Le rayonnement dipolaire électrique I) Le modèle du dipôle oscillant 1) Modélisation de la...

Le rayonnement dipolaire électrique

I) Le modèle du dipôle oscillant

1) Modélisation de la source

Définition :

On généralise cette propriété en introduisant la notion de dipôle oscillant qui représente un ensemble neutre de particules chargées [qi ; Ai] dont le moment dipolaire électrique est de la forme :

p(t) = qi.OAi = p0.cost.uz

où O est une origine fixe proche des charges A i.


I) Le modèle du dipôle oscillant

1) Modélisation de la source

2) Les conditions d’étude

Ce problème est caractérisé par trois distances :

la longueur d’onde du champ rayonné ;

Nous limitons notre étude au cas : r >> >> a.

• la distance r = OM du dipôle au point M ;

• a = max(OAi) l’extension géométrique du dipôle au voisinage de l’origine O.

• r >> a constitue l’approximation dipolaire : AiM OM = r

Nous limitons notre étude au cas : r >> >> a.

>> a constitue l’approximation non relativiste :v

1c

• r >> définit la zone de rayonnement


II) Les champs rayonnés

Dans la pratique, l’approximation r >> est justifiée par les ordres de grandeurs usuels :

• En optique, 500 nm et r > 1 cm ;

• En radiodiffusion : en FM, 1 m et r >> 1 m et en GO, 1 km.Seuls les auditeurs à proximité immédiate de l’émetteur ne sont pas dans la zone de rayonnement.



1) Les champs électromagnétiques rayonnés

a) Le champ magnétique B

Le dipôle oscillant étant caractérisé par un moment dipolaire de la forme :

p(t) = p0.cost, p0 = p0.uz

en se limitant à la zone de rayonnement, << r, on montre que le champ magnétique s’écrit dans la base sphérique :

φμ θ

π0.sin r

(r,t) p t .4 r.c c

B u

En notation complexe :

p(t) = p0.expjt.uz

φμ ω θ

ωπ

20

0sin

(r,t) p .expj( t k.r).4 r.c

B u




a) Le champ magnétique B

b) Le champ électrique E

En se limitant à la zone de rayonnement, on montre que le champ électrique s’écrit dans la base sphérique :

θ θμ θ θ

π πε0

20

.sin r 1 sin r(r,t) p t . p t .

4 r c 4 cr.cE u u

En notation complexe :

p(t) = p0.expjt.uz

θω θ

ωπε

20

20

p sin(r,t) .expj( t k.r).

4 r.cE u




2) Les propriétés des champs rayonnés

Le champ électromagnétique rayonné par un dipôle oscillant possède localement la structure d’une onde plane progressive dans le vide se propageant avec la célérité c dans la direction ur ;

E et B sont orthogonaux à la direction de propagation ur

l’ensemble (ur, E, B) forme un trièdre orthogonal direct ;

L’onde est transversale, E et B oscillent en phase perpendiculairement à la direction de propagation ur.




2) Les propriétés des champs rayonnés

3) Aspects énergétiques

a) Le vecteur de Poynting

Par définition du vecteur de Poynting dans le vide en M, à la date t :

Πμ μ μ

2

0 0 0

x E.B E

.cr rE B

u u

μ θΠ

π

θΠ

π ε

220

2 2

22

2 2 30

.sin r p t .

c16 .r .c

sin r p t .

c16 .r .c

r

r

u

u



3) Aspects énergétiques

a) Le vecteur de Poyntingb) La puissance rayonnée

La puissance élémentaire instantanée dP rayonnée par le dipôle oscillant à travers la surface mésoscopique dS dans le sens de dS est donnée par la relation :

dP = .dSDans ces conditions, la puissance instantanée rayonnée par le dipôle oscillant à travers une sphère (), de centre O, de rayon r est donnée par :

Σ

Σ ΠP( t) .d, S

dS = r2.sin.d.d.ur

En remplaçant le vecteur de Poynting par son expression :

π π θΣ θ θ φ

π ε

22 2 2

2 2 30 00

sin rP( t) p t .r .sin .d .d

c16 .r .c,

π θΣ θ

πε

32

300

sin rP( t) p t .d

c8 c,

Comme sur (), r est constant on obtient :

πΣ θ θ

πε

2

33 0

0

rp tcP( t) sin .d

8 c,

Σπε

23

0

1 rP( t) p t

c6 c,

La puissance moyenne dans le temps que rayonne le dipôle oscillant à travers la sphère (), de centre O, de rayon r, est donnée par :

Σ Σπε

2T

300

p1P( t) P( t).dt

T 6 c, ,

Or, p(t) = p0.cost :

ωΣ

πε

2 40

30

pP( t)

12 c,

ω ω2 4 2 20p p .cos t

ω2 4 20

1p p

2

θΠ

π ε

22

2 2 30

dP sinI . p

dS 16 .r .cru

Indicatrice de rayonnement


III) Notion sur la diffusion de Rayleigh

Définition :

La diffusion électromagnétique : c’est le rayonnement électromagnétique réémis par une substance soumise à un rayonnement électromagnétique



1) Modèle de l’électron élastiquement lié

Le modèle de Thomson

. Les différents électrons liés de charges – e d'une même molécule sont traités indépendamment ;

. Les noyaux ayant une masse très grande devant celle des électrons, on les suppose immobiles dans le référentiel terrestre supposé galiléen ;


. Chaque électron est traité comme un oscillateur harmonique amorti ; L'électron est soumis à une force de rappel qui rend compte de l'action du champ électrique créé par le noyau et les autres électrons ; Il est soumis, en outre à une force de frottements fluides qui rend compte des diverses causes d'amortissement telles que les collisions entre électrons et le rayonnement dipolaire.

ω20 m. .rf r Γ m. .vf r


. L’électron est placé dans le champ électromagnétique créé par le soleil qu’on peut ramener par superposition à une O.P.P.H. polarisée rectilignement de pulsation , décrite par le champ [Es ; Bs], avec 2.1015 rad.s–1 < < 5.1015 rad.s–1 pour la lumière visible.





2) Les couleurs du ciel

ω Γ ω20m m. . m. . e. .cos t0r r r E

ω ω Γω2 2s0m j e.r E

ω ω Γωs

2 20

e

m jE

r

ωω

ω ω Γω

2

2 20

.expj te e. .expj t

m j0

0E

p r p

ω ω Γω

2

0 2 20

e

m j0E

p

La puissance moyenne dans le temps rayonnée à travers la sphère () de rayon r, est donnée par :

ωΣ

πε

2 40

30

pP( t)

12 c,

ω ω Γ ω

242 00 2 22 2 2 2

0

Eep

m

ω

Σπε ω ω Γ ω

24 40

2 3 22 2 2 20 0

E1 eP( t)

12 m c ,

Trois cas se dégagent :

0 : c’est la diffusion résonante (absorption)

>> 0 : c’est la diffusion de Thomson

<< 0 : c’est la diffusion de Rayleigh qui intervient dans la diffusion du

rayonnement solaire par l’atmosphère

Pour l’atmosphère, 0 1016 rad.s-1 et 108 rad.s-

1 ce qui correspond au rayonnement ultraviolet :

Dans ces conditions :

ω ω2 20 Γ ω ω2

0.

ωΣ

πε ω

24 40

2 3 40 0

E1 eP( t)

12 m c,




2) Les couleurs du ciel

3) Polarisation par diffusion

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