LES ECHANGEURS THERMIQUES

I) Généralités :

Un échangeur thermique est destiné à transmettre de la chaleur, d’un fluide à un autre. Généralement les

fluides sont séparés par une paroi, à travers laquelle les échanges se font par conduction, convection et

rarement par rayonnement.

Dans certains appareils, l’échange de chaleur est associé à un changement d’état.

L’étude complète d’un échangeur comporte :

- Analyse thermique :

Détermination de la surface d’échange.

Détermination du flux échangé.

Détermination de la distribution des températures des fluides, de l’entrée jusqu’à la sortie de

l’appareil.

- Etude hydraulique : évaluation des pertes de charge dans l’appareil (= variation de pression)

- Etude mécanique : calcul des efforts et contraintes en fonctionnement, compte tenu des

températures et pressions.

- Optimisation économique.

On distingue 3 catégories d’échangeurs thermiques :

- Les échangeurs continus ou à fluides séparés = tubulaires ou à plaque selon la géométrie.

- Les échangeurs discontinus ou régénérateurs = la surface d’échange est alternativement mise en

contact avec le fluide froid et le fluide chaud.

- Les échangeurs par mélange ou à contact direct (ECD) = les 2 fluides sont mélangés.

Ex : Tours de refroidissement des centrales thermiques.

II) Les échangeurs à fluide séparés : cas des échangeurs tubulaires :

Le coefficient d’échange thermique global est :

1

ℎ=

𝑟2

ℎ1 .𝑟1+ 𝑟2.

ln 𝑟2𝑟1

𝑘+

1

ℎ2+ 𝑟𝑒𝑛 avec 𝑟𝑒𝑛 : résistance thermique liée à l’encrassement de l’échangeur = f(t)

Fluide chaud Fluide froid Sens de rotation

Fluide froid

Fluide froid

Fluide chaud

Zoom

Fluide froid

Isolant thermique

Fluide chaud

ϕ

𝑥 0

k

𝑟1 𝑟2

𝑟3

𝑠1, ℎ1

𝑠2, ℎ2

Transfert :

- Convection

- Conduction

- Convection

Remarques :

Si l’épaisseur de la paroi est faible, 𝑠1 ≈ 𝑠2 = 𝑠 :

Alors : 1

ℎ≈

1

ℎ1+

e

𝑘+

1

ℎ2+ 𝑟𝑒𝑛 avec e : épaisseur de la paroi

Et : 𝜙𝑥 = ℎ. 𝑠. (𝑇1𝑥 − 𝑇2𝑥)

En toute rigueur, 𝒉 n’est pas constant en fonction de 𝒙 .Donc pour un calcul très précis, il faut en

tenir compte.

1) Cas d’une circulation à courant parallèles :

Co-courant ou anti-méthodique.

Circulation des fluides dans le même sens.

Posons (1) = (3) ⟺ 𝑑𝑇1

𝑇1−𝑇2= −ℎ.

𝑑𝑆

𝑞1 (4)

Il existe une relation entre 𝑇1 et 𝑇2 , à laide du bilan thermique entre 0 et 𝑥.

De plus, en utilisant (1) = (2) :

𝜙 = −𝑞1. 𝑑𝑇1 =𝑇1

𝑇1𝑒 𝑞2. 𝑑𝑇2

𝑇2

𝑇2𝑒 ⟺ 𝑇2 = 𝑇2𝑒 +

𝑞1

𝑞2(𝑇1𝑒 − 𝑇1) (5)

On remplace (5) dans (4) et on intègre :

𝑑𝑇1

𝑇1−𝑇2𝑒−𝑞1𝑞2

(𝑇1𝑒−𝑇1)= − ℎ.

𝑑𝑆

𝑞1

𝑇1𝑠

𝑇1𝑒

𝑇1𝑠

𝑇1𝑒

Résultat de l’intégration : 1

1+𝑞1𝑞2

× ln 1 +𝑞1

𝑞2 . 𝑇1𝑠 −

𝑞1

𝑞2. 𝑇1𝑒 + 𝑇2𝑒 − ln(𝑇1𝑒 − 𝑇2𝑒) = −

ℎ

𝑞1. 𝑑𝑆 (7)

Et on remplace (7) dans (6) : −ℎ.𝑆

𝑞1=

1

1+𝑞1𝑞2

× ln 𝑇1𝑠−𝑇2𝑠

𝑇1𝑒−𝑇2𝑒 (8)

De plus 𝑞1

𝑞2 peut-être calculé à l’aide de (7), et on pose :

∆𝑇𝑒 = 𝑇1𝑒 − 𝑇2𝑒

∆𝑇𝑠 = 𝑇1𝑠 − 𝑇2𝑠 et (8) ⇔ 𝜙 = 𝑞1. 𝑇1𝑒 − 𝑇1𝑠 ⇔ 𝜙 = ℎ. 𝑆.

∆𝑇𝑠−∆𝑇𝑒

ln ∆𝑇𝑠∆𝑇𝑒

= ℎ. 𝑆. ∆𝑇𝑚

Avec ∆𝑇𝑚 : moyenne logarithmique de la fonction ∆𝑇 (ML∆𝑇)

Géométrie plane

0 𝑥 L

Fluide froid

Fluide chaud

𝑑𝜙

𝑑𝑠

𝑥 𝑥 + 𝑑𝑥

𝑇2

𝑇1

𝑇2 + 𝑑𝑇2

𝑇1 + 𝑑𝑇1 𝑇1𝑠 𝑇1𝑒

𝑇2𝑠 𝑇2𝑒

Bilan thermique sur l’élément :

(1) Flux perdu par le fluide 1 :

𝑑𝜙 = −𝑚1. 𝐶𝑝1. 𝑑𝑇1 = −𝑞1. 𝑑𝑇1

(2) Flux gagné par le fluide 2 :

𝑑𝜙 = 𝑚2. 𝐶𝑝2. 𝑑𝑇2 = 𝑞2. 𝑑𝑇2

(3) Flux transféré de 1 vers 2 :

𝑑𝜙 = ℎ. 𝑑𝑠. (𝑇1 − 𝑇2)

Avec 𝑚 ∶ 𝑑é𝑏𝑖𝑡 (𝑘𝑔. 𝑠−1)

2) Circulation à contre-courant :

On effectue le même calcul que pour 1), et on obtient :

−ℎ.𝑆

𝑞1=

1

1 −𝑞1

𝑞2

× ln 𝑇1𝑠 − 𝑇2𝑒

𝑇1𝑒 − 𝑇2𝑠

On calcul 𝑞1

𝑞2 et on pose :

∆𝑇𝑒 = 𝑇1𝑒 − 𝑇2𝑠

∆𝑇𝑠 = 𝑇1𝑠 − 𝑇2𝑒 d’où : 𝜙 = 𝑞1. 𝑇1𝑒 − 𝑇1𝑠 ⇔ 𝜙 = ℎ. 𝑆.

∆𝑇𝑠−∆𝑇𝑒

ln ∆𝑇𝑠∆𝑇𝑒

= ℎ. 𝑆. ∆𝑇𝑚

3) Efficacité d’un échangeur :

L’efficacité (η) est calculée en effectuant le rapport du flux thermique réellement échangé sur le flux

d’échange maximum théoriquement possible dans les mêmes conditions d’utilisation de l’échangeur :

𝜂 =𝜙𝑟é𝑒𝑙

𝜙𝑚𝑎𝑥

𝑇∞

𝑇1𝑒

𝑇2𝑒

T

𝑥 L 0

𝑇1𝑠

𝑇2𝑠 𝑇∞ =

𝑞1. 𝑇1𝑒 + 𝑞2. 𝑇2𝑒

𝑞1 + 𝑞2

Température de convergence :

Bilan thermique sur l’élément :

(1) Flux perdu par le fluide 1 :

𝑑𝜙 = −𝑞1. 𝑑𝑇1

(2) Flux gagné par le fluide 2 :

𝑑𝜙 = −𝑞2. 𝑑𝑇2

(3) Flux transféré de 1 vers 2 :

𝑑𝜙 = ℎ. 𝑑𝑠. (𝑇1 − 𝑇2)

Avec 𝑚 ∶ 𝑑é𝑏𝑖𝑡 (𝑘𝑔. 𝑠−1)

𝑇1𝑠 𝑇1𝑒

0 0 𝑥 𝑥 L L

T T

𝑞1 < 𝑞2 𝑞1 > 𝑞2 𝑇1𝑒

𝑇2𝑠 𝑇1𝑠

𝑇2𝑒

𝑇1𝑒

𝑇2𝑠

𝑇1𝑠

𝑇2𝑒

Tendent à être

identique

Pour un échangeur tubulaire de

longueur ∞ et fonctionnant à

contre-courant

Graphe 2)

- Si 𝑞1 < 𝑞2 : 𝜙𝑚𝑎𝑥 = −𝑞1. 𝑇1𝑠 − 𝑇1𝑒 = −𝑞1. 𝑇2𝑒 − 𝑇1𝑒 ⟺ 𝜙𝑚𝑎𝑥 = 𝑞1. 𝑇1𝑒 − 𝑇2𝑒

- Si 𝑞1 > 𝑞2 : 𝜙𝑚𝑎𝑥 = −𝑞2. 𝑇2𝑒 − 𝑇2𝑠 = −𝑞2. 𝑇2𝑒 − 𝑇1𝑒 ⟺ 𝜙𝑚𝑎𝑥 = 𝑞2. 𝑇1𝑒 − 𝑇2𝑒

D’où :

- Si 𝑞1 < 𝑞2 : 𝑇1𝑠 = 𝑇2𝑒

- Si 𝑞1 > 𝑞2 : 𝑇2𝑠 = 𝑇1𝑒

Si on pose 𝑞𝑚𝑖𝑛 = 𝑞1 ou 𝑞𝑚𝑖𝑛 = 𝑞2 (selon que 𝑞1 < 𝑞2 ou 𝑞1 > 𝑞2) : 𝜙𝑚𝑎𝑥 = 𝑞𝑚𝑖𝑛 . 𝑇1𝑒 − 𝑇2𝑒

D’où :

- Si 𝑞1 < 𝑞2 : 𝜂 =𝜙𝑟é𝑒𝑙

𝜙𝑚𝑎𝑥=

𝑞1 . 𝑇1𝑒−𝑇1𝑠

𝑞𝑚𝑖𝑛 . 𝑇1𝑒−𝑇2𝑒 =

ℎ .𝑆.∆𝑇𝑚

𝑞𝑚𝑖𝑛 . 𝑇1𝑒−𝑇2𝑒

- Si 𝑞1 > 𝑞2 : 𝜂 =𝜙𝑟é𝑒𝑙

𝜙𝑚𝑎𝑥=

𝑞2 . 𝑇2𝑠−𝑇2𝑒

𝑞𝑚𝑖𝑛 . 𝑇1𝑒−𝑇2𝑒 =

ℎ .𝑆.∆𝑇𝑚

𝑞𝑚𝑖𝑛 . 𝑇1𝑒−𝑇2𝑒

Ou encore :

- Si 𝑞𝑚𝑖𝑛 = 𝑞1 : 𝜂 = 𝑇1𝑒−𝑇1𝑠

𝑇1𝑒−𝑇2𝑒 ⟹ Efficacité partielle en température côté fluide chaud.

- Si 𝑞𝑚𝑖𝑛 = 𝑞2 : 𝜂 = 𝑇2𝑠−𝑇2𝑒

𝑇1𝑒−𝑇2𝑒 ⟹ Efficacité partielle en température côté fluide froid.

Si on connait , on peut en déduire le flux échangé : 𝜙 = ℎ. 𝑆. ∆𝑇𝑚 = 𝜂. 𝑞𝑚𝑖𝑛 . 𝑇1𝑒 − 𝑇2𝑒

Il existe des relations permettant de calculer η avec seulement : 𝑞𝑚𝑖𝑛 , 𝑞𝑚𝑎𝑥 , ℎ et la surface 𝑆.

On pose : 𝑟 =𝑞𝑚𝑖𝑛

𝑞𝑚𝑎𝑥

- Courant parallèle (= co-courant) : 𝜂∥ =1−𝑒

− 1+𝑟 ℎ𝑆𝑞𝑚𝑖𝑛

1+𝑟

- Contre – courant : 𝜂𝑐𝑐 =1−𝑒

− 1−𝑟 ℎ𝑆𝑞𝑚𝑖𝑛

1−𝑟 .𝑒 −

1−𝑟 ℎ𝑆𝑞𝑚𝑖𝑛

4) Nombre d’unité de transfert : NUT

𝑁𝑈𝑇 =ℎ .𝑆

𝑞𝑚𝑖𝑛 ⟹ Il existe des relations entre η et NUT.

5) Echangeurs frigorifiques : (Voir Tp)

Car échangeur en contre-courant et de longueur ∞.

Voir graphe 2)

C

Fluide

frigorifique Evaporateur Condenseur

eau eau

Compresseur

Détendeur

Echangeur eau / fluide

frigorifique :

𝑇𝑒𝑎𝑢 augmente

⇒ Pompe à chaleur

Echangeur eau / fluide

frigorifique :

𝑇𝑒𝑎𝑢 diminue

⇒ Climatiseur, frigo

Condenseur : Evaporateur :

Fluide chaud change d’état et cède cette chaleur au

fluide froid.

Fluide froid change d’état et récupère la chaleur du

fluide chaud (eau)

𝑥

T

𝐿

𝑇1𝑒

𝑇1𝑠

𝑇2𝑒 = 𝑇2𝑠 = 𝑇𝑐𝑜𝑛𝑑𝑒𝑛𝑠𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛

Fluide froid

(eau)

Fluide chaud

(frigorigène)

𝑇2𝑒 = 𝑇2𝑠 = 𝑇é𝑣𝑎𝑝𝑜𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛

𝐿 𝑥

T

𝑇1𝑠

𝑇1𝑒

Fluide chaud

(eau)