SKUPINA YTINA B. CONTEMPORARY ART

FESTIVAL

PRAGUE 2013

LE POLYÈDRE DE

MELENCOLIA § Idit le“polyèdre de Dürer”

CONSTRUCTIONpour l'installation “MELENCOLIA de”

par Yvo JacquierNul n'est censé ignorer la Science

Géométrie Comparée © Yvo Jacquier - Le Polyèdre de « MELENCOLIA § I » - A. Dürer 1 on 19

INTRODUCTION

Propos de l'article

Cet article fait la synthèse des éléments techniques qui ont permis de

“comprendre” le fameux polyèdre de Dürer. C'est la première étape

d'une traduction graphique avec un logiciel 3D qui permettra de le

réaliser concrètement.

Cette approche théorique n'est pas forcément suffisante pour permettre

directement l'opération de conversion en 3D. Il sera sans doute

nécessaire de prolonger ces indications de calculs complémentaires

pour s'adapter à la grille du logiciel.

Deux précédents articles ont exposé les approches géométrique pure

d'une part, et symbolique et historique d'autre part, de ce solide hors du

commun :

Ce polyèdre sert de portail à l'étude de l'oeuvre de Dürer :

http://www.melencoliai.org/

Le festival d'art contemporain Tina B.

Une équipe se réunit sous la bannière de « Skupina Y » pour répondre

à l'invitation du festival d'art contemporain « Tina B. », qui se tiendra à

Prague en 2013.

http://www.tina-b.eu/en/

L'objet final de cet article est la pièce centrale d'une installation, intitulée

« MELENCOLIA de », qui elle-même servira de support à une

performance chorégraphique au son des tambours de Platon.

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PREMIÈRE PARTIERECONSTITUTION

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DÉCOMPOSITION DU SOLIDE

À partir de l'étoile à 10 branches (double pentagramme)

Fig. 1 - à gauche : Les angles de l'étoile (10 b.) respectent la “règle des

9” pour la somme de leurs chiffres.

Fig. 2 - à droite : Deux pentagrammes internes révèlent et impriment

les mesures des grandes faces.

Découpage et assemblage des 6+2 = 8 faces

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La perspective selon Melencolia

Comme on peut le constater sur ce

visuel, au-delà de la déformation

optique liée à l'appareil photo, Dürer n'a

pas respecté les règ les de la

perspective envers son polyèdre.

D'autres éléments de la gravure

comme l'échelle ou encore Cupidon

(par sa taille) font exception dans un

contexte pourtant organisé autour d'un

premier point de fuite situé sur

l'horizon, à la verticale du centre de la

sphère blanche.

Le polyèdre s'inscrit dans une sphère :

http://www .melencoliai.org/Kepler.html

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LE POINT DE CONTACTΩ de la PETITE SPHÈRE

Selon l'échelle de mesure choisie - avec φ longueur du grand côté des

grandes faces, le rayon ‘R’ de la sphère extérieure est lié à celui de la

sphère intérieure ‘r’ :

R = De /2 = √(2φ +3) ÷ 2 ≈ 5/4 à 1,1 ‰

r = Di /2 = √(2φ-1) ÷ 2 ≈ 3/4 à 3,1 ‰

Une équation simple traduit cette relation exacte :

r2 + 1 = R2 = (2φ + 3) ÷ 4 (≈ 1,559 017)

Ce résultat exact se rapproche de l'équation, tout aussi exacte :

(3/4)2 + (4/4)2 = (5/4)2 ≈ (2φ + 3) ÷ 4 à 2,2 ‰

Et la symbolique ne s'arrête pas à ces équations. À partir du point le plus bas du

grand cercle, le point Ω désigne l'inclinaison de la Terre sur l'écliptique (son

obliquité)...

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Le grand face-à-face

Soit Ω le centre du

cercle circonscrit aux

cinq points d'une

grande face.

L'équation révèle que

Ω est le point de

contact avec la

sphère inscrite.

Les faces opposées

sont parallèles et

donc sur le même

axe passant par Ω.

Leurs deux cercles

circonscrits se

retrouvent en vis à

vis.

Deux formes

symétriques se

distinguent. Elles

intéressent la

symbolique, avec leurs

10 et leurs 22 côtés

respectifs.

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LES MENSURATIONS

Les multiples développements de φ

Voici les mensurations du polyèdre répertoriées sur les trois vues

"technologiques". Les cercles des sphères inscrites et circonscrites sont

en vert. Il est à noter que, selon l'échelle choisie au début de cet article

( φ comme grand côté des faces principales) :

De = √(2φ +3) ≈ 2,497 212 ≈ 5/2 à 1,1‰

Di = √(2φ-1) ≈ 1,495 349 ≈ 3/2 à 3,1‰

Di / De = √[(2φ -1)(2φ +3)] ≈ 0,598 807 ≈ 3/5 à 2 ‰

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Hexagone et Hauteur

• Cercle de l'Hexagone

Dh = 2√[(2+φ)÷3] ≈ 2,196 371

Largeur minimale (// hexagone) : √(2+φ) ≈ 1,902 113 • Inclinaison des panneaux/verticale (triangle jaune) :

sin(Alpha) = √[(2+φ)÷3]÷[φ+1] ≈ 0,419 469 => ‘Alpha’ ≈ 24,801° • Hauteur du polyèdre (triangle vert) :

Si L est la hauteur réelle (totale) de la surface prolongée de la distance

qui sépare les barres horizontale (symétrie de la figure). Si H est la

hauteur (obtenue par projection) du polyèdre. Enfin si A = 2√[(2φ +1)÷3] :

alors H = [L/(φ+1)].A avec L = (1+φ/2) + 1/2 = (φ+3)÷2

Or [(φ+3)÷(φ+1)]2 = (7φ +10)÷(3φ +2)

Et [(2φ +1)÷3].[(7φ +10)÷(3φ +2)] = [(41φ +24)]÷[3(3φ +2)]

Donc H = √[(41φ +24)÷[3(3φ +2)]] ≈ 2,096 055

N.B. : La hauteur totale du rhomboèdre non tronqué est de :

3√[(2+φ)÷3] ≈ 3,564 875

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L'obliquité de la Terre

Une fois la sphère extérieure

établie, i.e. ses douze points

de contact avec le polyèdre,

la symbolique nous invite à

identifier les autres points

“qui ont du sens”.

• Évidemment le centre des

deux sphères, O.

• Les six points Ω.

• Le point le plus bas de la

sphère circonscrite, A.

Le point Ω, où la sphère interne touche le polyèdre, montre l'angle de

l'obliquité terrestre (l'inclinaison de la Terre par rapport au plan de sa

trajectoire) à partir du point le plus bas, là où la sphère extérieure se

pose quand les triangles du polyèdre sont horizontaux.

Calcul de l'angle

Tg β = CΩ/AC = [ r Cos α ] ÷ [ AO + OC ] = [ r Cos α ] ÷ [ R + r Sin α ]

Tg β = Cos α ÷ ( R/r + Sin α )

Tg β ≈ 0,434 450

β ≈ 23,482 543° ≈ 23° 28’ 57”

Comparaison à l'obliquité de la Terre

β’ ≈ 23,437 5° ≈ 23° 26’ 15”

∆’ ≈ 0,045° ≈ 2,7’

Comparaison à la mesure de Tycho Brahé (Un siècle après Dürer)

β” ≈ 23,513 889° ≈ 23° 30’ 50”

∆” ≈ 0,031° ≈ 1,9’

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SECONDE PARTIELES PROPOSITIONS

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LA SYMBOLIQUE DU POLYÈDRE

Bilan symbolique de la construction

Le polyèdre de Dürer désigne la Terre. Mais qu'est-

ce que ça veut dire, en termes de symbolique ?

Tout d'abord, le polyèdre se construit selon un

mode complexe, notamment par la magie du

nombre d'or. Ensuite, il prend tous les atouts des

solides de Platon, à savoir et dans l'ordre : • Le volume sort du cube, qui s'incline pour former

un rhomboèdre.

http://www.melencoliai.org/018bis-Rhomboedre.jpg

• Les carrés de ses faces deviennent losanges en s'accordant avec

deux pentagrammes, main dans la main (au total, ils formeront deux

rondes de 6 étoiles).

http://www.melencoliai.org/022-sphere-1.JPG

• Enfin, une coupe aux sommets fait apparaître deux triangles

équilatéraux qui se réunissent sous le signe de l'hexagramme, l'un sur

l'autre. http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Dürer_graph.svg

Au total, l'on dénombre 2 triangles, 6 losanges tronqués, 8 faces, 12

angles et 12 étoiles, 18 arêtes (seul le 20 manque à l'appel)...

L'essentiel du matériel symbolique des solides de Platon se trouve ainsi

rassemblé, avec quelque chose de plus qui se rappelle de l'humain, de

sa rencontre et de ses liens. Le terme de quintessence n'est

géométriquement pas usurpé. Dans ses écrits, Dürer utilise à propos de

l'homme, l'image du bloc de pierre taillée pour affirmer le rôle, la

nécessité même, de l'éducation. Son polyèdre désigne ainsi une Terre

habitée, qui plus est par un homme évolué, capable de mesurer les

choses. Ces propriétés symboliques sont le reflet d'une réalité physique

: la terre est une boule de feu (magma) dont l'eau et la terre se

partagent la surface sous une couche d'air. La quintessence, dans ce

contexte, est tout simplement la Vie qui dépend des quatre.

http://www.melencoliai.org/008-construction_du_Polyedre.jpg

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Un autre aspect du polyèdre de Dürer mérite d'être souligné. La forme

primitive dont il est issu est carrée, et se réclame du ‘4’. La forme finale

semble l'avoir oublié : on ne voit plus que trois pans qui plongent,

soutenus par trois autres pans avec une couture en zig-zag de six

traits, le tout surmonté d'un triangle équilatéral en guise de chapeau (et

le même, en support). Cette logique est dominée par le 3. L'homme est

conçu selon la géométrie sacrée de base, pythagoricienne, comme le

produit de la rencontre du 4 et du 3 (le triangle 3-4-5 en porte

l'expression).

En cette monstration, l'homme naît symboliquement de la Terre (4) et

va vers le Ciel (3).

L'occasion nous est donnée de différencier la Terre en tant que planète

habitée, et symbolisée par ce polyèdre, de la Terre en tant qu'élément,

marqué par le ‘4’ et synonyme de terrestre. (Ainsi par exemple, Jupiter

se rattache à l'élément Terre, et pas à la planète elle-même).

La plus belle des preuves

La mei l leure preuve du l ien

symbolique entre le polyèdre et la

planète Terre est incontestablement

cet angle du point Ω avec le pôle

inférieur de la grande sphère.

L'obliquité de la Terre par rapport à

l'écliptique, plan de son orbite.

La géométrie sacrée touche ici la

physique qui sera celle de Johannes

Kepler, validant son approche et son

modèle platonique.

Alors qu'il correspondait à ses exigences, Kepler a ignoré le solide de

Dürer . Peu t -ê t re par manque d ' i n fo rmat ion , ma is p lus

vraisemblablement à cause d'une conception “trop lisse” de la

symbolique. Les Dodécaèdres étoilés ne l'ont pas rapproché du but...

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LA/LES COULEUR/S

Le nuancier des anciens

Jusqu'à la Renaissance, la couleur était une composante de la

symbolique, au même titre que les nombres et les formes. Comme ces

deux autres matières spirituelles, elle s'organisait selon des règles

d'harmonie pour porter du sens. Christophe de Cène s'est emparé du principe que je lui avais confié :

« la couleur est une manifestation de la lumière ». Cette formule lui a

rappelé un chapitre de la genèse (dans la Bible). Le chemin de ce texte

lui a permis de reconstituer entièrement le lexique des maîtres verriers

du Moyen-Âge. Ce nuancier de 7 couleurs est aussi celui des tarots. La première couleur est celle du soleil : ce jaune orangé qui sert aux

peintres à couvrir le fonds de leurs toiles. Les autres couleurs se calent

“à l'oeil”, par contraste d'opposition ou addition. La couleur est aussi

subjective que l'organe qui sert à la percevoir, et rien ne vaut pour en

juger les effets de la permanence rétinienne. Ces couleurs devront être disposées sur le polyèdre, en fonction des

contraintes et de l'inspiration qu'elles produisent à la rencontre de la

géométrie.

N.B. : la gravure (au burin) Melencolia est monochrome, mais

elle comporte un arc en ciel, une échelle à 7 barreaux qui dans la

tradition est liée à l'arc en ciel, un polyèdre à 8 faces dont 7 seulement

sont à l'air libre. Enfin le 7 est une clé pour la géométrie de l'oeuvre,

notamment avec l'angle de π/7.

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Le Bassin-fontaine

Cette fresque hexagonale reprend le nuancier des tarots. Elle était

prévue au fond d'un bassin de même forme où quelque centimètres

d'eau servent de miroir au polyèdre. Elle peut faire l'objet d'un panneau

tournant qui se stabilise en six positions.

NB : le cercle circonscrit à l'hexagone du polyèdre mesure le diamètre

du grand divisé par la clé du cercle, id est D/π.

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PROPOSITION I – L'AQUARIUM

Si la machine le permet, toutes les faces du polyèdre (en plexiglas)

seront découpées en biseau. L'assemblage peut alors s'effectuer de la

façon simple, décrite ci-dessus.

La décomposition en RVB

Rappelons le point Ω, point de tangence de la sphère inscrite au solide.

Deux faces opposées ont leur point Ω en parfait vis à vis. Ce que nous

pouvons traduire par trois rayons lumineux de couleur complémentaire

Rouge - Vert - Bleu.

Les trois spots représentant les trois axes

possibles du polyèdre se croisent au centre

pour reconstituer les 7 couleurs du nuancier

RVB. Son principe est additif.

Ce nuancier est symétrique à celui

des anciens, qui pratique le principe de

soustraction. La fresque au fond de l'eau

peut reprendre cet autre nuancier, avec sa

frise inspirée des tarots.

Mais l'on peut choisir une couleur unie

et sombre pour accentuer l'effet de miroir à

propos des lumières.

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PROPOSITION II - Ω et les SPHÈRES

Une toute autre conception se dévoile ici : elle met en évidence la

structure du polyèdre. La grande sphère est représentée par un plateau

en plexiglas, lui-même traversé à angle droit par son alter ego (sphère

interne). NB : La grande sphère n'est pas représentée une seconde fois de face,

en verticale, comme pourrait le laisser supposer le trait d'esquisse. Deux des grandes faces, ici parfaitement de profile, sont enfilées sur un

tube en inox, et touchent le disque central à leur points Ω respectifs. Ce

tube peut être interrompu tant il est possible de le rendre solidaire du

disque en faisant les encoches appropriées dans les deux éléments qui

se rencontrent et même d'y ajouter de la colle. Le tube est fixé à un boîtier métallique étanche qui fait pendant au

support triangulaire du polyèdre. Une pièce de même type coiffe le

solide.

On voit ici l'eau du bassin de profil et la section de ses bords en bois

(contre-plaqué). Enfin, il suffit de quelques traits de câble pour compléter l'esquisse des

faces absentes. Le travail de la lumière additive peut alors commencer.

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PROPOSITION III – L'OBLIQUITÉ

Cette autre proposition met en

évidence l'obliquité de la Terre. Elle

présente l'avantage de mieux tenir

mécaniquement. Le point Ω est

toujours souligné.

Le discours géométrique se prolonge

d'un second grand cercle, pendu eu

point le plus haut du premier (sphère

externe). Il suit l ' inclinaison de

l'obliquité et pose son centre sur le

tube qui la représente.

Moyennant quoi, un croissant de

Lune se forme entre les deux grands

cercles, et il plonge dans le bassin.

À ce propos, une couleur bleu nuit

semble le meilleur choix : il permet

de mettre en évidence par les reflets

le discours de la lumière cernant les

formes géométriques du polyèdre.

Curieusement, ce second cercle

semble croiser celui de la sphère

interne sur la ligne qui unit les deux

pointes des faces matérialisées du

polyèdre.

Ce croissant de lune parle-t-il de la lune ?

L'angle présenté ici, à partir de la ligne qui joint les

pointes des faces du polyèdre, rappel le

curieusement l'inclinaison de la lune, que l'on peut

envisager en le comparant à plusieurs plans. Il

varie au cours de son cycle de 173 jours (entre 5°

et 5,28° sur le plan de l'écliptique). Cet aspect

devient très technique, mais il n'aurait fait peur ni à

Dürer, ni à Kepler.

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La lumière

Le principal atout de cette construction est dans l'exploitation des bords,

gravures et autres lignes d'accroche, pour servir et dessiner la lumière.

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