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Les couvertures indicielles en réassurance Catastrophe Prise en compte de la dépendance spatiale dans la tarification Dubreuil, Emmanuel et Vendé, Pierre Benfield Paris, 11 rue Scribe, F-75009 PARIS Téléphone : +33 1 44 63 13 00 Télécopie : +33 1 42 81 45 26 Email : emmanuel.dubreuil@benfieldgroup.com, Pierre.vende@benfieldgroup.com Résumé : Ces dernières années ont vu le développement d’un nouveau marché, celui des dérivés climatiques. Un produit dérivé « traditionnel » est un contrat financier (ou un contrat d’assurance) dépendant d’un autre actif (action, taux d’intérêt, matière première, etc.), appelé actif sous-jacent. L’actif sous-jacent d’un produit dérivé climatique est un indice construit à partir de données météorologiques, comme par exemple les précipitations (pluie, neige), le vent ou l’ensoleillement. Toutefois, le marché actuel comporte essentiellement des produits liés à la température, permettant à des entreprises de couvrir une perte de marge ou une perte de chiffre d’affaires consécutives à un hiver trop doux ou un été trop frais. La couverture indicielle Cat est une forme de dérivé climatique spécialement adaptée à la réassurance des événements catastrophiques (tempête, vague de froid, inondation, etc.). A partir de données climatiques enregistrées dans un panel de stations météorologiques, la construction de l’indice permet de capturer les variations extrêmes de la météo. La couverture indicielle offre alors la garantie d’une éventuelle indemnisation, en fonction de la valeur de l’indice à maturité. Comment effectuer la cotation d’une couverture indicielle ? A travers l’exemple d’une couverture contre le risque de tempête en France basée sur un indice de vitesses de vent, un ensemble d’approches envisageables en vue de tarifer une couverture indicielle Cat sera présenté. Plus intéressantes que les tarifications fondées sur les valeurs historiques de l’indice, les tarifications obtenues à partir des variables climatiques elles-mêmes posent le problème de la dépendance entre les stations. Au moyen d’outils de mesure et de modélisation de la dépendance, en particulier les copules, une tarification affinée de la couverture sera proposée. Mots Clés : Réassurance, dérivé climatique, indice, dépendance, valeurs extrêmes, copules 1. INTRODUCTION ....................................................................................................................................... 2 2. PRINCIPES DE LA COUVERTURE INDICIELLE CAT ..................................................................... 2

2.1. PRINCIPE DE LA COUVERTURE INDICIELLE CAT .................................................................................... 2 2.2. FONCTIONNEMENT DE LA COUVERTURE INDICIELLE CAT ..................................................................... 3 2.3. ETUDE D’UN EXEMPLE .......................................................................................................................... 5

3. PREMIERES APPROCHES DE TARIFICATION DE LA COUVERTURE ...................................... 8 4. ANALYSE DE LA DEPENDANCE SPATIALE & TARIFICATION AFFINEE DE LA COUVERTURE .................................................................................................................................................. 10

4.1. MISE EN EVIDENCE DU PROBLEME DE LA DEPENDANCE SPATIALE ...................................................... 10 4.2. OUTILS DE MESURE ET DE MODELISATION DE LA DEPENDANCE .......................................................... 15 4.3. PRISE EN COMPTE DE LA DEPENDANCE DANS LA TARIFICATION : MODELISATION AU PREMIER M/S..... 17 4.4. PRISE EN COMPTE DE LA DEPENDANCE DANS LA TARIFICATION : MODELISATION AVEC SEUILS .......... 24 4.5. INTRODUCTION AU PROBLEME DE DEPENDANCE TEMPORELLE............................................................ 27

5. CONCLUSION.......................................................................................................................................... 27 6. BIBLIOGRAPHIE .................................................................................................................................... 29

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1. INTRODUCTION L’objet de cet article porte sur la tarification d’une forme relativement originale de protection de réassurance contre les événements naturels : la couverture indicielle cat. Dans le contexte d’un marché de la réassurance récemment soumis à une forte fréquence d’événements naturels de plus en plus dommageables, il convient de constater l’émergence au cours de la dernière décennie de solutions novatrices de transfert du risque naturel, qui se posent en alternatives ou en compléments de la réassurance traditionnelle. La couverture indicielle Cat constitue l’une d’entre elles. Son fonctionnement repose sur le transfert du risque financier lié à la corrélation entre la sinistralité d’un portefeuille d’assurance et les variations extrêmes de la météo. Son mécanisme, comparable à celui des dérivés climatiques de température inventés par les acteurs du marché américain de l’énergie, s’appuie sur la création d’un indice à partir de données climatiques enregistrées dans un panel de stations météorologiques. La couverture indicielle offre alors la garantie d’une indemnisation, en fonction de la valeur de l’indice à maturité. Comment établir le prix d’une couverture indicielle ? A travers l’exemple d’une couverture contre le risque de tempête en France basée sur un indice de vitesses de vent, nous présentons un ensemble d’approches envisageables en vue de tarifer une couverture indicielle Cat. Nous nous apercevrons que certaines de ces approches nécessitent de prendre en compte le phénomène de dépendance spatiale entre les stations météorologiques. Afin d’obtenir une tarification affinée, nous mettrons alors en pratique les outils de mesure et de modélisation de la dépendance entre des variables aléatoires, en utilisant notamment la théorie des copules. 2. PRINCIPES DE LA COUVERTURE INDICIELLE CAT

2.1. Principe de la couverture indicielle Cat La couverture indicielle Cat est un dérivé climatique : l’actif sous-jacent sur lequel elle s’appuie est un indice dont la valeur dépend de données climatiques, comme par exemple la température, la pluviométrie, la vitesse de vent ou l’ensoleillement. Les dérivés climatiques les plus répandus peuvent être décrits comme des instruments financiers à terme permettant la couverture du risque financier lié à la corrélation entre revenus et variations autour de la normale de paramètres météorologiques. La couverture indicielle Cat est quant à elle une protection de réassurance qui repose sur le transfert du risque financier lié à la corrélation entre la sinistralité d’un portefeuille d’assurance et les variations exceptionnelles de la météo. Elle vise à offrir aux acteurs du marché de l’assurance une protection contre des évènements naturels catastrophiques, contre des évènements rares, mais caractérisés par une grande intensité. Ceci correspond particulièrement bien par exemple au risque tempête à l’échelle de la réassurance. En conséquence, la valeur de l’indice utilisé doit avant tout refléter la survenance de valeurs extrêmes des variables météorologiques, correspondant par hypothèse à la survenance de sinistres chez le détenteur d’un portefeuille de contrats d’assurance. L’indice climatique n’est donc pas, dans le cadre de la couverture indicielle Cat, défini et construit afin de décrire l’écart par rapport au comportement moyen d’un paramètre météorologique, comme le sont par exemple les indices HDD et CDD vis-à-vis de la température. Il est structuré de façon à dépeindre les divergences exceptionnelles du comportement d’un paramètre météorologique.

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2.2. Fonctionnement de la couverture indicielle Cat

2.2.1. Utilisation de séries de données climatiques Tout comme les dérivés climatiques négociés sur les marchés financiers ces dernières années, la couverture indicielle Cat est un contrat caractérisé par des flux financiers dont le montant est fonction de la valeur d’un indice construit à partir de l’observation de données météorologiques. Ces données sont recueillies par les organismes météorologiques nationaux, disposant sur l’ensemble de leur territoire respectif de réseaux de stations assurant (entre autres)i la mesure des variables climatiques. Les stations françaises proposent bien souvent des historiques de données météorologiques sur les cinquante dernières années, et les plus anciennes stations offrent des historiques longs de plus d’un siècle.

2.2.2. L’indice : définition, utilisation La mise en place d’une couverture indicielle Cat s’articule autour de plusieurs grands axes : le choix du type de données météorologiques utilisées, le choix d’un panier de stations météorologiques, et la définition des modalités de calcul de l’indice lui-même et de l’indemnisation monétaire qui en découle.

a. Choix du type de données Il s’agit de déterminer quelle variable climatique permet de représenter de façon fidèle et adéquate l’occurrence et l’ampleur du péril naturel contre lequel la cédante souhaite se doter d’une protection de réassurance. Compte tenu des caractéristiques de mesure de la variable climatique (notamment ce qu’elle représente, l’unité temporelle de la mesure), l’éventail du type de données utilisables est virtuellement infini. Par exemple, si l’on s’intéresse au froid et aux basses températures, on peut choisir de considérer : la température minimale horaire sous abri, la température minimale horaire à l’air libre, la température minimale quotidienne, ou bien la moyenne des températures minimales horaires sur une journée, ou bien encore le nombre d’heures d’une journée où la température horaire est en dessous de 0°C, etc. Toutefois, l’éventail des possibilités est tout d’abord et bien évidemment restreint par l’étendue de l’offre de données proposées par les organismes météorologiques. Aussi convient-il, afin de choisir de façon pertinente la variable climatique utilisée dans la construction de l’indice, d’étudier les liens entre cette dernière et la survenance de sinistres. Il est pour cela nécessaire d’effectuer, à l’aide de compétences météorologiques et statistiques, un travail qui permettra de déceler ou non des liens de corrélation ou de causalité, ainsi que d’évaluer leur intensité

b. Utilisation d’un panier de stations Si le risque de base, c’est à dire le risque que l’indice climatique ne reflète pas fidèlement le montant de sinistres, est inhérent à la protection indicielle, le choix des stations utilisées peut contribuer à le réduire. Un échantillon de stations météo de taille suffisante est nécessaire si l’on veut appréhender correctement le lien entre sinistralité et valeurs de la variable climatique. Un portefeuille d’assurance possède une structure géographique qui lui est propre. L’amélioration des techniques informatiques rend aujourd’hui possible une localisation précise des risques assurés. A partir de cette répartition géographique particulière des risques, il est procédé au choix d’un panier de stations approprié.

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Pour chaque station i, avec i ∈ (1,…,n) et n le nombre de stations retenues, est calculé un facteur de pondération pi qui représente l’importance de ladite station eu égard à son poids dans le portefeuille national. Ces facteurs de pondération sont par la suite utilisés dans la formule de calcul de l’indice. Cette opération vise à distinguer pour chaque station, la part de l’exposition globale du portefeuille qui lui est imputable, ceci par souci d’accorder au mieux l’éventuelle indemnisation future et la sinistralité potentielle de l’ensemble du portefeuille.

d. Définition d’un indice par station Il est possible de concevoir une grande variété de modes de construction des indices. Nous nous focaliserons ici sur l’exemple du mécanisme présenté ci-dessous, qui a généralement été utilisé pour la conception de couvertures indicielles. Pour chaque station i, on observe et on enregistre à chaque date t ( ]T,0[t∈ , où T est la date de maturité de la couverture indicielle Cat contractée en 0), les données climatiques sur un intervalle de temps [ t -1 , t ], de durée t - (t - 1) égale par exemple à une heure ou un jour. Soit Xi(t) la valeur en unités de mesure de la variable climatique, par exemple km/h ou degré Celsius, enregistrée dans la station i à la date t. Pour chaque station i, le contrat de réassurance définit une valeur Ki en unité de mesure de la variable climatique, et peut définir une valeur Li en unité de mesure de la variable climatique telle que Li > Ki. Est alors défini comme indice sur l’intervalle de temps [ t -1 , t ], à la date t :

[ ]]0),K)(Xmax[(),KL(min)(I iiiii −−= tt

On définit l’indice de la station i à la date t comme le cumul sur [0, t] des )(Ii t : ∑=

==

tt'

1t't't )(I)(S ii

Le contrat de réassurance indiciel cat étant de maturité T (l’année par exemple), l’indice final

de la station i est alors : ∑=

===

Tt

1ttT )(I)(SS iii

e. Mécanisme de l’indice final, indemnisation due au contrat

L’indice général de la couverture indicielle Cat est à la date t : ∑=

=×=

ni

1iii )(Sp)(S tt

L’indice à maturité est : ∑=

=×=

ni

iii )(Sp)(S

1TT . Le principe d’indemnisation dans une couverture

indicielle Cat est semblable à celui d’une option européenne classique ou à celui d’un traité de réassurance non proportionnel. Ainsi, l’assureur ayant acheté une protection indicielle cat, recevra à la fin de la période de couverture (à la date T), une indemnité C(T), si la valeur de l’indice S(T) est supérieure à une franchise K (en unités de la variable climatique) déterminée au contrat, telle que : ]0),K)(Smax[(N)(C −×= TT où N est le montant nominal en unités monétaires correspondant à une unité d’indice supplémentaire au dessus de la franchise K, que l’on désigne également par « tick ». L’indemnité perçue au moyen de la couverture indicielle Cat, correspond donc au payoff d’un call de maturité T sur le sous jacent S, avec un prix d’exercice K, et avec un facteur de conversion N. Les preneurs de risques préfèrent généralement, face à ce type de couverture, et tout comme pour les traités de réassurance traditionnelle, limiter leur engagement. Ainsi les caractéristiques d’une couverture indicielle comportent bien souvent la définition d’une valeur

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L (en unité climatique) plafonnant la valeur de l’indice donnant droit à indemnisation, si bien que l’indemnité perçue au moyen de la couverture indicielle Cat s’apparente au payoff d’un callspread (ou capped call) ou encore à l’indemnisation d’une tranche d’un traité de réassurance en excédent de sinistre de priorité K et de portée L – K :

[ ]0)],K)(S(),KLmin[(maxN)(C −−×= TT La construction de l’indice sous-jacent à la protection indicielle Cat peut revêtir une multitude de formes différentes. Les mécanismes présentés précédemment peuvent être rendus plus complexes, par exemple par extension à plusieurs pays, par utilisation de plusieurs variables climatiques, ou encore par définition des ticks au niveau de chaque station.

2.3. Etude d’un exemple Ainsi, une couverture indicielle Cat ayant pour but de réassurer une cédante contre le risque tempête, peut être construite en utilisant un indice basé sur les vitesses de vent maximales instantanées enregistrées quotidiennement. La couverture indicielle Cat, comme indiqué précédemment, repose sur le lien existant entre les variations exceptionnelles de variables climatiques et la sinistralité d’un portefeuille d’assurance. L’indice est donc généralement conçu de telle façon que sa valeur évolue avec le caractère exceptionnel des observations de la donnée météorologique. Pour une couverture indicielle contre le risque de tempête, seules les vitesses de vent supérieures à un seuil entraîneront une hausse de l’indice. Dans la mesure où elles ne s’accompagnent pas de la survenance de sinistres, les vitesses de vent nulles, faibles ou moyennes, n’affectent pas la valeur de l’indice, tel qu’il est généralement construit. Nous poursuivrons désormais avec l’étude d’un exemple précis d’une couverture indicielle vent. Nous prenons l’exemple d’une protection basée sur un indice construit à partir des vitesses de vent maximales instantanées enregistrées quotidiennement dans un panel volontairement limité de n = 4 stations. Nous utiliserons pour les quatre stations les facteurs de pondérations pi suivants :

Numéro i Nom de la station Poids pi

1 BORDEAUX-MERIGNAC 25 % 2 METZ-FRESCATY 18 % 3 NICE 20 % 4 ORLY 37 %

Par ailleurs, quatre seuils Ki ont été choisis pour le calcul des indices par station :

Numéro i Nom de la station Franchise Ki (en m/s) Franchise Ki (en dam/h)ii

1 BORDEAUX-MERIGNAC 29,5 10620 2 METZ-FRESCATY 30,0 10800 3 NICE 29,5 10620 4 ORLY 31,5 11340 La couverture porte sur la valeur de l’indice S(T), en dam/h, construit comme la somme des produits des facteurs de pondération pi et des indices Si(T) de chacune des quatre stations :

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∑=

=×=

4i

iii )(Sp)(S

1TT . L’indice Si(T), en dam/h, de la station i est défini par :

( )∑∑=

=

=

=−==

Tt

t

Tt

tttT

00 tii

tii 0),K)(X(max)(I)(S avec Xi (t) la valeur en dam/h de la vitesse de vent

maximale instantanée enregistrée à la date t dans la station i, et avec t0 le 1er janvier de l’année N, et T le 31 décembre de l’année N. Le choix de l’année civile comme période de couverture n’est pas meilleur en soi, mais s’adapte mieux aux habitudes du marché de la réassurance. Cet exemple très simplifié de couverture indicielle poursuit avant tout une fin illustrative. Il permettra de faciliter les travaux d’analyse qui sont exposés dans la suite de l’article. En utilisant les enregistrements historiques des vitesses de vent pour les quatre stations depuis le 01/01/1970, il est possible de calculer la valeur des indices S(T) de 1970 à 2002, ce qu’illustre le tableau suivant : BORDEAUX METZ NICE ORLY Total

Année civile S1 (T) (dam/h) S2 (T) (dam/h) S3 (T) (dam/h) S4 (T) (dam/h) S (T) (dam/h)

1970 180 - - - 45,00 1971 - - 180 - 36,00 1972 2 880 - - - 720,00 1973 - - - - - 1974 900 360 - 540 489,60 1975 - - - - - 1976 6 300 - - 540 1 774,80 1977 - - - - - 1978 - - - 180 66,60 1979 180 - - - 45,00 1980 - - - - - 1981 - - - - - 1982 - - - - - 1983 540 - 900 - 315,00 1984 1 260 360 - - 379,80 1985 - - - - - 1986 2 880 - 180 - 756,00 1987 900 - - - 225,00 1988 - - - 1 800 666,00 1989 540 - - - 135,00 1990 900 14 040 - 4 500 4 417,20 1991 - - - - - 1992 - - 900 - 180,00 1993 - - - - - 1994 - 720 - - 129,60 1995 - 720 - - 129,60 1996 1 260 - - - 315,00 1997 - 720 - - 129,60 1998 - - - - - 1999 3 780 2 520 900 8 640 4 775,40 2000 180 - - - 45,00 2001 - - - - - 2002 540 - - - 135,00

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Enfin, la couverture sur l’indice S(T) est caractérisée par la définition de deux bornes, K et L, semblables à une priorité et un plafond, et par la définition du tick N, qui entrent dans le calcul du montant de l’indemnisation C(T) : [ ]0)],K)(S(),KLmin[(maxN)(C −−×= TT . Nous utiliserons les valeurs suivantes :

Priorité K Plafond L Tick N 1 000 dam/h 5 000 dam/h EUR 1 000 par dam/h

Les montants des indemnisations pour ces trois années auraient alors été les suivants :

Année Indice Annuel S (T) (en dam/h)

Franchise K

Indice à la charge de la couverture (en dam/h)

Montant de l’indemnisation C (T) (en EUR)

1970 45,00 45,00 - - 1971 36,00 36,00 - - 1972 720,00 720,00 - - 1973 - - - - 1974 489,60 489,60 - - 1975 - - - - 1976 1 774,80 1 000,00 774,80 774 800 1977 - - - - 1978 66,60 66,60 - - 1979 45,00 45,00 - - 1980 - - - - 1981 - - - - 1982 - - - - 1983 315,00 315,00 - - 1984 379,80 379,80 - - 1985 - - - - 1986 756,00 756,00 - - 1987 225,00 225,00 - - 1988 666,00 666,00 - - 1989 135,00 135,00 - - 1990 4 417,20 1 000,00 3 417,20 3 417 200 1991 - - - - 1992 180,00 180,00 - - 1993 - - - - 1994 129,60 129,60 - - 1995 129,60 129,60 - - 1996 315,00 315,00 - - 1997 129,60 129,60 - - 1998 - - - - 1999 4 775,40 1 000,00 3 775,40 3 775 400

Avec ces caractéristiques, la couverture aurait historiquement conduit au paiement d’une indemnisation à la cédante au cours de trois années, 1976, 1990, et 1999, comme on peut l’observer sur le graphique suivant.

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Indice S ( T ) (en dam/h) & Caractéristiques de la couverture

-

500

1 000

1 500

2 000

2 500

3 000

3 500

4 000

4 500

5 000

5 500

1970

1972

1974

1976

1978

1980

1982

1984

1986

1988

1990

1992

1994

1996

1998

2000

2002

Années civiles

dam

/h

S ( T ) (dam/h)

Priorité K

Plafond L

3. PREMIERES APPROCHES DE TARIFICATION DE LA COUVERTURE Deux approches sont a priori envisageables en vue d’estimer le prix d’une couverture indicielle. Nous pouvons d’abord estimer le prix de la couverture en utilisant l’historique des valeurs de l’indice S(T), puis nous avons souhaité effectuer une modélisation des variables climatiques sous jacentes elles-mêmes, à savoir les vitesses de vent maximales instantanées enregistrées quotidiennement dans les stations météorologiques retenues. Ces approches de tarification sont basées sur l’hypothèse de la représentativité des valeurs climatiques historiques quant au comportement futur de ces variables climatiques et n’utilisent pas de modèle de prévision climatique afin d’estimer les probabilités des valeurs futures des observations de la variable climatique. Si cette hypothèse est très nettement discutable dans le cadre d’indices de température, il n’existe pas aujourd’hui de modèles scientifiques de prévision des tempêtes en Europe. Par ailleurs, ces approches doivent veiller à la qualité des séries de données utilisées, notamment l’homogénéité des mesures au cours du temps - ce qui pose un réel problème en matière de mesure météorologiques – ainsi que le traitement adéquat des données manquantes. Nous avons donc procédé à une tarification sur la base des valeurs d’indices depuis 30 ans en utilisant des distributions classiques testées grâce à la technique du QQ plot et du test e.d.f. Dans un premier temps nous avons travaillé sans seuil, avec les distributions exponentielle, gamma, lognormale et weibull, puis avec seuil, avec les distributions exponentielle, pareto, lognormale, weibull, pareto généralisée, valeurs extrêmes généralisées. De même, nous avons procédé à une tarification sur la base des valeurs quotidiennes de vitesse de vent, sans seuil puis avec seuil Dans le cas de la modélisation des vitesses de vent au-delà d’un seuil, nous avons modélisé la fréquence à l’aide de lois de Poisson ou de lois Binomiale Négative. En exploitant les séries historiques de valeurs d’indices ou de valeurs de vitesses de vent, nous avons cherché à établir les ajustements probabilistes les plus adéquats en vue de construire des modèles d’estimation de la prime de la couverture indicielle vent étudiée en exemple. Le tableau suivant synthétise les résultats obtenus :

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Approche C (en EUR) s (en EUR) %20Π (en EUR)

%40Π (en EUR)

Burning Cost 1970-2002 241 436 876 919 416 820 592 204 Modélisation de l’indice S(T) aupremier dam/h : Loi gamma 198 129 679 733 334 076 470 022

Modélisation de l’indice S(T) avec unseuil de 100 dam/h : Loi de Pareto 217 762 811 985 377 159 539 556

Modélisation des vitesses de vent aupremier m/s : Modèle final 103 081 317 307 166 542 230 004

Modélisation avec seuils : Lois dePareto généralisée 106 430 403 008 187 032 267 633

Il est à noter que les estimations des primes commerciales sont mentionnées à titre illustratif, et ne constituent pas, en tant que telles, le véritable enjeu des travaux de modélisation présentés ici. En effet, de nombreuses méthodes alternatives de chargement et de calcul de la prime commerciale sont envisageables. Les approches de modélisation de l’indice lui-même, de même que l’approche Burning Cost, permettent certes d’obtenir des estimations rapides et acceptables de la couverture indicielle vent étudiée. Elles pourraient toutefois s’avérer inefficaces dans le cadre de la tarification de couvertures différentes, dans la mesure où elles reposent sur l’utilisation d’un échantillon de valeur d’indices de taille très réduite. C’est pourquoi nous nous sommes attachés dans un deuxième temps à exploiter les séries historiques de données climatiques. Les résultats obtenus sont, comme nous l’avons vu précédemment, assez satisfaisants à l’échelle des indices individuels par station. Bien que l’approche ait l’avantage de pouvoir être généralisée à un ensemble bien plus vaste de couvertures indicielles climatiques, elle comporte malheureusement des lacunes lorsqu’il s’agit d’évaluer le prix de la couverture globale. Le graphique suivant permet d’illustrer la qualité des approches en comparant la fonction de répartition empirique de S(T) aux fonctions de répartition de S(T) obtenues après simulations des différents ajustements :

Fonctions de Répartition - Empirique et Modélisées

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

0 500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 3 500 4 000 4 500 5 000

S(T)

Dis

trib

utio

n

Empirique

Modélisation de l'indice S(T) au premier dam/h : Loi gamma

Modélisation de l'indice S(T) avec un seuil de 100 dam/h : Loi de Pareto

Modélisation des vitesses de vent au premier m/s : Modèle final

Modélisation des vitesses de vent avec seuils : Lois de Pareto généralisée

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Par la suite, nous avons tenté d’améliorer les tarifications obtenues à partir des ajustements de vitesses de vent, en incorporant dans les modélisations des estimations des dépendances existant entre les quatre stations de la couverture indicielle vent. 4. ANALYSE DE LA DEPENDANCE SPATIALE & TARIFICATION AFFINEE DE

LA COUVERTURE Il apparaît clairement qu’il existe des dépendances entre les valeurs des enregistrements effectués dans un réseau de stations météorologiques, et qui résultent de la nature même des phénomènes climatiques observés. Nous nous sommes donc attachés à mesurer ces dépendances et tester différents outils mathématiques liés à la notion de dépendance sur lesquels nous nous sommes appuyés en vue d’affiner la tarification de la couverture indicielle vent. A ce titre, nous avons ainsi pris en compte la dépendance spatiale dans les modélisations de l’indice fondées sur les ajustements de vitesses de vent.

4.1. Mise en évidence du problème de la dépendance spatiale

4.1.1. Les caractéristiques de l’évènement climatique Les phénomènes météorologiques susceptibles de faire l’objet d’une protection indicielle concernent bien souvent des zones géographiques étendues. Les séries de données climatologiques d’un réseau national de stations météorologiques présentent en général des corrélations certaines. Selon les caractéristiques du phénomène climatique, on peut concevoir que cette dépendance entre les valeurs mesurées dans les stations, en particulier les valeurs extrêmes, soit plus ou moins aiguë. Dans le cas d’une tempête moyenne ou forte, plusieurs stations (localisées dans une zone géographique préciseiii) peuvent enregistrer conjointement des valeurs extrêmes de vitesses de vent sur un laps de temps assez réduit. Selon Météo Franceiv, une tempête est considérée comme forte « lorsqu’au moins 20 % des stations ont relevé un vent maximal instantané quotidien supérieur à 100 km/h au cours de l’un des trois jours J, J+1 ou J+2 ». L’intégralité des stations retenues dans notre exemple ont ainsi enregistrées le 26/12/1999 des vitesses de vent supérieures à leur seuil respectif de modélisation zi. Trois d’entre elles (i.e. 75 %) ont notamment enregistrées des vitesses de vent supérieures à 100 km/h.

4.1.2. La notion de dépendance La définition de la dépendance donnée par le dictionnaire de l’Académie française est la suivante : « Relation étroite et parfois réciproque, impliquant ou non une subordination, entre des réalités, des idées ». Une approche plus mathématique de la notion de dépendance nécessite l’introduction des probabilités conditionnelles : la probabilité que B se réalise

sachant que A s’est réalisé est : ( ) )A(P)BA(PB/AP I

= . A et B sont dits indépendants si

)A(P)B/A(P = . D’un point de vue littéraire la corrélation peut être définie comme le « rapport existant entre deux phénomènes qui varient en fonction l’un de l’autre parce qu’il existe un lien de cause à effet entre eux, ou qu’ils comportent des causes communes ». Par extension on emploie le terme corrélation pour indiquer « le caractère de deux choses qui varient simultanément ». Le terme corrélation est donc fréquemment utilisé pour faire référence à toute notion de

11

dépendance. D’un point de vue mathématique, la corrélation n’est pourtant qu’une mesure parmi d’autres de la dépendance stochastique.

4.1.3. La dépendance entre les stations d’une couverture indicielle La situation de dépendance entre les observations réalisées dans un panel de stations influence directement le comportement de l’indice d’une couverture ; ceci d’autant plus que les protections indicielles sont généralement fondées sur un réseau relativement dense de stations. L’exemple d’une couverture avec un nombre très limité de stations, quatre, a été choisi afin de faciliter les analyses et n’est pas totalement représentatif des couvertures négociées. Dans la pratique, la proximité géographique des stations est bien plus marquée, afin de diminuer le risque de non corrélation entre valeur de l’indice et montant de sinistralité. Cette proximité peut être synonyme de fortes corrélations entre les stations. Sur la période 1970-2002, la corrélation linéaire entre les vitesses de vent maximales instantanées quotidiennes enregistrées à Paris Montsouris et celles enregistrées à Orly est ainsi de près de 92 %. Sur la page suivante, nous avons mis en correspondance sur six graphiques les vitesses de vent historiques des différents couples de stations (i,j) retenues dans notre exemple de couverture indicielle vent. Nous y avons ajouté un bruit blanc afin de transformer les valeurs entières en valeurs réelles, et faciliter ainsi la lecture. On peut constater visuellement sur ces nuages de 12 053 points (nombre de jours entre le 01/01/1970 et le 31/12/2002) l’existence de corrélations plus ou moins fortes, l’exemple le plus frappant étant celui du couple (Metz - Orly). Sur le même principe, nous présentons sur la page consécutive, les graphiques « quantile-quantile » associés à ces mêmes couples, auxquels nous avons ajouté un bruit blanc afin de faciliter l’interprétation.

12

Vitesses de vent historiques – Couples ( Xi,t , Xj,t ) :

13

Q-Q plots historiques – Couples ( Xi,t , Xj,t ) :

14

Les modélisations des vitesses de vent décrites précédemment sont fondées sur une approche individuelle de chaque station. Les éventuelles dépendances spatiales entre les vitesses de vent n’ont pas été simulées et ne sont donc pas prises en compte dans les estimations de la prime de la couverture. Le graphique « quantile-quantile » suivant concerne le couple (Metz-Orly), et est issu des simulations réalisées à partir du « modèle final » des ajustements des vitesses de vent au premier m/s :

On constate la dispersion plutôt uniforme des points, qui découle d’une simulation indépendante de chaque station, et qui contraste avec le nuage de points empirique présenté préalablement. Les représentations des autres couples ainsi modélisés précédemment sont similaires. Cette absence de prise en compte de la dépendance spatiale, et tout particulièrement celle des valeurs extrêmes, doit être l’origine des estimations basses du prix de la couverture que nous obtenons par les modélisations décrites précédemment. Nous avons donc étudier la fréquence empirique (en ‰), sur l’intégralité de la période 1970-2002, du nombre de jours où les stations du couple (i,j) ont toutes deux enregistrées une vitesse de vent supérieure à leur seuil de modélisation respectif zi: fréquences empiriques en ‰ Metz Nice Orly Bordeaux 0,747 0,498 0,830 Metz 0,415 2,489 Nice 0,332 Le tableau suivant indique ces mêmes fréquences, mais il est construit à partir de 1 million de simulations du « modèle final » des ajustements des vitesses de vent au premier m/s. On constate une très forte sous-estimation des fréquences empiriques : fréquences modélisées en ‰ Metz Nice Orly Bordeaux 0,076 0,052 0,048 Metz 0,081 0,059 Nice 0,040 La même approche appliquée aux nombres de jours où les stations des couples (i,j) ont simultanément enregistré des vitesses de vent supérieures à leur franchise Ki respectives nous montre le même phénomène. Ces différentes analyses nous confortent dans l’idée de chercher à affiner la tarification des couvertures indicielles en prenant en considération les situations de dépendance entre les stations.

15

4.2. Outils de mesure et de modélisation de la dépendance Les notions et outils présentés dans cette partie ne sauraient rechercher l’exhaustivité, mais sont destinés à introduire les principaux éléments qui nous seront par la suite utiles dans l’étude et la modélisation de la dépendance spatiale de la couverture indicielle vent.

4.2.1. Préliminaire La dépendance entre les variables aléatoires X1, …, Xn est entièrement décrite par leur

fonction de répartition conjointe : ( ) [ ]nn11n1 xX,...,xXPx,...,xF ≤≤= , les variables aléatoires Xi , )n,...,1(∈i , ayant les fonctions de répartition suivantes, dites fonctions de répartition

marginales : ( ) [ ]iiii xXPxF ≤= .

4.2.2. Le coefficient de corrélation linéaire Soient X et Y deux variables aléatoires. Le coefficient de corrélation linéaire, également

appelé coefficient de corrélation de Pearson est : ( ) ( ))()(

,cov,YVarXVar

YXYXr = où

( ) ( ) ( ) ( )YEXEXYEYX −=,cov est la covariance entre X et Y, et )X(Var et )Y(Var les variances respectives de X et Y. La définition du coefficient de corrélation linéaire est donc subordonnée à l’existence de variances finies de X et Y. Le coefficient de corrélation linéaire a la propriété suivante : ( ) 1Y,Xr1 ≤≤− Deux variables indépendantes ont un coefficient de corrélation linéaire égal à zéro puisque

( )Y,Xcov = 0, mais la réciproque est fausse. En cas de dépendance linéaire parfaite, c’est à dire β+α= XY , presque sûrement avec 0≠α , alors ( ) 1Y,Xr ±= selon le signe de α . Le coefficient de corrélation de Pearson est donc une mesure de dépendance linéaire, et il a pour propriété d’être invariable par transformation linéaire croissante : ( ) ( )),.)(sign, YXrYXr αγδγβα =++ où sign(x) vaut 1 si x>0 et -1 sinon.

En revanche, si f et g sont deux fonctions non linéaires, alors : ( ) ( )YXrYgXfr ,)(),( ≠ .

4.2.3. Le coefficient de corrélation de Spearman Le coefficient de corrélation de Spearman est défini comme suit : ( ) [ ] [ ]( )0)'YY)(X~X(P0)'YY)(X~X(P3Y,X <−−−>−−=ρ où )Y,X( , )Y~,X~( et )'Y,'X( sont des vecteurs de variables aléatoires identiques et indépendants. Comme le coefficient de corrélation linéaire, le coefficient de corrélation de Spearman possède la propriété suivante : ( ) 1Y,X1 ≤ρ≤− Le coefficient de corrélation de Spearman est une mesure de corrélation de rangs, et l’on peut montrer que : ( ) ( ))Y(F),X(FrY,X YX=ρ où FX et FY sont respectivement les fonctions de répartition de X et de Y. Autrement dit, le coefficient de corrélation de Spearman mesure la corrélation linéaire de rangs. Enfin, si f et g sont deux fonctions croissantes, linéaires ou non, alors : ( ) ( )Y,X)Y(g),X(f ρ=ρ .

16

4.2.4. Simulation des corrélations

Soit ρ une matrice de corrélation de rangs, décrivant les coefficients de corrélation de Spearman des variables aléatoires (Y1,…,Yn). Afin de simuler la corrélation entre les variables aléatoires (Y1,…,Yn), nous utiliserons le logiciel de DFA ReMetrica. Le principe consiste à simuler dans un premier temps des variables aléatoires normales (X1,…,Xn) avec la matrice de corrélation linéaire ρ . Dans un deuxième temps, on transforme les nombres générés afin d’obtenir les marginales : )))X((F)),...,X((F()Y,...,Y( n

1n1

11n1 ΦΦ= −− . On peut montrer que la

matrice de corrélation de rangs de (Y1,…,Yn) est identique à celle de

(X1,…,Xn)v : ( ) ( ) ( ) ( )jiji

jiji XXrXXr

XXYY ,2,

arcsin6,, ≈==π

ρρ

4.2.5. Présentation des copules

− Définition :

Une copule est définie comme une fonction de répartition multivariée C définie sur [0,1]n, dont les lois marginales sont uniformes sur [0,1] : ( ) [ ]nn11n1 uU,...,uUPu,...,uC ≤≤= . La fonction C possède les propriétés suivantes :

• C(u1,…,un) est une fonction croissante de chaque composante ui, • C(1,…,1,ui,1,…,1) = ui pour tout )n,...,1(i∈ • Quels que soient (a1,…,an) et (b1,…,bn) ∈ [0,1]n avec ai ≤ bi, on a :

∑ ∑= =

++ ≥−2

1i

2

1inii1

i...i

1 nn1

n1 0)u,...,u(C)1(... où uj1=aj et uj2=bj pour tout )n,...,1(j∈

Par ailleurs, une copule C possède la propriété d’être invariante par transformations croissantes et continues des lois marginales. Si (X1,…Xn) a une copule C et que T1,…,Tn sont des fonctions continues croissantes, alors (T(X1),…T(Xn)) a également C pour copule.

− Densité des copules : Nous noterons c la densité d’une copule et qui s’exprime comme suit :

n1

n1n1 u...u

)u,...,u(C)u,...,u(c

∂∂∂

= . Si nous notons fi la densité de la i-ème marginale, alors la densité f

d’une distribution ayant F pour fonction de répartition peut

s’écrire : ∏=

×=n

1iiinn11n1 )x(f))x(F),...,x(F(c)x,...,x(f .

− Le théorème de Sklar :

Soit H une fonction de répartition multivariée en n dimensions ayant des lois marginales F1,…,Fn. Il existe une n-copule C telle que pour tout x ∈ IRn :

))(),...,((),...,( 111 nnn xFxFCxxH = . Si F1,…,Fn sont continues, alors C est unique ; sinon C est déterminée de façon unique en fonction de E(F1)× … × E(Fn) (où E(Fi) est l’ensemble d’arrivée de la fonction Fi). Inversement, si C est une copule à n dimensions et que F1,…,Fn sont des fonctions de répartition, alors la fonction H définie ci-dessus est une fonction de répartition à n dimensions ayant F1,…,Fn pour marginales.

17

− Corollaire du théorème de Sklar : Soient H une fonction de répartition multivariée en n dimensions ayant des lois marginales F1,…,Fn et C une copule. Alors, pour tout vecteur u∈ [0,1]n :

))(),...,((),...,( 11

111 nnn uFuFHuuC −−=

4.2.6. Distribution conditionnelle et simulation des copules

Soient Ci(u1,…,ui) = C(u1,…ui,1,…,1) avec i ∈ (2,…,n-1) les distributions marginales en i dimensions de C(u1,…,un). Nous notons C1(u1)= u1 et Cn(u1,…,un)= C(u1,…,un). Si (U1,…,Un) sont liées par une copule C, alors la distribution conditionnelle de (Ui | U1,…,Ui-1) peut être formulée à partir des dérivées et des densités des distributions marginales à i dimensions (si

elles existent) : Ci(ui|u1,…,ui-1) =

1i1

1i11i1i

1i1

i1i1i

u...u)u,...,u(C

u...u)u,...,u(C

−

−−−

−

−

∂∂∂

∂∂∂

. On peut alors envisager

d’appliquer l’algorithme suivant afin de simuler des variables (u1,…,un) liées par une copule Cvi :

• Simuler une valeur u1 selon une loi uniforme U(0,1) • Simuler une valeur u2 selon C2(u2|u1) • … • Simuler une valeur un selon Cn(un|u1,…,un-1)

Pour simuler une valeur selon Ci(ui|u1,…,ui-1), on peut simuler une valeur u selon une loi uniforme U(0,1), puis calculer si elle existe C-1(u| u1,…,ui-1). Grâce à la propriété d’invariance de C, on peut ensuite utiliser les nombres générés (u1,…,un) pour simuler des valeurs (y1,…,yn) liées par la même copule C.

4.2.7. Le coefficient de corrélation de Kendall Le coefficient de corrélation de Kendall est défini comme suit : ( ) [ ] [ ]0)')('(0)')('(, <−−−>−−= YYXXPYYXXPYXτ où )Y,X( et )'Y,'X( sont des

vecteurs de variables aléatoires identiques et indépendants. Si (X,Y) a pour copule C, alors : ( ) [ ] 1),(4, −= VUCEYXτ

4.3. Prise en compte de la dépendance dans la tarification : modélisation au premier m/s

Nous avons appliqué les outils de modélisation de la dépendance présentés dans la partie précédente afin d’affiner les estimations du prix de la couverture indicielle vent étudiée en exemple. Dans un premier temps, nous avons utilisé les ajustements des vitesses de vent au premier m/s des stations de Bordeaux, Metz, Nice et Orly, tels qu’ils ont été appliqués précédemment dans notre modèle.

4.3.1. Modélisation des corrélations

− Matrices de corrélations On note que la plus forte corrélation linéaire observée est celle existant entre les stations de Metz et d’Orly. Ceci confirme les conclusions que nous avions pu tirées de l’observation

18

graphique décrite en début de chapitre. Par ailleurs, on remarque que la vitesse de vent quotidienne enregistrée Nice est caractérisée par une faible dépendance linéaire vis-à-vis des autres stations.

− Résultats de la modélisation : Nous incluons la matrice de corrélation de Spearman au sein de notre modèle, et procédons à 50 000 simulations. Nous obtenons les nouvelles estimations suivantes du prix de la couverture :

Estimation C (en EUR) s (en EUR) %20Π (en EUR) %40Π (en EUR)

Rappel Burning Cost 241 436 876 919 416 820 592 204 Rappel Modélisation sans prise en compte de la dépendance 103 081 317 307 166 542 230 004

Modélisation des corrélations 132 618 406 324 213 883 295 148

On constate donc une augmentation significative de la moyenne C des indemnisations annuelles C(T) simulées, conduisant par conséquent à des estimations plus élevées du prix de la couverture que celles obtenues sans aucune modélisation des dépendances spatiales. Ces estimations demeurent toutefois nettement en deçà des moyennes historiques. Les corrélations simulées permettent toutefois de mieux prendre en compte les relations entre les valeurs de vitesses de vent des quatre stations, comme l’illustre la comparaison des graphiques quantile-quantile empiriques et simulés. Nous présentons ci-dessous ceux du couple Metz-Orly, pour lequel la dépendance historique est la plus importante.

QQ plot – simulation des corrélations Rappel QQ plot empirique

Il est à noter que le nuage historique comporte 12 053 points, alors que nous avons utilisé un échantillon de 20 000 simulations pour le nuage « simulation des corrélations ». Cela rend malheureusement l’interprétation un peu moins immédiate. Enfin, il convient de rester prudent dans les conclusions que l’on pourrait dresser sur la qualité de la modélisation effectuée en matière d’estimation de la prime de la couverture. Bien que la modélisation apparaisse relativement bonne dans l’ensemble, il est difficile de se rendre compte de sa capacité et retracer fidèlement le comportement des valeurs extrêmes. Si l’on compare les fréquences empiriques et simulées du nombre de jours où les stations de chaque couple (i,j)

19

ont enregistrée simultanément des vitesses de vent supérieures à leur seuil de modélisation respectif, puis en remplaçant les seuils zi par les franchises Ki définies pour le déclenchement des indices par station, nous obtenons des estimations toujours imparfaites mais satisfaisantes, compte tenu de la rareté des réalisations historiques sur une période de 33 ans. On peut toutefois considérer que les probabilités d’occurrences simultanées de valeurs extrêmes dans les différentes stations demeurent insuffisamment prises en compte dans la modélisation, ce qui pourrait expliquer l’inadéquation à nouveau constatée entre les charges historiques et estimées de la couverture. Bien que difficilement exploitable dans notre exemple à quatre stationsvii, une comparaison des fréquences historiques et simulées pour les n-uplets de taille supérieure à deux semble abonder dans ce sens.

4.3.2. Modélisation par une Copule de Gumbel

− Présentation de la copule de Gumbel La copule de Gumbel est caractérisée par des concentrations importantes dans les queues de distribution. Etant asymétrique, la concentration est également plus importante à droite. Ceci s’avère intéressant pour modéliser les vitesses de vent dans le cadre de notre couverture indicielle, puisque ce sont avant tout les dépendances entre les fortes vitesses de vent qui influencent le comportement de l’indice S(T).

La copule de Gumbel bivariée est définie par : ( ) ( )( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+−−= a

1aa )vlog()ulog(exp)v,u(C avec

a ≥ 1.Sa fonction de densité est la suivante :

( ) ( ) ( )( )a/1aa1aa/22aa11 ))vlog(())ulog(()1a(1)vlog().ulog())vlog(())ulog((vu)v,u(C)v,u(c −−+−−− −+−−+−+−=

Par ailleurs, il existe un lien direct entre le coefficient de corrélation de Kendall et le paramètre a de la copule de Gumbel : a/11)a( −=τ .

− Approche de modélisation La fonction C2(u|v) n’étant pas inversible, nous n’avons pu utiliser l’algorithme de simulation décrit précédemment. Nous avons cependant utilisé une technique de simulation propre aux copulas archimédiennesviii. Nous estimons pour chaque couple de stations (i,j) avec i ≠ j le paramètre ai,j d’une copule de Gumbel bivariée. Nous appliquons pour cela deux approches : d’une part l’utilisation des coefficients de corrélation de Kendall empiriques des couples de stations, d’autre part la méthode du maximum de vraisemblance. Puis, en fonction des estimations des six paramètres ai,j, nous modélisons la copule de Gumbel de dimension 4 de la façon suivante :

− Soit a1 le paramètre ai,j ayant la valeur la plus élevée, qui correspond au couple de stations que nous notons (i1,i2).

− Soit a2 le paramètre ai,j tel que (i,j) ≠ (i1,i2) et qui a la valeur la plus élevée. Nous noterons (i1,i3) le couple de stations auquel il correspond.

− Soit enfin a3 le paramètre ai,j tel que (i,j) ≠ ((i1,i2), (i1,i3), (i2,i3)) et qui a la valeur la plus élevée. Le paramètre a3 correspond donc au couple de la station que nous noterons i4 et d’une des stations i1, i2 ou i3.

Nous modélisons la dépendance du couple (Xi1,Xi2) en utilisant le paramètre a1. Nous modélisons la dépendance des couples (Xi1,Xi3) et (Xi2,Xi3) en utilisant le paramètre a2. Enfin, nous modélisons la dépendance des couples (Xi1,Xi4), (Xi2,Xi4) et (Xi3,Xi4) en utilisant le paramètre a3. Cette méthode nous force donc à accepter de modéliser la dépendance de

20

certains couples de stations de façon identique. Par ailleurs, en retenant pour les paramètres a2 et a3 les valeurs les plus élevées possibles, nous avons fait le choix de modéliser les dépendances les plus faibles avec un risque de surestimation. Ce choix est subjectif, mais il est motivé par les résultats obtenus jusqu’à présent.

− Estimations des paramètres ai,j par les coefficients de Kendall : Nous avons directement déduit les estimations âi,j des paramètres ai,j de chaque copule de Gumbel C(F-1(Xi,t), F-1(Xj,t)). Afin de mesurer la pertinence de la modélisation de la dépendance entre les variables Xi,t et Xj,t par une copule de Gumbel, nous avons effectué pour chaque couple de stations les calculs des fonctions K(z) et de leur estimation non-paramétriqueix. Pour une copule de Gumbel, la fonction K(z) est définie par : Ka(z) = z(1-ln(z)/a). Nous calculerons l’estimateur non paramétrique de K(z) à partir des valeurs empiriques Xi,t et

Xj,t : { }( )n

z z tqzcard)z(K iin

≤= où zi =

{ }( )1

y yet x x tq)y,(xcard ijijjj

−

<<

n pour )n,...,1(∈i x

La comparaison graphique de Ka(z) et de Kn(z) permet ensuite d’observer la qualité des ajustements. Dans notre exemple, on observe que les meilleurs ajustements sont ceux entre Metz et Orly, et entre Bordeaux et Orly. D’autres fonctions permettant d’étudier la qualité des ajustements, notamment sur les queues de distributionxi, pourraient s’avérer utiles dans l’analyse, mais ne seront malheureusement pas présentées ici.

− Estimations des paramètres ai,j par le maximum de vraisemblance : En maximisant sur âi,j la log-vraisemblance pour chaque couple de stations (i,j) avec i ≠

j : ( )∑=

−−12053

1,

1,

1 ))(),((logt

tjti XFXFc où F-1(Xi,t) est la fonction de répartition inverse

empirique de Xi,t basée sur les 12 053 observations historiques, nous constatons que les valeurs, bien que légèrement inférieures, sont comparables à celles obtenues par la méthode des coefficients de Kendall empiriques. La comparaison graphique de Ka(z) et de Kn(z) permet d’observer la qualité des ajustements. A nouveau, on observe que les meilleurs ajustements sont ceux entre Metz et Orly, et entre Bordeaux et Orly.

− Modélisation et résultats : Nous décidons de retenir les estimations des paramètres ai,j obtenues à partir des coefficients de corrélation de Kendall empiriques, préférant le risque de surestimation à celui de sous-estimation des dépendances entre les stations. Nous choisirons pour modéliser la copule de Gumbel les paramètres suivants : a1 = a2,4 = 2,326 ; a2 = a1,4 = 1,592 ; a3 = a1,3 = 1,178 Au terme de 50 000 simulations, nous obtenons les résultats présentés dans le tableau suivant. On y constate une augmentation significative de la moyenne C des indemnisations annuelles, des primes et également de la volatilité estimées.

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Estimation C (en EUR) s (en EUR) %20Π (en EUR) %40Π (en EUR)Rappel Burning Cost 241 436 876 919 416 820 592 204 Modélisation sans prise encompte de la dépendance 103 081 317 307 166 542 230 004

Modélisation copule de Gumbel 206 373 615 838 329 541 452 708 Les estimations demeurent certes inférieures aux moyennes historiques, mais nous paraissent plus crédibles que celles obtenues jusqu’à présent. Sans pour autant poursuivre aveuglément l’objectif du modèle reproduisant le passé à la perfection, force est d’admettre qu’une tarification, qui ne tient pas compte des évolutions potentielles des variables modélisées, ne doit pas aboutir à des résultats trop éloignés de la vérité historique. Elle serait autrement, à raison, contestable par les acteurs concernés. Afin de mieux percevoir les mécanismes de dépendance modélisés, nous reprenons les analyses graphique et probabiliste introduites lors de la modélisation précédente. Les QQ plots ci-dessous offrent une comparaison empirique/modélisé des liens entre Metz et Orlyxii.

QQ plot – simulation copule de Gumbel Rappel QQ plot empirique

La modélisation apparaît relativement bonne dans l’ensemble. Si l’on compare les fréquences empiriques et simuléesxiii des différents couples de stations, on constate que la copule de Gumbel que nous avons retenue puis modélisée tend manifestement à surestimer les probabilités d’occurrences quotidiennes simultanées de vitesses de vent extrêmes. Ceci ne nous parait pas choquant compte tenu des décisions prises lors de l’estimation des paramètres de la copule. Les montants estimés de la prime de la couverture ne sont quant à eux pas spécialement élevés, ce qui nous incite à penser que la modélisation peut encore être améliorée.

4.3.3. Modélisation par une Copule de Student Nous avons également utilisé une copule de Student afin de modéliser les dépendances entre les stations de la couverture indice vent.

− Préliminaire : Soit X un vecteur de variables aléatoires (X1,…,Xn) en n dimensions. X suit une distribution de Student multivariée avec d degrés de liberté, un vecteur moyen µ et une matrice de dispersion

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positive définie Σ , si sa densité est donnée par :2

nd1

n d)x()'x(

1)d()2

d(

)2nd(

)x(f

+−−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ µ−∑µ−+

∑πΓ

+Γ= .

On dit que X suit une distribution tn(d, µ, Σ).

− Présentation de la copule de Student La copule de Student d’une distribution multivariée tn(d, µ, Σ) est identique à celle d’une distribution tn(d, 0, P) où P est la matrice de corrélation correspondant à la matrice de dispersion Σ . La copule est donc unique et est définie par :

∫∫−−

∞−

+−−

∞− ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Γ

+Γ

=)( 21

(

,

11

1 '1

)()2

(

)2

(...)( ndd ut

nd

n

uttPd dx

dxPx

Pdd

nd

uCπ

où td-1 est la fonction de

répartition inverse d’une distribution de Student univariée standard.

La fonction de densité d’une copule de Student est la suivante : ∏=

−

−−

= n

1ii

1dd

n1

d11

dP,dtP,d

))u(t(f

))u(t),...,u(t(f)u(c

avec u ∈ (0,1)n où td est la fonction de répartition d’une loi de Student standard à d degrés de

liberté, où P,df est la fonction de densité d’une distribution de Student multivariée tn(d, 0, P), et où df est la fonction de densité standard d’une distribution de Student univariée à d degrés de liberté.

− Approche de modélisation Afin de simuler une copule de Student, il suffit de générer un vecteur aléatoire multivarié X selon une distribution de Student multivariée tn(d, 0, P)xiv , puis de générer le vecteur U = (td(X1),…td(Xd))’. Nous appliquerons une méthode d’estimation de la matrice P qui consiste à utiliser la matrice des coefficients de corrélation de Kendall empiriques ( )t,jt,i X,Xτ et à

construire la matrice P* à partir des valeurs sin ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

tjti XX ,, ,2

τπ . Puis, nous

estimons d par la méthode du maximum de vraisemblance, en maximisant

sur d : ∑=

=n

iiPd

UcEMV1

,ˆ ))ˆ(log( * où iU = (F1(Xi,1),…,Fd(Xi,d))’ avec Fd(Xi,d) la valeur

de la fonction de répartition empirique pour la i-ème observation, et n le nombre d’observations. Une variante consisterait à maximiser la vraisemblance à la fois sur d et sur P. Nous ne l’avons cependant pas appliqué, compte tenu des difficultés de calcul rencontrées.

− Modélisation et résultats : A partir de la matrice des coefficients de corrélation de Kendall empiriques, nous avons déduis la matrice P* xv et nous avons obtenu par la méthode du maximum de vraisemblance l’estimation du nombre de degrés de libertés de la copule de Student. Après 50 000 simulations, nous obtenons les résultats présentés dans le tableau suivant. Les estimations sont légèrement supérieures à celles obtenues par simple modélisation des corrélations. Cependant, l’indemnisation moyenne C estimée est de plus de 40% inférieure à la moyenne historique.

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Estimation C (en EUR)s (en EUR) %20Π (en EUR) %40Π (en EUR) Rappel Burning Cost 241 436 876 919 416 820 592 204 Modélisation sans prise encompte de la dépendance 103 081 317 307 166 542 230 004

Modélisation copule deStudent 142 134 431 910 228 516 314 899

Nous présentons ci-après les analyses graphique et probabiliste introduites lors des modélisations précédentes. Les QQ plots ci-dessous offrent une comparaison empirique/modélisé des liens entre Metz et Orlyxvi.

QQ plot – simulation copule de Student Rappel QQ plot empirique

La modélisation apparaît relativement bonne dans l’ensemble. Si l’on compare les fréquences empiriques et simuléesxvii des différents couples de stations, on constate que la modélisation par une copule de Student nous paraît assez satisfaisante en ce qu’elle restitue plutôt bien le comportement historique des observations quotidiennes jointes de valeurs extrêmes. Elle n’offre cependant pas une estimation de la prime de la couverture que nous jugeons acceptable.

4.3.4. Conclusions En intégrant la dépendance spatiale dans la modélisation des vitesses de vent au premier m/s, nous obtenons sans conteste des résultats bien plus satisfaisants pour notre couverture exemple. La copule de Student, et dans une moindre mesure la matrice des corrélations de Spearman, permettent selon nous de modéliser assez correctement la dépendance entre les valeurs quotidiennes des stations, y compris celle des valeurs extrêmes. La qualité de modélisation de l’indice lui même est en revanche plus contestable. L’écart entre « les primes historiques » et les primes estimées demeure significatif. La copule de Gumbel utilisée permet quant à elle une estimation plus crédible de la prime de la couverture, mais nous avons remarqué que cette estimation plus élevée résulte d’une surestimation des dépendances extrêmes qui ne nous semble pas légitimement acceptable. La famille des copules étant très large, il peut être intéressant d’utiliser des copules différentes. Une analyse plus approfondie de la qualité des ajustements effectués pour les copules de Gumbel et de Student est également envisageable. Toutefois, la réalisation de ces

24

travaux nécessite déjà un temps certain pour notre exemple d’indice vent à quatre stations, en raison notamment des ressources informatiques nécessaires au traitement d’échantillons de données d’une telle taille. Dans le contexte plus général de couvertures où des dizaines de stations sont utilisées, l’approche en est encore plus ardue. Ce problème n’est pas présent dans le cadre des modélisations des vitesses de vent supérieures à un seuil.

4.4. Prise en compte de la dépendance dans la tarification : modélisation avec seuils

Nous appliquons maintenant les outils de modélisation de la dépendance à partir des ajustements des vitesses de vent supérieures à un seuil. Comme indiqué précédemment, la taille des échantillons de vitesses de vent à manipuler est bien plus faible, compte tenu des seuils que nous avons retenus. Un dénombrement rapide des dates communes à chaque couple de stations nous permet d’indiquer donc le nombre de jours sur la période 1970-2002 pour lesquels les vitesses de vent quotidiennes d’un couple de stations étaient simultanément supérieures aux seuils de modélisation (appliqués individuellement). La relation la plus flagrante que nous avons mise en évidence est celle existante entre Orly et Metz. Sur les 30 observations communes de (X'2,t, X'4,t), on en dénombre 5 pour lesquels les vitesses de vent étaient supérieures ou égales aux franchises (K2,K4). Il est à noter que nous ne dénombrons aucune observation de ce type pour les autres couples. En conséquence, et compte tenu également du peu d’observations pour les autres couples, nous choisissons de ne prendre en compte dans les modélisations que la dépendance entre Metz et Orly. Nous avons représenté les 30 observations communes du couple Metz-Orly sur le graphique suivantxviii :

Vitesses de vent quotidiennes historiques - METZ/ORLY

20

25

30

35

40

45

50

20 25 30 35 40 45 50

METZ - X'2,t en m/s

OR

LY -

X'4,

t en

m/s

Au préalable, nous présenterons néanmoins brièvement une approche de prise en compte de la dépendance entre les stations au travers de l’étude des corrélations entre les distributions du nombre annuel de valeurs supérieures aux seuils.

4.4.1. Modélisation de la corrélation des fréquences Nous disposons pour chaque station i d’un historique de trente-trois valeurs de fréquences annuelles (nombre de jours sur l’année où la vitesse de vent est supérieure au seuil de modélisation), sur lequel nous avions ajusté les lois de Poisson et binomiale négative. Nous avons modélisé les corrélations entre les fréquences Ni et Nj à partir de la matrice des coefficients de corrélation de Spearman. Après 100 000 simulations des modèles avec et sans prise en compte des corrélations de fréquences, nous obtenons les résultats suivants :

25

Estimation C (en EUR) s (en EUR) %20Π (en EUR) %40Π (en EUR) Rappel Burning Cost 241 436 876 919 416 820 592 204 Modélisation sans prise encompte de la dépendance 99 146 382 918 175 730 252 313

Modélisation descorrélations de fréquence 104 028 392 280 182 484 260 940

L’impact est manifestement marginal. Nous ne sommes pas allé plus loin dans cette voie, car l’utilisation de copules ne parait pas adaptée, dans la mesure où les dépendances entre les fréquences ne semblent pas très marquées à ce niveau de seuil.

4.4.2. Modélisation de la dépendance Metz-Orly à l’aide de copules

− Préliminaire : Si la modélisation des vitesses de vent avec introduction de seuils résout le problème de traitement des données, elle a l’inconvénient de multiplier les phases d’ajustement probabilistes. En effet, le graphique suivant permet de distinguer trois catégories différentes de situations :

Vitesses de vent quotidiennes historiques - METZ/ORLY

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

METZ - X'2,t en m/s

OR

LY -

X'4,

t en

m/s

Catégorie 1

Catégorie 2

Catégorie 3

La modélisation de la dépendance entre Metz et Orly nécessite donc un travail en trois étapes :

− La modélisation des « événements » appartenant à la catégorie 1, c’est à dire les observations de dépassements des seuils dans les deux stations.

− La modélisation des « événements » appartenant à la catégorie 2, c’est à dire les observations, où la vitesse de vent à la date t est supérieure au seuil à Metz mais pas à Orly. Nous ne modéliserons que les valeurs de la station de Metz.

− La modélisation des « événements » appartenant à la catégorie 3, c’est à dire les observations, où la vitesse de vent à la date t est supérieure au seuil à Orly mais pas à Metz. Nous ne modéliserons que les valeurs de la station d’Orly.

On se rend compte que l’approche peut rapidement rencontrer des limites, puisque le nombre d’étapes croît plus rapidement que le nombre de stations : l’application de cette approche à n

26

stations, pour lesquelles on souhaiterait envisager tous les cas de figure envisageables en

matière de dépendance, nécessite un nombre d’étapes égal à ∑=

n

1i

inC .

− Résultats des modélisations :

Bordeaux S1(T)

Metz S2(T)

Nice S3(T)

Orly S4(T)

Rappel : valeurs historiques Moyenne (dam/h) 704 589 93 491 Ecart type (dam/h) 1 378 2 461 263 1 685 Rappel : modélisation finale des vitesses de vent avec seuil : Moyenne (dam/h) 646 630 67 505 Ecart type (dam/h) 1243 1198 276 1526 Modélisation distincte des catégories 1, 2 et 3 pour Metz-Orly: Moyenne (dam/h) 646 880 67 506 Ecart type (dam/h) 1243 2255 276 1477 Le tableau précédent montre les résultats obtenus station par station au terme de 100 000 simulations, et sans utilisation des copules : Les estimations pour Bordeaux et Nice sont bien évidemment inchangées. Les nouveaux ajustements réalisés ne modifient pas significativement la modélisation d’Orly, mais conduisent globalement à une meilleure restitution de la volatilité historique pour la station de Metz. Nous obtenons les estimations suivantes du prix de la couverture, qui sont assez sensiblement inférieures aux moyennes historiques : Estimation C (en EUR) s (en EUR) %20Π (en EUR) %40Π (en EUR) Rappel Burning Cost 241 436 876 919 416 820 592 204 nouvelle modélisation sans copule 138 625 465 590 231 743 324 861

nouvelle modélisation copule de Gumbel 146 554 500 303 246 615 346 675

nouvelle modélisation copule de Student 141 513 480 734 237 660 333 806

4.4.3. Conclusions

La prise en compte de la dépendance spatiale entre Metz et Orly dans la modélisation des vitesses de vent supérieures à un seuil permet globalement d’obtenir des résultats plus satisfaisants pour notre couverture exemple. La méthode peut cependant s’avérer fastidieuse dans le cadre de la tarification d’une couverture qui comporte un nombre élevé de stations présentant des liens de dépendance. Toutefois, comme pour les ajustements de vent au premier m/s, nous n’obtenons pas une modélisation correcte de l’indice S(T). L’observation des fonctions de répartition empirique et simulées nous le confirme.

27

Fonctions de Répartition - Empirique et Modélisées

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

0 500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 3 500 4 000 4 500 5 000

S(T)

Dis

trib

utio

n

Empirique

Modélisation des vitesses de vent au premier m/s : matrice de corrélation

Modélisation des vitesses de vent au premier m/s : copule de Gumbel

Modélisation des vitesses de vent au premier m/s : copule de Student

Modélisation des vitesses de vent avec seuil : copule de Gumbel Metz-Orly

Modélisation des vitesses de vent avec seuil : copule de Student Metz-Orly

Par conséquent, nous estimons que les ajustements effectués sur les vitesses de vent n’offre pas à l’heure actuelle une tarification suffisamment satisfaisante de la couverture.

4.5. Introduction au problème de dépendance temporelle Les méthodes employées sur les valeurs de vitesses de vent permettent de modéliser correctement d’une part le comportement des indices individuels par station, et d’autre part les dépendances spatiales entre les observations quotidiennes des différentes stations. L’écart entre estimations empiriques et simulées peut en grande partie s’expliquer par le poids des années 1990 et 1999 dans l’historique des indemnisations de la couverture. En 1990, la station de Metz a enregistré six de ses sept valeurs les plus élevées sur la période 1970-2002. En 1999, Metz et Orly ont enregistré une valeur extrême le 26/12/1999 pendant Lothar, Bordeaux le 27/12/1999 et Nice le 28/12/1999 pendant Martin. Il semble ainsi que, pour une même station, l’occurrence et la valeur à la date t d’une vitesse de vent extrême ne soit pas indépendante des observations précédentes. Ces situations extrêmes ont dans les modélisations que nous avons effectuées, une probabilité de survenance plus faible sur une échelle de temps d’une trentaine d’années. Ainsi, dans les modélisations avec seuil, nous pensons qu’il est nécessaire, en vue d’obtenir une meilleure tarification, d’étudier la dépendance par station entre fréquence et valeur des vitesses de vent supérieures aux seuils. De même dans les modélisations des vitesses de vent au premier m/s, une prise en compte de la dépendance temporelle paraît légitime sur les variables de vitesses de vent (Xi,1,…,Xi,t,…, Xi,T). Pour ce faire, nous conseillons l’étude d’une approche économétrique. 5. CONCLUSION Nous nous sommes attachés à explorer les méthodes possibles de tarification d’une couverture indicielle Cat. Nous avons pour cela travaillé sur l’exemple très simplifié d’une couverture indicielle basée sur les vitesses de vent maximales instantanées enregistrées quotidiennement dans les stations de Bordeaux, Metz, Nice et Orly.

28

L’étude des valeurs historiques de l’indice nous a permis tout d’abord d’estimer le prix de la couverture par l’intermédiaire du Burning Cost. Nous avons également ajusté des lois de probabilité à ces valeurs historiques. Dans notre exemple, la modélisation par une loi gamma est la plus satisfaisante. Pour mieux refléter le comportement de la queue de distribution, nous avons étudié l’impact sur la tarification de l’introduction d’un seuil de modélisation de l’indice à 100 dam/h. Plusieurs lois de probabilité, notamment celles recommandées pour l’étude des valeurs extrêmes, ont permis d’obtenir une tarification de la couverture satisfaisante. Ces premières méthodes, simples et rapides, peuvent être appliquées à la grande majorité des couvertures en matière de variable climatique sous-jacente et de mécanisme d’indemnisation. Elles seraient toutefois difficilement applicables pour des protections très hautes (franchises élevées), ou de période de couverture supérieure à l’année, en posant en outre le problème du choix d’un seuil de modélisation. Enfin, elles présentent l’inconvénient de fournir des cotations qui paraissent très sensibles à un historique de taille relativement réduite de valeurs d’indices, qui comporte une très grande volatilité. Nous avons donc dans un deuxième temps exploité les valeurs historiques de la variable climatique elle-même. L’obtention d’ajustements fiables pour chaque station permettrait d’envisager la tarification de toute couverture indicielle (à sous-jacent climatique identique) sur des bases communes. Nous avons réussi à obtenir pour chaque station des ajustements assez satisfaisants des séries de vitesses de vent quotidiennes, avec et sans introduction de seuils, ces derniers nous paraissant donner des résultats plus robustes. Nous avons ainsi pu simuler le fonctionnement de la couverture indicielle, et obtenir des résultats station par station que nous estimons tout à fait acceptables. En revanche, les estimations du prix de la couverture ont été systématiquement inférieures aux tarifications sur base d’indice, et de façon significative. En ayant mis en évidence le problème de la dépendance entre les stations et présenté des outils nous permettant de la modéliser, nous avons pu construire des modèles offrant une tarification affinée de la couverture. L’utilisation d’une simple matrice de corrélations, d’une copule de Gumbel et surtout d’une copule de Student ont permis de reproduire assez fidèlement les liens de dépendance constatés historiquement sur l’intégralité des vitesses de vent quotidiennes des stations. Cependant, bien que meilleures, les estimations du prix de la couverture nous paraissent encore trop faibles compte tenu de l’expérience passée. Un travail plus approfondi dans le choix des copules (utilisation de copules extrêmes notamment) et dans l’analyse de la qualité des ajustements pourrait être utile, tout en nécessitant des moyens informatiques très performants, et pourrait ne pas conduire à une amélioration significative de la tarification. Enfin, la prise en compte de la dépendance spatiale dans la modélisation avec seuils ne nous a pas permis d’obtenir des résultats plus satisfaisants. En outre, son application à un nombre élevé de stations est problématique. Afin d’améliorer la tarification des couvertures indicielles vent, nous pensons qu’il est souhaitable d’étudier, par une approche économétrique, les dépendances temporelles entre les valeurs quotidiennes de vitesses de vent. Une vision plus pragmatique peut néanmoins consister à retenir une tarification obtenue par surestimation des dépendances spatiales, comme ce qui a été réalisé pour la copule de Gumbel multivariée. Enfin, il conviendra de vérifier la pertinence des approches pour d’autres types de variables climatiques, dont les comportements pourraient être différents en matière de valeurs extrêmes et de dépendance spatiale.

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