Le modèle de Black Litterman

Ingénierie Economique et Financière, Paris-Dauphine

L’optimisation moyenne-variance Inputs : rendements volatilités corrélations calcul de la frontière des

portefeuilles efficients résultat : sélection du portefeuille

optimal sur la frontière

Conséquences Conséquence de la structure des modèles des prévisions sont nécessaires sur les

rendements moyens, les volatilités, les corrélations futurs.

en général, les optimisateurs utilisent soit les variables historiques, soit permettent de créer ses propres prévisions.

Ingénierie Economique et Financière, Paris-Dauphine

Les valeurs historiques comme prévisions Justification : stationnarité

(présumée) des rendements littérature sur la marche aléatoire des rendements et des prix

Avantage : simplicité Inconvénient : la structure des

portefeuilles efficients

Un exemple Source : Zephyr Allocation Advisor Données 1986-1995

Leçons des simulations sur données historiques :

les portefeuilles sont très concentrés;

les allocations sont très sensibles aux prévisions.

Les alternatives Les méthodes de resampling

(rééchantillonages) Les approches bayésiennes dont Le modèle de Black & Litterman

(1992) est un cas particulier.

Le resampling Une technique Monte Carlo pour

estimer les inputs de l’optimisation moyenne variance et éventuellement la frontière.

Elle conduit à des portefeuilles diversifiés.

Elle est une technique brevetée par Richard Michaud depuis 1999.

La procédure Estimation du rendement, des écart-

types et des corrélations. Nouvelles simulations calibrées sur les

statistiques précédentes conduisant à de nouvelles estimations.

Estimations des portefeuilles efficients correspondants à ces nouvelles estimations et pour différents niveaux de volatilité.

La procédure (suite) Répétition de 2 et 3 (>1000 simulations) Calcul de l’allocation moyenne ainsi obtenu

et estimation du rendement moyen pour chaque niveau de volatilité.

Détermination de la « frontière rééchantillonnée » à l’aide du portefeuille moyen et des statistiques initiales.

Critique du resampling Critiques de Scherer (2002): les portefeuilles obtenus subissent les

erreurs d’estimation initiales. L’absence de théorie – pourquoi choisir

les « portefeuilles rééchantillonnées ». la frontière obtenue peut comporter

des parties croissantes.

Critique du resampling (2) En l’absence d’opinions, le resampling

conduit à des écarts par rapport au benchmark et donc à une gestion active – mais pourquoi prendre un pari sans avoir de raisons ou d’opinions?

A la différence de B&L et des approches bayésiennes, il n’existe pas de cadre théorique permettant de mixer opinions et données

Ingénierie Economique et Financière, Paris-Dauphine

Le resampling peut conduire à de fortes variations aucours du temps.

Le modèle de B&L L’objectif : un cadre permettant de

mixer les informations issues des données et les opinions.

Les rendements implicites Un point de départ de Black &

Litterman : les rendements implicites (ou d’équilibre, du CAPM, le

consensus, etc.)

Les rendements implicites Sharpe (1974) « Imputing

expected security returns from portfolio composition », Journal of Financial & Quantitative Analysis, June, pp. 463-72

Deux approches pour déterminer le rendement implicite

le CAPM le rendement implicite = le rendement théorique défini notamment par le béta

l’optimisation inverse (Sharpe (1974))

L’optimisation inverse Les conditions marginales (avec

actif sans risque) 

Où est le portefeuille de marché

mktw mktw

L’optimisation inverse (suite)

Le coefficient d’aversion au risque

2B

fB rR

US Bonds $8,360,741,000,000 20.16%Global Bonds xUSD $11,583,275,710,000 27.93%World Equity xUS $9,212,460,000,000 22.21%Emerging Equity $964,647,000,000 2.33%

US Large Cap Growth $5,217,844,438,500 12.58%US Large Cap Value $5,217,844,438,500 12.58%

US Small Cap Growth $459,897,061,500 1.11%US Small Cap Value $459,897,061,500 1.11%

Total $41,476,606,710,000 100.00%

Le portefeuille de marché

Le point de la frontière efficiente dont le ratio de Sharpe est le plus élevé est supposé être le benchmark efficient.

Les rendements implicites constituent les valeurs de référence de Black & Litterman.

Le modèle de Black & Litterman

Fischer Black & Robert Litterman « Global Portfolio Optimization », Financial Analysts Journal, September / October 1992, pp. 28-43

Robert Litterman and the Quantitative Resources Group, GS Asset Management Modern Investment Management : an equilibrium approach, John Wiley & Sons, 2003

Le problème de la prise en compte d’opinions différentes du consensus.

La solution de B&L : la combinaison des opinions et du consensus

Le mécanisme de B&L Évaluation des « rendements du

marché » par l’optimisation inverse Prise en compte des opinions : opinion absolue : « l’actif A aura un

rendement de x% » opinion relative : « l’actif A sur-

performera l’actif B par x points de % »

La formule de B&L La détermination du rendement espéré: un scalaire mesurant le poids accordé

au rendement d’équilibreP la matrice des opinions (KxJ)

définissant les actifs impliqués dans chaque opinion

la matrice de covariance des erreurs dans les opinions

Q le vecteur des opinions (Kx1)

La formule de B&L

PP

QPT

T

RE 11

11

)(

)(][

Un exemple (Idzorek)ImpliedEquilibriumReturn

Asset Class Historical CAPM GSMI Portfolio VectorUS Bonds 3.15% 0.02% 0.08% 0.08%Int’l Bonds 1.75% 0.18% 0.67% 0.67%US Large Growth -6.39% 5.57% 6.41% 6.41%US Large Value -2.86% 3.39% 4.08% 4.08%US Small Growth -6.75% 6.59% 7.43% 7.43%US Small Value -0.54% 3.16% 3.70% 3.70%Int’l Dev. Equity -6.75% 3.92% 4.80% 4.80%Int’l Emerg. Equity -5.26% 5.60% 6.60% 6.60%

Weighted Average -1.97% 2.41% 3.00% 3.00%Standard Deviation 3.73% 2.28% 2.53% 2.53%

High 3.15% 6.59% 7.43% 7.43%Low -6.75% 0.02% 0.08% 0.08%

CAPM

WeightBased on

Weight ImpliedWeight Based on Equilibrium MarketBased on CAPM GSMI Return Capitalization

Asset Class Historical wGSMI Vector WeightUS Bonds 1144.32% 21.33% 19.34% 19.34%Int’l Bonds -104.59% 5.19% 26.13% 26.13%US Large Growth 54.99% 10.80% 12.09% 12.09%US Large Value -5.29% 10.82% 12.09% 12.09%US Small Growth -60.52% 3.73% 1.34% 1.34%US Small Value 81.47% -0.49% 1.34% 1.34%Int’l Dev. Equity -104.36% 17.10% 24.18% 24.18%Int’l Emerg. Equity 14.59% 2.14% 3.49% 3.49%

High 1144.32% 21.33% 26.13% 26.13%Low -104.59% -0.49% 1.34% 1.34%

Un exemple 3 opinions : Intern’ Developped Equity va avoir un

rendement excédentaire de 5.25% (confiance = 25%)

Intern’ Bonds vont sur-performer les US Bonds par 25 pts (confiance = 50%)

US Large Growth et US Small Growth vont sur-performer US Large Value et US Small par 2% (confiance = 65%)

Mise en oeuvre

321

225,025,5

Q

32

1

000000

La matrice de covariance des erreurs des opinions

La matrice de « participation »

Modélisation uniforme (Satchell & Scowcroft)

P0 0 0 0 0 0 1 0

-1 1 0 0 0 0 0 00 0 0,5 -0,5 0,5 -0,5 0 0

Idzorek

0 0 0 0 0 0 1 0-1 1 0 0 0 0 0 00 0 0,9 -0,9 0,1 -0,1 0 0

Variances des « individual portfolio view »

%836,211 pp

%563,022 pp

%462,333 pp

et ? La solution de He & Litterman

(1999)

kkk pp /

Numériquement :

025,0

000866,0000000141,0000000709,0

New ImpliedCombined Equilibrium Difference MarketReturn Return New Capitalization Difference

Asset Class Vector Vector Weight WeightUS Bonds 0.07% 0.08% -0.02% 29.88% 19.34% 10.54%Int’l Bonds 0.50% 0.67% -0.17% 15.59% 26.13% -10.54%US Large Growth 6.50% 6.41% 0.08% 9.35% 12.09% -2.73%US Large Value 4.32% 4.08% 0.24% 14.82% 12.09% 2.73%US Small Growth 7.59% 7.43% 0.16% 1.04% 1.34% -0.30%US Small Value 3.94% 3.70% 0.23% 1.65% 1.34% 0.30%Int’l Dev. Equity 4.93% 4.80% 0.13% 27.81% 24.18% 3.63%Int’l Emerg. Equity 6.84% 6.60% 0.24% 3.49% 3.49% 0.00%

Sum 103.63% 100.00% 3.63%

Propriété de BL:La déformation du portefeuille induit

par la prise en compte des opinions dépend de l’importance relative des sur-performances (selon l’opinion et le rendement implicite)

Exemple de l’opinion 3

ImpliedEquilibrium

Market Return WeightedCapitalizationRelative Vector Excess

Asset Class (Billions) Weight P ReturnUS Large Growth $5,174 90.00% 6.41% 5.77%US Small Growth $575 10.00% 7.43% 0.74%

$5,749 100.00% Total 6.52%

Opinon 3 : actifs sur-performants

ImpliedEquilibrium

Market Return WeightedCapitalization Relative Vector Excess

Asset Class (Billions) Weight P ReturnUS Large Value $5,174 90.00% 4.08% 3.67%US Small Value $575 10.00% 3.70% 0.37%

$5,749 100.00% Total 4.04%

Opinon 3 : actifs sur-performants

Un exemple Mêmes données que

précédemment L’opinion : US Equity sur-

performera World Equity par 150 pts

Avec une confiance de 75%