Le calcul mental au cycle 3

David Rolland, PIUFM de mathématiques

21/04/23Le calcul à l'école 1

Le calcul en Mathématiques.

Le calcul mental à l’école.


Qu’est-ce que le calcul?Différentes acceptions pour le calcul numérique.

Des exemples de calcul réfléchi écrit.

Un exemple de calcul réfléchi oral.



Détour historique …


Avril 2007: Au cycle 3, dans la rubrique « calcul »: « Calcul approché: il doit être utilisé dans des situations où

les élèves peuvent lui donner du sens, par exemple: contrôle d’un résultat obtenu par récrit ou à l’aide d’une calculatrice. »

NB: attention, les programmes de 2002 mentionnaient déjà la nécessité de travailler le calcul approché au cycle 3!

Juin 2008: « L’entraînement quotidien au calcul mental (portant sur

les quatre opérations) permet une connaissance plus approfondie des nombres et une familiarisation avec leurs propriétés. »

Origine historique. Le terme calcul vient du mot latin calculus qui renvoie aux cailloux que les Romains utilisaient pour calculer dans des pratiques sociales diverses.


Définition. Un calcul est une combinaison d’objets mathématiques (représentés par des symboles) obtenue grâce à des opérations, selon des règles précises, afin d’obtenir un résultat nouveau.


Les différentes sortes de calcul en Mathématiques:

calcul algébrique, barycentrique, vectoriel, tensoriel, différentiel, intégral, propositionnel, formel, trigonométrique, matriciel, exponentiel, booléen, statistique, binaire, numérique, etc.


Sens commun.1. Sens mathématique: calcul numérique et,

plus généralement, l’arithmétique. Dans cette école, on enseigne le calcul.

2. Usage dans la langue courante (sens figuré). Calcul: ensemble des moyens qu’on

combine, des mesures qu’on prépare en vue du succès d’une affaire. Il a agi par calcul.

Faire un mauvais calcul. Cela n’entre pas dans mes calculs. Il a déjoué tous les calculs.


Une double opposition:

1. Mental - écrit

2. Réfléchi - automatisé


Classification des différents modes de calcul (2)

Calcul écrit

Calcul mental

Calcul instrumenté (on utilise une

calculatrice ou un tableur)

Calcul automatisé : fait appel à un résultat déjà mémorisé et se limite à exécuter un algorithme

Remarque préalable : calculer nécessite la mémorisation de résultats et de techniques.

Exemple : ayant à faire une soustraction, on utilise toujours la même technique de calcul posé.Exemple : ayant à diviser par 25, mentalement, on multiplie par 4 et on divise par 100.Exemple : ayant à calculer le produit de deux nombres, on utilise la touche × de la calculatrice.

Calcul réfléchi ou raisonné : ayant à faire un certain type de calcul, on utilise une procédure dépendant des nombres en jeu.

Exemples :64 - 5 = 64 - 4 - 1 = 60 - 1 = 59

64 - 59 = 64 - 60 + 1 = 5

12×25 = 3×4 ×25 = 3×100 =

300

Exemple : pour calculer la valeur exacte de 128 000 618 × 514 avec une calculatrice, on effectue à la calculatrice les calculs 128 × 514 et 618 x 514.

Exemple :

1/ Caractéristiques propres au calcul automatisé et au calcul réfléchi

Calcul automatisé Calcul réfléchi

Le calcul posé met en œuvre des propriétés des opérations, même si ces propriétés ne sont pas nécessairement toujours visibles pour le calculateur.

Le calcul réfléchi s’appuie sur des relations entre nombres et sur des propriétés des opérations que le calculateur décide de mobiliser.

Le calcul automatisé est impersonnel : il est conduit de la même façon par tous les individus.

Le calcul réfléchi est très personnalisé. Le même calcul peut être réalisé de plusieurs manières selon les individus, notamment en fonction de leurs connaissances sur les nombres et les opérations.

Le calcul automatisé nécessite peu d’effort, car il est exécuté par réflexe : il peut être réalisé rapidement.

Pour un calcul réfléchi, la charge mentale de travail peut être importante… ainsi que le temps nécessaire pour répondre.

Le calcul automatisé s’apparente à un exercice routinier : il suffit d’exécuter une procédure connue.

Le calcul réfléchi s’apparente davantage à la résolution de problèmes : il faut d’abord imaginer une procédure possible, puis la mener à son terme.

Le calcul mental, sous ses deux formes, allie l’automatisation et la compréhension.

Autres formes de calcul numérique:1. Calcul rapide: mise en œuvre écrite de

techniques de calcul mental, proposé en temps limité.

2. Calcul instrumenté: calcul faisant appel à une calculatrice ou à l’ordinateur.

3. Calcul vivant (pédagogie Freinet): recherche d’une solution à un problème concret participant de la vie de la classe.


Au cycle 2:


Au cycle 2 (suite):


Au cycle 3:


L’importance du calcul mental à l’école Définition. Modalités de présentation. Le calcul mental, révélateur des compétences des élèves. Les élèves en difficulté en calcul mental. Les objectifs du calcul mental et du calcul réfléchi. Modalités de présentation. Le calcul mental, révélateur des compétences des élèves. Les élèves en difficulté en calcul mental. Les objectifs du calcul mental au cycle 3


Ce que n’est pas le calcul mental. Le calcul mental automatisé. Le calcul mental réfléchi. Les modalités de fonctionnement. Les situations d’accompagnement de la

pratique du calcul mental. Bibliographie.


Pourquoi le calcul mental occupe-t-il une place prépondérante dans les programmes ?

◦Indispensable pour les besoins de la vie quotidienne

◦Nécessaire à une bonne compréhension de certaines notions mathématiques

◦Permet de familiariser les élèves avec les nombres et d’approcher certaines propriétés des opérations



Au collège:« L’habileté en calcul est une aide à la conceptualisation. En

travaillant dans un domaine où les calculs peuvent être réalisés mentalement et rapidement, les élèves peuvent s’approprier plus aisément des nouveaux savoirs […] en centrant leur attention sur ce qui est

nouveau. Un déficit de compétences en calcul mental

constitue un handicap majeur pour de nombreux élèves en collège ».

« Le calcul numérique au collège », projet de document d’accompagnement

Exemple:

Factoriser (13,4x + 6,7); 28 = 2 7; simplifier 112/70 …


« Étendre le répertoire des résultats mémorisés, automatisés aux résultats sur les limites, sur les dérivées…

Construire chez l’élève une confiance en lui dans le domaine du calcul mental. »

Actes de l’université d’été, St Flour, 2006 Seconde:« Une certaine aisance est indispensable pour manipuler avec profit

sommes, produits, quotients : une telle aisance libère ensuite la pensée pour une réflexion plus profonde ou pertinente.

Première S:« Lors de l’étude d’une notion, (dérivée), un certain niveau de

maîtrise de calcul est indispensable […]. Dans le registre du calcul automatisé: il faut d’abord ANTICIPER quelque peu le calcul… »

Extraits des documents d’accompagnement

Le calcul mental est un calcul numérique qui ne fait pas appel aux intermédiaires écrits: aucun support n’intervient entre l’énoncé et la production du résultat.

De plus, l’énoncé est une situation numérique pure, non habillée sous la forme d’un énoncé de problème.


Enoncé Calcul Résultat

Ecrit permanent

Ecrit temporaire

Oral

Calcul mentalAvec ou non un

support visuel (bande numérique,

graduation, tableau de nombres,…)

Avec ou non l’écriture de résultats

intermédiaires

Ecrit

Frappé au clavier

Oral


Analyse des évaluations CE2: Redéfinir les compétences acquises par

les élèves à l’école primaire pour mieux comprendre la structure des apprentissages.

Sophie Morlaix IREDU-CNRS Université

de Bourgogne 2006


Les compétences qui structurent les apprentissages des élèves à l’entrée au CE2:


Les élèves en difficulté en Mathématiques le sont en général en calcul mental.

Les causes de ces difficultés:1. Un défaut d’adaptabilité des élèves. Ils

préfèrent utiliser des procédures sûres (qui fonctionnent dans tous les cas et conduisent aux résultats attendus; ce sont souvent les procédures « posées dans la tête ») et coûteuses plutôt que des procédures adaptées au calcul en cours.


Un manque de procédures automatisées s’appliquant à des calculs arithmétiques élémentaires (par exemple, le passage par la dizaine).

L’installation de procédures élémentaires automatisées permet aux élèves d’échapper aux automatismes sur des procédures plus complexes (Grand N n°79, D. Butlen, M. Charles-Pézard).


◦ Calcul automatisé : les compétences du cycle 2 les tables de multiplication (y compris dans l’optique d’une

recherche concernant la division) multiplier et diviser des nombres entiers par 10, 100,

1000… multiplier et diviser des nombres entiers par 20, 400,

2000…

◦ Calcul réfléchi : liste non exhaustive tous les calculs automatisés sont d’abord traités par le

calcul réfléchi


Le calcul mental ne se réduit pas à l’apprentissage de recettes calculatoires détachées de toute compréhension.

L’automatisation du calcul ne doit pas être mise en avant au détriment de la compréhension.


Il s’agit de favoriser la récupération directe en mémoire d’un résultat.

Cela passe par une phase reconstructive utilisant des points d’appui.



« La récitation des tables dans l’ordre croissant peut constituer une gêne pour une mémorisation efficace. »

Document d’accompagnement des programmes 2002

Connaître ses tables, c’est:Dire instantanément n’importe quel résultat.Être capable d’exploiter rapidement cette connaissance

pour donner un résultat connexe.

Exemple: connaître 7 + 6, c’est:Répondre rapidement « 13 »Combien de 7 pour aller à 13?13 – 6? 13 – 7? 6 + 7 ?


Compréhension de l’opération en jeu: Représentations mentales du calcul à effectuer

Prise de conscience de la nécessité d’un répertoire: Recenser les résultats connus Compléter et organiser le répertoire

Capacité à élaborer les résultats connus pour en construire d’autres:

Points d’appui: étape décisive dans la mémorisation

Entraînement des résultats mémorisés: Diversité des représentations mises en jeu Disponibilité des résultats


Importance de la représentation des nombres: Représentations imagées: constellations, dés, doigts… Représentations symboliques: numération chiffrée, numération

verbale

De l’importance de la représentation des nombres… Représentations des nombres imagées : Dés, dominos, jeux de cartes, figurations avec les doigts…

Importance de consolider les images mentales des « petits nombres »

Mise en relation des nombres (entre 5 et 10) et leurs décompositions

Relations des nombres entre-eux: Chaîne verbale Structuration écrite chiffrée


Points d ’appui pour le répertoire additif: Utilisation de la suite numérique, surcomptage Appui sur les doubles Utilisation de la commutativité Passage à la dizaine

Début de cycle 3: Restitution instantanée de tous les résultats: tables addition,

différences, compléments associés

La mémorisation des résultats (additifs et multiplicatifs) est favorisée par une bonne maîtrise des deux rythmes (numération écrite chiffrée, numération avec mots-nombres)


Points d’appui pour le répertoire multiplicatif:

Connaître les résultats des tables de 2 et de 5 Retrouver un résultat à partir d’un résultat connu:comptage

de n en n Utiliser la commutativité Connaître les carrés (souvent bien maîtrisé) Multiplier par 4, c’est…; multiplier par 6, c’est… S’appuyer sur les particularités de certaines tables: 2;5; 9; des régularités repérées dans la table de Pythagore

Fin cycle 3:

Mémorisation totale des produits des tables Utilisation pour répondre à:

Combien de fois 7 dans 56? 56 divisé par 7 Décomposer 56 sous forme d’un produit de deux nombres

inférieurs à 10

+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Apprendre la table d’addition


Les doubles Les amis pour faire 10

La numération

Les presque doubles


Le passage par 10 Le surcomptage (+1, +2, +3), avec application éventuelle de la commutativité de l’addition.


Apprendre la table de multiplication1. Donner un sens aux mots fois et « multiplié

par » et les distinguer.2. Utiliser des points d’appui: - comptage de n en n;

- connaître les doubles;- connaître les tables de 2 et de 5;- connaître les carrés;- savoir que multiplier par 2, c’est doubler, multiplier par 4, c’est doubler 2 fois;- etc.


Varier les approches pour un même résultat, en utilisant les possibilités de la langue mathématique:

47 – 39combien y a-t-il de 39 à 47?que faut-il ajouter à 39 pour faire 47?quel est l’écart entre 39 et 47?


7 fois 8 quel nombre, multiplié par 7, donne 56?

combien de fois 8 dans 56?56 divisé par 8?


Il s’agit d’élaborer une procédure adaptée au calcul particulier qui est proposé, en faisant appel à la réflexion et au raisonnement.



Représentations du nombre mobilisées: Numération écrite chiffrée Numération « orale »

25 x 12

P1: calcul séparé de 25x10 et 25x2, puis somme des résultats partiels (utilisation distributivité)

P2: décomposition de 12 en 4x3, calcul de 25x4 puis de 100x3

P3:utilisation du fait que 25 est le quart de 100, en divisant 12 par 4, en multipliant le résultat par 100

25x19

P4: calcul de 25x20 (directement ou non), puis soustraction de 25 au résultat (distributivité)

P5: calcul de 19x20 (19x2x10), puis de 5x19 (nouveau calcul réfléchi: somme de 5x9 et de 9x10)

Conclusion: aucune procédure ne s’impose, plusieurs sont possibles, nécessité de prendre des

décisions personnelles pour élaborer une procédure spécifique.


42 – 28:Ôter 20 puis 8 (décomposition);Ôter 30 puis ajouter 2 (pivotement);Aller de 28 à 42 (jalonnement);Calculer 44 – 30 (décalage).


25 x 12:Calculer séparément 25 x 10 et 25 x 2, puis additionner les résultats;Décomposer 12 en 4 x 3, calculer 25 x 4, puis 100 x 3;Voir que 25 est le quart de 100; multiplier 12 par 100, puis diviser par 4.


Le travail en classe doit être axé sur l’explicitation et la confrontation de procédures possibles et efficaces.

Il faut éviter la saturation de la mémoire de travail. Ce risque de saturation peut être diminué en autorisant les élèves à noter les résultats intermédiaires.


Les recommandations officielles.Programmes de l’école élémentaire adaptés à la Polynésie française, 2006Programmes de l’école élémentaire de 2008Document d’accompagnement des programmes 2002Document d’application des programmes « Mathématiques »


Le calcul mental doit faire l’objet d’une pratique quotidienne d’au moins 15 minutes.L’entraînement au calcul mental doit être quotidien dès le CP et se prolonger tout au long de l’école élémentaire. Il s’appuie sur la connaissance parfaite de la table d’addition puis de la table de multiplication. Les maîtres alternent les moments d’entraînement et ceux qui permettent de concevoir des méthodes et de comparer leur efficacité.



De la capacité à jouer avec les nombres

De la capacité à changer de procédures en fonction des nombres

De la qualité de mémorisation de certains résultats

Du nombre et de la nature des situations proposés aux élèves pour apprendre à calculer

Une organisation pédagogique:1. Les séances d’entraînement (calcul

automatisé):Objectifs:Entraîner les élèves;Les confronter à des exemples variés;Accroître leurs performances (rapidité, mémorisation).


Déroulement:10 à 15 minutes au moins une fois dans la journée;Débute par une activité très facile;Utilisation pertinente du procédé Lamartinière;Validation et correction rapide des calculs.


2. Les séances de calcul réfléchi (15 – 20 minutes).Deux types de séances:

des séances de découverte: découverte des procédures possibles et sélection des procédures efficaces.L'enseignant propose un calcul que les élèves peuvent calculer de différentes manières, sans application immédiate d'une démarche imposée et unique.


Des échanges s'ensuivent pour mettre en parallèle différentes méthodes et pour faire apparaître les avantages de certaines d'entre elles. Ces méthodes privilégiées sont mises au point collectivement.Dans ces séances, les phases d'échanges revêtent une grande importance.Elles sont conduites en relation avec les apprentissages notionnels correspondants (par exemple, pour la soustraction).


des séances d’optimisation des procédures efficaces (en conservant la liberté de choix de ces procédures par les élèves).


3. Les séances d’évaluation.Objectifs:Ce type de séances vise à observer si les élèves savent, en position différée, mobiliser des connaissances qui ont fait l'objet d'un travail antérieur.Divers types de calculs sont proposés dans cette séance.


Pour ces différents types de séances, la forme de présentation des calculs peut être:- avec des nombres purs;- avec des petits problèmes numériques.


Les limites de la confrontation des procédures.

- La nouveauté de toute autre procédure que celle qu’on utilise peut entraîner des difficultés dans la gestion et empêcher parfois que les élèves en apprécient les avantages.


- Il est parfois nécessaire d’imposer aux élèves la pratique d’une procédure. Lorsque plusieurs sont possibles, il n’est pas souhaitable d’en entraîner plusieurs à la fois. Mieux vaut en choisir une et l’exercer sur les exemples où elle est pertinente.



Comment?Résultats automatisés

Consigne orale Procédé La Lamartinière… … et d’autres

Calcul réfléchi Nécessité d’un temps de recherche Confrontation des procédures Possibilité de recourir à l’écrit

Organisation? Grand groupe / petits groupes / ateliers


Quels contextes?

Contexte numérique seul:17 + 23

Des « petits »problèmes:« Pierre avait 17 billes, il en gagne 23. Combien en

a-t-il maintenant? »

Moyen efficace d’aider les élèves à progresserdans la maîtrise du sens des opérations.

Méthodologie d’après F. Boule et D. Butlen :

Trois temps forts :

◦ La phase d’échauffement, très brève, pour mettre les élèves en condition d’écoute et de concentration, ne présentant aucune difficulté technique pour permettre un démarrage de tous les élèves.

◦ La phase d’entraînement, avec des calculs simples, en jouant sur les différentes variables en jeu, elle fait appel à des connaissances ou des procédures qui doivent être directement disponibles et rappelées éventuellement pendant la correction.

◦ La phase de calcul raisonné, plus complexe, où plusieurs procédures sont possibles, la correction permettra de les confronter et de faire apparaître éventuellement la plus adaptée.



Passer d’un nombre à un autre en utilisant un nombre minimum de touches :

A partir de 35, faire afficher 25 (sans effacer 35) A partir de 40, faire afficher 36….

Jeu à deux: un élève tape une séquence de calcul:8 [+] 7 l’autre élève annonce le résultat Le premier élève tape [=]

Affichage sous contraintes: Faire afficher 16 en tapant sur [+] ou sur [x] Faire afficher 16 sans taper ni 1 ni 6 Faire afficher 85 en trois étapes

Production de suites (1 en 1; 5 en 5; 10 en 10)

Calcul mental et calcul instrumenté :

65

Entretien connaissance du répertoire additif: A l’oral:

6+5; 9+6; 3+9; 4+8; 8+97 pour aller à 11; 4 pour aller à 10 8 pour aller à 15; 5 pour aller à 138-5; 7-2; 12-5; 16-8; 14-9

Le meilleur calcul pour un produit: Quatre produits écrits au tableau Cahier de brouillon Trouver le plus rapidement possible le résultat:

50x4; 8x5; 9x10; 100x7 Confrontation des procédures

66

Problèmes proposés à l’oral, les enfants peuventnoter les informations, l’énoncé peut être relu,correction après chaque problème: Un groupe de 20 enfants est parti en classe de neige. En

arrivant, ils décident de faire des bonshommes de neige. Pour cela, ils se mettent par deux. Combien y aura-t-il de bonshommes de neige?

Le lendemain, 12 enfants décident de faire du ski. Les autres choisissent de faire de la luge. Combien d’enfants font de la luge?

Un autre jour, ils partent en randonnée. Il faut emporter quelques barres chocolatées pour tenir le coup. Le moniteur qui les accompagne emporte trois barres pour chaque enfant.

Combien de barres chocolatées doit-il mettre dans son sac?

En route, ils rencontrent un autre groupe de quinze enfants. Ensemble, ils organisent une grande bataille de boules de neige. Combien y a-t-il d’enfants pour cette grande bataille?

67

Entretien connaissance du répertoire additif: A l’oral (5min):

7+4; 9+6; 8+6; 3+8; 9+9; 7+57 pour aller à 11; 4 pour aller à 10 8 pour aller à 15; 9 pour aller à 148-5; 7-2; 12-5; 16-8; 14-9

« Le bon compte »(15min): Nombre à atteindre: 64 Nombres à utiliser: 2; 4; 6; 7; 8; 10 Travail : cahier de brouillon ou ardoise Idem: nombre à atteindre: 55 nombres à utiliser: 4; 5; 6; 7; 10; 15

68

Problèmes proposés à l’oral, les enfants peuventnoter les informations, l’énoncé est lu deux fois,correction après chaque problème:

Sophie a ramassé 60 coquillages. Elle en donne la moitié à son petit frère. Combien lui reste-t-il de coquillages?

Alfred a planté quatre rangées de salades en mettant autant de salades dans chaque rangée. Il a planté en tout 60 salades. Combien a-t-il planté de salades dans chaque rangée?

Dans son album photos, Brice peut coller 60 photos. Il en a déjà collé 45. Combien peut-il encore en coller?

Le directeur de l’école dispose de 60 euros pour acheter des dictionnaires. Un dictionnaire coûte 20 euros. Combien le directeur peut-il acheter de dictionnaires?

Franck fabrique des petits objets. Il lui faut 5 minutes pour fabriquer un objet. Il travaille 60 minutes sans s’arrêter. Combien a-t-il fabriqué d’objets?

69

L’apprentissage de la division, activités d’accompagnement:Approximation de quotients Trouver mentalement une valeur plausible pour« 350

divisé par 82 » , puis vérifier par la multiplication à la calculette.

Procédure attendue: 82 proche 80, diviser 350 par 80 se ramène à 35 par 8 …

Ordre de grandeur du quotient:« Partager 11 643 pièces d’or entre 5 personnes de

manière à ce que chacun en reçoive autant, choisissez vous d’en donner à chacun:

1000, 2000, 3000, 4000, …, 9000? »

70

L’apprentissage de l’heure…Le furet des heures:Les élèves disent chacun leur tour un horaire, un

intervalle de durée étant donné:Pour intervalle d’une durée de quinze minutes, à partir

de 9 heures…

Autour des décompositions de 60:Mémory « 60 »: 60; 30; 30; 20; 20; 20; 15; 15; 15; 15;

10; 10; 10; 10; 10; 10 Établir le répertoire des décompositions additives de

« 60 »Avec dix cartes: 1; 2; 3; 4; 6; 10; 20; 30; 60; (12; 5):

établir le répertoire multiplicatif de « 60 »

71

Remplissages et coloriages: Table de Pythagore: remplir et colorier la

colonne et la ligne de la table de « 2 » Même tâche pour la table de « 5 » (couleur

différente) Même tâche pour les tables de « 3 et de « 8 » Poursuivre avec les tables de 10; 6 et 9 Terminer avec la table de 7

Observations, constats…

72

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18

3 3 6 9 12 15 18 21 24 27

4 4 8 12 16 20 24 28 32 36

5 5 10 15 20 25 30 35 40 45

6 6 12 18 24 30 36 42 48 54

7 7 14 21 28 35 42 49 56 63

8 8 16 24 32 40 48 56 64 72

9 9 18 27 36 45 54 63 72 81

73

Matériel: la table de Pythagore (2 à 12), les cases de la diagonale principale sont grisées

121 jetons qui sont destinés à être placés sur les cases de la table

Pour « 12 »: 4 jetons: 4x3; 3x4; 2x6; 6x2 Pour « 16 »: 3 jetons: 4x4; 2x8; 8x2 Etc… Les jetons sont mélangés. Les joueurs tirent 2 jetons et les placent sur la case qui

convient. Chacun prend ensuite 20 jetons, le reste constitue la

pioche Un carton ne peut être posé que sur une case adjacente

à un carton déjà placé.

Les jeux.Exemples:Les cartes magiques;Faire 20;Computix;Le jeu des opérations;Trio.


Les ca

rtes m

ag

iqu

es.


Faire

20


Com

pu

tix


Computix (suite)


Le jeu des opérations: le plateau de jeu:


Nombre de joueurs: 2 But du jeu : Avoir le maximum de points

lorsque le pion atteint la case Arrivée. Le matériel:

Un plateau de jeu de 10 sur 10 cases.

Un seul pion (commun aux 2 joueurs).

Un cadran circulaire partagé en trois parties contenant les signes +, - et x. Un dé avec deux faces 1, deux faces 2 et deux faces 3.


Déroulement de la partie :

Au début de la partie, le pion est placé sur la case D (Départ). La première opération est tirée au sort.

Le premier joueur lance le dé et déplace le pion du nombre de cases indiqué par le dé, en ligne ou en colonne en panachant les directions s'il le souhaite. Arrivé sur la case de coordonnées (a, b), il marque a + b points, a - b points ou b – a points (selon la soustraction possible) ou a x b points, suivant l'opération tirée au sort. On tourne alors le cadran circulaire pour indiquer l'opération suivante.


Déroulement de la partie (suite) :Le deuxième joueur lance le dé, déplace le pion du nombre de cases indiqué et marque les points en fonction de la case atteinte et de l'opération en cours.Chaque joueur, à son tour, déplace le pion et marque ses points.Le jeu s'arrête lorsqu'un joueur pose le pion sur la case A (Arrivée) ou lorsque chacun des joueurs a joué 10 fois. Le gagnant est alors celui qui totalise le plus de points.


Exemples de déplacements (cas où le dé indique 3 points):


Le trio.Trouver un alignement sans trou (ligne, colonne ou diagonale) de 3 cases en opérant de la façon suivante: multiplier deux des nombres des cases puis ajouter ou retrancher le troisième au produit pour obtenir le nombre affiché.


Nombre affiché: 25

Les logiciels MIB3: écran de départ


Choix d’une activité et des paramètres


Activité à réaliser


Ecran de départ


Les différents choix


Choix de l’activité


Choix de l’élève


Exercice à réaliser


Exercice à créer


Ecran de départ


Exercice à réaliser (1)


Exercice à réaliser (2)


Ecran de départ


Choix des paramètres


Exercice à réaliser


Le calcul rapide sur fiche.Exemples:Les croix magiques;Les cascades additives;Les cascades multiplicatives.


Les croix magiques:Aux sommets des deux carrés et à l'intersection des côtés des carrés, on place un nombre de 0 à 15. Chaque nombre de 0 à 15 doit figurer une fois et une seule.La somme des nombres situés sur un côté d'un carré doit être égale à 30.


Une solution:


Les cascades additives:


Les cascades multiplicatives:


105

Tic-boum (Ermel): Le but du jeu est reconnaître les nombres

entiers dont l’écriture comporte le chiffre 7 et les multiples de 7.

Les joueurs énoncent successivement la suite des nombres; lorsqu’un nombre comporte le chiffre 7 dans son écriture décimale, le joueur ne prononce pas ce nombre mais dit « tic »; lorsque le nombre est un multiple de 7, le joueur dit « boum »:

1; 2; 3; 4; 5; 6; tic; 8; 9; 10; 11; 12; 13; boum; 15, 16, tic, 18; 19; 20; boum; 22; 23; 24; 25; 26; tic; boum; …..; tic-boum (70); …Tic-tic-boum (77!)

106

La boîte noire… du CP au CM2: Je pense à un nombre, je lui ajoute 2, je

trouve 7, quel est ce nombre?

Il faut découvrir la règle qui permet de passer de:◦ 4 à 9; 10 à 21; 30 à 61 ◦ Formulation: « Je prends un nombre, je le

double et j’ajoute 1 »

107

Il s’agit, à partir, d’un nombre donné, d’atteindre un nombre cible, en respectant certaines contraintes:◦ Nombre de départ: 12◦ Nombre cible: 53◦ Contraintes: ajouter des « 7 », retrancher des « 4 »

Nombres affichés: 10; 20; 43; 35 A partir de ces nombres, trouver le plus de

nombres possibles:◦ Utilisation de l’addition et de la soustraction,◦ Utilisation d’un nombre une seule fois par calcul.

Le compte est bon: classique mais toujours pertinent!

108

Pénélope (Ermel CE2) On part d’un nombre (ici 24), on lui applique les règles

de transformations suivantes: à chaque ligne, le produit doit contenir un nombre de plus qu’à la ligne précédente. Lorsqu’on est sûr de ne plus pouvoir continuer, alors, le produit doit contenir un nombre de moins que celui de la ligne précédente et on ne doit pas retrouver une décomposition déjà écrite…

243 x 8

3 x 2 x 43 x 2 x 2 x 2

6 x 2 x 212 x 2

24

109

• Terminer les affiches suivantes:

• Prolongement:Voici un nombre qui a été écrit au cours du jeude Pénélope, il est écrit sous la forme du produit: 2 x 5 x 3 x 7.Trouver toutes les écritures de ce nombre qui pourraient se situer sur la ligne suivante.

72

2 x 36

72

3 x 24

72

4 x 18

72

6 x 12

72

8 x 9

110

12 7 2 4 11 5 10

36 35 84 16 77 50 30

60 24 21 22 33 40 35

24 13 77 28 42 14 26

39 26 29 17 63 2 13

36 65 27 14 91 49 17

18 72 47 56 20 55 90

111

12 7 2 4 11 5 10

36 35 84 16 77 50 30

60 24 21 22 33 40 35

24 13 77 28 42 14 26

39 26 29 17 63 2 13

36 65 27 14 91 49 17

18 72 47 56 20 55 90

Document d’accompagnement aux programmes de 2002:Le calcul mental. Cycle des apprentissages fondamentaux. Cycle des approfondissements.

Le calcul mental au cycle des apprentissages fondamentaux.C. Lethielleux Armand Colin

Le calcul mental au cycle des approfondissements.C. Lethielleux Armand Colin

Les ouvrages de la série Ermel (du CP au CM2), Hatier Plusieurs ouvrage de Fr.Boule:

◦ Jeux de calcul, Armand Colin, 1996◦ Le calcul à l’école élémentaire, IREM Bourgogne, 1997-1998◦ Faites vos jeux à l’école, Didier, 2005

Butlen D., Calcul mental, calcul rapide, IREM Paris VII, 1987 Kuntzmann J., Calcul mental de 10 à 99 ans, IREM Grenoble,

1997 Peltier M.L., Activités de calcul mental, Hatier, 200021/04/23Le calcul à l'école 11

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Jean-Luc BREGEONEt de Dominique Verdenne


Le calcul mental au cycle 3

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