

La lettre Q signifie un quotient.

Un nombre rationnel est un nombre de la forme dans laquelle a et b sont des entiers et b ≠ 0.

a

b

Un nombre rationnel est un nombre de la forme dans laquelle a et b sont des entiers et b ≠ 0.

a

b

a et b sont des nombres entiers :2

5

2 est un nombre entier

5 est un nombre entier

donc, est une fraction ou un nombre rationnel.2

5

3

4,5

3 est un nombre entier

4,5 n’est pas un nombre entier, mais un nombre rationnel

donc, n’est pas une fraction, mais un rapport.3

4,5

b ≠ 0 : en mathématique, la division par 0 n’est pas définie.

Exemple :

Par conséquent, un dénominateur ne doit jamais être égal à zéro.

Posons x = 5

0et effectuons le produit croisé : 0 x = 5

Cette expression exprime la valeur que nous devons donner à x, pour que multipliée par 0, l’expression soit égale à 5. ?

Examinons maintenant les implications de cette définition.

Les nombres décimaux périodiques sont une autre forme d’écriture des fractions et font également partie de l’ensemble des rationnels.

1

2= 0,5

7

4= 1,75

-8

5= - 1,6

1

3= 0,333333...

Les nombres périodiques peuvent être indéfiniment divisés et leurs décimales reproduisent périodiquement une même série de chiffres.

Ainsi, la division de , s’obtient par :1

3

1 3

0

-0

1 ,0 3-

9

1 0

3

-9

1 0

3

Si on continuait la division, elle ne s’arrêterait jamais

-9

1

et le chiffre 3 se répéterait indéfiniment.

Donc, 3 est la période.

Certaines fractions ont une forme décimale comportant une période très longue.

Exemples :2

7= 0, 285 714 285 714 285 7…

1

17= 0, 058 823 529 411 764 705 882 352 941 176 47…

Pour indiquer une période, un trait est tracé au-dessus qui nous précise que la période se répète indéfiniment.

2

7= 0, 285 714 285 714 285 7…

1

17= 0, 058 823 529 411 764 705 882 352 941 176 47…

1

3= 0,333 333…

= 0, 285 714

= 0, 058 823 529 411 764 7

= 0, 3

Attention : 1

3= 0, 3 et non = 0, 33

La période est 3 et non 33.

Les nombres entiers et décimaux sont considérés comme des nombres rationnels, car ils ont une période de 0.

Exemples :

Bien entendu, nous ne l’écrivons pas, mais nous devons nous en souvenir.

7 = 7, 0 - 125 = - 125, 0 34,8 = 34,8 0

La famille s’agrandit encore ! Q

Z

N

Les entiers font partie de l’ensemble des rationnels parce qu’ils sont des fractions entières.

Exemples :8

4= 2

- 9

3= - 3

Sur la droite numérique, il y a de plus en plus de nombres.

0 1 2 3 4 5 6 …∞+

- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1∞-

…

Cette figure, démontre qu’il y a beaucoup de nombres, mais il y en a beaucoup plus encore.

Exemple : Quels nombres pouvons nous inscrire entre 1 et 2 ?

1 2

Agrandissons cette distance :

1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,91 2

Plaçons les dixièmes :

,0 ,0

1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,91,0 2,01,11,0

Maintenant, agrandissons la distance entre 1,0 et 1,1 et insérons les centièmes :

1,091,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,081,0 1,1

Une démarche identique pourrait être effectuée pour placer les millièmes, les dix-millièmes, etc.

Cette démarche pourrait être répétée jusqu’à l’infini, puisqu’il y a toujours des nombres dont la partie décimale est de plus en plus petite.

Il existe donc une infinité de nombres entre deux nombres.

0 0

Q’ : les nombres irrationnels

De nouvelles réalités ont forcé l’homme à créer un nouvel ensemble de nombres.

Q’ : 2 3 5 ~ ℮ 1 + 5

2, , , , , …,

Exemple : Ce triangle rectangle a 1 unité de côté.1

1

L’hypoténuse de ce triangle se calcule avec la relation de Pythagore comme suit :

a2 + b2c =

donc, c = 12 + 12

c = 2

Les nombres irrationnels forment un ensemble particulier.

Les côtés d’un triangle, la circonférence d’un cercle, le calcul des intérêts bancaires, etc. utilisent des nombres particuliers. Ce sont les irrationnels.

Si on extrait la racine carrée de 2, on obtient le nombre suivant :

2 ≈1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7…

Ce nombre est qualifié de nombre décimal non-périodique, puisque la partie décimale est infinie et qu’aucune période ne peut être définie.

Le même problème se pose avec : ~~≈3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 5…

Pourtant ces nombres sont utiles dans beaucoup de situations.

Par conséquent, les nombres irrationnels sont des nombres décimaux dont la partie décimale est infinie et non-périodique.

Avec ces nombres, la droite numérique est pleine.

Prenons l’exemple de la racine carrée de 2 :

Cette valeur devrait se positionner entre 1,41 et 1,42

2 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7…≈

2,1 ≈et 1, 449 13…

Cette valeur devrait se positionner entre 1,44 et 1,45

Ainsi, avec certains nombres particuliers et par le calcul des racines de différents nombres, on obtient encore une infinité de nouveaux nombres, ce qui remplit la droite numérique.

0 1 2 3 4 5 6 … ∞+- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1…∞-

Attention : Ce ne sont pas tous les nombres avec des racines qui sont irrationnels.

± 2,4 = donc des nombres entiers.Exemple :

Tous ces ensembles de nombres forment la grande famille des nombres réels : R

R

Q’Q

Z

N

à son tour est inclus dans l’ensemble des nombres réels.

Ce paragraphe se traduit en langage mathématique comme suit :

donc N Z Q R

L’ensemble des nombres irrationnels est un ensemble distinct des ensembles N, Z et Q, mais est inclus dans l’ensemble des nombres réels.

L’ensemble des nombres entiers naturels est inclus dans l’ensemble des nombresentiers relatifs qui lui est inclus dans l’ensemble des nombres rationnels qui,

en langage mathématique, ce symbole signifie « est inclus dans ».

R

Q’Q

Z

N

Un autre symbole mathématique nous permet de tout écrire.

donc, R = Q Q’

Les mathématiciens ont inventé un langage mathématique pour décrire des phénomènes qui seraient trop longs à écrire, en français.

L’apprentissage de ce langage est laborieux au début, mais essentiel si tu désires continuer ton cheminement en mathématique.

en langage mathématique, ce symbole signifie l’union entre 2 ou plusieurs ensembles

Il existe un dernier ensemble de nombres qui n’est pas étudié au secondaire.

Il s’appelle l’ensemble des nombres complexes : CCes nombres ont des propriétés liées à la trigonométrie et sont très utiles en Sciences Physiques pour l’étude des réseaux électriques ainsi que pour les travaux se rapportant aux courants alternatifs.

Exemple : - 4

En effet, on ne peut pas extraire la racine carrée d’un nombre négatif.

En utilisant les lois sur les radicaux, les mathématiciens ont décomposé cette racine en deux.

- 1 X 4 =

Dans l’ensemble des nombres réels, n’existe pas.- 4

=- 4 -14 X

Ils ont symbolisé par i.- 1

Ainsi, = 2 i- 4

Ils peuvent donc effectuer des calculs complexes.

Nombres et langage

Dans cette section, nous étudierons la façon dont nous pouvons décrire tous ces différents nombres.

D’autres symboles s’ajoutent à ceux déjà appris qui nous permettront de décrire de grandes quantités de nombres :

x représente : tous les nombres qui nous intéressent

signifie : appartenir à …

signifie : tel que (de telle manière que)

< signifie :

> signifie :

≤ signifie :

≥ signifie :

plus petit que …

plus grand que …

plus petit ou égal à …

plus grand ou égal à …

signifie : union (quand on veut réunir des ensembles)

Prenons un exemple.

Voici un ensemble (une liste) de nombres entiers naturels : 0, 1, 2, 3, 4, 5

Cette écriture est appelée « en extension », car elle énumère plusieurs nombres.

Nous pourrions aussi écrire la même liste comme ceci :

tous les nombres qui nous intéressent

appartiennent à

l’ensemble des nombres entiers naturels

de telle manière que

x N x ≤ 5

tous les nombres qui nous intéressent

sont plus petits ou égaux à

5

x N x ≤ 5

Cette forme d’écriture s’appelle « en compréhension ».

Pour une courte liste de nombres comme

c’est un peu long, mais si on avait à écrire cette phrase :

« Tous les entiers naturels plus petits ou égaux à 7 000 »,

l’énumération serait très longue tandis qu’en compréhension :

x N x ≤ 7 000

Cette phrase est beaucoup moins longue.

0, 1, 2, 3, 4, 5 ,

x N x ≤ 5

La première partie de la phrase

indique avec quel ensemble de nombres, nous travaillons.

Il est important de le mentionner, car chaque ensemble possède ses propres caractéristiques.

Exemple : x N x ≤ 2 = 0, 1, 2

x Z x ≤ 2 =

Donc, beaucoup plus de nombres !

… -5, -4 - 3, -2, -1, 0, 1, 2, ∞ -

x N x ≤ 5

La deuxième partie de la phrase

donne les conditions particulières de la situation.

Ainsi, cette situation ne comporte pas tous les nombres entiers naturels, mais seulement ceux qui sont plus petits ou égaux à x.

0, 1, 2, 3, 4, 5soit

Remarques importantes sur les 4 symboles : < > ≤ ≥

En utilisant l’ensemble des entiers naturels ( N ), examinons des détails importants sur ces symboles.

<

La pointe signifie plus petit que ...

ainsi, x < 5 se lit x est plus petit que 5;

L’ouverture signifie plus grand que …

et x > 5 se lit x est plus grand que 5.

< signifie :

> signifie :

≤ signifie :

≥ signifie :

plus petit que …

plus grand que …

plus petit ou égal à …

plus grand ou égal à …

ce qui exclut le nombre de référence.

Exemple : x < 4 signifie 0, 1, 2, 3

ce qui inclut le nombre de référence.

Exemple : x ≤ 4 signifie 0, 1, 2, 3, 4

ce qui exclut le nombre de référence.

Exemple : x > 6 signifie 7, 8, 9, 10, 11, …

ce qui inclut le nombre de référence.

Exemple : x ≥ 6 signifie 6, 7, 8, 9, 10, 11, …

Comment écrit-on en compréhension ?

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

x N 3 ≤ x ≤ 9 Comme ceci :

etx est plus grand ou égal à 3 x est plus petit ou égal à 9

autrement dit x est compris entre les deux.

x N 2 < x < 10 On aurait pu aussi écrire :

Quelques situations

Écris en compréhension, les phrases suivantes :

Les entiers naturels plus grands que 27 :

x N x > 27

Les entiers naturels plus petits ou égaux à 81 :

x N x ≤ 81

Les entiers relatifs plus petits ou égaux à 81 :

x Z x ≤ 81

Les entiers relatifs plus grands ou égaux à -20 et plus petits ou égaux à 6 :

x Z -20 ≤ x ≤ 6

x N 13 ≤ x < 19

x Q - 1 < x ≤ 2

Les entiers naturels plus grands ou égaux à 13 et plus petits que 19 :

Écris en compréhension, les phrases suivantes :

Attention

c’est-à-dire : 13, 14, 15, 16, 17, 18

Toutes les fractions plus grandes que - 1 et plus petites ou égales à 2 :

Écris en extension, les ensembles de nombres suivants :

x N x < 10 : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

x N x ≥ 23 : 23, 24, 25, 26, …

On place quelques nombres et on met des … pour indiquer que la suite se poursuit.

x Z -3 < x ≤ 2

: -2, -1, 0, 1, 2

x Q 4 ≤ x ≤ 6 : Impossible d’en faire une énumération, il y en a une infinité.

Remarque : On ne peut pas décrire en extension les ensembles Q, Q’ et R, car il y a une infinité de nombres qui les composent.

Cependant l’écriture en compréhension permet de les écrire.

R : les nombres réels

L’ensemble des nombres réels englobe tous les autres ensembles N, Z, Q, Q’ .

Il est l’ensemble de nombres le plus utilisé en mathématique.

Les mathématiciens ont trouvé de nouvelles façons pour décrire les nombres réels :

- la droite numérique :

- les intervalles :

∞-

0 1 2 3 4 5 6 …∞+

- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1…

, , , ,

La droite numérique

Nous savons que l’ensemble des nombres réels remplit la droite numérique; nous pouvons donc illustrer un ensemble particulier à l’aide de celle-ci.

Exemple :

∞-

0 1 2 3 4 5 6 …∞+

- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1…

x N 1 ≤ x ≤ 6 pour nous aurons

x R 1 ≤ x ≤ 6 pour nous aurons

∞-

0 1 2 3 4 5 6 …∞+

- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1…

Ce trait plein symbolise tous les nombres entre 1 et 6.

∞-

0 1 2 3 4 5 6 …∞+

- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1…

x R -2 ≤ x ≤ 5

Voici quelques exemples :

Remarque : est équivalent à ≤ ou ≥ est équivalent à < ou >

∞-

0 1 2 3 4 5 6 …∞+

- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1…

x R -2 < x ≤ 5

L’ensemble de nombres commence immédiatement après -2 jusqu’à 5.

L’ensemble de nombres commence à -2 jusqu’à 5.

2 exclu 5 inclus

∞-

0 1 2 3 4 5 6 …∞+

- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1…

x R -2 < x < 5

L’ensemble de nombres commence immédiatement après -2 et se termine avant 5.

∞-

0 1 2 3 4 5 6 …∞+

- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1…

x R -2 ≤ x < 5

L’ensemble de nombres commence à -2 et se termine avant 5.

Sur la droite numérique, représente :

x R x ≥ 1

∞-

0 1 2 3 4 5 6 …∞+

- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1…

On prolonge le trait au-delà de la droite numérique pour indiquer que l’ensemble se dirige vers + . ∞

x R x < -2

∞-

0 1 2 3 4 5 6 …∞+

- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1…

Remarque : Sur la droite numérique, le déplacement se fait toujours de la gauche vers la droite.

Les intervalles

Les intervalles sont représentés par des crochets ,

Ces symboles ne sont utilisés qu’avec les nombres réels (R).

Ils englobent, comme le trait plein sur la droite numérique, tous les nombres situés entre les deux.

Exemple :

∞-

0 1 2 3 4 5 6 …∞+

- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1…

Les intervalles, s’écrivent comme suit : 1 , 6

Cet exemple représente tous les nombres réels plus grands ou égaux à 1 et plus petits ou égaux à 6.

L’ensemble de nombres commence immédiatement après -2 jusqu’à 5 et s’écrit

en intervalles

les crochets peuvent être ouverts ou fermés , ,

Selon la situation à représenter,

∞-

0 1 2 3 4 5 6 …∞+

- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1…

Exemples :

∞-

0 1 2 3 4 5 6 …∞+

- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1…

L’ensemble de nombres commence à -2 jusqu’à 5 et s’écrit en intervalles

-2 , 5 .

2 exclu 5 inclus

-2 , 5 .

L’ensemble de nombres commence immédiatement après -2 et se termine avant 5

et s’écrit en intervalles

∞-

0 1 2 3 4 5 6 …∞+

- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1…

∞-

0 1 2 3 4 5 6 …∞+

- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1…

L’ensemble de nombres commence à -2 et se termine avant 5 et s’écrit en

intervalles

-2 , 5 .

-2 , 5 .

∞-

0 1 2 3 4 5 6 …∞+

- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1…

s’écrit en intervalles 1 , +∞

Remarque : Certains auteurs utilisent des crochets ouverts avec l’infini, d’autres n’en mettent pas.

1 , +∞ 1 , +∞les deux manières sont correctes.

Par contre, il ne faut jamais mettre des crochets fermés sur l’infini.

Cela voudrait dire que l’on a atteint l’infini ce qui est impossible.

1 , +∞

ou

Remarque : Tant pour la droite numérique que pour les intervalles, les nombres se suivent du plus petit vers le plus grand (de la gauche vers la droite).

∞-

0 1 2 3 4 5 6 …∞+

- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1…

s’écrit en intervalles , -1∞- et non -1 , ∞-

Attention

Les symboles suivants ne signifient pas la même chose :

, crochets pour les d’intervalles;

accolades pour l’énumération d’une ou de plusieurs réponses;

( , ) parenthèses pour la représentation d’un couple de coordonnées dans le plan cartésien.

La représentation d’un ensemble de nombres dans l’ensemble des nombres réels se fait de quatre manières différentes.

Exemple :

x R -3 ≤ x < 3

- en compréhension :

- sur la droite numérique :

- en intervalles :

∞-

0 1 2 3 4 5 6 …∞+

- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1…

-3 , 3

- en français : Tous les nombres compris entre -3 inclus et 3 exclu.

Particularités

On peut voir les symboles suivants * + et - avec les ensembles N, Z, Q, Q’ et R.

* signifie qu’on exclut le zéro.

Exemple : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …N : 1, 2, 3, 4, 5, 6, …N* :

+ signifie qu’on ne travaille qu’avec la partie positive de l’ensemble.

Exemple : R+ :∞-R : ∞+, 0 , ∞+

- signifie qu’on ne travaille qu’avec la partie négative de l’ensemble.

Exemple : R- : ∞- , 0

On peut même avoir R *+ : 0 , ∞+ tous les réels positifs sauf 0.

Tous ces symboles sont utiles pour faire l’analyse des fonctions.

Exercice 1

En utilisant la droite numérique, l’écriture en intervalles et l’écriture en compréhension, décris les phrases suivantes :

Tous les réels

plus petits

que 3 : 0 1 2 3 4- 1

, 3∞-

Tous les réels

supérieurs

à 100 inclus : 0 100

100 ,

∞+ x R x ≥ 100

Tous les réels

compris entre

5 inclus et

30 exclus :0 5 30

5 , 30

Droite numérique En intervalles En compréhension

x R x < 3

x R 5 ≤ x < 30

Tous les nombres

réels :0

∞- ∞+,

ou Rx R

Tous les nombres

réels positifs :0

0 , ∞+

ou R+

x R x ≥ 0

ou x R+

Tous les nombres

négatifs, sauf 0 :0

∞- , 0

ou R-*

x R x < 0

ou x R-

*

Droite numérique En intervalles En compréhension

Droite numérique En intervalles En compréhension

Tous les nombres entiers compris entre -2 exclu et 3 inclus : 0 1 2 3-2 -1

Ne s’applique pas

x Z -2 < x ≤ 3

Tous les nombres rationnels compris entre 0 exclu et 2 exclu :

Ne s’applique pas

Ne s’applique pas

x Q 0 < x < 2

Tous les nombres réels compris entre 5 exclu et 15 exclu :

0 5

5 , 15 x R 5 < x < 15

Exercice 2

Écris en intervalles et en compréhension les représentations numériques suivantes :

Droite numérique En intervalles En compréhension

-4 -3 -2 -1 0

, -1∞- x R x ≤ -1

-4 -3 -2 -1 0 1 2

-4 , 2 x R -4 < x ≤ 2

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

x R x ≤ -2 ou x ≥ 11 , , -2∞- ∞+

Ce symbole sert à unir les deux ensembles de nombres.

En compréhension « ou » est l’équivalent de pour les intervalles.

0

0 , ∞+∞- , 0

Droite numérique En intervalles En compréhension

ou R*

x R x < 0 ou x > 0

R*x

ou

-10 0

-10 , ∞+ x R x ≥ -10

0 1 2 3 4

4 , , 1∞- ∞+ x R x ≤ 1 ou x ≥ 4

Droite numérique En intervalles En compréhension

-4 , 5

1

654321

-1-2-3-4-5

Dans le plan cartésien, on associe la droite numérique horizontale aux valeurs de x

et la droite numérique verticale aux valeurs de y.

Les différentes façons de représenter les nombres et leurs ensembles pour x valent également pour y.

y R -4 < ≤ 5

y

x

y

Important

Cette présentation illustre les différents ensembles de nombres et la manière de les décrire.

Le langage mathématique est une langue de communication tout comme le français.

Avec du temps et de la persévérance, le langage mathématique devient un réflexe et n’aura plus de secret pour toi.

Tous ces symboles ne sont que les premiers codages du langage mathématique, car il en existe une multitude d’autres.