lecon9_transports__1180617981197_2
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Les programmes de Transport Nous traitons ici un problème de logistique : il y a — 3 entrepôts (appelés par commodité a,b et c par la suite ) — 4 magasins (appelés par commodité A, B, C, D, E par la suite) on doit transporter un produit des entrepôts vers les magasins : les quantité disponibles dans les entrepôts sont : dépôt a b c total quantité disponible 220 440 340 1000 les quantités désirées dans les magasins sont : magasin A B C D E total quantité désirée 150 200 300 250 100 1000 Vous noterez qu’ici le total des quantités désirées (1000) est égal au total des quantités disponibles (1000).. Cela peut vous paraître bizarre, mais nous verrons plus loin comment on fait lorsque le total demandé est inférieur au total disponible. Le problème qui se pose est celui des coûts de transport : il y a un coût unitaire de transport entre dépôts et magasins et ces coûts varient selon les départs et destinations. Par exemple le coût de transport d’une unité entre le dépôt a et le magasin B est de 5 euros. Si vous devez transporter 70 unités entre ces deux lieux cela vous coûtera 5*70 = 350 euros. Le tableau suivant donne à la fois les coûts unitaires de transport et rappelle les quantités désirées et disponibles : total 8 5 3 2 6 a 220 4 2 3 5 8 b 440 5 4 2 6 7 c 340 total 150 200 300 250 100 1000 E A B C D Il ne faut pas s’étonner de la présentation "un peu alambiquée" de ce tableau, on verra plus tard qu’il faut en passer par là. 1
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Les programmes de Transport
Nous traitons ici un problme de logistique : il y a 3 entrepts (appels par commodit a,b et c par la suite ) 4 magasins (appels par commodit A, B, C, D, E par la suite)
on doit transporter un produit des entrepts vers les magasins :
les quantit disponibles dans les entrepts sont :
dpt a b c totalquantit disponible 220 440 340 1000
les quantits dsires dans les magasins sont :
magasin A B C D E totalquantit dsire 150 200 300 250 100 1000
Vous noterez quici le total des quantits dsires (1000) est gal au total des quantits disponibles(1000).. Cela peut vous paratre bizarre, mais nous verrons plus loin comment on fait lorsque letotal demand est infrieur au total disponible.
Le problme qui se pose est celui des cots de transport : il y a un cot unitaire de transportentre dpts et magasins et ces cots varient selon les dparts et destinations. Par exemple
le cot de transport dune unit entre le dpt a et le magasin B est de 5 euros. Si vous deveztransporter 70 units entre ces deux lieux cela vous cotera 5*70 = 350 euros.
Le tableau suivant donne la fois les cots unitaires de transport et rappelle les quantitsdsires et disponibles :
total
8 5 3 2 6a
220
4 2 3 5 8b
440
5 4 2 6 7c
340
total 150 200 300 250 100 1000
EA B C D
Il ne faut pas stonner de la prsentation "un peu alambique" de ce tableau, on verra plustard quil faut en passer par l.
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1 Une solution pour transporter les marchandises
Avant desprer trouver la solution la moins coteuse en termes de transports, il faudrait djtrouver une faon de transporter les produits depuis les dpts vers les magasins. Je vous proposela "solution du coin Nord Ouest". Elle consiste remplir toujours la case en haut gauche denotre tableau.
La case en haut gauche est la case qui indique quelles quantits on peut envoyer du dpt avers le magasin A :
le dpt a dispose de 220 unitsle magasin A a besoin de 150 units on peut donc envoyer 150 units du dpt a vers
le magasin A. On notera dailleurs que le magasin A obtient ainsi toutes ses quantits dsires, lesautres dpts ne lui enverront aucun produit. On obtient alors le tableau suivant :
total
8 5 3 2 6a
150 2204 2 3 5 8
b
0 4405 4 2 6 7
c
0 340
total 150 200 300 250 100 1000
EA B C D
On peut alors remplir la case "en haut gauche : celle qui prcise les quantits envoyer dudpt a vers le magasin B
le dpt a dispose de 70 unitsle magasin B a besoin de 200 units on peut donc envoyer 70 units du dpt a vers
le magasin B. On notera dailleurs que lon a puis toutes les disponibles du dpt a : il na plusrien envoyer vers les autres magasins. On obtient alors le tableau suivant :
total
8 5 3 2 6a
150 70 0 0 0 220
4 2 3 5 8b
0 4405 4 2 6 7
c
0 340
total 150 200 300 250 100 1000
EA B C D
2
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La case "Nord-Ouest" est maintenant celle du transport entre le dpt b et le magasin B. Oncontinue la mme procdure et on obtient le tableau final suivant :
total
8 5 3 2 6a
150 70 0 0 0 2204 2 3 5 8
b
0 130 300 10 0 4405 4 2 6 7
c
0 0 0 240 100 340
total 150 200 300 250 100 1000
EA B C D
Pour vous entrainer : les Exercices corrigs 1 3
Ce quon peut remarquer sur ce tableau, cest quil y a 7 lignes de transport utilises :
N de ligne 1 2 3 4 5 6 7Dpart a a b b b c cArrive A B B C D D E
On aurait pu le deviner : cest un problme avec 5 magasins et 3 dpts : en tout 8 lieux dirents.Le nombre de lignes de transports utiliss dans une telle solution de base est gale 8-1 = 7
On dmontre quil en est toujours ainsi : si vous avez 10 magasins et 6 dpts, la solution "debase" donne par la mthode du coin Nord Ouest utilisera toujours 16-1 = 15 lignes de transports.
Revenons notre problme, on aurait pu utiliser une autre mthode pour obtenir une solution"de base" , par exemple celle du coin Sud Ouest qui consiste remplir toujours la case "en bas gauche " du tableau . On aurait obtenu :
total
8 5 3 2 6a
0 0 0 120 100 2204 2 3 5 8
b0 10 300 130 0 440
5 4 2 6 7c
150 190 0 0 0 340
total 150 200 300 250 100 1000
A B C D E
3
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Evidemment cette solution "de base" est dirente de la prcdente, et elle est associe uncot dirent. Nous dmontrerons dans le cours sur la programmation linaire que la solution lamoins coteuse est une solution de base. Se pose alors deux problmes : comment passer "simplement" dune solution de base ventuellement moins coteuse uneautre en tant sur quau besoin on dcrira toutes les solutions de base
Comment savoir si une solution de base est celle qui ralise le cot minimum?
Rglons les problmes un par un.
2 passer dune solution de base une autre
Reprenons la solution du coin Nord ouest : jai supprim les cots de transports puisquils nenous intressent pas pour le moment :
Reprenons la solution du coin Nordouest : jai supprim les cotsde transports puisquils ne nousintressent pas pour le moment :
A B C D E total
a 150 70 0 0 0 220
b 0 130 300 10 0 440
c 0 0 0 240 100 340
total 150 200 300 250 100 1000
Supposons que je veuille "activer "la ligne de transport bA et quece soit la seule "nouvelle ligne" detransport que je veuille activer.Je commence "petit" et je dcidede transporter une unit sur cetteligne :
A B C D E total
a 150 70 0 0 0 220
b +1 130 300 10 0 440
c 0 0 0 240 100 340
total 150 200 300 250 100 1000
Evidemment, si vous faites celale total de la colonne A dpasseles 150 : il faut donc enlever uneunit la ligne aB pour obtenir :
A B C D E total
a 150 -1 70 0 0 0 220
b +1 130 300 10 0 440
c 0 0 0 240 100 340
total 150 200 300 250 100 1000
4
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Maintenant, vous avez un problmeavec la ligne a : il manque une unitque lon ne peut rajouter que dansla case aB. Pour quilibrer la colonneB, il faut soustraire une unit dans lacase bB.
A B C D E total
a 150 -1 70 +1 0 0 0 220
b +1 130 -1 300 10 0 440
c 0 0 0 240 100 340
total 150 200 300 250 100 1000
Augmentons les quantitstransportes dans la case bA : ilfaut que les quantits transportesdans les direntes cases restentpositives : on peut au maximumtransporter 130 units sur cetteligne.
A B C D E total
a 150 -130 70 +130 0 0 0 220
b +130 130 -130 300 10 0 440
c 0 0 0 240 100 340
total 150 200 300 250 100 1000
Le nouveau tableau de transport estune solution de base : il nutilise que7 lignes de transport
A B C D E total
a 20 200 0 0 0 220
b 130 0 300 10 0 440
c 0 0 0 240 100 340
total 150 200 300 250 100 1000
Dans certains cas, lenchanement des +1 et des -1 est plus complexe comme le montre lexemplesuivant :
Reprenons la solution du coin NordOuest
A B C D E total
a 150 70 0 0 0 220
b 0 130 300 10 0 440
c 0 0 0 240 100 340
total 150 200 300 250 100 1000
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On veut activer la ligne cA : commeprcdemment, on commence"petit" en transportant une unit surcette ligne
A B C D E total
a 150 70 0 0 0 220
b 0 130 300 10 0 440
c +1 0 0 240 100 340
total 150 200 300 250 100 1000
Pour quilibrer la colonne A, il fautenlever une unit dans la case aA.Rappelons quon ne modifieraquune seule ligne non utilise.
A B C D E total
a 150 -1 70 0 0 0 220
b 0 130 300 10 0 440
c +1 0 0 240 100 340
total 150 200 300 250 100 1000
Pour quilibrer la ligne a, il fautajouter une unit la case aB
A B C D E total
a 150 -1 70 +1 0 0 0 220
b 0 130 300 10 0 440
c +1 0 0 240 100 340
total 150 200 300 250 100 1000
On enlve alors une unit la casebB pour quilibrer la colonne B. Ona alors un problme pour la ligne b
A B C D E total
a 150 -1 70 +1 0 0 0 220
b 0 130 -1 300 10 0 440
c +1 0 0 240 100 340
total 150 200 300 250 100 1000
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On pourrait penser enlever une unitdans la case bC : mais il apparatquon ne pourra plus quilibrer lacolonne C.
A B C D E total
a 150 -1 70 +1 0 0 0 220
b 0 130 -1 300 +1 10 0 440
c +1 0 0 240 100 340
total 150 200 300 250 100 1000
Il faut modifier la case bD ce quientrane la modification de la casecD et on constate que les lignes etcolonnes sont de nouveau quilibres
A B C D E total
a 150 -1 70 +1 0 0 0 220
b 0 130 -1 300 10 +1 0 440
c +1 0 0 240 -1 100 340
total 150 200 300 250 100 1000
De combien peut-on modifier lesdirentes cases ? Il faut que lesquantits transportes dans les casesrestent positives : on peut aumaximum modifier les cases de130 units
A B C D E total
a 150 -130 70 +130 0 0 0 220
b 0 130 -130 300 10 +130 0 440
c +130 0 0 240 -130 100 340
total 150 200 300 250 100 1000
On obtient alors la nouvelle solutionde base :
A B C D E total
a 20 200 0 0 0 220
b 0 0 300 140 0 440
c 130 0 0 110 100 340
total 150 200 300 250 100 1000
Pour vous entrainer : les exercices corrigs 4 12
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3 Introduction des cots de transport
Reprenons lexemple qui nous a servi montrer la mthode du coin Nord Ouest. Tout dabord,on peut se demander combien cote la solution propose.
total
8 5 3 2 6a
150 70 0 0 0 2204 2 3 5 8
b
0 130 300 10 0 4405 4 2 6 7
c
0 0 0 240 100 340
total 150 200 300 250 100 1000
EA B C D
lignes de transportAa
Ba
Bb
Cb
Db
Dc
Ec
total
cot unitaire 8 5 2 3 5 6 7Quantits transportes 150 70 130 300 10 240 100Cot de la ligne 1200 350 260 900 50 1440 700 4900
Question 1 : quel intrt aurions-nous transporter une unit par la ligne Ab? Nous savons quecela entrainerait les modifications suivantes :
total
8 5 3 2 6a
150 -1 70 +1 2204 2 3 5 8
b+1 130 -1 300 10 440
5 4 2 6 7c
240 100 340
total 150 200 300 250 100 1000
D EA B C
Le gain dune telle opration serait :
lignes de transportAa
Ab
Ba
Bb
total
cot unitaire 8 4 5 2Quantits transportes -1 +1 +1 -1Cot de la ligne -8 +4 +5 -2 -1
Une telle opration serait profitable. On a intrt transporter le maximum de produits le longde cette ligne, cest dire 130 units pour obtenir le nouveau tableau :
8
-
total
8 5 3 2 6a
20 200 2204 2 3 5 8
b130 0 300 10 440
5 4 2 6 7c
240 100 340
total 150 200 300 250 100 1000
A B C D E
Normalement, on a fait baisser le cot de 130 units, ce que lon peut vrifier :
lignes de transportAa
Aa
Ba
Cb
Db
Dc
Ec
total
cot unitaire 8 4 5 3 5 6 7Quantits transportes 20 130 200 300 10 240 100Cot de la ligne 160 520 1000 900 50 1440 700 4770
On est bien pass dun cot de 4900 un cot de 4770 en ralisant un gain de 130.
Question 2 : Reprenons le tableau initial et essayons maintenant de transporter une unit dansla case Ea
total
8 5 3 2 6a
150 70 0 0 0 2204 2 3 5 8
b
0 130 300 10 0 4405 4 2 6 7
c
0 0 0 240 100 340
total 150 200 300 250 100 1000
EA B C D
. On obtient :
total
8 5 3 2 6a
150 70 -1 +1 2204 2 3 5 8
b130 +1 300 10 -1 440
5 4 2 6 7c
240 +1 100 -1 340
total 150 200 300 250 100 1000
EA B C D
9
-
Le gain dune telle opration est plus longue calculer :
lignes de transportBa
Bb
Db
Dc
Ea
Ec
total
cot unitaire 5 2 5 6 6 7Quantits transportes -1 +1 -1 +1 +1 -1Cot de la ligne -5 +2 -5 +6 +6 -7 -3
Ainsi on fait une baisse de cot de 3 units chaque fois quon transporte une unit dans laligne Ea. Cette opration est intressante et on peut la renouveler 10 fois comme nous lavons vuprcdemment. On gagnerait ainsi 3*10 = 30. On peut le vrifier sur le nouveau tableau obtenu :
total
8 5 3 2 6a
150 60 10 2204 2 3 5 8
b140 300 0 440
5 4 2 6 7c
250 90 340
total 150 200 300 250 100 1000
A B C D E
lignes de transportAa
Ba
Bb
Cb
Dc
Ea
Ec
total
cot unitaire 8 5 2 3 6 6 7Quantits transportes 150 60 140 300 250 10 90Cot de la ligne 1200 300 280 900 1500 60 630 4870
On a bien une baisse de cot de 30 par rapport la solution initiale.
Tout le problme est de calculer les gains associs chacune des lignes de transportinutilises. Heureusement, un individu gnial dont on a oubli le nom a eu lide suivante :
Quand on modifie les quantits transportes dune unit, les lignes de transport que lon bougesont toutes utilises sauf une seule. Par exemple, dans lexemple que nous venons juste de dvelopper,les lignes de tran,sport modifies sont :
lignes de transportBa
Bb
Db
Dc
Ea
Ec
total
cot unitaire 5 2 5 6 6 7Quantits transportes -1 +1 -1 +1 +1 -1Cot de la ligne -5 +2 -5 +6 +6 -7 -3
seule ligne Ea est "nouvelle", les autres sont anciennes.
Ce gnial inconnu sest dit quil ny a que 7 lignes de transport utilises dans une solution debase, alors quil y a 5 colonnes au tableau et 3 lignes. Il a imagin quil pouvait inventer 8 nombres(encore appels coecients) :
un pour chacune des colonnes que nous dsignons traditionnellement par la lettre v : il yaura donc les nombres vA, vB, vC , vD, et vE
10
-
un pour chacune des lignes que nous dsignons traditionellement par la lettre u : il y auradonc les nombres ua, ub, et uc
Ces nombres devront tre choisis de sorte que le cot unitaire dans une "case de transport"utilise par exemple la case de transport Aa sera gal la somme des coecients de la ligne a etde la colonne A :
rappelons le tableau initial :
total
8 5 3 2 6a
150 70 0 0 0 2204 2 3 5 8
b
0 130 300 10 0 4405 4 2 6 7
c
0 0 0 240 100 340
total 150 200 300 250 100 1000
EA B C D
les 7 cases de transport utilises sont :
AaBaBbCbDbDcEc
les nombres vA, vB, vC , vD, vE, ua, ub, et uc doivent donc tre tels que :
(1) Aa vA + ua = 8(2) Ba vB + ua = 5(3) Bb vB + ub = 2(4) Cb vC + ub = 3(5) Db vD + ub = 5(6) Dc vD + uc = 6(7) Ec vE + uc = 7
On a ici 7 quations 8 inconnues. On rsout et comme il y a une inconnue de trop, tradition-nellement, on dcide que ua est nulle
Ainsi, les quations (1) et (2)Aa vA + ua = 8Ba vB + ua = 5
donnent
vA = 8vB = 5
lquation (3)Bb vB + ub = 2 donne ub = 3
les quation (4) et (5) donneCb vC + ub = 3Db vD + ub = 5
donnent vC = 6 et vD = 8
11
-
lquation (6)Dc vD + uc = 6 donne uc = 2
et enfin lquation 7Ec vE + uc = 7 donne vE = 9
Vous voyez bien quon les trouve tous : on les reporte sur le tableau :
total8 5 6 8 9
0 8 5 3 2 6a
150 70 220-3 4 2 3 5 8
b 130 300 10 440
-2 5 4 2 6 7c
240 100 340
total 150 200 300 250 100 1000
D EA B C
Reprenons alors la Question 1 : quel intrt aurions-nous transporter une unit par laligne Ab? Nous savons que cela entrainerait les modifications suivantes :
total8 5 6 8 9
0 8 5 3 2 6a
150 -1 70 +1 220-3 4 2 3 5 8
b +1 130 -1 300 10 440
-2 5 4 2 6 7c
240 100 340
total 150 200 300 250 100 1000
A B C D E
remplaons alors les cots des cases de transport qui bougent par leur dcomposition en les uet le v :
Le gain dune telle opration serait :
cases de transportAa
Ab
Ba
Bb
total
dj utilises ? OUI NON OUI OUI
cot unitairevA+ua
4vB+ua
vB+ub
Quantits transportes -1 +1 +1 -1
Cot de la lignevA+ua
+4+vB++ua
vB+ub
+4 vA ub
Le cout de lopration qui consiste entrer une unit dans la case Ab vaut simplement le(Cout de Ab) (vA + ub) cest dire 4 (8 + (3)) = 1 cest ce que nous avions trouv.
12
-
Allons voir ce qui se passe sur la Question 2 quand on dcide de transporter une unitavec la case Ea : les modifications sont :
total8 5 6 8 9
0 8 5 3 2 6a
150 70 -1 +1 220-3 4 2 3 5 8
b 130 +1 300 10 -1 440
-2 5 4 2 6 7c
240 +1 100 -1 340
total 150 200 300 250 100 1000
A B C D E
lignes de transportBa
Bb
Db
Dc
Ea
Ec
total
cot unitairevB+ua
vB+ub
vD+ub
vD+uc
6vE+uc
Quantits transportes -1 +1 -1 +1 +1 -1
Cot de la lignevB+ua
+vB++ub
vD+ub
+vD++uc
+6vE+uc
+6 vE ua
Le cout de lopration qui consiste entrer une unit dans la case Ea vaut simplement le(Cout de Ea) (vE + ua) cest dire 6 (9 + 0) = 3 cest ce que nous avions trouv.
On utilise cette astuce diabolique pour complter le tableau : dans chaque case, on inscrit lasomme du coecient ligne et du coecient colonne :
total8 5 6 8 9
0 8 8 5 5 6 3 8 2 9 6a
150 70 220-3 5 4 2 2 3 3 5 5 6 8
b 130 300 10 440
-2 6 5 3 4 4 2 6 6 7 7c
240 100 340
total 150 200 300 250 100 1000
EA B C D
dans une case du tableau on a donc :
u + v cot5 5
70
quantit
13
-
On peut alors calculer lintrt dintroduire une unit supplmentaire dans une case en faisantlopration [cout (u+ v)] :
total8 5 6 8 9
0 8 0 8 5 0 5 6 -3 3 8 -6 2 9 -3 6a
150 70 220-3 5 -1 4 2 0 2 3 0 3 5 0 5 6 2 8
b 130 300 10 440
-2 6 -1 5 3 1 4 4 -2 2 6 0 6 7 0 7c
240 100 340
total 150 200 300 250 100 1000
A B C D E
chaque case ici la case Case comprend ainsi :
:u+v cot
6 -3 3
cot - (u+v)
Un peu de vocabulaire : en Economie, on appelle cot marginal le cot dune unit sup-plmentaire. Ce que nous venons de calculer ce sont simplement des cots marginaux.
pour vous entrainer au calcul des cots marginaux : Exercices corrigs 13 17
En fait dans les cases dj utilises comme par exemple la case Ba, le cot marginal est nul :rappelons quon essaye dutiliser une nouvelle case de trancport. Si une case non utilise a un cotmarginal ngatif, comme les cases CA (-3), Da(-6) Ea(-3) Ab(-1) Ac(-1) Cb(-2) on diminuera lecot en les utilisant. Pour les cases o le cot marginal est positif comme Eb (+2) on augmente lecot si on les utilise.
Pour rsoudre un problme de transport :
1) on donne une solution initiale par exemple en utilisant la mthode du coin Nord Ouest
2) on calcule les coecients u (pourleslignes) et v (pour les colonnes)
3) On met dans chaque case du tableau la somme du coecient ligne et du coecient colonne
4) On fait dans chaque case le calcul [Cout (u+ v)] On obtient ainsi les cots marginaux.
5) On regarde sil y a des cases o ce cot marginal est ngatif et on choisit de faire une unitesupplmentaire dans la case correspondant au cot marginal le plus ngatif.
6) On tablit une nouvelle solution de base et on recommence le point 2) pour les coes etc...
14
-
On sarrte quand tous les cots marginaux sont positifs : on a trouv la solution du problmede transport la moins coteuse.
Faisons un exemple et traitons notre problme :
1) on donne une solution initiale par exemple en utilisant la mthode du coin Nord Ouest
total
8 5 3 2 6a
150 70 0 0 0 2204 2 3 5 8
b
0 130 300 10 0 4405 4 2 6 7
c
0 0 0 240 100 340
total 150 200 300 250 100 1000
EA B C D
2) on calcule les coecients u (pourleslignes) et v (pour les colonnes)
total8 5 6 8 9
0 8 5 3 2 6a
150 70 220-3 4 2 3 5 8
b 130 300 10 440
-2 5 4 2 6 7c
240 100 340
total 150 200 300 250 100 1000
D EA B C
3) On met dans chaque case du tableau la somme du coecient ligne et du coecient colonne
total8 5 6 8 98 8 5 5 6 3 8 2 9 6
a 0150 70 220
5 4 2 2 3 3 5 5 6 8b -3
130 300 10 4406 5 3 4 4 2 6 6 7 7
c -2240 100 340
total 150 200 300 250 100 1000
EA B C D
15
-
4) On fait dans chaque case le calcul des cots marginaux par la formule [Cout (u+ v)]
total8 5 6 8 98 0 8 5 0 5 6 -3 3 8 -6 2 9 -3 6
a 0150 70 220
5 -1 4 2 0 2 3 0 3 5 0 5 6 2 8b -3
130 300 10 4406 -1 5 3 1 4 4 -2 2 6 0 6 7 0 7
c -2240 100 340
total 150 200 300 250 100 1000
A B C D E
5) On regarde sil y a des cases o ce cot marginal est ngatif et on choisit de faire une unitesupplmentaire dans la case correspondant au cot marginal le plus ngatif.
ici la case la plus ngative est la case Da. Les calculs quil faut faire sont :
total
8 5 3 2 6a
150 70 -1 +1 3504 2 3 5 8
b130 +1 300 10 -1 450
5 4 2 6 7c
240 100 200
total 80 180 280 130 330 1000
D EA B C
:6) On tablit une nouvelle solution de base et on recommence le point 2) : on donne ici le rsultat
des tapes (3) calcul des coecients et (4) calcul des cots marginaux.
total8 5 6 2 3
0 8 0 8 5 0 5 6 -3 3 2 0 2 3 3 6a
150 60 10 220-3 5 -1 4 2 0 2 3 0 3 -1 6 5 0 8 8
b140 300 0 440
4 12 -7 5 9 -5 4 10 -8 2 6 0 6 7 0 7c
240 100 340
total 150 200 300 250 100 1000
A B C D E
Il faut introduire la case Cc qui est celle qui a le cot marginal le plus ngatif
16
-
total
8 5 3 2 6a
150 60 -1 10 +1 2204 2 3 5 8
b140 +1 300 -1 440
5 4 2 6 7c
+1 240 -1 100 340
total 150 200 300 250 100 1000
EA B C D
On calcule la nouvelle solution et les cots marginaux :
total8 -3 -2 2 3
0 8 0 8 -3 8 5 -2 5 3 2 0 2 3 3 6a
150 0 70 2205 13 -9 4 2 0 2 3 0 3 7 -2 5 8 0 8
b200 240 440
4 12 -7 5 1 3 4 2 0 2 6 0 6 7 0 7c
60 180 100 340
total 150 200 300 250 100 1000
A B C D E
la case dont le cot marginal est le plus ngatif est la case Ab : ce qui conduit aux calculs :
total
8 5 3 2 6a
150 -1 0 70 +1 2204 2 3 5 8
b+1 200 240 -1 440
5 4 2 6 7c
60 +1 180 -1 100 340
total 150 200 300 250 100 1000
EA B C D
le nouveau tableau et ses cots marginaux est le suivant :
total-1 -3 -2 2 3
0 -1 9 8 -3 8 5 -2 5 3 2 0 2 3 3 6a
0 0 0 220 0 2205 4 0 4 2 0 2 3 0 3 7 -2 5 8 0 8
b150 200 90 0 0 440
4 3 2 5 1 3 4 2 0 2 6 0 6 7 0 7c
0 0 210 30 100 340
total 150 200 300 250 100 1000
A B C D E
17
-
Une seule case a un cot marginal ngatif, cest la case Db :
total
8 5 3 2 6a
0 0 0 220 0 2204 2 3 5 8
b150 200 90 -1 +1 0 440
5 4 2 6 7c
0 0 210 +1 30 -1 100 340
total 150 200 300 250 100 1000
EA B C D
le nouveau tableau et ses cots marginaux est le suivant :
total1 -1 0 2
0 1 7 8 -1 6 5 0 3 3 2 0 2 0 6 6a
0 0 0 220 0 2203 4 0 4 2 0 2 3 0 3 5 0 5 3 5 8
b150 200 60 30 0 440
2 3 2 5 1 3 4 2 0 2 4 2 6 2 5 7c
0 0 240 0 100 340
total 150 200 300 250 100 1000
A B C D E
Tous les cots marginaux sont positifs, nous avons la solution la moins coteuse. Le reste estaaire dentrainement.
Se posent dans la pratique deux problmes :
Le premier problme est facile rsoudre : cest le cas o les quantits dispnibles sontsuprieures aux quantits demandes, par exemple :
Magasins A B C D totalquantits demandes 110 230 340 250 950
Dpots a b c totalquantits disponibles 300 500 600 1400
avec les cots de transport suivants :
total
8 5 4 3a
3004 3 3 5
b500
6 4 1 6c
600
total 110 230 360 250
A B C D
18
-
Comme le total des quantits disponibles nest pas gal au total des quantits demandes, on nepeut pas appliquer le calcul prcdent. Dans ce cas, on rajoute un magasin fictif E qui "quilibre" le calcul. Le cot de transport de ce magasin fictif vers nimporte quel dpot est nul. Dire quelon transporte 50 units du dpot a vers le magasin fictif E cest simplement dire quon laissera 50units dans le dept a : la matrice sur laquelle on travaillera est la suivante :
Etotal
8 5 4 3 0a
3004 3 3 5 0
b500
6 4 1 6 0c
600
total 110 230 360 250 450 1400
A B C D
le second problme est plus compliqu : cest celui de la dgnrescence. Examinons parexemple le cas suivant
Magasins A B C D totalquantits demandes 100 200 300 250 850
Dpots a b c totalquantits disponibles 300 250 300 850
le tableau des donnes scrit :
total
8 5 4 3a
3004 3 3 5
b250
6 4 1 6c
300
total 100 200 300 250 850
A B C D
quand on applique la mthode du coin Nord Ouest :
19
-
total
8 5 4 3a
100 200 0 0 3004 3 3 5
b0 0 250 0 250
6 4 1 6c
0 0 50 250 300
total 100 200 300 250 850
A B C D
on a un problme car dans un problme 3 lignes et 4 colonnes, on devrait avoir 4 + 3 1 = 6case de transport utilises. Ici il ny en a que 5, car la somme des demandes des 2 premiers magasinsest exactement gale la quantit disponible dans le premier dpot. On ne peut plus appliquerles calculs prcdents. Les mthodes exactes pour sen sortir ? Il y en a. Mais les exposer ici nousentrainerait un peu loin. Si un tel cas vous arrive, je vous conseille de modifier legrement lesquantits disponibles dans les dpots, par exemple de 0,1 units pour travailler sur le tableau :
total
8 5 4 3a
300,24 3 3 5
b250,1
6 4 1 6c
299,7
total 100 200 300 250 850
A B C D
Le premier tableau des cots marginaux est :
total8 5 4 9
0 8 0 8 5 0 5 4 0 4 9 -6 3a
100 200 0,2 0 300,2-1 7 -3 4 4 -1 3 3 0 3 8 -3 5
b250,1 250,1
-3 5 1 6 2 2 4 1 0 1 6 0 6c
49,7 250 299,7
total 100 200 300 250 850
A B C D
Le cot marginal le plus ngatif est dans la case aD. Comme ici il y a de trs petits nombresdans des cases, on ne peut pas envisager des variations dune unit. On va dire quon modifie lescases de X units, X tant une quantit positive.
20
-
total
8 5 4 3a
100 200 0,2 -X 0 + X 300,24 3 3 5
b250,1 250,1
6 4 1 6c
49,7 +X 250 -X 299,7
total 100 200 300 250 850
A B C D
La valeur de X? videmment 0,2. Le nouveau tableau avec ses cots marginaux est :
total8 5 -2 3
0 8 0 8 5 0 5 -2 6 4 3 0 3a
100 200 0 0,2 300,23 11 -7 4 8 -5 3 1 2 3 6 -1 5
b250,1 250,1
3 11 -5 6 8 -4 4 1 0 1 6 0 6c
49,9 249,8 299,7
total 100 200 300 250 850
A B C D
La case bA est celle qui a le cot marginal le plus ngatif
total
8 5 4 3a
100 -X 200 0 0,2 +X 300,24 3 3 5
bX 250,1 -X 250,1
6 4 1 6c
49,9 +X 249,8 -X 299,7
total 100 200 300 250 850
A B C D
On prend videmment X = 100
21
-
total-1 5 -2 3
0 -1 9 8 5 0 5 -2 6 4 3 0 3a
0 200 0 100,2 300,25 4 0 4 10 -7 3 3 0 3 8 -3 5
b100 150,1 250,1
3 2 4 6 8 -4 4 1 0 1 6 0 6c
0 0 149,9 149,8 299,7
total 100 200 300 250 850
A B C D
au tour de la case bB
total
8 5 4 3a
0 200 -X 0 100,2 +X 300,24 3 3 5
b100 X 150,1 -X 0 250,1
6 4 1 6c
0 0 149,9 +X 149,8 -X 299,7
total 100 200 300 250 850
A B C D
X vaut videmment 149,8
total6 5 5 3
0 6 2 8 5 0 5 5 -1 4 3 0 3a
0 50,2 0 250 300,2-2 4 0 4 3 0 3 3 0 3 1 4 5
b100 149,8 0,3 0 250,1
-4 2 4 6 1 3 4 1 0 1 -1 7 6c
0 0 299,7 0 299,7
total 100 200 300 250 850
A B C D
il ny a quune seule case ngative, cest la case aC
22
-
total
8 5 4 3a
0 50,2 -X X 250 300,24 3 3 5
b100 149,8 +X 0,3 -X 0 250,1
6 4 1 6c
0 0 299,7 0 299,7
total 100 200 300 250 850
A B C D
On obtient un dernier tableau
total6 5 4 3
0 6 2 8 5 0 5 4 0 4 3 0 3a
0 49,9 0,3 250 300,2-2 4 0 4 3 0 3 2 1 3 1 4 5
b100 150,1 0 0 250,1
-3 3 3 6 2 2 4 1 0 1 0 6 6c
0 0 299,7 0 299,7
total 100 200 300 250 850
A B C D
tous les cots marginaux sont positifs, on est la solution du cot minimal pour le problmeperturb. Pour trouver la solution du vrai problme, on "arrondit" les nombres. On nest pas surdobtenir la solution optimale du problme initial, mais on en est souvent trs trs prs. :
total
8 5 4 3a
50 0 250 3004 3 3 5
b100 150 0 0 250
6 4 1 6c
0 0 300 0 300
total 100 200 300 250 850
A B C D
23
-
Exercices
1 Exercices sur la mthode du coin Nord-Ouest
Pour chacun des exercices suivants, on donne les quantits demandes par les magasins et lesquantits disponibles dans les dpots. Donnez la solution de base en application de la mthode du"coin Nord Ouest"
exercice 1 :
magasins A B C D totalquantitdsire
180 260 170 290 900
Dpots a b c totalquantitdisponible
305 208 387 900
exercice 2 :
magasins A B C D E totalquantitdsire
220 340 230 310 400 1500
Dpots a b c d totalquantitdisponible
506 307 228 459 1500
exercice 3 :
magasins A B C D E totalquantitdsire
140 260 280 210 110 1000
Dpots a b c d e totalquantitdisponible
207 248 129 194 222 1000
24
-
2 Exercices sur le passage dune solution de base une autre
Pour chacun des exercices 4 12, on donne un tableau reprsentant une solution de base. Onindique une nouvelle ligne de transport : donnez la nouvelle solution de base quand on introduitcette nouvelle ligne de transport.exercice 4 Introduisez la ligne aC
A B C D E total
a 0 0 0 10 150 160
b 180 120 210 0 0 510
c 0 0 30 300 0 330
total 180 120 240 310 150 1000
exercice 5 Introduisez la ligne cB
A B C D E total
a 0 0 0 10 150 160
b 180 120 210 0 0 510
c 0 0 30 300 0 330
total 180 120 240 310 150 1000
exercice 6 Introduisez la ligne cA
A B C D E total
a 0 0 90 0 70 160
b 200 50 260 0 0 510
c 0 0 0 300 30 330
total 200 50 350 300 100 1000
25
-
exercice 7 Introduisez la ligne aD
A B C D E total
a 0 0 90 0 70 160
b 200 50 260 0 0 510
c 0 0 0 300 30 330
total 200 50 350 300 100 1000
exercice 8 Introduisez la ligne cB
A B C D total
a 180 120 0 0 300
b 0 110 240 50 400
c 0 0 0 300 300
total 180 230 240 350 1000
exercice 9 Introduisez la ligne cA
A B C D total
a 180 120 0 0 300
b 0 110 240 50 400
c 0 0 0 300 300
total 180 230 240 350 1000
26
-
exercice 10 Introduisez la ligne cB
A B C D total
a 110 240 0 0 350
b 110 0 110 230 450
c 0 0 200 0 200
total 220 240 310 230 1000
exercice 11 Introduisez la ligne cD
A B C D total
a 110 240 0 0 350
b 110 0 110 230 450
c 0 0 200 0 200
total 220 240 310 230 1000
exercice 12 Introduisez la ligne aC
A B C D total
a 0 0 0 160 160
b 180 110 0 0 290
c 0 160 170 0 330
d 0 0 70 150 220
total 180 270 240 310 1000
27
-
3 Exercices sur le calcul des cots marginaux
Pour chacun des exercices 13 17, calculer les coecients u et v ainsi que les cots marginauxdes direntes cases de transport.
exercice 131) les cots de transport
A B C D Ea 8 5 2 2 6b 4 2 3 5 8c 5 4 2 6 7
2) la solution de base
A B C D E total
a 0 0 0 10 150 160
b 180 120 210 0 0 510
c 0 0 30 300 0 330
total 180 120 240 310 150 1000
exercice 14
1) les cots de transport
A B C D Ea 8 5 2 2 6b 4 2 3 5 8c 5 4 2 6 7
2) la solution de base
A B C D E total
a 0 0 90 0 70 160
b 200 50 260 0 0 510
c 0 0 0 300 30 330
total 200 50 350 300 100 1000
28
-
exercice 15
1) les cots de transport
A B C Da 8 5 2 2b 4 2 3 5c 5 4 2 6
2) la solution de base
A B C D total
a 180 120 0 0 300
b 0 110 240 50 400
c 0 0 0 300 300
total 180 230 240 350 1000
exercice 16
1) les cots de transport
A B C Da 8 5 2 2b 4 2 3 5c 5 4 2 6
2) la solution de base
A B C D total
a 110 240 0 0 350
b 110 0 110 230 450
c 0 0 200 0 200
total 220 240 310 230 1000
29
-
exercice 17
1) les cots de transport
A B C Da 8 5 2 2b 4 2 3 5c 5 4 2 6d 5 5 5 5
2) la solution de base
A B C D total
a 0 0 0 160 160
b 180 110 0 0 290
c 0 160 170 0 330
d 0 0 70 150 220
total 180 270 240 310 1000
30
-
Corrigs des Exercices
exercice 1
A B C D total
a 180 125 0 0 305
b 0 135 73 0 208
c 0 0 97 290 387
total 180 260 170 290 900
exercice 2
A B C D E total
a 220 286 0 0 0 506
b 0 54 230 23 0 307
c 0 0 0 228 0 228
d 0 0 0 59 400 459
total 220 340 230 310 400 1500
exercice 3
A B C D E total
a 140 67 0 0 0 207
b 0 193 55 0 0 248
c 0 0 129 0 0 129
d 0 0 96 98 0 194
e 0 0 0 112 110 222
total 140 260 280 210 110 1000
31
-
exercice 4
A B C D E total
a 0 0 +1 10 -1 150 160
b 180 120 210 0 0 510
c 0 0 30 -1 300 +1 0 330
total 180 120 240 310 150 1000
A B C D E total
a 0 0 10 0 150 160
b 180 120 210 0 0 510
c 0 0 20 310 0 330
total 180 120 240 310 150 1000
exercice 5
A B C D E total
a 0 0 0 10 150 160
b 180 120 -1 210 +1 0 0 510
c 0 +1 30 -1 300 0 330
total 180 120 240 310 150 1000
A B C D E total
a 0 0 0 10 150 160
b 180 90 240 0 0 510
c 0 30 0 300 0 330
total 180 120 240 310 150 1000
exercice 6
A B C D E total
a 0 0 90 -1 0 70 +1 160
b 200 -1 50 260 +1 0 0 510
c +1 0 0 300 30 -1 330
total 200 50 350 300 100 1000
A B C D E total
a 0 0 60 0 100 160
b 170 50 290 0 0 510
c 30 0 0 300 0 330
total 200 50 350 300 100 1000
exercice 7
A B C D E total
a 0 0 90 +1 70 -1 160
b 200 50 260 0 0 510
c 0 0 0 300 -1 30 +1 330
total 200 50 350 300 100 1000
A B C D E total
a 0 0 90 70 0 160
b 200 50 260 0 0 510
c 0 0 0 230 100 330
total 200 50 350 300 100 1000
32
-
exercice 8
A B C D total
a 180 120 0 0 300
b 0 110 -1 240 50 +1 400
c 0 +1 0 300 -1 300
total 180 230 240 350 1000
A B C D total
a 180 120 0 0 300
b 0 0 240 160 400
c 0 110 0 190 300
total 180 230 240 350 1000
exercice 9
A B C D total
a 180 -1 120 +1 0 0 300
b 0 110 -1 240 50 +1 400
c +1 0 0 300 -1 300
total 180 230 240 350 1000
A B C D total
a 70 190 0 0 300
b 0 0 240 120 400
c 110 0 0 190 300
total 180 230 240 350 1000
exercice 10
A B C D total
a 110 +1 240 -1 0 0 350
b 110 -1 0 110 +1 230 450
c 0 +1 200 -1 0 200
total 220 240 310 230 1000
A B C D total
a 220 130 0 0 350
b 0 0 220 230 450
c 0 110 90 0 200
total 220 240 310 230 1000
exercice 11
A B C D total
a 110 240 0 0 350
b 110 0 110 +1 230 -1 450
c 0 0 200 -1 +1 200
total 220 240 310 230 1000
A B C D total
a 110 240 0 0 350
b 110 0 310 30 450
c 0 0 0 200 200
total 220 240 310 230 1000
33
-
exercice 12
A B C D total
a 0 0 +1 160 -1 160
b 180 110 0 0 290
c 0 160 170 0 330
d 0 0 70 -1 150 +1 220
total 180 270 240 310 1000
A B C D total
a 0 0 70 90 160
b 180 110 0 0 290
c 0 160 170 0 330
d 0 0 0 220 220
total 180 270 240 310 1000
34
-
exercice 13
total-1 -3 -2 2 6
0 -1 9 8 -3 8 5 -2 5 3 2 0 2 6 0 6a
0 0 0 10 150 1605 4 0 4 2 0 2 3 0 3 7 -2 5 11 -3 8
b180 120 210 0 0 510
4 3 2 5 1 3 4 2 0 2 6 0 6 10 -3 7c
0 0 30 300 0 330
total 180 120 240 310 150 1000
EA B C D
exercice 14
total4 2 3 6
0 4 4 8 2 3 5 3 0 3 0 2 2 6 0 6a
0 0 90 0 70 1600 4 0 4 2 0 2 3 0 3 0 5 5 6 2 8
b200 50 260 0 0 510
1 5 0 5 3 1 4 4 -2 2 1 5 6 7 0 7c
0 0 0 300 100 330
total 200 50 350 300 100 1000
EA B C D
exercice 15
total8 5 3 8
0 8 0 8 5 0 5 3 0 3 8 -6 2a
180 120 0 0 300-3 5 -1 4 2 0 2 0 3 3 5 0 5
b0 110 240 50 400
-2 6 -1 5 3 1 4 1 1 2 6 0 6c
0 0 0 300 300
total 180 230 240 350 1000
A B C D
35
-
exercice 16
total8 5 7 9
0 8 0 8 5 0 5 7 -4 3 9 -7 2a
110 240 0 0 350-4 4 0 4 1 1 2 3 0 3 5 0 5
b110 0 110 230 450
-5 3 2 5 0 4 4 2 0 2 4 2 6c
0 0 200 0 200
total 220 240 310 230 1000
A B C D
exercice 17
total6 4 2 2
0 6 2 8 4 1 5 2 1 3 2 0 2a
0 0 0 160 160-2 4 0 4 2 0 2 0 3 3 0 5 5
b180 110 0 0 290
0 6 -1 5 4 0 4 2 0 2 2 4 6c
0 160 170 0 3303 9 -4 5 7 -2 5 5 0 5 5 0 5
d0 0 70 150 220
total 180 270 240 310 1000
A B C D
36
