Le théorème de Pythagore

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La Géométrie Autrement Le théorème de Pythagore Pythagore mathématicien grec vers 500 avant JC représentat ion à la cathédrale de Chartres Vu par Raphael

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Le théorème de Pythagore. représentation à la cathédrale de Chartres. Vu par Raphael. Pythagore mathématicien grec vers 500 avant JC. Le théorème de Pythagore. vocabulaire. démonstration. exemples :. ex 1. ex 2. ex 3. réciproque. exemples r :. ex 1r. ex 2r. ex 3r. A. B. C. - PowerPoint PPT Presentation

Transcript of Le théorème de Pythagore

La Géométrie Autrement

Le théorème de Pythagore

Pythagore mathématicien grec vers 500 avant JC

représentation à la cathédrale de

Chartres

Vu par Raphael

La Géométrie Autrement

Le théorème de Pythagore

vocabulairedémonstration

exemples :réciproque

ex 1 ex 2 ex 3

exemples r :ex 1r ex 2r ex 3r

La Géométrie Autrement

A

C

B

Vocabulaire

Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit.

[BC] est l’ du triangle ABC

hypoténuse

La Géométrie Autrement

On a quatre triangles rectangles identiquesa

bc a

bc a

bc a

bc

Démonstration

La Géométrie Autrement

On dispose les quatre triangles rectangles

dans un carré

a

bc

a

b

c

a

b

c

a

bc

La Géométrie Autrement On obtient un nouveau carré

JOLI

a

bc

a

b

c

a

b

c

a

bc

J

O

L

I

La Géométrie Autrement

a

bc

a

b

c

a

b

c

a

bc

J

O

L

I

L ’aire de JOLI est :

La Géométrie Autrement

dans le même carré d ’une autre façon .

On dispose ensuite les quatre triangles rectangles

a

b

a

b

La Géométrie Autrement

a

b

a

b

On obtient deux nouveaux carrés :

JADE

JA

D OCREE O

CR

La Géométrie Autrement

a

b

a

b

JA

D E O

CR

L ’aire de OCRE est :

La Géométrie Autrement

a

b

a

b

JA

D E O

CR

L ’aire de JADE est :

La Géométrie Autrement

c

J

O

L

I a

b

a

b

JA

D E O

CR

L ’aire de JOLI est égale àla somme des aires de OCRE et de JADE

c²a²

b²+

a

bc

a

b

c

a

b

c

a

bc

a

b

a

b

La Géométrie Autrement

c2 = a2 + b2

Cette égalité est connue depuis l ’antiquité sous le nom de :

théorème de Pythagore

a

bc

On peut donc écrire pour le triangle

La Géométrie Autrement

Le théorème de Pythagore

Si un triangle est rectangle , alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs

des deux autres côtés .

hypoténuse

La Géométrie Autrement

Le théorème de Pythagore un autre énoncé

A

C

B

Si ABC est un triangle rectangle A alors BC² = AB² + AC²

! Le théorème de Pythagore ne s’appliquequ’aux triangles rectangles.

La Géométrie Autrement

ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 3cm et AC = 4cm.Calculer BC B

A C

3

4

1) On fait un dessin

On a un triangle rectangle, on connaît 2 longueurs, on cherche la 3ème, on utilise donc le théorème de Pythagore

2)

La Géométrie Autrement

On applique le théorème de Pythagore :On sait que ABC est un triangle rectangle en A donc BC² = CA² + AB² (on écrit la propriété avec des lettres)

BC² = 16 + 9 (on calcule)

BC² = 4² + 3²(on remplace les lettres par les longueurs connues)

ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 3cm et AC = 4cm.Calculer BC B

A C

3

4

1) On fait un dessin

2)

BC = 5 cm (5 > 4, [BC)] est l’hypoténuse, c’est donc le plus grand côté, le résultat est vraisemblable)

BC² = 25 (on écrit la valeur exacte de BC) BC = 25 (25 est le carré de 5)

La Géométrie Autrement

1) On fait un dessin

On a un triangle rectangle, on connaît 2 longueurs, on cherche la 3ème, on utilise donc le théorème de Pythagore

2)

DEF est un triangle rectangle en D tel que DE = 5cm et DF = 6cm.Calculer EF E

D F

5

6

La Géométrie Autrement

DEF est un triangle rectangle en D tel que DE = 5cm et DF = 6cm.Calculer EF E

D F

5

6

1) On fait un dessin

2) On applique le théorème de Pythagore :On sait que DEF est un triangle rectangle en D donc EF² = ED² + DF² (on écrit la propriété avec des lettres)

EF² = 25 + 36 (on calcule)

EF² = 5² + 6²(on remplace les lettres par les longueurs connues)

EF 7,8 cm (7,8 > 6, [EF] est l’hypoténuse, c’est donc le plus grand côté, le résultat est vraisemblable)

~~

EF² = 61 (on écrit la valeur exacte de BC) EF = 61 (61 est le carré du nombre qui s’écrit 61 7,8)~~

La Géométrie Autrement

On applique le théorème de Pythagore :On sait que ABC est un triangle rectangle en B donc AC² = AB² + BC²

Ex1 ABC est un triangle rectangle en B tel que AB = 8cm et BC = 6cm.Calculer AC A

B C

8

6

AC² = 64 + 36AC² = 8² + 6²

AC² = 100AC = 100AC = 10 cm

La Géométrie Autrement

1) On fait un dessin

On a un triangle rectangle, on connaît 2 longueurs, on cherche la 3ème, on utilise donc le théorème de Pythagore

2)

GHI est un triangle rectangle en I tel que GI = 2cm et GH = 3cm.Calculer IH G

I H

23

La Géométrie Autrement

On applique le théorème de Pythagore :On sait que GHI est un triangle rectangle en I donc GH² = GI² + IH² (on écrit la propriété avec des lettres)

1) On fait un dessin2)

9 = 4 + IH² (on transforme l’égalité pour isoler IH²)

3² = 2² + IH²(on remplace les lettres par les longueurs connues)

IH 2,2 cm (2,2 < 3, [IH] est l’un des côtés de l’angle droit, il est donc plus petit que l’hypoténuse, le résultat est vraisemblable)

~~

IH² = 9 - 4 (pour trouver IH² il faut soustraire 9 et 4 )

GHI est un triangle rectangle en I tel que GI = 2cm et GH = 3cm.Calculer IH

G

I H

23

IH² = 5 IH = 5 (5 est le carré du nombre qui s’écrit 5 2,2)~~

La Géométrie Autrement

On applique le théorème de Pythagore :On sait que STU est un triangle rectangle en T donc SU² = ST² + TU²

36 = 25 + TU² 6² = 5² + TU²

TU 3,3 cm ~~

TU² = 36 - 25

EX 2.STU est un triangle rectangle en T tel que ST = 5cm et SU = 6cm.Calculer TU

S

T U

56

TU² = 11 TU = 11

La Géométrie Autrement

à suivre …

La Géométrie Autrement

La réciproque du théorème de Pythagore

Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle et l’angle droit est l’angle opposé au plus grand côté.

La Géométrie Autrement

La réciproque du théorème de Pythagore

un autre énoncé

Si, dans un triangle ABC on a BC² = AB² + AC² alors le triangle ABC est rectangle en A.

! à la présentation des calculs

La Géométrie Autrement

Le triangle ABC tel que AB=75m, BC=45m et AC=60m est-il un triangle rectangle ?

1) On repère le côté le plus long: c’est [AB]

2) On calcule le carré de la longueur de [AB]

3) On calcule la somme des carrés des longueurs des 2 autres côtés

4) On constate l’égalité :

5) On cite la propriété appliquée pour conclure :

AB² = 75² = 5 625

BC² + AC² = 45² + 60² = 2 025 + 3 600 = 5 625

AB² = BC² + AC²

d’après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle ABC est rectangle en C.

La Géométrie Autrement

Le triangle DEF tel que DE=11m, EF=15m et DF=9m est-il un triangle rectangle ?

1) On repère le côté le plus long: c’est [EF]

2) On calcule le carré de la longueur de [EF]

3) On calcule la somme des carrés des longueurs des 2 autres côtés

4) On constate qu’il n’y a pas égalité :

5) On peut affirmer que :

EF² = 15² = 225

DE² + DF² = 11² + 9² = 121 + 81

= 202

EF² = DE² + DF²

le triangle ABC n’est pas un triangle rectangle.

La Géométrie Autrement

2) On repère le côté le plus long: c’est [EL]

3) On calcule le carré de la longueur de [EL]

4) On calcule la somme des carrés des longueurs des 2 autres côtés

5) On constate l’égalité :

EL² = 8,5² = 72,25

SE² + SL² = 4² + 7,5² = 16 + 56,25

= 72,25EL² = SE² + SL²

4cm

8,5cm

7,5cm

S

OL E

A-t-on (SE) (SL) ?┴

1) On précise le triangle dans lequel on travaille :Dans le triangle SEL, SE=4, SL=7,5 et EL=8,5.

6) On cite la propriété appliquée pour conclure :d’après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle SEL est rectangle en S, alors (SE) (SL) .┴

La Géométrie Autrement

fin