L’électrostatique dans le vide

L'électrostatique étudie le champ électrique indépendant du temps, créé par des charges fixes dans un référentiel donné

I) Généralités sur les charges

1) Les charges

L’électrostatique dans le vide

Répartition continue volumique de la charge

M

q = (M).d

V

Répartition continue surfacique de la charge

M

q = (M).dS

Répartition continue linéique de la charge

M

q = (M).d

2) Les principes de conservation et d’invariance

I) Généralités sur les charges

1) Les charges

L’électrostatique dans le vide

Postulat :

La charge totale d’un système isolé se conserve au cours du temps

Postulat :

La charge totale d’un système a la même valeur quel que soit le référentiel d’étude

1) Les champs scalaire et vectoriel

II) Le champ électrostatique

I) Généralités sur les charges

L’électrostatique dans le vide

2) Force et champ électrostatiques

a) La force électrostatique de Coulomb

1) Les champs scalaire et vectoriel

II) Le champ électrostatique

I) Généralités sur les charges

L’électrostatique dans le vide

La charge ponctuelle

02

0 0

q .q(M)

4 r0

0

uF

q0 > 0

M

O0

F0(M)

u0

q > 0

b) Le champ électrostatique créé par une charge ponctuelle

2) Force et champ électrostatiques

a) La force électrostatique de Coulomb

1) Les champs scalaire et vectoriel

II) Le champ électrostatique

I) Généralités sur les charges

L’électrostatique dans le vide

La charge ponctuelle

q0 > 0

M

O0

E(M)

u0

02

0 0

q(M)

4 r0

0

uE

c) Le champ électrostatique créé par un ensemble de charges ponctuelles

b) Le champ électrostatique créé par une charge ponctuelle

2) Force et champ électrostatiques

a) La force électrostatique de Coulomb

II) Le champ électrostatique

L’électrostatique dans le vide

d) Lignes et tube de champ

2) Force et champ électrostatiques

II) Le champ électrostatique

L’électrostatique dans le vide

Ligne de champ

Une ligne de champ d’un champ de vecteur A quelconque est une courbe (C) orientée de l’espace telle qu’en chacun de ses points le vecteur y soit tangent.

Tube de champ

L’ensemble des lignes de champ s’appuyant sur un contour fermé de l’espace engendre une surface ouverte appelée tube de champ.

Tube de champ

1

2

III) Symétries et invariances du champ électrostatique

II) Le champ électrostatique

I) Généralités sur les charges

L’électrostatique dans le vide

On admet le principe de Curie :

Le champ électrostatique E possède les mêmes propriétés d'invariance et de symétrie que la distribution de charges qui le crée.

1) Invariances

III) Symétries et invariances du champ électrostatique

II) Le champ électrostatique

I) Généralités sur les charges

L’électrostatique dans le vide

Invariance

Un système S est invariant pour une transformation T pour un observateur fixe si le nouveau système T(S) est identique au système S pour cet observateur.

2) Symétries

1) Invariances

III) Symétries et invariances du champ électrostatique

II) Le champ électrostatique

I) Généralités sur les charges

L’électrostatique dans le vide

Plan de symétrie

Un système (S) possède un plan de symétrie (), quand P et P’ deux points du système vérifient :

P’ = Sym(P) et S(P’) = Sym[S(P)]

S(P) est la grandeur caractérisant le système (S) au niveau de P.

Conséquence

() est aussi un plan de symétrie pour E et si M est un point de l'espace et M' = Sym(M), alors :

E(M') = Sym[E(M)]

Plan d’antisymétrie

Un système (S) possède un plan d'antisymétrie (*), quand P et P' deux points du système vérifient :

P’ = Sym*(P) et S(P’) = – Sym*[S(P)]

S(P) est la grandeur caractérisant le système (S) au niveau de P.

Conséquence

(*) est aussi un plan d'antisymétrie pour E et si M est un point de l'espace et M' = Sym*(M), alors :

E(M') = – Sym*[E(M)]

1) Rappels sur le flux

IV) Le théorème de Gauss

III) Symétries et invariances du champ électrostatique

II) Le champ électrostatique

I) Généralités sur les charges

L’électrostatique dans le vide

d

+

P

dS

M

2) Le théorème de Gauss

1) Rappels sur le flux

IV) Le théorème de Gauss

III) Symétries et invariances du champ électrostatique

II) Le champ électrostatique

I) Généralités sur les charges

L’électrostatique dans le vide

Théorème de Gauss

M

Qint

Q

(E/), le flux sortant du champ E créé par une distribution de charges quelconque à travers une surface finie fermée () est égal à la charge intérieure à la surface finie fermée () divisée par 0.

int

0

Q( ) (M).d (M). .dS extE / E S E n

Le champ électrostatique en M est créé par la charge totale Q

Le flux du champ électrostatique à travers la surface est uniquement dû à la charge intérieure à , Qint

3) Exemples de champs électrostatiques

IV) Le théorème de Gauss

L’électrostatique dans le vide

a) La boule

O R0

M

r

Surface de Gauss

E

rR

Champ créé par une boule

3) Exemples de champs électrostatiques

IV) Le théorème de Gauss

L’électrostatique dans le vide

a) La boule

b) Le cylindre « infini »

z

O

Rr

h

E

rR

Champ créé par un cylindre infini

3) Exemples de champs électrostatiques

IV) Le théorème de Gauss

L’électrostatique dans le vide

a) La boule

b) Le cylindre « infini »

c) Le plan « infini »

Champ créé par un plan infini

0

02

0

02

E

zO

1) Le potentiel électrostatique

V) Le potentiel électrostatique

L’électrostatique dans le vide

1) Le potentiel électrostatique

2) Propriétés du potentiel électrostatique

V) Le potentiel électrostatique

L’électrostatique dans le vide

1) Le potentiel électrostatique

2) Propriétés du potentiel électrostatique

V) Le potentiel électrostatique

3) Application : Capacité du condensateur plan

L’électrostatique dans le vide

Définition

Deux conducteurs sont en influence totale si toute ligne de champ partant de l’un aboutit à l’autre

1) Le potentiel électrostatique

2) Propriétés du potentiel électrostatique

V) Le potentiel électrostatique

3) Application : Capacité du condensateur plan

L’électrostatique dans le vide

4) L’énergie potentielle électrostatique

VI) Analogies avec la gravitation

L’électrostatique dans le vide

Électrostatique Gravitation

Félec = avec OM = r.ur Fgrav = – G.m0.m avec OM = r.ur

Charge q0 Masse m0

Constante Constante – G

Champ électrostatique : E(M) = Champ gravitationnel : g(M) = – ur

Potentiel électrostatique : V(M) = Potentiel gravitationnel : U(M) = –

Énergie potentielle : Ep = + K Énergie potentielle : Ep = – + K

(E/) = = (g/) = = – 4.G.Mint

02

0

q .q4 r

ru

0

14

02

0

q4 r

ru

2rru

02

G.mr

0

0

q4 r

0G.mr

0

0

q .q4 r

0G.m .mr

(M) dE . S int

0

Q

(M) dg . S

(g/), le flux sortant du champ gravitationnel g créé par une distribution de masses quelconque à travers une surface finie fermée () est égal à la masse intérieure à la surface finie fermée () multipliée par – 4G.

int(M).d (M). .dS 4 GMextg S g n