LeBTSgrA

A.P.M

.E.P.

Brevet de technicien suprieur

Le groupement A de 2001 2011

Mtropole 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Mtropole 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Mtropole 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Mtropole 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Mtropole 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Mtropole 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Mtropole 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Mtropole Techniques physiques 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . .28

Nouvelle-Caldonie octobre 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Mtropole 2008 A1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

Mtropole 2008 A2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38


MtropolePolynsie A1 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Mtropole A2 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48


Mtropole A1 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60

Mtropole A2 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67


Mtropole A1 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75

Mtropole A2 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82


Groupe A1 2 12 mai 2010


BTS Groupement A session 2001

EXERCICE 1 12 points

Partie A

1. On a obtenu laide dune calculatrice :

pi0

sin t cos t dt = 0 etpi0

sin t cos(2t)dt =23.

Justifier ces deux rsultats en calculant les intgrales.

2. On considre le signal, modlis par la fonction relle e, de priode 2pi, dfiniepar :

{e(t) = sin t si t [0 ; pi]e(t) = 0 si t ]pi ; 2pi[.

a. Dansun repre orthogonal, tracer la reprsentation graphiquede la fonc-tion e pour t variant dans lintervalle [2pi ; 4pi].

b. Calculer les coefficients de Fourier a0 ,a1 et a2 de la fonction e. On ad-mettra dans la suite de lexercice que les coefficients b1 et b2 valent :

b1 =1

2et b2 = 0.

3. a. Calculer le carr E2 de la valeur efficace du signal e.

b. On sait par ailleurs que la formule de Bessel-Parseval donne :

E2 = a20++n=1

a2n +b2n2

.

Dans le cas prsent, on dcide de ne garder que les harmoniques de rang1 et 2.

Soit P le nombre dfini par : P = a20+1

2

(a21+b21+a22+b22

).

Calculer P , puis donner une approximation dcimale 103 prs du rap-

portP

E2.

La comparaison de E2 et P justifie que, dans la pratique, on nglige les

harmoniques de rang suprieur ou gal 3.

Partie B

On se propose dans cette partie dobtenir lintensit i du courant dans le circuit ci-dessous lorsquil est aliment par le signal dentre e dfini dans la partie A.

C

R

e(t)

i (t)



Lquation permettant de trouver lintensit du courant est, pour t [0 ; +[,

Ri (t)+ 1C

t0i (u)du = e(t) (1).

Pour dterminer la fonction i on remplace le signal dentre e par son dveloppe-ment en srie de Fourier tronqu lordre 2. Lquation (1) devient alors :

Ri (t)+ 1C

t0i (u)du = 1

pi+ 12sin t 2

3picos(2t) (2).

On admet que lintensit t du courant est une fonction drivable sur [0 ; +[.On suppose dans toute la suite de lexercice que R = 5000 et C = 104 F.

1. Montrer que lquation (2) peut alors se transformer et scrire :

di

dt(t)+2i (t)=

(104

)cos t +

(4

15pi103

)sin(2t)

t [0 ; +[(3).

2. Vrifier que la fonction i1 telle que i1(t)=(4 105

)cos t+

(2 105

)sin t est une

solution particulire de lquation diffrentielle

di

dt(t)+2i (t)=

(104

)cos t

t [0 ; +[

3. Dterminer une solution particulire i2 de lquation diffrentielle

di

dt(t)+2i (t)=

(4

15pi103

)sin(2t)

t [0 ; +[4. Rsoudre alors lquation diffrentielle (3). En dduire la solution particulire

vrifiant la condition i (0)= 0.

EXERCICE 2 8 points

Le plan est rapport un repre orthonormal(O,

,

).

On sintresse dans cet exercice deux courbes de Bzier C1 et C2.C1 est dfinie par les quatre points de contrle A0 (0 ; 3), A1(0 ; 2), A2(10 ; 2), A3(5 ; 3) ;C2 est dfinie par les trois points de contrle A0(0 ; 3), T(0 ; 8), A3(5 ; 3).On rappelle que la courbe de Bzier dfinie par les points de contrle Ai (06 i 6 n)est lensemble des points M(t) tels que :

OM (t)=

ni=0

Bi , n(t)OAi o Bi , n(t)=Cin t i (1 t)ni avec t [0 ; 1].

1. Construction de la courbeC1.

a. Dvelopper, rduire et ordonner les polynmes Bi , 3(t), (06 i 6 3).

b. Montrer que les coordonnes du point M(t) de la courbeC1 sont :{x = f1(t) = 30t225t3y = g1(t) = 315t +15t2 t [0 ; 1].

c. tudier les variations de f1 et g1 et dresser le tableaudes variations conjointesde ces deux fonctions.



d. Prciser les coordonnes des points deC1 tangentes parallles aux axesde coordonnes.

e. Montrer que la droite (A2A3) est tangente C1 en A3.

f. Tracer, en exploitant les rsultats prcdents, la courbe C1 sur la feuilleannexe.

2. tude gomtrique de la courbeC2La reprsentation paramtrique de la courbeC2 est :{

x = f2(t) = 5t2y = g2(t) = 3+10t 10t2

La courbeC2 est donne sur la feuille annexe.

a. On dfinit, pour tout t [0 ; 1], les points N1(t) et N2(t) par :ON1(t) = (1 t)

OA0 + t

OT et

ON2(t) = (1 t)

OT + tOA3 .

Justifier que les points N1(t) et N2(t) appartiennent respectivement auxsegments [A0T] et [TA3].

b. SoitG(t) le point dfini, pour tout t [0 ; 1], par

OG(t) = (1 t)ON1(t) + t

ON2(t) .

Montrer que G(t) appartient C2 et que la droite (N1(t)N2(t)) est tan-gente C2 enG(t).

c. Placer les points N1

(1

5

), N2

(1

5

)etG

(1

5

)et la tangente C2 enG

(1

5

).



Feuille annexe rendre avec la copie

10

A1 A2

x

y

A0 A3

T

1

1

C2



BTS Groupement A 2002


La fonction chelon unit U est dfinie par

U (t)= 0 si t < 0 et U (t)= 1 si t > 0.

On considre le systme entre - sortie reprsent ci-dessous :

e(t) s(t)

On note s le signal de sortie associ au signal dentre e. Les fonctions s et e sontdes fonctions causales, cest--dire quelles sont nulles pour t < 0. On admet que lesfonctions s et e admettent des transformes de Laplace, notes respectivement S etE .La fonction de transfert H du systme est dfinie par : S(p)=H(p)E (p).On considre le signal dentre e dfini par :

e(t)= tU (t)2U (t 1) (t 2)U (t 2)

et la fonction H dfinie sur ]0 ; +[ par H(p)= 1p+1 .

1. Tracer la courbe reprsentative de la fonction e dans un repre orthonormal.

2. Pour p > 0, dterminer E (p).3. Dterminer tes nombres rels A, B , et C tels que, pour tout p > 0, on ait :

1

p2(p+1) =A

p2+ Bp+ Cp+1

On admet que :2

p(p+1) =2

p 2p+1

4. a. Dterminer S(p) puis s(t).

b. En dduire que la fonction s est dfinie par :

s(t) = 0 si t < 0s(t) = t 1+et si 06 t < 1s(t) = t 3+et (1+2e) si 16 t < 2s(t) = et

(1+2ee2

)si t > 2

5. On rappelle que la notation f(a+)reprsente la limite de la fonction f lorsque

la variable t tend vers a par valeurs suprieures : f(a+)= lim

tat>a

f (t). De mme,

f (a)= limtat


d. Calculer s(1+), s (1) , s

(2+), s (2). On admet que ces nombres sont

respectivement les coefficients directeurs des demi-tangentes droite et gauche aux points dabscisse 1 et dabscisse 2 de la courbe reprsen-tative de la fonction s.

6. On se place dans le plan rapport un repre orthogonal(O,

,

)dunits

graphiques 5 cm sur laxe des abscisses et 50 cm sur laxe des ordonnes.

a. Recopier et complter le tableau suivant dans lequel les valeurs num-riques seront donnes 102 prs.

t 1 1,2 1,4 1,6 2 2,5 3 3,5

s(t)

b. Tracer alors les tangentes oudemi-tangentes la courbe reprsentativede la fonction s aux points dabscisses 0, 1, et 2. Tracer alors la courbe .

EXERCICE 2 8 points

On se propose de rsoudre le systme diffrentiel (S) suivant, puis den dterminerune solution particulire.

(S)

{x(t)+2y(t) = 2sin t (E1)2x(t) y (t) = 2cos t (E2)

Les fonctions x et y sont des fonctions de la variable relle t , deux fois drivables surR.

Partie A

1. Montrer en utilisant les quations (E1) et (E2) que la fonction x vrifie, pourtout t dans R, lquation diffrentielle :

x(t)+4x(t)=6cos t (E )

2. Rsoudre sur R lquation diffrentielle (E ). En dduire les solutions du sys-tme (S).

3. Dterminer la solution particulire du systme (S) vrifiant les conditions ini-tiales x(0)=1 et y(0)= 0.

Partie B

On considre la courbe () dfinie par la reprsentation paramtrique{x = f (t) = cos(2t)2cos ty = g (t) = sin(2t)2sin t

o t est un rel appartenant lintervalle [pi ; +pi].1. Montrer que la courbe () admet un axe de symtrie en calculant f (t) et

g (t).2. a. Calculer f (t).

Montrer que : f (t)=4sin(t

2

)cos

(3t

2

).

b. tablir le signe de f (t) sur lintervalle [0 ; pi].

3. On admet que g (t)=4sin(t

2

)sin

(3t

2

)et que le signe de g est donn par le

tableau suivant :



t 0 2pi3 pi

Signe de g (t) 0 0 +

Dresser sur lintervalle [0 ; pi] le tableaudes variations conjointes des fonctionsf et g .

4. Dterminer un vecteur directeur de la tangente la courbe () aux points B ,

C et D de paramtre respectifs tB =pi

3, tC =

2pi

3et tD = pi.

5. Le plan P est rapport un repre(O,

,

)dunit graphique 2 cm.

On admet que la tangente la courbe () au point A de paramtre tA = 0 apour vecteur directeur

i . Tracer les tangentes aux points A, B , C et D puis la

courbe ().



BTS Groupement A 2003


Le but de cet exercice est de dterminer les premiers coefficients de Fourier et les prin-

cipales harmoniques dun signal.

Partie A

Pour tout entier naturel n, on considre les intgrales :

In =pipi2

cos(nx)dx et Jn = pi

2

0x cos(nx)dx

1. Montrer que In =1

nsinn

pi

2.

2. laide dune intgration par partie, montrer que

Jn =pi

2nsin

(npi

2

)+ 1n2

cos(npi

2

) 1n2

3. Dterminer I1, I2 et I3, puis J1, J2 et J3.

Partie B

Soit f la fonction numrique dfinie sur R, paire, priodique de priode 2pi, telleque :

si 06 t 6 pi2 , f (t)=

2E

pit

sipi

2< t 6pi, f (t)= E

o E est un nombre rel donn, strictement positif.

1. Tracer, dans un repre orthogonal, la reprsentation graphique de la fonctionf sur lintervalle [pi ; +pi] (on prendra E = 2 uniquement pour construire lacourbe reprsentant f ).

2. Soit a0 et pour tout entier naturel suprieur ou gal 1, an etbn les coefficientsde Fourier associs f .

a. Calculer a0.

b. Pour tout n> 1, donner la valeur de bn .

c. En utilisant la partie A, vrifier que pour tout n> 1, an =2E

pi2(2Jn +piIn ).

Calculer a4k pour tout entier k > 1.

Partie C

1. Dterminer les coefficients a1, a2, a3.

2. Calculer F 2, carr de la valeur efficace de la fonction f sur une priode.

On rappelle que dans le cas o f est paire, priodique de priode T , on a :

F 2 = 2T

T2

0f 2(t)dt

3. On sait par ailleurs que la formule de Bessel-Parseval donne :

F 2 = a20++n=1

a2n +b2n2

Soit P le nombre dfini par P = a20+1

2

(a21+a22+a23

).



Calculer P , puis donner la valeur dcimale arrondie au millime du rapportP

F 2.

Ce dernier rsultat trs proche de 1, justifie que dans la pratique, on peut ngli-ger les harmoniques dordre suprieur 3.


On note j le nombre complexe de module 1 et dargumentpi

2.

On considre la fonction H dfinie, pour tout nombre complexe p distinct de 0 et de1, par :

H(p)= 1p(p+1) .

Dans toute la suite de lexercice on prend p = j, o dsigne un rel strictementpositif.

1. On note r () le module du nombre complexe H(j) et on considre la fonc-tionG dfinie, pour tout rel par :

G()= 20ln10

lnr ().

a. Montrer queG()= 20ln10

ln(p1+2

).

b. Dterminer les limites de la fonctionG en 0 et en +.Montrer que la fonction G est strictement dcroissante sur ]0 ; +[.

2. a. Montrer quun argument () de H( j) est :

()=pi2arctan

b. tudier les variations de la fonction sur ]0 ; +[ (on prcisera les li-mites en 0 et en +).

3. On considre la courbe C dfinie par la reprsentation paramtrique :

x()=pi2arctan

y()= 20ln10

ln(p1+2

) pour strictement positif.a. Dresser le tableau des variations conjointes des fonctions x et y .

b. Recopier et complter le tableau de valeurs suivant (on donnera des va-leurs dcimales arrondies au centime) :

0,5 0,7 0,786 0,9 1,5x() 2,24y() 0

c. Tracer la courbe C dans un repre orthogonal, on prendra pour unitsgraphiques 5 cm sur laxe des ordonnes.

La courbeC correspond au diagramme de Black associ la fonction de transfert H.



Brevet de technicien suprieurGroupement A session 2004

Exercice 1 8 points

Les questions 1,2 et 3 peuvent tre traites indpendamment lune de lautre.

Une entreprise fabrique des pices. Ces pices sont considres comme conformessi leur longueur est comprise entre 79,8 mm et 80,2 mm.

1. On note L la variable alatoire qui, chaque pice fabrique, associe sa lon-gueur enmm.

On admet que la variable L suit une loi normale demoyenne 80 et dcart type0,0948.

On prlve une pice au hasard dans la production.

Dterminer, en utilisant la table de la loi normale centre rduite, la probabi-lit que cette pice soit conforme.

2. On admet que si on prlve, au hasard, une pice dans la production, la pro-babilit que cette pice ne soit pas conforme, est p = 0,035.a. On note X , la variable alatoire reprsentant le nombre de pices dfec-

tueuses dans un lot de 100 pices. Les pices sont prleves au hasard etle tirage est assimil un tirage avec remise.

Justifier que X suit une loi binomiale de paramtre n = 100 et p = 0,035.b. Le tableau ci-dessous, donne la probabilit des vnements "X = k" pour

k variant de 0 9, lexception de lvnement "X = 2".

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

P(X = k) 0,0284 0,1029 0,2188 0,1924 0,1340 0,0770 0,0375 0,0158 0,0059

On considre les vnements :

A : le nombre de pices dfectueuses du lot est gal 2 ;B : le nombre de pices dfectueuses du lot est au moins gal 2 .

Calculer P (A) au dix millime prs, puis P (B) au millime prs.

c. Un lot de 100 pices est envoy un client, le lot est accept sil contientau plus 4 pices dfectueuses.

En utilisant le tableau ci-dessus, dterminer aumillime prs, la pro-babilit que le client refuse ce lot.

d. En utilisant le tableau ci-dessus, dterminer la plus petite valeur entiren telle que :

P (X >n)< 0,03

3. Lentreprise souhaite amliorer la qualit de la production. Pour cela on pro-jette de changer le processus de fabrication des pices.

On dfinit alors une nouvelle variable L1 qui chaque pice construire selonle nouveau processus associera sa longueur en mm.

La variable alatoire L1 suit une loi normale de moyenne m = 80 et dcarttype .Dterminer pour que, en prenant une pice au hasard dans la future pro-duction, la probabilit dobtenir une pice conforme soit gale 0,99.



Exercice 1 8 pointsPour les spcialits Contrle industriel et rgulation automatique, lectronique,Techniques physiques pour lindustrie et le laboratoire

Dans tout cet exercice, le nombre n est un entier relatif.La suite n 7 e(n) reprsente lchelon discrtis causal dfini par :{

e(n)= 0 pour n < 0e(n)= 1 pour n> 0

On considre un filtre numrique dans lequel le signal dentre est n 7 e(n) et lesignal de sortie est un signal discret causal not n 7 x(n).Ce filtre est rgi par lquation rcurrente :

x(n)2x(n1)= e(n) (E )

Partie 1

Dans cette partie, on rsout lquation rcurrente (E ) sans utilisation de la transfor-mation en Z .

1. a. Justifier que x(0)= 1.b. Calculer x(1), x(2) et x(3).

2. Pour tout entier naturel n lquation (E ) scrit :

x(n)2x(n1)= 1 (E )

a. On considre la suite y dfinie pour tout entier naturel n par :

y(n)= x(n)+1

Montrer que la suite y est une suite gomtrique de raison 2.

Donner lexpression de y(n) en fonction de de lentier naturel n.

b. En dduire, pour tout entier naturel n, lexpression de x(n). Vrifier quelon retrouve les mmes valeurs de x(0), x(1), x(2) et x(3) qu lquation1.

Partie 2

Dans cette partie on rsout lquation rcurrente (E ) en utilisant la transformationen Z .

1. On rappelle que x(0)= 1.On se place dans le cas o n 1 et on admet que le signal n 7 x(n), solutionde lquation rcurrente (E ), a une transformation en Z note (Z x)(z).

a. Montrer que pour tout z diffrent de 0, de 1 et de 2 on a :

(Z x)(z)= z2

(z1)(z2)

b. Montrer que pour tout z diffrent de 0, de 1 et de 2 on a :

(Z x)(z)

z= 1z1 +

2

z2c. En dduire par lecture inverse du dictionnaire dimages, le signal de sor-

tie n 7 x(n) pour n 1.2. Reprsenter dans un repre orthogonal, pour les nombres entiers n tels que

2 6 n 6 3, le signal de sortie n 7 x(n). Prendre comme units graphiques2 cm sur laxe des abscisses et 0,5 cm sur laxe des ordonnes.



Exercice 2 12 pointsPour toutes les spcialits

Les parties A et B peuvent tre traites indpendamment lune de lautre.

e(t) s(t)

Dans le systme reprsent ci-dessus, e et s sont respectivement les signaux dentreet de sortie, causaux (nuls pour t ngatif).On suppose que le systme est rgi par lquation diffrentielle :

LCd2s

dt2(t)+RC ds

dt(t)+ s(t)= e(t) (1)

L, R etC sont des constantes relles strictement positives. De plus linstant initial :

s(0+)= 0 et dsdt

(0+)= 0

Partie A

On suppose que les fonctions e et s admettent des transformes de Laplace notesrespectivement E et S.

1. La fonction de transfert H du systme est dfinie par S(p)=H(p)E (p).En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de lquation(1), exprimer H(p) en fonction de L, R et C .

2. On suppose que e(t)=U (t 1)U (t 2)o U est la fonction chelon unit :

{U (t)= 0 si t < 0U (t)= 1 si t 0

a. Tracer la courbe reprsentative de la fonction e dans un repre du plan.

b. Dterminer E (p).

3. Dans la suite de lexercice, on considre que L = 2, R = 1000 et C = 2.106 .

a. Vrifier que H(p)= 5002

(p+250)2+(250

p3)2 .

b. On admet que :

1

pH(p)= 1

p p+250(p+250)2+

(250

p3)2 250

(p+250)2+(250

p3)2

Dterminer loriginal h1 de la fonction p 71

pH(p).

Exprimer s(t) laide de h1(t).

c. Donner lexpression de s(t) sur chacun des intervalles ],1[, [1,2[ et[2,+[.

Partie B

On rappelle que H(p)= 5002

(p+250)2+(250

p3)2 .

1. On considre la fonction r dfinie pour tout rel > 0 par :

r ()= H(j)

o j est le nombre complexe de module 1 et dargumentpi

2.

Montrer que r ()= 5002

p450022+5004

.



2. On considre la fonction f dfinie pour tout rel > 0 par :

f ()=450022+5004

Montrer que f ()= 4(250

p2)(+250

p2).

3. Montrer que r () est du signe de f ().4. En dduire que r () estmaximal pour une valeur de0 de. Donner la valeur

de0 et calculer r (0).

La partie B permet de dterminer le maximum du gain pour le systme tudi en r-

gime harmonique.



Brevet de technicien suprieurGroupement A session 2005

Exercice 1 9 points

Spcialits CIRA, lectronique, lectrotechnique,Gnie optique et TPIL

1. Soit la fonction numrique g dfinie sur [0;pi] par

g (t)= (1+cos2 t)sin2 t .a. Montrer que g (t)= 4sin t cos3 t .b. En dduire les variations de g sur [0 ; pi].

2. Soit la fonction numrique f dfinie sur R, paire, priodique de priode 1 telleque :

f (t) = 12 si 06 t 6

f (t) = si 6 t 6 12

o est un nombre rel tel que 0< < 12

a. Uniquement dans cette question, on prendra = 16.

Reprsenter la fonction f sur lintervalle [1 ; 1] dans un repre ortho-normal.

b. On admet que la fonction f satisfait aux conditions de Dirichlet.Soit S le dveloppement en srie de Fourier associ la fonction f .Montrer que :

S(t)=+n=1

1

npisin(2npi)cos(2npit)

3. On dcide de ne conserver que les harmoniques de rang infrieur ou gal 2.

Soit la fonction numrique h dfinie sur R par :

h(t)= 1pisin(2pi)cos(2pit)+ 1

2pisin(4pi)cos(4pit)

On dsigne par E2hle carr de la valeur efficace de h sur une priode.

a. laide de la formule de Parseval, dterminer E2h.

b. Montrer que E2h= 12pi2

g (2pi).

4. Dterminer la valeur de rendant E2hmaximal.

Exercice 2 11 points

Toutes spcialits

Lexercice est compos de deux parties qui peuvent se traiter de faon indpendante.

Partie A

Un embrayage vient appliquer, linstant t = 0, un couple rsistant constant sur unmoteur dont la vitesse vide est de 150 rad/s.On note (t), la vitesse de rotation dumoteur linstant t .La fonction est solution de lquation diffrentielle :

1

200y (t)+ y(t)= 146 (1)

o y dsigne une fonction drivable de la variable relle positive t .



1. a. Dterminer la solution gnrale de lquation diffrentielle (1).

On cherchera une solution particulire constante.

b. Sachant que (0) = 150, montrer que (t) = 146+4e200t pour tout t [0 ; +[.

2. a. On note = limt+

(t). Dterminer la perte de vitesse (0). dueau couple rsistant.

b. On considre que la vitesse dumoteur est stabilise lorsque lcart relatif(t)

est infrieur 1 %.

Calculer le temps mis par le moteur pour stabiliser sa vitesse.

On donnera la valeur exacte et la valeur arrondie au millime.

Partie B

La vitesse du moteur tant stabilise, on sintresse dans cette deuxime partie leffet dune perturbation du couple rsistant sur la vitesse de rotation dumoteur.On note f (t) la diffrence, linstant t , entre la vitesse perturbe du moteur et savitesse stabilise.La fonction f est solution de lquation diffrentielle :

1

200f (t)+ f (t)= (t) avec f (0+)= 0 (2)

On admet que la fonction f possde une transforme de Laplace note F .La fonction est dfinie par :

(t)=K [U (t)U (t)]o et K sont des rels strictement positifs caractrisant la perturbation etU est lafonction chelon unit (U (t)= 0 si t < 0 etU (t)= 1 si t > 0 ).

1. a. Reprsenter la fonction pour = 0,005 et K = 0,2.b. Dterminer, en fonctionde etK , la transforme deLaplacede la fonc-

tion .

2. En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de lquationdiffrentielle (2), dterminer F (p).

3. a. Dterminer les rels a et b tels que :

200

p(p+200) =a

p+ bp+200

pour tout rel p strictement positif.

b. En dduire loriginal f de la fonction F . On vrifiera notamment que :

{f (t) = K (1e200t ) si t [0 ; [f (t) = K (e2001)e200t si t [ ; +[

c. Donner le sens de variation de la fonction f sur chacun des intervalles[0 ; [ et [ ; +[.Dterminer les limites de la fonction f aux bornes de ces deux inter-valles.

d. Reprsenter la fonction f pour = 0,005 et K = 0,2.On pourra tracer les courbes reprsentatives des fonctions et f dans lemme repre.



Brevet de technicien suprieurGroupement A 2006


Le but de cet exercice est dtudier quelques proprits dun filtre numrique N etde comparer des effets de ce filtre avec ceux dun filtre analogique A.

Partie I

On rappelle que tout signal discret causal est nul pour tout entier strictement nga-tif.

Soient x(n) et y(n) les termes gnraux respectifs de deux signaux discrets causauxreprsentant, respectivement, lentre et la sortie dun filtre numrique N . Ce filtreest conu de telle sorte que, pour tout nombre entier n positif ou nul, on a :

y(n) y(n2)= 0,04 x(n1).1. On note Z x et Z y les transformes respectives des signaux causaux x et y .

Montrer que, pour tout nombre complexe z diffrent de 1 et 1, on a :(Z y

)(z)= 0,04z

(z1)(z+1) (Z x) (z)

2. On suppose que le signal dentre est lchelon unit discret :

x(n)= e(n) avec e(n)={

0 si n < 01 si n 0

a. Montrer que, pour tout nombre complexe z diffrent de 1 et 1, on a :

(Z y

)(z)= 0,04z

2

(z1)2(z+1)

b. Calculer les constantes relles A, B et C telles que :

0,04z

(z1)2(z+1) =A

(z1)2 +B

z1 +C

z+1

c. En remarquant que : (Z y

)(z)

z= 0,04z(z1)2(z+1)

montrer que, pour tout entier n positif ou nul, on a :

y(n)= 0,02n+0,01(1 (1)n

)d. Dterminer y(2k) puis y(2k+1) pour tout nombre entier naturel k.e. En dduire que pour tout nombre entier naturel k, on a : y(2k + 1) =

y(2k+2).f. Reprsenter graphiquement les termesdu signal causal y lorsque le nombre

entier n est compris entre 2 et 5.



Partie II

On rappelle que la fonction chelon unit, noteU , est dfinie par :

{U (t)= 0 si t < 0U (t)= 1 si t > 0

Soit la fonction f dfinie pour tout nombre rel t par :

f (t)= sin(20t)U (t)

On note F la transforme de Laplace de la fonction f . Le signal de sortie du filtreanalogique A est reprsent par la fonction s dont la transforme de Laplace S esttelle que :

S(p)= F (p)p

1. Justifier que, pour tout nombre rel t positif ou nul, on a :

s(t)=t0f (u)du

2. En dduire que, pour tout nombre rel t positif ou nul, on a :

s(t)= 1cos(20t)20

3. Donner sans justification la valeur maximale et la valeur minimale de la fonc-tion s.

4. Tracer, sur le graphique du document rponse, lallure de la courbe reprsen-tative de la fonction s.

Il nest pas demand dtudier la fonction s.

La figure du document rponse montre une simulation du rsultat obtenu ensortie du filtre numrique soumis une version chantillonne de la fonctionf , lorsque la priode dchantillonnnage est 0,02.



Document rendre avec la copie

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.10

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9



Exercice 1 - Spcialits lectrotechnique, Gnie optique, TPIL - (sur11 points)

Les diffrentes parties de cet exercice sont indpendantes.

Partie A

Une entreprise produit, en grande quantit, des appareils. Chaque appareil fabriqupeut prsenter deux dfauts que lon appellera dfaut a et dfaut b.On prlve un appareil au hasard dans la production dune journe.On note A lvnement : lappareil prsente le dfaut a et B lvnement : lap-pareil prsente le dfaut b .Les probabilits des vnements A et B sont P (A)= 0,03 et P (B)= 0,02 ; on supposeque ces deux vnements sont indpendants.

1. Calculer la probabilit de lvnement E1 : lappareil prsente le dfaut a etle dfaut b .

2. Calculer la probabilit de lvnement E2 : lappareil est dfectueux, cest--dire quil prsente aumoins un des deux dfauts .

3. Calculer la probabilit de lvnement E3 : lappareil ne prsente aucun d-faut .

4. Sachant que lappareil est dfectueux, quelle est la probabilit quil prsenteles deux dfauts ?

Le rsultat sera arrondi aumillime.

Dans les parties B et C, les rsultats seront arrondir au centime.

Partie B

Les appareils sont conditionns par lots de 100 pour lexpdition aux distributeursde pices dtaches. On prlve au hasard un chantillon de 100 appareils dans laproduction dune journe. La production est suffisamment importante pour quelon assimile ce prlvement un tirage avec remise de 100 appareils.Pour cette partie, on considre que, chaque prlvement, la probabilit que lap-pareil soit dfectueux est 0,05.On considre la variable alatoire X1 qui, tout prlvement de 100 appareils, asso-cie le nombre dappareils dfectueux.

1. a. Justifier que la variable alatoire X1 suit une loi binomiale dont on pr-cisera les paramtres.

b. Donner lesprance mathmatique de la variable alatoire X1.

2. On suppose que lon peut approcher la loi de X1 par une loi de Poisson deparamtre .

a. On choisit = 5 ; justifier ce choix.b. En utilisant cette loi de Poisson, calculer la probabilit quil y ait au plus

deux appareils dfectueux dans un lot.

Partie C

Les appareils sont aussi conditionns par lots de 800 pour lexpdition aux usinesde montage. On prlve au hasard un lot de 800 appareils. On considre la variablealatoire X2 qui, tout prlvement de 800 appareils, associe le nombre dappareilsdfectueux. On dcide dapprocher la loi de la variable alatoire X2 par la loi nor-male de moyenne 40 et dcart-type 6,2.

1. Dterminer la probabilit quil y ait au plus 50 appareils dfectueux dans lelot.

2. Dterminer le rel x tel que P (X2 > x)= 0,01.En dduire, sans justification, le plus petit entier k tel que la probabilit que lelot comporte plus de k appareils dfectueux soit infrieure 0,01.



Exercice 2 - Toutes spcialits (sur 9 points)Les parties A et B sont indpendantes.

Partie A

Soient et deux nombres rels.Soit f une fonction priodique de priode 1, dfinie sur lintervalle [0 ; 1[ par f (t)=t +.On appelle a0, an et bn les coefficients de Fourier associs la fonction f .

1. Montrer que a0 =

2+.

2. Montrer que bn =

npipour tout nombre entier naturel n non nul.

On admet que an = 0 pour tout entier naturel n non nul.3. On se propose de dterminer les nombres rels et pour que le dveloppe-

ment S en srie de Fourier de la fonction f soit dfini pour tout nombre rel t

par S(t)=+n=1

1

nsin(2npit).

a. Dterminer les nombres rels et tels que a0 = 0 et bn =1

n.

En dduire lexpression de la fonction f .

b. Reprsenter la fonction f sur lintervalle [2 ; 2] dans un repre ortho-gonal.

Partie B

On veut rsoudre lquation diffrentielle :

s"(t)+ s(t)= f (t)On admet que lon obtient une bonne approximation de la fonction s en remplaantf (t) par les premiers termes du dveloppement en srie de Fourier de la fonction fobtenus dans la partie A, cest--dire par :

sin(2pit)+ 12sin(4pit)

Soit (E) lquation diffrentielle :

s"(t)+ s(t)= sin(2pit)+ 12sin(4pit)

1. Vrifier que la fonction s1 dfinie pour tout nombre rel t par :

s1(t)=1

14pi2 sin(2pit)+1

2(116pi2) sin(4pit)

est solution de lquation diffrentielle (E).

2. Rsoudre lquation diffrentielle (E).


A.P.M

.E.P.

Brevet de technicien suprieur session 2007Groupement A


On sintresse un systme entre-sortie susceptible dtre contrl.Dans la partie A, on tudie le systme en labsence de contrle.Dans la partie B, on tudie le systme soumis un contrle.Les parties A, B et C sont indpendantes dans leurs rsolutions respectives.

Partie A

On considre lquation diffrentielle (E1) suivante :

1

2y (t)+ y(t)= 10 (E1)

o y dsigne une fonction drivable de la variable relle t et une constante relle.

1. Montrer que la fonction h dfinie pour tout nombre rel t par h(t)= 10 estsolution de lquation diffrentielle (E1).

2. Rsoudre lquation diffrentielle (E1).

3. Montrer que la fonction f , solution de lquation diffrentielle (E1) et qui v-rifie f (0)= 10 est dfinie sur R par f (t)=e2t +10.

4. Calculer limt+

f (t) que lon note f.

Partie B

On rappelle que la fonction chelon unitU est dfinie par :{U (t)= 0 si t < 0U (t)= 1 si t 0

et quune fonction dfinie sur R est dite causale si elle est nulle pour tout nombrerel strictement ngatif.

On considre la fonction causale g qui vrifie la relation (E2) suivante :

1

2g (t)+ g (t)= 13

t0[10U (u) g (u)]du+ (10)U (t) (E2)

et la condition g (0)= 10.

On admet que la fonction g admet une transforme de Laplace note G.

1. Montrer que la transforme de Laplace I de la fonction i dfinie par :

i (t)= 13t0[10U (u) g (u)]du

est telle que

I (p)= 130p2

13G(p)p

.

2. En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de la relation(E2), dterminer une expression deG(p).

3. Vrifier queG(p)= 10p 2(p+1)2+52 .


4. Dans cette question, on va dterminer limt+g (t), que lon note g et qui est

la valeur finale du signal reprsent par la fonction g .On rappelle que, daprs le thorme de la valeur finale, g = lim

p0+pG(p).

Dterminer g.

5. a. Dterminer la transforme de Laplace de la fonction qui tout nombrerel t associe et sin(5t)U (t).

b. En dduire lexpression de g (t).

Partie C

Dans cette partie, on prend= 5.En annexe 1, rendre avec la copie, on a reprsent, sur lintervalle [0 ; +[, lescourbesC f etCg reprsentatives des fonctions f et g dfinies dans les parties A et Bavec = 5.On admet ici que pour tout nombre rel t positif ou nul :f (t)= 5e2t +5 et g (t)= 102et sin(5t).On rappelle que f et g sont les limites respectives des fonctions f et g en +.On a donc : f = 5 et g = 10.

1. a. Vrifier que pour tout nombre rel t positif ou nul on a :f (t) f

f= e2t .

b. Soit t1 le nombre rel tel que :

f (t) ff

6 0,02 pour tout t t1.

Calculer la valeur exacte de t1, puis une valeur approche de t1 arrondieau dixime.

2. Soit t2 le nombre rel tel que :

0,026 g (t) gg

6 0,02 pour tout t > t2.

Graphiquement, dterminer une valeur approche de t2, arrondie au dixime.

Dans ce problme, on a tudi un systme entre-sortie, dans la partie A libre detout asservissement, puis dans la partie B contrl par une commande intgrale.On a montr que grce cette commande on peut stabiliser la sortie la valeur10 indpendamment de la perturbation , au prix dune dtrioration du temps derponse du systme et de lapparition doscillations amorties.

Exercice 2 8 points

On dsigne par j le nombre complexe de module 1 dont un argument estpi

2.

On considre unfiltre dont la fonctionde transfertT est dfinie sur lintervalle ]0 ; +[par

T ()= jk1 j

2

.

Le nombre k est un nombre rel strictement positif compris entre 0 et 1.En associant trois filtres identiques au prcdent, on obtient un systme dont lafonction de transfert H est dfinie sur ]0 ; +[ par :

H()= (T ())3 .

Groupement A 24 juin 2007


1. On note r () le module de H().On a donc : r ()= |H()|.

a. Montrer que le module de T () estk1+

2

4

.

b. En dduire r ().

2. a. Justifier quun argument de (j)3 est pi2.

Justifier quun argument de 1 j2est arctan

(2

).

En dduire quun argument de H(), note (), est dfini sur ]0 ; +[par :

()= pi2+3arctan

(2

).

b. On note la drive de la fonction . Calculer ().Dterminer le signe de sur lintervalle ]0 ; +[.

c. Dterminer les limites de la fonction en 0 et +.

3. Dans le tableau ci-aprs on donne les variations de la fonction r sur linter-valle ]0 ; +[.Recopier et complter ce tableau en utilisant les rsultats obtenus dans laquestion 2.

r ()

r ()

()

()

0 +

8k3

0

+

4. Dans cette dernire question, on se place dans le cas o k = 0,9.Lorsque dcrit lintervalle ]0 ; +[, le point daffixe H() dcrit une courbeC .

En annexe 2, rendre avec la copie, la courbe C est trace dans le plan com-plexe.

On note 0 la valeur de pour laquelle le module de H() est gal 1.

a. Placer prcisment le point M0 daffixe H(0) sur le document rponsedonn en annexe 2.

b. Calculer une valeur arrondie 102 prs du nombre0, puis de (0).



Annexe 1Document rponse rendre avec la copie

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

1

1 2 3 41 0




1

2

3

1

2

3

4

1 2 3 4 5 6 712

C


Brevet de technicien suprieur session 2007Groupement A1

Techniques physiques pour lindustrie et le laboratoire

A.P.M

.E.P.


On sintresse un systme entre-sortie susceptible dtre contrl.Dans la partie A, on tudie le systme en labsence de contrle.Dans la partie B, on tudie le systme soumis un contrle.Les parties A, B et C sont indpendantes dans leurs rsolutions respectives.

Partie A

On considre lquation diffrentielle (E1) suivante :

1

2y (t)+ y(t)= 10 (E1)

o y dsigne une fonction drivable de la variable relle t et une constante relle.

1. Montrer que la fonction h dfinie pour tout nombre rel t par h(t)= 10 estsolution de lquation diffrentielle (E1).

2. Rsoudre lquation diffrentielle (E1).

3. Montrer que la fonction f , solution de lquation diffrentielle (E1) et qui v-rifie f (0)= 10 est dfinie sur R par f (t)=e2t +10.

4. Calculer limt+

f (t) que lon note f.

Partie B

On rappelle que la fonction chelon unitU est dfinie par :{U (t)= 0 si t < 0U (t)= 1 si t 0

et quune fonction dfinie sur R est dite causale si elle est nulle pour tout nombrerel strictement ngatif.

On considre la fonction causale g qui vrifie la relation (E2) suivante :

1

2g (t)+ g (t)= 13

t0[10U (u) g (u)]du+ (10)U (t) (E2)

et la condition g (0)= 10.

On admet que la fonction g admet une transforme de Laplace note G.

1. Montrer que la transforme de Laplace I de la fonction i dfinie par :

i (t)= 13t0[10U (u) g (u)]du

est telle que

I (p)= 130p2

13G(p)p

.

2. En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de la relation(E2), dterminer une expression deG(p).

3. Vrifier queG(p)= 10p 2(p+1)2+52 .


4. Dans cette question, on va dterminer limt+g (t), que lon note g et qui est

la valeur finale du signal reprsent par la fonction g .On rappelle que, daprs le thorme de la valeur finale, g = lim

p0+pG(p).

Dterminer g.

5. a. Dterminer la transforme de Laplace de la fonction qui tout nombrerel t associe et sin(5t)U (t).

b. En dduire lexpression de g (t).

Partie C

Dans cette partie, on prend= 5.En annexe 1, rendre avec la copie, on a reprsent, sur lintervalle [0 ; +[, lescourbesC f etCg reprsentatives des fonctions f et g dfinies dans les parties A et Bavec = 5.On admet ici que pour tout nombre rel t positif ou nul :f (t)= 5e2t +5 et g (t)= 102et sin(5t).On rappelle que f et g sont les limites respectives des fonctions f et g en +.On a donc : f = 5 et g = 10.

1. a. Vrifier que pour tout nombre rel t positif ou nul on a :f (t) f

f= e2t .

b. Soit t1 le nombre rel tel que :

f (t) ff

6 0,02 pour tout t t1.

Calculer la valeur exacte de t1, puis une valeur approche de t1 arrondieau dixime.

2. Soit t2 le nombre rel tel que :

0,026 g (t) gg

6 0,02 pour tout t > t2.

Graphiquement, dterminer une valeur approche de t2, arrondie au dixime.

Dans ce problme, on a tudi un systme entre-sortie, dans la partie A libre detout asservissement, puis dans la partie B contrl par une commande intgrale.On a montr que grce cette commande on peut stabiliser la sortie la valeur10 indpendamment de la perturbation , au prix dune dtrioration du temps derponse du systme et de lapparition doscillations amorties.

Exercice 2 8 points

Les parties A et B peuvent tre traites demanire indpendante.

Le fournisseur daccs Internet Mathoile propose des abonnements comportant lafourniture dun modem ADSL. On appelle p la proportion de modems dfectueuxparmi ceux fournis aux clients.Dans tout lexercice, on considre que p est aussi la probabilit pour un client donnde recevoir un modem dfectueux.Une association de consommateurs lance une enqute auprs des abonns sa re-vue pour estimer leur degr de satisfaction concernant leur abonnement ADSL. Onappelle p la proportion de modems dfectueux parmi ceux qui ont t fournis auxabonns la revue, clients de Mathoile.

Partie A : estimation de p

Parmi les rponses lenqute reues par lassociation, 428 concernent des abon-ns, clients du fournisseur daccsMathoile. Sur ces 428 abonns, 86 dclarent avoirreu unmodem dfectueux.

Groupement A Techniques physiques pourlindustrie et le laboratoire

29 juin 2007


1. On note fe la proportion demodems dfectueux chez les abonns, galementclients de Mathoile, ayant rpondu lenqute.

Donner la valeur exacte de fe , puis sa valeur arrondie au centime.

2. Soit F la variable alatoire qui, un lot de n modems, pris au hasard parmiceux fournis par Mathoile dans la population des abonns la revue, associela frquence dappareils dfectueux.

On peut admettre, n tant assez grand, que la variable alatoire F suit une loi

normale de moyenne p et dcart type =

p (1p

)n

.

Dans cette situation, lcart type de la variable alatoire F peut tre appro-

ch par

fe(1 fe

)n

.

Les responsables de la revue font le raisonnement suivant : le grand nombrede rponses reues notre enqute par les abonns notre revue, clients deMathoile, est un chantillon pris au hasard dans lensemble de nos abonnsqui ont reu un modem Mathoile . Dans cette hypothse, dterminer un in-tervalle de confiance de p ,avec un coefficient de confiance de 0,95.

Partie B : test de validit dhypothse

Le fournisseur daccs Mathoile rfute que lestimation de la proportion p de mo-dems dfectueux obtenue dans la partie A puisse sappliquer lensemble de sa pro-duction.Il considre en effet que lchantillon des personnes qui ont rpondu lenqutenest pas reprsentatif de sa clientle.Ce fournisseur contacte alors un organisme indpendant qui procde son tour une enqute en interrogeant 400 clients Mathoile choisis de manire alatoire.

On appelle G la variable alatoire qui, un chantillon de 400 modems, associe lafrquence dappareils dfectueux dans cet chantillon. partir de cette enqute, onsouhaite tester, au seuil de 5 %, lhypothse nulle H0 : la probabilit p est gale 0,16 contre lhypothse alternative H1 : la probabilit p est infrieure 0,16 .

1. Onpeut supposer, sous lhypothsenulle, queG suit une loi normale demoyenne

0,16 et dcart type s =

0,16(10,16)400

.

Soit a le nombre rel tel que : p(G < 0,16a)= 0,05.Montrer quune valeur arrondie 101 du nombre a est gale 0,030.

2. noncer la rgle de dcision du test.

3. Sur 400 personnes interroges, 48 dclarent avoir reu unmodem dfectueux.Quelle est la conclusion du test ?

Lestimation de la partie A repose sur un chantillon non alatoire et, sans doute, pas

reprsentatif des clients du fournisseur Mathoile.

En revanche, dans la partie B, la mthodologie de construction du test est acceptable.


30 juin 2007



1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

1

1 2 3 41 0


31 juin 2007



1

2

3

1

2

3

4

1 2 3 4 5 6 712

C


32 juin 2007


Brevet de technicien suprieur session octobre 2006Groupement A NouvelleCaldonie

Exercice 1 8 pointsOn considre la fonction dfinie sur R, 2pi-priodique, et telle que :

{(t) = t si 06 t 1, on a : an =1

pin2[cos(npi)1].

On admet que, pour tout nombre entier n> 1, on a : bn =cos(npi)

n.

4. On considre la fonction S3 dfinie sur R par :

S3(t)= a0+3

n=1[an cos(nt)+bn sin(nt)]

o les nombres a0 , an ,bn sont les coefficients de Fourier associes la fonction dfinie prcdemment.

a. Recopier et complter le tableau avec les valeurs exactes des coefficientsdemands.

a0 a1 b1 a2 b2 a3 b3

29pi

1

3

b. Calculer la valeur exacte de S3(pi4

)puis donner la valeur approche de

(pi4

)S3

(pi4

)arrondie 102.

5. On rappelle la formule de Parseval permettant de calculer le carr de la valeurefficace 23 de la fonction S3.

23 = a20+1

2

[a21+b21+a22+b22+a23+b23

]a. Calculer la valeur exacte de 23.

b. Calculer la valeur approche de23

2effarrondie 102.

Exercice 2 12 pointsDans ceproblme, on sintresse unfiltremodlismathmatiquement par lqua-tion diffrentielle suivante :


33 juin 2007


{s(t)+ s(t) = e(t)

s(0) = 0La fonction e reprsente lentre aux bornes du filtre et la fonction s la sortie.On admet que les fonctions e et s admettent des transformes de Laplace respecti-vement notes E et S. La fonction de transfert H du filtre est dfinie par :

S(p)=H(p)E (p).On rappelle que la fonction chelon unit, noteU , est dfinie par :

{U (t) = 0 si t < 0U (t) = 1 si t > 0.

Partie A

1. Montrer que : H(p)= 1p+1 .

2. La fonction e est dfinie par : e(t)= tU (t) (t1)U (t 1).a. Reprsenter graphiquement la fonction e.

b. Montrer que : E (p)= 1p2

(1ep ).

c. En dduire S(p).

d. Dterminer les nombres rels a, b et c tels que :

1

p2(p+1) =a

p+ bp+ cp+1

e. En dduire loriginal s de S.

f. Vrifier que :

s(t) = 0 si t < 0s(t) = t 1+et si 06 t < 1s(t) = 1+ (1e)et si 16 t

3. a. Comparer s (1) et s(1+).

b. Calculer s(t) et tudier son signe sur les intervalles ]0 ; 1[ et ]1 ; +[.c. En dduire le sens de variation de la fonction s sur lintervalle ]0 : +[.d. Dterminer la limite de la fonction s en +.

Partie B

On note j le complexe de module 1 et dargumentpi

2.

On prend p = j o dsigne un nombre rel positif. On a alors : H(j)= 11+ j .

Onmunit le plan dun repre orthonormal(O,

u ,

v)dunit graphique 10 cm.

1. Montrer que lensemble () des points m daffixe z = 1+ j lorsque dcritlintervalle [0 ; +[ est une demi-droite que lon caractrisera.

2. Quel est lensemble (C ) des points M daffixe Z = 11+ j lorsque dcrit lin-

tervalle [0 ; +[ ?3. Reprsenter, dans le repre

(O,

u ,

v)les ensembles () et (C ).


34 juin 2007


Brevet de technicien suprieursession 2008 - groupement A (lectrotechnique)


On rappelle que la fonction chelon unitU est dfinie sur R par :{U (t)= 0 si t < 0U (t)= 1 si t > 0

Une fonction dfinie sur R est dite causale si elle est nulle sur lintervalle ] ; 0[.1. On considre la fonction causale e dfinie sur lensemble des nombres rels

par :e(t)= 4[U (t)U (t2)]

a. Tracer la reprsentation graphique de la fonction e dans un repre or-thonormal.

b. On note E la transforme de Laplace de la fonction e.Dterminer E (p).

2. On considre la fonction s telle que

4s(t)+ s(t)= e(t) et s(0)= 0

On admet que la fonction s admet une transforme de Laplace, note S.Dmontrer que :

S(p)= 1

p

(p+ 1

4

) (1e2p)

3. Dterminer les rels a et b tels que :

1

p

(p+ 1

4

) = ap+ bp+ 1

4

4. Complter le tableau ci-dessous dans lequel f reprsente la fonction causaleassocie F :

F (p)1

p

1

pe2p

1

p+ 14

1

p+ 14

e2p

f (t) U (t)

5. a. Dterminer s(t), t dsignant un nombre rel quelconque.

b. Vrifier que :

s(t)= 0 si t < 0

s(t)= 44et

4 si 06 t < 2

s(t)= 4et

4

e

1

2 1 si t > 2

6. a. Justifier que la fonction s est croissante sur lintervalle [0; 2[.

b. Dterminer limt2t


7. a. Dterminer le sens de variation de la fonction s sur lintervalle [2; +[.b. Dterminer lim

t+ s(t).

8. Tracer la courbe reprsentative de la fonction s dans un repre orthonormal.

Exercice 2 9 points

Dans ce problme, on approche un signal laide dune fonction affine par mor-ceaux.

On dsigne par E un nombre rel de lintervalle ]0; 3[.On considre la fonction f dfinie sur R, paire, priodique de priode 5, telle que :

f (t)=

E t si 06 t < 1(3E )t +2E 3 si 16 t < 2

3 si 26 t 65

2

Partie A :Dans cette partie, et uniquement dans cette partie,on se place dans le cas o E = 2.

1. Prciser lcriture de f (t) sur chacun des intervalles [0; 1[, [1; 2[ et

[2;

5

2

].

2. Reprsenter graphiquement la fonction f sur lintervalle [5; 10].

Partie B :

Dans cettepartie,on seplace dans le cas gnral, cest--dire dans le cas o la valeurde E nest pas spcifie.On appelle S la srie de Fourier associe la fonction f .

On note S(t)= a0++n=1

(an cos

(2npi

5t

)+bn sin

(2npi

5t

)).

1. Montrer que la valeur moyenne de la fonction f sur une priode est a0 =2E +35

.

2. Dterminer bn pour tout entier naturel n suprieur ou gal 1.

3. a. Montrer que pour tout nombre entier naturel n suprieur ou gal 1 :10t cos

(2npi

5t

)dt = 5

2npisin

(2npi

5

)+ 254n2pi2

(cos

(2npi

5

)1

).

b. On a calcul les intgrales21 f (t)cos

(2npi

5t

)dt et

522 f (t)cos

(2npi

5t

)dt .

On a ainsi obtenu pour tout nombre entier naturel n suprieur ou gal 1 :

52

0f (t)cos

(2npi

5t

)dt = 25

4n2pi2

((2E 3)cos

(2npi

5

)+ (3E )cos

(4npi

5

)E

).

En dduire que pour tout nombre entier naturel suprieur ou gal 1 :

an =5

n2pi2

((2E 3)cos

(2npi

5

)+ (3E )cos

(4npi

5

)E

).

4. Pour tout nombre entier naturel n suprieur ou gal 1, on appelleun lhar-monique de rang n.

On a alors

un (t)= an cos(2npi

5t

)+bn sin

(2npi

5t

)pour tout nombre rel t .


36 juin 2007


a. Montrer quau rang 5, u5(t) est nul pour tout nombre rel t .

b. On appelle E0 la valeur de E pour laquelle lharmonique de rang 3 estnulle, cest--dire la valeur de E telle que u3(t) est nul pour tout nombrerel t .

Dterminer la valeur exacte, puis une valeur approche 102 prs, deE0.

Dans ce problme, laide dun transformateur diode, on approche un signal sinu-

sodal redress par une fonction affine par morceaux.

Un tel signal avec u3(t)= u5(t)= 0 permettra :

3 sil est associ unmoteur, de rduire les -coups du couple3 sil est associ un transformateur, dviter les pertes3 sil est associ un filtre, dliminer plus facilement les harmoniques de rangimpair dordre suprieur.


37 juin 2007


Brevet de technicien suprieursession 2008 - groupement A2


On considre un systme analogique entre-sortie dans lequel le signal dentreest reprsent par une fonction e et celui de sortie par une fonction s.

Une fonction dfinie sur R est dite causale si elle est nulle surlintervalle ] ; 0[.Les fonctions e et s sont des fonctions causales et on suppose quelles admettent destransformes de Laplace notes respectivement E et S.

On rappelle que la fonction chelon unitU est dfinie sur R par :{U (t)= 0 si t < 0U (t)= 1 si t 0

1. La fonction de transfert H du systme est dfinie par S(p)=H(p)E (p).On suppose, dans le cadre de cette tude, que H(p)= 1

1+2p et e(t)=U (t).

a. Dterminer S(p).

b. Dterminer les rels et tels que S(p)= p+ p+ 1

2

.

c. En dduire s(t).

2. On se propose dapprocher la fonction de transfert analogique H par la fonc-

tion de transfert numrique F telle que F (z)=H(10

1 z11+ z1

)=H

(10z10z+1

).

Lentre et la sortie du systme numrique sontmodliss respectivement pardeux signaux causaux discrets x et y , admettant des transformes en Z notesrespectivement X et Y .

On se place toujours dans le cas o le signal dentre du systme analogiqueestU (t).

Le signal dentre du systme analogique est chantillonn au pas de 0,2.

Ainsi, le signal dentre x du systme numrique est dfini par x(n)=U (0,2n)pour tout nombre entier naturel n.

Les transformes en Z des signaux x et y vrifient Y (z)= F (z)X (z).

a. Montrer que F (z)= z+121z19 .

b. Dterminer X (z).

c. Vrifier que Y (z)= zz1

20

21

zz 19

21

.

En dduire lexpression y(n), pour tout nombre entier naturel n.

3. Complter, sur lannexe, rendre avec la copie, le tableau en donnant desvaleurs approches 103 prs des rsultats demands.

La mthode utilise dans lexercice 1, pour discrtiser le systme analogique, est sou-

vent appele transformation bilinaire. Dans le cadre de lexemple tudi, nous ob-

servons que cette transformation prserve la stabilit du systme et que les signaux de

sortie analogique et numrique convergent vers la mme limite.


38 juin 2007



Spcialits lectrotechnique et gnie optique

On rappelle que la fonction chelon unit, note U , est dfinie sur lensemble desnombres rels par {

U (t)= 0 si t < 0U (t)= 1 si t 0

Une fonction dfinie sur R est causale si elle est nulle sur lintervalle ] ; 0[.1. On considre la fonction causale e dfinie sur lensemble des nombres rels

par :e(t)= 4[U (t)U (t2)]

a. Tracer la reprsentation graphique de la fonction e dans un repre or-thonormal.

b. On note E la transforme de Laplace de la fonction e.Dterminer E (p).

2. On considre la fonction s telle que

4s(t)+ s(t)= e(t) et s(0)= 0

On admet que la fonction s admet une transforme de Laplace, note S.

Dmontrer que :

S(p)= 1

p

(p+ 1

4

) (1e2p)

3. Dterminer les rels a et b tels que :

1

p

(p+ 1

4

) = ap+ bp+ 1

4

4. Complter le tableau ci-dessous dans lequel f reprsente la fonction causaleassocie F :

F (p)1

p

1

pe2p

1

p+ 14

1

p+ 14

e2p

f (t) U (t)

5. a. Dterminer s(t), t dsignant un nombre rel quelconque.

b. Vrifier que : s(t)= 0 si t < 0s(t)= 44e t4 si 0 t < 2s(t)= 4e t4

(e

12 1

)si t 2

6. a. Justifier que la fonction s est croissante sur lintervalle [0 ; 2[.

b. Dterminer limt2t


Exercice 3 9 points

Dans ce problme, on approche un signal laide dune fonction affine par mor-ceaux.

On dsigne par E un nombre rel de lintervalle ]0 ; 3[.On considre la fonction f dfinie sur R, paire, priodique de priode 5, telle que :

f (t)=

E t si 0 t < 1(3E )t +2E 3 si 1 t < 2

3 si 2 t 52

Partie A :Dans cette partie, et uniquement dans cette partie,on se place dans le cas o E = 2.

1. Prciser lcriture de f (t) sur chacun des intervalles [0; 1[, [1; 2[ et[2; 52

].

2. Reprsenter graphiquement la fonction f sur lintervalle [5; 10].

Partie B :Dans cettepartie,on seplace dans le cas gnral, cest--dire dans le cas o la valeurde E nest pas spcifie.On appelle S la srie de Fourier associe la fonction f .

On note S(t)= a0++n=1

(an cos

(2npi

5t

)+bn sin

(2npi

5t

)).

1. Montrer que la valeur moyenne de la fonction f sur une priode est a0 =2E +35

.

2. Dterminer bn pour tout entier naturel n suprieur ou gal 1.

3. a. Montrer que pour tout nombre entier naturel n suprieur ou gal 1 :

10t cos

(2npi

5t

)dt = 5

2npisin

(2npi

5

)+ 254n2pi2

(cos

(2npi

5

)1

).

b. Ona calcul les intgrales21

f (t)cos

(2npi

5t

)dt et

52

2f (t)cos

(2npi

5t

)dt .

On a ainsi obtenu pour tout nombre entier naturel n suprieur ou gal 1 :

52

0f (t)cos

(2npi

5t

)dt = 25

4n2pi2

((2E 3)cos

(2npi

5

)+ (3E )cos

(4npi

5

)E

).

En dduire que pour tout nombre entier naturel suprieur ou gal 1 :

an =5

n2pi2

((2E 3)cos

(2npi

5

)+ (3E )cos

(4npi

5

)E

).

4. Pour tout nombre entier naturel n suprieur ou gal 1, on appelle un lhar-monique de rang n.

On a alors un (t)= an cos(2npi

5t

)+bn sin

(2npi

5t

)pour tout nombre rel t .

a. Montrer quau rang 5, u5(t) est nul pour tout nombre rel t .

b. On appelle E0 la valeur de E pour laquelle lharmonique de rang 3 estnulle, cest--dire la valeur de E telle que u3(t) est nul pour tout nombrerel t .

Dterminer la valeur exacte, puis une valeur approche 102 prs, deE0.


40 juin 2007


Dans ce problme, laide dun transformateur diode, on approche un signal sinu-

sodal redress par une fonction affine par morceaux.

Un tel signal avec u3(t)= u5(t)= 0 permettra :3 sil est associ un moteur, de rduire les -coups du couple3 sil est associ un transformateur, dviter les pertes3 sil est associ un filtre, dliminer plus facilement les harmoniques de rang impairdordre suprieur.


41 juin 2007


Annexe rendre avec la copie

n y(n) t = 0,2n s(t)0 01 0,25 110 215 320 425 550 10


42 juin 2007


Brevet de technicien suprieurNouvelleCaldonie novembre 2007 - groupement A

Exercice 1 9 pointsOn considre la fonction numrique paire, 2pi-priodique, dfinie sur lintervalle[0 ; pi] par :

f (t) = cos(t) si 06 t < pi2

f (1) = 0 si pi26 t 6pi

On a trac en pointill sur le document-rponse la courbe representative de la fonc-tion cosinus sur lintervalle [pi ; 3pi].

1. Reprsenter. sur le document rponse rendre avec la copie la fonction f surlintervalle [pi ; 3pi].

2. Onadmet que la fonction f satisfait aux conditions dapplication du thormede Dirichlet et, par consquent quelle est dcomposable en srie de Fourier.

On note :

S(t)= a0+n>1

[an cos(nt)+bn sin(nt)]

la srie de Fourier associe la fonction f .

a. Donner la valeur de bn pour tout entier naturel n suprieur ou gal 1.

b. Calculer a0.

c. Calculer a1.

d. Montrer que, pour tout entier naturel n suprieur ou gal 2, on a :

an =1

pi

sin

[(n1)pi

2

]n1 +

sin[(n+1)pi

2

]n+1

3. On note S1(t) la srie de Fourier associe la fonction f tronque au rang 1.

On a donc : S1(t)=1

pi+ 12cos t .

partir de la courbe reprsentative de la fonction cosinus tracer sur le docu-ment rponse la courbe reprsentant la fonction S1 sur lintervalle [pi ; 3pi].On laissera figurer les tracs intermdiaires.

Exercice 2 11 pointsDans cet exercice, on considre la fonction f dfinie sur lensemble des nombresrels telle que :

f (t)+ 6

5f (t)+ f (t) = 1 pour tout nombre rel t

f (0) = 0f (0) = 0

1. Dans cette question on dtermine une expression de f (t).

a. Rsoudre lquation diffrentielle (E)

y (t)+ 65y (t)+ y(t)= 0 (E)

dans laquelle y dsigne une fonction de la variable relle t .


43 juin 2007


b. En dduire que la fonction f est dfinie pour tout nombre rel t par :

f (t)= 1e 35 t[cos

(4

5t

)+ 34sin

(4

5t

)].

2. Dans cette question on dtermine la limite de la fonction f au voisinage de+.a. Justifier que, pour tout nombre rel t , on a :

e 35 t 6 e 35 t cos(4

5t

)6 e

35 t

b. En dduire que

limt+e

35 t cos(4

5t

)= 0

c. Dterminer la limite de la fonction f en +.3. a. Calculer f (t) pour tout nombre rel t .

b. Montrer que : f (t) = 0 quivaut t = 5kpi4

, o k dsigne un nombre

entier relatif.

c. On note pour tout nombre entier relatif k, tk =5kpi

4et on pose

Dk = f (tk )1.

Montrer que :Dk = e34 kpi.

Document-rponse rendre avec la copie

1

1

1 2 3 4 5 6 7 8 91234


44 juin 2007


Brevet de technicien suprieurMtropolePolynsie session 2009 - groupement A1

Exercice 1 9 points

Cet exercice se compose de trois parties qui peuvent tre traites indpendamment

lune de lautre.

On sintresse aux requtes reues par le serveur web dune grande entreprise, prove-

nant de clients disperss sur le rseau Internet.

La rception de trop nombreuses requtes est susceptible dengendrer des problmes

de surcharge du serveur.

Partie A :

Dans cette partie, on sintresse au nombre de requtes reues par le serveur, aucours de certaines dures juges critiques.On dsigne par un nombre rel strictement positif. On appelle X la variable ala-toire qui prend pour valeurs le nombre de requtes reues par le serveur dans unintervalle de temps de dure (exprime en secondes). La variable alatoire X suitune loi de Poisson de paramtre = 500.

1. Dans cette question, on sintresse au cas o = 0,01.Dterminer la probabilit que le serveur reoive au plus une requte au coursdune dure de 0,01 s.

En expliquant votre dmarche, dtenniner le plus petit entier naturel n0 telque p (X > n0)< 0,05.Dans cette question, on sintresse au cas o = 0,2.On rappelle que la loi de Poisson de paramtre = 100 peut tre approchepar la loi normale de moyenne = 100 et dcart type = 10.En utilisant cette approximation, calculer :

a. la probabilit P (X > 120) ;b. une valeur approche du nombre rel positif a tel que P (100 a 6 X 6

100+a)= 0,99.

Partie B :

Dans cette partie, on considre : dune part, que la probabilit pour le serveur de connatre des dysfonctionne-

ments importants au cours dune journe donne est p = 0,01 ; dautre part, que des dysfonctionnements importants survenant au cours de

journes distinctes constituent des vnements alatoires indpendants.

1. On appelle Y la variable alatoire correspondant au nombre de jours o leserveur connat des dysfonctionnements importants au cours dun mois de30 jours.

a. On admet que la variable alatoire Y suit une loi binomiale.

Prciser les paramtres de cette loi.

b. Calculer, 103 prs, la probabilit que le serveur connaisse au plus 2jours de dysfonctionnements importants pendant un mois.

2. On appelle Z la variable alatoire correspondant au nombre de jours o leserveur connat des dysfonctionnements importants au cours dune anne de365 jours.

a. Donner, sans justification, la loi de probabilit de la variable alatoire Z .


45 juin 2007


b. Donner lesprance mathmatique et lcart type de la variable alatoireZ .

Partie C :

Dans cette partie. on sintresse la dure sparant deux requtes successives re-ues par le serveur.On appelle T la variable alatoire qui prend pour valeurs les dures (exprimes ensecondes) sparant larrive de deux requtes successives sur le serveur.

1. On dsigne par t un nombre rel positif. La probabilit que T prenne une va-

leur infrieure ou gale t est donne par : p(T 6 t)=t0500e500x dx.

a. Calculer P (T 6 t) en fonction de t .

b. En dduire la valeur de t pour laquelle P (T 6 t) = 0,95. On donnera lavaleur exacte puis une valeur approche aumillime de seconde.

2. a. Calculer, laide dune intgration par parties, lintgrale

I (t)=t0500xe500x dx.

b. Dterminer la limitem de I (t) quand t tend vers +.Le nombre m est lesprance mathmatique de la variable alatoire T .Il reprsente la dure moyenne sparant la rception de deux requtessuccessives.

Commentaire :

Ce modle, trs simple, intresse les concepteurs de systmes dinformation ou de t-

lcommunication car il fournit des valuations de certaines performances dun sys-

tme, en particulier au sens du scnario du pire des cas .


Dans cet exercice, on tudie un systme entre-sortie .

La partie A permet de dterminer la rponse lchelon unit.

Les parties B et C permettent dtudier les perturbations rsultant dune coupure de

0,1 seconde.On rappelle que la fonction chelon unitU est dfinie par :

{U (t) = 0 si t < 0U (t) = 1 si t > 0

Une fonction dfinie sur R est dite causale si elle est nulle sur lintervalle ] ; 0[.Partie A :

On considre la fonction causale s1 telle que, pour tout nombre rel t :

s1(t)+t0s1(u)du =U (t).

On note S1 la transforme de Laplace de la fonction s1.

1. Montrer que S1(p)=1

p+1 .

2. En dduire s1(t) pour tout nombre rel t .

La courbe reprsentative de la fonction s1 est donne par la figure 1 du docu-ment rponse.


46 juin 2007


Partie B :


s2(t)+t0s2(u)du =U (t)U (t 1).


1. Reprsenter graphiquement la fonction e2 dfinie sur lensemble des nombresrels par :

e2(t)=U (t)U (t 1).2. Dterminer S2(p).

3. a. En dduire s2(t) pour tout nombre rel t .

b. Justifier que :

s2(t) = 0 si t < 0s2(t) = et si 06 t 6 1s2(t) = et (e1) si t > 1

4. tablir le sens de variation de la fonction s2 sur lintervalle ]1 ; +[.5. Calculer s2

(1+) s2 (1).

6. On appelle C2 la courbe reprsentative de la fonction s2.

a. Reproduire et complter le tableau de valeurs ci-dessous :

t 1 1,1 1,5 2 2,5s2(t)

Les rsultats seront donns 102 prs.b. Complter le trac de la courbe C2 sur la figure 2 du document rponse,

rendre avec la copie.

Partie C :


s3(t)+t0s3(u)du =U (t)U (t1)+U (t 1,1).

1. Soit la fonction e3 dfinie sur lensemble des nombres rels par :e3(t)=U (t)U (t1)+U (t 1,1).a. Montrer que e3(t)= e2(t) pour tout nombre rel t appartenant linter-

valle ] ; 1,1[.b. Dterminer e3(t) pour t > 1,1.

c. Reprsenter graphiquement la fonction e3.

Pour la suite, on admet que :{s3(t) = s2(t) si t < 1,1s3(t) = et

(1e+e1,1

)si t > 1,1.

2. tablir le sens de variation de la fonction s3 sur lintervalle ]1,1 ; +[.3. Calculer s3

(1,1+

) s3 (1,1).



t 1,1 1,5 2 2,5s3(t)

Les rsultats seront donns 102 prs.b. Complter le trac de la courbe C3 sur la figure 3 du document rponse,

rendre avec la copie.


47 juin 2007



Exercice 1 9 points

Le but de cet exercice est dtablir, avec un minimum de calculs, le dveloppement en

srie de Fourier de fonctions priodiques rencontres en lectricit.

1. On considre un entier n strictement positif. Montrer que :

10t cos(npit)dt = cos(npi)1

n2pi2.

Pour la suite de lexercice, on admet que :10sin(npit)dt =cos(npi)

npi.

2. On considre la fonction f dfinie sur R, priodique de priode 2, telle que :

{f (t) = t sur [0 ; 1[f (t) = 0 sur [1 ; 2[ .

a. En utilisant le document rponse no 1, rendre avec la copie, tracer lacourbe C f reprsentative de la fonction f sur lintervalle [4 ; 4].

b. On appelle S f la srie de Fourier associe la fonction f . On note

S f (t)= a0++i=1

(an cos(npit)+bn sin(npit)).

Calculer a0.

Donner les valeurs des coefficients an et bn , et en dduire que :

S f (t)=1

4++n=1

(cos(npi)1

n2pi2cos(npit) cos(npi)

npisin(npit)

).

c. Calculer le carr de la valeur efficace de la fonction f , dfini par

2eff =12

20

(f (t)

)2 dt .d. Recopier et complter, avec les valeurs exactes le tableau

n 1 2 3anbn

e. Donner une valeur approche 103 prs du nombre rel A dfini par :

A =a20+

1

2

3n=1

(a2n +b2n

)2eff

.

3. Soit g la fonction dfinie sur R, priodique de priode 2, dont la courbe re-prsentative Cg est trace sur lintervalle [4 ; 4] dans le document rponseno 1.

On admet que le dveloppement en srie de Fourier Sg associ la fonctiong , est dfini par Sg (t)= S f (t).Justifier que :

Sg (t)=1

4++n=1

(cos(npi)1

n2pi2cos(npit)+ cos(npi)

npisin(npit)

).


48 juin 2007


4. Soit h et k les fonctions dfinies sur R, priodiques de priode 2, telles que :h(t)= f (t)+ g (t) et k(t)= f (t) g (t) pour tout nombre t .a. Sur le document rponse no 1, rendre avec la copie, tracer les courbes

Ch et Ck reprsentatives des fonctions h et k sur lintervalle [4 ; 4].b. On admet que les dveloppements en srie de Fourier Sh et Sk associs

respectivement aux fonctions h et k, sont dfinis par :

Sh(t)= S f (t)+Sg (t) et Sk (t)= S f (t)Sg (t).

Dterminer les coefficients de Fourier associs respectivement aux fonc-tions h et k.

Reprsentation de la fonction f

1

2

1

2

1 2 3 4 512345

Reprsentation de la fonction g


49 juin 2007


1

2

1

2

1 2 3 4 512345


50 juin 2007


Reprsentationde la fonctionh

1

2

1

2

1 2 3 4 512345

Reprsentation de la fonction k


51 juin 2007


1

2

1

2

1 2 3 4 512345


Dans cet exercice, on tudie un systme entre-sortie .

La partie A permet de dterminer la rponse lchelon unit.

Les parties B et C permettent dtudier les perturbations rsultant dune coupure de

0,1 seconde.On rappelle que la fonction chelon unitU est dfinie par :

{U (t) = 0 si t < 0U (t) = 1 si t > 0

Une fonction dfinie sur R est dite causale si elle est nulle sur lintervalle ] ; 0[.Partie A :


s1(t)+t0s1(u)du =U (t).


52 juin 2007



1. Montrer que S1(p)=1

p+1 .

2. En dduire s1(t) pour tout nombre rel t .

La courbe reprsentative de la fonction s1 est donne par la figure 1 du docu-ment rponse.

Partie B :


s2(t)+t0s2(u)du =U (t)U (t 1).


1. Reprsenter graphiquement la fonction e2 dfinie sur lensemble des nombresrels par :

e2(t)=U (t)U (t 1).2. Dterminer S2(p).

3. a. En dduire s2(t) pour tout nombre rel t .

b. Justifier que :

s2(t) = 0 si t < 0s2(t) = et si 06 t 6 1s2(t) = et (e1) si t > 1

4. tablir le sens de variation de la fonction s2 sur lintervalle ]1 ; +[.5. Calculer s2

(1+) s2 (1).



t 1 1,1 1,5 2 2,5s2(t)

Les rsultats seront donns 102 prs.

b. Complter le trac de la courbe C2 sur la figure 2 du document rponse, rendre avec la copie.

Partie C :


s3(t)+t0s3(u)du =U (t)U (t1)+U (t 1,1).

1. Soit la fonction e3 dfinie sur lensemble des nombres rels par :

e3(t)=U (t)U (t1)+U (t 1,1).a. Montrer que e3(t)= e2(t) pour tout nombre rel t appartenant linter-

valle ] ; 1,1[.b. Dterminer e3(t) pour t > 1,1.

c. Reprsenter graphiquement la fonction e3.

Pour la suite, on admet que :

{s3(t) = s2(t) si t < 1,1s3(t) = et

(1e+e1,1

)si t > 1,1.


53 juin 2007


2. tablir le sens de variation de la fonction s3 sur lintervalle ]1,1 ; +[.3. Calculer s3

(1,1+

) s3 (1,1).



t 1,1 1,5 2 2,5s3(t)

Les rsultats seront donns 102 prs.

b. Complter le trac de la courbe C3 sur la figure 3 du document rponse, rendre avec la copie.


54 juin 2007


Document rponse no 2, rendre avec la copie (exercice 2)

Figure 1 : reprsentationde la fonction s1

1

1

1 2

e1

O


1

1

1 2

e1

O


1

1

1 2

e1

O


55 juin 2007


Brevet de technicien suprieurnovembre 2008 - groupement A Nouvelle-Caldonie


On dsigne par un nombre rel positif tel que 0


d. Donner une valeur approche 103 prs du quotientG2

F 2.

Ce dernier rsultat montre que la fonction g constitue une assez bonne

approximation de la fonction f .

Exercice 2 10 pointsOn sintresse un systme entre-sortie.Dans les parties A et B, on tudie la rponse de ce systme deux entres diffrentes.Les parties A et B sont indpendantes dans leurs rsolutions respectives.

Partie AOn considre lquation diffrentielle (E1) suivante :

y"(t)+4y(t)= 8 (E1)

o y dsigne une fonction drivable de la variable relle t .

1. a. Donner la solutionparticulire constante de lquation diffrentielle (E1).

b. Dterminer la solution gnrale de lquation (E1).

2. a. Montrer que la fonction f , solution de lquation diffrentielle (E1) et quivrifie f (0)= 0 et f (0)= 0 est dfinie sur R par :

f (t)= 2[1cos(2t)].

b. La fonction f est priodique. En donner une priode.

Prciser, sans justification, le maximum et le minimum de la fonction f .

c. Reprsenter la fonction f sur lintervalle [0 ; 2pi].

Partie BOn rappelle que la fonction chelon unitU est dfinie par :

{U (t) = 0 si t < 0U (I ) = 1 si t > 0

Une fonction dfinie sur R est dite causale si elle est nulle sur lintervalle ] ; 0[.On considre la fonction e dfinie sur lintervalle [0 ; +[ par :

e(t)= 8[U (t)U

(t pi

2

)+U (t pi)U

(t 3pi

2

)]

On considre la fonction causale g qui vrifie les conditions g (0) = 0 et g (0) = 0,ainsi que la relation (E2) suivante :

y"(t)+4y(t)= e(t) (E2)On admet que la fonction g possde une transforme de Laplace noteG.

1. a. Reprsenter la fonction e sur lintervalle [0 ; 2pi].

b. On appelle E la transforme de Laplace de la fonction e.

Dterminer E (p).

2. a. Enappliquant la transformationde Laplace aux deuxmembres de lqua-tion (E2), montrer que :

G(p)= 8p(p2+4

) (1ep pi2 +eppiep 3pi2 ) .


57 juin 2007


b. Vrifier que la fonctionh dfinie surR parh(t)= 2[1cos(2t)]U (t) a pourtransforme de Laplace la fonction H dfinie par

H(p)= 8p(p2+4

) .c. Donner une expression de la fonction g , en utilisant ventuellement la

fonction h.

3. a. Ondonne les expressions de g (t) sur les intervalles[pi2; pi

[et

[3pi

2; +

[:

g (t) = 4cos(2t) si t [pi2; pi

[g (t) = 8cos(2t) si t

[3pi

2; +

[

Donner des expressions similaires de g (t) pour les intervalles[0 ;

pi

2

[et[

pi ;3pi

2

[.

b. On a reprsent sur lannexe, rendre avec la copie la fonction g sur les

intervalles[pi2; pi

[et

[3pi

2; +

[.

Complter le graphique en traant la reprsentation graphique de g sur

les intervalles[0 ;

pi

2

[et

[pi ;

3pi

2

[.


58 juin 2007


Annexe

rendre avec la copie

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

pi2 pi

3pi2 2pi

t


59 juin 2007




Dans cet exercice, on se propose dtudier dans la partie A une perturbation dun si-

gnal continu et, dans la partie B, la correction de cette perturbation par un filtre ana-

logique.

Partie A

Dans cet exercice, on note une constante relle appartenant lintervalle [0 ; 2pi] eton considre les fonctions f et g dfinies sur lensemble R des nombres rels, tellesque :

pour tout nombre rel t , f (t)= 1 ; la fonction g est priodique de priode 2pi et :

{g (t) = 0 si 06 t < g (t) = 1 si 6 t < 2pi

Pour tout nombre rel t , on pose :

h(t)= f (t) g (t)La fonction h ainsi dfinie reprsente la perturbation du signal.

1. Les courbes reprsentatives des fonctions f et g sont traces sur le documentrponse no 1. (figures 1 et 2).

Sur la figure 3 du document rponse no 1, tracer la reprsentation graphiquede la fonction h.

2. On admet que la fonction h est priodique de priode 2pi.

Pour tout nombre rel t , on dfinit la srie de Fourier S(t) associe la fonc-tion h par

S(t)= a0++n=1

(an cos(nt)+bn sin(nt))

a. Dterminer a0.

b. Soit n un nombre entier suprieur ou gal 1.

Calculer

0cos(nt)dt

et en dduire que

an =1

npisin(n).

c. Montrer que pour tout nombre entier n suprieur ou gal 1,

bn =1

npi(1cos(n)).

3. Soit n un nombre entier naturel. On associe n le nombre rel An tel que :

A0 = a0

An =

a2n +b2n2

si n est un nombre entier suprieur ou gal 1.


60 juin 2007


Montrer que, pour tout entiern suprieur ou gal 1, on a : An =1

npi

p1cos(n).

On suppose, pour toute la suite de lexercice, que = pi4.

4. Complter le tableau 1 du document rponse no 2 avec des valeurs appro-ches 105 prs.

5. La valeur efficace heff de la fonction h est telle que :

h2eff =1

2pi

2pi0

[h(t)]2 dt .

a. Calculer h2eff.

b. Calculer une valeur approche 104 prs du nombre rel P dfini par

P =3

n=0A2n .

c. Calculer une valeur approche 102 prs du quotientP

h2eff.

Partie B

On rappelle que j est le nombre complexe de module 1 et dont un argument estpi

2.

On considre la fonction de transfert H dfinie, pour tout nombre complexe p dif-

frent de 32par :

H(p)= 32p+3 .

On dfinit la fonction r , pour tout nombre rel positif , par :

r ()= |H(j)|.Le but de cette partie est de dterminer le spectre damplitude du signal, not k,obtenu en filtrant la perturbationh aumoyen dun filtre dont la fonction de transfertest H .

1. Montrer que r ()= 3p9+42

.

2. Pour tout nombre entier naturel n, on dfinit le nombre rel positif Bn par :

Bn = r (n) An ,

o An est le nombre rel positif dfini dans la question 3 de la partie A.

Complter le tableau 2 du document rponse no 2, avec des valeurs appro-ches 105 prs.

Le spectre damplitude du signal filtr k est donn par la suite des nombres rels

Bn .

3. La figure 4 sur le document rponse no 2 donne le spectre damplitude dela perturbation h, cest--dire une reprsentation graphique de la suite desnombres rels An .

Sur la figure 5 du document rponse no 2, on a commenc de mme repr-senter la suite des nombres rels Bn .

Complter cette reprsentation graphique laide du tableau de valeurs no 2du document rponse no 2.


61 juin 2007


4. Une valeur approche 104 prs du carr de la valeur efficace du signal k estk2eff 0,0516.a. CaLculer une valeur approche 104 prs du nombre rel Q dfini par

Q =3

n=0B2n .

b. Calculer une valeur approche 101 prs du quotientQ

k2eff.

Ona tudi le spectre de Fourier dune perturbaton dun signal. On ne peut pas ngli-

ger les raies de hautes frquences de ce spectre. Le filtrage dissipe une part importante

de lnergie de la perturbation et les raies de hautes frquences de la perturbation fil-

tre sont ngligeables.


On considre un systme physique dont ltat est modlis par la fonction y de lavariable relle t , solution de lquation diffrentielle :

y (t)+4y(t)= e(t) (1),o la fonction e reprsente une contrainte extrieure au systme.

Partie A

Dans cette partie, on suppose que e(t) = 20pour tout nombre rel t . Lquation,diffrentielle(1) scrit alors sous la forme :

y (t)+4y(t)= 20 (2).1. Dterminer la fonction constante h solution particulire de Lquation diff-

rentielle (2).

2. Dterminer la solution gnrale de lquation diffrentielle (2).

3. En dduire lexpression de la fonction f solution de lquation diffrentielle(2) qui vrifie les conditions f (0)= 0 et f (0)= 0.

Partie B

Dqns cette partie, on tudie un moyen damener le systme vers un tat dquilibrede manire lisse . cette fin on soumet le systme une contrainte extrieure modlise par la fonc-tion e dfinie par :

e(t)= 8tU (t)8(t )U (t 1).o dsigne un nombre rel strictement positif.On rappelle que la fonction chelon unitU est dfinie par :

{U (t) = 0 si t < 0U (t) = 1 si t > 0 .

Une fonction dfinie sur R est dite causale si elle est nulle sur lintervalle ] ; 0[.On appelle g la fonction causale telle que :

g (t)+4g (t)= e(t)et vrifiant :

g (0)= 0 et g (0)= 0.On note G(p) la transforme de Laplace de la fonction g et E (p) la transforme deLaplace de la fonction e.


62 juin 2007


1. Exprimer E (p) en fonction de p et de .

2. En dduire que :

G(p)= 8p2(p2+4

) (1ep) .3. Dterminer les constantes relles A et B telles que :

8

p2(p2+4

) = Ap2

+ Bp2+4 .

4. Dterminer alors loriginal de8

p2(p2+4

) .5. En dduire que, pour tout nombre t :

g (t)= g0(t) g0(t ) avec g0(t)= (2t sin(2t))U (t).

6. Montrer que pour t > , on a

g (t)= 2 sin(2t)+ sin(2t 2).

7. On supposemaintenant que =pi.a. Simplifier lexpression de g (t) pour t > .

b. La courbe reprsentative de la fonction e, pour = pi, est trace sur lafigure du document rponse no 3.

Sur le mme graphique, tracer la coutbe reprsentative de la fonotion g .


63 juin 2007



Figure 1 : courbe reprsentative de f

1

3pi 2pi pi pi 2pi 3pi0

Figure 2 : courbe reprsentative de g

1


Figure 3 : courbe reprsentative de h

1



64 juin 2007



Tableau 1

n 0 1 2 3 4 5 6 7An 0,12500 0,17227 0,13863 0,08318 0,05305 0,02461

n 8 9 10 11 12 13 14 15An 0,01914 0,03183 0,03781 0,03199 0,02274 0,01148

Tableau 2

n 0 1 2 3 4 5 6 7Bn 0,14334 0,06200 0,03952 0,02390 0,01287 0,00516

n 8 9 10 11 12 13 14 15Bn 0,00000 0,00315 0,00472 0,00511 0,00387 0,00242 0,00114

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