S

B'r,~ce M. Irc~ Reader, University of Wales, Swansea.

The general purpose thin shell element described here is essentially a

nonconforming quadratic Ahmad element, with ~order integraticm, and with

nodal parameters which accept multiple junctions. A historical introductiom

clarifle~ the develDpmemt and leads smoothly into the fcrmalati~, and the

diacus~iem of patch-test convergence. The geametry and the shell theory are new

and are ccmsistent with rigid body responses of a general patch. ~plementatlon

will be via a foolproof shape function routine.

Introduction et ~oti~ation

"Semiloof" est prohablement la derni~re phase de la recherche de l'auteur pour un

~l~ment de coques~)une recherche motiv~e par un m~contentement profon~ envers

presque tousles ~l~ments de toques familiers. La liste suivante des conditions

requisea abr~ge cette m~fiance:

(i) II f~ut un ~l~ment ~e raideur direct, car heauccup de millions de dollars

sent d~j~ perdus sur les progranm~s d'ordinateur qui admettent tels ~l~mauts

meulement.

(ii) L'~l~ment dolt ~tre utilisable ("mixable" en anglais) - au se~ exact de

l'~preuve de rapi~gage (q) ("patch teat" an anglais) - avec lea ~l~ments voisins

tris~agulai~s ou quadrilatSraux, ~ avee lea membranes isoparam~triques, et avee u,

cerZain ~L~ment eonvenable de poutre~

(iii) Lea ~l~ments de toutes formes ne violent Jamais lea mouvemeats rig%des, J J

~insl que taas lee assemblages de tels elements.

Sewiloof est le premier quadrilat~re de !a famille Ahmad qui a eatisfait * . J . J I J

d' elements nln~erlcuement aux epreuvea (ii) et (iii). Lee raplecagea

triangulaires et quadrllateraux Imbr!ques ont r~ussi aux essais d'ordinateur.

Um ~l~.ment de poutre tres special real~se" " r~cemment _oar F. Albuquerque,

de Louren~o Marques.

178

(iv) La plupart des coques technologiques ont des angles vifs et des

embranchement~ ~Lultiples. Dc~e, un ~l~ent dolt modeler ceux-ci, sans exceptions

pathologiques, et sans complications telles que transformaticas locales etc.

(v) Quelque soit le module choisi, on doit le traduire par l'interm~dialre d'une

routine de fonctions de forme ("shape function routine" en anglais), une "boite

nolre" ('black hcx" en anglai~) de laquelle l'utilisateur ne dolt l~aS se

acueier et ~ laquelle se trouvent toutes los complications telles que

transformations et conventions de signe. De cette fa~on le chercheur peut

garantlr fermement ~e l'utillsateur pourra incorporer facilement l'~l~ment dane / .

sea progran~ne, et que toutes les caracterlstiques matricielles exotiques de

l'~l~ent, dcnt c~ aura besoin plus tard - In~vltahlement ~ ccttrt d~lal -

pou~t ~tre aJout~es sans peine.

Wo~e: Si les ~l~ments iso-P sc~t touJours en vogue, e'e~ en grande pattie que

la routine des fcnctions de forme est cr~e, v~rifi~e et bien documaut~e~ et que

tout le monde peut lui donner des t~ehes multiples. Nous euvisageons maintenant

une routine plu~ ccmpliqu~e, mais conservant ces avantages.

(vi) La routine de~ fonctions de forme doit rester abordable au Programmeur de

maintenance grace ~ une co~e lucide, une documentation complete, et des ordres

d' i~pression intermediairs facultatifs.

(vii) Toute routine dolt %ire convenable et ~r~lable. Par exemple le

proe~d~ se change souvent ~ la premiere rencontre avec un nouvel ~l~ment: ll

faut que l'utilisateur ne doive jamais l'en avertir.

(viii) Encore c'est un bienfait de fournlr ~ l'utilisateur des dia~lostics

abondants~ L'endroit naturel pour bien d'entre eux est la routine dee

fonctions de forme.

(i~) Ii faut que l'~l~ment ne montre auoun caprice en fonctionnement@ Par °~

exBmple i! dolt ~iter tousles pleges tels que rang defectueux.

(X) Use pr&oision extreme n' est jamais requise, mais un mailla~e ~oseier

dolt donner des r~su!tats acceptables. Solon le consensus general, lee

contraintes qui varient lin~airement satisfont le mieux lee besoins

t eehnologique s~

179

Di_~position des Noeuds Semiloof

II es% di~ficile de critiquer la disposition de la ~g.1 du poimt ae rue de

l'utilisateur - elle a semBl@ la plus attirante parmi celles examlm~es ~ laref.

q. Aux coins et ~ mi-c~tes^ " nous avons u, v, w, les fl~che~ an directions

globales. Cecl suffirera pour un~ membrane, mais ne peut pas emp~cher le

pivote~ent pour time coqme avec flexion. Afin d'assurer une conformit~

approximative pour les pentes, nous Introdui~ns les rotations aux points de J

G~ss~ le long de chaque cSte. Les 32 degr~s de libert~ devraient suffire

d~terminer lem champs de contraintes lin&aires, ~ la lois pour les actians de

flexion et de membrane. Pour la logique du programme nc~s groupons les 5

vaz@ables le long d'un cSt~ ccmme si elles agissaient en son milieu. La

convention de signe - ~ laquelle l'utilisateur s'interesse rarement - d~pend

des num~ros de noeuds des coins voisins, disons N I , N 2. Ceux-ci ne sont

jamals ~gaux, car il me rapportent ~ des cordonn~es nodales. Disons N2> Nq.

Le sens des rotations aux points c et d est fix~ par la r~gle de la main

droite pour le segment orient~ Nq-~ N2, c pr~c~dant d.

wia ~es~?a2:::t~e co~

~i~,1

Pr~curseurs de Semiloof

. On peut resoudre~ une probl~me 2D avec noeuds de Loof ("Loof nodes" en

~ng1~is) . . . . . . s~tues atux ~eu~x points ae Gauss sur chaque cote d'un el~ment, comm~

indiqu~ ~ la fig.2. I1 faut ajouter un 9me noeud au centre de l'~l~ment: la

recherche de~ fonctions de forme est donn~e a la ref. 7 A cause des noeuds

manquants a1~x coins, on ne peut mSme pas assurer C ~0) entre lee elements. f ~

z

~. 3

• • . J P~rtant, le dlscontl~11te tend vers P2(~), la polynSme de Legendre qui s'annule

aux deux points de Gauss (ici ~ arpente le cote, -I~ ~ ~ I ) dent l'int~grale et

premier moment sent nuls. Nous examinons l'~preuve de rapid,age, les contraintes

~tantmaintenues constantes. Touteperturbatic~de cet ~tat unlforme provoquera

des disconti~uit~s de d~placement entre les ~l~ments. Si les sauts varient

comme P2(~) le travail r~sultant est nul. Par consequent, po~u~u que Is rang

suffise, I e~uve de rapze~age est satisfaite.

Not__._~e. Nous raisons honneur a Leer. A la ref. ll il mentionna des points de

Lobatto mais il parla de son dessein d'ess~yer lee points de Gauss ouand

l'occasion se pr~senterait.

, . , . ( l ' ; , ~ 2. L element de Visse (fig.3), parmi d'autres, qui postulent une variation

A i lin~aire de moment de flexion sur chaque cote. Nous pouvons f~er sans

peine de tels ~l~nents en termes de moments localis~s:

M = (moment/cm.). d(c~t~)/d (I)

aux deux points de Gauss, en sorte que tout travail est l'addition de M fois la

rotation aux deux neeuds de Leer. Ensuite une inversion partielle (~) ("part-

invermion" en anglais) donnerait " " ~ la eq~ivalente en preclsement version "

raideur directe avec rotations de Leer.

3. La membrane isoparametrique de fig.~ adapte lea /

fonctions de forme N.(~,~) qui etabllssent une 1

correslx~enee (~,~)-~(x,y,z) en 3 dimensions.

Y (z;i (2)

. p p

Ctest tr~s simple. Lea complex~tes se presentent

seulement en calculant les d~formations etc., qu'au

doit exprimer en cordonn~es locales X, T darts le

plan tangentiel de la membrane. Nous arena

180

181

ou ~ar exemple X est le veoteur unit~ en direction X, ~ est le vecteur base

covariant ~(position)/~, et . est le produit scalaire. Nu~s calculons

ainsi ~Ni/'~X, BNi/~Y au point do~n~ ~, ~ . Les @~formations et autres

quantit~s de ce genre suivent facilement. Par example, la contri~uti~

~W/~ X ~ cause d'un d~placement ~i au noeud iest

• x

4- ,_I~. toque feuillet~e d'A~d ("membrane-stack" an ~ ~

originairement con~ue quand les raisonnements Pi~. 5

vectoriels ~taient manifestement absents dans Q, ) les manuels d'~l&ments finis, ~tait r~alis~e comme ~tude introductive.

utilisation g~n~rale @tait inattendu.

Son

Eous discutons seulement le quadrilat~re ~ 8 noeuds et 40 degr~s de liberteo

Chacune des 8 lignes rigides de la fig.5 se soumet aux fleches u,v,w a la mi-

surface du feuillet, et lie les membranes. Chaque feuille correspond

l'intervalle (~ , ~+d~ ), comme indiqu~ ~ la fig.5. G~om~tri~Aement noms

avons une brique iso-P 20-noeuds, mais~ x,y,z varient llnealrement aveo ~, en

sorte que chaque membrane peut avoir une ~paisseur nonuniforme.

Elastiquement nous n'avons pas encore une coque

r@aliste. Le~ membranes ressemblent ~ un livre

dont les pages Elissent sans contrainte. Ncus

nous proposons de les coller afin de leur donner

une raideur de flexion. Ii y a deu_x techniques:

ments ~ .

Fi~.6

(i) Abroad ajouta l'~nergie de d~for~tion de

glissemsnt ~ mesure que ohaque membrane glisse contre les voisines. O'est une

imag~ grossi~re: le glissement aux ~ s ermines est faible ou ~ en

r~alit@, hors du cas rare o~ des charges tangentielles sensibles s'appliquent

la surface. Toujc~rs nous pr~ons que le glisse~ent varie comme (~ - ~2), e%

il ~Ait que les normales courbent comme indiqu~ ~ la fig.6. Ahmad effectivement

divise YXZ et ~YX par ~ &fin de rectifier le module dont les normales

sont rigides. Notons que ~XY' une d~formation d~ns la membrane, n'est pas

modifi~e.

182

(ii) Alternativement, pour une coque mince nous voulons annuler YXZ et YyZ o

En ca~ de oertains ~l~ments d~llnquants mais comp~titifs ("delinquent elements"

en anglais, avec de~ "discrete Kirchhoff assttmptions") nc~s annulcr~ ~'XZ et /

~'YZ aux points isole~, cholsis avec soir~ Les contraintes nous permettent

d'~liminer des variables nodales convenables avant d'assembler lea ~l~ments.

Note. Les deux techniques ne ~'excluent pas. Par exemple, en principe on pout

annuler toutes variations de glissement, afin @e rendre eelui-ci constant.

Autrement, on pout le contraindre ~ varier lir~air~ment avec ~ et ~, etc. (~)

5. La coque ,,feuillet~e d'Ahmad avec int~Tation 2x2. Par suite d'un examen des

r~gles d' int~gratica, Too remarqua que Gauss 2x2 dcane des r~sultats

remarquable~nt amellores, pouvu qu'il pre.sente seulement los contra~ntes aux ^ l l ~ . t /

memos points 2x2. Cette observatlon est toujcurs inexpllquee, cepen~nt

ells a inspir~ au moins deux innovations importantes.

Discutons pourquoi les r~sultats sages nous ~tonnent ~cialsment, surtout /

lorsque la plaque c~ la coque est mince. En tel cas l'energle de

d~formaticn de glissement applique de fair

8 contralntes rigi~es, car on s~it que le~ I

2 glissements aux points de Gauss 2x2 sent

reli~s lin~airement et ind~pendamment aux

variables nodales. Donc examinons un mailla e

raffin~ come indlqu~ & la fig.7 p~ar une plaque

d'Ahmad. Chaque element ajoute 3 noeuds, et

cha~e noeud a 3 variables - une fl~che et deux pentes - de sorte que chaque J J

element ajcute 9 variables. Soustrayons les 8 contraintes. Alors ncus

n'aJoutons qu'un soul degr~ de libert~ par ~l~ment de plaque suppl~mentaire.

N@anmoins los rSsultats nous plaisent.

o~--~ 3 noeuds/element

o

~g.7

6. Le premier ~l~ment d61inquant iso-P se sugg~ra d'une part par la sagesse

• s in ~ Lmprevae de la coque feuillet~e avec tegration 2x2, et d'autre part par son

Inefflcacit~ technologlque intrinsiq-e. Car le glissement entre les membranes

voisines ne connote que pour quelques pour cent de l'~nergie de d~formation I . s

totals. En reallte, il imports peu qu'on l'inolue cu pas. Pcurtant la toque

feuillet~e fournlt une variatica de glissement quadratique en ~, ~ , maim • p .

llnealre en d~formation de flexion.

• I

Jusq'ici nous avers trop de degr~s de liberte; mais quels 8 devons-nous omettre?

La fig.8 nous donne un indice. Imaginon~ que AB soit une poutre aux flexions

lin~airesa On pourra la d~terminer entmerement'~ ave~ la fl~che et la pente aux

deux bouts, sans los deux variables. Nous nous demanderons sl cn pout aussi

183

%ter les variables semhlables en cam de plaque ou de coque.

• Les glissements " ~ J

¢ £d soit om s

Fig. 8

Note. Par consequent, pour un grand probl~me chaque ncuvel %l~ment ajoute 5

variables au lieu d'une. Si nous averts an trouv~ 4 en sus o'est que la fl~che et

ms-cote doivent plus se conformer entre les 61&merits. Los nouveaux ls pente ~ ~ " ne

degr&s de libert~ a~liorent les r~sultats, un petit peu.

Razzaqae rut le premier K coder les &l@ments d&linquants iso-P, et rapporta que

la precislon rut parmi los meilleures publi~es pour los elements de forme

g&n~rale. II se peut que la plaque d~linquante soit l'aboutissement de la

formulation isc-P. (')~ @ )

Mais la toque d~linquante fsit d~faut en pratique. Deux variables, une fl~che . A I

et une pente, disparaiss~nt &e chaque ram-cote. On dolt choisir avec soin leurs

directions, et par consequent on doit choisir aussi les 3 variables restantes. ,, +,

Razzaque a d~termin~ cos directions in~pendan~nent dans chaque element, sans ~e

soucier des l~g~res inconsistanee~.

On soup~onne qu'il s reussi ~ cause de la smmpllclte geometrlque de ses

probl~mes. Sans doute il n'aurai% pas obtenu de r~sultats utilisables pour des

toques ~ angles vifs et ~ embranohements ~altiples.

Note. Los %l~ents d~iinouants, sent justement denornmes." I Dlrmges" " par !'intuition

physique plus que par route theorle de ooques admise, nous avons trouv~ un

element competztlf. Bien qu'il ne satisfasse a l'epreuve de r~aple~ge que pour

( ~ventuellement I s i inegaux), los difformes elements un maillage de parall~logr~mes

r~ussissent presque. D'ailleurs, quand nous commettons ce d~lit particulier . J d

(et il es% diffieile de preclser en termes generaux ce o~e cola signifie

quand la glissement s'sr~uule aux points choisis), quel statut conserve-t-elle,

I' ~preuve de rapid,age?

184

D&placements de Semiloof Libres de Contraintes

Avant d'aVpliguer le~ contra~ntes, nous donnons le d~placement de tout point

comme l'addition de trois classes:

• m l - c o t e s I. D~placements aux coins st ~ " ^ •

lignes rigides comme indiqu~ h la fig.5.

de cette sorte.

u,v,w oausent une translation des 8

Nous comptons 2& degr~s de libert~

2. Rotations aux noeuds de loof et au centre, qui introduisent une difference de • 4 . . s .

depiaoement entre les surfaces superleure et inferleure. Nous con~ptons 18

degr~s de libert~ de plus.

3. Une seule fonction bulle.(1-~2)(1-~ 2)

qui donue un d&placement dans la direction

perpencliculaire a l' element au centre .% •

(~ = V = 0), et qui s'annule aux front~eres. (fig.9) Ce supplement permit

de satisfaire ~ l'~preuve de rapi&oage. Nous devons fournir tout ~tat de

flexion constants dans un element, en general quadrilateral et plat, disons

ou Ni( ~ , ~ ) sont les fonctions de forme de coins et de m~-cotes.

quadrilat~re n'exige pas touts la base, et par exemple

x = A+ B~ + C? + D~

• I

Si nous ajoutons le 43me degr~ de liberte, la fonction bulls, c'est cue

2 2. A la ref.~ nous avons manqu~ cette w = x renferme le terms ~2

condition requise.

~is is

Semiloof st les Contraintes de Glissement

Nous pcursuivons en r~duisant les 43 degree de libert~ aux 32 de la fig.1.

t " (~ la suite de plusieurs qui echouerent) se Les 11 contraintes qui ont reuss~

groupent naturellement en trois classes: ~ ~

Indeslrees~ I. Les 8 pentes~ ~ i mlx noeuds de L o of. La rotation

de la normele octane indiqu~ ~ la fig.t0 engendre un glissement ~ ~

~YZ" Done il est naturel de contraindre la pente avecla

condition ~YZ -- 0. ~ig.10

185

Note. Lea 8 glissements aux noeuds de Loof sont reli6s h peu pros via la

matrice identlt6 aux 8 rotations ela~namees. En outre, l'alternative la plus

dire¢:te, leg condition~ ~XZ = ~YZ = 0 aux points de Gauss 2x2 ne sont m~eme

paa ~md6pendant as.

.p I L'~preuve cle rap~eoa~e. Consid~ons encore l'inflmence de l'epreuve sur la

feu&lle au niveau ~ ~ ~ + d ~ . Perturhons les noeuds "int~rieurs"

(c-a-d ~ • d' elements se cerne~ completement " ~ - reporter ~ la ref.~po559, 583)

et demandons-nous si le travail virtual g'annule dang un champ de contraintes .J

planes uniformes. Aux noeudg @e Loof Aet B ~ la rue en plan du raplecage, 16

fig.t1, lea fl&ches~ normalea a RS sont continues ~ . . . . . {

entre lea ~l~mm2~ts voisins ~ cause des pentes

nodales costumes. Si leg fl~ohes dens la

directicm de AB se~t ~galement continues, c'est ] A

qua WR, Wset wll , lea fl~chea aux coitus et ~ mi-cSt6, Fifo11

moat communes., e~ qme le glissemen% ~(YZ s'annule ~ cause des 8 contraiutes

~anposees. Par ccms~quent nous devoms satisfaire l'&preuve de rapxegage

quelques soiemt lea 3 derni~res contrai~teg qu'il nc~s plalse d'imposer.

2. Lea 2 pentes au centre. Observation pr61imlnalre. Une plaque, en plan XY,

a lea glissemen%s lat~reux ~(XZ' ~YZ" Or, poar Z fixe, e% X,Y tournant, la

quart%it ~ bidimensionnelle

me %ransforme cOnm~ un vecteur.

Lea 2 contraintes.

et noua fixtures

x 9 . e(gupe ±cie)

employant lea points de Gauss 2x2.

Noua z~s~rvons les vecteurs unit~s au centre, X 9 et Yg'

S~ 4 2 points de Gauss. mi-cgte.

Exact. Trop souple.

Note. Pr~lable~ent une version plus simple a ~chou~, malgr6 sa reussite l'~preuve de rapid,age. Ella se d6formait trop souplemen% d~ns leg champs de

con%raintes ncuuniformes~ Au lieu des deux in%~Erale8 de (7), nous avons

contrain% lea deux glissemen%s au centre. D'une mani~re semblable l'~l~ment

quadratique de poatre indiqu~ ~ la fig.12 est %rop souple avec une seule

ccmtralnte.

186

3. La font%ion bulle es~ ~videmment fiche d'une cer%aine c~nbinaison ~e

glissement=:

• / •

est ~me eon t ra~ te cr~dibleo Nou~ ~ceferons transformer l ' ~ t ~ g ~ a l e a

(gllssemen% normal) d(arc) = 0 (9)

frontiere

e% oelle-oi es% la forme employ~o

G~ometrzqaes~ S em~loqf

nSemiloof= est un module de coque mince, et nous faiscms les supposi%ions I /

geome%ri~ues oz~dihles co~e suit.

(i) Pour commemmer, nous ~enclons approximativement normales ~ la surface

moyenne du feuillet les lignes nodales rigides de la fig.5. Par conqueror, lea J I

el~ments ne m'imbriquent en general pas aux embranchemen%s.

I J

(ii) La coque es± si mince que l'~lement de surface d(superficie) pour route

membrane peut ~tre confondu avec am valeur sur la mi-surface.

(ill) Le~ membranes sont presque parall~les.

L'&preuve de raple~age a aeja admis %ous les quadrilat~res pla%es. Un autre o prinoipe aomine ~os main%enan%: desormals nous exigerc~s qu'tm rapie~age

d'elements de tou%es formes ne viole j~is les mouvements rigides, A Is ref.1 %

nous avons fair les hypotheses sans assez de soins, No%ons:

(a) Les &l~men%s strictement iso-P pourvoien% les mouvements rigides,

(b) T~/te ligne rigide - comme on la ooque feuillet~e d'Ahmad - es% tu~e

contr~mte d'accord avec un mouvement rigide.

(C) Un couple d'~lements fournlrait un mouvement rigide seulement sl les

variables nodales qui les llent ensemble (en particulier les pentes) se

d&finissent ex~ctemen% pour %c~% mouvement rigide donn~.

Il faut que route lizne rigide ~ ,~?= constante soit normale, ~ chaque noeud de

Loof, ~ la tangente frontlere. Autrement un mouvement de rotation ~ normal

la surface moyenne, con~ne lux~iqu~ ~ la fig.~3, provoquerait tune "rota%ion"

187

A

faus~ autour de Sj. Si nous devons

compenser les ~paisseurs dorm's, c'est

que eette ccr~/tion n' eat pas assuree

automatiquement. Quand nc~s rencontroms

um nou~el ~l~nent, nous devons remplir

plusieurs t~ches:

@, /% K ~) ~ -" ccastante

FIR.i

Stade !. Nous intez%oolcns les ~paisseur~ Ti, i = ~ a 8, donn~es aux coins e%

mi-c~te~, afin d'emgendrer los Tj, j -- ~ ~ 9, aux noeuds de Loof et au centre.

premiere Nous ~levons ~j (la ~ apprccch~ation) perpendiculaire ~ la mi-surface.

St ado 2" Af~ d'assurer que le~ Tj, j = I a 9, d~terminent une base

" " " ^ " N~( geometr~que darts l'espace de fonctions de coins et de m~-cotes, ~, ~ ),

i -- ~ ~ 8, il faut imposer une condltion aux ~pai~seurs Tj, c'est ~ dire

• j : ~j (-~ (~-p.sjsj) (9)

multiplions par (-I) j et l'additi~o~:

i I - p.sj sj) = 0 (io)

Trmduisc~ en foz~ ~tricielle:

~e~ucc~p de techniques sont possibles: celle-ci emt imdereglable, c~ la matrice

3x~ e~.~ d~inie positive, Noto~ que les ajusteme~ts for~s sont de m~eme ordre

~e grandeur que les variations ~' ~paisseur normale T d~s un ~l~ment iso-P dont

lea T i sont co~.~t~ts aux coi~ et mi-cotes~

Puis nous construisons et conservons les d~placements relatifs ~. = ~. x ^

qui engendrent la pente ur~ite conm~_ue avec les el~nents voislns: aussi

m. : qul domnerait une pente approximativement unitaira le long du cote, O J . . .

une variable destin~e pour l' elLm2matlon.

S tade ~. Nous constrtLisons et r~luisons la matrice des contraintes.

#

Sta~e ~. Nous nous sermons de cette matrice-ci pour creer les fonctions de ¢ I

force a l'endroit donne ~, 7. ~auf dans le cas d'un nouvel element, nous

sauto~e directement au 4me ~tade.

0

188

Le~ ~esures @e D~formation pour une Coqae Peuillet~e Ninoe

Ccmme dans~ les theories clasmiques de coques, notre but est simplifier le calcul

~anm introduire des inexaetit~des excesmives+ Nc~s employons les symboles

suivants:

A Z = normale unit~ au plan tangent ~ la surface moyenne.

/% t / . / S = I' element X nermale dirig~e vers i emtezaeur ~ana le plan tangent ~ ~ la

fronti~re.

d~placament ~ la surface moyemae.

i • . , p •

deplacement relatif entre les surfaces superieure et inferzeure, tel que

~ au meme point ~ i +V • rj S j,

s Ni, Lj = 8 fonctio~s ae forme de coins et @e mi-cb~es, e% 9 foneti~ms ~e Loaf.

Ainsl & = INid i et ~ =ILj j, i= I ~ 8 et j =I ~9.

T = vecteur d'~pais~eur

: ~ +~+__ : ~ + s~ + ~ , <~i~<~.~.

Par cc~s~quent T es~ la composante normale, et R, S introduisent une pente

Initiale. T n' ~ale pas ~ LjTj. Nous in~e~ons:

car X et Y ~e trouve~t ~ le plan ~-~, e@ car le changement ~e positic~

=

quand $ varie de -~ a ¢, tenant ~ et ~ constants, esPY. Or,

~l~z = (2~/~!~ - ~'+I~ x - s~l~)z)/~ (~5)

Par exemple,

u z : ( ~ . x - ~ u x - s , z ) / ~ (+~+)

Les~emx ~llssements, ~XZ = UZ+ W X et ~YZ : VZ÷ Wy exigent les

termes de correction entra~nant R et S, ~ cause de la pente initiale

de T.

Les ~riv~es qui d~termiment les d~fcrma%icr~ de membrane e% le mouvement

de rotation sont simples. Par example,

: u x : ( + 5 )

189

au lieu Re oourbares no.as utillsons directement UXZ, Uyz, VXZ et Vyz:

oUxz au lieu de W XX

-~Z-VXZ au lieu~e 2Wxy

-V~z ~ n~ de Wn (I 6)

Afin ~'~riter la complication de (73), nous rempla~nS UXZ par:

Car en pratique nca,s multiplierons UXZ par T, / ~

afln d~ calcttler I' ecart ~e d~f°rmati°n entre lee I J / surfaces s~p~rieure et inf~rieure~ De eette fa~on 7

n~ co~arons la ~formation en A, dmns la fig.?4, /

avec eelle en B, pas orthogonalement au-~essus de A.

To~s les aeux s'annulent ,i le mouvement e~t rigi~e.

" " l~noTes9 causes II y a enI~ore deux %ermes supplementalre~ de flexion, facilement " " i

Par d.

(a) Si ~R/}~ et BNi~ V sont les ~mem aux surfaces sup~rieure e%

inf~rleure, c'e~t que N i es% une function de ~, ~ seulement, ms.ls un point X

devient X + R, Ydevien% Y + S. Or,

[" "]i:t Sx !%

e tSx e

(b) Si X,Y scat dmas la surface inf~rieure, la directi~a normale ~ la surface J . superzeure devient (-Tx, -Ty, !). A cause &'une fl~che W n~as avons les

J .

compesante~ ~ U = TXW, ~ V = TyW dan~ la surface superle~re. Par exemple,

190

R&sumons so=malrement:

sy

(2.~)

(22) i p f

(Voir (23) aussl, la version preferee.) D~mcntrons que les forn~les ob~issent

aux m~v~ments ri~i~es, Mettons = X; sur la surface infer~e~re U = O,

V -- -Z a@ W = Y, de sorte que ~ = + SZ. Les d~formations s'annulent.

Maintenant mettoms ~ = Z; etc.

Semiloof En Pratique

Cette explication eourte era% developpee ~ la ref.g qui eomprend une versio~

anclaune et d~fectueuse du programme. L'ensemble actuel des fonctions de forme

e~t aussl disponible sans contrainte. I1 oc~prend 450 instructions FORTRAN et

il f~ut ~600 " " memo~res (nombre reels) pour les tableaux. Avecla documentation

et les ~ essais diagnostiques, il devrait Stre facile ~ incorporer~ On peut

am&li~er la vitesse, pourtant, car le progr~mme a chang~ continuellement

pendant les~ ~4 mois de raise au point, la vi%esse etant negllgee au profit de

le clart~ et la faeilite de modification.

• o Le ran~ et les mecanlsmes/0arasltes. Id~alement la matrice de raideur pour un I I

element qusdrilat~ral ale rang de 26 = 32 (le hombre des variables) - 6(le / s nombre ~es mouvements rigides disponibles); pour un element triangulaire,

. r .

18 = 2@- 6. Mals chaque point d'integratlou peut contribuer au m~ximum i 4 • • 6 (le rang de la matrice d elastlelte), dormant 24 pour le quadrilatere

Integra%lon 2x2, et 18 pour le triangle int~gr~ par !a regle de mi-c~t~s,

ar c~%~eq/ent le quadrilatere a aux molns deux .~

mecanismes parasites, com~ne oeux indiqu~s ~ la

fig.15 p = . ~l~ment car~. (L'ex~rience n'a p a s ~ l ~ ~ encore montr~ ~'autre m~canisme ni pour le triangle ni

pour le qu~arilat~re.) I1 es% bien possible qu'un tel

Note, (22) donne une ma%rice an%isymetr~que au lieu de nulle, qui peu% % p #

aggrav~c les prohlemes ~e m~uvais oonditicmnement, Nous preferons modifier (22):

191

m~aa.ui:~e puls~e ae transmettre ~ travers les elements voisins et de i~ contamine

t ~ t e l a s o l u t i o n . Nous pouvon~:

(a) savoir ~ qu'il faut faire apropos du probleme et l'~ter ordir~irement.

(b) employer toujours les triangles. Quoique ce~i entraTne davs~tage de

variables, les inexactitudes sont neanmo~ns cinq lois plus grandes que

lorsqu' o~ utilise les quadrllateres.

(c) employer une r~gle d'int~gration ~ 5 points: s ¢ 4

-~ -1 1 t

ou b : I - ¼a et B = (3b) "~, disons a = .O~, b : °9975, et B = ,5780733131

au lle~ de .577350~69.

/ #

La performanc.ede l ! ~l,ement,

?° Les elements de toques iso~P ~ 8 noeuds aveo mntegrat~on 2x2 et avec le~

mesures de d~foxm~tion ~ai ne violent jamais les mouvements rigides, ont donn~

les r~ultats excellents pour les coques regul~ere~. Surtoat la performance

avec un maillage grossier est remarquableo

2. Pui~que la convergence est assur~e, l'auteur s'est concentre a l'~tude des

maillages grossiers. La plaque eirculaire charge • s . ~ i

ur~formement, co~e indlque ~ la rigor6 (~= 0,3)

a donn~ des ~carts de contrainte de ~ 3% max~ /

La plaque carree de la fig.1 7 a donn~ une fl~che

centrale +O@13%.

,J

192

3. La reponse de la plaque carree/ a une charge ponctuelle est moins satisfaisante

oomme ina_iq~ la fig.t8, et bien pire que laref. Nous l'admettons car:

(a) Les coins peuvent pivoter: voir la fig.19. s I

I' element de Visser co~ettrait cette faute.

(b) Ordinairement une charge ponctuelle est

reprise par une poutreo

Reccmnaissance. L'auteur veut exprimer sa gratitude a son

coll~gme M. Ivan Cormeau de Bruxelles pour l'aide patiente

propos de la granm~ire et du choix de sots.

Probablement

Fig. i 9

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