UNIVERSITE PARIS 6

SEMINAIRE DE

THEORIE DU POTEI~TIEL

CONTINUITE DES CONTRACTIONS DANS LES

ESPACES DE DIRICHLET (*)

par A. ANCONA

L'objet de ce travail est l'examen de la continuit6 forte des contrac-

tions dans les espaces de Dirichlet introduits par A. Beurling et J. Deny ;

par exemple, si T est une contraction r~elle ( i .e une transformation con-

tractante de ~ dans ~ conservant l 'or ig ine) , l'op~rateur f ~-->T o f

est- i l fortement continu dans l'espace de Sobolev HI(R n) ; plus g~n~ralement

cet op~rateur est- i l continu dans les espaces de Sobolev d'ordre fractionnaire

HS(~ n) (0 # s ~ I) . On montre ici que la r~ponse est affirmative en s'appu-

yant sur une m~thode consistant ~ ~tudier d'abord les contractions croissantes

e t a d~gager une in~galit~ associ~e aces contractions.

Ce type de d~marche fournit de plus une d~monstration directe et simple

d~un th~or~me de A. Beurling et J. Deny ([4], [5], [6|): Si la contraction

unit~ op~re sur l'espace hilbertien fonctionnel H, alors toutes les contrac-

tions op~rent sur H. La m~thode que nous util isons donne une extension de ce

(*) Cette r~daction d~veloppe la note [1] .

r#su l ta t a des espaces fonct ionnels g~n~raux, et f a i t dispara~tre la mesure

de base associ6e aux espaces fonct ionnels consid#r~s dans les travaux antS-

r ieurs. (voir aussi fT] et [2 ] ) .

II faut souligner qu'on n'obtient pas ic i (au moins par une voie d i recte)

le th~or~me des contractions g~n~ralis~es dans les espaces de D i r i ch le t (voir

[6]) ;on montre n~anmoins par un exemple que ces contractions g6n~ralis~es ne

d~f in issent pas en g~n~ral (m6me pour les espaces "classiques") des op~rateurs

continus.

Enfin, on donne en compl~ment une extension au cadre u t i l i s ~ ic i des

6nonces qui caract~r isent par des "pr incipes" de la th~orie du potent ie l la

propri~t~ que la contract ion module (ou la contraction unit~) op~re sur un

espace h i lbe r t ien fonct ionnel .

I . ESPACES HILBERTIENS FONCTIONNELS, CONTRACTIONS.

Dans toute la su i t e , on se donne un ensemble X, et une f am i l l e non vide

(z~ de par t ies de X stable par r~union d~nombrable et h~r~d i ta i re vers le bas

pour l ' i n c l u s i o n . Les par t ies de X appartenant ~ c/~ sont d i tes n~gl igeables ;

une propr i~t~ P(x) est v ra ie presque partout sur X, si l 'ensemble des points

x E X qui ne la v ~ r i f i e n t pas est n~gl igeable.

On se donne aussi un espace h i l b e r t i e n r~el de classes modulo l '~ga l i t@

presque partout de fonct ions num@riques sur X : nous confondrons syst~ma-

tiquement dans la su i te une classe avec ses repr~sentants ou l ' un des repr@-

sentants. On suppose que la propri@t@ suivante est v ~ r i f i ~ e :

(P) Pour toute su i te {Un}n% 1 d'~l~ments de

) u o, i l ex is te une su i te p a r t i e l l e (Unp p%l

vers u o .

H qui converge dans H vers

qui converge presque partout

Suivant la terminologie d'Aronzjan et Smith ( [ 3 ] ) , H est un espace

fonct ionnel h i l b e r t i e n . A t i t r e d'exemple, c i tons les espaces de Sobolev

HS(~) (s ~ O) associ6s ~ un ouvert ~ de ~n (n % I ) , avec pour c4: le sys-

t~me des par t ies n~gl igeables de ~ pour la mesure de Lebesgue p-dimension-

ne l le . Plus g~n~ralement, si X est un espace localement compact d6nombrable

l ' i n f i n i , et ~ une mesure de Radon pos i t i ve sur X, on peut consid@rer un

espace fonct ionnel ~-mesurable : c ' e s t - ~ - d i r e un espace h i l b e r t i e n H de

fonct ions localement ~- in t~grab les te l que l ' i n j e c t i o n canonique de H dans

l 'espace de Frechet L~oc(C ) est continue. On d i t a lors que H est de base ~.

Dans toute la su i t e , la norme d'un ~l~ment uE H est not~ IIull ; s i

u, v E H, a(u, v) d~signera le produi t sca la i re des deux ~l~ments u, v E H ;

On notera u v v, (resp u A v) l 'enveloppe sup~rieure (resp. i n f~ r i eu re )

des deux fonct ions num~riques (ou classes de fonct ions) u et v ; on pose ÷

u = sup(u, 0) , u- = sup(- u, O) et [u I = sup(u, - u).

D~ f i n i t i on 1 : ( vo i r {6])

(a) On appel lera contract ion r~e l l e toute app l ica t ion T de ~ dans

t e l l e que :

( i ) T(O) = 0

( i i ) Vx, y ~ , IT(x) - T(y) I ~ Ix - Yl

Deux contract ions joueront dans la su i te un r61e p a r t i c u l i e r : la contrac-

t ion module T o d~ f in ie par To(X ) =

d~ f in ie par T1(x ) : i n f (x +, 1).

Ix{ , ( x c ~) et la contract ion uni t~ T 1

(b) Si T est une contract ion r ~ e l l e , on d i t que T op~re sur H si pour

tout u E H le compos~ T o u est un ~l~ment de H avec liT o ulJ ~ riu11.

Remarque 2.

(1) Si la contract ion module op~re sur H, H est s tab le par les operations

d'enveloppe sup~rieure (ou i n f~ r i eu re ) f i n i e . De plus, on v ~ r i f i e fac i lement

que pour tout u, v c H, t e l s que i n f ( u , v) = O, on a : a(u, v) ~ 0 . ( I I s u f f i t

d ' ~c r i r e que flu + vl( 2 ~ flu - VII 2 et de d~velopper).

On verra plus l o i n une i n~ga l i t ~ analogue associ6e ~ la contract ion uni t~.

De cet te i n~ga l i t~ on d~duit d ' a i l l e u r s que Iiu+II ~ llulI Vu E H.

(2) On peut v ~ r i f i e r que si la contract ion T op~re sur H l ' op~ra teur

u ~ T o u est continu de H muni de sa topologie fo r te dans H muni

de sa topologie f a i b l e : d'apr~s la propr i~t~ (P), i l s u f f i t de v ~ r i f i e r que

si (Un) n ~ est une su i te convergeant vers uE H, et t e l l e que presque par-

tout sur X, l im Un(X ) = u (x ) , T o u n tend faib lement ~ers T o u ; on est n->oo

donc ramen~ au lemme suivant :

Lemme 3.

Soi t ( f n )n ) 1 une su i te born~e dans H, qui converge simplement presque

partout vers f . Alors f E H, et la su i te ( fn) converge fa ib lement vers f .

Comme ( fn) est born~e, et que H est r ~ f l e x i f , i l s u f f i t de prouver que

si u est valeur d'adh~rence f a i b l e de la su i te ( f n ) , on a n#cessairement

u = f : or , d'apr~s le th~or~me de Hahn-Banach, u est fortement adherent

l 'enveloppe convexe des ensembles Tp = { fn ; n ~ p} ; n > p} ; u est donc

l i m i t e f o r t e d'une su i te (Un)n~ I , o0 chaque u n est dans l 'enveloppe con-

vexe de T n. I I est c l a i r que (Un)n) I tend presque partout vers f . D'apr~s

la propr i~t~ (P), on a bien u = f .

C.Q.F.D.

I I . CONTINUITE FORTE DE LA CONTRACTION T o e t T 1

Commenqons par l a c o n t r a c t i o n module :

P r o p o s i t i o n 4 :

Si l a c o n t r a c t i o n module op~re su r H, l ' a p p l i c a t i o n u ~ lu l

un o p ~ r a t e u r c o n t i n u dans l ' e s p a c e H muni de sa t o p o l o g i e f o r t e .

e s t

D ~ m o n s t r a t i o n :

Notons que l a p r o p o s i t i o n e s t i m m e d i a t e , s i pour t o u t u E H, on a

a (u +, u - ) = 0 (ou ce qu i r e v i e n t au m#me s i Jllu!11 = l lulI) : en e f f e t s i u n

tend f o r t e m e n t ve rs u, on a vu que lUnI tend f a i b l e m e n t ve rs lu l ; comme

de p lus l i m llJUnIlf = l l l U l r l , on en d ~ d u i t que u tend f o r t e m e n t ve rs f u r . n-~co n

Cons id~rons m a i n t e n a n t dans l e cas g~n~ra l une s u i t e {Un} c H c o n v e r -

g e a n t f o r t e m e n t v e r s u ~ H, e t i n t r o d u i s o n s v n = i n f ( u n , u ) . On va p r o u v e r

s u c c e s s i v e m e n t que l i m llv + - u+II = O, e t l i m flu + - v+ll = 0 ce qu i ~ t a b l i r a

÷ l a c o n t i n u i t ~ de l a t r a n s f o r m a t i o n u-~ > u

l i t #

Notons que v n = u - (u n - u) + tend f o r t e m e n t ve rs u d ' a p r ~ s l ' i n ~ g a -

LI(u n - u)+[L # ILu n - uLL ( v o i r remarque 2 p lus h a u t ) . On a :

llVn + - U+ll 2 a (v + u + + + u + = _ , v n ) - a ( v n - , u + )

- - - I - - I - ~ - -F

= a (v n - u , Vn) + a (v n u n, Vn) - a (v n - u , u+ ) .

- ÷ - _ +

Comme i n f (v n - u - , Vn) = O, on a a (v n - u , Vn)~< 0 ;

D ' a u t r e p a r t , l i m a (v + - u +, u +) = 0 d ' n-~

s u i t e (Vn +) ve rs u +.

apr~s l a convergence f a i b l e de l a

+ Enf in , ( v : ) r es tan t bornee, a(v n - u n, Vn) tend vers zero.

+ On o b t i e n t donc que ( v : ) tend for tement vers u .

Majorons maintenant de fagon analogue l lV: - U:li 2 :

+ u:ll 2 + + + + + + + - IlVn - = a(Un - Vn' Un) + Cn = a(Un " Vn' Vn) + a(Un- Vn ' Un) + en

+ + - + O0 ~n tend vers zero ; puisque i n f (u n - v n, Un) = O, on a a (u : - v n, Un)~< 0,

s o i t : l l v : - u:ll 2 ~< Sn + a ( u : - v : , Un)

+ + Le de rn ie r terme tend encore vers z#ro, puisque u n - v n

ment vers zero, e t que {Un}n~ 1 es t une p a r t i e pr~compacte de

tend f a i b l e -

H.

C.Q.F.D.

Propos i t ion 5 :

Supposons que la con t rac t i on un i te T 1 op#re sur H. Alors :

( i ) la con t rac t i on module op~re sur H

( i i ) la con t rac t i on un i t e d e f i n i t un operateur cont inu dans H f o r t .

D~monstration :

( i ) s i T 1 op~re sur H, pour tou t ~ > 0, e t x c H, on a :

IIx + A XII 2 .< IlXll 2

Lorsque ~ tend vers + ~ d'apr~s,, le lemme 2, x + E H e t x + A ~ tend

fa ib lement vers x + ; on a d o n c :

II x+ll 2 ,.< II xll 2

Appl iquons ce t t e r e l a t i o n ~ l '61~ment x + - E x-

pement on o b t i e n t :

2a(x +, x - ) ~ ~ i lx ' l l 2

(~ > 0) ; apr~s d~velop-

s o i t a(x +, x - ) ~ 0.

ce qui prouve la premiere a s s e r t i o n .

( i i ) On va # t a b l i r ce p o i n t par une m~thode semblable a c e l l e de la d~-

mons t ra t i on de la p r o p o s i t i o n 2 ; comme, on s a i t d#j~ que u > u + es t con-

t i n u dans H f o r t , i l es t s u f f i s a n t de v o i r que si (Un) es t une s u i t e d '~ l#ment

0 de H convergente vers u ~ H, i n f ( U n , 1) tend fo r temen t vers i n f ( u , i ) .

I n t r odu i sons la s u i t e v n = i n f ( u n, u ) , e t montrons que llu A i - v n A l i i ,

e t llv n A I - u n A I , tendent vers z~ro. On u t i l i s e r a ce t t e f o i s l ' i n ~ g a l i t #

su ivan te

Lemme 6 : [ 6 ] )

Si la c o n t r a c t i o n u n i t 6 op#re sur

p o s i t i f s de H v ~ r i f i a n t u ~ 1 sur

a l o r s a (u , v) es t p o s i t i f .

H, e t s i u e t v sont des ~l~ments

X e t u = 1 sur l ' ensemble {v > 0 } ,

en e f f e t Tl(U + m v) = u pour t ou t m > 0 ; d'oQ ,u + m v, 2 ~ liUlJ 2

s o i t 2a(u, v) + m a (v , v) ~ 0

e t le r ~ s u l t a t s ' o b t i e n t en f a i s a n t tendre m vers z~ro.

F in de l e d~monst ra t ion de la p r o p o s i t i o n 5 :

On s a i t que v n tend fo r temen t vers u , (d 'apr~s la p r o p o s i t i o n 4 ) . D ' a u t r e

pa r t : ,v n A 1 - u A 1, 2 = en + a(Vn A 1 - u A 1, v n A I ) avec l im mn = 0 n-~co

= en + a(Vn A I - u A 1, Vn) - a(v n A 1 - u A 1 , ( v n- 1) + )

Le deuxi~me terme tend vers z#ro puisque (v n A 1 - u A 1) tend f a i b l e m e n t

vers z~ro e t que {Vn} n parcoure une p a r t i e pr~compacte de H. Quand au d e r n i e r

terme, i l es t n ~ g a t i f parce que i n f ( u A i - v n A 1, (v n - I ) + ) = O.

Ce qu i m o n t r e que l im IIv n A 1 - u A lJl = 0. n~o

2 D ~ v e l o p p o n s de m~me Ilv n A 1 - u n A 11[

l lv n A 1 - u n A 1112 = a (u n A 1 - v n A 1, u n A 1)+ e~

= a(u n v n, u n A 1)- a((u n - I ) + - (v n

avec l i m e ' = 0 ; l e lemme 5 m o n t r e a l o r s que n

n - ~

I 1Iv n A 1 - u n A 111 2 .< en + a (Un v n , u n A 1)

1) + , u n I

A 1)+ ~n

et l im [IV n A 1 - u n A 111 = O. n-~¢o

C.Q.F.D.

Remarque :

Les d~monstrations pr~c~dentes s'~tendent sans d i f f i c u l t ~ s lorsqu'on rem-

place a par une forme ~ b i l i n ~ a i r e , continue, et coercive sur H :

On d i t a lors que la contract ion uni t~ op~re sur (H, ~) si pour tou t u E H,

+ u + + on a u A 1 E H e t l a r e l a t i o n ~ (u + A 1, u - u A 1) ~ O, Vu E H,

( vo i r [ 7 ] ) .

10

I I I . CONTRACTION UNITE ET CONTRACTIONS REELLES $UR H :

Dans ce t t e p a r t i e qui n ' u t i l i s e r a pra t iquement pas les p r o p o s i t i o n s 4

e t 5) on donnera une d~monst ra t ion ~ l~menta i re (e t une ex tens ion ) d 'un r ~ s u l t a t

de A. Beu r l i ng et J. Deny :

Th~or~me 7 :

Si la c o n t r a c t i o n u n i t # op#re sur

sur H.

H, tou tes les c o n t r a c t i o n s op~rent

Pour ce la , on ~ t a b l i r a d 'abord la p r o p o s i t i o n su i van te :

P r o p o s i t i o n 8.

On suppose que la c o n t r a c t i o n u n i t ~ op~re sur

t r a c t i o n c ro i s san te T et pour t o u t u c H, on a

a(T o u, u - T o u) ~ O.

H ; a l o r s , pour tou te con-

T o u E H e t

D~monstrat ion :

(a) CommenGons par cons id~ re r le cas d 'une c o n t r a c t i o n c ro i s san te T a f f i n e

par morceaux ; i l e x i s t e une s u i t e f i n i e d~cro issan te (b j ) . , une s u i t e o~j~m

f i n i e c r o i s s a n t e avec b = a = O, e t deux su i t es (~ i ) ( a i ) o ~ i ~ n o o o~i~n

( ~ ) de nombres p o s i t i f s i n f ~ r i e u r s ~ I t e l s que : J o~j~m

n m

T(x) : ~ l i { x - a i )+ A (a i+ 1 - a i ) ] + ~ ~ j l (x - A i=o j=o - - b j ) ( b j - b j + l ) ]

(avec la conven t ion an+ 1 = ÷ ~, bm+1= - ~ ) . On o b t i e n t l ' i d e n t i t ~ en f a i s a n t

~i = ~j = I . So i t u E H ; i l es t c l a i r que T o u E H, e t l ' ~ c r i t u r e pr~c~-

11

dente donne les d~composit ions :

n m

I T o u : .~ ~i ui + ~ ~j

i=o j=o

n m

u .~ u i + .~ v j I=0 J=O

V. J

o~ u i : (u - ai )+ A (ain a i ) et v j = - ((u - b j ) - A (bj - b j + l ) ) .

De sor te que a(T o u, u - T o u) appara~t comme la somme de s i x termes : n n

d 'abord les deux sommes ~ ~ i ( i - h i ) a(u i , u i ) e t ~ ~i ( i - ~i ) a(v i , v i ) 0 O

essent ie l lement pos i t i ves .

Ensuite des sommes ~ ~ i (1 - ~k) a(u i , Uk) et .~ ~ j ( l - ~ ) a ( v j , v ~ ) o~i ,k~n o~J,~m

qui sont aussi des sommes de termes p o s i t i f s : d 'apr~s le lemme 5, les quant i -

t~s a(u i , Uk) (ou a ( v j , v~)) sont en e f f e t pos i t i ves ; enf in la somme

(~ i (1 - ~ j ) + ~ j ( 1 - h i ) ) a(u i , v j ) est aussi pos i t i ve : en e f f e t , O~l~n o~j~m

i n f ( u i , - v j ) = O, d'o~ a(u i , v j ) ~ O. (On sa i t que la con t rac t ion module

op~re).

On a donc a(T o u, u - T o u) ~ 0 et la p ropos i t ion est ~ tab l i e pour

ce type de con t rac t ion .

(b) Soi t maintenant T une con t rac t ion r~e l l e c ro issante quelconque : i l

ex i s te une su i te (Tn) de con t rac t ions a f f i nes par morceaux, avec n~l

l im T n = T uniform~ment sur toute pa r t i e born~e de ~. n->~o

D'apr~s ce qui precede, on a pour u c H :

I liT n o u1124 a(T n

lIT nu l l .< Ilull

o u, u) ( i )

(2)

( (2) est consequence de ( I ) . Le lemme 2 montre que T o uE H, et que

T n o u tend fa ib lement vers T o u dans H ; d'oQ (!a norme est s . c . i

12

sur H f a i b l e )

lit o uir 2 ~< l im i n f liT n o ull 2 ~< l im a(T n o u, u) = a(T o u, u)

ce qui ach~ve d ' ~ t a b l i r la proposi t ion 7.

Dans le c o r o l l a i r e su ivant , on donne une extension de l ' i n ~ g a l i t # de la

proposi t ion 8 : on do i t ~ J.P. Roth la remarque que les in6ga l i t~s de ce

c o r o l l a i r e ont l i e u , quand toutes les contract ions op~rent. ( v o i r , par exem-

ple [ 9 ] ) .

Co ro l l a i r e 9

Si S I

u E H,

S 1

et S 2 sont deux contract ions cro issantes, on a, pour tout

a(Sl(U ) , S2(u ) ~ 0

I I ex is te en e f f e t une contract ion croissante R t e l l e que

= Ro (S 1 + $2) ; i l s u f f i t a lors d 'app l iquer l ' i n # g a l i t 6 de la proposi t ion

8 ~ l '~ l#ment u' = (S 1 + $2) (u) et ~ la contract ion R. On peut aussi ~ t a b l i r

cet te i n~ga l i t~ pour S I e t S 2 a f f i nes par morceaux ( i l s u f f i t de reprendre

la m#thode de la pa r t i e (a) de la d~monstration de la proposi t ion 8) , puis

#tendre l ' i n # g a l i t ~ par approximation, en consid~rant d'abord le cas o0 l 'une

des contract ions est a f f i ne par morceaux.

D~monstration du th~or~me 7.

Soit T une contract ion r #e l l e quelconque : i l ex is te deux contract ions

r~e l l es croissantes S 1 et S 2 t e l l e s que :

( i ) T = S I - S 2

( i i ) S I + S 2 est une contract ion

(Si f est la d~riv~e au sens des d i s t r i b u t i o n s de T, on s a i t que x

f E L~(~), avec l l f l l ~ 1 ; i l s u f f i r a de poser Sl(X ) = f f + ( t ) dt et x o

S2(x) = f f - ( t ) dt pour x ~ ~. On peut aussi proc~der par approximation). o

13

D'apr~s la p ropos i t ion 8, si u ~ H, i l est c l a i r que T o u ~ H et

que :

liT o ull 2: llSl(U}lll2+ llS2(u)ll 2- 2a(Sl(U),S2(u)~ a(Sl(U)+ S2(u) ,u ) -2a(S l (U) ,Ss(U) )

Comme

major~ par

S 1 + S 2 est une con t rac t ion cro issante a(Sl(U ) + S2(u ) , u) est

llull 2, et d'apr~s le c o r o l l a i r e 8, a(S1(u) , S2(u ) >, O.

On a donc bien

liT o ull 2 ~< u 2, Yu c H.

C.Q.F.D.

14

I I I . CONTINUITE DES CONTRACTIONS DANS L'ESPACE FONCTIONNEL H :

On se propose maintenant d ' 6 t a b l i r le th~or~me suivant :

Th~or~me 10 :

On suppose que toutes les cont ract ions op~rent sur H ; si T est une

cont rac t ion r ~ e l l e s , l ' op~ ra teu r u ---> T o u est un op~rateur cont inu dans

H f o r t .

I I s u f f i t de prouver la con t inu i t~ de u ~ ~ T o u dans H, dans le

seul cas oO T est cro issante sur ~, et nu l l e pour x ~ O. La m~thode con-

s i s te encore a approcher T, e t a e x p l o i t e r l ' i n ~ g a l i t ~ de la p ropos i t ion 8.

On suppose d~sormais que toutes les cont ract ions op~rent sur H :

Propos i t ion 11 :

So i t {T n} une su i te de cont ract ions croissantes et pos i t i ves qui tend n~l

uniform~ment vers z~ro sur toute pa r t i e born~e de R ; pour toute pa r t i e f o r -

tement compacte ~ de H, T o u tend fortement vers z~ro uniform~ment sur n

K lorsque n tend vers + ~,

En e f f e t , l ' i n ~ g a l i t ~ a(T n o u, T n o u) ~ a(T n o u, u) j o i n t e ~ la com-

paci t~ f o r t e de ~, montre q u ' i l s u f f i t d ' ~ t a b l i r que T n o u tend fa ib lement

vers z~ro, uniform~ment sur K ; s o i t , que pour chaque v ~ H :

l im sup la(T n o u, v) I= 0 n->~ u c K

I I s u f f i t m~me de v ~ r i f i e r cet te r e l a t i o n pour tou t les ~l~ments v d'une

pa r t i e t o t a l e de Ho Les ~16ments p r i v i l ~ g i ~ s que nous u t i l i s e r o n s seront les

po ten t i e l s : rappelons qu'on d ~ f i n i t le c6ne de po ten t i e l s ~a en posant :

~a = {u c H ; a(u, v) ~ 0 ¥ v ~ H, v ~ O}

15

i l est imm@diat que ~a - ~a est dense dans H ( l e c6ne des @l@ments pos i -

t i f s de H @tant s a i l l a n t ferm@, ce r@sul ta t d~coule du th@or#me des b ipo-

l a i r e s ) .

On est donc ramen~ ~ v # r i f i e r que pour tou t ~ E ~ a, on a :

l im sup a(~, T o u) = 0 n -~° uE k n

Pour ce la , on d~compose u : pour tou t p > 0 , on a :

a (z , T n o u) = a (z , Tn(U A pz)) + a (z , Tn(U ) - Tn(U A pz))

d'oQ a(z , T n o u) .< a (z , Tn(U A pz)) + a (z , ((u - pz)+)

puisque Tn(U) - Tn(U A pz) ~< u - u A pz = (u - pw) + (T n

e t que z E ~a " Pour p f ix@, on a :

a (z , Tn(U A p~)) ~< a(z , Tn(P~))

et d'apr@s le lemme 2 e t l ' hypo th~se f a i t e sur la su i t e (Tn), on a

l im a (z , Tn(PTr)) : 0. n-~oo

La p ropos i t i on 11 d~coulera donc de (3) e t du lemme su ivan t :

(3)

es t une con t rac t i on )

Lemme 12 :

Si K

en e f f e t

puisque

on a donc

Or l ' i n@ga l i t@ (4 ) , montre que

est une part ie born~e de H, et pE ~'aa : on a

lim a((u - p~)+ ,~) = 0 uniform@ment sur K : p-~

1 a((u - pw) +, u A pw) (4) I a( (u - p~)+ p~) ~ a((u - pw) +, w) : ~

a((u - p~)+, (p~ - u) +) ~ 0

I a((u - p~)+, ~) ~ ~ II(u - P~)+II .11 u A P~II.

a(u - u A p~, u A p~) ~ 0 , e t par

16

consequent :

et

II u A P~[I ~< Ilull

2 a((u - p~)+, ~) x< ~ Ilu[I

C .Q.F.D.

D~monstration du th~or6me 10 :

a) Si

ra teur

4 e t 5 .

T est une con t rac t i on c ro i ssan te , ~ 0 , a f f i n e par morceaux, l ' op~ -

u ~ T o u est cont inu dans H f o r t d 'apr~s les propos i t ions

b) Prenons ensui te une con t rac t ion T cro issante ~ 0 , dont la d~r iv~e T'

admet un repr~sentant s . c . i : T' est a lors l 'enve loppe sup~rieure d'une su i te

cro issante ~n de fonc t ions en esca l i e r s , avec 0 ~ ~n ~ I , et supp(~n) oR+ ;

T e s t donc enveloppe sup~r ieure d'une su i te {T n} de con t rac t ions c ro i s - n~l

santes pos i t i ves a f f i nes par morceaux, avec T - T n cro issante pour tou t

n ~ 0 . La p ropos i t i on 12 montre que les app l i ca t i ons u ~ > T n o u conver-

gent vers l ' a p p l i c a t i o n u~ - -~ T o u uniform~ment sur toute pa r t i e compacte

( f o r t e de H). Les r e s t r i c t i o n s aux compacts de H de !a t ransformat ion u --~Tou

sont for tement cont inues : ce t te t ransformat ion est donc cont inue dans H f o r t .

c) Enf in dans le cas g#n~ral d'une con t rac t ion T cro issante et p o s i t i v e ,

i l ex i s te une su i te {T n} de con t rac t ions cro issantes p o s i t i v e s , t e l l e s que :

( i ) T' admet un repr~sentant s . c , i sur R n

( i i ) T n - T est une con t rac t ion cro issante

( i i i ) T = l im T n. n-~oo

Un raisonnement semblable au pr6c~dent montre a lors que l ' op~ ra teu r

u ~ ~ T o u est cont inu dans H f o r t .

C.Q.F.D.

17

REMARQUE ET CONTRE-EXEMPLE SUR LES CONTRACTIONS GENERALISEES :

Supposons que X so i t un espace localement compact d~nombrable ~ l ' i n -

f i n i , ~ une mesure de Radon pos i t i ve sur X, et H un espace h i l b e r t i e n fonc-

t ionnel ~-mesurable (vo i r l ' i n t r o d u c t i o n ) dans lequel toutes les cont ract ions

op~rent. On sa i t qu 'a lo rs les contract ions g~n6ral is~es op~rent sur H ( [ 6 ] ) .

Rappelons qu'une fonc t ion num~rique

l i s l e , si :

( i ) T(O) = 0

Dire que T

(u I , u 2 . . . . Un) e H n, on a

T sur A n est une cont rac t ion g~n~ra-

n

( i i ) IT(X) - T(y)I 4 i~ 1= Ix i - y i l Yx, y ~ mn.

op~re sur H s i g n i f i e que pour tout n -up le t

T(u I , u 2 . . . . Un) c H n

• . l l u ~ II et llT(u I , u2,. , Un)ll ~< i~ I= I

Nous n'avons pas obtenu ce r~su l t a t par notre m~thode - (on peut ~ten-

dre ce th~or~me au cadre o~ nous nous somme plac6s en se ramenant ~ des espa-

ces fonc t ionne ls ~-mesurables par des proc~d~s de repr#senta t ions) . Notons

tout de m6me une d i f fe rence entre les cont ract ions g#n~ral is#es et les con-

t rac t i ons r~e l les : si T est une cont rac t ion g~n~ral is~e sur ~2, i l n 'es t

pas toujours vrai que l ' a p p l i c a t i o n (u I , u2) ~ T(u I , u2) est for tement

cont inue sur H x H, ni m6me q u ' e l l e est s6par~ment cont inue :

Pour le vo i r prenons pour X l ' i n t e r v a l l e (0, 1) et pour H l 'espace

des fonct ions absolument continues sur (0, I ) , e t dont la d~riv~e est de carr~

i I I 2( 2 = f2 dt + f f ' t ) dt

0 0

i n t~grab le : posons

llfll

(H est l 'espace de Sobolev HI ( [o , I ] ) ) .

18

H est alors un espace h i l be r t i en fonct ionnel dans lequel toutes les

contract ions op~rent. Definissons maintenant une contract ion generalis~e

sur ~2, en posant :

I T(x, x2) = 0 pour x 2# 0 , et x e

V k e ~, T(x, 2 k) ~-~)P (2k - l - ( x -p .2 k) = pour p.2k~ x~ (p+l)2 k

On etend enfin T ~ tout le plan en u t i l i s a n t un prolongement a f f ine

sur les segments vert icaux jo ingant deux horizontales successives

[x 2 = 2 k] et Ix 2 = 2k+l ] .

On v # r i f i e que T est l i psch t i t z ienne de rapport 1 relat ivement

chaque var iab le, et donc que T est une contract ion generalis#e.

3T L'essentiel c'est que sur les droites [x 2 = 2k], la d~riv~e ~-Xl est

de module I/2 presque partout en x I , mais qu'a la l imite sur la droite

~T x 2 = 0 , la d~riv#e ~-EI vaut zero.

Considerons alors dans H, l 'e lement u o, et la su i te (Vn)n~ 1 suivantes :

Vx E (0, I) : Uo(X ) = x

Vn(X ) : 2 -n (n ~ O)

T(u o, Vn) a une d6rivee de module partout egal ~ 1/2 , d'oO :

I l im llT(Uo, Vn)ll ~ = T

Mais llT(u o, 0)II = O.

Ce qui montre que la transformation (u I , u2)~.--~ T(u 1, u2) n 'es t pas

continue dans H f o r t ;

19

IV.-Appendice : Contract ions et "Pr inc ipes"

dans les espaces fonc t i onne l s .

~n se place ~ nouveau darts le cadre q~n~ral d 'un espace h i l b e r t i e n

fonc t ionne l H c o n s t r u i t sur un ensemble X pourvu d'un syst~me ~ d e par t ies

n~gl igeables, et on se propose de montrer comment on peut ~tendre ~ ce ca-

dre les r e l a t i ons connues pour les espaces de base (~,~) [ o0 ~ est un espa-

ce localement compact, et ~ une mesure de Radon pos i t i ve sur ~ ] en t r e p ropr i~ -

t~s de cont rac t ions et p r inc ipes de la th~or ie du Potent ie l : [ c f [5 ] , [ 7 ] ,

[2 ]~ Pour ce la , nous appl iquerons un r ~ s u l t a t de ce type ~ tab l i dans [2 1

pour un espace h i l b e r t i e n ordonn~ muni d'une forme coerc ive. Les m~thodes

u t i l i s ~ e s sont ce l les de [2 ] .

Dans la su i te a ne d~signera plus le p rodu i t sca la i re de H, mais plus

g6n~ralement une forme b i l i n ~ a i r e , cont inue et coerc ive : a est d i t e coercive

s ' i l ex i s te v > 0 t e l l e que

H, a(u,u) !lull

H+ d~signera ~ c~nedes ~l~ments ~ 0 de H.

2O

Rappelons en f in que le cone ~ . a des a -po ten t i e l s est i n t r o d u i t en posant

c'~" = {u • H; a ( u , v ) ~ 0 , V v • H+} a

D ~ f i n i t i o n 13 :

On d i ra que p c!J~ a est port~ par A c X, si a (p ,v) ~ 0 V v • H avec

v ~ 0 presque par tou t sur H.

On a a lors le th~or~me su ivant :

Th~or~me 14 :

Les propr i~ t~s suivantes sont ~quivalentes :

(A) La con t rac t ion module op~re dans H ( i . e H est i n f . s table e t a ( u+ ,u - )~O

¥u • H)

(B) .Ci~ a est i n f - s t a b l e .

(C) (Pr inc ipe de dominat ion) . Soient p.q • I T : si p est port~ par A C X, la a

r e l a t i o n p ~ q sur A entra~ne p ~ q par tou t .

D~monstration :

A ~ (~) se d~montre fac i lement par les m6thodes de ( [6 ] , [7 ] ) . Voyons

que (B) ~ (C) : i l s u f f i t d ' u t i l i s e r la m~thode de Cartan pour le p r i nc ipe

de domination : on a a(p - p A q, p - p A q) ~ a(p, p - p A q) = 0

Pour v o i r que (C) ~ A, on va ~ t a b l i r un ~nonc~ in te rm~d ia i re . Rappelons

d'abord que si T e s t une pa r t i e convexe ferm6e non @ de H, et si u o • H, i l

ex i s te d'apr~s Stampacchia ( [8 ] ) , u n unique ~l~ment u I • T avec :

Yu • T a(u I u o, u - Ul) ~ 0

u I e s t appel6 la a -p ro jec t i on de u ° sur T.

En p a r t i c u l i e r si u • H, on d~signe par R(u) la p ro jec t i on de 0 sur

{v ; v • H, v > u}. R(u)est un a -po ten t i e l et a(R(u) , R(u)) = a(Ru) ,u) . Rappe-

lons aussi qu'on appel le ordre sp~c i f ique l ' o r d r e associO au cOne'~T~a([2 ] ) v

On montre a lors que (C) entra~ne l '~nonc6 su ivant :

(D)

21

( i ) ~ c H+

( i i ) Yu, v c ( ~ ,

U-V

( i i i ) si le po ten t ie l p e s t pr~rt~ par A c X, tou t po ten t ie l p'

sp~cif iquement majore par p e s t encore port~ par A.

R(u - v) est le plus p e t i t po ten t ie l majorant

Le pr inc ipe de domination (C) ent ra ine 6videmment ( i ) ; pour v 6 r i f i e r

( i i i ) , on remarque que si ~' est sp6cif iquement majore par P, et q ~.d~) a, la

r e l a t i on p' ~ q sur A ent ra ine p' ~ q sur X. On en d6dui t que p' est iden-

t ique ~ la p ro jec t ion P~ de 0 sur le convexe {W ~ H; W ~ p' sur A} : en e f f e t

P' ~ P'A et par su i te

a(p~ - p ' , p~ - p ' ) ~ a(p~, p~-p ' ) < 0 .

D'oO P' = p~ et i l est f a c i l e de vo i r que p~ est porte par A.

Pour ~ t a b l i r ( i i ) , on d~montrele lemme suivant :

Lemme 15 :

On suppose que ~ a c H+. Soient ¢ c H+, p c +3a te l s que a(p,~) = O.

Alors pour tou t E > O, P e s t port~ par l 'ensemble A = {x" ~ (x) ~ c p(x) }

Soi t en e f f e t PA la a -p ro jec t ion de 0 sur le convexe

T = {v c H; v ~ p sur As}.

on a :

a(p,p - PA ) ~ a(p, ~ Is) : 0 S

puisque p - PA ~< ~/.~ (P-PA est ~ 0 sur A c, et p ~ / c sur ~A ) g

D'autre par t PA Otant la p ro jec t ion de 0 sur T

a(p A , D - PA ) ~ 0 g g

D'oO IIP-PA 112 = o, et p : PA ' et par su i te p e s t porto par A g

22

Revenons alors A la d~monstration de (C) ~ (D) : si u,v c (T)..a on a

a(R(u-v) , R(u-v) - (u-v) ) = 0

et par su i te R(u-v) est port~ par l 'ensemble A c = [R(u-v) - ( u - v ) < c R(u-v)]

si a lors ~ E ~ , avec u-v < ~ , on a

R(u-v) < E R(u-v~+~ sur A

D'apr~s le pr inc ipe de domination cet te r e l a t i o n a l i eu par tout ; et si

on f a i t a lors tendre ~ vers z~ro, on a R(u-v) < ~ . Ce qui ach~ve de prouver

que (C) ~ (D).

Montrons que (D) ~ (A). D'abord, d'apr~s le th~or~me 11, et la propo-

s i t i o n 13 (~) ~ tab l i s dans [2 ] , H muni de l ' o rd re d~ f in i par H + est un espace

de Riesz; de plus si u + et u- sont les par t ies pos i t i ves et n~gatives de u -

dans H, on a(u+,u ) ~ 0. Ces propr i~t~s entra~nent de plus que ~a est i n f .

s table dans H.

La seule chose ~ v ~ r i f i e r est donc que H est i n f . s t a b l e au sens o rd ina i re .

Un argument de densit~ montre q u ' i l s u f f i t m6me de Drouver que ~ est i n f . , a

stable au sens o rd ina i re .

Pour ce la , remarquons d'abord que le pr inc ipe de domination (C) a l i eu :

Soient p,q c ~r~a, avec p ~ q sur A c X et p port~ par A. On s a i t ( vo i r [2 ] )

que R(p-q), ,~p ~ ~ de sorte que R(p-q) est aussi port~ par A; d'o~ :

a(R(p-q), R(p-q)) = a(R(p-q), p-q) ~ 0 .

( la r e l a t i o n a(R(u), R(u)) = a(R(u),u) est va lab le pour tout u c H).

Cette proposi t ion est ~nonc~e de faGon incorrecte : i l fau t a jouter dans la propr i~t~ (P2) que H+ - H+ est dense dans H.

~ "Pr inc ipe" de la r6dui te syst~matiquement u t i l i s ~ par G. Mokobodzki dans les c6nes de po ten t ie l s abs t ra i t s ( [9 ] ) .

23

D'o~, on d~duit que R(p-q) = 0 et p < q .

Soient maintenant p e t q deux po ten t ie ls et A l 'ensemble {x~X,p(x)-<q(x)}

Consid~rons la pro ject ion PA de 0 sur l 'ensemble convexe T = {v~H;v > p sur

A}. PA est port~ par A. Montrons que PA < p; en e f f e t :

llR(PA-p)]l 2 : a(R(PA-p),pA-p) <a(PA,PA-p) < 0

puisque PA - R(PA-P) est port~ par A. D'oQ R(DA-D ) = O, et PA ~ p"

On en d~duit que PA = p sur A, et d'apr~s le principe de domination PA ~ q"

Soit alors o l'enveloppe inf~rieure (dans H) de p e t q; on doit avoir

p = p sur A, puisque p ~ PA" De m6me, on aura p = q sur {x;q(x) <p ( x ) } , et

o est donc l'envelopDe inf6rieure au sens ordinaire de p e t q.

Ce qui ach~ve de prouver ~'~a est inf. stable. C.Q.F.D.

Pour t r a i t e r les re la t i ons du pr inc ipe complet du maximum avec la con-

t rac t i on un i t~ , on introduit(comme dans [2 ] ) une notion de fonct ion exces-

s ive : (On suppose d~sormais que la contract ion module op~re dans H).

Soi t f une classe (modulo Jbr)de fonct ions num~riques sur ×; on suppose

que f ~ 0 presque par tout . On d i t que f est excessive si pour tout potentie~

p E ~J)a et pour toute pa r t i e ~. de X portant p, la r e l a t i o n p ~ f sur A entra~ne

p < f sur X; on d~signera par~-'~l'ensemble des fonct ions excessives. On a

alors la proposi t ion suivante :

Proposi t ion 16 [2 ] )

Soi t f une fonct ion pos i t i ve sur ×. Les propri~t~s suivantes sont ~qui-

va lentes.

(I) f E ~

(2) v p inf(f,p) a

24

I I es t 6v i den t que (2) ~ (1 ) . Pour montrer que (1) ~ (2) i l s u f f i t

de prouver que s i g • ~' es t major#e par un #l~ment de H a l o r s g •LO-~ a,

i l es t c l a i r que i n f ( f , p ) • .'~ ) . On r#adapte a lo r s une d#monst ra t ion de

[2 ] . L'ensemble T = { 7 e "~a; 7 < g } es t f i l t r a n t c r o i s s a n t : en e f f e t ,

s i 71,72 • ~tT~ a, R(71 v ~2) est por t6 par l ' ensemble A =

[R(71 v 7a) - 71 v 72 ~ R(71V 7z)]

g 'o0 : ( l-e) R ( ~ v w2) < g sur A donc sur X t o u t e n t i e r .

~ tan t a r b i t r a i r e , on v o i t que R(w~ v 72) • T.

T ~ tan t born~ dans H, le f i l t r e des sec t ions de T converge vers un po-

t e n t i e l 7o = sup {7 ~a"P; 7 ~ g } .

Montrons que 7o = g.

u < g ] ( u ~ tan t un p o t e n t i e l f i x # majorant g) I n t r odu i sons B n = [ 7o + E

(7° + u/n) d~signe la p r o j e c t i o n de 0 sur { w • H; w ~ 7 o + u / n A lo rs s i RBn

sur B n }

on a : R B (7o + U/n) < g (R B (7o + ~) est por t~ par Bn) n n

e t U 7o + ~ < R B (7° + u /n ) <Wo sur B n

n

D'oO, on d~du i t que u = o sur Bn, pour t o u t n } 1, e t par s u i t e 7o = g.

La p r o p o s i t i o n c i -dessus montre que =-~est s tab le par a d d i t i o n .

de p lus que si f E ~o , on a pour t o u t u • H :

a(u + f A u +, u - f A u +) >~ O.

Inversement on prouve que s i f ~ o es t t e l l e que :

V p • ,-c~ a(p + f A p , p - f A p) ~>0 a

a lo r s f • ~ > . ( v o i r th~or~me 24 de [ 2 } )

On a a lo r s le th~or6me s u i v a n t .

Notons

25

Th6or~me 17 :

Les propr i6 t6s suivantes sont ~quivalentes :

(1) La con t rac t ion un i t~ op~re sur (H,a) : pour tou t u c H, u + A 1 ~ H et

+ a(u + u + A I , u - u A 1) ~ 0

(2) La con t rac t ion module op~re sur (H,a) et 1 est excessive

(3) On a l e p r i nc ipe complet du maximum : si p, a c ~-~ et A est une pa r t i e , a

de × por tan t p, la r e l a t i o n p ~ q + I sur ×

D6monstration :

(1) ~ (2) et (?) ~ (3) d6coulent imm~diatement des cons idera t ions pr~-

c6dentes.

Pour vo i r que (3) ~ (2) , i l s u f f i t de remarquer que le p r inc ipe complet

du maximum entra~ne le p r inc ipe de dominat ion, et donc que la con t rac t ion

module op6re sur H. Cet ~nonc6 entra~ne aussi manifestement que I e s t

excessive.

C.Q.F.D.

2B

R6f#rences :

[ i ] A. Ancona :

[2 I A. Ancona :

[3 ] N. Aronzjan and K.

[4 ] A. Beur l ing and J.

[5 ] J. Deny :

[ 6 ] J. Deny :

[7 ] M. I to ,

Cont inui t~ des contract ions dans les espaces de

D i r i c h l e t , (C.R.A.S, t . 282, p. 871, 1976)

Sur les espaces de D i r i c h l e t : p r inc ipes , fonct ions

de Green.(J. Maths pures et appl. 54 (1975) p.75-12

Smith : Functionnal spaces and funct ionnal com-

p le t im, (Ann. lns .Four ie r , 6, (1956) p. 125-185)

Deny : D i r i c h l e t Spaces (Proc. Nat. Acad. of

Sci. 45 (1959) p. 259-271)

Pr inc ipe complet du maximum et cont ract ions

(Ann. Ins t . Four ier , 15-I (1965) p. 259-271)

M#thodes h i lbe r t i ennes en th6or ie du Potent ie l

(Centro In ternaz iona le Matematico Est ivo, Stresa

lq69)

A note on extensed regular funct ionnal spaces

(Proc. Jap. Acad.43 1967,p. 435 - 440)

[8 ] J .L. Lions and G. Stampacchia : Var ia t ionnal I nequa l i t i es

(Comm. on pure and appl ied Math. (1967)

[9 ] G. Mokobodzki Structures des Cones de Potent ie ls

(S6minaire Bourbakj, n ° 377,1970)

[ I 0 ] J.P. Roth : (S~minaire de Th~orie du Po ten t i e l , 1976)

p 493-519