E C H E L L E D ' E S P A C E S I N T E R M E D I A I R E S E N T R E UN E S P A C E DE

S O B O L E V - O R L I C Z E T UN E S P A C E D ' O R L I C Z

T R A C E D ' E S P A C E S DE S O B O L E V - O R L I C Z A V E C P O I D S

Marie-Th~r~ se L A C R O I X U m v e r s i t 6 Claude Bernard

43bd ii Novembre 1918 69621 Villeurbanne

Certains auteurs , parmi lesquels Baouendi [ i] , Geymonai et

Grisvard [7] , J. Necas [ 16] , out ~tudi~ les ~quations elliptiques dites d~gd-

n~r~es assocides ~ un op~rateur lin~aire ou non lin~aire ~ : u --> 4gu avec

du : v --> act(U,V) et act(U,V)= ~I ~E i~ AS(×'DYulYI-<I) D~v(x) p([h(x)f)dx'

o~ f~ est un sous-ensernbleouvertde ]R n dont la fronti~re Bf~ est assez rdgu-

fibre , h une fonction de classe ~ d~pendant de la distance d'un point de ~

la fronti~re de ~ , ceci pour des valeurs particuli~res de c~ el de bonnes fonc-

tions p

Dans le cas o~ les coefficients AS ont des croissances sup~rieu -

res ~ des croissances polynomiales , par exemple de type exponentiel , par

analogie avec 1'~tude des ~quations dites du " calcul des variations"associ~es

un opdrateur non lin4aire ~7 : u--> ~7u avec ~gu : v--> a(u,v) et

a(u,v)= E ~A~(x,D' ) D ~ .... I B I < I ~ ul¥1< 1 v d x , s a n s p o i d s ,

( B r o w d e r [ 3 ] , D o n a l d s o n [ 4 ] , J . R o b e r t [ 1 7 ] , F o u g ~ r e s [ 6 ] , G o s s e z [ 8 ] )

122

o n a e n v i s a g ~ l '@tude d ' e s p a c e s de S o b o l e v c o n s t r u i t s s u r d e s e s p a c e s d ' O r l i c z

a v e c p o i d s .

C e s e s p a c e s ne s o n t e n g@n@ral p a s r @ f l e x i f s . P o u r u n b o n c h o i x

du p o t d s e n v i s a g @ , o n m o n t r e q u e o 0 ( ~ ) e s t d e n s e , p o u r u n e t o p o I o g i e c o n -

v e n a b l e , d a n s l ' e s p a c e de S o b o l e v - O r l i c z a v e c p o i d s .

L ' ~ t u d e d e s e s p a c e s de S o b o l e v - O r l i c z i n h o m o g ~ n e s a v e c p o i d s ,

e t l ' u t i l i s a t i o n d ' u n t h ~ o r ~ m e d~a ~ B d n i l a n e t B r ~ z i s [ 2 ] o n t p e r m i s d ' i n t r o

d u i r e u n e ~ c h e l I e d ' e s p a c e s i n t e r m @ d i a i r e s e n t r e u n e s p a c e de S o b o l e v - O r l i c z

d ' o r d r e u n e t u n e s p a c e d ' O r l i c z ; c e s n o u v e a u x e s p a c e s v ~ r i f i e n t u n e p r o

pri~t@ d' interpolat ion [133 , [14]

De l a d e n s i t ~ de ~ ( ~ ) d a n s I ' e s p a c e .de S o b o l e v - O r l i c z a v e c

p o i d s , o n d ~ d u i t l ' e x i s t e n c e d ' u n o p @ r a t e u r de t r a c e , u n i q u e p r o l o n g e m e n t l i -

n @ a i r e c o n t i n u de l ' o p ~ r a t e u r de r e s t r i c t i o n au b o r d , l i n @ a i r e e t c o n t i n u , p o u r

d e s t o p o l o g i e s c o n v e n a b l e s , s u r j e c t i f s , de l ' e s p a c e de S o b o l e v - O r l i c z a v e c

p o i d s d ' o r d r e u n s u r u n e s p a c e i n t e r m & d i a i r e f r o n t i ~ r e p a r t i c u l i e r .

I . R a p p e l s .

O n a p p e l l e F o n c t i o n de Y o u n g t o u t e f o n c t i o n M de IR da r t s IR + ,

c o n v e x e , p a i r e , d o n t l a r e s t r i c t i o n ~ IR + e s t i n j e c t i v e e t q u i v f i r i f i e

lira M(t) = 0 et lim M(t) + ~o . La fonction N, polaire de M,paire ,

t - ~ 0 t t - ~ + ~ t

I~ + d4finie sur par N(s)= sup [st-M(t)] t~O

Exemples :

T p ( t ) I t i p = p > 1 admet pour polaire Tq(t) = - -

P

est aussi une fonctionde Young.

I t l q 1 1 a v e c -- + - = 1

q P q

M ( t ) = e I t l - I t l - 1 a d m e t p o u r p o l a i r e N ( t ) = ( l + l t 1) L o g ( l + l t I ) - I t } ,

123

Soit G un sous-ensemble non vide, union d'une suite croissante

de sous-ensembles compacts d'un ensemble localement compact X taunt d' une

mesure de Borel r6guli6re v . Si ~(G,v) d6signe l'ensemble des classes de

fonctions v-mesurables sur G , on appelle classe d'Orlicz etonnote CM(G,v)

C M ( G , , # ) = (u E ~ I ( G , u ) / j " M [ u ( x ) ] d~ < +~o }

G

C ' e s t un s o u s - e n s e m b l e c o n v e x e e t d q u i l i b r d . On lui a s s o c i e deux e s p a c e s

v e c t o r i e l s , d i t s e s p a c e s d ' O r l i c z , P u n notfi L M ( G , v ) , qui e s t l e p lus p e -

t i t e s p a c e v e c t o r i e l c o n t e n a n t C M ( G , u ) e t peu t ~ t r e c a r a c t ~ r i s 4 p a r :

L M ( G , u ) = u E ~ ( G , v ) / E a > 0 d u e C M ( G , ' o ) ~ M [ c c u ( x ) ] d u < + = ,

G

i ' a u t r e , no t4 E M ( G , v ) , qui e s t le p lus g r a n d e s p a c e v e c t o r i e l i n c l u s darts

C M ( G , u ) e t pen t ~ t r e c a r a c t d r i s ~ p a r :

E M ( G , v ) = u E ~ ( G , u ) / V a E IR d u e C M ( C , v . ) ¢* M [ a u ( x ) ] d u < + ~ .

G

Ce son t d e s e s p a c e s de B a n a c h p o u r l a n o r m e a .ssoci f ie fl l a j auge de l a c l a s s e

d ' O r l i c z :

u ~ LM(c ,~ ) ~ //UllM = Inf {k> o / i M [ u ( x ) - 7 - ] <- G

Si Met N sont deux fonctions de Young mutuellementpolaires, le

dual topologique fort de EM(G,v) est isomorphe fl kN(C,u). Si la fonction de

Young N vdrifie une propridt~ appel&e A 2 - condition

( le t O , t l > O 2 a > 0 / N ( 2 t ) < a N ( t ) V t ~ t 1 et t < t o ) ,

alors le bidual fort de EM(G,~) est isomorphe fi LM(G,v) .L'espaceLM(G,v)

estrdflexif si et seulement si lesfonctions de Young polaires Met N v6rifient

toutes les deux la A 2 - condition [9]

124

On se limite & prdsent au cas oh ~ est un sous-ensemble ouvert

born6 de IR n muni de la mesure de Lebesgue . On note EM(f]) et LM(~) les

espaces d'Orlicz associ6s .

On appelle espace de Sobolev-Orlicz et on note W 1 LM(Q) (resp .

W 1 EM ( ~ ))

W 1 L M ( f l ) = { u E ~ ' ( t~ ) / V o~E IN n Ictl = Ctl+...+C~n~ 1 DCtu E LM(f~) } ,

( r e s p . s u r E M ( ~ ) ) . C ' e s t u n e s p a c e de B a n a c h p o u r l a n o r m e :

u E wl L>(~)--> I/U//wlLM(~ ) I~1 E ~1 II D~u I!M

Si la fonction de Young N , polaire de M , v4rifie la A2-condition , et si ~ est

assez r4gulier , alors le bidual de W IEM(f]) est isomorphe & WILM(Q) [6]

Si I = [0,T] est unintervalle compact de IR et si x d4signela va-

riable de Q, on appelle espace de Sobolev-Orlicz inhomog~ne [5] [18] , et on

note :

wlx EM( = {u / INn 1 EM(f }

C ' e s t un e s p a c e de B a n a c h p o u r l a n o r m e :

u E W 1 E M ( ~ X f ~ ) - - > llUllw1 = > l l lDx ~ u II o x E M ( ~ xQ ) ictl ~ E M ( I x n )

Soit ~ un ouvert bornd de IR n . Pour introduire des espaces d'Or-

licz et de Sobolev-Orlicz sur la fronti~re ~ de Q, on fait les hypotheses sui -

vantes sur ~Q :

H I : Df~ est une vari~t~ de dimension n-I de classe ~o , & atlas de ddfinition

explicite : ce qui signifie qu'il existe une famille finie (Bf~r)l < r< r d' ou- o

verts de BQ recouvrant Bf~ , et pour tout 1 ~ r < r ° , une permutation d'indi-

ces deIRn : (1,2, .... n)-->(rl,r 2 ..... rn) etune application :

125

Xr : Y = ( y l . . . . . Yn ) ~ ~ % - - > Y = (Yr 1 . . . . . Y ~ ) '

t e l l e q u e , p o u r t o u t y d e Bf~ r , Yr s ' e x p r i m e c o n t i n u e m e n t e n n

"'" ) Yr ' ' Yr ; c'est-&-dire que si l'onpose n

i l e x i s t e u n e a p p l i c a t i o n c o n t i n u e

f o n c t i o n d e

' E gr~>Yr E IR a r : Yr n

Alors &rest un ouvert born~ de IR n-I et l'application :

~r : Yr' E A r-> y = X; 1 (Yr' ' ar(Yr)) E Bf~ r

est un homdomorphisme de gr sur ?f~r ' et Bf~ est une vari4t~ de

n-i , de classe~ ° , pour l'atlas (fx r, B~ r, ~r)l<r~r O

nition explicite "

d i m e n s i o n

, d i t " a t l a s d e d d f i -

H : f) est une varifit~ orientable au sens suivant : r

i l e x i s t e b > 0 t e l q u e p o u r t o u t 1 ~ r ~ r ° , s i l ' o n p o s e :

IJ r fXrX ]-b,b[ et IJ + = r = kr x ]O,b[ ,

l'application :

~ r : x : ( x ; , ~r ) ~ ~ r - > " : ~ ;1 ( x ; , %(%)~ + ( 0 . . . . . ~r n n

vdrifie l'6galitd gr(U;) = ~r(Ur) N f) .

O n p o s e V r = ~ r ( I J r ) e t V+ r = ~ r ( IJ+ r )

, 0 , . . . , 0 ) EIR n

On dit que la fronti~re de f) est lipschitzienne si pour tout i~ r< to,

a r e s t l i p s c h i t z i e n n e s u r -&r

Si la fronti~re de f~ est lipschitzienne , on munit Bf~ d'unemesure

f r o n t i ~ r e [ 15 ] . A t o u t e f o n c t i o n d e Y o u n g M , o n a s s o c i e l e s e s p a c e s d ' O r l i c z

LM(Bf~) et EM(~f;) sur ~f~ muni de la mesure fronti~re, ainsi que les espaces

de Sobolev-Orlicz fronti~res WILM(Df~) et WIEM(~f~) [6]

Si la fronti~re de f) est lipschitzienne et si I = [0, T] est un in-

126

O

t e r v a l l e c o m p a c t de IR , a l o r s I xf l e s t u n o u v e r t b o r n e de IR n + l d o n t l a f r o n -

t i ~ r e est l i p s c h i t z i e n n e .

I I . E s p a c e s d ' O r l i c z e t de S o b o l e v - O r l i c z a v e c p o i d s .

P R O P O S I T I O N I I . 1 . ( J . N e ~ a s [ 1 6 ] ) . S i f? e s t u n o u v e r t b o r n e de IR n d o n t

l a f r o n t i ~ r e ?f~ e s t l i p s c h i t z i e n n e , a l o r s i l e x i s t e u n e f o n c t i o n h d 4 f i n i e c o n t i -

n u e s u r ~ , de c l a s s e ~ s u r ~ qu i v E r i f i e l a p r o p r i E t E s u i v a n t e :

a > 0 , b 1 > 0 : V x E ~? a l d ( X , ?~) ) ~ h ( x ) ~ b I d ( x , ? f l ) .

REMARQUE . On peut supposer que la fonction h prend ses valeurs dansl'en-

semble [ 0~1] , ce que nous ferons par la suite .

DEFINITION II.2 . Soit ~ un ouvert borne de IR n dont la fronti&re estlipschit-

zienne , et c~ un nombre reel . On appelle poids sur ~ toute fonction qui ~ xE

associe p ( [ h(x) ]c~) , oh h dEsigne la fonction dEfinie dans la proposition

II.l , et p une fonction continue sur l'ensemble des valeurs prises parlafonc-

tion t E ]0, I] --> t c~ , vErifiant de plus les deux conditions suivantes :

1) ~ A > 0 V t E ] 0 , 1 ] : 0 < p ( t C ~ ) ~ A ,

2 ) l i m p ( t co) = 0 t ~ O

D E F I N I T I O N I I . 3 . S o i t fl u n o u v e r t b o r n 6 de IR n d o n t l a f r o n t i ~ r e e s t l i p s c h i t °

z i e n n e , e t ~1 le a - a n n e a u d e s e n s e m b l e s L e b e s g ~ a e - m e s u r a b l e s de ~ . On n o t e -

r a ~ p g l a m e s u r e s u r ~ d E f i n i e e n p o s a n t p o u r t o u t s de 91 , de f o n c t i o n c a r a c -

t E r i s t i q u e Xs :

127

lapcc(e) = I Xe P ( [ h ( x ) ] C ~ ) dx .

P R O P O S I T I O N I I . ~ . L a m e s u r e ~apc t e s t a - f i n i e , r ~ g u l i ~ r e e t a b s o l u m e n t

c o n t i n u e p a r r a p p o r t ~ l a m e s u r e de L e b e s g u e .

D f m o n s t r a t i o n .

D e s p r o p r i f t f s de l a f o n c t i o n p o n d f d u i t f a c i l e m e n t l a p r o p o s i t i o n .

D E F I N I T I O N I I . 5 . S o i t f~ u n o u v e r t b o r n d de IR n d o n t l a f r o n t i ~ r e e s t l i p s c h i t -

z i e n n e m u n i de l a m e s u r e ~pc~ ' e t M u n e f o n c t i o n de Y o u n g .

On appeIle

E M ( f l ) pc~

L M pc~

e s p a c e d ' O r l i c z a v e c p o i d s e t o n n o t e :

f?

(f~) = {uE~I/2 6 >0 I M [6u(x)] P([h(x)]~)dx<+°°}

D E F I N I T I O N I I . 6 . S o i t Q u n o u v e r t b o r n d de 1R n , d o n t l a f r o n t i ~ r e e s t l i p -

s c h i t z i e n n e , e t M u n e f o n c t i o n de Y o u n g . On a p p e l l e e s p a c e de S o b o l e v -

Orlicz avec poids et on note W 1 E M (f~) (resp. W 1 L M (f~)) pcc pc~

wZEM (~)~{n~' (~) /V~CIN" ISl ~ D ~u~s M (~)} pc~ po~

(resp. sur L M (f))) . Pa

On munit les espaces d'Orlicz et de Sobolev-Orlicz avec poids des

normes classiques pour lesquelles ils v~rifient les propridtds de dualit~ enon-

cdes dans les rappels .

Des thdor~mes de densit~ dans les espaces d'Orlicz et de Sobolev-

Orlicz construits sur Q muni de la mesure de Lebesgue [6] 7 on d~duit la den -

128

s i t 6 de .8"(~) d a n s E M (f~) . ( r e s p . L M ( f ; ) ) . muni de la t opo log i e fo r t e pc~ pc~

( r e s p . a ( L M (f~), E N ( f ~ ) ) ) , e t l a d e n s i t 6 de ~ ( ~ ) dans W 1 E M (f~) p~ pc~ po,

(resp. WiLM ( 0 ) ) m u n i d e l a t o p o l o g i e f o r t e ( r e s p . a ( rI L M (0), I1 E N ( f~))) . po~ n+l pc~ n+l pc~

Pour introduire une 6chelle d'espaces d'interpolation entre un e s-

pace de Sobolev-Orlicz WIEM(Q) ( resp. W 1 LM(fl)) et un espace d'Orlicz

EM(f~) ( resp. LM(Q)) , on a 6t6 amen6 ~ envisager pour I = [0, i] I' espace

d'Orlicz E M (~ xf~) (resp. L M (~xf])) o~le poids est donn6par la fonc - p(z pc~

tion :

( t , x ) E {X f~ - - > p ( t ct) ~ I1{ +

P u i s on c o n s i d ~ r e l e s e s p a c e s de S o b o l e v - O r l i c z W 1 E M ({ Xf l ) ( r e s p . pet

W1LM ( [ xf))) . Ces e s p a c e s p o s s 6 d e n t l e s p r o p r i 6 t 6 s des e s p a c e s d e Sobo lev- pct

O r l i c z avec po ids i n t r o d u i t s dans la d 6 f i n i t i o n I I . 6 .

On introduit 6galement l'espace de Sobolev-Orlicz inhomog6ne [18]

Wlx EM ({×~)= {u E ~'([xf~) / V 8 E IN n 181 -< 1 DxSU E E M ({xf~)) pa. pc~

(resp. W1LMx ({X~) sur L M ({Xf~)) pa. pc~

la norme :

C ' e s t u n e s p a c e de B a n a c h p o u r

x P~ L M ( I x i ~ ) I~1< L M ( { X f ) ) pc~ p~

R E M A R Q U E . S i on p r e n d ct = 0 , q u e l l e que so i t l a f o n c t i o n p de la d6f in i

t i on I I . 2 , le po id s ~ ( t c~) ( r e s p . p ( [ h ( x ) ] C t ) ) e s t i d e n t i q u e ~ u n e c o n s t a n t e

s u r ~ x f/ ( r e s p . sup f] ) et on r e t r o u v e l e s e s p a c e s d ' O r l i c z , de S o b o l e v - O r -

licz et de Sobolev-Orlicz inhomog6ne classiques .

129

I I I . Echelle d'espace d'interpolation entre un espace de Sobolev-Or-

licz d'ordre un et un espace d'Orlicz .

Soit I = [0, I] et fl un ouvert born6 de ]R n dont la fronti6re

O

lipschitzienne . On envisage sur I x Dle " poids " d6fini par la fonction :

( t , x ) E ~X ~ --> p ( t &) E IR + ,

es t

oh p e s t une fonct ion v6 r i f i an t l es hypoth6ses donn6es dans la d6f in i t ion II . 2 .

On note V M l ' a d h 6 r e n c e de L = ( I ) ® W 1 EM(fl ) dans 1' espace P&

Wx E M (~ x ~ ) A tout 616ment v E V M on a s soc i e un 616ment de o P& pa, 1

2~'(I, EM(f l ) ) , encore not6 v ( V ¢p E d~([) v(ep) = ~ v ( t ) ¢p(t) dt E EM(D) ,

o 0 car v E EM(I x fl) sur l'ensemble ( support de m ) x f~ [18] ) et on ddsigne

dv dv de0 par -- sad6riv6e dans dg'(~, EM(f~)) (VcoEdg(~):--(q0)=- v(--) )

dt dt dt

THEOREME Ill. 1 . Soit f~ un ouvert born6 de IR n dont la fronti~re est lipschit-

O o

zienne , I = [0, i] un intervalle de IR . On raunit I ×~] du poids (t,x) E I×~-->

p (t &) E IR + ( d6f. 11.2 ) . A1ors pour toute fonction de Young M , 1'espace de

Sobolev-Orlicz avec poids W 1 E M (~ xfl) est isomorphe alg6briquement etto- pc~

pologiquement ~ 1'espace vectoriel :

VlM :{v V M / M p& pc~ dt p&

VIM 6tant muni de la topologie produit de Wlx EM (~x~1) x E M (~x(1) (resp. P& p& P&

pour C~ = 0 ) .

D6monstration .

i) On inontre queG°~( Ix-~ ) est inclus dans V M p&

• Puis de la den -

130

s i t ~ d e ~ = ( I x ~ ) dans W1 EM ( f x f l ) o n d ~ d u i t l ' i n c t u s i o n d e W I E M ({xf~) pc~ pcc

dans V M po.

O n u t i l i s e la dens i t6 de ~(f?) dans L N ( ~ ) muni de s a t o p o l o g i e de

pour m o n t r e r que pour tout v E W 1 E M ({ X ~) , a l o r s dual faibIe pet

d v E ~ ' ( ~ , EM(f])) admet pour r e p r f s e n t a n t g v E E M (~ x ~ ) . dt ~ t pet

i i ) Pou r mon t r e r l ' i n c l u s i o n de V1M dans W 1 E M ( ~ x f ? ) i l s u f - pc~ p~

o

fit d ' 6 t a b l i r que tout v E VIM admet une ddr ivde B__y_v E .~ ' ( I x P ) qui s ' i d e n - pc~ B t

t if ie &un 61@ment de E M ( I xf~) . Ceci s ' 6 t ab l i t g race ~ la dens i t6 d e . ~ ( ~ ) ® pc~

o

.0(f]) darts ~ ( I x ~ ) et a u f a i t q u e p o u r t o u t ~ E ~ ( ~ ) , t o u t f E L N ( ~ ) o n a :

( d v (cp) , f ) = - <( v, 2 d__~_~ ® f )>

dt E M ( f ~ ) , L N ( ~ ) p d t E M ( { x f ~ ) , L N ( ~ x f~) pc~ pc~

On 4tabl i t a lo r s la p ropos i t i on su ivante

PROPOSITION I I I .2 . Pour toute fonct ion de Young M dont la po l a i r e vdr i f ie

la condi t ion 5 2 l ' e s p a c e W 1 L M (f?) est i somorphe a lg6br iquement et topolo- pcc

giquement & :

ViM : / LM pc pc~ dt po~

o m u f t i de la t o p o l o g i e p r o d u i t de V~A x L M ( I x f ~ ) ( r e s p . a = 0 )

pc~ pet

Si Met N sont deux fonctions de Young mutuellement polaires, on

munit ~XQ du poids :

( t , x ) E ~ x ~ > 1 E IR + , N - l ( t a )

131

et on note E M ( { x O ) (resp. L M ( { x 0 ) , W 1 S M ( f x O ) , W z L M ( { x O ) ,

Wlx EM ( {x f~) ' Wlx LM ({ xQ) ) l'espace d'Orttez ( resp. Orlicz , Sobotev-

Orlicz , Sobolev-OrIicz inhomog~ne ) avec poids associ~ . On se limite & pr~-

sent ~ ces poids particuliers .

PROPOSITION I I I .3 . Soit M une fonct ion de Young dont la po l a i r e N vdr i f ie

N ( u v ) ~ a N ( u ) N ( v ) ) [9] f ~ u n o u v e r t la condition A'(~a>O,~u ° guru °

born4 de IR n dont la fronti@re est lipschitzienne et I = [0, 1 ]

Alors pour tout c~ : -i < ct < 0 l'opdratenr P :

u ( ( t , x ) - - > u ( t , x ) ) - - > P u ( t - - > u ( t ) ( × - - > u ( t , x ) )

es t l in f ia i re cont inu de E M (~ xf~) dans L I ( I , EM(f l ) ) . c~

D~monst ra t ion .

On suppose N - l ( 1 ) ~ 1 . On obt ien t a l o r s le r f i su l ta t en r e m a r

qnant que l ' a p p l i c a t i o n t E I - - > N - l ( t c~) appa r t t en t fi E N ( I ) et que la c o n d i -

t ion 4' implique la continni tf i de l ' a p p l t c a t i o n b i l in f ia i re :

( u , v ) E E N ( I ) x E N ( G ) - - > u ® v E E N ( I X f l )

COROLLAIRE 111.4 (J. Robert [18]) . Pour ct = 0 , on ale rdsultat de la

proposition 111.3 quelle que soit la fonction de Young M .

PROPOSITION III.5 . Soit f) un ouvert bornd de IR n dont la fronti~re est Iip-

schitzienne ~ I = [0, i] un intervalle de IR et M une fonction de Young dont la

polaire v@rifie la condition fx' et ct un hombre r~el -i < ct < 0 Alors pour tout

v E V1M ( r e s p . V1M ) on a s soc i e v ( O ) E EM( O ) ( r e s p . v ( O ) E LM(f2)) .

132

P o u r g = O on a l e r f i s u l t a t p r ~ c 6 d e n t q u e , l e que s o i t l a f o n c t i o n d e

Y o u n g M ( r e s p . s i l a p o l a i r e de M v ~ r i f i e l a c o n d i t i o n ~2 ) "

D ~ m o n s t r a t i o n .

i ) S o i t v E V 1M , a l o r s v E EM ( ~ x ~ ) e t d--~vE EM ( ~ x f ~ ) De a ~ d t a

I ' i n c l u s i o n a l g 6 b r i q u e e t t o p o l o g i q u e de E M ({ xf~) d a n s L I ( I , E M ( f ~ ) ) , a i n s i C~

que d ' u n t h f i o r ~ m e dfi & B 6 n i l a n - B r f i z i s [2~ o n d 6 d u i t l ' e x i s t e n c e d ' u n f i lCment

w E G ( I , EM(f~) ) t e l que w = v p . p . s u r I , d___ww =__dr p . p . s u r I . On p o s e dt d t

a l o r s v ( O ) = w ( O ) E E M ( f ) ) .

T)

ii) On obtient le rdsultat pour v E VIM en utilisant la densit~ de

~ ( I x ~ ) d a n s W 1 L M ( { x ~ ) muni d ' u n e t o p o l o g i e f a i b l e , e t le f a i t q u e L M ( D ) Ct

e s t s 6 q u e n t i e l l e m e n t c o m p l e t p o u r s a t o p o l o g i e de d u a l f a i b l e .

On d d m o n t r e a l o r s , e t h 6 o r ~ m e s u i v a n t :

T H E O R E M E I I I . 6 . E c h e l l e d ' e s p a c e s i n t e r m f d i a i r e s .

S o i t f~ u n o u v e r t b o r n 6 de IR n d o n t l a f r o n t i 6 r e e s t l i p s c h i t z i e n n e

et M une fonction de Young dont la polaire vdrifie la condition &' . Pour tout

r6el ct , -i < ct ~ 0 , on appelle espace interm~diaire d'ordre ct entre WIEM(f))

e_~t EM(f))(resp. WILM(f~)e_}t LM(fl) ) et on note (WIEM(f~))EM(fl))¢~)M

(resp ,e sous-esp ce vectorie, de

LM(fl)) d~fini comme suit :

C'est un espace de Banach pour la norme :

))

f - - > Ilfll = ,nf I1 u+ v II ( r e s p . VlM ) u,v E VIM

u(O) = f v ( 0 ) ~ 0

133

De plus , st -i < ct ~ ~ < 0 , on a les inclusions alg6briques et topologiques

suivantes :

WIEM(f~) q' ( W1 EM(f~)' EM(C2))I3,M ~' ( W1 EM(f l ) ' EM(G))c t ,M ~' EM(f~)

( r e sp . W1LM(fl) %( W1LM(f~),LM(f~))[~,M a (W1LM(f~), LM(Q))c~,M a LM(fl) ) .

COROLLAIRE llI .7 . Quelle que soit la fonctton de Young M ( resp . dont la

polaire v6rifie la condition tX 2 ) , on appelIe espace interm6diaire d 'ordre 0 e t

onnote (W1EM(f~),EM(f~))0,M ( r e sp . (W1LM(f~) ,LM(f~) )0 ,M) :

(W1EM(f~),EM(f~))0,M = {fE E M ( f ~ ) / 2 u E V1M u ( 0 ) = f} ( r e s p . V;M ) .

C'est un espace de Banach , et on a l e s inclusions :

W1EMCg2) c, (WIEM(f ; ) , EM(f~))O,M ~ EM(fl)

( r e s p . W 1LM(~) c~(W 1LM(f~) , LM(fl))O,M a LM(f~) )

REMARQUE S .

I) Si on prend pour fonction de Young la fonction T : t E IR -->

p > 1 , a l o r s l ' e s p a c e (W1ETp(f)) , ET( f ) ) )0 ,Tp

1 - 1 , p P

term6diaire '4/ (f~) [ 133 [ 143

2) Les foncttons de Young M : t--> t 2 e t2

I t l p P p

est l 'espace de Sobolevin-

et t - -> e I t l - l t l - 1 ont

des polaires v6rifiant la condition g'

Les espaces intermddiaires d'ordre ct ( - 1 < ct ~ 0 ) v6rifient une

propridt6 d'interpolation que l'on n'6nonce pas ici .

IV. Espaces de traces des espaces de Sobolev-Orlicz avec poids .

On commence par introduire des espaces de Sobolev-Orlicz in -

term~diaires fronti~res .

134

DEFINITION 1V. 1 . Soit D un ouver t bornd de IR n dont la f ron t i~re Bf] e s t l i p -

schi tz ienne pour l ' a t l a s de ddfinit ion explici te ( &r ' 8~r ' ¢ r ) 1 < r < r , M une o

fonction de Young dont la polaire v6rifie la condition A'

Pour tout rdel & , -i < ct < 0 , on appelle espace de Sobolev-Orlicz interred -

~ia*re,ronti~re ~ or~re ~ et onnote ( W 1 ~M~O), ~0~ )~,~ (rosp

(WILM(BQ), LM(BQ))Cc, M ) 1'ensemble des 614ments f de ]EM(BfB) (resp .

LM(B~) ) , tels que pour tout 1 < r ~ r ° , pr(f) o {r appartienne &

( w~ ~ r ) , ~ r ) ) ~ , ~ (resp. (Wl ~ r ) , ~ r ) ) ~ , ~ ) o~ ~r ~ -

signe l'opdrateur de restriction & B~ r

Pour ct = 0 , quelle que soit la fonction de Young M , on d4finit

( WIEM(SQ)' EM(B~))O,M (resp. si [a polaire de M vdrifie la A2-eondition ,

(wILM (~)' ~>(~))O,M )

PROPOSITION IV.2 . Sous les hypoth&ses de la ddfinition IV.I , pour tout

i < ~ 0, i esp~ce (W 1E~0), E ~ L,M (~ (W1~0),~%,~

est un espace de Banach pour la norme :

z l i a r ( f ) o *rll f - - > llfll = l ~ r - < r o ( W 1 E M ( A r ) ' E M ( A r ) ) c t , M

(resp. sur (Wl ~(~r), ~(~r) )~,~ ) ' e_Jt ( W 1 LM(Bf~), LM( B~))ct, M es t i somorphe a lgdbr iquement et topologique -

ment a u b i d u a l de ( W 1 E M ( B ~ ) , EM(8~) )c t , M .

P o u r ct = 0 quelle que soit la fonct ion de Young M ,

( W 1 E M ( ~ ) , E M ( 8 ~ ) ) 0 , M e s t u n e space de B a n a c h p o u r la norme choisie,e_J

si de plus la polaire de M vdrifie la A2-condition , alors (WILM(Bf~),L~))O,M

topologiquement au bidual de W! ?fl), (Bf~) ~ . estisomorphealgdbriquementet ( ~V# F~ ~tvt

135

D & m o n s t r a t i o n :

On o b t i e n t l e s r & s u l t a t s en u t i l i s a n t l e s p r o p r i f i t ~ s d e s c a r t e s lo -

c a l e s a i n s i que l e s p r o p r i d t d s t o p o l o g i q u e s d e s d i f f 6 r e n t s e s p a c e s e n v i s a g f i s .

On c o n s i d 6 r e & p r&sen t un o u v e r t f) b o r n 6 de IR n dont l a f r o n t i 6 r e

8{l e s t l i p s c h i t z i e n n e , e t h une a p p l i c a t i o n d&finie dans l a p r o p o s i t i o n I I . 1.

Si M e s t une f o n c t i o n de Young a d m e t t a n t N p o u r p o l a i r e , on e n v i s a g e s u r f~

le poids :

x E ~ > 1 E IR + N-l([h(x)] ct)

P o u r tou t re!el ct on no te W 1 E M (g2) ( r e s p . W 1 L M ( f ~ ) ) l ' e s p a c e de Sobo - c~ c~

lev-Orlicz avec poids correspondant ( resp. pour ct = 0 l'espace de Sobolev -

Orlicz ordinaire ) .

THEOREME IV.3 . Espaces de traces des espaces de Sobolev-Orlicz avec

poids.

Soit Q un ouvert born& de IR n dont la fronti~re Bfl est lipschit -

zienne, M une fonction de Young dont la polaire vdrifie la condition A' .Alors

pour tout r~el ct -1 < ct ~ 0 , il existe une application trace lin~aire continue

de W 1 E M (£~) s u r .(W 1 EM(B£~) , E M ( B f ~ ) ~ c t , M ( r e s p . W 1 L M . . ( f ~ ) s u r j e c t i v e ct ct

- - ( W 1 L M ( B G ) , L M ( B ~ ) ) c t , M p o u r l e u r s t o p o l o g i e s de dua l f a i b l e -) s n r

P o u r ct = 0 on a l e r & s u l t a t q u e l l e que so i t l a f o n c t i o n de Young M

( r e s p . dont l a p o l a i r e v&r i f i e l a c o n d i t i o n k 2 ) .

D&monstration.

Par cartes locales et partitions de l'unit&, on montre que l'appli -

136

cation de restriction d4finie sur G~(~) & valeurs dans G ° (?f)) est lindaire et

continue de ~ (-~) muni de la topologie de W IE M (f?) dans G°(?f)) muni de la (x

topologie de ( W 1 EM(af)) , EM(?f~) )ct, M " Cette application admet un unique

prolongement lin4aire continu , appeI~e application trace, de WIEM (f~) dans ct

(WIEM(?D), EM( af~ ) )c~, M ' dont on montre qu'il e st surjectif .

Comme la polaire de M v6rifie la condition £' ( resp. &2 pour ct=0),

cette application trace adrnet une bitranspos6e lin6aire continue surjective de

W1LMcc(f?) s u r ( W 1 L M ( ~ f l ) , LM(Bf ] ) ) cc , M munis de l e u r s t o p o l o g i e s de dua l

f a i b l e .

R E M A R Q I J E . S i l a f o n c t i o n de Young M e s t de l a f o r m e Tp o M 1 , a v e c

Tp : t E IR - - > t J ~ p > 1 et M 1 u n e a f l t r e f o n c t i o n de Young , a l o r s l ' e s -

1 P p a c e ( W EM( Bf~ ) , EM(?f ) ) ) 0, M e s t i s o m o r p h e a l g d b r i q u e m e n t e t t o p o l o g i q u e -

merit & l ' e s p a c e de S o b o l e v - O r l i c z i n t e r m 6 d i a i r e f r o n t i & r e ~ EM(?f~) d f f i n i

dans un travail pr~cfident [ i0]

Le th4or~me IV.3 permet de caract6riser des conditions au bord

p o u r d e s p r o b l ~ m e s e l l i p t i q u e s t r&s f o r t e m e n t non l i n i a i r e s dans d e s e s p a c e s

de Sobolev-Orlicz avec poids . On donne l'exemple suivant :

Soit M ( t ) = t 2 e t2 de p o l a i r e N , e t A l ' a p p l i c a t i o n du c a l c u l d e s c~ varia -

tions associ@e & la forme :

act(u ,v ) = E ~ ? u exp - - dx + u v i= 1 ax i ax i N- l(h (x) a ) f~ N- l(h (x) ~ )

dx .

Alors A est surjectif de : (x

X : W 1 L M ([~)N{u/ V yEIN n I ¥ 1 < 1 ~ ( D Y u ) 2 e x p ( D Y u ) 2 cc f; N- l ( h ( x ) c~ )

dx < ~}

137

v

sur (WlEM C12n , ouencore : i

vf (wlEM )) G C u ) = f ec

T r a ( u ) E ( W l L M ( B f 2 ) , L M ( B f 2 ) ) a , M .

, e t on sa i t que

R E F E R E N C E S

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z ~ 3 9 - a 5 8 .

[ 1 1 ] M . T h . L A C R O I X : E s p a c e s d ' i n t e r p o l a t i o n e t de t r a c e s d e s e s p a c e s de

S o b o l e v - O r l i c z d ' o r d r e u n .

C . R . A . S . , t . 2 8 0 , s 6 r i e A ( 1 9 7 5 ) , 2 7 1 - 2 7 4 .

[ 1 2 ] M . T h . L A C R O I X : E c h e l l e d ' e s p a c e s i n t e r m d d i a i r e s e n t r e e s p a c e s de

S o b o l e v - O r l i c z . O p d r a t e u r du c a l c u l d e s v a r i a t i o n s d a n s d e s

e s p a c e s de S o b o l e v - O r l i c z a v e c p o i d s .

C . R . A . S . , t . 2 8 2 , s d r i e A ( 1 9 7 6 ) 9 9 1 - 9 9 4 .

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