Le formulaire bcpst 1re et 2e années

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Lionel Porcheron Arnaud Bégyn Le formuLaire BCPST 1 e et 2 e années Toutes les formules de chimie, physique et mathématiques

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Formulaire pour classes prepa

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  • 1. Lionel PorcheronArnaud BgynLe formuLaireBCPST1e et 2e annesToutes les formulesde chimie, physiqueet mathmatiques

2. LE FORMULAIRE BCPST1re et 2e annes 3. LE FORMULAIRE BCPST1re et 2e annesToutes les formules de chimie,physique et mathmatiquesLionel PorcheronIngnieur de lENSEEIHT ToulouseArnaud BgynProfesseur au lyce Pierre de Fermat ToulouseAvec la collaboration de :Valry Prvost - Professeur au lyce Hoche Versailles 4. Dunod, Paris, 2008ISBN 978-2-10-053791-4 5. Table des matiresAvant-propos IXChapitre 1 : Mathmatiques 11. Algbre 11.1 Nombres entiers, nombres rationnels 11.2 Polynmes et fractions rationnelles 21.3 Gnralits sur les applications 51.4 Applications linaires Espaces vectoriels 61.5 Matrices Dterminants Systmes linaires 111.6 Rduction des endomorphismes 16dlit.un 2. Analyse 18est 2.1 Nombres rels 18autorise 2.2 Nombres complexes 182.3 Suites 212.4 Fonctions relles de la variable relle 25non 2.5 Drivation 31photocopie 2.6 Intgration 372.7 quations diffrentielles 422.8 Sries 442.9 Fonctions de plusieurs variables 46La Dunod. 3. Gomtrie 503.1 Courbes dans le plan 50c 3.2 Proprits lementaires dans le plan 513.3 Produit scalaire et norme dans le plan 533.4 Droites dans le plan 55 6. VI Table des matires3.5 Projection orthogonale dans le plan 573.6 Cercles dans le plan 583.7 Mesure dun angle dans le plan 593.8 Proprits lmentaires dans lespace 603.9 Produit scalaire et norme dans lespace 623.10 Plans dans lespace 643.11 Projection orthogonale dans lespace 663.12 Droites dans lespace 673.13 Sphres dans lespace 683.14 Mesure dun angle dans lespace 693.15 Produit vectoriel 704. Probabilits 714.1 Thorie des ensembles 714.2 Dnombrement 734.3 Calcul des probabilits 754.4 Variables alatoires discrtes 774.5 Vecteurs alatoires discrets 824.6 Variables alatoires densit 874.7 Vecteurs alatoires densit 904.8 Thormes limites et approximation 96Chapitre 2 : Chimie 981. Atomistique 981.1 Spectroscopie 981.2 Modle ondulatoire 991.3 Atome polylectronique 1001.4 Architecture molculaire 1012. Cintique 1032.1 Vitesse de raction 1032.2 tude exprimentale 1052.3 Mcanismes ractionnels 1052.4 Catalyse 1073. Solutions aqueuses 1083.1 Ractions acido-basiques 1083.2 Ractions de complexation 1103.3 Ractions de prcipitation 1113.4 Ractions doxydorduction 1113.5 Diagrammes potentiel-pH 1144. Thermodynamique 1154.1 Fonctions dtat 1154.2 Potentiel chimique 1164.3 Grandeurs standard de raction 116 7. Table des matires VII4.4 quilibres chimiques 1184.5 quilibres liquidevapeur 1204.6 quilibres solide liquide 1235. Chimie organique 1255.1 Nomenclature 1255.2 Strochimie de conformation 1265.3 Les alcnes 1315.4 Hydrocarbures aromatiques 1335.5 Amines 1345.6 Groupe carbonyle 1355.7 Acides carboxyliques 1385.8 Halognoalcanes 1395.9 Alcools 1405.10 Spectroscopie infrarouge 1435.11 Spectroscopie RMN (Rsonnance Magntique Nuclaire) 144Chapitre 3 : Physique 1450. lments de mathmatiques 1450.1 Diffrentielles 1450.2 quations diffrentielles 1461. lectronique 1471.1 Lois gnrales 1471.2 Rgime transitoire 1481.3 Rgime variable 1491.4 Montages avec amplificateur oprationnel 1502. Thermodynamique 1514.1 Statique des fluides 1684.2 Dynamique des fluides 169 c Dunod. La photocopie non autorise est un dlit.2.1 Gaz parfait 1512.2 Premier et second principes de la thermodynamique 1512.3 Changements de phase dun corps pur 1562.4 Machines thermiques 1582.5 nergie libre Enthalpie libre 1592.6 Diffusion de particules 1612.7 Diffusion thermique 1613. Mcanique du point 1623.1 Cinmatique 1623.2 Lois gnrales de la mcanique 1643.3 Oscillateurs 1674. Mcanique des fluides 168 8. VIII Table des matires4.3 Actions de contact dans un fluide 1694.4 coulements parfaits 1704.5 Bilans sur les coulements 1725. Optique 1725.1 Gnralits 1725.2 Optique gomtrique 1735.3 Interfrences lumineuses 175Annexe A : Primitives usuelles 179Annexe B : Dveloppements limits 181Annexe C : Formules trigonomtriques 1831. Angles remarquables 1832. Relations trigonomtriques 184Annexe D : Units et constantes fondamentales 1871. Units du Systme International 1871.1 Units principales du systme international 1871.2 Units secondaires du systme international 1881.3 Units courantes du systme international 1881.4 Multiples dcimaux pour les units 1882. Constantes fondamentales 1893. Ordres de grandeurs 189Annexe E : Constantes chimiques 1901. Potentiels standards redox 1902. Constantes dacidit 1913. Zone de virage des principaux indicateurscolors 192Annexe F : Tableau priodique 193Index 197 9. Avant-proposDans ce formulaire, sont rassembls les principaux rsultats des cours demathmatiques, de physique et de chimie tablis tout au long des deux an-nesde classes prparatoires dans les filires BCPST. Ce formulaire sav-rerafort utile aussi bien pendant votre prpa que lorsque la priodefatidique des concours approchera.Il a t scind en quatre parties : les parties relatives aux mathmatiques, la physique et la chimie, chacune dentre elles rassemblant les principauxrsultats tablis en cours pour chacune des filires auxquelles sadresse cetouvrage. la fin de louvrage, figurent en annexes les donnes qui ne sontpas ncessairement connatre, mais qui sont nanmoins fort utiles au quo-tidien.Un effort tout particulier a t fait pour rendre ces formules les plus li-sibles possible en dtaillant la signification de chaque symbole et en pr-cisantbien chaque fois les conditions dapplication de ces formules. Sou-lignonstout de mme que lapprentissage de ces formules ne se substituepas lapprentissage du cours...Merci tous ceux qui ont accept de collaborer cet ouvrage et en parti-culier tous ceux qui lont consciencieusement relu. Un grand merci gale-ment ric DENGENIRES qui a assur la coordination pas toujours facilemais dans les meilleurs dlais de ce nouveau formulaire de la collection Jintgre .Un suivi de la partie mathmatiques est disponible ladresse : http ://ar-naud.begyn.free.frLionel [email protected] Dunod. La photocopie non autorise est un dlit. 10. Chapitre 1Mathmatiques1. Algbre1.1 Nombres entiers, nombres rationnelsFactorielle Dfinitionn! =nk=1kn! : factorielle nPar convention : 0! = 1PermutationscardSn = n!Sn : ensemble des permutationsde n lments. Ensemble des bijec-tionsde [1, n] [1, n]c Dunod. La photocopie non autorise est un dlit. 11. 2 [1] MathmatiquesArrangementsApn =n!(n p)!(n, p) N2 avec pnOn note Apn le nombre darrange-mentsde p lments partir dunensemble de n lments (cest--direle nombre de p-uplets com-possdlments deux deux dis-tincts)Combinaisons(np) =n!p!(n p)!(n, p) N2 avec pnOn appelle combinaison (note(np )) toute partie de cardinal p dunensemble n lments.Par convention (np) = 0 si n N Z ou si n N et p / [0, n]Combinaisons Proprits(np) = (nnp ) (n, p) N Np+1) = (n+1(np) + (np+1 ) (n, p) N ZBinme de Newton(x + y)n =nk=0(nk)xk ynk n N(x, y) C2Q est densexy = (z Q/xzy) (x, y) R21.2 Polynmes et fractions rationnelles 12. 1. Algbre 3PolynmeOn note K[X] lensemble des fonctions polynmes de K dans luimme, avec K = R ou C. Par convention, X dsigne la fonction po-lynmeidentit X : x K) x K. Tout lment P de K[X] estappel plus simplement polynme, et sur la base canonique (Xn )nNil peut scrire P = nNan Xn, o les an sont lments de K et sont tousnuls sauf pour un nombre fini de valeurs n.Degr dun polynme Dfinitiondeg P = max {n N/an-= 0} deg P : degr du polynme PDegr dun polynme Propritsdeg(P + Q)max(deg P, deg Q)(P, Q) K[X]Lorsque deg P-= deg Q, alors :deg(P + Q) = max(deg P, deg Q)deg(PQ) = deg P + deg QDrivationP = n1nan Xn1 P = nan Xn K[X]P : polynme driv de PRacine dun polynmeP() = 0 est appele racine du polynmeP K[X] si elle vrifie la propritci-contre.c Dunod. La photocopie non autorise est un dlit. 13. 4 [1] MathmatiquesSoit (i )iI la famille des racines deux deux distinctes du polynmeP. Ce polynme peut alors sexprimer sous la forme P = QiI(x i )mi o mi est la multiplicit de la racine i et Q un polynme nayantpas de zro dans K.Multiplicit dune racine dun polynme DfinitionSi P est un polynme (P K[X]) et si a est un lment de K (a K),on dit que a est racine de P de multiplicit m (m N) lorsque (X a)mdivise P et (X a)m+1 ne divise pas P. Par convention, si a nest pasracine de P on dit que a est racine de P de multiplicit 0.Polynme scindUn polynme P K[X] est dit scind sur K si et seulement si il existe K{0} et une famille dlments non ncessairement distincts(xi )i[1,n] tels que :P = ni=1(X xi )Dcomposition dun polynme dans C[X]Tout polynme P coefficients complexes (P C[X]) non constantest scind. Si on note x1 , . . . , xn ses racines complexes deux deux dis-tinctes( 1 i n, xi C) alors on peut crire :P(X) = ni=1(X xi )io est un complexe non nul ( C) et 1, . . . ,n sont des entiersnaturels non nuls ( 1 i n, i N). Cette dcomposition estunique lordre des facteurs prs dans le produit.Dcomposition dun polynme dans R[X]Tout polynme P coefficients rels (P R[X]) non constant se d-composeen un produit de polynmes du premier degr et de po-lynmesdu second degr dont le discriminant est strictement nga-tif.Si on note x1, . . . , xn ses racines relles deux deux distinctes( 1 i n, xi R) alors on peut crire :P(X) = ni=1(X xi )ipj=1(X2 + y j X + z j ) j 14. 1. Algbre 5o est un rel non nul ( R), 1, . . . ,n sont des entiers naturelsnon nuls ( 1 i n, i N), 1 , . . . , p sont des entiers naturelsnon nuls ( 1 j p, j N), y1, . . . , yp et z1, . . . , zp sont desrels 1 j p, (y j , z j ) R2vrifiant la condition : 1 j p, y2j 4z j0. Cette dcomposition est unique lordre des facteursprs dans le produit.1.3 Gnralits sur les applicationsEnsembles et applicationsSoit f : E F une application dun ensemble E dans un ensemble F.Soient A une partie de E et B une partie de F.On appelle image directe de A par f la partie de F dfinie par :f (A) = { f (x) F; x A} On appelle image rciproque de B par f la partie de E dfinie par :f 1(B) = {x E; f (x) B}Application injective(x, y) E2( f (x) = f (y) = x = y)Une application f est dite injec-tivesi et seulement si elle vrifiela proprit ci-contre.Application surjectivey F, x E/ f (x) = yUne application linaire f de Edans F est dite surjective si etseulement si elle vrifie la pro-pritci-contre.Thorme de la bijection rciproquef : E F est bijective si et seulement si il existe g : F E telle queg f = idE et f g = idF .Dans ce cas, si f et g sont bijectives : g f est bijective et (g f )1 =f 1 g1.c Dunod. La photocopie non autorise est un dlit. 15. 6 [1] Mathmatiques1.4 Applications linaires Espaces vectorielsEspace vectoriel DfinitionSoit E un ensemble muni dune loi interne E E E note + etdune loi externe K E E note . telles que :(i) (x, y, z) E3, (x + y) + z = x + (y + z)(ii) e E ; x E, e + x = x + e = x(iii) x E, x E ; x + x = x + x = e(iv) (x, y) E2, x + y = y + x(v) (x, y) E2, K,.(x + y) = .x + .y(vi) (, ) K2, x E, ( + ).x = .x + .x(vii) (, ) K2, x E, .( .x) = ( ).x(viii) x E, 1.x = xDans ce cas llment e du (ii) est unique et est appel vecteur nul deE, not 0E. De mme, llment x du (iii) est aussi unique et est appeloppos de x, not x.Sous-espace vectorielSoit E un K-espace vectoriel et F E. F est dit sous-espace vectorielde E si et seulement si il vrifie les proprits suivantes :(1) OE F(2) (x, y) F2, K, x + y FSous-espace engendr par une partieVect(A) est lensemble des combinaisons linaires (finies) dlmentsde A. E : K-espace vectoriel. A E, x Vect(A) si et seulement si xscrit, x =ni=1i ai, o ai A et i K.Somme directe de sous-espaces vectorielsE = A B si et seulement si x E scrit de faon unique x = a + bavec a A et b B.E = A B E = A + B et A B = {0}. 16. 1. Algbre 7Gnralisation un nombre quelconque de sous-espaces vectoriels :E = iIEi(i, j) I2 Ei j-=iE j = {0}(Ei )iI : famille de sous-espacesvectoriels dun espace vectoriel E.Si la somme des Ei vrifie les deuxproprits ci-contre, elle est ditedirecte.Dans ce cas : x E, il existe uneunique dcomposition x = iIxiavec xi Ei .Sous-espaces vectoriels supplmentairesE =iIEi(Ei )iI : famille de sous-espacesvectoriels dun espace vectoriel E.Ils sont dits supplmentaires si etseulement sils sont en somme di-recteet que leur somme est gale E.Intersection de deux sous-espaces vectorielsSoient E un espace vectoriel sur K et F, G deux sous-espaces vectorielsde E. Alors F G est un sous-espace vectoriel.En dimension finie, tout sous-espace vectoriel admet un sous-espacevectoriel supplmentaire.Dimension des espaces vectoriels usuelsLes ensembles K[X], F(I, R), KN et V(, R) sont des espaces vectorielssur K (respectivement R) de dimension infinie.Les ensembles Kn , Kn [X] et Mnp (K) sont des espaces vectoriels sur Kde dimension finie :dim Kn = n, et dim Kn [X] = n + 1, et dim Mnp (K) = np.Croissance de la dimensionSoient E un espace vectoriel sur K de dimension finie et F, G deux sous-espacesvectoriels de E tels que F G. Alors dim F dim G et si lesdeux dimensions sont gales alors F = G.Juxtaposition de basesSoit (Ei )1in une famille de sous-espaces vectoriels dun espace vec-torielE. Pour tout i {1, . . . , n}, on note Bi une base de Ei. Alors ona :B =*ni=1 Bi est une base de E E =ni=1Ei .c Dunod. La photocopie non autorise est un dlit. 17. 8 [1] MathmatiquesRang dune famille finie de vecteursSoit E un espace vectoriel sur K et F = (x1 , . . . , xn ) une famille finiede vecteurs de E. Dans ce cas Vect(F) est un sous-espace vectoriel deE de dimension finie. Sa dimension est appele rang de la famille F,note rg(F).Famille gnratriceSoit (xi )iI une famille finie de vecteurs dun espace vectoriel de E surK.On dit que cette famille est gnratrice si et seulement si tout lmentx de E peut sexprimer comme combinaison linaire des xi, cest--direquil existe une famille (i )iI telle que : x = iIi xi, ou encore E =Vect((xi )iI ).Famille libreiIi xi = 0 = i I, i = 0(xi )iI : famille finie de vecteursde E(i )iI : famille finie de scalairesde KUne famille est libre si elle vrifiela proprit ci-contre.Elle est dit lie dans le cascontraire.Proprits fondamentales des familles Toute sur-famille dune famille gnratrice est gnratrice. Toute sous famille dune famille libre est une famille libre. Si (x1, . . . , xn ) libre et (x1 , . . . , xn , xn+1) lie, alors xn+1 =ni=1i xi Une famille comportant le vecteur nul, ou deux vecteurs gaux, ouun vecteur combinaison linaire des autres est lie.Base dun espace vectoriel DfinitionUne base de E est une famille finie de vecteurs (xi )iI de E libre etgnratrice.Thorie de la dimensionUn K-espace vectoriel est dit de dimension finie si et seulement si Eadmet au moins une famille gnratrice de dimension finie.Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie, alors :1. E admet au moins une base de dimension finie. 18. 1. Algbre 92. Toutes les bases de E sont finies et ont le mme cardinal appel di-mensionde E et not dim E.Proprits des familles libres et des familles gnratricesSoient E un K-espace vectoriel de dimension n Toute famille libre de E comporte au plus n lments. Toute famille gnratrice de E comporte au moins n lments.Somme directe et dimensionE = A B E = A + B et dimE = dimA + dimBApplication linaire Dfinition(x, y) E2, K :f (x + y) = f (x) + f (y)On dit que f est une application li-nairede E dans F si et seulementsi elle vrifie la proprit ci-contre.L(E, F) est lensemble des applica-tionslinaires de E dans F.Isomorphisme Endomorphisme Automorphisme Un isomorphisme despaces vectoriels est une application linairede E dans F bijective. Un endomorphisme de E est une application linaire de E dans E. Un automorphisme est un endomorphisme bijectif. On note GL(E)lensemble des automorphismes de E.Applications linaires et famille de vecteurs f L(E, F), et pour toute famille finie F dlments de E : f (Vect(F)) = Vect( f (F)). si F est lie alors f (F) est lie. si f (F) est libre, alors F est libre. La rciproque est vraie si f estinjective. si F est gnratrice de E, alors f (F) est gnratrice de F et la rci-proqueest vraie si f est surjective.c Dunod. La photocopie non autorise est un dlit. 19. 10 [1] Mathmatiques f est bijective si et seulement si il existe une base B de E telle quef (B) est une base de F. Dans ce cas, cest vrai pour toute base B de E.Image et noyau dune application linaire DfinitionIm f = {y F/x E, f (x) = y}Im f = f (E)On appelle image de f , le sous-espacevectoriel de F not Im f d-finici-contre.Ker f = {x E/ f (x) = 0} = f 1(0)On appelle noyau de f , le sous-espacevectoriel de E not Ker fdfini ci-contre.Rang dune application linaire DfinitionSoient E et F deux espaces vectoriels sur K et f une application linairede E dans F. Si Im f est de dimension finie, dim Im f sappelle rangde f et se note rg f .Oprations sur les applications linairesSoient E et F deux espaces vectoriels sur K, f et g deux applicationslinaires de E dans F et un scalaire ( K). On dfinit alors lesoprations suivantes :- Addition : lapplication f + g : x E) f (x) + g(x) est linairede E dans F- Multiplication par un scalaire : lapplication . f : x E) . f (x) est linaire de E dans F. Lensemble (L(E, F), +, .) est un es-pacevectoriel sur K.- Rciproque : si f est un isomorphisme alors lapplication rci-proquef 1 est linaire de F dans EComposition dapplications linairesSoient E, F et G trois espaces vectoriels sur K, f L(E, F) et g L(F, G). On a alors g f L(E, G).Application linaire partir de limage dune baseSoient E et F deux espaces vectoriels sur K de dimension finie etf L(E, F). Soit (e1, . . . , ep ) une base de E. Alors f est entirementdtermine par la donne des vecteurs f (e1), . . . , f (ep ). On a en ef-fet: 20. 1. Algbre 11x =pi=1i ei , = f (x) =pi=1i f (ei ).De plus : f est injective, ( f (e1), . . . , f (ep )) est libre, f est sur-jective ( f (e1), . . . , f (ep )) est gnratrice de F, f est un isomor-phisme ( f (e1), . . . , f (ep )) est une base de FFormule du rangdim E = rg f + dim(Ker f )E : espace vectoriel de dimensionfinief : application linairerg f : rang de fKer f : noyau de fApplications linaires Cas de la dimension finie(1) f isomorphisme(2) f injective(3) f surjective(4) rg f = nE et F : deux espaces vectoriels demme dimension n sur Kf L(E, F)Les propositions ci-contre sontdeux deux quivalentes.(1) f automorphisme(2) f injective(3) f surjective(4) rg f = nE : espace vectoriel de dimensionn sur Kf L(E)Les propositions ci-contre sontdeux deux quivalentes.Image et noyau dune application linaire Propritsf surjective Im f = Ff injective Ker f = {0} f application linaire de E dans F.Projecteur DfinitionSi E = A B, p : x = a + b E) a A est un projecteur sur Aparalllement B.1.5 Matrices Dterminants Systmes linairesc Dunod. La photocopie non autorise est un dlit. 21. 12 [1] MathmatiquesMatrices DfinitionOn appelle matrice m lignes et n colonnes, toute application de[1, ...n] [1, ...m] K.Ensemble des matricesOn note Mm,n (K) lensemble des matrices m lignes et n colonnes.Cest un espace vectoriel sur K avec K = R ou CMatrices et applications linairesf (e j) =mi=1ai j fif : application linaire de E dans F,deux espaces vectoriels de dimen-sionfinie.M = (ai j )i[1,m] j[1,n] : matrice as-socie lapplication linaire fB = (e j ) j[1,n] : base de EB = ( fi )i[1,m] : base de FChangement de baseA = Q1 APA : matrice dune application li-nairede E (dans la base base B)vers F (dans la base base C)A : matrice de la mme applicationlinaire de E (dans la base base B)vers F (dans la base base C)P : matrice de passage de B BQ : matrice de passage de C CDans le cas dun endomorphisme,Q = P (seulement deux bases sontncessaires).Matrices inversiblesSoit A Mn (K) et f un endomorphisme reprsent par A dans unebase. Les proprits ci-dessous sont deux deux quivalentes :(1) f est bijective.(2) A est inversible.Dans ce cas, Mat( f 1) = A1. 22. 1. Algbre 13Systme linaire Dfinitiona11 x1 + + a1p xp = b1.........an1 x1 + + anp xp = bnOn peut interprter ce systmecomme lquation AX = B avecA = (ai j )i[1,n] j[1,p] par le vecteurX = (xi )i[1,p] (vecteur inconnu).Ce produit est gal au vecteur se-condmembre : B = (bi )i[1,n]Systme de CramerDans le cas dun systme de Cramer, n = p = rg A. Le systme admetalors une solution unique.Somme de deux matricesi j = i j + i jM = (i j ) Mmn (K)N = (i j ) Mmn (K)M + N = (i j ) Mmn (K)Produit dune matrice par un scalaireM = Ni j = i j KM = (i j ) Mmn (K)N = (i j ) Mmn (K)Produit de matrices1 j2 j...k j...p ji1i2 ik i pi jM = (ik ) Mmp (K)N = (k j ) Mpn (K)MN = (i j ) Mmn (K)i j =pk=1ik k jc Dunod. La photocopie non autorise est un dlit. 23. 14 [1] MathmatiquesProprits des oprations sur les matrices(M + N)P = MP + NP (M, N) (Mmp (K))2 , P Mpn (K)( M)(N) = (MN)M Mmp (K)N Mpn (K)(, )2 K2(MN)P = M(NP)M Mmp (K)N Mpn (K)N Mnq (K)Attention : En gnral, MN-= NMFormule du binme pour les matrices(A + B)n =nk=0(nk)Ak Bnk n N(A, B) Mp (K) tel que AB = BARgles de calcul de la matrice dune application linaireSoient f et g deux applications linaires et un scalaire ( K). Alorson a, dans des bases fixes :Mat( f + g) = Mat( f ) + Mat(g)Mat (g f ) = Mat (g)Mat ( f )f isomorphisme Mat ( f ) inversibleMatf 1= (Mat ( f ))1 si f est un isomorphismeTranspose dune matrice - Rgles de calcult (A + B) = t A + t Bt (AB) = t Bt Att A= AtA1=t A1si n = p et A inversible(A, B) Mnp (K)2 KMatrices symtriquesUne matrice M carre dordre n (M Mn (K)) est dite symtriquelorsque M = t M. On note Sn (K) lensemble des matrices symtriquesdordre n. 24. 1. Algbre 15Rang dune matriceSoit M une matrice n lignes et p colonnes (M Mnp (K)). On notef lendomorphisme associ M par rapport la base canonique Bcanode Kn : M = Mat( f , Bcano ). Par dfinition le rang de M, not rg M, estgal au rang de f .Rang de la transposeSi M est une matrice n lignes et p colonnes (M Mnp (K)), alorsrg M = rg t M.Matrices semblablesSoit A et B deux matrices carres dordre n(A, B) Mn (K)2. Ondit que A et B sont semblables lorsquil existe une matrice inversible Pcarre dordre n telle que : A = PBP1.Dans ce cas si E est un espace vectoriel sur K de dimension n alors ilexiste B1 et B2 bases de E et f L(E) tels que : A = Mat( f , B1 ) etB = Mat( f , B2).Rang dun systme linaireSi (S) est un systme linaire et A sa matrice associe (M Mnp (K)),alors par dfinition le rang de (S), not rg (S), est gal au rang de A.Oprations lmentaires sur les lignes DfinitionSoit (S) une systme linaire. On appelle oprations lmentaires surles lignes les oprations suivantes :Li L jo et sont des scalairesLi Li si -= 0(( , ) K2) et (i, j) des numrosLi Li + L jde ligne.Oprations lmentaires sur les lignes PropritLes oprations lmentaires sur les lignes ne changent ni le rang dunsystme, ni son ensemble de solutions.Forme rduite de Gauss dun systme linaireSoit (S) un systme linaire de n quations p inconnues. Les opra-tionslmentaires sur les lignes dun systme linaire, effectues dansle cadre de lalgorithme du pivot de Gauss, permettent daboutir unsystme linaire (S), quivalent (S), de la forme :c Dunod. La photocopie non autorise est un dlit. 25. 16 [1] Mathmatiquesa11 x1 + +a1p = b1. . ....arr xr + +arp xp = br0 = br+1...0 = bno r = rg (S). Lalgorithme du pivot de Gauss permet donc de calculerle rang dun systme, et donc celui dune matrice ou dune applicationlinaire.Ensemble des solutions dun systme linaireSoit (S) un systme linaire de n quations p inconnues. Alors :- lensemble S de ses solutions est soit vide, soit un singleton, soit in-fini.- la solution gnrale du systme (S) scrit comme la somme dunesolution particulire et de la solution gnrale du systme homogneassoci.- lensemble des solutions du systme homogne associ est un sous-espacevectoriel de Kp de dimension p rg (S)1.6 Rduction des endomorphismesValeur propre Dfinitionx E, x-= 0 tel que :f (x) = xf L(E) K : valeur propre de fAutre formulation : f IdE estnon injectif.Spectre dun endomorphismeSoit f L(E), on appelle spectre de f not Sp( f ) lensemble :Sp( f ) = { K, x E{0}/ f (x) = x}Sp( f ) correspond lensemble des valeurs propres de f . 26. 1. Algbre 17Vecteur propre Dfinitionx-= 0 et Kf (x) = xx E : vecteur propre de ff L(E)(alors Sp( f ))Sous-espace propre DfinitionE ( f ) = Ker( f IdE )E ( f ) : sous-espace propre asso-ci f L(E) Sp( f )E ( f ) est lensemble des vecteurspropres de f associs la valeurpropre .Diagonalisabilit DfinitionSoient E un espace vectoriel sur K de dimension finie et n N.On dit que f L(E) est diagonalisable si et seulement si il existe unebase de E forme de vecteurs propres de f .On dit que M Mn (K) est diagonalisable si et seulement si il existeune matrice diagonale D semblable M.Diagonalisabilit PropritSoient E un espace vectoriel sur K de dimension finie et f L(E). Ona alors quivalence des propositions :(i) f est digonalisable(ii) il existe une matrice associe f qui est diagonalisable(iii) toutes les matrices associes f sont diagonalisablesExistence de valeurs propres complexesToute matrice carre coefficients complexes possde au moins unevaleur propre.Libert dune famille de vecteurs propresSoit E un K-espace vectoriel de dimension finie et f L(E). On a alors :1) une famille finie de vecteurs propres associes des valeurs propresdeux deux distinctes est librec Dunod. La photocopie non autorise est un dlit. 27. 18 [1] Mathmatiques2) une famille obtenue par juxtaposition de bases de sous-espacespropres associs des valeurs propres deux deux distinctes est libreCondition suffisante de diagonalisabilitSoit E un K-espace vectoriel de dimension finie n et f L(E). Si f ad-metn valeurs propres deux deux distinctes alors f est diagonalisable.Diagonalisation des matrices symtriques rellesToute matrice carre symtrique relle est diagonalisable. En particu-liersles valeurs propres dans C dune matrice symtrique relle sontrelles.2. Analyse2.1 Nombres relsPrsentation(a, b, c) R3,ab = a + cb + cab0c= acbcToute partie non vide majore de R admet une borne suprieure dansR.Partie entire Dfinitionx R :E(x)xE(x) + 1x RE(x) : partie entire de xE(x) est lunique entier relatif v-rifiantla proprit ci-contre.2.2 Nombres complexes 28. 2. Analyse 19Forme cartsienne / Forme polaire dun nombre complexez = a + ibSiz-= 0, z = eiz : nombre complexe (z C)a : partie relle de z (a R), on lanote aussi Re(z)b : partie imaginaire de z (b R),on la note aussi Im(z) : module de z, ( R+ ) : argument de z, ( R)Nombre complexe conjugu Dfinitionz = a + ibz = a ibz C : nombre complexez C : nombre complexe conju-gude za : partie relle de z et de zb : partie imaginaire de zNombre complexe conjugu Propritsz + z = 2Re(z)z z = 2i Im(z)z : nombre complexez : nombre complexe conjugu dezz = z si z est relz = z si z est imaginaire purModule dun nombre complexe|z|2 = z z |z| : module de zModule dun produit Module dun quotient|zz| = |z| |z|z-= 0---zz---= |z||z|z C : nombre complexez C : nombre complexec Dunod. La photocopie non autorise est un dlit. 29. 20 [1] MathmatiquesIngalit triangulaire|z + z||z| + |z| z C : nombre complexez C : nombre complexeIdentit remarquable pour le modulePour z et z deux nombres complexes(z, z) C2on a : |z + z|2 =|z|2 + |z|2 + 2Rezz .Exponentielle dun nombre complexe imaginaire pur DfinitionPour nombre rel ( R), on dfinit lexponentielle complexe de ipar la formule : ei = cos() + i sin()Exponentielle dun nombre complexe imaginaire pur PropritPour et nombres rels ((,) R2), on a :(i) ei = ei = [2 ].(ii) ei = 1 = 0 [2 ].Exponentielle dun nombre complexe DfinitionPour z C, on dfinit lexponentielle complexe de z par la formule :ez = eRe(z) eiIm(z) .Exponentielle dun nombre complexe - PropritPour (z, z) C2 et (,) R2 on a :(i) |ez | = eRe(z)(ii) Arg (ez ) = Im(z) [2 ](iii) ez+z = ez ez(iv) ez = ez z = z [2i ](v) ez = 1 z = 0 [2i ]Rsolution des quations du second degr coefficients relsOn considre lquation dinconnue z nombre complexe (z C) : az2 +bz + c = 0 o a, b et c sont des nombres rels(a, b, c) R3tels quea-= 0.On calcule le discriminant de lquation : = b2 4ac. On a trois cas :- 0 : deux solutions relles z = b2a- = 0 : une solution relle z = b2a (appele racine double)- 0 : deux solutions complexes pures conjugues z = bi2a 30. 2. Analyse 21Caractrisation des solutions de az2 + bz + c = 0z1 et z2 sont les deux solutions de lquation (avec la convention z1 =z2 si = 0) si et seulement elles sont solution du systme dquationsx + y = baxy = caFactorisation de a cos() + b sin()Soit (a, b) R2. Il existe (r, ) R2 tel que, pour tout R :a cos() + b sin() = r cos( + )On peut prendre : r = a2 + b2, cos() = a a2 +b2 et sin() = b a2 +b2Formule de Moivre(cos + i sin )n = cos n + i sin n = ein (ei )n avec R, n ZFormule dEulercos x =eix + eix2sin x =eix eix2ix RRacines nimes dun complexedlit.un est ei +2kn autorise zk = rnnon photocopie La Dunod. c 0, N N, n N, nN = |un l| Les zk sont les solutions de lqua-tionzn = rei .(k, n) N2 avec 0kn 1z Cr R+En particulier, les racines nimesde lunit : zk = ei 2kn2.3 SuitesConvergence DfinitionOn dit quune suite numrique (un )nN converge vers une limite l Kavec K = R ou C si et seulement si : 31. 22 [1] MathmatiquesOn dit quune suite numrique (un )nN converge si et seulement si :l K, 0, N N, n N, nN = |un l|Divergence DfinitionOn dit quune suite numrique (un )nN diverge vers + si et seule-mentsi :A R, N N, n N, n N = un A.On dit quune suite numrique (un )nN diverge vers si et seule-mentsi :A R, N N, n N, n N = un ADans les deux cas ci-dessus, on dit que (un )nN est divergente de pre-mireespce. On dit quune suite numrique (un )nN est divergentede seconde espce lorsquelle nest ni convergente, ni divergente depremire espce.Suite majore, minore ou borneSoit (un )nN une suite numrique. On dit quelle est majore (resp.minore) lorsquil existe un rel M (M R) tel que : n N, un M(resp. un M). On dit quelle est borne lorsquelle est la fois majoreet minore, ou encore, de faon quivalente, lorsquil existe un rel Mpositif (M R+ ) tel que : n N, |un| M.Somme des n premiers entiersSoit n un entier naturel (n N). On a :nk=0k =nk=1k =n(n + 1)2Suites extraites des rangs pairs et impairsSoit (u2n )nN une suite numrique. Si les suites extraites (u2n+1 )nN et(un )nN ont la mme limite l (finie ou infinie) alors la suite (un )nN apour limite l.Oprations sur les limitesSoient (un )nN et (vn )nN deux suites numriques admettant une li-mite,et un nombre rel ( R). On peut faire les oprations sui-vantessur les limites :- somme : lim(un + vn) = lim un + lim vn sauf forme indtermine - produit : lim un vn = lim un lim vn sauf forme indtermine 0 - multiplication par un rel : lim un = lim un sauf forme indter-mine0 - quotient : lim unvn= lim unlim vnsauf formes indtermines 00et 32. 2. Analyse 23Signe dune suite de limite non nulleSoit (un )nN une suite numrique ayant une limite non nulle (ven-tuellementinfinie). Si cette limite est strictement positive, alors un0 partir dun certain rang ; si cette limite est strictement ngative, alorsvn0 partir dun certain rang.Passage aux limites dans une ingalitSoient (un )nN et (vn )nN deux suites numriques admettant une li-mite.On suppose qu partir dun certain rang : un vn. On a alors :lim un lim vn .Thorme des gendarmes (limites finies)Soient (un )nN, (vn )nN et (wn )nN des suites numriques. On sup-posequ partir dun certain rang : un vn wn et que les suites(un )nN et (wn )nN convergent vers un mme limite finie l. Dans cecas la suite (vn )nN converge aussi vers l.Thorme des gendarmes (limites infinies)Soient (un )nN et (vn )nN deux suites numriques. On suppose qupartir dun certain rang : un vn. Dans ce cas :- si lim un = + alors lim vn = +,- si lim vn = alors lim un = Thorme de la limite monotoneSoit (un )nN une suite numrique.- Si elle est croissante alors soit elle est majore et convergente, soit elleest non majore et divergente vers +.- Si elle est dcroissante alors soit elle est minore et convergente, soitelle est non minore et divergente vers .En particulier une suite monotone admet toujours une limite (ven-tuellementinfinie).Suites quivalentes DfinitionSoient (un )nN et (vn )nN deux suites numriques. On dit quelles sontquivalentes lorsquil existe une suite (n )nN telle que, partir duncertain rang, un = (1 + n )vn et limn = 0. On le note un vn .Suites quivalentes CritreSoient (un )nN et (vn )nN deux suites numriques. On suppose qupartir dun certain rang vn ne sannule pas. On a alors un vn si etseulement si lim unvn= 1.c Dunod. La photocopie non autorise est un dlit. 33. 24 [1] MathmatiquesSuites quivalentes PropritsSoient (un )nN, (vn )nN, et (wn )nN des suites numriques.- rflxivit : on a un un.- symtrie : si un vn alors vn un .- transitivit : si un vn et vn wn alors un wn .Suites quivalentes Rgles de calculSoient (un )nN, (vn )nN, (n )nN et (n )nN des suites numriques.On suppose que un vn et n n .- produit : on a alors n un n vn .- quotient : si n et n ne sannulent pas partir dun certain rang,alors unn vnn.- puissances entires : pour tout Z, un vn(pour 0, il fautque un et vn ne sannulent pas partir dun certain rang).- puissances relles : pour tout R, |un | |vn | (pour 0, ilfaut que un et vn ne sannulent pas partir dun certain rang).Par contre on ne peut ni additionner les quivalents, ni les composerpar une fonction.Suites quivalentes et limitesSoient (un )nN et (vn )nN deux suites numriques.1) On suppose que un vn et que lim vn existe. Dans ce cas lim unexiste et lim un = lim vn .2) On suppose que (un )nN a une limite finie l non nulle. Dans ce casun l.Equivalents usuels2nSoient (xn )On a : ln(1 nN une suite numrique telle que lim xn = 0 et R.+ xn ) xn exn 1 xn (1 + xn ) 1 xn et :sin xn xn cos xn 1 x2 tan xn xn .Suite arithmtiqueun = un1 + run = up + (n p)rSn =(u1 + un )n2un : ne terme de la suiter : raisonu1 : premier terme de la suiteSn : somme des n premiers termesde la suite un 34. 2. Analyse 25Suite gomtriqueun = q un1un = qnp upSn =u1(qn 1)q 1q-= 1un : ne terme de la suiteq : raison de la suiteu1 : premier terme de la suiteSn : somme des n premiers termesde la suite unSuites relles monotonesOn dit que (un )nN est croissante si et seulement si :n N, unun+1On dit que (un )nN est dcroissante si et seulement si :n N, unun+1On dit que (un )nN est strictement croissante si et seulement si :n N, unun+1On dit que (un )nN est strictement dcroissante si et seulement si :n N, unun+1On dit que (un )nN est (strictement) monotone si et seulement si(un )nN est (strictement) croissante ou (strictement) dcroissante.Suites adjacentes(un )nN est croissante(vn )nN est dcroissante(vn un ) n+0Si deux suites relles vrifient lesproprits ci-contre, ces suites sontdites adjacentes.Si deux suites sont adjacentes,elles convergent vers la mme li-mitefinie.2.4 Fonctions relles de la variable relleApplication en escalierOn dit quune fonction f : [a; b] R est en escalier si et seulementsil existe une famille (ai )i[0,n] telle que (a0 , . . . , an ) [a; b]n+1 avecn N et une famille (0 , . . . , n1) Rn tels que :c Dunod. La photocopie non autorise est un dlit. 35. 26 [1] Mathmatiquesa = a0a1 an1an = bi {0, . . . , n 1}, x ]ai ; ai+1 [, f (x) = iApplication majore minore borneUne fonction f : X R est dite : majore si et seulement sil existe A R tel que x X, f (x)A. minore si et seulement sil existe B R tel que x X, f (x)B. borne si et seulement sil existe (A, B) R2 tel que x X,Bf (x)A.LimitesSoit f : I R une application.On dit que f admet une limite l en a I si et seulement si :0, 0, x I, |x a| = | f (x) l|On dit que f admet une limite l en + si et seulement si :0, A R, x I, xA = | f (x) l|On dit que f admet comme limite + en a I si et seulement si :A0, 0, x I, |x a| = f (x)AOn dit que f admet comme limite + en + si et seulement si :A0, B0, x I, xB = f (x)AOn dit que f admet comme limite en si et seulement si :A0, B0, x I, xB = f (x)ALimite droite ou gauche en un pointSoit f : I R une application. On dit que f a une limite l droite ena I si et seulement si :0, 0, x I, 0x a = | f (x) l| On dit que f a une limite l gauche en a I si et seulement si :0, 0, x I, x a0 = | f (x) l| On dit que f admet comme limite + droite en a I si et seulementsi :A0, 0, x I, 0x a = f (x) AOn dit que f admet comme limite gauche en a I si et seulementsi :A0, 0, x I, x a0 = f (x) A 36. 2. Analyse 27Composition suite-fonctionSoient (un )nN une suite numrique et f : I R une application. Onsuppose que (un )nN a pour limite a I et que f a pour limite b en a.Dans ce cas la suite ( f (un ))nN a pour limite b.Oprations sur les limitesSoient f : I R et g : I R deux applications admettant unelimite en a I. Soit un nombre rel ( R). On peut faire les opra-tionssuivantes sur les limites :- somme : lima ( f + g) = lima f + lima g sauf forme indtermine - produit : lima f g = lima f lima g sauf forme indtermine 0 - multiplication par un rel : lima f = lima f sauf forme indtermi-ne0 - quotient : limafg = lima flima g sauf formes indtermines 00et Composition de limitesSoient f : I R et g : J R deux applications. On suppose que fa une limite b J en a I et que g a pour limite l en b. Dans ce cas lafonction g f a pour limite l en a.Voisinages DefinitionVoisinage dun point : soit a R. On appelle voisinage de a tout inter-valledu type [a , a + ] o 0Voisinage de + : on appelle voisinage de + tout intervalle du type[A, +[ o A0Voisinage de : on appelle voisinage de tout intervalle du type] , A] o A0Signe local dune fonction de limite non nulleSoit f : I R une application ayant une limite l non nulle (ventuel-lementinfinie) en a I. Si cette limite est strictement positive, alorsf (x)0 pour x au voisinage de a ; si cette limite est strictement nga-tive,alors f (x)0 au voisinage de a.Passage aux limites dans une ingalitSoient f : I R et g : I R deux applications admettant unelimite en a I. On suppose quau voisinage de a : f (x) g(x). On aalors : lima f lima g.c Dunod. La photocopie non autorise est un dlit. 37. 28 [1] MathmatiquesThorme des gendarmes (limites finies)Soient f : I R, g : I R et h : I R des applications.On suppose quau voisinage de a : f (x) g(x) h(x) et que lesapplications f et g admettent une mme limite finie l en a I. Dans cecas lapplication h admet aussi l pour limite en a I.Thorme des gendarmes (limites infinies)Soient f : I R et g : I R deux applications. Soit a I. Onsuppose quau voisinage de a : f (x) g(x). Dans ce cas :- si lima f = + alors lima g = +,- si lima g = alors lima f = .Thorme de la limite monotoneSoit f : I R une application monotone sur I. Elle admet alors unelimite (finie ou infinie) en tout point a I.Fonctions ngligeables DfinitionSoient f : I R et g : I R deux applications. On dit que f estngligeable devant g au voisinage de a I lorsquil existe une aplica-tion telle que, au voisinage de a, f = g et lima = 0. On le notef =a o(g).Fonctions quivalentes DfinitionSoient f : I R et g : I R deux applications. On dit quelles sontquivalentes au voisinage de a I lorsque f =a g + o(g). On le notef a g.Fonctions ngligeables ou quivalentes CritreSoient f : I R et g : I R deux applications. On supposeque dans un voisinage de a I lapplication g ne sannule pas (saufventuellement en a). On a alors f =a o(g) si et seulement si limafg =0, et f a g si et seulement si limafg = 1.Fonctions quivalentes - PropritsSoient f : I R, g : I R et h : I R des applications et a I.- rflxivit : on a f a f .- symtrie : si f a g alors g a f .- transitivit : si f a g et g a h alors f a h. 38. 2. Analyse 29Fonctions quivalentes Rgles de calculSoient f : I R, g : I R, u : I R et v : I R desapplications. On suppose que f a g et u a v.- produit : on a alors u f a vg.- quotient : si u et v ne sannule pas au voisinage de a, alors fu agv .- puissances entires : pour tout Z, f a g (pour 0, il fautque f et g ne sannulent pas au voisinage de a).- puissances relles : pour tout R, | f | a |g| (pour 0, il fautque f et g ne sannulent pas au voisinage de a).- Composition par une suite : si f a g et (un )nN est une suite num-riquede limite a, alors f (un ) g(un ).Par contre on ne peut ni additionner les quivalents, ni les composerpar une fonction.Fonctions quivalentes et limitesSoient f : I R et g : I R deux applications et a I.1) On suppose que f a g et que lima g existe. Dans ce cas lima f existeet lima f = lima g.2) On suppose que f a une limite finie l non nulle en a. Dans ce casf a l.quivalents usuelsSoit R. On a : ln(1 + x) 0 x ex 1 0 x (1 + x) 1 0 x et : sin x 0 x cos x 1 0 x22 tan x 0 x.Continuit DfinitionsSoient f : I R et a I. On dit que f est continue gauche en alorsque lima f = f (a). On dit que f est continue droite en a lorsquelima+ f = f (a). On dit que f est continue en a lorsque lima f = f (a).On dit que f est continue sur I lorsquelle est continue en tout point deI.Continuit CritreSoient f : I R et a I. f est continue en a si et seulement si f estcontinue droite et gauche en a.Oprations sur les fonctions continuesSoient f : I R et g : I R deux fonctions continues sur I. Soit R. Les fonctions f + g, f g et f sont aussi continues sur I.c Dunod. La photocopie non autorise est un dlit. 39. 30 [1] MathmatiquesDe plus, si la fonction g ne sannule pas sur I alors les fonctions 1get fgsont continues sur I.Composition et continuitSoient f : I R et g : J R deux applications o I et J sontdeux intervalles de R tels que f (I) J. Si f et g sont respectivementcontinues en a et f (a), alors g f est continue en a. Par consquent, sif est continue sur I et g est continue sur J, avec f (I) J, alors g f estcontinue sur I.Thorme des valeurs intermdiairesSoient (a, b) R2 tel que ab et f : [a, b] R une fonction continuesur [a, b]. Dans ce cas f prend toute valeur comprise entre f (a) et f (b),cest--dire :y [ f (a), f (b)], c [a, b]; y = f (c).Par consquent, si I est un intervalle de R et si f est continue sur I alorsf (I) est un intervalle.Thorme de continuit sur un segmentSoient (a, b) R2 tel que ab et f : [a, b] R une fonction continuesur [a, b]. Dans ce cas f est borne sur [a, b] et atteint ses bornes, cest--dire :(c, d) [a, b]2; x [a, b], f (c) f (x) f (d).Le thorme des valeurs intermdiaires permet alors de dire quelimage dun segment par une fonction continue est un segment :f ([a, b]) = [ f (c), f (d)].Thorme de la bijectionUne fonction f continue et strictement monotone sur un intervalle I estune bijection de I sur lintervalle f (I). Lapplication rciproque f 1 estcontinue et a mme monotonie que f ; son graphe se dduit de celui def par symtrie orthogonale par rapport la droite dquation y = x ; sif est impaire alors f 1 lest aussi. 40. 2. Analyse 31Fonctions trigonomtriques circulaires rciproquesArcsin : [1, 1] 2,2x ] 1, 1[ :Arcsin(x) =11 x2Arccos : [1, 1] [0, ]x ] 1, 1[ :Arccos(x) = 11 x2Arctan : R 2;2x R :Arctan(x) =11 + x22-1 12ArcsinArccosArctan2.5 DrivationDrivabilit en un point DfinitionsSoit f : I R une application o I est un intervalle de R.On dit que f a une drive droite en a I si et seulement silimxa+f (x) f (a)xa existe et est finie ; dans ce cas cette limite est appeledrive droite de f en a, note f d (a).On dit que f a une drive gauche en a I si et seulement silimxadlit.f (x) f (a)un existe et est finie ; dans ce cas cette limite est appelexa est drive gauche de f en a, note fg (a).autorise On dit que f est drivable en a I si et seulement si limxf (x) f (a)aaexiste et est finie ; dans ce cas cette limite est appele drive xdroitenon de f en a, note f (a).photocopie Drivabilit en un point CritreSoient f : I R une application o I est un intervalle ouvert de R etLa a I. f est drivable en a si et seulement si elle est drivable droite etDunod. gauche en a avec fg (a) = f (a). Dans ce cas : f (a) = fg (a) = f (a).d d Drivabilit en un point Interprtation graphiquec Soient f : I R une application o I est un intervalle de R et a I.On note Cf la courbe reprsentative de f . 41. 32 [1] Mathmatiques1) Si f drivable droite en a alors C f admet une demi-tangente droite au point dabscisse a, dquation y = f d (a)(x a) + f (a).2) Si f drivable gauche en a alors C f admet une demi-tangente gauche au point dabscisse a, dquation y = fg (a)(x a) + f (a).3) Si f drivable en a alors C f admet une tangente au point dabscissea, dquation y = f (a)(x a) + f (a).4) Si limxaf (x) f (a)xa (respectivement limite droite ou gauche)existe et est infinie alors C f admet une tangente (respectivement demi-tangente)verticale au point dabscisse a.Drivabilit dune application rciproqueSoit f : I J une application o I et J sont des intervalles de R. Onsuppose que f est une bijection de I sur J = f (I) et quelle est drivablesur I. Dans ce cas f 1 est drivable en tout point y0 = f (x0) J telque f (x0 )-= 0 et on a :d f 1dy(y0) =1f f 1(y0)=1f (x0 ).Drivation et continuitSoient un point a I et une fonction f : I K, si f est drivable en a,alors f est continue en a.Proprits des drivesSoient f et g deux fonctions de I dans K drivables en a, alors :( f + g)(a) = f (a) + g(a)( f )(a) = f (a)( f g)(a) = f (a)g(a) + f (a)g(a)g(a)-= 0,1g#(a) = g(a)g2(a)g(a)-= 0,fg#(a) =f (a)g(a) f (a)g(a)g2(a)(g f )(a) = g( f (a)) f (a) 42. 2. Analyse 33Drivabilit dune fonction sur un intervallef : I K, o I est un intervalle, est dite drivable sur un intervalleJ I si et seulement si : a J, f est drivable en a.Formule de Leibnizf : I K et g : I E on suppose que et f sont drivables sur I :Alors f g est n fois drivable sur I et ( f g)(n) =nk=0(nk) f (k) g(nk)Classe dune fonctionSoient f : I K et k N, on dit que f est de classe Ck sur I si etseulement si f est k fois drivable sur I et f (k) est continue sur I.Thorme de Rollef : [a, b] R continue sur [a, b] et drivable sur ]a, b[, f (a) = f (b) ;alors il existe c ]a, b[ tel que :dlit.un est f (c) = 0autorise Thorme des accroissements finisnon photocopie La Dunod. c f : [a, b] R et f de classe Cn sur [a, b], (n + 1) fois drivable sur ]a, b[et telle que t ]a, b[,f (n+1)(t)M alors : f : [a, b] R, avec (a, b) R2 et ab, continue sur [a, b] et drivablesur ]a, b[. Il existe c ]a, b[ :f (b) f (a) = (b a) f (c)Ingalit de Taylor-Lagrange 43. 34 [1] Mathmatiques,,,,,f (b) nk=0f (k) (a)k!(b a)k,,,,, M(b a)n+1(n + 1)!Reste intgralf : [a, b] R de classe Cn+1 sur [a, b] alors :f (b) =nk=0f (k) (a)k!(b a)k +1n! ba(b t)n f (n+1) (t) dtReste de LaplaceFormule de Taylor-Youngf : I E, I un intervalle de R, si f est Cn au voisinage de a(a I) :f (x) =nk=0f (k) (a)k!(x a)k + oxa((x a)n )Diffomorphisme DfinitionSoient f : I J avec I, J deux intervalles de R, n N {+}, on ditque f est un Ck -diffomorphisme de I sur J si et seulement si : f est de classe Ck sur I f est bijective f 1 est de classe Ck sur JDrive et monotonieSoit f : I R une application o I est un intervalle de R. On a alors :f est croissante (respectivement dcroissante) sur I si et seulement sipour tout x I, f (x) 0 (respectivement f (x) 0).De plus, si pour tout x I, f (x)0 (respectivement f (x)0) alorsf est strictement croissante (respectivement dcroissante) sur I.Thorme sur la limite de la driveSoient f : I R une application o I est un intervalle de R et a I.On suppose que f est continue sur I, drivable sur I{a}.- si limxa f (x) (ventuellement limite droite ou gauche si a estune borne de I) existe et est finie alors f est drivable au point a (ven-tuellement droite ou gauche) et f (a) = limxa f (x). 44. 2. Analyse 35- si limxa f (x) (ventuellement limite droite ou gauche) existeet est infinie alors f nest pas drivable au point a (ventuellement droite ou gauche) et sa courbe reprsentative admet une tangente(ventuellement demi-tangente) verticale en ce point.Thorme de prolongement des fonctions de classe C1Soient f : I R une application o I est un intervalle de R et a I.On suppose que f est continue sur I, et C1 sur I{a}. Si limxa f (x)(ventuellement limite droite ou gauche si a est une borne de I)existe et est finie alors f est C1 sur I et f (a) = limxaf (x).Extremum local ou global DfinitionsSoient f : I R une application o I est un intervalle de R et a I.1) On dit que f admet un maximum (respectivement minimum) localau point a lorsquil existe un voisinage de a sur lequel f est majore(respectivement minore) par f (a). Dans les deux cas on dit que f ad-metun extremum local au point a.2) On dit que f admet un maximum (respectivement minimum) globalsur I au point a lorsque f est majore (respectivement minore) sur Ipar f (a). Dans les deux cas on dit que f admet un extremum global surI au point a.Extremum local et driveSoient f : I R une application o I est un intervalle de R et a unpoint intrieur lintervalle I. Si f est drivable et admet un extremumlocal au point a alors f (a) = 0 ; la rciproque est fausse en gnral.Convexit DfinitionSoit f : I R une application o I est un intervalle de R. On supposeque f est drivable sur I. On dit que f est convexe sur I si et seulementsi f est croissante sur I. La courbe reprsentative de f est alors au-dessusde ses tangentes.Dveloppement limit DfinitionSoient a R, n N et f une fonction dfinie (au moins) sur un voisi-nagede a. On dit que f admet un dveloppement limit dordre n aupoint a, en abrg DLn (a) lorsquil existe n + 1 rels a0 , a1, . . . , an telsque : f (x) =a a0 + a1 (x a) + + an (x a)n + o ((x a)n ) .Le polynme Pn (x) =nk=0ak (x a)k est la partie rgulire du DLn (a)de f .c Dunod. La photocopie non autorise est un dlit. 45. 36 [1] MathmatiquesDveloppement limit en DfinitionSoit f une fonction dfinie (au moins) sur un voisinage de + (respec-tivement). On dit que f admet un dveloppement limit dordren en + (respectivement ), en abrg DLn(+) (respectivementDLn ()), lorsque la fonction g, dfinie par g(h) = f (1/h) admet unDLn (0+ ) (respectivement DLn (0)) :g(h) =0+nk=0ak hk + o(hn ).Dans ce cas :f (x) =+nk=0ak1xk+ o1xn#(respectivement = )Unicit de la partie rgulireSoit f une fonction admettant un DLn (a) de partie rgulire Pn (x),avec n N et a R ou a = . Dans ce cas le choix de la partiergulire est unique.Oprateur de troncature DfinitionSoit p N. On appelle oprateur de troncature dordre p lapplicationTp : R[X] Rp [X] qui tout polynme P R[X] associe le poly-nmeform des termes de P de degr infrieur ou gal p.Dveloppement limit TroncatureSoit f une fonction admettant un DLn (a) de partie rgulire Pn (x), oa R et n N. Pour tout p entier naturel tel que 0 p n, f admetun DLp (a) de partie rgulire Tp (Pn (x)).Dveloppement limit et rgularitSoient a R et f une fonction dfinie (au moins) sur un voisinage dea. On a alors :- f est continue en a f admet un DL0(a).- f est drivable en a f admet un DL1(a). Dans ce cas, si on noteP1(x) la partie rgulire, alors la tangente la courbe reprsentative def au point a a pour quation y = P1 (x). On peut positionner la courbelocalement par rapport sa tangente en utilisant un dveloppementlimit de f un ordre suprieur ou gal 2.Ces quivalences sont fausses pour les autres ordres de drivation. 46. 2. Analyse 37Lien entre DLn (a) et DLn (0)Soient f une fonction dfinie au voisinage de a (a R ou a = ) etn N.On dfinit une fonction g par g(h) = f (a + h) si a R et g(h) = f (1/h)si a = .Alors f admet un DLn (a) de partie rgulire Pn (x) si et seulement si lafonction g admet un DLn (0) de partie rgulire Qn (x).Dans ce cas on a Pn (x) = Qn (x a) si a R et Pn (x) = Qn (1/x) sia = + .Oprations sur les dveloppements limitsSoient f et g deux fonctions admettant un DLn (a) de partie rgulirerespective Pn (x) et Qn (x), o a R et n N.On a alors :- f + g admet un DLn (a) de partie rgulire Pn (x) + Qn (x) ;- f g admet un DLn (a) de partie rgulire TnPn (x)Qn (x);- si R, f admet un DLn (a) de partie rgulire Pn (x).Composition de dveloppements limitsSoit f une fonction admettant un DLn (a) de partie rgulire Pn (x), oa R et n N. Soit g une fonction admettant un DLnf (a)de partiergulire Qn (x).Dans ce cas g f admet un DLn (a) de partie rgulire TnQn Pn (x).Dveloppement limit de f partir de celui de sa driveSoient a R et f une fonction C1 sur un voisinage de a. On supposeque f admet un DLn (a) de la forme :f (x) =ank=0ak (x a)k + o ((x a)n )Dans ce cas f admet un DLn+1(a) de la forme :f (x) =a f (a) +nk=0akk + 1(x a)k+1 + o(x a)n+1 2.6 Intgrationc Dunod. La photocopie non autorise est un dlit. 47. 38 [1] MathmatiquesPrimitives dune fonction continue sur un intervalleSoit f : I R une application continue sur un intervalle de I de R.Dans ce cas f admet sur I une infinit de primitives. De plus, si F et Gsont deux primitives de f sur I, alors il existe C R tel que : x I,F(x) = G(x) + C.Intgrale dune fonction continue DfinitionSoit f : [a, b] R une application continue sur un segment [a, b].Si F est une primitive de f sur [a, b] alors le nombre F(b) F(a) nedpend pas du choix de F, et est appel intgrale de f entre a et b, not baf (t) dt.Intgrale dune fonction continue InterprtationSi f : [a, b] R est une application continue et positive sur un seg-ment[a, b], alors baf (t) dt est laire sous la courbe de f entre a etb. Dans le cas gnral o f est de signe non constant, baf (t) dt estlaire du domaine dlimit par la courbe de f , laxe des abscisses et lesdroites dquation x = a et x = b.Proprits lmentaires de lintgraleSoient f et g deux fonctions continues sur un segment [a, b] et c [a, b].On a alors : a1) Antisymtrie :bf (t) dt = baf (t) dt2) Relation de Chasles : baf (t) dt = caf (t) dt + bcf (t) dt3) Positivit : si a b et f 0 sur [a, b] alors baf (t) dt 0. De plus sic [a, b] ; f (c)-= 0 alors baf (t) dt0.4) Linarit : si (, ) R2 alors ba f (t) + g(t)dt = baf (t) dt + bag(t) dt.5) Croissance : si a b et f g sur [a, b] alors baf (t) dt bag(t) dt 48. 2. Analyse 396) Majoration en valeur absolue : si a b alors---- baf (t) dt----ba | f (t)| dtPrimitives et intgrales dune fonction continueSoit f : I R une application continue surun intervalle I de R.xAlors pour tout a I, lapplication x I)af (t) dt est luniqueprimitive de f sur I qui sannule en a.Thorme de la valeur moyenneSoit f : [a, b] R une application continue sur un segment [a, b]. Ona alors :1b a baf (t) dt = limn+1nn1k=0fa + kb an#.Intgrale dune fonction continue par morceaux DfinitionSoit f : [a, b] R une application dfinie sur un segment [a, b]. Ondit que f est continue par morceaux sur [a, b] lorsquil existe des relsa = x0x1 xn1xn = b tels que :1) i {0, . . . , n 1}, f est continue sur ]xi , xi+1[,2) i {0, . . . , n 1}, limxx+f (x) existe et est finie,i3) i {1, . . . , n}, limxxif (x) existe et est finie.Dans ce cas, pour tout i {0, . . . , n 1}, on note i le prolongementcontinue de f au segment [xi , xi+1]. On dfinit alors lintgrale de fentre a et b par la formule : baf (t) dt =n1i=0 xi+1xii (t) dt.Intgrale dune fonction continue par morceauxSoient f et g deux fonctions continues par morceaux sur un segment[a, b]. On suppose que f = g sur [a, b] sauf ventuellement dunnombre fini de points. bOn a alors :af (t) dt = bag(t) dt.c Dunod. La photocopie non autorise est un dlit. 49. 40 [1] MathmatiquesIntgrale dune fonction valeurs complexes DfinitionSoit f : [a, b] C une application dfinie sur un segment [a, b]. Onpose : f1 = Re f et f2 = Img, et on suppose que ces deux applicationssont continues par morceaux sur [a, b]. On dfinit alors lintgrale de fentre a et b par la formule : baf (t) dt = baRef (t)dt + i baImf (t)dt.Intgration par partiesSoit u et v deux applications de classe C1 sur un segment [a, b]. On aalors : bau(t)v(t) dt =u(t)v(t)ba bau(t)v(t) dt.Intgration par changement de variableSoient : [ , ] R une application C1 sur un segment [ , ] etf : I R une application continue sur un intervalle I vrifiant[( ), ()] I. On a alors : f(x)(x) dx = ()( )f (t) dt.Intgration des fonctions du type x) ax+bx2 +px+qSoit (a, b, p, q) R4. On note : = p2 4q le discriminant du poly-nmeX2 + pX + q. Alors :1) si 0, alors X2 + pX + q = (X c)(X d) et ( , ) R2 telque :ax + bx2 + px + q=x c+x d.2) si = 0, alors X2 + pX + q = (X c)2 et ( , ) R2 tel que :ax + bx2 + px + q=x c+(x c)2 .3) si 0, alors on crit : 50. 2. Analyse 41ax + bx2 + px + q=a22x + px2 + px + q+b ap21x2 + px + q,le premier sintgre en ln et le second en arctan.Coefficients de f (x) = c + nk=1ak cos(k x) + bk sin(k x)On dfinit une fonction f par f (x) = c +nk=1ak cos(k x) +bk sin(k x). On a alors :c =2 20f (t) dt, ak = 20f (t) cos(kt) dt, bkc = 20f (t) sin(kt) dt.Intgrales gnralises DfinitionSoit f : [a, b[ C une application continue par morceaux sur un in-tervalle[a, b[. On dit que baf (t) dt converge lorsque limxb xaf (t) dtexiste et est finie, et on pose alors : baf (t) dt = limxb xaf (t) dt. Dansle cas contraire, on dit que baf (t) dt diverge.Intgrales gnralises PropritSoient f et g deux fonctions continues par morceaux sur un intervalle[a, b[. On a alors : b1) Relation de Chasles : siaf (t) dt converge, alors caf (t) dt et bcf (t) dt convergent et baf (t) dt = caf (t) dt + bcf (t) dt2) Positivit : si a b, f 0 sur [a, b[ et baf (t) dt converge alors baf (t) dt 0c Dunod. La photocopie non autorise est un dlit. 51. 42 [1] Mathmatiques3) Linarit : si (, ) R2 et si baf (t) dt et bag(t) dt convergentalors ba f (t) + g(t)dt converge et ba f (t) + g(t)dt = baf (t) dt + bag(t) dt.4) Croissance : si a b, f g sur [a, b[, baf (t) dt et bag(t) dtconvergent alors baf (t) dt bag(t) dtIntgrale absolument convergente DfinitionSoit f : [a, b[ C une application continue par morceaux sur unintervalle [a, b[. On dit que ba f (t) dt converge absolument lorsque ba | f (t)| dt converge.Intgrale absolument convergente PropritSoit f : [a, b[ C une application continue par morceaux sur un inter-valle[a, b[. Si ba f (t) dt converge absolument alors baf (t) dt converge.Critre de comparaisonSoient f et g deux applications continues par morceaux sur un inter-valle[a, b[.1) si x [a, b[, 0 f (t) g(t), alors ba g(t) dt converge = ba f (t) dtconverge et ba f (t) dt diverge = ba g(t) dt diverge. ba g(t) dt converge = ba f (t) dt converge absolument.2) si x [a, b[, 0 | f (t)| g(t), alors2.7 quations diffrentiellesquations diffrentielles linaires du premier ordre y + y = (E), , : I K des applicationscontinues avec K = R ou C.y est une solution de cette qua-tionsur J I si et seulement si yest drivable sur J et si x J, yvrifie (E). 52. 2. Analyse 43quation rsolueUne quation diffrentielle linaire du premier ordre est dite normali-seou rsolue en y si et seulement si = 1.Solution dune quation diffrentielle linaire du premier ordreS = {eA + BeA , K}La solution ci-contre est la solutionde lquation rsolue avec = 1A : primitive de B : primitive de eALa solution de (E) est la somme dela solution gnrale de lquationhomogne associe (E) et dunesolution particulire de (E).Mthode de rsolution de E1. Rsolution de lquation homogne associe, solution de la formey0(x) ou R.2. Rinjecter la solution trouve dans lquation complte avec la m-thodede variation de la constante qui permet de trouver la fonctionqui vrifie lquation complte.quation diffrentielle du second ordre coefficients constantsy + y + y = 0(Ec ) : r2 + r + = 0(, ) R2 : coefficients delquation diffrentielleSoit (Ec ) lquation caractristiqueassocie lquation diffrentielle.Si cette quation caractristiqueadmet : deux racines distinctes r1 et r2,les solutions de lquation sont dela forme 1er1 x + 2er2 x une racine double r, les solutionssont de la forme (x + )erx deux racines complexes conju-guesr = a ib, les solutions sontde la forme :( cos bx + sin bx)eaxc Dunod. La photocopie non autorise est un dlit. 53. 44 [1] Mathmatiquesquation du second ordre avec second membre ex R(x)y + y + y = emx P(x)(, , m) K3 : coefficientsconstants de lquation diffren-tielleP K[X]Lquation diffrentielle admetune solution de la forme emx S(x)avec S K[X] : deg S = deg P si m nest pas ra-cinede (Ec ) deg S = 1 + deg P si m est racinesimple de (Ec ) deg S = 2 + deg P si m est racinedouble de (Ec )2.8 SriesSries numriques - DfinitionSoit (un )nN une suite relle. Pour tout n N, on dfinit la sommepartielle dordre n par Sn = nk=0 uk. On appelle srie numrique lasuite (un , Sn )nN valeurs dans R2 ; on la note un. On dit quelleconverge lorsque la suite (Sn )nN converge, et sinon on dit quelle di-verge.En cas de convergence, on appelle somme de la srie un le relnot +n=0 un et dfini par : +n=0 un = limn+ Sn .Condition ncessaire de convergenceSoit un une srie numrique. On a alors : un converge = limn+un = 0;la rciproque est fausse en gnral.Condition ncessaire et suffisante de convergenceSoit un une srie numrique. On note (Sn )nN la suite de ses sommespartielles. On a alors : un converge (Sn )nN est majore. 54. 2. Analyse 45Reste dune srie numriqueSoit un une srie numrique. Pour tout n N, on dfinit le restedordre n par Rn = nk=0 uk. On a alors : un converge limn+Rn = 0.Sries numriques LinaritSoient un et vn deux sries numriques convergentes et , R2.Dans ce cas (un + vn ) est convergente et :+ n=0(un + vn) = + n=0un + + n=0vn .Srie absolument convergente DfinitionSoit un une srie numrique. On dit que un converge absolumentlorsque |un | converge.Srie absolument convergente PropritSoit un une srie numrique. Si un converge absolument alors unconverge.Critre de comparaisonSoient un et vn deux sries numriques.1) si n0 N ; n n0, 0 un vn, alors vn converge = unconverge et un diverge = vn diverge.2) si n0 N ; n n0, 0 |un| vn, alors vn converge = unconverge absolument.Sries gomtriques1) Srie gomtrique : qn converge |q|1. Dans ce cas :+n=0 qn = 11q .2) Drive premire de la srie gomtrique : si |q|1 alors nqnconverge absolument et : +n=0 nqn = q(1q)2 .3) Drive seconde de la srie gomtrique : si |q|1 alors n2qnconverge absolument et : +n=0 n2qn = q2 +q(1q)2 .Srie exponentiellePour tout x R, xnn! converge et : +n=0xnn! = ex.c Dunod. La photocopie non autorise est un dlit. 55. 46 [1] Mathmatiques2.9 Fonctions de plusieurs variablesPav ouvert DfinitionOn apelle pav ouvert de Rn tout sous-ensemble de Rn de la formeI1 I2 In o les Ii , i {1, . . . , n}, sont des intervalles ouvertsde R.Limite, continuit dune fonction de n variablesSoient f : P R une application dfinie sur un pav ouvert P de Rnet a P.On dit que f a pour limite l R au point a lorsque :0, 0; x P, x a = | f (x) l| ,o y dsigne la norme euclidienne de y : y ='nk=1 y2k. On notealors : limxa f (x) = l. On dit que f est continue au point a lorsque :limxa f (x) = f (a).Applications partiellesSoient f : P R une application dfinie sur un pav ouvert Pde Rn et a P. Pour tout i {1, . . . , n}, on apelle ime appli-cationpartielle de f au point a lapplication fi : x) fi (x) =f (a1, . . . , ai1 , x, ai+1 , . . . , an ).Drives partielles premiresSoit f : P R une application dfinie sur un pav ouvert P de Rn .Soient a P et i {1, . . . , n}. On note fi lapplication partielle de f aupoint a. On dit que f admet une drive partielle en a par rapport xilorsque fi est drivable en ai . f i (ai ) est alors appele drive partiellede f par rapport xi au point a, note fxi(a). Si f admet une drivepartielle par rapport xi en tout point a de P, on dfinit alors lappli-cationdrive partielle : fxi: a P) fxi(a) 56. 2. Analyse 47Fonctions de classe C1Soit f : P R une application continue sur un pav ouvert P deRn. On dit que f est de classe C1 sur P lorsque f admet des drivespartielles par rapport chacune des variables, continues sur P.Drives partielles secondesSoit f : P R une application de classe C1 sur un pav ouvert P deRn.Soient a P et (i, j) {1, . . . , n}2. On dit que f admet une drive par-tielleseconde en a par rapport x j et xi lorsque fxiadmet une drivepartielle par rapport xi au point a, note 2 fx j xi(a).Fonctions de classe C2Soit f : P R une application de classe C1 sur un pav ouvert P deRn. On dit que f est de classe C2 sur P lorsque f admet des drivespartielles secondes par rapport chacune des variables, continues surP.Thorme de Schwartz : interversion de lordre de drivationSoient f : P R une application de classe C2 sur un pav ouvert P2 2 de Rn et (i, j) {1, . . . , n}2. Alors fet fsont continues sur Px j xixi x jet : a P,2 fx j xi(a) =2 fxi x j(a).dlit.Extremum local Dfinitionun Soit f : D R une application est 'dfinie sur une partie D de Rn.autorise Si y Rn, on pose : y =1 y.=non photocopie La Dunod. c Soit f : Rn R une application de classe C1 sur Rn. Si f admet unextremum local en a Rn, alors 2k: nk1) On dit que f admet un maximum local au point a D si et seule-mentsi :0 ; x D, x a = f (x) f (a).2) On dit que f admet un minimum local au point a D si et seulementsi :0 ; x D, x a = f (x) f (a).3) Dans les deux cas suivants, on dit que f admet un extremum localau point a D.Condition ncessaire dexistence dextremum local 57. 48 [1] Mathmatiquesi {1, . . . , n}, fxi(a) = 0;la rciproque est fausse en gnral.Diffrentielle dune fonction de classe C1Soient f : P R une application de classe C1 sur un pav ouvert Pde Rn et a P. On appelle diffrentielle de f au point a lapplication :d fa : h Rn) d fa (h) =ni=1 fxi(a)hi .Diffrentielle et approximation localeSoient f : P R une application de classe C1 sur un pav ouvert Pde Rn et a P. On a alors, lorsque h 0 :f (a + h) = f (a) +ni=1 fxi(a)hi + ohNotations diffrentiellesSoient f : P R une application de classe C1 sur un pav ouvertP de Rn et a P. Pour tout i {1, . . . , n}, on note dxi lapplicationdxi : h Rn) hi. On a alors :d fa =ni=1 fxi(a)dxi .Gradient - DfinitionSoient f : P R une application de classe C1 sur un pav ouvert Pde Rn et a P. On appelle gradient de f en a le vecteur not f (a) : f (a) = fx1(a), . . . , fxn(a)#. 58. 2. Analyse 49Drives partielles dune compose en dimension 2 Version 1Soient f : P R une application de classe C1 sur un pav ouvert Pde R2 et x : Q R, y : Q R deux applications de classe C1 surun pav ouvert Q de R2 telles que : (u, v) Q,x(u, v), y(u, v) P2.Dans ce cas, lapplication F : (u, v) Q) fx(u, v), y(u, v)est declasse C1 sur Q et, pour tout (u, v) Q :F(u, fxv) =x(u, v), y(u, v)uxu(u, v) + fyx(u, v), y(u, v) yu(u, v)Fv(u, v) = fxx(u, v), y(u, v) xv(u, v) + fyx(u, v), y(u, v) yv(u, v)Drives partielles dune compose en dimension 2 Version 2Soient f : P R une application de classe C1 sur un pav ouvert Pde R2 et x : I R, y : I R deux applications de classe C1 surun intervalle ouvert I de R telles que : t I,x(t), y(t) I2. Dansce cas, lapplication F : t I) fx(t), y(t)est de classe C1 sur I et,pour tout t I :F(t) = x(t) fxx(t), y(t)+ y(t) fyx(t), y(t).Forme diffrentielle en dimension 3 DfinitionOn appelle forme diffrentielle toute application : P LR3, Rdfinie sur un pav ouvert P de R3 telle que :(x, y, z) R3, (x, y, z) = p(x, y, z)dx + q(x, y, z)dy + r(x, y, z)dz,o p : P R, q : P R et r : P R sont trois applicationscontinues sur P.c Dunod. La photocopie non autorise est un dlit. 59. 50 [1] MathmatiquesForme diffrentielle exacte en dimension 3 DfinitionSoit = pdx + qdy + rdz une forme diffrentielle dfinie sur un pavouvert P de R3 telle que p, q et r sont de classe C1 sur P. On dit que est une forme diffrentielle exacte sur P lorsquil existe une applicationf : P R telle que :(x, y, z) P, (x, y, z) = d f(x,y,z) .Forme diffrentielle exacte en dimension 3 CaractrisationSoit = pdx + qdy + rdz une forme diffrentielle dfinie sur un pavouvert P de R3 telle que p, q et r sont de classe C1 sur P. On a alorsquivalence des propositions :(i) est une forme diffrentielle exacte sur P(ii) En tout point de P :Py=Qx,Qz=Ry,Pz=Rx.Intgrales doublesI et J deux intervalles, f est C0 sur I J. Sous rserve dabsolue conver-gence:IJf (x, y)dydx =JIf (x, y)dxdyIntgrales doubles en coordonnes polairesSi D est un domaine de R2, alors :Df (x, y)dxdy =f (r cos , r sin )rdrdo est dterminer partir de D.3. Gomtrie3.1 Courbes dans le plan 60. 3. Gomtrie 51Asymptote une courbe y = f (x)Soit a R ou a = . Soient f et g deux fonctions dfinies au voisi-nagede a telles que limxaf (x) g(x) = 0 (ventuellement limite droiteou gauche). On dit alors que la courbe reprsentative de g est asymp-tote celle de f .Asymptote verticale une courbe y = f (x)Si f est une fonction vrifiant limxa+f (x) = ou limxaf (x) = alors la courbe reprsentative de f admet la droite dquation x = apour asymptote verticale.Asymptote horizontale une courbe y = f (x)Soit b R. Si f est une fonction vrifiant limx+f (x) = b oulimxf (x) = b alors la courbe reprsentative de f admet la droitedquation y = b pour asymptote horizontale.Asymptote oblique une courbe y = f (x)Soit (a, b) R2 avec a-= 0. Si f est une fonction vrifiant limx+f (x) = et limx+f (x)x= a et limx+f (x) ax = b alors la courbe repr-sentativede f admet la droite dquation y = ax + b pour asymptotehorizontale. On a le mme rsultat avec des limites en . Un dve-loppementlimit en + ou en permet de dterminer les asymp-totesobliques et de positionner localement la courbe par rapport sonasymptote.3.2 Proprits lementaires dans le planProprits fondamentales du plan affine PLe plan affine P vrifie les deux proprits fondamentales suivantes :(1) pour tout point O du plan affine (O P) et tout vecteur u du plan(u R2), il existe un unique point M du plan affine (M P) tel queOM = u.(2) pour tout triplet (A, B, C) du plan affine(A, B, C) P3, on a larelation de Chasles :c Dunod. La photocopie non autorise est un dlit. 61. 52 [1] MathmatiquesAB + BC = AC.Repres cartsiens et coordonnesUn repre cartsien R est un triplet R = (O;i, j) o O est un pointquelconque du plan affine (O P), appel origine du repre, et (i, j)est une base de R2. Si M est un point du plan affine (M P), onappelle coordonnes de M dans le repre R lunique couple (x, y) derels(x, y) R2 tel que :OM = xi + yj.Calcul des coordonnes dun vecteurSoient A(xAyA) et B(xByB) deux points du plan affine P muni dun reprecartsienR = (O;i,j). Alors le vecteur AB a pour coordonnes (xBxAyB yA)dans la base B = (i, j) de R2.Colinarit de deux vecteurs DfinitionSoient u et v deux vecteurs du plan(u, v) R2 R2 . On dit que u etv sont colinaires lorsque la famille (u, v) est lie, cest--dire lorsqueu = 0 ou lorsquil existe un rel tel que v = u.Colinarit de deux vecteurs Critrey) et v(xSoient u(xy) deux vecteurs du plan muni dune base B = (i, j).u et v sont colinaires si et seulement si xy x y = 0.Milieu dun segment DfinitionSoient A et B deux points du plan affine P(A, B) P2. On appellemilieu du segment [AB] lunique point I du plan affine P vrifiantAI = IB.Milieu dun segment Calcul des coordonnesSoient A(xAyA) et B(xByB) deux points du plan affine P muni dun reprecartsien R = (O;i, j). Dans le repre R, le milieu I du segment [AB]a pour coordonnes (xIyI) avec : 62. 3. Gomtrie 53xI =xA + xB2et yI =yA + yB23.3 Produit scalaire et norme dans le planProduit scalaire et norme euclidienne dans la base canoniqueSoient u(xy) et v(xy) deux vecteurs du plan muni de sa base canonique.On appelle produit scalaire de u et v le rel, not u.v :u.v = xx + yyOn appelle norme eulidienne de u, note u le rel positifu.u ='x2 + y2Bases et repres orthonormauxUne base B = (i, j) de R2 est dite orthonormale lorsque i = j = 1eti.j = 0. Un repre orthonormal R est un triplet R = (O;i, j) o O estun point quelconque du plan affine (O P), appel origine du repre,et (i, j) est une base orthonormale de R2.Produit scalaire et norme euclidienne dans une base orthonormaleSoient u(xy) et v(xy) deux vecteurs du plan muni dune base orthonor-male(i, j). On a alors : u.v = xx + yy et u = u.u =)x2 + y2.y) M21 (R) et V = (xSi on pose U = (xy) M21 (R) on a doncu.v = tUV et u = tUU.Rgles de calcul pour le produit scalaire et la norme euclidienneSoient u, v et w des vecteurs du plan(u, v, w) R2 R2 R2et un rel ( R). On a les rgles de calcul suivantes :u.(v + w) = u.v + u.w(u + v).w = u.w + v.wc Dunod. La photocopie non autorise est un dlit. 63. 54 [1] Mathmatiquesu.(v) = (u.v).u = ||uu.v = v.uu 0 et u = 0 u = 0et les identits remarquables :u + v2 = u2 + 2u.v + v2u v2 = u2 2u.v + v2(u + v).(u v) = u2 v2Ingalit de Cauchy-SchwartzPour tous vecteurs u et v du plan(u, v) R2 R2, on a :|u.v| uvavec galit si et seulement si les deux vecteurs sont colinaires.Ingalit triangulairePour tous vecteurs u et v du plan(u, v) R2 R2, on a :u + v u + vavec galit si et seulement si les deux vecteurs sont colinaires demme sens.Orthogonalit de deux vecteursSoient u et v deux vecteurs du plan(u, v) R2 R2 . On dit que u etv sont orthogonaux lorsque u.v = 0. Dans ce cas on le note : u v. 64. 3. Gomtrie 55Thorme de PythagorePour tous vecteurs u et v du plan(u, v) R2 R2tels que u v, ona :u + v2 = u2 + v23.4 Droites dans le planDroite dans le plan DfinitionSoient A un point du plan affine P (A P) et u un vecteur non nul duplan (u R2 et u-= 0). On appelle droite passant par A et dirige paru la partie de P suivante :D =M P; AM et u sont colineairesD =M P; AM Vectu Droite dans le plan quation cartsienneOn munit le plan affine P dun repre cartsien (O;i, j). Soient a, b etc trois rels(a, b, c) R3tels que (a, b)-= (0, 0). Lensemble D desdlit.points M(xun est autorise non photocopie La Dunod. c yB yAxB xA y) du plan affine P tels que : ax + by + c = 0, est une droitedont un vecteur directeur est u(ba ). On dit quon dfinit D par unequation cartsienne.Coefficient directeur dune droiteOn munit le plan affine P dun repre cartsien R = (O;i, j). Soit Dune droite dquation cartsienne ax + by + c = 0. On suppose queb-= 0, cest--dire que D nest pas dirige par j. Dans ce cas D admetune quation cartsienne de la forme y = mx + p o (m, p) R2. m estappel coefficient directeur de la droite D dans le repre R. Si A(xA) etyAB(xByB) sont deux points distincts de D alors :m = 65. 56 [1] MathmatiquesDroite dans le plan Equations paramtriquesOn munit le plan affine P dun repre cartsien (O;i, j). Soient A(xAyA)un point de P et , deux rels( , ) R2tels que ( , )-= (0, 0).Lensemble D des points M(xy) du plan affine P vrifiant :x = xA + ty = yA + to t dcrit R, est une droite passant par A dont un vecteur directeurest u#. On dit quon dfinit D par un systme dquations param-triques.Paralllisme de deux droites DfinitionSoient D1 et D2 deux droites. On dit que D1 et D2 sont parallles lors-quunvecteur directeur de D1 est colinaires un vecteur directeurde D2. Dans ce cas tout vecteur directeur de D1 est orthogonal toutvecteur directeur de D2.Paralllisme de deux droites PropritSoient D1 et D2 deux droites dquation cartsienne respective : ax +by + c = 0 et x + y + = 0. Les droites D1 et D2 sont parallles siet seulement si a b = 0.Vecteur normal une droite DfinitionSoient D une droite et Nun vecteur du plan (N R2). On dit que Nest normal D lorsque Nest orthogonal un vecteur directeur de D.Dans ce cas Nest orthogonal tous les vecteurs directeurs de D. On lenote N D.Vecteur normal une droite PropritOn munit le plan affine P dun repre orthonormal R = (O;i, j). SoitN(ab) un vecteur non nul du plan (N R2 et (a, b)-= (0, 0)). Il existeune infinit de droites admettant Ncomme vecteur normal ; elles sonttoutes parallles entre elles et admettent une quation cartsienne sousla forme ax + by + c = 0 o c est quelconque dans R. Rciproquement,si D est une droite dquation cartsienne ax + by + c = 0, alors Dadmet Nab#comme vecteur normal. 66. 3. Gomtrie 57Orthogonalit de deux droites DfinitionSoient D1 et D2 deux droites. On dit que D1 et D2 sont orthogonales, eton le note D1 D2, lorsquun vecteur directeur (respectivement nor-mal)de D1 est orthogonal un vecteur directeur (respectivement nor-mal)de D2. Dans ce cas tout vecteur directeur (respectivement normal)de D1 est orthogonal tout vecteur directeur (respectivement normal)de D2.Orthogonalit de deux droites PropritOn munit le plan affine P dun repre orthonormal R = (O;i, j).Soient D1 et D2 deux droites dquation cartsienne respective ax +by + c = 0 et x + y + = 0. Les droites D1 et D2 sont orthogonalessi et seulement si a + b = 0.Intersection de deux droitesLintersection de deux droites est soit lensemble vide, soit un point,soit une droite.3.5 Projection orthogonale dans le planProjection orthogonale DfinitionSoient M un point du plan affine P (M P) et D une droite de vecteurdirecteur u (u R2). Le projet orthogonal de M sur D est luniquepoint H du plan affine P vrifiant :(1) H D(2) MH uLapplication qui M associe son projet orthogonal H est appele pro-jectionorthogonale sur la droite D.Projection orthogonale PropritSoient M un point du plan affine P (M P) et D une droite de vecteurnormal N(N R2). Le projet orthogonal de M sur D est luniquepoint H du plan affine P vrifiant :(1) H D(2) MH et Nsont colineairesProjet orthogonal et produit scalaireSoient A, B et C trois points du plan affine P(A, B, C) P3tel queA-= C. Si H est le projet orthogonal de B sur la droite (AC) alors ona :c Dunod. La photocopie non autorise est un dlit. 67. 58 [1] MathmatiquesAB.AC = AH.ACDistance dun point une droite DfinitionSoient A un point du plan affine P (A P) et D une droite. On appelledistance de A D le rel not d(A, D) :MD AMd(A, D) = infDistance dun point une droite PropritSoient A un point du plan affine P (A P) et D une droite. Si H est leprojet orthogonal de A sur D on a :d(A, D) = AH = minMD AM(la borne infrieure est atteint en H, cest donc un minimum).Distance dun point une droite CalculOn munit le plan affine P dun repre orthonormal R = (O;i, j).Soient AxAyA#un point du plan affine P (A P) et D une droitedquation cartsienne ax + by + c = 0. On a :d(A, D) = |axA+ byA + c| a2 + b23.6 Cercles dans le planCercle dans le plan DfinitionSoient un point du plan affine P ( P) et R un rel positif(R R+ ). On appelle cercle de centre et de rayon R la partie deP suivante :C(, R) = {M P; M = R} 68. 3. Gomtrie 59Cercle dans le plan Equation cartsienneOn munit le plan affine P dun repre orthonormal (O;i, j). Soient a, bet R trois rels(a, b, R) R3tels que R 0. Lensemble des pointsM(x) du plan affine tels que : (x a)2 + (y b)2 = R2, est le cercleyP C(, R) o est tel que O = ai + bj. On dit quon dfinit C(, R)par une quation cartsienne.Cercle dans le plan Equations paramtriquesOn munit le plan affine P dun repre orthonormal (O;i, j). Soient(xy) un point de P et R un rel positif (R R+ ). Lensemble despoints M(xy) du plan affine P vrifiantx = x + R cosy = y + R sino dcrit R, est le cercle C(, R). On dit quon dfinit C(, R) par unsystme dquations paramtriques.3.7 Mesure dun angle dans le planOrientation du plan affineOn munit le plan affine P dun repre orthonormal R = (O;i, j) oi = (x1 , y1) et j = (x2 , y2). On a alors : x1 y2 x2 y1 = 1. Dans lecas o x1 y2 x2 y1 = 1 on dit que le repre R est direct (cest le senstrigonomtrique), et dans le cas o x1 y2 x2 y1 = 1 on dit que lerepre R est indirect (cest le sens des aiguilles dune montre).Angle orient de deux vecteurs du plan DfinitionOn munit le plan affine P dun repre orthonormal direct R = (O;i, j).Soient u et v deux vecteurs non nuls du plan(u, v) R2 R2 et u-=0 et v-= 0. Par dfinition langle orient entre les vecteurs u et v, not(u, v), est gal la mesure algbrique de larc orient AB, o A et Bsont dfinis par les relations OA =uuet OB =vv.c Dunod. La photocopie non autorise est un dlit. 69. 60 [1] MathmatiquesAngle orient de deux vecteurs du plan PropritsOn munit le plan affine P dun repre orthonormal direct R = (O;i, j).Soient u, v et w trois vecteurs non nuls du plan(u, v, w) R2 R2 R2 et u-= 0 et v-= 0 et w-= 0. On a :(1) (u, w) = (u, v) + (v, w) [2 ](2) (u, u) = 0 [2 ](3) (u, u) = [2 ](4) (u, v) = (v, u) [2 ]Angle gomtrique de deux vecteurs du plan DfinitionOn munit le plan affine P dun repre orthonormal R = (O;i, j).Soient u et v deux vecteurs non nuls du plan(u, v) R2 R2 et u-=0 et v-= 0.Par dfinition langle gomtrique entre les vecteurs u et v, not (u,v),est gal lunique rel [0, ] vrifiant :cos =u.vuvAngle de deux droites du plan DfinitionOn munit le plan affine P dun repre orthonormal R = (O;i, j).Soient D1 et D2 deux droites du plan diriges respectivement par lesvecteurs u et v. Par dfinition langle entre les droites D1 et D2 est gal lunique rel 0, 2vrifiant :cos = |u.v|uv3.8 Proprits lmentaires dans lespaceProprits fondamentales de lespace affine ELespace affine E vrifie les deux proprits fondamentales suivantes :(1) pour tout point O de lespace affine (O E) et tout vecteur u delespace (u R3), il existe un unique point M de lespace affine (M E) tel que OM = u. 70. 3. Gomtrie 61(2) pour tout triplet (A, B, C) de lespace affine(A, B, C) E3, on ala relation de Chasles :AB + BC = AC.Repres cartsiens et coordonnesUn repre cartsien R est un triplet R = (O;i, j,k) o O est un pointquelconque de lespace affine (O E), appel origine du repre, et(i, j,k) est une base de R3. Si M est un point de lespace affine (M E),on appelle coordonnes de M dans le repre R lunique triplet (x, y, z)de rels(x, y, z) R3tel que :OM = xi + yj + zkCalcul des coordonnes dun vecteurSoient AxAyAzA et BxByBzB deux points de lespace affine E munidun repre cartsien R = (O;i,j,k). Alors le vecteur AB a pour coor-donnesxB xAyB yAzB zA dans la base B = (i, j,k) de R3.Colinarit de deux vecteurs DfinitionSoient u et v deux vecteurs de lespace(u, v) R3 R3. On dit que uet v sont colinaires lorsque la famille (u, v) est lie, cest--dire lorsqueu = 0 ou lorsquil existe un rel tel que v = u.Coplanarit de deux vecteurs DfinitionSoient u, v et w trois vecteurs de lespace(u, v, w) R3 R3 R3.On dit que u, v et w sont coplanaires lorsque la famille (u, v, w) est lie.Milieu dun segment DfinitionSoient A et B deux points de lespace affine E(A, B) E2. On appellemilieu du segment [AB] lunique point I de lespace affine E vrifiantAI = IB.c Dunod. La photocopie non autorise est un dlit. 71. 62 [1] MathmatiquesMilieu dun segment Calcul des coordonnesSoient AxAyAzA et BxByBzB deux points de lespace affine E munidun repre cartsien R = (O;i, j,k). Dans le repre R, le milieu I dusegment [AB] a pour coordonnesxIyIzI avec :xI =xA + xB2et yI =yA + yB2et zI =zA + zB23.9 Produit scalaire et norme dans lespaceProduit scalaire et norme euclidienne dans la base canoniqueSoient uxyz et vxyz deux vecteurs de lespace muni de sabase canonique. On appelle produit scalaire de u et v le rel, not u.v :u.v = xx + yy + zzOn appelle norme ) eulidienne de u, note u le rel positif u.u =x2 + y2 + z2.Bases et repres orthonormauxUne base B = (i, j,k) de R3 est dite orthonormale lorsque i = j =1 eti.j = 0. Un repre orthonormal R est un quadruplet R = (O;i, j,k)o O est un point quelconque de lespace affine (O E), appel originedu repre, et (i, j,k) est une base orthonormale de R3. 72. 3. Gomtrie 63Produit scalaire et norme euclidienne dans une base orthonormaleSoient uxyz et vxyz deux vecteurs de lespace muni dunebase orthonormale (i, j,k). On a alors : u.v = xx + yy + zz et u =)u.u =x2 + y2 + z2. Si on pose U =xyz M31 (R) et V =xyz M31 (R) on a donc : u.v = tUV et u = tUU.Rgles de calcul pour le produit scalaire et la norme euclidienneSoient u, v et w des vecteurs de lespace(u, v, w) R3 R3 R3 et un rel ( R). On a les rgles de calcul suivantes :u.(v + w) = u.v + u.w(u + v).w = u.w + v.wu.(v) = (u.v).u = ||uu.v = v.uu 0 et u = 0 u = 0et les identits remarquables :u + v2 = u2 + 2u.v + v2u v2 = u2 2u.v + v2(u + v).(u v) = u2 v2c Dunod. La photocopie non autorise est un dlit. 73. 64 [1] MathmatiquesIngalit de cauchy-SchwartzPour tous vecteurs u et v de lespace(u, v) R3 R3, on a :|u.v| uvavec galit si et seulement si les deux vecteurs sont colinaires.Ingalit triangulairePour tous vecteurs u et v de lespace(u, v) R3 R3, on a :u + v u + vavec galit si et seulement si les deux vecteurs sont colinaires demme sens.Orthogonalit de deux vecteursSoient u et v deux vecteurs de lespace(u, v) R3 R3. On dit queu et v sont orthogonaux lorsque u.v = 0. Dans ce cas on le note : u v.Thorme de PythagorePour tous vecteurs u et v de lespace(u, v) R3 R3tels que u v,on a :u + v2 = u2 + v23.10 Plans dans lespacePlan dans lespace DfinitionSoient A un point de lespace affine E (A E) et (u, v) une famille librede vecteurs de lespace(u, v) R3 R3 et u, v non colineaires.On appelle plan passant par A et engendr par u et v la partie de E suivante :P =M E; AM Vectu, v 74. 3. Gomtrie 65Plan dans lespace Equation cartsienneOn munit lespace affine E dun repre cartsien (O;i, j,k). Soient a,b, c et d quatre rels(a, b, c, d) R4tels que (a, b, c)-= (0, 0, 0).Lensemble P des points Mxyz de lespace affine E tels que :ax + by + cz + d = 0, est un plan. On dit quon dfinit P par une qua-tioncartsienne.Plan dans lespace Equations paramtriquesOn munit lespace affine E dun repre cartsien (O;i, j,k). SoientAxAyAzA un point de E et ( , , ), ( , , ) deux triplets de relsnon proportionnels. Lensemble P des points Mxyz de lespace af-fineE vrifiant : x = xA + s + t y = yA + s + tz = zA + s + t o s et t dcrivent R, est un plan passant par A engendr par uet v . On dit quon dfinit P par un systme dquations para-mtriques.Vecteur normal un plan DfinitionSoient P un plan et Nun vecteur de lespace (N R3). On dit que Nest normal P lorsque Nest orthogonal deux vecteurs engendrantP. Dans ce cas Nest orthogonal tous les vecteurs de P. On le noteN P.c Dunod. La photocopie non autorise est un dlit. 75. 66 [1] MathmatiquesParalllisme de deux plans DfinitionSoient P1 et P2 deux droites. On dit que P1 et P2 sont parallles lors-quilssont engendrs par les mmes vecteurs.Vecteur normal un plan PropritNOn munit lespace affine E dun repre orthonormal R = (O;i, j,k).Soit abc un vecteur non nul du plan (N R3 et (a, b, c)-=(0, 0, c)). Il existe une infinit de plans admettant Ncomme vecteurnormal ; ils sont tous parallles entre eux et admettent une quationcartsienne sous la forme ax + by + cz + d = 0 o d est quelconquedans R. Rciproquement, si P est un plan dquation cartsienne ax +by + cz + d = 0, alors P admet Nabc comme vecteur normal.Paralllisme de deux plans PropritSoient P1 et P2 deux plans dquation cartsienne respective : ax + by +cz + d = 0 et x + y + z + = 0. Les droites P1 et P2 sont paralllessi et seulement si les triplets (a, b, c) et ( , , ) sont proportionnels.Orthogonalit de deux plans DfinitionSoient P1 et P2 deux droites. On dit que P1 et P2 sont orthogonaux, eton le note P1 P2, lorsquun vecteur normal de P1 est orthogonal un vecteur normal de P2. Dans ce cas tout vecteur normal de P1 estorthogonal tout vecteur normal de P2.Orthogonalit de deux plans PropritOn munit lespace affine E dun repre orthonormal R = (O;i, j,k).Soient P1 et P2 deux plans dquation cartsienne respective ax + by +cz + d = 0 et x + y + z + = 0. Les plans P1 et P2 sont orthogonauxsi et seulement si a + b + c = 0.Intersection de deux plansLintersection de deux plans est soit lensemble vide, soit une droite,soit un plan.3.11 Projection orthogonale dans lespace 76. 3. Gomtrie 67Projection orthogonale DfinitionSoient M un point de lespace affine E (M E) et P un plan de vecteurnormal N(N R2). Le projet orthogonal de M sur P est luniqueNpoint H de lespace affine vrifiant :(1) H P(2) MH et sont colineairesLapplication qui M associe son projet orthogonal H est appele pro-jectionorthogonale sur le plan P.Distance dun point un plan DfinitionSoient A un point de lespace affine E (A E) et P un plan. On appelledistance de A P le rel not d(A, P) :MP AMd(A, P) = infDistance dun point un plan PropritSoient A un point de lespace affine E (A E) et P un plan. Si H est leprojet orthogonal de A sur P on a :d(A, P) = AH = minMP AM(la borne infrieure est atteint en H, cest donc un minimum).Distance dun point un plan CalculOn munit lespace affine E dun repre orthonormal R = (O;i, j,k).Soient AxAyAzA un point de lespace affine E (A E) et P un plandquation cartsienne ax + by + cz + d = 0. On a :d(A, P) = |axA+ byA + czA + d| a2 + b2 + c23.12 Droites dans lespacec Dunod. La photocopie non autorise est un dlit. 77. 68 [1] MathmatiquesDroite dans lespace DfinitionSoient A un point de lespace affine E (A E) et u un vecteur non nuldu plan (u R3 et u-= 0). On appelle droite passant par A et dirigepar u la partie de P suivante :D =M P; AM Vectu Droite dans le plan Equation cartsienneOn munit lespace affine E dun repre cartsien (O;i, j,k). Soient(a, b, c, d) et ( , , , ) deux quadruplets de rels tels que (a, b, c)-=(0, 0, 0) et ( , , )-= (0, 0, 0). Lensemble des points Mxyz delespace affine E tels que :ax + by + cz + d = 0 x + y + z + = 0est une droite. On dit quon dfinit D par un systme dquations car-tsiennes.Droite dans lespace Equations paramtriquesOn munit lespace affine E dun repre cartsien (O;i, j,k). SoientA(xAyA) un point de P et , , trois rels( , , ) R2tels que( , , )-= (0, 0, 0). Lensemble des points Mxyz de lespace af-fineE vrifiantx = xA + ty = yA + tz = zA + to t dcrit R, est une droite passantpar A dont un vecteur directeur est u. On dit quon dfinit Dpar un systme dquations paramtriques.3.13 Sphres dans lespace 78. 3. Gomtrie 69Sphre dans lespace DfinitionSoient un point de lespace affine E ( E) et R un rel positif(R R+ ). On appelle sphre de centre et de rayon R la partie de E suivante :S(, R) = {M E; M = R}Sphre dans lespace Equation cartsienneOn munit lespace affine E dun repre orthonormal (O;i, j,k). Soienta, b, c et R quatre rels(a, b, c, R) R4tels que R 0. Lensemble despoints Mxyz de lespace affine E tels que : (x a)2 + (y b)2 +(zc)2 = R2, est la sphre S(, R) oest tel que O = ai+bj+ck.On dit quon dfinit S(, R) par une quation cartsienne.3.14 Mesure dun angle dans lespaceAngle gomtrique de deux vecteurs de lespace DfinitionOn munit lespace affine E dun repre orthonormal R = (O;i, j,k).Soient u et v deux vecteurs non nuls du plan(u, v) R3 R3 et u-=0 et v-= 0. Par dfinition langle gomtrique entre les vecteurs u etv, not (u,v), est gal lunique rel [0, ] vrifiant :cos =u.vu.vAngle de deux droites de lespace DfinitionOn munit lespace a