Électricité - Électronique

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Olivier GRANIER Électricité - Électronique Olivier GRANIER Filtres linéaires (1 er ordre - 2 ème ordre)

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Olivier GRANIER

Électricité - Électronique

Olivier GRANIER

Filtres linéaires(1er ordre - 2ème ordre)

Olivier GRANIER

Électricité - Électronique

Olivier GRANIER

➢ I - Intérêt de l’étude ; définitions générales :

Système linéaire électrique ou mécanique

(réseaux électriques, suspensions de voitures, atomes excités par des

ondes lumineuses, …

Contraintes extérieures

Réponse du système

ve(t)=Emcoswt« Filtres »

mécaniques ou électriques

vs(t)=Smcos(wt+j)

L’analyse harmonique (ou fréquentielle) d’un système est son étude au moyen de sa réponseharmonique s(t), c’est-à-dire de sa réponse en régime permanent sinusoïdal lorsqu’il est soumis àune entrée sinusoïdale e(t) dont on fait varier la pulsation w.

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Filtre du 1er ordre :

ve(t)=EmcoswtFiltre du

1er ordrevs(t)=Smcos(wt+j)

( ) ( ) ( ) ( )1

s e e

Kv t H j v t v t

jw

w= =

+(Filtre passe-bas)

Filtre du 2ème ordre :

ve(t)=EmcoswtFiltre du

2ème ordrevs(t)=Smcos(wt+j)

2

2

0 0

( ) ( ) ( ) ( )

1 2s e e

Kv t H j v t v t

j

ww w

w w

= =

− +

(Filtre passe-bas)

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Notations et définitions générales :

tjjsms

tjeme eeVtveVtv wjw == )(;)(

j est le déphasage de la tension de sortie par rapport à la tension d’entrée du filtre.

jw j

em

sm

e

s eV

V

v

vjH ==)(

H(jw) est la fonction de transfert en tension du filtre :

em

sm

V

VjHG == )()( ww G(w) est le gain réel

==

em

smdB

V

VGG log20)(log20)( ww GdB(w) est le gain en décibels

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Diagramme de Bode :GdB

j

Échelle logarithmique pour w

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➢ II – Filtres du 1er ordre (passifs, sans AOP) :

On pose :

1) Circuit (R,C) :

a) Aux bornes de C (filtre passe – bas) : étude qualitative

R

C

YA YB

ve vs

(Sortie ouverte)

En sortie ouverte : (règle du diviseur de tension)

es v

jCR

jCv

w

w

1

1

+

=

ww

jRCv

vjH

e

s

+==

1

1)(

RC

10 =w

0

1

1)(

w

ww

jv

vjH

e

s

+

==

Olivier GRANIER

Électricité - Électronique

Olivier GRANIER

Le gain et le déphasage s’en déduisent :

2

0

1

1)(

+

=

w

w

wG0

tanw

wj −=

0cos j

− 0,

2

j

Etude asymptotique du gain :

dBGetG dB 01)(:)10

(1 0

0

ww

ww

w

0

00

0

log20)(:)10(1w

w

w

wwww

w

wdBGetG

( ) dBGetG dB 32log202

1)(: 00 −−== www

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Électricité - Électronique

Olivier GRANIER

Diagramme de Bode :

GdB

log(w / w0)

w0 / 100 w0 / 10 w0 10w0 100w0

Pente de -20 dB/décade

w0 est la pulsation de coupure (de cassure) à – 3 dB

[0,w0] est la bande passante du filtre

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Électricité - Électronique

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Diagramme de Bode :

j

log(ww0)

Filtre passe-bas

es vvPour = :10w

w

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Électricité - Électronique

Olivier GRANIER

On pose :

1) Circuit (R,C) :

b) Aux bornes de R (filtre passe – haut) : étude qualitative

R

CYA YB

ve vs

(Sortie ouverte)

En sortie ouverte : (règle du diviseur de tension)

es v

jCR

Rv

w

1+

=

w

ww

jRC

jRC

v

vjH

e

s

+==

1)(

RC

10 =w

w

w

w

w

w

w

w0

0

0

1

1

1

)(

jj

j

v

vjH

e

s

=

+

==

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Électricité - Électronique

Olivier GRANIER

Le gain et le déphasage s’en déduisent :

2

01

1)(

+

=

w

w

wGw

wj 0tan =

0cos j

2,0

j

Etude asymptotique du gain :

00

0

0

log20)(:)10

(1w

w

w

ww

ww

w

wdBGetG

dBGetG dB 01)(:)10(1 00

wwww

w

( ) dBGetG dB 32log202

1)(: 00 −−== www

Olivier GRANIER

Électricité - Électronique

Olivier GRANIER

GdB

log(ww0)

Diagramme de Bode :

Pente de

20 dB/décade

w0 est la pulsation de coupure (de cassure) à – 3

dB

[w0,∞] est la bande passante du filtre

Olivier GRANIER

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Olivier GRANIER

j

log(ww0)

Diagramme de Bode :

Filtre passe-haut

es vvPour = :10w

w

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Olivier GRANIER

➢ II – Filtres du 1er ordre (passifs, sans AOP) :

On pose :

2) Circuit (R,L) :

a) Aux bornes de R (filtre passe – bas) : étude qualitative

En sortie ouverte : (règle du diviseur de tension)

es vjLR

Rv

w+=

w

w

R

Lj

v

vjH

e

s

+

==

1

1)(

L

R=0w

0

1

1)(

w

ww

jv

vjH

e

s

+

==

R

LYA YB

ve vs

(Sortie ouverte)

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Olivier GRANIER

➢ II – Filtres du 1er ordre (passifs, sans AOP) :

On pose :

es vjLR

jLv

w

w

+=

w

ww

R

Lj

R

Lj

v

vjH

e

s

+

==

1

)(

L

R=0w

w

w

w

w

w

w

w0

0

0

1

1

1

)(

jj

j

v

vjH

e

s

=

+

==

L

RYA YB

ve vs

(Sortie ouverte)

2) Circuit (R,L) :

b) Aux bornes de L (filtre passe – haut) : étude qualitative

En sortie ouverte : (règle du diviseur de tension)

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➢ II – Filtres du 1er ordre (passifs, sans AOP) :

éqéq

éq

e

s

yRRz

z

v

vjH

+=

+==

1

1)( w

L

RYA

YB

vevsRu

3) Cas d’une sortie « non ouverte » :

On reprend l’exemple du circuit (R,L) : la bobine est reliée à une résistance d’utilisationRu.

uéq

éq RjLy

z

111+==

w

On se ramène à la règle du diviseur de tension :

w

w

L

Rj

R

RjH

u

+

=

1

1)(

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Soit l’expression de la fonction de transfert :

w

w1

)(1

1)(

LRR

RRj

RR

RjH

u

uu

u

+−

+=

u

u

u

u

RR

RA

LRR

RR

+=

+= ;

)(0w

On pose :

w

ww

01

1)(

j

AjH

= Fonction de transfert « normalisée » d’un filtre passe – haut, de gain maximum A et

de pulsation de coupure w0.

Remarque : 1)(

, 0 →→+

=→ AetL

R

LRR

RRRsi

u

uu w

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➢ III – Filtres du 2ème ordre (passifs) :

1) Circuit (R,L,C) série :

a) Aux bornes de C en sortie ouverte (filtre passe – bas) :

étude qualitative

C

i

ve

L

R

vsww

ww

ww

jRCLC

jCjLR

jCjH

+−=

++

=21

1

1

1

)(

La règle du diviseur de tension donne :

020

2

21

)(

w

w

w

ww

j

KjH

+−

=

On souhaite écrire cette fonction de transfert sous la forme normalisée :

Olivier GRANIER

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Olivier GRANIER

Par identification :

020

2

21

1)(

w

w

w

ww

j

jH

+−

=

1;2;1

0

20 === KjjRC

LC w

www

D’où :

1;22

1;

100 ==== K

L

CRRC

LCww

2

0

2

20

2

21

1)(

+

=

w

w

w

w

wG

)0,,0(sin

1

2

tan

20

2

0 jj

w

w

w

w

j −

−=

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Il y a « résonance de tension aux bornes de C (« Résonance de charge »), c’est à dire correspondant à une tension aux bornes de C maximale, pour une pulsation wr du GBF telle que :

2

1avec2

0 21 ww −=r

Et la tension maximale aux bornes de C à la « résonance de charge » est :

merms VV ,2

,

12

1)(

w

−=

En se référant à l’étude des oscillateurs mécaniques (réponse en élongation), on obtient :

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Les formules précédentes deviennent, en utilisant le facteur de qualité Q à la place du coefficient d’amortissement (Q = 1/2, et noter que s’identifie au coefficient x utilisé en SI) :

2

1

2

11

20 −= QavecQ

r ww

merms V

Q

QV ,

2

,

4

11

)(

=w

Remarque : pour de faibles amortissements ( «faible» et Q «grand»), alors :

merms QVV ,, )( w

Ainsi, si Q=10, l’amplitude lors de la résonance vaut 10 fois celle de l’excitation : la résonance est dite «aiguë» et peut causer la destruction du système oscillant.

0ww r et

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Comportement asymptotique du gain :

Dans ce dernier cas, on obtient une droite de pente -40 dB/décade.

Cette étude permet de tracer le diagramme de Bode dans les intervalles [0,w0/10] et [10w0,∞].

Dans l’intervalle [w0/10,10w0], on trace le diagramme à « main levée », en tenant compte de la valeur de (existence ou non d’une résonance).

2

0

2

20

2

21

1)(

+

=

w

w

w

w

wG

dBGetGPour dB 01)(),10

(1 0

0

ww

ww

w

0

2

00

0

log40)(),10(1w

w

w

wwww

w

wdBGetGPour

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GdB

log(ww0)

= 0,02

= 0,05

= 0,2

= 0,6

= 1

= 3

= 5

Pente de -40 dB/décade

Tracé du diagramme de Bode :

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j

log(ww0)

= 0,02

= 0,05

= 0,1

= 0,2

= 0,6

= 1

= 3

= 5

Tracé du diagramme de Bode :

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➢ III – Filtres du 2ème ordre (passifs) :

1) Circuit (R,L,C) série :

b) Aux bornes de R en sortie ouverte (filtre passe – bande) :

étude qualitative

−+

=

++

=

ww

ww

w

CL

R

j

jCjLR

RjH

11

1

1)(

La règle du diviseur de tension donne :

Kj

K

j

j

jH

−+

=

+−

=

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w0

0020

2

0

21

1

21

2

)(

On souhaite écrire cette fonction de transfert sous la forme normalisée :

C

ve(t) R vs

L

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Par identification :

1;2

;12

0 === KL

CR

LCw

D’où (rapport membres à membres) :

1;2

1;

2

1 0

0

=== KRCR

L

w

w

−+

=

+−

=

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w0

0020

2

0

21

1

21

2

)(j

j

j

jH

)2

,2

,0(cos2

1tan 0

0

−−=

jj

w

w

w

w

j

2

0

024

11

1)(

−+

=

w

w

w

w

wG

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Il y a « résonance de tension aux bornes de R (« résonance d’intensité »), correspondant à une tension aux bornes de R maximale, pour une pulsation du GBF égale à la pulsation propre w0 du circuit (RLC) série :

LC

10 =w

Et la tension maximale aux bornes de R à la « résonance d’intensité » est :

Résonance de tension aux bornes de R (« résonance d’intensité ») :

mems VV ,, =

Bande passante : (voir définition et calcul en mécanique)

QL

Rcc

002;

12

wwwwww ===−=

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Comportement asymptotique du gain :

Dans les 2 cas, on obtient des droites de pente ±20 dB/décade.

Cette étude permet de tracer le diagramme de Bode dans les intervalles [0,w0/10] et [10w0,∞], en tenant compte de la valeur de .

Dans l’intervalle [w0/10,10w0], on trace le diagramme à « main levée », en tenant compte de la valeur de .

)2log(20log202)(),10

(100

0

0

w

w

w

ww

ww

w

w+

dBGetGPour

2

0

024

11

1)(

−+

=

w

w

w

w

wG

)2log(20log202)(),10(10

00

0

w

w

w

wwww

w

w+

− dBGetGPour

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GdB

log(ww0)

= 0,02

= 0,05

= 0,1

= 0,2

= 0,6

= 1

= 3 20 dB/décade

Tracé du diagramme de Bode :

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j

+

log(ww0)

= 0,02

= 0,3

Tracé du diagramme de Bode :

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➢ III – Filtres du 2ème ordre (passifs) :

1) Circuit (R,L,C) série :

c) Aux bornes de L en sortie ouverte (filtre passe – haut) : étude qualitative

ww

w

ww

ww

jRCLC

LC

jCjLR

jLjH

+−

−=

++

=2

2

11)(

La règle du diviseur de tension donne :

K

j

jH

020

2

20

2

21

)(

w

w

w

w

w

w

w

+−

=

On souhaite écrire cette fonction de transfert sous la forme normalisée :

C

ve(t)

R

vsL

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Par identification, on retrouve les mêmes caractéristiques :

1;22

1;

100 ==== K

L

CRRC

LCww

020

2

20

2

21

)(

w

w

w

w

w

w

w

j

jH

+−

=

jj += −− baspassehautpasse

2

0

2

2

20

2

20

2

41

)(

+

=

w

w

w

w

w

w

wG

Etude mathématique similaire à celle du filtre passe - bas

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Électricité - Électronique

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GdB

log(ww0)

= 0,02

= 3

Tracé du diagramme de Bode :

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j

log(ww0)

= 0,02

= 3

Tracé du diagramme de Bode :

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➢ III – Filtres du 2ème ordre (passifs) :

1) Circuit (R,L,C) série :

d) Aux bornes de (C + L) en sortie ouverte (filtre réjecteur ou coupe - bande) :

étude qualitative

ve

ww

w

ww

ww

wjRCLC

LC

jCjLR

jLjC

jH+−

−=

++

+

=2

2

1

1

1

1

)(

La règle du diviseur de tension donne :

K

j

jH

020

2

20

2

21

1

)(

w

w

w

w

w

w

w

+−

=

On souhaite écrire cette fonction de transfert sous la forme normalisée :C

L

R

vs

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Électricité - Électronique

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Par identification, on retrouve les mêmes caractéristiques :

1;22

1;

100 ==== K

L

CRRC

LCww

+

=

+−

=

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

0

020

2

20

2

21

1)(

21

1

)(

jjH

j

jH

jj = −baspasseréjecteur

Etude mathématique similaire à celle du filtre passe - bande

2

0

241

1)(

+

=

w

w

w

w

wG

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GdB

log(ww0) = 0,02

= 3

Tracé du diagramme de Bode :

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j

log(ww0)

= 0,02

= 3

Tracé du diagramme de Bode :

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➢ III – Filtres du 2ème ordre (passifs) :

2) Conclusion sur les filtres du 2nd ordre :

K

Q

jK

j

jH

020

2

020

2

121

)(

w

w

w

w

w

w

w

ww

+−

=

+−

=

2

0

2

000

11

21

+

=

w

w

w

w

w

w

w

w jjj

Qj

PASSE - BAS

PASSE - BANDEPASSE - HAUT

REJECTEUR

w0 : pulsation propre du filtre ; Q : facteur de qualité et : facteur d’amortissement ( = 1/2Q).

Ces grandeurs dépendent de la nature du filtre (voir exemples à suivre).

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➢ III – Filtres du 2ème ordre (passifs) :

3) Quelques exemples de filtres du 2nd ordre :

(Pont de Wien)

Animation Java

(Wien, Colpitts, …)

Voir également feuilles de TD

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➢ III – Filtres du 2ème ordre (passifs) :

4) Circuit parallèle (RLC) en sortie « non ouverte » :

C

ve(t)

R

vsL Ru

uéq R

jCjL

y11

++= ww

éqe

s

yRv

vjH

+==

1

1)( w

−+

+

=

ww

w

LCjR

R

RjH

u

11

1)(

Etude qualitative

u

u

u

u

u

RR

RR

CC

L

RR

RR

RK

LC

+==

+=

+==

12;

11

2

1

;1

0

0

ww

w