ANALYSE NT]MERIQUE DE PBOBIZMES TRIDIMENSIONNELS EN MAGNETOSTATIQUE

A. MARRCL-~O

IRIA-IABORIA

78150, Le Chesnay, France

I. IIqTBODUCTION.

I. 1. Le probl~me dans le cas bidimensionnel cart~sien.

Darts le cas bidimensionnel, le probl~me de magn~tostatique (probl~me non lin~aire

puisque tenant compte de l'effet de saturation pour les mat~riaux ferro-magn~tiques),

conduit ~ la r~solution dans un certain dc~aine ~ de l"_equation aux d~riv~es par-

tielles

i=l x~ i (x,lgradAl 2) = j dans Q ,

(i.i)

A 1 =0 ~Q

ce qui est @quivalent, d~ns un certain sens, ~ la resolution du probl~e d'optimisa-

tion suivant :

(i .2)

avec

trouver A ~ £ H 1 (Q) tel que O

; ~ ( A ) ~ ;~(v) "~ v E H (~)

(i. 3) ~(v) = ~ ¢(x, Igradv I - j.v

o~ H I (Q) d~signe l'espace de Sobolev habituel et o~ % est la primitive de o

(consid~r~e ccmlTe fonction de Igradvl 2) qui s'annule pour la valeur O.

La fonctionnelle (1.3) repr~sente l'~nergie magn~tique du syst~me considerS. La for-

n~lation variationnelle du probl~me (1.2) est la suivante :

Cette ~tude a ~t~ r~alis~e dans le cadre d'un contrat avec la Soci~t~ SEV-MARCHAL.

218

* H 1 (~) tel mue Trouver A 6 o

(1.4)

I v(x, lgrad A*I 2) grad A*. grad v dx -fQj.v dx = O

1.2. Relation avec le probl~rae physioue.

Vv E Hlo (Q)

Si l'on note ~ = (O,O,A) et ~ = O,O,j) avec A et j ne d@pendant aue de x I, x 2,

alors (i.i) n'est autre que

(1.5) rot( vrot i) =

= o

(1.5) est l'6quation de Maxwell habituelle exprim~e ~ l'aide du potentiel veeteur

et qui regroupe en fait les trois relations de lamagn6tostatique

(1.6)

avec

rot H =

B = ~,H

div B =

j est le vecteur densit@ de courant et v est l'inverse de la perm@abilit@ magn6ti-

que ~. La condition aux limites sur ~ traduit le fait que le ph@ncr~ne magn@tigue

@tudi@ est limit~ au dc~aine Q consid6r@ (il n'y a pas d'effets ~ l'ext@rieur de Q).

est le champ magn@tique et ~ est l'inductionmagn@tique. L'inverse de laperm~a-

bilit@ magn@tique peut s'exprimer ~ le produit de deux cn~ntit@s :

( 1 . 7 ) v = v v o r

avec

et v r

1 v O constante (dimensionn@e) correspondant ~ la valeur dans l'air ( ~SA)

4z iO- repr@sentant la valeur relative par rapport ~ l'air.

Dans les parties ferro-magn@tiques, nous approchons v (distribution de points

dans le plan (IBI2 r , v r) tir@e de la caract6ristique magn@tiaue B = bH du mat6riau

consid@r@), par une fonction analytique de la famille d@finie par les param@tres ~,~,

C,T

(1.8) re(X) = ~ + (C-~) X Y~, ,C,~ xa+T

L'approximation est faite au sens des moindres carr~.s. Nous avons obtenu, par exemple,

pour valeur des param~tres

219

= 5.16 10 -4

C = O. 175 (1.9)

=5.42

T = 8.75 103

ce qui a donn~ une erreur relative de 3 ~ 4 % avec les points extraits de ]a courbe

caract@ristique.

Nous donnons, sur la Figure l,l'allure des courbes approchant yr.

vrl .............................................................................. ..

iO-i

10 -2

10 -3

10 -4

10-5

O 1 2 3 4 5

Figure I. 1.3. Remarques.

2 IBI2=I rot Al2~jradAl

a) Avec les notations d@j~ utilis@es dans 1.2., c'est-~-dire si l~ = (O,O,A) et

j = (O,O,j), A et j ne d@pendant que de x I et x2, le probl~me de magn@tostati-

que (exprim@ comme probl~re de l'optimisation de l'@nergie magn@tique) s'@crit @videm-

ment des deux fagons suivantes :

(I. 1o) trouver A* 6 HI o(Q) tel mue

(A*) <~ ~(V) V V E H1o(e)

avec

(1.11)

ou bien

(i.i2)

(V) = [ @(x, I grad - j .V dx

* A* ° 1 trouver A = (O,O,A) , 6 H (Q) tel clue

z~(~*) ~ ~(v) v ~ = (o,o,v) , V~H 1(~) o

220

avec Z s ' @crivant

5 ,Ix, l t 121 -

Pour le cas bidimensionnel cartesian, nous avons la relation suivante:

(1.14) ]B[ = Igrad A =[rot ~l"

b) Darts le cas o6 le courant $ est "assez faible", l'induction magn@tique cr@e IBI

est aussi faible et l'on reste dans la zone de la courbe o~ v ne d~pend pratique- r

ment pas de Igrad A[ 2 = IBI 2 , si bien qua le problg{ne @tudi@ alors est un probl~ne

lin@aire ~ milieu non hc~og~ne et la fonctionnelle (1.3) s'~crit alors :

(V) = ~ V(x) Igrad V]2 dx - j.V dx.

c) Pour l'Ttude th@orique, l'approximation par la technique des @l~rents finis, la

r@solution nt~n@rique par diff@rentes m@thodes, on pourra se reporter ~ [i] , [2] .

II. GENERALISATION AU CAB TRIDIMENSIONNEL.

Le dc~aine Q est un ouvert born@ de ~R 3 et le potential vecteur A , a trois compo-

santes A= (AI,A2,A3). Au vu des fonctionnelles d'@nergie (i.Ii) et (1.13) pour le

cas bidimensionnel, au moins deux g@n@ralisations pour le cas tridimensionnel sont

envisageables :

1 °) -

(2.1)

o~

La fonctionnelle d'@nergie (I.ii) deviant :

a~)= 2 f*(x,'gradV[2)dx - f.

= (VI,V2,V 3) et

3 I grad~ 12 = ~ [grad Vil 2"

i=l

2 °) - La fonctionnelle d'@nergie (1.13) garde la m~me @critux~ :

(2.2) ~) ~ ,(x, -

Les espaces fonctionnels vont ~videnment changer pour la dim~.nsion 3. La condition

aux limites qui va traduire l'absence de ph@nom@ne ~ l'ext@rieur du dcmaine Q

(toutes les lignes du champ sont dans Q ), est :

I2.31 =-6 (O~ ~ d@signe la normale ~ ~).

221

qu'avec la notation utilis~e en (1.2), la condition AI@Q = 0 s'~crit Remarquons

aussi AA~ = O.

Cette condition (2.3) est plus naturelle et moins restrictive que ~i~Q = 0 dans le

cas g~n~ral.

Pour le cas tridimensionnel, les deux fonctionnelles (2.1) et (2.2) ne sont plus iden-

tiques (on n'a plus la relation (i.14)) et la fonctionnelle (2.2), qui est celle d~-

coulant du probl~me physique est plus d~licate ~ ~tudier.

Pourtant, dans le cas magn~tiquement lin~aire ( v ne d~pendant que de x), la fonction-

nelle (2.1) semble ~tre la fonctionnelle d'~nergie car il est bien connu (cf.[3]) que

le potentiel vecteurv~rifie l'~quation

o

(dans le vide ou l'air), ~ ~tant le laplacien vectoriel. Cette ~quation d~coule di-

rectement de la formulation (2.1).

III. ETUDE DES P~DBLEMES TRIDIMENSIONNELS.

Espaces fonctionnels - R~sultats.

Soit Q un ouvert born~ de ]R 3 , de fronti~re F , suffisamment r~guli~re ;

on note :

(3.1) W : {~ , ~ 6 [H1(~) ] 3 , ~ A - n = ~ s u r F }

I R~sultat

Muni du produit scalable

I(3.2) ((~,~)) =JQ grad ~. grad~ dx =~Q

I I W est un espace de Hilbert.

3

grad u i. grad v i dx- i=l

~h effet, l'application

~--~lUll,O ={fQ Igrad ~12 dxl I/2

N

est une norme sur W , ~quivalente ~ la norme induite par la norme habituelle de

[H I (a) ~ :

222

~6sultat 21

I Quels que soient ~ et 5 6 W , on a :

3) f~ grad~.grad~ dx =fflrot ~.rot~dx +f div~.div~ dx

On le d6montre facil~ment pour les fonctions suffisanment r@guli@res et par passage

la limite pour W.

Compte tenu de ces deux r@sultats, les probl~mes tridimensionnels peuvent se ramener

aux probl~mes variationnels suivants :

a)

(3.4)

b)

(3.5)

trouver A 6 W tel que

fQV(x, JgradA~J 2) grad ~. grad ~dx-IQ 3"~ dx = O

trouver ~ 6 W tel que

fo

N

VvCW

f0 <- V(X, Jrot A~J 2) rot ~ rot~dx+ div ~. divvdx- j.v dx = O

vv~

probl~mes qui admettent chacun une solution et une settle.

[R@sultat 3 J

I La solution A* du probl~l~e (3.5) dans le cas g@n@ral (et aussi du probl~me

(3.4) dans le cas lin@aire) est la solution du probl~/ne de magn@tostatiq~e

v@rifiant div A -~ = O.

Si l'on choisit ~ EHIo(Q)~ H 2 (~) alors

ffl div A'.A~dx % ~.grad~dx = O

grad~ 6 ~ et (3.5) devient

V ~ 6HIo(~) ~ H 2 (~)

car rot (grad ~) -=0.

Nous utilisons maintenant le fait que j est un courant, si bien que div ~ = 0

et alors fQ 3.grad~dx =0 . II nous reste donc :

f~ ~ Hlo div A .A~dx = 0 V~ 6 (Q)~H2(~)

Mais g est un iscmorphisrne de HIo(Q) ~ H 2(Q) dans L 2 (Q), on d~duit donc de la rela-

tion pr@c@dente que div ~ = 0 dans L 2(~).

En r~solvant (3.5), on r~sout au sens des distributions ((~(Q))3c W) :

rot( vrot ~*} - grad div A ~ = ~ dans fl

mais puisque

223

div ~ = 0 , on r~sout bien l'@quation de Max~.~ll :

rot(v rot A*) = ~.

IV. APPROXIMATION. RESOLUTION NUMERIQUE.

IV.I Approximation.

Nous avons pris pour dcrm~ine Q , un parall61@pi[~de ~ c~t@s parall~les aux axes de

coordonn@es. Ce dc~aine est partitionn6 en t6tra~dres ; on suppose que la fonction

vectorielle % (approchant ~) est lin@aire (ou plut6t affine) sur chaque 61~ment de

la t@tra@drisation.

L'espace fonctionnel ~ est approch@ par %

(4.1) Wh ={%I~h E(c°(~))3 , d° Vh,i(l sur T, i=1,2,3, %A~ = O sur F}

Avec notre choixdu domaine ~ , la condition ~h A ~ = O peut s'exprimer diff6rem-

ment.

x 3

E

I ~°'°°'"Jf" X2 ...~..H~ ~--" ...................................

• ~ x~

D

Figure 2.

Si = (UI,U2,U3), la condition d'orthogonalit~ aubord pour

- sur F 1 = BFGD ~ AEHC : U2= 0

- sur F 2 = ABCD ~ EF~£ : UI= O

- surf 3 = EFBA U HG3C : UI= O U2= O

est la suivante :

U3= O

U3= O

224

A/_nsi l'espace W h peut aussi ~tre d@fini par :

= (Vh,l,Vh,2,Vh,3) 6 [C?(Q)] 2 d = V h ~< 1 sur T • ,i '

i=1,2,3

Un @l~ment

(4.3)

Vh, 1 = O sur F 2 ~ F 3

Vh, 2 = O sur FlU F 3

= 0 sur rl~ F 2 I " Vh,3 )

~h Wh s'exprime explicitement de la fagon suivante : E

~h (Xl ,x2,x3) __T6~6~(3 =~p3 + q3xl + rT + s3x3 ) ~j)2 8Th (Xl ,x2,x3 )

o~ V(T) repr~sente le volume du t@tra~dre T appartenant a la t~tra~irisa-

tion ~ h

T O h est la fonction caract@ristique du t@tra~dre T

T T T T pj,qj,rj,sj sont des fonctions des coordonn~es des sc~mets du t~tra~Ire T

est la valeur de la fonction au sc~et j du t@tra~dre T. 3

IV.2 Fozrnulation des probl~mes approch@s. R~solution.

a) Le premier probl~me se fozrm~le ainsi:

(4.4)

uver tel e

o~ ~ est donn@ par (2.1)

b) Le second probl~re (probl~me magn@tostatique) se fo~nule par :

(4.5)

trouver ~W h tel que

o~ Q est la fonction d'@nergie relative ~ (3.5).

probl~/nes (discrets) d'optimisation dans ~i h admettent une solution et une seule, Ces

ces solutions @tant caract@ris~es, si les variables des probl~mes sont ntm~rot@es de

I~N, par :

225

(4.6) -~(~A h) = O k = 1,2 ..... N pour a)

(4.7) ~v k ) = O k = 1,2,...,N pour b).

On utilise une m@thode it@rative pour la r@solution num6rique.

IV.3. Remarque.

Le d~coupage du domaine Q en t~tra~dres a @t~ g~n~r@ ~ partir d'une triangulation

dans un dcr~aine plan (Xl,X2). On sur~l~ve cette triangulation, on obtient ainsi une

"couche" d'@!6ments prismatiques ~ base triangulaire ; chacun de ces prismes est en-

suite d~coup@ en dix ~16~ents t~tra~driques. Le dmmaine tridimensionnel est constitu~

de NB couches superpos@es.

V. APPLICATIONS NUMERIQUES.

Nous avons fait des essais num~riques sur deux confSgurations tridimensionnelles types

que nous noterons TEST 1 et TEST 2.

Pour chaque essai type TEST 1 ou TEST 2, nous r@solvons simultan~nent les deux probl@-

rues correspondant ~ (3.4) ou (3.5) ; nous noterons Pb.I-GRAD celui correspondant

(3.4) et Pb.II-ROT, celui correspondant ~ (3.5) ou plus pr~cis6ment ~ :

(5"l)I~v(x''r°t A~I2 r°t ~" V~EW , ~EW, r°t vdx+f~v(x'Idiv'A~2)div~'div~dx -f~<'~ dx = O

bien qu'avec (5.1) les calculs soient un peu plus longs ~ chaque iteration.

Nous qualifierons de "lin~aire" (L) un probl~me pour lequel la solution A obtenue

donne des valeurs "petites" pour I grad ~ 12 (Pb.I.GRAD) , ou bien pour Irot ~ 12 dans

Pb.II.ROT. Les coefficients v dans (3.4) ou (3.5) sont pratique~_nt constants (voir

courbe de la Figure i) et les probl~mes pourraient @tre effectivement trait~s ccr~me

des probl@mes lin~aires. Darts le cas o~ il y a "saturation magn~tique", les probl~es

sont @videmment nor. lin@aires et nous les noterons (NL).

V.I. TEST i. Le vecteur courant n'a qu'une ~sante non nulle (de valeur constante)

et le probl~me ~eut aussi se r~soudre cfmme un probl~ne bidimensionnel.

V. i.i. R~sultats num~riques.

La Figure 3 repr~sente le dcrma/_ne dans lequ_ el sont r@solus les probl~nes Pb. I-GRAD

et Pb.II-BOT. Les parties cmbrag~es repr@sentent les parties ferro-magn@tiques ; on

226

J

.-" /

4 9C z

Figure 3. Dcr~ine TEST I.

' I

llIII~rllilllIl ! IIlJI~II!!lllll I

.IL,,E~,,UU i

Figure 4. Triangulation initiale.

227

a aussi indiqu~ le support du courant ~ . La figure 4 donne la triangulation initia-

le ~ partir de laquelle est g@n~r@e la t~tra~drisation ; celle-ci est constitute de

deux couches identiques de t~tra~dres, dont le nc~bre total est 480 et cela pour 181

nceuds.

Le temps de calcul est d'environ 2 secondes par iteration pour Pb.I-GRAD et de 3,8 s.

par iteration pour Pb.II-~0T, cela sur ordinateur IRIS 80, en simple pr@cision. Le

test d'arr@t des it@rations du prccessus it~ratif utilis~ est :

N

i - l (5.2) i=l ~<

N An÷l i = l

On r@capitule dans le tableau V. 1 les performances de i' algorithn~ utilis@ avec

= 10 -6 dans (5.2).

TEST I.

Pb.I-~aD. Pb.II-~.

151 = 108 L 46 it~r. 58 it~r.

I]I=3 108 NL 35 it@r. 46 it~r.

I~I=5 108 NL 31 it~r. 40 it~r.

Tableau V.I.

es V.l.2. ~ e .

- Pour j = 108 (probl~me ~quivalent au probl~me lin~aire) , les r@sultats de Pb.I-

GRAD et Pb.II-BOT sont rigoureuse~ent identiques ; pour j = 3 108 et j = 5 108 ,

les r@sultats different l~g~rement (3~me d~cimale significative), mais dans tous

les cas, les r~sultats restent semblables ~ ceux obtenus par r@solution du probl~-

me bidimensionnel sur la triangulation de la figure 4.

- Pour le probl~re Pb.I-GPAD., on peut ~concrniser les 2/3 du temps calcul car les

deux premieres composantes de ~ restent identiquement nulles ; pour le probl~me

Pb. II-ROT., ces deux cc~posantes ne sont pas nulles au cours de l'algorithn~, elles

tendent vers O au fur et ~ ~esure de la convergence.

228

- Le probl~ne consid@r@ iciest un probl~me bidimensionnel traits comme un probl~me

tridJm~nsionnel ; on sait gue dans le cas bidimensionnel, la condition div ~ = 0

est implicite dans la formulation ; pour le cas tridimensionnel, nous avons cons-

tat~ la chose suivante :

div ~ est ~vid~t une constante sur chaq~e @l~ment t~tra~Irique (approximation

lin@aire de ~), mais cette valeur n'est pas nulle ; par contre, si l'on calcule pour

chaque noeud I int@rieur la valeur :

(5.3) ~ div A dx T 6NT(I

la scr~ation @tant faite sur les t@tra@dres ayant le nceud I pour sc~net ; cette

valeur est pratiquement nulle. Cela peut si.anifier qu'en moyenne, autour du noeud I

la divergence de A est nulle, ou bien que le flux de ~ ~ travers la surface li-

mit@e par les t6tra~Ires ayant I pour scsrnet est nul.

- II n' v a pas de probl~/ne ici pour le calcul de ~o ~'~h dx , l'int~ration se

faisant exactement, ~l~ment par ~l~rent.

V.2. TEST 2. Le courant ~ deux ccr~oosantes non nulles (module constant). Probl~me

tridimensionnel.

V. 2. i. R~sultats num@ric~es.

La figure 5 repr@sente le ~ e retenu pour ce test. La partie hachur@e repr~sen-

tant les zones ferro-magn@tiques ; le support du courant est aussi indiqu@.

La figure 6 donne la triangulation initiale utilis@e pour g@n@rer le meillage tri-

dLTensionnel qui est constitu6 de guatres couches identigues de t@tra~Ires, ce qui

donne au total 1200 t~tra~ires pour 323 noeuds.

Le temps de calcul est environ 4,2 s. par iteration pour Pb.I-GRAD. et 9,4 s. par

iteration pour Pb.II-BOT., toujours sur IRIS 80, en simple pr@cision. -6

Le tableau V.2. donne les performances de l'algorithme utilis~ avec D = i0 dans

(5.2).

TEST 2.

Pb. I-GRAD. Pb. II-ROT.

131 = 108 L 29 it~r. 37 it~r.

131 = 109 NL 30 it~r. 36 it~r.

171 = IO10 NL 27 it~r. 31 it~r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Tableau V. 2.

229

2c 3 A

Fi~Fare 5. Dc~aine TEST 2.

Figure 6. Triangulation initiale.

230

,~:iSNrTOSTRT IBUF.. TR I D I ~ N S | ONN£LL£ VU£

:~IO~BP.~ D KLE~NTS I gBB NOIIBI~E ~ NO.£UDS 323

D£NSITJ[ COURRNT PRIPI~iR£ . IBBE 1t I~FSR DKNSITE COURRNT S£CONDRii~ -ilJE ¢" ~B I'IKSI:t

UlI~III~ I I -RJlUW~

Figure7.

231

I'LQ(~NF..TOSI"ATIDI.~ "rRADII'J~NSIONMr.LL/. VU£

NOMBR£ D £L£1~..N_I"S 121~ NOI'IBP~ ~ HOEUDS 323

DrNSI"r_£ COURI:INT PRIIIIIIRF.. , l l l E £ 11 I~C~A DEHSIT£ COURI~T S£COND,4~R;" .E~EE ~B ~l~R

Iqllet i[ll:l ¢ 7"S.* IK~4 IBill¢l ~ ' I . ~ 1

Fi~_tre 8.

232

V.2.2. ___R~___qu_es.

- Darts le cas pr@sent, il y a quelques difficult6s pour 6valuer exactement le terme

JT ~'~h dx, nous avons fait l'approximation suivante :

le vecteur densit~ de courant est @valu@ au centre de gravit@ du t@trat~Ire T et

suppos@ constant dans tout le t6tra~Ire T pour le calcul de /T ~'$h dx ; aussi

on constate de l@g~res diff@rences sur les solutions des Pb.I-GRAD. et Pb.II-BOT.

r~_me dans le cas "lin@aire", cela provient certaine=ent de la mauvaise approximation

de la condition div.] = 0 (discrete) o Reste donc en suspens l'approximation du

second membre j.

- Pour le probl~me Pb.I-GRAD., on peut gagner 1/3 du temps, approximative~ent, car

la troisi~re ccr~osante de A reste identiquement nulle au cours des iterations.

V. 3. Alternateur tridimensionnel.

Des essais nur~riques ont ~t~ faits sur un alternateur ~ qriffes. Le probl~me r~solu

est celui correspondant ~ Pb.II-BOT. Le d~coupage du dc~aine tridimensionnel cc~prend

6.160 t~tra~dres et 1.419 noeuds. Le temps de calcul est environ de 30 minutes sur

I.B.M. 370-168.

Des vues repr@sentant le domaine discr@tis~ ainsi que la propagaticn des li~es

d'induction sont pr~sent~es sur les figures 9 ~ 14.

V. VISUALISATION DES RESULTATS.

Les r~sultats en potentiel vecteur sont difficilement exploitables directement par

l'~lectrotechnicien ; ce qui l'int~resse est de connaitre le flux d'induction ~ tra-

vers certaines surfaces, mais d'un point de rue graphique, les lignes d'induction

lui donnent des renseignements appreciables.

Le probl~me du calcul effectif de ces lignes est le suivant :

Soit un domaine Q , partitionn~ en t~tra6<Ires. On consid~re la fonction vectorielle

~(x,y,z) = (UI,U2,U3) d~finissant le potentiel vecteur. Cette fonction U(x,y,z) est

choisie affine sur chaque t~tra6~Ire, et elle est continue, si bien que le vecteur

induction B qui est donn~ par rot ~ sera constant sur cheque ~l~ment t~tra~drique.

Le probl~me que l'on se pose naturellement est le suivant : ~tant donn~ un point

M(xo,Yo,Zo) dans Q , suivre dans ]93 la ligne d'induction "issue" de ce point.

Ce point que 1 'on se donne appartient ~ un certain t~tra~ire, dans lequel on connait

la direction (et le sens) de la ligne d'induction (B = rot ~) qui est une constante ;

il suffit donc de tracer dans cet ~!~ment le segment de droite repr~sentant la ligne

233

A[.TE~NATEUR T R I D I M E N S I O N N E L VUE 1

Figure 9.

~LTERNATEUR T R I D I M E N S I O N N E L VUE 3

Figure iO.

234

ALTERNATEUR TRIDIMENSIONNEL VUE 5

Fiqure Ii.

Figure 12. Propagation des lignes d'induction.

235

Figure 13. Propagation des lignes d'induction.

Figure 14. Propagation des licFnes d ' induction.

236

d' induction, en d6terminant le point M', intersection de la demi-droite avec le

t6tra~<~re. Ce point M' appartient en g6n@ral aussi ~ un autre t@tra@dre, d'oO le

processus it6ratif.

La ligne bris@e ainsi obtenue est trac@e de faqon continue ; en adaptant 1 'algorithme

au cas bidimensionnel (@l@ments triangulaires P1 ) , on obtient un moyen de tracer les

lignes de niveau d'une fonction A(x,y) d'un trait continu. Ii suffit de changer pour

chaque @16ment la direction de propagation pour pouvoir tracer les lignes orthogonales

(par exemple), ou lignes de plus grande pente.

Pour visualiser ces lignes d' induction dans i' "espace", nous avons utilis~ le SO~T-

WARE FORTRAN 3D r@alis6 au LABORIA par le Projet Graphique (M. LI94AIRE). Le langage

est une extension du Fortran c~litn pr@processeur traduit en FORI~WiN IV ordinaire.

(Voir Figures 7 et 8, TEST 2).

[i]

[2]

REFERENCES

Glcwinski R., Marrocco A. Etude nur~rique du champ maqn~tique dans un alterna- teur t~trapolaire par la m~thcde des ~l~ments finis. Lecture Notes in Ccr~ter Science, Vol. i0, Springer-Verlag, Proceedings du Ier Colloqu_ e International sur les M~thodes de Calcul Scientifique et Technique, D@c. 1973, Versailles.

Glowinski R., Marrocco A. Analyse num~rique du champ magn~tique d'un alterna- teur par ~l~ments finis et surrelaxation ponctuelle non lin~aire. Cor~puter Methods in Applied Mechanics and Enaineerin~, Vol. 3, i, 1974.

~] Durand E. Ma~n~tostatique. Masson et Cie, Ed. Paris (1968).