1

De l'importance des vergers en Normandie.

L'conomie cidricole constitue traditionnellement l'un des symboles les plus forts de la Normandie au mme titre que l'industrie laitire qui ont tous deux contribu, jadis, sa richesse et sa renomme. Cette activit qui a contribu et qui contribue toujours forger l'image de notre rgion ( l'exemple de la pomme mise en avant dans les logotypes de nombre d'institutions ou encore du clich du pr-verger sous lequel paissent des vaches normandes utilis en termes de promotion) associe aujourd'hui tradition et modernit.

Certaines sources soutiennent que les vritables racines de la vocation cidricole de la Normandie remonteraient au XIme sicle lorsque furent introduites des varits nouvelles (la production fruitire du pommier ne se fait que par inter-fcondation et conduit la ncessit d'introduire dans les vergers des varits pollinisatrices.) sur le littoral Coutanais, apportes par la mer depuis l'Espagne, prcisment du Pays Basque grce au trafic maritime assez dvelopp qui existait alors.

Au cours du XIIme sicle, on voque par exemple le prlvement dune dme sur le cidre par les Chanoines de Saint-vroult dans le Pays dOuche. Mais lapparition des premires presses que certains situent au cours du sicle suivant va bouleverser les pratiques. Laction des moines aurait, partir de cette priode, t dterminante dans le dveloppement de la culture de pommiers, voire de leur slection (les techniques de greffage taient en effet connues des Romains). Notons dans le mme temps que c'est au cours des XIme et XIIme sicles que les vignobles normands acquirent leur plus haut degr de prosprit.

On considre le XVIme comme celui de lamlioration des techniques de pressurage et la slection des varits vont vritablement permettre au cidre de se dvelopper. Dans son trait "De Vino et pomaco", celui qui est considr comme le pre de la pomologie cidricole

2

au nom prdestin de Julien LE PAULMIER recense, en 1588, 82 varits et dsigne le Cotentin (son territoire natal) comme le berceau des varits de fruits cidre. Cet ouvrage qui contribua faire connatre le sidre et lui donner la place qui lui revient loua dj l'poque ses vertus mdicinales.

De l, la culture du pommier s'tend, gagnant une grande partie de la Normandie et de la Bretagne au XVIIme tandis que, progressivement, le cidre supplante peu peu la cervoise, boisson alors populaire dans lOuest. Il bnficiera de surcrot des priodes de disettes qui portrent atteinte cette boisson avec l'interdiction d'laborer des breuvages base de crales. Le cidre va peu peu acqurir ses lettres de noblesse et figurera dsormais sur toutes les bonnes tables de la Noblesse et du Clerg. la veille de la Rvolution de 1789, la plupart des couvents et abbayes disposaient dun pressoir et bien sr de vergers.

En 1758, Charles-Gabriel PORE, chanoine Caen, inaugure un premier classement mthodique des pommes en fonction de leur floraison et de leur rcolte. Des socits d'agriculture, cres cette poque, instituent des prix pour encourager la culture du pommier pour la fabrication du cidre et contribuent ainsi, pour une grande part, aux progrs raliss.

Lessor du verger pommiers et poiriers en Normandie entre les XVIIme et XIXme sicles accompagne le processus de mise en herbe et le dveloppement de llevage. Au modle de plantations d'arbres fruitiers proximit des habitations ou autour voire l'intrieur des surfaces laboures, se substitue peu peu celui de la pture complante de pommiers et poiriers (le pr-verger) qui ds lors s'impose sur l'ensemble de la Normandie (en dehors des zones de labours o, toutefois, des fruitiers

cidre taient prsents).

Paralllement, le cidre et le poir bnficient par ailleurs cette poque du dernier et fatal recul de la vigne, victime notamment de maladies comme lodium, le mildiou ou le phylloxra.

L'activit cidricole repose dsormais sur la production de boissons pour les besoins familiaux et pour la vente vers les villes rgionales et Paris que lamlioration des communications rapproche de la Normandie. Du fait de sa proximit avec le march parisien, le Pays dAuge (premier territoire producteur de calvados et premier exportateur de cidre) sera lun des principaux pourvoyeurs de la capitale. Il s'tablit ainsi une vritable conomie cidricole.

Un modle-type de l'exploitation agricole va s'imposer ainsi -du moins pour les plus importantes- avec la construction de btiments et d'quipements ddis tels que le grenier pommes, le tour broyer, le pressoir, parfois mme la "bouillerie" o prenait place l'alambic distiller l'eau-de-vie et le cellier.

3

partir de la seconde moiti du XIXme sicle (Au dbut du XIXme sicle, on recense 300 varits de pommiers cidre.), les notables se proccupent de "sciences naturelles" : l'intrt pour la culture du pommier et la slection varitale suscite la cration de nombreuses socits pomologiques (La premire association pomologique est cre Rouen en 1852) et l'on ne compte plus l'poque les crits, articles, confrences, expositions et autres travaux sur ce sujet. Ce travail prolifique sur la slection des varits et la diffusion de greffons favorise l'amlioration de la qualit des cidres,

Selon certaines sources, loccupation du verger cidricole va quadrupler en 30 ans pour rpondre l'augmentation rapide de la consommation, notamment en dehors de la Normandie. Ainsi, la revue "Cidre et Poir" estime la consommation du cidre Paris 56 300 hectolitres en 1879, 117 100 hl en 1882 et 300 000 hl en 1886.

Paris, le cidre remplace incontestablement le vin. Au dbut du XXme sicle, la profession prconise alors de nouvelles plantations de pommiers et une rglementation rigoureuse pour contrler la qualit des produits. Si la fabrication du cidre reste essentiellement localise dans les rgions o l'on rcolte les

pommes, des cidreries vont s'installer prs des grandes villes. la Belle poque, on recensait prs d'une distillerie par canton ! Plus prcisment, la Basse-Normandie comptera une cinquantaine de cidreries-distilleries au dbut du XXme et 70 en 1914. L'apparition de nouvelles techniques comme la centrifugation, la filtration va permettre de fabriquer un cidre plus stable. La transformation industrielle tire alors partie de ces procds et concentre les efforts du moment dans ce domaine.

Au XXme sicle, les prparatifs de la premire guerre mondiale vont la fois doper artificiellement et fragiliser la production cidricole franaise. Le gouvernement rquisitionne les pommiers. Il compte en effet sur les vergers pour subvenir aux besoins en alcool de l'industrie et de l'armement. Ainsi, les alcools d'tat en

vue de la fabrication d'explosifs vont susciter une orientation du verger et un fort dveloppement des plantations.

En 1929, on recense 51,7 millions d'arbres sur toute la zone cidricole dont 13,7 pour la Basse-Normandie. Jusqu'en 1950, les alcools d'tat ont contribu plus de 50% des dbouchs de la filire. Il faut reconnatre que les prix pratiqus alors vont encourager les producteurs vendre leurs fruits aux distilleries, ce qui aura pour consquence une diminution rgulire de la transformation fermire. Sur le plan de la consommation, la guerre 1914-1918 va cependant avoir comme consquence une premire

4

dsaffection du cidre en qualit de boisson ; dans les tranches, les poilus ont pris got au vin qui tait en outre plus transportable que le cidre. Par ailleurs, on dplore un manque flagrant d'organisation de la profession qui ne va pas pouvoir rsister au "retour" du vin. Cet tat de fait a eu des consquences dramatiques en termes de production. Par exemple, tous les travaux de recherches sur le matriel vgtal, les pratiques culturales ont t suspendus. En d'autres termes, la slection des varits planter importaient peu dans la mesure o l'tat assurait le dbouch, quelle que soit la qualit du produit ! Cette stratgie aura des consquences lourdes sur l'avenir de la filire.

Aprs le deuxime conflit mondial, de nombreux producteurs indpendants, dcourags, vont par consquent disparatre et le dclin de la production cidricole franaise est alors engag. Pourtant un territoire comme le Pays d'Auge produit un tiers des fruits de pressoirs du dpartement et des cidreries et distilleries continueront s'y installer jusqu'en 1949 (on en compte alors 29).

En 1953, le gouvernement franais inaugure par dcret une politique d'arrachage des pommiers et, en 1956, il cesse toute politique de soutien aux producteurs avec l'abandon progressif des quotas d'tat. Le remembrement, l'exode rural et le changement des modes de vie vont sonner le glas d'une production fermire traditionnelle.

La rgression du verger va mme s'intensifier en raison de la radaptation du modle de production agricole au dbut des annes 70 avec la spcialisation laitire des exploitations, la mcanisation et la transformation des terres en labours au profit des cultures de mas. Ainsi, les statistiques du Ministre de l'Agriculture montrent que le rapport entre les superficies toujours en herbe et la superficie agricole utilise est pass de 80% en 1970 54,7% en 1998 ! Dans le mme temps, la crainte d'une crise des approvisionnements va, ds le milieu des annes 70, inciter les professionnels relancer la production par la plantation de vergers basses tiges plus rapidement productifs et rentabilisables dans le temps. Des aides publiques interviennent en ce sens ds 1978.

L'abandon du verger traditionnel est l'poque, pour bon nombre de spcialistes, inluctable. En ralit, la mobilisation de producteurs fermiers dans les annes 80 et 90, le souci de sauvegarder les paysages et le dveloppement croissant de l'agrotourisme vont faire prendre conscience de la ncessit d'aider, aux cts d'un mode intensif (ou spcialis), un systme de production plus traditionnel.

Source : LA FILIERE CIDRICOLE EN BASSE-NORMANDIE, rapport prsent au Conseil conomique et Social Rgional de Basse-Normandie par Jean-Marie MEULLE, juin 2002.

5

Volume d'un tonneau

De tour temps, dterminer le volume d'un tonneau a pos des problmes. Une mthode simple, mais contraignante, consiste verser des seaux dont on contrait la contenance et compter combien on peut en verser (mesure par dpotement). Les tonneaux ont des formes trop varies pour qu'une mme formule puisse convenir tous les cas. De plus, un tonneau donn ne garde pas son volume initial puisqu'il peut subir plusieurs reprises le rabattage, c'est--dire que les cercles sont provisoirement enlevs afin de resserrer les douves. Mais il est nanmoins plus simple d'utiliser une formule qui exprimerait le volume V d'un tonneau en fonction des trois dimensions indiques sur le schma ci-dessous :

la hauteur h du tonneau (distance entre les deux fonds), son diamtre maximum D et son diamtre minimum d.

On peut ngliger l'paisseur ainsi que les irrgularits ventuelles de la paroi du tonneau : on considre que les bases infrieures et suprieures sont identiques et que la section de diamtre D (appele bouge du tonneau) est situe mi-hauteur du tonneau. Il existe plusieurs mthodes pour jauger un tonneau, c'est--dire en mesurer la capacit.

1) Approximation par un cylindre On peut assimiler un tonneau un cylindre qui aurait pour hauteur la longueur intrieure du tonneau et pour diamtre un diamtre intermdiaire entre le diamtre la bonde (diamtre du bouge) et le diamtre des fonds. On convient que ce diamtre intermdiaire est gal au diamtre des fonds augment des 5/8 de la diffrence entre le diamtre du bouge et celui des fonds.

Exprimer alors le volume obtenu.

D'autres ouvrages voquent 2/3 au lieu de 5/8.

2) Johannes Kepler (mathmaticien et astronome 1571-1630) a tabli la formule suivante pour calculer une valeur approche V du volume d'un tonneau :

V =13 hauteur (aire de la base infrieure + 2aire de la base moyenne)

Montrer que V = pih12(d2 + 2D2).

d

h

D

6

3) Dans un manuel de 1865, on indique comment calculer une valeur approche V du volume d'un tonneau (formule de l'An VII) :

doubler le diamtre du bouge et ce double-diamtre, ajouter le diamtre commun des fonds ;

divisez la somme obtenue par 6 et faire le carr du quotient ; multiplier ce carr par pi ; multiplier ce dernier produit par la hauteur du tonneau.

Montrer que V = pih36(d + 2D)2.

Montrer que l'on retrouve l'approximation par un cylindre avec le paramtre 2/3.

La formule de l'an VII donnant une approximation lgrement trop grande que celle attendue, on l'a modifie en remplaant 2/3 par 0,56. On obtient alors la formule des octrois de Paris :

V = pih4 ( )d + 0,56(D - d)2

4) D'autres formules permettent de calculer des valeurs approches du volume d'un tonneau :

V = pih16(d + D)2. Formule de Beziers.

V = pih256(3d + 5D)2. Formule de Dez (professeur de

mathmatiques l'Ecole Royale Militaire vers 1778). V = pih12(d

2 + 2D2). Formule de Oughtred

(mathmaticien anglais 1574-1660)

5) Pour cette question uniquement, on considre que le tonneau est constitu de deux troncs de cnes identique juxtaposs de hauteur h2 et de rayons de bases

d2 et

D2.

Montrer que le volume V du tonneau ainsi dfini est donn par :

V = pih12(d2 + dD + D2).

7

6) Pour cette question uniquement, on suppose que d = D = 2R.

Quelle est la forme du tonneau dans ce cas ? Vrifier que les formules prcdentes fournissent le rsultat attendu concernant le volume de ce tonneau.

7) Raliser une feuille de calcul d'un tableur permettant de calculer les volumes approchs par toutes les formules prcdentes connaissant d, D et h. Comparer aux volumes fournis par le fabricant de tonneaux (Tonnellerie Berger et Fils) en calculant l'erreur commise en pourcentage.

Contenance (en l) 28 56 112 225 300 400 450 500 Hauteur (en cm) 50 62,5 75 94 99 105 110 110 Diamtre des fonds en cm) 30 36 44 55,5 63 70 77 77 Diamtre de bouge (en cm) 36 44 55 69 77 86 86 93 Epaisseur des douelles (en mm) 21 21 21 21 26 26 26 26 Poids (en kg) 13 18 21 41 56 65 73 80

Sachant que la masse m de cidre contenu dans le tonneau est donne par la relation m = V o = 1083 kg/m3 est la masse volumique de cidre, V est exprim en m3 et m en kg. Calculer la masse M 1 kg prs du tonneau plein.

8) Les employs d'octroi, douaniers, marchands de vin, avaient un moyen plus empirique et rapide d'valuer le volume d'un tonneau. On introduisait une tige par le trou de bonde de faon toucher le point le plus bas de l'un des fonds. On note l la distance obtenue entre ces deux points. On a alors : V = 0,605l 3 ou V = 0,525l 3

On pouvait alors construire directement sur la tige l'approximation du volume correspondant. Cette tige gradues tait appele jauge ou velte.

Dans La cidrerie moderne ou l'art de faire du bon cidre par G. Jacquemin et H. Alliot de 1902, on peut en effet lire la correspondance entre la longueur de cette tige et l'approximation du volume

8

Utiliser le tableur pour vrifier si l'approximation V = 0,605l 3 ou V = 0,525l 3 est acceptable. Faire varier le paramtre 0,605 , 0,525 , afin d'amliorer cette relation.

9

Transport et Stockage des pommes et du cidre

I) Citerne cylindrique Un fabricant de cidre transporte son cidre dans une tonne (citerne cylindrique pose horizontalement plat comme indiqu sur la figure ci-contre). - diamtre du disque latral : 1,60 m - longueur de la cuve : 5 m Pour savoir combien de litres de cidre il lui reste dans sa tonne, ce fabricant y plonge verticalement une jauge pour mesurer la hauteur de cidre qui sy trouve. 1) Quelle quantit de cidre peut-il transporter avec cette tonne ? (arrondir au litre le plus proche) 2) De quelle quantit de cidre dispose-t-il lorsque sa jauge lui indique une hauteur de 1,20m ? de 1m ? de 50 cm ? de 30 cm ? 3) Aidez ce fabricant de cidre en lui fabriquant une jauge talonne tous les 5 cm o vous indiquerez en face le nombre de litres de cidre correspondant 4) Dans un repre cartsien du plan construire une reprsentation graphique en mettant le volume en litres en ordonne et la hauteur lue sur la jauge en abscisse.

II) Diffrentes formules pour valuer le volume des tonneaux 1) Traditionnellement, on rcoltait les pommes dans de grands baquets de bois appels comportes ou encore ballonges, sorte de demi-tonneau section en forme dellipse. Tout aussi traditionnellement, pour valuer des volumes comme celui dun tonneau, dun tas de sable, etc., on utilisait la formule dite des trois niveaux savoir :

V = h6 ( )Ai + 4Am + As

o h reprsente la hauteur, Ai laire infrieure, As laire suprieure et Am laire mi-hauteur.

Pour valuer le volume dune ballonge laide de cette formule "des trois niveaux, commencer par trouver comment calculer laire de la surface dlimite par une ellipse dans la partie suivante.

10

Du cercle lellipse La figure ci-dessous reprsente un disque de rayon b inscrit dans un carr qui lui est tangent en quatre points deux deux diamtralement opposs.

Compltez, en fonction du rayon b :

Aire du carr : KA =

Aire du disque : DA =

Rapport : D

K

AA

=

On a reprsent ci-dessous une figure identique la prcdente. En tirant cette figure vers la droite lendroit indiqu par la flche, vous allez obtenir une ellipse inscrite dans un rectangle de largeur 2b et de longueur que vous noterez 2a ! On dit que 2a est le grand axe de cette ellipse et que 2b en est le petit axe.

Donnez, en fonction de a et b, laire du rectangle obtenu : RA = . Si lon dsigne par EA laire dlimite par lellipse ainsi obtenue et si lon admet bien volontiers que le

rapport entre les aires est rest inchang par la transformation effectue, cest--dire que D E

K R

A AA A

= , en

dduire laire EA en fonction de a et b :

EA =

b

b

b

a

11

Vous devez pouvoir maintenant valuer en litres le volume de la ballonge schmatise ci-contre (les cotes sont en cm).

2) valuez de mme en litres le volume du tonneau section elliptique schmatis ci-dessous (les cotes sont en cm)

12

3) Dans certains manuels, on peut trouver la formule suivante donnant le calcul exact du volume des tonneaux section elliptique dans le cas particulier o la courbe latrale du tonneau est un morceau de parabole :

V = piH15 ( )3ab + 2aB + 2bA + 8AB a) Calculez en litres le volume du tonneau de la question prcdente avec cette formule. Que pensez-vous de lvaluation donne par formule "des trois niveaux" ? b) Que devient cette formule pour des tonneaux section circulaire ? Vous noterez r le rayon du fond du tonneau et R le rayon mi-hauteur. c) Exprimez de mme la formule "des trois niveaux" pour des tonneaux section circulaire (prendre les mmes notations qu la question b).

13

Une modlisation du comportement des changes air/cidre l'intrieur du fut

L'espace de tte form l'intrieur du ft permet un change entre l'air et le cidre et provoque une fermentation trop rapide qui est nfaste la qualit du cidre obtenu. Pendant la fermentation, la levure a deux choix. Si elle a de l'oxygne disponible, elle pourra se reproduire trs rapidement (elle double toutes les 3 heures). S'il y a seulement de l'oxygne en quantit limite, elle se tournera vers la production d'thanol et d'autres produits. Cet espace de tte peut tre modlis par un cne, la base de ce cne tant une ellipse qui est le lieu de contact entre le cidre et l'air.

Examinons le comportement de cette surface en fonction de la hauteur H qui manque pour remplir ce ft.

On suppose que le ft est section circulaire dont le diamtre de bouge est D et le diamtre des fonds est d ainsi que la hauteur du ft h comme sur la figure ci-dessous .

d

h

D

14

Du cercle lellipse La figure ci-dessous reprsente un disque de rayon b inscrit dans un carr qui lui est tangent en quatre points deux deux diamtralement opposs.

Compltez, en fonction du rayon b :

Aire du carr : KA =

Aire du disque : DA =

Rapport : D

K

AA

=

On a reprsent ci-dessous une figure identique la prcdente. En tirant cette figure vers la droite lendroit indiqu par la flche, vous allez obtenir une ellipse inscrite dans un rectangle de largeur 2b et de longueur que vous noterez 2a ! On dit que 2a est le grand axe de cette ellipse et que 2b en est le petit axe.

Donnez, en fonction de a et b, laire du rectangle obtenu : RA = . Si lon dsigne par EA laire dlimite par lellipse ainsi obtenue et si lon admet bien volontiers que le

rapport entre les aires est rest inchang par la transformation effectue, cest--dire que D E

K R

A AA A

= , en

dduire laire EA en fonction de a et b :

EA =

b

b

b

a

15

L'ellipse prcdente est dfinie par les valeurs de a et b (respectivement demi-grand axe et demi-petit axe).

Dtermination de a Deux modlisations sont possibles dans la cas de la vue en long du ft. La courbe dcrite par les douelles peut tre assimile un arc de parabole ou bien deux segments.

1er cas : la courbe dcrite par les douelles est un arc de parabole :

On peut supposer que la courbe suprieure du tonneau ci-dessus dcrit un arc de parabole dans un repre dont l'origine serait le point le "plus haut". Vous montrerez pendant cette anne de seconde qu'une quation de cette parabole est de la forme y = px2 avec p < 0 ici.

En utilisant d1 et d2 et sachant que les extrmits des douelles se trouvent sur cette parabole, dterminer la valeur de p. En dduire la valeur de a en fonction de d1, d2 et H.

2me cas : La courbe dcrite par les douelles est la runion de deux segments :

Dterminer dans ce cas la valeur de a en fonction de d1, d2 et H.

a H d2

d1

a d2

d1

H

16

Dtermination de b

Reprendre la vue en travers ci-contre d'un tonneau au niveau de la bonde et dterminer une valeur de b en fonction des donnes du problme.

Normalement, la hauteur H est au maximum de quelques centimtres. Reprsenter grce au tableur, l'volution de la surface de contact air/cidre dans les deux cas de valeurs pour a, pour H compris entre 0 et 5 cm. Vous considrerez pour cela un ft de 300 l dont les caractristiques sont les suivantes : Hauteur : h = 99 cm ; Diamtre de tte : d = 63 cm ; Diamtre de bouge : D = 77 cm.

Etude du volume de cidre manquant Dans le cadre du tonneau dcrit ci-dessus, exprimer les valeurs possibles de H, hauteur du niveau manquant dans le ft (les douelles ont une paisseur de 2,6 cm). Quelles sont les valeurs possibles de H correspondant l'approximation du volume intrieur du ft par un cne de base elliptique (espace de tte) ? A l'aide du tableur, visualiser la variation de volume de cet espace de tte suivant les valeurs possibles de H (vous considrerez les deux types de modlisation).

Pour savoir combien de litres de cidre il lui reste dans son tonneau, un fabricant fixe verticalement une jauge devant le tonneau pour mesurer la hauteur de cidre qui sy trouve comme sur l'image ci-dessous.

De quelle quantit de cidre dispose-t-il lorsque sa jauge lui indique une hauteur de 96,4 cm ? de 93 cm ? de 30 cm ? Aidez ce fabricant de cidre en lui fabriquant une jauge talonne tous les 5 cm o vous indiquerez en face le nombre de litres de cidre correspondant Dans un repre cartsien du plan construire une reprsentation graphique en mettant le volume en litres en ordonne et la hauteur lue sur la jauge en abscisse.

source : Lettre n20 de Vins et Bois, spcial volume des fts et oxydation, Sguin-Moreau.

17

Autour de la plantation des pommiers

Le verger normand des pommiers (plus de 4 millions) cidre revt aujourd'hui deux visages :

Les vergers Haute-tige, dits traditionnels : Ces vergers sont depuis le XIXme sicle associs llevage. Les vergers Haute-tige commencent produire entre la 6me et la 10me anne, cest--dire plus tardivement que les vergers Basse-tige . Ils ont cependant une dure de vie plus longue que les basse-tiges : 40 70 ans. Ces pommiers restent le symbole de la Normandie. La forme traditionnelle du pr plant correspondant au paysage normand par excellence o les vaches paissent sous les pommiers hautes tiges. Une densit de plantation maximale de 250 arbres par hectare pour un rendement moyen maximum de 25 tonnes de pommes cidre.

Verger traditionnel haute tige

Concernant la plantation en plein, ce mode de plantation peut se faire en suivant trois dispositifs diffrents: en carr, en triangle quilatral et en quinconce comme il est dcrit dans La cidrerie moderne ou l'art de faire du bon cidre par G. Jacquemin et H. Alliot, Malzville-Nancy, 1902.

La plantation en quinconce est-elle vritablement diffrente de celle en carr ?

18

Pourtant, l'auteur fait remarquer que la plantation en quinconce est de beaucoup suprieure la plantation en carr lorsque l'on veut mettre le plus d'arbres possible dans un espace donn. Il ajoute le tableau ci-dessous qui prsente la densit l'hectare des pommiers plants dans les deux cas :

Distance entre les arbres Carr Quinconce 8 mtres 144 168 10 mtres 100 110 12 mtres 64 72 15 mtres 36 42 18 mtres 25 30 20 mtres 25 25

Vrifier, l'aide d'une feuille de calcul ou de tout autre moyen, les rsultats obtenus par l'auteur. Que signifie la densit sur un hectare ? Suivant votre rponse, critiquer ou aller dans le sens des rsultats de l'auteur.

Hautes tiges en rang (650 arbre par ha)

Les vergers Basse-tige, dits modernes : Ces vergers sont prfrs pour deux raisons majeures : ils produisent plus vite (dbut de production ds la 4me anne) et rendent la rcolte, la taille et dventuels traitements plus faciles. Notons que la culture du pommier cidre intgre depuis longtemps et encore aujourdhui la pratique dune agriculture raisonne. Leur dure de vie est denviron 25-35 ans. C'est la forme plus moderne du verger spcialis consacr exclusivement la production fruitire. L'entretien de l'herbage n'est plus fait grce l'animal, mais de faon mcanique : l'herbe est rgulirement broye pour former un gazon qui amortit la chute des pommes. Une densit de plantation plus importante de 1000 arbres par hectare pour un rendement moyen maximum de 35 tonnes de pommes cidre.

Verger intensif basse tige

19

Concernant la plantation, il s'agit d'adapter la plantation la fertilit du sol et la disponibilit de l'eau d'irrigation, tout en favorisant un clairage maximal. - En systme extensif, planter environ 150 arbres/ha. - En systme intensif, planter entre 1 000 et 1 500 arbres/ha. - En systme de haute densit, planter plus de 2 500 arbres/ha, la condition d'utiliser des portes greffes nanisant et que le sol soit riche en lments nutritifs.

En cas de vergers d'un seul type de pommier (une seule varit), il faut utiliser des varit polinisatrices comme l'indique le schma ci-dessous.

Varit principale

Varit polinisatrice

20

Densit maximale

Ds le XVIIe sicle Thomas Harriot, mathmaticien anglais, assistant d'un clbre amiral de la flotte de sa majest, Sir Walter Rayleigh, s'tait pos la question suivante : comment empiler sur les bateaux les boulets de canon de manire la plus conomique possible ? Il en fit part Johannes Kepler (1571 1630), astronome de l'Empereur la cour de Prague. Le gnie de ce dernier fut de rapprocher des problmes concrets lis la nature : forme des grains de grenat, forme des alvoles d'abeilles, celle des flocons de neige Le problme de l'empilement de cylindres identiques peut se ramener l'tude dans un plan du remplissage par des disques de mme diamtre et correspond la recherche de la plus grande densit dans les plantations de vergers. Ce problme fut rsolu vers 1940 grce aux travaux du mathmaticien hongrois Fejeh Toth.

On considre des disques, tous de mme rayon. 1) Combien de disques peuvent toucher un mme disque ? Soit deux disques tangents un mme disque (cf figure ci-dessus). La distance des centres Aet B de ces deux disques est au moins gale 2. En dduire que l'angle

^

AOB vaut au moins 60 et qu'il ne peut y avoir plus de six cercles disjoints tangents un mme cercle.

Comparaison des coefficients de remplissage du plan par des disques : 2) Dans le cas du remplissage du plan par le dispositif en triangles quilatraux Trois cercles de mme rayon sont tangents entre eux et galement tangents intrieurement un triangle quilatral. - Faire une figure ; - Calculer l'aire de la runion des trois disques ; - Montrer que la longueur du ct du triangle quilatral est gale 2( )1 + 3 ; - En dduire l'aire du triangle quilatral ; - Donner une valeur exacte puis approche 10-3 prs du coefficient de remplissage du triangle quilatral par les trois disques ; - En considrant 2 puis 3 puis un nombre quelconque de triangles quilatraux "remplis" par des disques, dterminer le coefficient de remplissage dans ces cas.

20

21

2) Dans le cas du remplissage du plan par le dispositif en carrs Quatre cercles de mme rayon sont tangents entre eux et galement tangents intrieurement un carr. - Faire une figure ; - Donner une valeur exacte puis approche 10-3 prs du coefficient de remplissage du carr par les quatre disques ; - En considrant 2 puis 3 puis un nombre quelconque de carrs "remplis" par des disques, dterminer le coefficient de remplissage dans ces cas.

Le premier dispositif semble plus dense que le deuxime. Fejeh Toth avait dmontr que la densit maximale dans le plan tait obtenue partir d'un empilement cellules de type hexagonal plutt que carres.

On retrouve au travers de l'empilement utilisant les cellules hexagonales notre dispositif en triangles quilatraux qui se rvle tre celui le plus dense.

22

Mathmatiques dans PISA, exercice sur les Pommiers Un fermier plante des pommiers en carr. Afin de protger ces arbres contre le vent, il plante des conifres tout autour du verger. Vous pouvez voir ci-dessous un schma prsentant cette situation, avec la disposition des pommiers et des conifres pour un nombre (n) de ranges de pommiers :

x = conifre = pommier

Question 1 Complter le tableau :

N Nombre de pommiers Nombre de conifres 1 1 8 2 4 3 4 5

Question 2 Il existe deux expressions que vous pouvez utiliser pour calculer le nombre de pommiers et le nombre de conifres dans cette situation : Nombre de pommiers = n2 Nombre de conifres = 8n o n est le nombre de ranges de pommiers. Il existe une valeur de n pour laquelle le nombre de pommiers est gal au nombre de conifres. Trouvez cette valeur de n et expliquez votre mthode pour la calculer. .................................................................................................................................

.................................................................................................................................

Question 3 Supposez que le fermier veuille faire un verger beaucoup plus grand, avec de nombreuses ranges darbres. Lorsque le fermier agrandit le verger, qu'est-ce qui va augmenter le plus vite : le nombre de pommiers ou le nombre de conifres ? Expliquez comment vous avez trouv votre rponse. .................................................................................................................................

.................................................................................................................................

Sources : www.idac-aoc.fr, le site interprofessionnel des AOC Calvados, Pommeau, Cidres et Poir. Rfrentiel pour la Conduite Technique du pommier, Malus domestica, de Si Bennasseur Alaoui

23

Dtermination de l'alcoolmie

Partie A

un instant donn, l'alcoolmie correspond la quantit dalcool pur contenu dans un litre de sang. c'est un taux qui sexprime en grammes (dalcool pur) par litre (de sang) : g/l. Aprs ingestion dalcool, le taux dalcool dans le sang augmente et atteint trs rapidement son maximum. Cette alcoolmie maximale peut tre estim par la formule suivante (formule deWidmark) dans le cas d'une absorption jeun : T = AP K

o T est l'alcoolmie maximale ; P est la masse de la personne, en kilogrammes ; K est l'adiposit, le coefficient de diffusion : il est de 0,7 pour les hommes et de 0,6 pour les femmes ; A est la masse dalcool pur ingr, en grammes. On estime quun verre de boisson alcoolise (un verre de vin, 25 cl de bire, un verre dapritif ...) contient environ 10 g dalcool pur. Par exemple un homme de 60 kg ayant absorb 4 verres de boisson alcoolise atteint un maximum dalcoolmie de 4060 0,7 0,95 g/l. 1) Estimer l'alcoolmie maximale d'un homme de 70 kg qui a bu un apritif et quatre verres de vin. Arrondir le rsultat au centime. 2) Estimer la masse dalcool ingr par une femme de 50 kg prsentant un maximum dalcoolmie de 1,02 g/l. 3) On donne ci-dessous une vue dans l'espace du maximum d'alcoolmie pour un homme en fonction de la masse P[40;120] et de la masse d'alcool ingre, A[0;100].

a) Pour un homme faisant 80 kg, montrer sur le diagramme ci-dessus la courbe dcrite par le maximum d'alcoolmie en fonction de la masse d'alcool ingre. Justifier la rponse sur la nature de la courbe obtenue. b) Pour un homme ayant ingr 30 g d'alcool, montrer sur le diagramme ci-dessus la courbe dcrite par le maximum d'alcoolmie en fonction de la masse de l'individu. Justifier la rponse sur la nature de la courbe obtenue.

24

Partie B Le taux dalcoolmie dune personne varie aussi en fonction du temps. Le graphique ci-dessous reprsente lvolution du taux dalcoolmie, en fonction du temps, dun homme de 80 kg ayant consomm plusieurs boissons alcoolises en peu de temps. Lorigine des temps (l'heure 0) est le moment de lingestion, cest--dire de la prise dalcool.

1) Dire pourquoi le taux l'alcoolmie n'est pas une fonction affine du temps. 2) a) Combien de temps aprs lingestion le maximum dalcoolmie est-il atteint ? b) Quel est le maximum dalcoolmie de cet homme ? c) En utilisant les rsultats prcdents et le graphique, dresser le tableau de variation sur lintervalle [0 ; 7] de la fonction exprimant le taux d'alcoolmie en fonction du temps. 3) a) Quel est le taux dalcoolmie de cet homme 3 heures aprs lingestion dalcool ? b) Calculer le pourcentage de diminution du taux dalcoolmie 3 heures aprs ingestion dalcool par rapport sa valeur maximum? Arrondir le rsultat 1% 4) En France, selon la lgislation en vigueur, le taux dalcoolmie autoris pour conduire un vhicule ne doit pas dpasser 0,5 g/l. Combien de temps aprs lingestion dalcool cette personne peut-elle prendre le volant ?

Partie C Si la boisson est prise au cours d'un repas, son taux maximum d'alcoolmie atteint est donn par :

T = 23T o T est l'alcoolmie maximale prcdente.

1) Exprimer T et T en fonction du volume V de boisson absorbe (en cl), de d (boisson alcoolise d % d'alcool), de la masse P de l'individu (en kg) et de son coefficient d'adiposit K. 2) Rpondre aux questions ci-dessous (valeurs arrondies 10-2 prs). a) Montrer que chaque verre standard (10 g d'alcool pur) fait monter le maximum d'alcoolmie jeun de 0,2 g/l chez un homme de 70 kg et de 0,3 g/l chez une femme de 55 kg. b) Une femme, de masse 60 kg, absorbe jeun 3 verres de 12,5 cl de vin 12 %. Quel est son maximum d'alcoolmie ? c) Un homme, de masse 75 kg, absorbe au cours d'un repas 1 verre de 3 cl de pastis 45 %, deux verres de cidre brut de 12,5 cl 4,5 % et un verre de cognac de 3 cl 40 %. Quel est son maximum d'alcoolmie ? d) Un homme, de masse 70 kg, est contrl la sortie d'un caf et son taux d'alcoolmie mesur est d'environ 0,6 g/l. Il conteste le rsultat de l'alcootest et affirme tre jeun et n'avoir absorb que 2 verres de 25 cl de cidre 5 %. Cet homme dit-il la vrit ?

25

Contrle de l'alcoolmie Selon un des responsables de l'information du service de gendarmerie, 4% des personnes contrles lors des barrages routiers excdent la norme lgale du taux d'alcoolmie. Selon leurs statistiques : - 95 fois sur 100, l'alcootest se rvle positif lorsqu'une personne dpasse la norme lgale ; - 98 fois sur 100, l'alcootest se rvle ngatif lorsqu'une personne ne dpasse pas la norme lgale.

1) Construire un arbre de probabilit correspondant cette situation.

2) Donner la probabilit d'obtenir des "faux positifs" et des rponses "faux ngatifs".

3) Calculer la sensibilit et la spcificit de ce test. La sensibilit est dfinie comme la probabilit d'obtenir un alcotest positif chez un sujet ivre. La spcificit est dfinie comme la probabilit d'obtenir un alcotest ngatif chez un sujet sain.