L'Attracteur de Lorenz, Paradigme Du Chaos - Ghys

Sminaire Poincar XIV (2010) 1 52 e e

Sminaire Poincar e e

Lattracteur de Lorenz, paradigme du chaos Etienne Ghys CNRS - ENS Lyon UMPA, 46 Alle dItalie e 69364, Lyon, France

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Introduction

L attracteur de Lorenz est le paradigme du chaos comme le verbe aimer est le paradigme des verbes du premier groupe. Apprendre la conjugaison du verbe aimer ne sut pas pour apprendre le franais mais cest sans aucun doute c ncessaire. De la mme mani`re, observer de pr`s lattracteur de Lorenz ne sut e e e e pas pour comprendre tout le mcanisme du chaos dterministe mais cest un travail e e indispensable. Ce travail est dailleurs bien agrable puisquil sagit dun objet mae gnique a la fois mathmatiquement et esthtiquement. Il nest pas tonnant que ` e e e l eet papillon soit lun des rares concepts mathmatiques connus en dehors des e milieux scientiques.

Fig. 1 Attracteur de Lorenz

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Dans son acception pistmologique, un paradigme est une conception e e thorique dominante ayant cours ` une certaine poque dans une communaut sciene a e e tique donne, qui fonde les types dexplications envisageables, et les types de faits e a dcouvrir dans une science donne 1 . Cest en eet le rle jou par lattrac` e e o e teur de Lorenz dans la thorie contemporaine des syst`mes dynamiques, comme e e je vais essayer de lexpliquer. La dynamique de Lorenz prsente un ensemble de e phnom`nes qualitatifs dont on pense aujourdhui quils sont reprsentatifs des dye e e namiques gnriques . e e Conformment a lesprit de ce sminaire, ce texte nest pas destin aux mathe ` e e e maticiens. On pourra galement consulter [81] pour une description accessible de e lattracteur de Lorenz. Le beau livre Dynamics beyond uniform hyperbolicity. A global geometric and probabilistic perspective de Bonatti, D et Viana dcrit az e ltat de lart mais il est destin aux experts [16]. e e Dans un premier temps, je voudrais prsenter tr`s rapidement deux paradigmes e e du pass qui ont t supplants par Lorenz : les dynamiques (quasi-)priodiques et e ee e e les dynamiques hyperboliques . Larticle de Lorenz date de 1963 mais les mathe maticiens nen prirent vritablement connaissance quune dizaine dannes plus tard e e et il leur a fallu encore une dizaine dannes de plus avant de prendre conscience de e limportance de cet exemple. On pourrait regretter ce manque de communication entre les mathmaticiens et les physiciens mais dune certaine mani`re il fallait laise e ser le temps au paradigme hyperbolique de se consolider avant de laisser la place a ses successeurs non hyperboliques2 . Ensuite, je prsenterai le papillon de Lorenz ` e tel quon le comprend aujourdhui, en me concentrant sur les aspects topologiques et statistiques. Enn, jessaierai desquisser le panorama gnral des syst`mes dynae e e miques ` la lumi`re dun ensemble de conjectures (optimistes) de Palis. a e On limite souvent la thorie du chaos ` un aspect ngatif : la sensibilit aux e a e e conditions initiales rend impossible la dtermination pratique de lvolution future e e dun syst`me puisquon ne conna jamais ces conditions initiales avec une prcision e t e totale. La thorie serait cependant bien pauvre si elle se limitait a cette ngation du e ` e dterminisme et si elle ne contenait aucun aspect dductif. Au contraire, je voudrais e e insister ici sur le fait quen formulant les bonnes questions, la thorie qui en rsulte e e est riche et non triviale et quelle apporte une relle comprhension de la dynamique. e e Il reste beaucoup de travail a faire, ` mi-chemin entre mathmatiques et phy` a e sique, pour comprendre si cette petite quation direntielle ordinaire rend e e compte des phnom`nes mtorologiques qui taient la motivation initiale de Loe e ee e renz. Le chemin est long entre ces quations direntielles et les vraies quations e e e aux drives partielles de Navier-Stokes, qui sont au cur du probl`me physique. e e e Par incomptence, je naborderai pas cette question importante. e Je prf`re considrer le papillon comme un joli cadeau des physiciens aux ee e mathmaticiens ! e Je remercie Aurlien Alvarez, Maxime Bourrigan, Pierre Dehornoy, Jos Leys et e Michele Triestino pour leur aide.1 Trsor e 2 Pour

de la Langue Franaise. c une prsentation historique du dveloppement de la thorie du chaos, on pourra consulter [8]. e e e

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Quelques citations pour commencer

Je voudrais commencer par quelques citations qui illustrent lvolution des e points de vue sur la dynamique depuis environ deux si`cles. e On ne se lasse pas de lire la dnition du dterminisme par Laplace en 1814, e e dans son Essai philosophique sur les probabilits [41]. eNous devons donc envisager ltat prsent de lunivers comme leet de son tat e e e antrieur, et comme la cause de celui qui va suivre. Une intelligence qui pour e un instant donn conna e trait toutes les forces dont la nature est anime et la e situation respective des tres qui la composent, si dailleurs elle tait assez vaste e e pour soumettre ces donnes ` lanalyse, embrasserait dans la mme formule les e a e mouvements des plus grands corps de lunivers et ceux du plus lger atome : e rien ne serait incertain pour elle, et lavenir comme le pass serait prsent ` ses e e a yeux.

Le fait que cette citation soit extraite dun livre (fondamental) consacr aux probae bilits montre bien que Laplace navait pas une vision na du dterminisme [38]. e ve e La vaste intelligence quil voque nous fait dfaut et il nous faut recourir aux probae e bilits pour comprendre les syst`mes dynamiques. Nest-ce pas l` une ide moderne, e e a e la premi`re rfrence a la thorie ergodique ? e ee ` e Dans son petit livre Matter and Motion , publi en 1876, Maxwell insiste sur e la sensibilit aux conditions initiales dans les phnom`nes physiques : lintelligence e e e dont parlait Laplace doit tre en eet inniment vaste [48] ! On peut remarquer que e selon Maxwell cette sensibilit nest pas la r`gle gnrale mais plutt lexception. Ce e e e e o dbat nest dailleurs pas vritablement tranch aujourdhui. e e eThere is a maxim which is often quoted, that The same causes will always produce the same eects. To make this maxim intelligible we must dene what we mean by the same causes and the same eects, since it is manifest that no event ever happens more that once, so that the causes and eects cannot be the same in all respects. [...] There is another maxim which must not be confounded with that quoted at the beginning of this article, which asserts That like causes produce like eects. This is only true when small variations in the initial circumstances produce only small variations in the nal state of the system. In a great many physical phenomena this condition is satised ; but there are other cases in which a small initial variation may produce a great change in the nal state of the system, as when the displacement of the points causes a railway train to run into another instead of keeping its proper course.

Avec son sens de la formule, Poincar exprime en 1908 la dpendance aux condie e tions initiales de mani`re presque aussi mdiatique que Lorenz et son papillon e e dont nous parlerons plus loin ; on y retrouve le cyclone qui fait des ravages [62].Pourquoi les mtorologistes ont-ils tant de peine ` prdire le temps avec quelque ee a e certitude ? Pourquoi les chutes de pluie, les temptes elles-mmes nous semblente e elles arriver au hasard, de sorte que bien des gens trouvent tout naturel de

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prier pour avoir la pluie ou le beau temps, alors quils jugeraient ridicule de demander une clipse par une pri`re ? Nous voyons que les grandes perturbations e e se produisent gnralement dans les rgions o` latmosph`re est en quilibre e e e u e e instable. Les mtorologistes voient bien que cet quilibre est instable, quun ee e cyclone va na tre quelque part ; mais o`, ils sont hors dtat de le dire ; un u e dixi`me de degr en plus ou en moins en un point quelconque, le cyclone clate e e e ici et non pas l`, et il tend ses ravages sur des contres quil aurait pargnes. a e e e e Si lon avait connu ce dixi`me de degr, on aurait pu le savoir davance, mais e e les observations ntaient ni assez serres, ni assez prcises, et cest pour cela e e e que tout semble d ` lintervention du hasard. ua

La seconde citation de Poincar montre galement quil ne voit pas le chaos e e comme un obstacle a une comprhension globale du phnom`ne [61]. Il faut dire ` e e e cependant que le contexte montre quil discute de cintique des gaz si bien que les e dynamiques dont il est question dpendent dun tr`s grand nombre de degrs de e e e libert (positions et vitesses de tous les atomes). Mme si Poincar a galement pris e e e e conscience de la possibilit du chaos en mcanique cleste (dpendant dun nombre e e e e beaucoup plus petit de degrs de libert), il ne semble pas avoir propos de mthode e e e e probabiliste pour ltudier 3 . eVous me demandez de vous prdire les phnom`nes qui vont se produire. Si, e e e par malheur, je connaissais les lois de ces phnom`nes, je ne pourrais y arriver e e que par des calculs inextricables et je devrais renoncer ` vous rpondre ; mais, a e comme jai la chance de les ignorer, je vais vous rpondre tout de suite. Et, ce e quil y a de plus extraordinaire, cest que ma rponse sera juste. e

Lapplication de ce genre dides a des probl`mes de mcanique cleste se justiee ` e e e t-elle ? Dans son article de 1898 sur les godsiques des surfaces a courbure ngative, e e ` e apr`s avoir constat qu un changement si minime quil soit apport a la direction e e e` dune godsique [...] sut pour amener une variation absolument quelconque dans e e lallure nale de la courbe , Hadamard conclut de mani`re prudente [34]. eLes circonstances que nous venons de rencontrer se retrouveront-elles dans dautres probl`mes de Mcanique ? Se prsenteront-elles, en particulier, dans e e e ltude du mouvement des corps clestes ? Cest ce quon ne pourrait armer. Il e e est probable, cependant, que les rsultats obtenus dans ces cas diciles seront e analogues aux prcdents, au moins par leur complexit. e e e [...] Certes lorsquun syst`me se meut sous laction de forces donnes et que les condie e tions initiales du mouvement ont des valeurs donnes au sens mathmatique du e e mot, le mouvement ultrieur et, par consquent la mani`re dont il se comporte, e e e sont par cela mme connus. Mais, dans les probl`mes astronomiques, il ne saue e rait en tre ainsi : les constantes qui dnissent le mouvement sont donnes e e e physiquement, cest-`-dire avec des erreurs dont lamplitude se rduit ` mesure a e a que la puissance de nos moyens dobservation augmente, mais quil est impossible dannuler.3A `

part le thor`me de rcurrence ? e e e

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Certains ont cru voir dans ces dicults une rupture entre les mathmatiques e e et la physique. Mais comme la bien compris Duhem d`s 1907, il sagit au contraire e pour les mathmatiques de relever un nouveau d, celui de dvelopper ce quil e e e appelle les mathmatiques de l`-peu-pr`s [23]. e a eOn ne peut parcourir les nombreuses et diciles dductions de la Mcanique e e cleste et de la Physique mathmatique, sans redouter, pour beaucoup de ces e e dductions, une condamnation ` lternelle strilit. En eet, une dduction e a e e e e mathmatique nest pas utile au physicien tant quelle se borne ` armer que e a telle proposition, rigoureusement vraie, a pour consquence lexactitude rigoue reuse de telle autre proposition. Pour tre utile au physicien, il lui faut encore e prouver que la seconde proposition reste ` peu pr`s exacte lorsque la premi`re a e e est seulement ` peu pr`s vraie. Et cela ne sut pas encore ; il lui faut dlimiter a e e lamplitude de ces deux `-peu-pr`s ; il lui faut xer les bornes de lerreur qui a e peut tre commise sur le rsultat, lorsque lon conna le degr de prcision e e t e e des mthodes qui ont servi ` mesurer les donnes ; il lui faut dnir le degr e a e e e dincertitude quon pourra accorder aux donnes lorsquon voudra conna le e tre rsultat avec une approximation dtermine. Telles sont les conditions rigoue e e reuses quon est tenu dimposer ` la dduction mathmatique si lon veut que a e e cette langue, dune prcision absolue, puisse traduire, sans le trahir, le langage e du physicien ; car les termes de ce dernier langage sont et seront toujours vagues ` et imprcis, comme les perceptions quils doivent exprimer. A ces conditions, e mais ` ces conditions seulement, on aura une reprsentation mathmatique de a e e l`-peu-pr`s. Mais quon ne sy trompe pas ; ces Mathmatiques de l`-peu-pr`s a e e a e ne sont pas une forme plus simple et plus grossi`re des Mathmatiques ; elles e e en sont, au contraire, une forme plus compl`te, plus rane ; elles exigent la e e solution de probl`mes parfois fort diciles, parfois mme transcendants aux e e mthodes dont dispose lAlg`bre actuelle. e e

Je dcrirai plus loin larticle fondamental de Lorenz, datant de 1963, portant le e titre technique Deterministic non periodic ow et pass largement inaperu des e c mathmaticiens pendant pr`s de dix ans [44]. En 1972, une confrence de Lorenz e e e portant le titre Predictability : does the ap of a butterys wings in Brazil set o a tornado in Texas ? rendra cl`bre leet papillon [45]. Les trois phrases suivantes, ee extraites de cette confrence, me semblent remarquables. eIf a single ap of a butterys wing can be instrumental in generating a tornado, so all the previous and subsequent aps of its wings, as can the aps of the wings of the millions of other butteries, not to mention the activities of innumerable more powerful creatures, including our own species. If a ap of a butterys wing can be instrumental in generating a tornado, it can equally well be instrumental in preventing a tornado. More generally, I am proposing that over the years minuscule disturbances neither increase nor decrease the frequency of occurrence of various weather events such as tornados ; the most they may do is to modify the sequence in which these events occur.

La troisi`me phrase en particulier a un vritable contenu scientique puisquelle proe e pose que les statistiques dcrivant le futur dun syst`me dynamique pourraient tre e e e

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insensibles aux conditions initiales ; on peut y voir les prmices de ce que je dcrirai e e plus loin, les mesures de Sinai-Ruelle-Bowen qui permettent une comprhension e quantitative de ce type de dynamique chaotique. 33.1

Le vieux paradigme des orbites priodiques eDu jargon

Il faut dabord mettre en place le jargon de la thorie des syst`mes dynamiques. e e Les espaces sur lesquels nous observerons le mouvement seront presque toujours des espaces numriques Rn (et mme R3 le plus souvent). Parfois, il est utile de e e considrer un espace plus gnral comme une varit direntiable V (une sph`re e e e ee e e ou un tore par exemple) qui peut reprsenter lespace des phases du syst`me tudi. e e e e Linteraction entre la topologie de V et la dynamique est en gnral tr`s riche et il e e e sagit dailleurs de lune des motivations de Poincar pour le dveloppement de la e e topologie. Cependant cet aspect ninterviendra pas ici... La dynamique est engendre par une quation direntielle dvolution, cest-`e e e e a dire par un champ de vecteurs X (suppos direntiable) sur V . De chaque point x e e de V part une trajectoire (aussi appele orbite) de X. Si on ne fait pas dhypoth`se e e supplmentaire, il se peut que cette trajectoire ne soit pas dnie pour tout t R ; e e elle peut schapper ` linni en temps ni. Si les trajectoires sont dnies pour tout e a e t rel, on dit que le champ est complet : cest toujours le cas si V est compacte. e Dans ce cas, si x V et t R, on peut noter t (x) la position au temps t de la trajectoire de X issue au temps t = 0 de x. Pour chaque t R, la transformation t : x t (x) est une bijection de V (dont linverse est t ) direntiable ainsi que e son inverse : on dit quil sagit dun diomorphisme. Evidemment t1 +t2 nest autre e que la composition de t1 et t2 et on parle de (t )tR comme du ot engendr par le e champ de vecteurs X. En dautres termes, t reprsente la vaste intelligence dont e rvait Laplace qui permet de rsoudre toutes les quations direntielles ! Lorsque e e e e le mathmaticien crit Soit t le ot engendr par le champ X , il prtend donc e e e e avoir ralis ce rve... Bien sr, dans limmense majorit des cas, nous feignons de e e e u e conna t mais en ralit nous nous contenterions den conna le comportement tre e e tre asymptotique lorsque t tend vers linni. On pourrait objecter ` juste titre que lvolution des syst`mes physiques a e e na aucune raison dtre autonome, cest-`-dire que le champ de vecteurs X pourrait e a lui-mme dpendre du temps. Cette objection est en quelque sorte celle de Maxwell e e lorsquil fait remarquer quon ne retrouve jamais deux fois les mmes causes a deux e ` moments dirents puisque prcisment les moments sont dirents. Je me limiterai e e e e quand mme aux quations direntielles autonomes parce quelles recouvrent un e e e champ dapplications susamment vaste et aussi, il faut bien le reconna tre, puisque sans hypoth`se sur la nature de la dpendance en temps du champ de vecteurs, on e e ne pourrait pas dvelopper une thorie aussi solide. e e Les champs de vecteurs sur Rn ne sont pas toujours complets mais il arrive quils soient transverses ` une sph`re de sorte que les orbites des points de cette a e sph`re pn`trent dans la boule et nen ressortent plus. Les trajectoires des points de e e e la boule sont alors dnies pour tout t 0. Dans ce cas, t nest en fait quun semie ot de la boule dans le sens o` il nest dni que pour t 0, ce qui nest pas gnant u e e

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si nous voulons seulement comprendre le futur. Le lecteur non familier avec la topologie direntielle pourra se limiter a ce cas particulier en premi`re lecture. e ` e Il est de coutume dtudier galement les dynamiques en temps discrets. Il sagit e e alors de se xer un diomorphisme dune varit et dtudier ses itrations suce ee e e cessives k = ... (k fois) o` k est maintenant un temps entier. u On peut souvent passer dun point de vue ` lautre. Partant dun diomora e phisme de V , on peut recoller les deux bords de V [0, 1] a laide de pour ` construire une varit V de dimension 1 de plus que V qui porte naturellement un ee u e e champ de vecteurs X, ` savoir s o` s dsigne la coordonne dans [0, 1] (voir la a gure 2). Notez en particulier que X ne prsente aucune singularit. La varit V e e ee peut tre considre comme une hypersurface dans V , transverse ` X, par exemple e ee a en xant s = 0. On dit souvent que V est une section globale de X dans V . Les t et rencontrent la section globale V lorsque t est orbites (x) de X voyagent dans V entier, sur les orbites du diomorphisme . Il est clair que le ot en temps continu e t sur V et la dynamique en temps discret k sur V sont si voisins que comprendre lun, cest comprendre lautre. On dit que le ot t , ou le champ X, est la suspension du diomorphisme . e Rciproquement, il nest pas rare qutant donn un champ de vecteurs X sur e e e une varit V , on puisse trouver une hypersurface transverse V V qui rencontre ee ` chaque point x de V on peut alors associer toutes les orbites une innit de fois. A e le point (x) : le premier point de lorbite future de x qui est de retour dans la transversale V . Ce diomorphisme de V est lapplication de premier retour. Le e champ X est alors la suspension du diomorphisme 4 . e V [0, 1] V

(x) x

Fig. 2 Suspension

Mais tous les champs ne sont pas des suspensions. En particulier les champs qui prsentent des singularits ne peuvent pas tre des suspensions, et nous verrons que e e e cest le cas de lquation de Lorenz... Il nempche que cette ide (de Poincar) de e e e e ramener une dynamique continue ` celle des itrations dune seule transformation a e est extrmement utile, quitte ` ladapter comme nous le verrons plus loin. e a

4 A vrai dire, le temps de retour nest pas ncessairement constant et il faut donc reparamtrer le ot pour quil ` e e sagisse vritablement dune suspension. e

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3.2

Une croyance

Depuis tr`s longtemps, laccent est mis sur deux types dorbites : e les singularits de X sont les points xes du ot t : ce sont les positions e dquilibre du syst`me ; e e les orbites priodiques sont les orbites des points x tels quil existe un temps e T > 0 tel que T (x) = x. Le vieux paradigme dont il est question dans ce paragraphe est la croyance qu en gnral, apr`s une priode transitoire, le mouvement prend un rgime pere e e e e manent qui est un quilibre ou une trajectoire priodique . e e Pour exprimer cela de mani`re plus prcise, si x est un point de V , on dnit e e e lensemble -limite (resp. -limite) de x, comme lensemble X (x) (resp. X (x)) form des points de V sur lesquels saccumule lorbite t (x) lorsque le temps t tend e vers + (resp. ). La croyance en question consiste alors a armer que pour ` un champ de vecteurs X gnrique sur V , pour tout point x de V , lensemble e e X (x) se rduit ` un point ou ` une orbite priodique. Il est inutile dinsister ici sur e a a e lomniprsence des phnom`nes priodiques en science (en astronomie par exemple). e e e e La prise de conscience quil faut sattendre a dautres types de rgimes permanents ` e a t incroyablement tardive dans lhistoire des sciences. ee En fait, les premiers rsultats fondamentaux de la thorie des syst`mes dynae e e miques, vers la n du dix-neuvi`me si`cle, ont au contraire sembl conrmer cette e e e croyance. On peut citer a cet gard le thor`me de Poincar-Bendixson qui garantit ` e e e e que pour un champ de vecteurs sur le disque de dimension 2, entrant sur le bord et ne possdant pour simplier quun nombre ni de points singuliers, les ensembles e limites ne peuvent tre que de trois types : un point singulier, une orbite priodique e e ou un cycle (cest-`-dire un nombre ni de points singuliers connects par un nombre a e ni dorbites rguli`res). Voir la gure 3. e e

Fig. 3 Une singularit, un cycle limite et un cycle e

Il nest pas dicile de montrer que le cas du cycle est instable , cest-`-dire a quil ne se produit pas pour un champ de vecteurs gnrique et ceci conrme donc e e la croyance dans le cas du disque. Il est intressant de constater que Poincar nexplie e cite pas cette remarque, pourtant simple, que lun des trois cas de son thor`me est e e exceptionnel alors que les deux autres sont gnriques . Pour une discussion e e des concepts de gnricit chez Poincar, on pourra consulter la th`se de Robae e e e e dey [63]. Lide consciente dessayer de comprendre le comportement des champs de e vecteurs gnriques semble bien plus tardive ; elle est probablement due a Smale et e e ` a Thom vers la n des annes 1950. ` e

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Le cas des champs de vecteurs sur les surfaces plus gnrales quun disque a e e ncessit plus de travail et ne fut achev quen 1962 par Peixoto [55]. On ne dispose e e e pas de thor`me a la Poincar-Bendixson et les ensembles -limites peuvent tre e e ` e e beaucoup plus complexes que dans le cas du disque. Il se trouve cependant que ces exemples complexes sont rares et quen gnral les ensembles limites sont en eet e e des positions dquilibre ou des orbites priodiques. e e Il nous faut maintenant introduire un concept important que nous gnraliserons e e largement plus loin. Une singularit x0 dun champ de vecteurs X (sur une varit e ee V ) est dite hyperbolique si le champ linaris en ce point (qui est donc une matrice) e e na pas de valeurs propres sur laxe imaginaire. Lensemble des points x dont lorbite converge vers le point x0 est la varit stable de x0 : cest une sous-varit W s (x0 ) ee ee immerge dans V passant bien sr par x0 et dont la dimension est gale au nombre e u e de valeurs propres de parties relles ngatives. En changeant X en X, on dnit e e e u la varit instable W (x0 ) de x0 , de dimension complmentaire a celle de W s (x0 ) ee e ` puisque la singularit est hyperbolique. e

W s (x0 ) B W s () x0 W u (x0 )

Fig. 4 Une singularit et une orbite priodique e e

Si est une orbite priodique passant par un point x0 , on peut choisir une boule e B de dimension n 1 passant par x0 et transverse au ot. Le ot permet alors de dnir une application de premier retour de Poincar, qui est un diomorphisme loe e e cal de B, dni au voisinage de x0 , xant x0 . Si la direntielle de ce diomorphisme e e e en x0 ne poss`de pas de valeurs propres de module 1, on dit que lorbite est hye perbolique. Lensemble des points x tels que X (x) co ncide avec lorbite priodique e est la varit stable de , note W s (). Cest une sous-varit immerge comme ee e ee e prcdemment. On dnit de mme W u (). e e e e En 1959, Smale dnit les champs de vecteurs quon appelle aujourdhui de type e Morse-Smale [72]. Ce sont les champs X qui vrient les conditions suivantes : e X ne poss`de quun nombre ni de singularits et dorbites priodiques, qui e e e sont toutes hyperboliques ; les ensembles et -limites de tous les points sont des singularits ou des e orbites priodiques ; e les varits stables et instables des singularits et des orbites priodiques se ee e e rencontrent transversalement.

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Smale formule dans cet article une triple conjecture. Avant de les expliciter, il me faut introduire le concept fondamental de stabilit structurelle qui a t introduit e ee en 1937 par Andronov et Pontrjagin [5]. Un champ X est structurellement stable sil poss`de un voisinage dans lespace de tous les champs de vecteurs (muni de e la topologie C 1 ) tel que tous les champs X de ce voisinage sont topologiquement quivalents a X. Cela signie quil existe un homomorphisme de V (en gnral non e ` e e e direntiable) qui envoie les orbites de X sur celles de X tout en respectant leurs e orientations. Les champs structurellement stables sont donc ceux dont la dynamique topologique est insensible qualitativement aux petites perturbations. Cest donc un concept appartenant au domaine des mathmatiques de l`-peu-pr`s que Duhem e a e appelait de ses vux. Andronov et Pontrjagin avaient montr que certains champs e de vecteurs tr`s simples sur le disque de dimension 2 sont structurellement stables. e Lexemple le plus na est celui du champ radial X = x/x y/y. Si on f perturbe X, le nouveau champ possdera encore une singularit proche de lorigine e e vers laquelle toutes les autres orbites convergent : X est structurellement stable. Voici les conjectures de Smale : 1. Les champs de type Morse-Smale forment un ouvert dense dans lespace de tous les champs de vecteurs dune varit compacte donne. ee e 2. Les champs de type Morse-Smale sont structurellement stables. 3. Les champs structurellement stables sont de type Morse-Smale. La premi`re et la troisi`me conjecture sont fausses en gnral, comme Smale e e e e lui-mme ne tardera pas a le dcouvrir. Mais la seconde est correcte... La motivation e ` e de Smale tait claire : il sagissait de valider la croyance dominante en un rgime e e permanent quilibre ou orbite priodique pour une dynamique gnrique. e e e e En 1962, Peixoto dmontre les trois conjectures lorsque V est une surface come pacte orientable [55]. Il est surprenant que Smale ait pu penser que la premi`re de ses conjectures e puisse tre vraie alors que Poincar ou Birkho savaient bien quelle tait fausse ; e e e un ot peut possder une innit dorbites priodiques de mani`re stable. Smale, e e e e voquant cette priode, crit en 1998 [77] : e e eIt is astounding how important scientic ideas can get lost, even when they are aired by leading scientic mathematicians of the preceding decades.

Cest vers 1960 quon prit conscience explicitement quun champ de vecteurs gne e rique a toutes les chances davoir une dynamique bien plus complique que celle e dun Morse-Smale. Le paradigme de lorbite priodique laisse la place au suivant e celui des syst`mes hyperboliques que je dcrirai au paragraphe suivant. Mais les e e orbites priodiques continueront a jouer un rle fondamental en dynamique, comme e ` o nous lavait expliqu Poincar en 1892 [59] : e eDailleurs, ce qui nous rend ces solutions priodiques si prcieuses, cest quelles e e sont, pour ainsi dire, la seule br`che par o` nous puissions essayer de pntrer e u e e dans une place jusquici rpute inabordable. e e

Encore une remarque avant de continuer notre marche vers lattracteur de Lorenz... Les dynamiques que nous considrons ici ne sont pas supposes conservae e tives. On pourrait discuter par exemple des syst`mes dynamiques hamiltoniens qui e

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ont bien entendu des comportements qualitatifs tr`s dirents. Par exemple, le fait e e quils prservent un volume entra que presque tous leurs points sont rcurrents : e ne e cest le contenu du thor`me de rcurrence de Poincar. Un champ conservatif nest e e e e donc jamais de type Morse-Smale. Dans le domaine des champs hamiltoniens, le vieux paradigme est celui du mouvement quasi-priodique. On pense que dans la varit ambiante, il y a beaucoup e ee dorbites qui sont situes sur des tores invariants sur lesquels la dynamique est e linaire ; celle qui correspond a un certain nombre doscillateurs harmoniques non e ` coupls de priodes direntes. Lexemple typique est celui du mouvement kplrien e e e e e des plan`tes, si on suppose quelles ninteragissent pas entre elles. Chacune suit e une trajectoire priodique et lensemble se dplace donc sur un tore de dimension e e gale au nombre de plan`tes. La thorie KAM permet de montrer quune bonne e e e partie de ces tores invariants subsistent lorsquon perturbe un syst`me hamiltonien e compl`tement intgrable, mais il ny a par contre aucune raison de trouver de tels e e tores si la dynamique est gnrique (parmi les dynamiques hamiltoniennes). e e Il faut donc garder en mmoire que nous discutons ici de dynamiques a priori e dissipatives. Il est tonnant de constater que des physiciens aussi minents que Lane e dau et Lifschitz ont longtemps prsent la turbulence comme un phnom`ne presque e e e e priodique, avec des tores invariants dont la dimension dpend du nombre de Reye e nolds. Ce nest qu` partir de la seconde dition de 1971 de leur fameux trait de a e e mcanique des uides quils ont pris conscience du fait que les fonctions presque e priodiques sont trop gentilles pour dcrire la turbulence. e e 44.1

Deuxi`me essai : les dynamiques hyperboliques eHadamard et les godsiques sur le front dun taureau e e

En 1898, Hadamard crit un article remarquable sur le comportement dynae mique des godsiques sur les surfaces ` courbure ngative [34]. Cet article peut tre e e a e e considr comme le point de dpart de la thorie des syst`mes dynamiques hyperee e e e boliques et de la dynamique symbolique. Il est probablement paru trop tt puisque, o plus de 60 ans plus tard, Smale devra refaire le chemin suivi par Hadamard avant daller beaucoup plus loin, comme nous le verrons. Hadamard commence par donner quelques exemples concrets de surfaces ` coura bure ngative dans lespace usuel. La partie gauche de la gure 5 est extraite de son e article. Cette surface est diomorphe a un plan priv de deux disques, ce qui maue ` e torise a lappeler un pantalon , et ` la dessiner comme sur la partie droite de la ` a gure 5. Le probl`me consiste a comprendre le comportement dynamique des godsiques e ` e e sur cette surface. Autrement dit, un point matriel est astreint ` se dplacer sur P e a e ` et la seule force a laquelle il soit soumis est la force de raction. A chaque instant, ` e lacclration du point mobile est orthogonale a la surface : les trajectoires sont des ee ` godsiques de P parcourues ` vitesse constante. e e a Une condition initiale consiste ` choisir un point de P et un vecteur tangent a a P en ce point, disons de longueur 1. Lensemble de ces conditions initiales est ` la varit V = T 1 P de dimension 3, appele br unitaire tangent de P . Le ot ee e e

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Fig. 5 Le pantalon dHadamard

godsique t agit sur V : on consid`re la godsique partant dun point dans une e e e e e certaine direction et on la suit pendant le temps t pour obtenir un autre point et une autre direction. La principale proprit de la courbure ngative qui est utilise est que tout ee e e chemin trac sur la surface peut tre dform, a extrmits xes, en un unique arc e e e e ` e e e godsique joignant les deux extrmits. e e e e On peut trouver trois godsiques fermes g1 , g2 , g3 qui dcoupent P en quatre e e e e parties. Trois dentre elles correspondent aux trois bouts de P et la quatri`me e est le cur convexe qui est une surface compacte a bords limite par les trois ` e godsiques. e e

g1

g2

g3

Fig. 6 Le cur du pantalon

Considrons maintenant une godsique t R g(t) P . Si la courbe g e e e traverse g1 , g2 ou g3 au temps t0 , pour sortir du cur et entrer dans un bout, la proprit que je viens de rappeler montre que pour t > t0 la courbe g(t) reste dans ee ce bout et ne peut plus revenir dans le cur. En fait, on vrie que g(t) tend vers e linni dans ce bout. Rciproquement, si une godsique pn`tre dans le cur au e e e e e temps t0 , elle tend vers un bout dans le pass, quand t tend vers . On peut aussi e sassurer quil nest pas possible quune godsique vite le cur. On peut donc e e e distinguer plusieurs sortes de godsiques : e e

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g(t) est dans le cur pour tout t R ; g(t) vient dun bout, pn`tre dans le cur et sort par un bout ; e e g(t) vient dun bout, pn`tre dans le cur et y reste pour t assez grand ; e e g(t) est dans le cur pour t assez ngatif puis sort par un bout ; e Les plus intressantes sont celles du premier type : on les appelle aujourdhui e les orbites non errantes. Hadamard les analyse de la mani`re suivante. Joignons g1 e et g2 par un arc c3 de longueur minimale : cest un arc godsique plong dans le e e e cur, perpendiculaire a g1 et g2 . De la mme mani`re, c1 joint g2 et g3 et c2 joint g1 ` e e et g3 . Ces arcs c1 , c2 , c3 sont les coutures du pantalon. Si on dcoupe le cur le long e des coutures, on obtient deux hexagones H1 et H2 (gure 7). On consid`re maintenant une godsique g du premier type, donc enti`rement e e e e contenue dans le cur. Le point g(0) appartient a lun des deux hexagones, peut` tre aux deux sil est sur une couture, mais liminons ce cas particulier. Lorsquon e e parcourt la godsique g en partant de g(0) dans le sens des t croissants, on rencontre e e successivement les coutures c1 , c2 , c3 une innit de fois 5 . On lit donc un mot crit e e dans lalphabet ` trois lettres {1, 2, 3}. Si g rencontre la couture c1 , la couture a suivante ne pourra pas tre a nouveau c1 : ce sera c2 ou c3 . Le mot associ a une e ` e` godsique ne comportera donc pas deux lettres conscutives identiques. e e e

c2

c3 c1

Fig. 7 Dcoupe en deux hexagones e

De la mme mani`re, on peut parcourir g dans le sens ngatif et on obtient un e e e mot. Ces deux mots constituent un seul mot bi-inni m(g) associ ` la godsique ea e e g. Pour tre prcis, Hadamard ne parle en fait que de godsiques fermes, ceste e e e e a-dire quil se limite a des mots priodiques. Cest Morse, en 1921, qui compltera ` ` e e la thorie en nhsitant pas a coder les godsiques non priodiques par des mots bie e ` e e e innis [50]. Par la suite, je mlangerai les deux articles en parlant de Hadamarde Morse. Le rsultat principal de Hadamard-Morse est le suivant. e Pour tout mot bi-inni m en {1, 2, 3} sans rptition, il existe une godsique e e e e g qui le ralise. La godsique est unique si on spcie lhexagone H1 ou H2 qui e e e e contient g(0). Bien entendu lunicit de la godsique dont il est question ici doit tre bien e e e e comprise : on peut dplacer lorigine de g et la placer en g( ) sans changer le mot e5 Cela

rsulte de la ngativit de la courbure. e e e

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associ pourvu que g ne rencontre pas les coutures entre les temps t = 0 et t = . e Lunicit signie que deux godsiques de type 1 qui sont associes au mme mot et e e e e e qui partent du mme hexagone ne di`rent que de cette faon. e e c La preuve nest pas dicile (aujourdhui). Partant dun mot bi-inni, on consid`re le mot mp de longueur 2p obtenu en ne gardant que les p premiers chires ` e a droite et a gauche. On consid`re alors un chemin p : [lp , lp ] P qui suit le ` e mot mp et qui part de H1 ou H2 . Plus prcisment, on choisit un point x1 dans H1 e e et un point x2 dans H2 et le chemin p est form de 2p arcs godsiques qui joignent e e e alternativement x1 et x2 et qui passent par les coutures, comme indiqu par le e mot mp . Cet arc p peut tre dform, ` extrmits xes, en un arc godsique e e e a e e e e e e p : [lp , lp ] P . Il sagit ensuite de faire converger cela vers une godsique g : R P et ceci est un jeu denfant pour un mathmaticien daujourdhui (thor`me e e e dAscoli...). Lunicit nest pas non plus tr`s dicile... e e Voici quelques consquences qualitatives : e Si deux mots bi-innis m et m co ncident ` partir dun certain indice, les a godsiques g, g qui leur sont associes vont se rapprocher quand le temps tend vers e e e linni ; elles sont asymptotes. Il existe tel que la distance entre g(t) et g (t + ) tend vers 0 quand t tend vers +. On dit aujourdhui que g et g sont dans la mme e varit stable. Bien sr, on peut faire un commentaire analogue lorsque m et m ee u co ncident pour les indices susamment ngatifs et on obtient les espaces instables. e Si on dispose de deux mots innis sans rptition m+ et m , on peut bien sr e e u trouver un mot m qui co ncide avec m+ pour les indices susamment positifs et avec m pour les indices susamment ngatifs. Ainsi, tant donnes deux godsiques e e e e e non errantes, on peut toujours en trouver une autre qui est asymptote a la premi`re ` e dans le pass et a la seconde dans le futur. On peut mme imposer a m une vae ` e ` leur quelconque sur un nombre ni dindices. Evidemment tout cela implique une dpendance sensible aux conditions initiales : une perturbation arbitrairement petite e sur une godsique permet de lui imposer dtre asymptote dans le futur et dans le e e e pass ` deux godsiques choisies arbitrairement. ea e e Une autre proprit est que toute godsique non errante peut tre arbitraireee e e e ment approche par des godsiques priodiques : partant dun mot bi-inni, il sut e e e e den considrer un long segment et de le rpter priodiquement pour construire une e e e e godsique proche. Il y a donc une innit dnombrable de godsiques priodiques e e e e e e e et leur runion est dense dans lensemble des points non errants. On voit donc que e le comportement dynamique de ces godsiques est autrement plus complexe quun e e ot de Morse-Smale. Pour terminer cette br`ve vocation de ces articles, je voudrais citer quelques e e consquences que Hadamard-Morse auraient pu obtenir facilement mais quils e nobtiennent pas. On observe que la description de la dynamique des godsiques ne dpend e e e pas du choix de la mtrique ` courbure ngative. Il en rsulte presque que si on e a e e consid`re deux mtriques ` courbure ngative sur P , les ots godsiques des deux e e a e e e mtriques sont topologiquement conjugus. On est proche de la stabilit structue e e relle qui sera dmontre par Anosov en 1962 [3] : le ot godsique dune mtrique e e e e e riemannienne ` courbure ngative est structurellement stable. Dailleurs, Gromov a e montrera en toute gnralit dans [30] que les ots godsiques de deux mtriques e e e e e e

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a courbure ngative sur une varit compacte sont topologiquement conjugus6 . ` e ee e Un autre aspect qui est implicitement prsent dans ces articles est lintroe duction dune dynamique sur un espace de symboles. Lespace des suites (xi )iZ {1, 2, 3}Z est compact et le dcalage des indices (xi ) (xi+1 ) est un homomore e phisme qui code la dynamique du ot godsique. Pour tre prcis, il faudrait e e e e prendre le sous-dcalage de type ni form des suites sans rptitions, et pour e e e e tre encore plus prcis, il faudrait en prendre deux copies, une pour chaque hexagone. e e Enn, avec un peu dimagination, on peut voir galement dans ces articles une e apparition subliminale du fer a cheval de Smale que jvoquerai bientt. On peut ` e o procder de la mani`re suivante. Considrons tous les vecteurs unitaires tangents e e e a P en un point dune couture qui pointent dans la direction dune autre couture. ` La godsique qui part dune telle condition initiale part dun point de ci , traverse e e H1 ou H2 , et en ressort par cj . Ces vecteurs unitaires forment douze rectangles : il faut choisir ci , cj , puis H1 ou H2 , ce qui donne douze possibilits, et pour chacune e dentre elles, il faut prciser le point de dpart et le point darrive sur les coutures. e e e 2 1 e e Ces douze rectangles quon peut noter Rij , Rij sont plongs dans T1 (P ), br unitaire tangent ` P , de mani`re transverse au ot godsique que nous tudions. a e e e e

2 R21

1 R12

2 R23

Fig. 8 Dynamique sur les Rij

` A strictement parler, la runion R de ces rectangles nest pas une section globale e pour le ot godsique puisquil sagit dune sous-varit a bord, mais surtout puise e ee` quelle ne rencontre pas toutes les godsiques : les coutures elles-mmes dnissent e e e e des godsiques qui ne rencontrent pas R. Il nempche quon peut dnir une ape e e e plication de premier retour qui nest pas dnie dans tout R et qui nest pas e surjective. Partant dun vecteur unitaire x dans R, la godsique qui lui correspond e e traverse un hexagone et en ressort sur une autre couture. Le vecteur tangent a la ` sortie de lhexagone nest pas ncessairement dans R puisque la godsique continue e e e son chemin et peut sortir de lhexagone qui suit par g1 , g2 , g3 plutt que par une o couture. Si ce vecteur tangent est encore dans R, on le note (x). Le domaine de dnition de est la runion de 24 zones rectangulaires verticales , deux par e e6 Il

sut dailleurs que les mtriques soient sur deux varits dont les groupes fondamentaux sont isomorphes. e e e

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rectangle, et son image est forme de 24 zones rectangulaires horizontales . Chae cune des 24 zones rectangulaires verticales est contracte par dans la direction e verticale et dilate dans la direction horizontale et son image est lune des 24 zones e 1 rectangulaires horizontales. La gure 8 montre les deux bandes verticales dans R12 2 2 et leurs images dans R21 et R23 . Cette apparition simultane de dilatation et de contraction est clairement au e cur du phnom`ne mais elle nest pas explicite par Hadamard-Morse. On come e e prend bien que si on perturbe lg`rement le ot godsique en un autre champ de e e e e vecteurs (pas ncessairement le ot godsique dune mtrique riemannienne), R e e e e sera encore transverse et le retour sur R aura la mme allure, avec des zones e rectangulaires lg`rement dformes ; on pourra encore coder les orbites non errantes e e e e par des suites de symboles, dcrivant la suite des rectangles rencontrs au cours du e e temps. La stabilit structurelle, tout au moins de la partie non errante, se dduit e e assez facilement de cette observation. Il est surprenant que cet article si original dHadamard ait pu rester longtemps inaperu. Pourtant, Duhem en a donn une description image qui aurait pu le c e e faire conna en dehors du cercle limit des mathmaticiens [23]. tre e eImaginons le front dun taureau, avec les minences do` partent les cornes et e u les oreilles, et les cols qui se creusent entre ces minences ; mais allongeons sans e limite ces cornes et ces oreilles, de telle faon quelles stendent ` linni ; nous c e a aurons une des surfaces que nous voulons tudier. Sur une telle surface, les e godsiques peuvent prsenter bien des aspects dirents. Il est, dabord, des e e e e godsiques qui se ferment sur elles-mmes. Il en est aussi qui, sans jamais ree e e passer exactement par leur point de dpart, ne sen loignent jamais inniment ; e e les unes tournent sans cesse autour de la corne droite, les autres autour de la corne gauche, ou de loreille droite, ou de loreille gauche ; dautres, plus compliques, font alterner suivant certaines r`gles les tours quelles dcrivent autour e e e dune corne avec les tours quelles dcrivent autour de lautre corne, ou de lune e des oreilles. Enn, sur le front de notre taureau aux cornes et aux oreilles illimites, il y aura des godsiques qui sen iront ` linni, les unes en gravissant la e e e a corne droite, les autres en gravissant la corne gauche, dautres encore en suivant loreille droite ou loreille gauche. [...] Si donc un point matriel est lanc sur la e e surface tudie ` partir dune position gomtriquement donne, avec une vie e a e e e tesse gomtriquement donne, la dduction mathmatique peut dterminer la e e e e e e trajectoire de ce point et dire si cette trajectoire sloigne ou non ` linni. Mais, e a pour le physicien, cette dduction est ` tout jamais inutilisable. Lorsquen eet e a les donnes ne sont plus connues gomtriquement, mais sont dtermines par e e e e e des procds physiques, si prcis quon les suppose, la question pose demeure e e e e et demeurera toujours sans rponse. e 4.2 Smale et son fer ` cheval a

Smale a dcrit plusieurs fois sa dcouverte des syst`mes hyperboliques7 (voir par e e e exemple [77]) vers 1960. Celle-ci est indpendante des contributions antrieures de e e Poincar et Birkho, qui ont cependant jou un rle dans le dveloppement ultrieur e e o e e de la thorie. Il semble par contre que larticle dHadamard que je viens de dcrire e e7 sur

la plage de Copacabana et mme de Leme pour tre plus prcis ! e e e

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na jou aucun rle ` cette poque. Quoi quil en soit, Smale construit un contree o a e exemple ` sa propre conjecture selon laquelle les Morse-Smale forment un ouvert a dense dans lespace des syst`mes dynamiques : cest le cl`bre fer ` cheval. Il sagit e ee a dun diomorphisme de la sph`re S2 de dimension 2, quon pense comme le plan e e R2 auquel on adjoint un point a linni. On suppose que transforme un rectangle ` R dans le plan comme sur la gure 9, en dilatant les directions verticales et en contractant les directions horizontales. Lintersection R (R) est la runion de e deux rectangles R1 , R2 . On peut supposer que le point a linni est un point xe rpulsif. Les points ` e de R dont lorbite par reste toujours dans R, cest-`-dire kZ k (R) forment un a ensemble de Cantor, homomorphe a {1, 2}Z . Ses points sont cods par la suite e ` e des rectangles R1 , R2 qui sont successivement visits par lorbite. En particulier, les e points priodiques forment une partie innie dnombrable, dense dans cet ensemble e e de Cantor. Smale tablit alors que le fer ` cheval est structurellement stable, ce qui e a (aujourdhui) nest pas tr`s dicile. Lorsquon perturbe le diomorphisme en e e un diomorphisme , lintersection (R) R est encore constitue de deux zones e e rectangulaires qui traversent R de part en part et on peut encore associer une unique orbite ` toute suite de {1, 2}Z , ce qui permet de construire une conjugaison a topologique entre et , tout au moins sur ces ensembles de Cantor invariants. Il faut ensuite prolonger la conjugaison a lextrieur, grce au fait que toutes les ` e a orbites extrieures viennent de linni. e (R)

R

R1

R2

Fig. 9 Le fer ` cheval a

Smale publie ce rsultat dans les actes dun colloque en URSS en 1961 [73]. e Anosov raconte cette rvolution hyperbolique dans [4]. eThe world turned upside down for me, and a new life began, having read Smales announcement of a structurally stable homeomorphism with an innite number of periodic points, while standing in line to register for a conference in Kiev in 1961. The article is written in a lively, witty, and often jocular style and is full of captivating observations. [...] [Smale] felt like a god who is to create a universe in which certain phenomena would occur.

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Ensuite, les progr`s seront extrmement rapides. Le fer a cheval est vite gnrae e ` e e lis par Smale (voir par exemple [74]). Et comme je lai dj` mentionn, Anosov e ea e montre en 1962 que le ot godsique dune varit a courbure ngative est struce e ee` e turellement stable8 . Pour dmontrer cela, il dgage le concept de ce quon appelle e e aujourdhui un ot dAnosov. Un ot non singulier t sur une varit compacte V , associ ` un champ de ee e a vecteurs X, est un ot dAnosov si en chaque point x, on peut dcomposer lespace e u s tangent Tx V en trois sous-espaces R.X(x) Ex Ex . Le premier R.X(x) nest autre que la droite engendre par le champ de vecteurs et les autres sont appels respectie e vement instable et stable. On demande que cette dcomposition soit invariante par e la direntielle dt du ot et quil existe des constantes C > 0, > 0 telles que pour e s u t R, vu Ex , vs Ex : ||dt (vu )|| ||d (vs )||t

C exp(t)||vu || C exp(t)||vs ||.

(o` ||.|| dsigne une mtrique riemannienne auxiliaire). u e e Partant des exemples connus de dynamiques structurellement stables (les Morse-Smale, le fer a cheval, le ot godsique dune varit a courbure ngative ` e e ee ` e et quelques autres), Smale dgage vers 1965 le concept fondamental de syst`me e e dynamique satisfaisant ` lAxiome A. a Considrons un ensemble compact V invariant par un diomorphisme . e e On dit que est un ensemble hyperbolique si lespace tangent a V restreint aux ` points de admet une dcomposition continue en somme directe : T V = E u E s e qui est invariante par la direntielle de et telle que les vecteurs de E u sont dilats, e e s alors que ceux de E sont contracts. En formules, il existe C > 0, > 0 tels que e pour vu E u , vs E s , k Z, on a : ||dk (vu )|| C exp(k)||vu || ; ||dk (vs )|| C exp(k)||vs ||.

Un point x de V est appel errant sil poss`de un voisinage ouvert U qui est e e k disjoint de tous ses itrs : (U ) U = pour tout k = 0. Lensemble des points ee non errants est un ferm invariant not traditionnellement () 9 . e e On dit alors (par abus de langage) que est un Axiome A si () est hyperbolique et si lensemble des points priodiques est dense dans (). e Sous cette hypoth`se, si x est un point non errant, lensemble W s (x) (resp. e u W (x)) des points y tels que la distance entre k (y) et k (x) tend vers 0 quand k tend vers + (resp. ) est une sous-varit immerge dans V : cest la varits ee e ee stable (resp. instable). Un diomorphisme Axiome A vrie la condition de transe e versalit forte si les varits stables sont transverses aux varits instables. e ee ee On donne des dnitions analogues dans le cas des champs de vecteurs X : il e sagit alors de dcomposer de mani`re continue T V en une somme R.X E u E s . e e Notons en particulier que cette dnition implique que les points singuliers de X e sont isols dans lensemble des points non errants car dans le cas contraire il y aurait e discontinuit dans les dimensions de la dcomposition. e e8 De 9 Mme e

mani`re tonnante, il ne semble pas conna e e tre le travail dHadamard. si la notation fait irrmdiablement penser ` un ouvert. e e a

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Smale formule alors trois conjectures, parall`les aux trois conjectures quil avait e formules neuf ans plus tt : e o 1. Les diomorphismes Axiome A vriant la condition de transversalit forment e e e un ouvert dense dans lespace des diomorphismes dune varit compacte e ee donne. e 2. Les diomorphismes Axiome A vriant la condition de transversalit sont e e e structurellement stables. 3. Les diomorphismes structurellement stables sont Axiome A et vrient la e e condition de transversalit. e La deuxi`me conjecture est correcte, comme cela sera dmontr par Robbin e e e en 1971 puis par Robinson en 1972 (en supposant seulement le diomorphisme de e classe C 1 ). La troisi`me conjecture est correcte mais il faudra attendre 1988 pour la e dmonstration par Ma. e ne Cependant, la premi`re conjecture est fausse, comme Smale lui-mme le mone e trera en 1966 [75]. Comme nous le verrons, un contre-exemple tait en fait prt ` e e a lemploi dans larticle de Lorenz, quatre ans auparavant, mais il faudra du temps pour quil parvienne dans la communaut mathmatique. Le contre-exemple de e e Smale est dune nature dirente ; il montre quun dfaut de transversalit entre les e e e varits stables et instables peut parfois ne pas tre rtabli par une petite perturbaee e e tion. Cependant, Smale introduit une notion plus faible que la stabilit structurelle : e la -stabilit : on demande quapr`s perturbation du diomorphisme en , les e e e restrictions de a () et de a ( ) soient conjugues par un homomorphisme. ` ` e e Il conjecture que cette proprit est gnrique. ee e e Larticle Dierentiable dynamical systems de Smale en 1967 reprsente un e moment important de la thorie des syst`mes hyperboliques [76] ; a masterpiece e e of mathematical literature , selon Ruelle [69]. Mais, d`s 1968, Abraham et Smale trouvent un contre-exemple ` cette nouvelle e a conjecture, montrant par ailleurs que lAxiome A nest pas gnrique [1]... En 1972, e e Shub et Smale tentent un autre concept de stabilit dans [70], dont la recension par e Meyer dira :In the never-ending quest for a solution of the yin-yang problem more and more general concepts of stability are proered.

Larticle de survol de 1978 par Bowen est intressant ` plus dun titre [18]. La e a thorie des Axiomes A est devenue solide et, mme sil reste des questions ouvertes e e et diciles, on peut dire quon a une bonne comprhension de leur dynamique, e aussi bien dun point de vue topologique quergodique. Mme si certains cygnes e noirs ont fait leur apparition dans le paysage, dtruisant ainsi lide de gnricit e e e e e des Axiomes A, on envisage encore a cette poque de les tudier comme sils taient ` e e e hyperboliques . Voici les premi`res phrases de larticle de Bowen, illustrant ce point e de vue.These notes attempt to survey the results about Axiom A dieomorphisms since Smales well known paper of 1967. In that paper, Smale dened these dieomorphisms and set up a program for dynamical systems centered around them. These examples are charming in that they display complicated behavior but are

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still intelligible. This means that there are many theorems and yet some open problems. [...] The last sections deal with certain non-Axiom A systems that have received a good deal of attention. These systems display a certain amount of Axiom A behavior. One hopes that further study of these examples will lead to the denition of a new and larger class of dieomorphisms, with the Axiom A class of prototype.

Il nest pas possible ici de prsenter srieusement la thorie des syst`mes hypere e e e boliques, pour laquelle je renvoie a [36]. Je dcrirai cependant un peu plus loin ` e quelques-uns des thor`mes les plus importants qui prcisent le comportement ere e e godique de ces syst`mes. e Mais il me faut citer lun des rsultats majeurs d a Bowen qui permet de e u` comprendre la dynamique a la mani`re dHadamard . Supposons quon recouvre ` e lensemble non errant () par un nombre ni de bo Bi (i = 1, 2, ..., l) qui sont tes supposes compactes et dont les intrieurs sont disjoints. Construisons un graphe e e ni dont les sommets sont indexs par i et dans lequel une arte oriente joint i e e e a j si lintrieur de (Bi ) Bj est non vide (comme partie de ()). Notons la ` e partie ferme de lespace des suites {1, 2, ..., l}Z correspondant aux chemins innis e dans le graphe, cest-`-dire des suites dindices (p)pZ tels que deux conscutifs a e sont connects dans le graphe. On dit que est un sous-dcalage de type ni. La e e collection des bo est une partition de Markov si ce dcalage code convenablement tes e la dynamique de . On demande dune part que pour chaque suite de , il existe un point unique x = () dans () dont lorbite suit prcisment litinraire : pour e e e k tout k, on a (x) B(k) . Mais on demande galement que le codage : () e soit aussi injectif que possible : les bres 1 (x) sont nies et ne contiennent quun seul itinraire pour un x gnrique au sens de Baire dans (). Bowen tablit que e e e e les ensembles non errants des ensembles hyperboliques peuvent tre recouverts par e ce type de partition de Markov. Lutilit de ce rsultat est claire car il ram`ne la e e e question dynamique ` une question combinatoire. a Aujourdhui, les syst`mes dynamiques Axiomes A semblent occuper une place e bien plus petite quon ne le pensait a la n des annes 70. Le paradigme hyperbolique ` e a laiss la place... La citation suivante dAnosov pourrait probablement dpasser le e e cadre strictement mathmatique [4]. eThus the grandiose hopes of the 1960s were not conrmed, just as the earlier naive conjectures were not conrmed.

Pour une description plus dtaille de l histoire hyperbolique , on pourra galee e e ment consulter lintroduction de [36] ou encore de [54]. Voir aussi What is ... a horseshoe par lun les acteurs du sujet [69].4.3 Et Poincar et son treillis inniment serr ? e e

Jose ` peine commettre un crime de l`se-majest dans un sminaire qui porte a e e e le nom de Poincar. Beaucoup dauteurs arment que Poincar est ` lorigine de e e a la thorie du chaos. Son rle aura t sans aucun doute tr`s important mais peute o ee e tre pas autant quon le dit parfois. Dune part, lide que des phnom`nes phye e e e siques puissent tre sensibles aux conditions initiales ntait pas totalement nouvelle, e e comme nous lavons vu avec Maxwell. Dautre part, il semble que les contributions

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de Poincar sur ces questions aient t largement oublies par la suite et nont jou e ee e e quun rle mineur dans le dveloppement ultrieur de la thorie. Pour lessentiel, o e e e le chemin que Poincar avait commenc ` parcourir a d tre redcouvert. Mais e e a u e e surtout, lide centrale que je voudrais prsenter ici est que la thorie du chaos ne e e e peut pas se limiter au constat dchec que la dynamique est complique : elle doit e e saccompagner de mthodes qui expliquent le fonctionnement interne de cette dynae mique. La citation cl`bre suivante de Poincar illustre ce sentiment dimpuissance ee e face ` la complexit de la dynamique [59] : a eQue lon cherche ` se reprsenter la gure forme par ces deux courbes et leurs a e e intersections en nombre inni dont chacune correspond ` une solution doublea ment asymptotique. Ces intersections forment une sorte de treillis, de tissu, de rseau ` maille inniment serres ; chacune de ces deux courbes ne doit jamais e a e se recouper elle-mme, mais elle doit se replier sur elle-mme de mani`re ine e e niment complexe pour venir recouper une innit de fois toutes les mailles du e rseau. On sera frapp de la complexit de cette gure, que je ne cherche mme e e e e pas ` tracer. Rien de plus propre ` nous donner une ide de la complication du a a e probl`me des trois corps et en gnral de tous les probl`mes de la Dynamique e e e e o` il ny a pas dintgrale uniforme et o` les sries de Bohlin sont divergentes. u e u e

La contribution majeure de Poincar10 aura t de mettre en vidence limpore ee e tance cruciale des orbites homoclines. Considrons un diomorphisme du plan e e possdant un point xe hyperbolique a lorigine, avec des directions stable et ine ` stable de dimension 1. Un point x (dirent de lorigine) est homocline sil appare tient ` lintersection W s W u des varits stable et instable de lorigine. Lorbite a ee de x converge donc vers lorigine ` la fois dans le futur et dans le pass. a e Il nest pas utile de rappeler ici en dtail comment ce concept est apparu en e 1890. Je recommande ` ce sujet la lecture de [12] qui raconte la belle histoire de a lerreur de Poincar dans la premi`re version de son mmoire pour le prix du roi e e e Oscar [58]. Le livre [11] discute galement de ce prix en insistant sur les aspects e historiques et sociologiques plus que mathmatiques. e

Fig. 10 Une orbite homocline

Dans la situation de Poincar, provenant de la mcanique cleste, prserve e e e e s u laire et il avait dabord pens quil tait impossible que W et W puissent se e e rencontrer sans co ncider. Il en dduisait un thor`me de stabilit dans le probl`me e e e e e des trois corps. Lorsquil prit conscience de son erreur, il comprit que ces points10 dans

ce domaine !

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homoclines o` W s rencontre W u de mani`re transverse sont non seulement possibles u e mais sont en quelque sorte la r`gle. Il comprit galement que la simple existence dun e e tel point dintersection implique que la gomtrie des courbes W s et W u doit en eet e e constituer un treillis a mailles inniment serres . Poincar ne cherche pas a tracer ` e e ` le treillis mais pour illustrer la complexit de la situation, il montre que lexistence e dune intersection homocline transverse entra celle dune innit dautres orbites ne e homoclines : larc de W s situ entre x et (x) rencontre une innit de fois la varit e e ee u instable W . Shilnikov stonne dans [68] que Poincar naccorde que peu dimportance ` e e a larticle dHadamard, dans lequel on dtecte videmment la prsence dorbites hoe e e moclines : une suite innie de 1, 2, 3 sans rptitions et qui ne prend quun nombre e e ni de fois la valeurs 1 (par exemple) dnit une godsique sur le pantalon qui e e e converge vers lorbite priodique g1 a la fois dans le futur et dans le pass. Mais e ` e Poincar consid`re que [60] : e eCe nest pas aux godsiques des surfaces ` courbures opposes que le probl`me e e a e e des trois corps est comparable ; cest, au contraire, aux godsiques des surfaces e e convexes.

Lopposition hyperbolique/elliptique, courbure ngative/positive ne date pas dhier. e Ltape suivante dans lanalyse des orbites homoclines est due ` George Birkho e a en 1935 : il tablit par un joli argument gomtrique quon peut trouver des points e e e priodiques arbitrairement pr`s dun point dintersection transverse homocline [13]. e e Puis, cest la redcouverte par Smale vingt-cinq ans plus tard. Il observe que e si on consid`re un rectangle R au voisinage de la varit stable, contenant a la fois e ee ` lorigine et le point homocline, comme sur la gure 11, un itr convenable l sur R ee agit comme un fer ` cheval. On obtient ainsi une description du fonctionnement a interne de ce treillis serr, a laide par exemple des suites de symboles 0, 1, comme e ` nous lavons vu. La prsence dune innit dorbites priodiques par exemple devient e e e une vidence. On trouvera dans [68] un rcit de lvolution des ides autour de ces e e e e orbites homoclines.

Fig. 11 Un point homocline et son fer ` cheval a

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Lattracteur de Lorenz

Comment expliquer le manque de communication dans les annes 60 et 70 entre e un physicien thoricien comme Lorenz et un mathmaticien comme Smale ? Lun trae e vaillait sur la cte est et lautre sur la cte ouest des Etats-Unis... Selon Williams [82], o o la revue dans laquelle Lorenz a publi son article serait en cause 11 ? eThough many scientists, especially experimentalists, knew this article, it is not too surprising that most mathematicians did not, considering for example where it was published. Thus, when Ruelle-Takens proposed (1971) specically that turbulence was likely an instance of a strange attractor, they did so without specic solutions of the Navier-Stokes equations, or truncated ones, in mind. This proposal, controversial at rst, has gained much favor.

Smale semble navoir eu que tr`s peu de motivations physiques dans sa thorie hye e perbolique et on constate que la physique na semble-t-il que bien peu de connexions avec les syst`mes hyperboliques. Cest en tout cas le point de vue dAnosov [4] : eOne gets the impression that the Lord God would prefer to weaken hyperbolicity a bit rather than deal with restrictions on the topology of an attractor that arise when it really is 1960s-model hyperbolic.

Aujourdhui encore, il nest pas facile de trouver des phnom`nes physiques dont la e e dynamique est hyperbolique au sens strict (voir cependant [35, 39]). Cest dailleurs a mon sens lun des enjeux de cet aspect des mathmatiques que de reprendre ` e contact avec la physique.5.1 Lorenz et son papillon

Larticle de Lorenz de 1963 est magnique [44]. Depuis quelques annes, Lorenz e tudiait des mod`les simplis dcrivant le mouvement de latmosph`re ` travers des e e e e e a quations direntielles ordinaires dpendant dun petit nombre de variables. Par e e e exemple, en 1960, il dcrit un syst`me quil peut rsoudre explicitement a laide de e e e ` fonctions elliptiques : les solutions sont encore quasi-priodiques en temps [42]. e Son article de 1962 analyse une quation direntielle dans un espace de dimension e e 12 dans lequel il dtecte numriquement une dpendance sensible aux conditions e e e initiales [43]. Mais cest larticle de 1963 qui est rest cl`bre, a juste titre. Le but e ee ` est clair :In this study we shall work with systems of deterministic equations which are idealizations of hydrodynamical systems.

Apr`s tout, latmosph`re nest constitue que dun nombre ni de particules si bien e e e quil sagit eectivement de rsoudre une quation direntielle ordinaire dans un e e e espace de dimension tr`s grande . Mais bien sr, de telles quations sont highly e u e intractable et on est contraint de les traiter ` travers des quations aux drives a e e e partielles qui peuvent a leur tour tre discrtises sur une grille nie et mener par` e e e fois a de nouvelles quations direntielles ordinaires, dpendant dun nombre plus ` e e e raisonnable de variables et probablement plus utiles. Lorenz discute alors du type dquations direntielles quil dsire tudier. e e e e11 On peut se demander si la prestigieuse revue dans laquelle Williams publie son article [82] est accessible aux physiciens ?

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In seeking the ultimate behaviour of a system, the use of conservative equations is unsatisfactory [...]. This diculty may be obviated by including the dissipative processes, thereby making the equations non conservative, and also including external mechanical or thermal forcing, thus preventing the system from ultimately reaching a state at rest.

Une quation direntielle typique prsentant a la fois viscosit et forage est de la e e e ` e c forme suivante : dxi = aijk xj xk bij xj + ci dt i,k o` u aijk xi xj xk est identiquement nul12 et bij xi xj est dni positif. Les termes e quadratiques aijk xj xk reprsentent ladvection, les termes linaires e e bij xj correspondent au frottement et les termes constants au forage. Lorenz observe que sous c ces conditions, le champ de vecteurs est transverse aux sph`res de grands rayons (i.e. e de grande nergie) si bien que les trajectoires qui pn`trent dans une grande boule e e e y restent connes. Il peut alors discuter de diverses notions de stabilit, famili`res e e e aux mathmaticiens daujourdhui ; priodicit, quasi-priodicit, stabilit au sens e e e e e e de Poisson, etc. Les rfrences bibliographiques de larticle de Lorenz contiennent ee un article de Poincar mais il sagit de celui, cl`bre, datant de 1881 [57]. Dans e ee cet article, fondateur de la thorie des syst`mes dynamiques, Poincar introduit les e e e cycles limites, dmontre des cas particuliers du thor`me de Poincar-Bendixson, e e e e introduit les applications de premier retour, etc. mais il ny est pas encore question de comportement chaotique ; cela ne viendra que dans le mmoire de 1890 que nous e avons discut et qui semble galement avoir chapp a Lorenz. Une autre rfrence e e e e` ee bibliographique renvoie ` un livre de Birkho datant de 1927 consacr aux syst`mes a e e dynamiques. Mais l` encore, cette rfrence est antrieure aux travaux de Birkho a ee e dans lesquels on voit presque appara un fer ` cheval... tre a Puis, Lorenz prend lexemple du phnom`ne de convection. Une couche dun e e uide visqueux est place entre deux plans horizontaux, qui sont ` deux tempratures e a e direntes et il sagit de dcrire le mouvement qui en rsulte. Les parties hautes du e e e uide sont plus froides et donc plus denses ; elles ont donc tendance a descendre par ` gravit et elles sont rchaues lorsquelles parviennent dans les zones basses. La e e e circulation du uide qui en rsulte est complexe. Les physiciens connaissent bien les e expriences de Bnard et Rayleigh. En supposant des solutions priodiques en espace, e e e en dveloppant en sries de Fourier, et en tronquant ces sries en un petit nombre e e e de termes, Salzman venait dobtenir une quation direntielle ordinaire dcrivant e e e lvolution. En simpliant encore cette quation, Lorenz parvient ` son quation : e e a e dx/dt = x + y dy/dt = xz + rx y dz/dt = xy bz. Ici x reprsente lintensit du mouvement de convection, y reprsente la dirence e e e e de temprature entre les courants ascendants et descendants et z est proportionnel e a la distortion of the vertical temperature prole from linearity, a positive value ` indicating that the strongest gradients occur near the boundaries . Comme on laura compris, il ne faut pas chercher dans cette quation direntielle ordinaire e e une reprsentation d`le du phnom`ne physique... La constante est le nombre e e e e12 Cette

condition exprime le fait que l nergie e

P

x2 est invariante par la partie quadratique du champ. i

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de Prandtl. Guid par des considrations physiques, Lorenz est amen a choisir les e e e` valeurs numriques r = 28, = 10, b = 8/3 ; ctait un bon choix et ces valeurs e e sont restes traditionnelles. Il peut alors rsoudre numriquement ces quations et e e e e observer quelques orbites. Le calculateur lectronique Royal McBee LGP-30 tait e e bien primitif : selon Lorenz il calculait (seulement !) 1000 fois plus rapidement qu` a la main... Mais les observations de Lorenz sont remarquablement nes. Il constate dabord la fameuse sensibilit aux conditions initiales 13 . Mais surtout, il constate que les e orbites, mme si elles dpendent des conditions initiales, semblent saccumuler sur e e un compact compliqu qui est insensible aux conditions initiales. Il observe que ce e compact invariant ressemble en premi`re approximation a une surface qui prsente e ` e une ligne double le long de laquelle deux feuillets se rejoignent.Thus within the limits of accuracy of the printed values, the trajectory is conned to a pair of surfaces which appear to merge in the lower portion. [...] It would seem, then, that the two surfaces merely appear to merge, and remain distinct surfaces. [...] Continuing this process for another circuit, we see that there are really eight surfaces, etc. , and we nally conclude that there is an innite complex of surfaces, each extremely close to one or the other of the two merging surfaces.

La gure 12 est extraite de larticle de Lorenz.

Fig. 12 Le schma de Lorenz e

Partant dune condition initiale, lorbite sapproche rapidement de cet objet de dimension deux et voyage ensuite sur cette surface. Lorbite tourne alors autour des deux trous, de droite et de gauche, dune mani`re qui semble alatoire. e e Notez lanalogie avec les godsiques dHadamard qui tournent autour des cornes e e du taureau.13 Lanecdote est assez connue I started the computer again and went out for a cup of coee ... La petite histoire a t raconte dans la confrence de Lorenz ` loccasion du prix Kyoto en 1991 intitule A scientist by choice qui e e e e a e contient beaucoup de choses intressantes. Il y discute en particulier de son rapport avec les mathmatiques. En e e 1938, Lorenz est un graduate student ` Harvard et il travaille sous la direction de G.Birkho on a problem a in mathematical physics . Aucune mention nest faite dune inuence ventuelle de Birkho sur sa conception du e chaos. Rendez-vous manqu ? Lorenz signale par contre que Birkho was noted for having formulated a theory of e aesthetics . Notez que presque tous les crits de Lorenz, y compris un certain nombre non publis, peuvent tre e e e tlchargs sur http ://eapsweb.mit.edu/research/Lorenz/publications.htm. ee e

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Par ailleurs, Lorenz tudie la mani`re dont les orbites reviennent sur la ligne e e de branchement entre les deux feuillets, qui peut tre paramtre par un intervalle e e e [0, 1]. Evidemment, cet intervalle nest pas tr`s bien dni puisque les deux feuillets e e nentrent pas rellement en contact mais ils co e ncident cependant within the limits of accuracy of the printed values . Partant dun point sur cet intervalle, on peut suivre la trajectoire future et observer son retour sur lintervalle. Pour cette application de premier retour [0, 1] [0, 1], chaque point a une image mais deux primages. e Cela correspond au fait que pour remonter le temps et dcrire la trajectoire passe e e dun point de [0, 1], il faudrait distinguer deux copies de lintervalle, indiscernables sur la gure, et quen ralit deux orbites passes manent du mme point . Mais e e e e e bien sr, sil y a deux orbites passes partant d un point, il y en a quatre puis u e huit, etc. et cest prcisment ce que Lorenz exprime dans la citation prcdente. e e e e Numriquement, lapplication de premier retour est reprsente sur la partie gauche e e e de la gure 13.

Fig. 13 Les graphes de Lorenz

Travaillant toujours par analogie, Lorenz compare cette application ` la suia vante, videmment beaucoup plus simple : F (x) = 2x si 0 x 1/2 et F (x) = 22x e si 1/2 x 1 (partie droite de la gure 13). On conna bien aujourdhui le comport tement chaotique de cette application tente mais cela tait bien moins classique e en 1963... En particulier, les points priodiques de F sont exactement les rationnels e dont le dnominateur est impair ; ils sont denses dans [0, 1]. Lorenz nhsite pas ` e e a laisser entendre que la mme proprit vaut pour les itrations de lapplication de e ee e premier retour qui le concerne. Les orbites priodiques sont donc denses dans e lattracteur de Lorenz. Quelle intuition !There remains the question as to whether our results really apply to the atmosphere. One does not usually regard the atmosphere as either deterministic or nite, and the lack of periodicity is not a mathematical certainty, since the atmosphere has not been observed forever.

En rsum, cet article contient le premier exemple de syst`me dynamique dissipatif e e e et physiquement crdible qui prsente tous les attributs du chaos. Les orbites sont e e instables mais le comportement asymptotique des orbites semble relativement insensible aux conditions initiales. Aucune des assertions prcdentes nest accompagne e e e

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dune justication, tout au moins au sens mathmatique du terme. Exasprant ! e e De mani`re tonnante, une question importante nest pas aborde dans larticle e e e de Lorenz. Il se trouve que le comportement observ est robuste : si on perturbe e lg`rement, non pas la condition initiale, mais lquation direntielle, par exemple e e e e en changeant les valeurs des param`tres ou encore en ajoutant de petits termes, la e nouvelle quation direntielle prsentera encore le mme type dattracteur, ayant e e e e encore laspect gnral dune surface. Cette proprit sera tablie plus tard, comme e e ee e nous le verrons. On conna le succ`s rencontr par l eet papillon . La terminologie semble t e e provenir du livre a grand succ`s de Gleick [29] et sinspirer du titre dune confrence ` e e de Lorenz en 1972 [45].5.2 Guckenheimer, Williams et leur patron

Lquation de Lorenz est apparue dans les mathmatiques au milieu des annes e e e 1970. Dapr`s Guckenheimer [32], cest Yorke qui a signal ` Smale et ` ses l`ves e ea a ee lexistence de lquation de Lorenz, qui ne rentrait pas dans le cadre des objets e quils tudiaient. Larticle bien connu de Ruelle et Takens sur la turbulence en e 1971 ne propose encore comme mod`les que des attracteurs hyperboliques [67], mais e en 1975 Ruelle observe que Lorenzs work was unfortunately overlooked [65]. Guckenheimer et Lanford sont parmi les premiers a sintresser ` cette quation ` e a e dun point de vue mathmatique [31, 40]. Les mathmaticiens ne vont dailleurs e e pas tarder a sapproprier lobjet et il est impossible de rendre compte de tous leurs ` travaux. D`s 1982, un livre entier est consacr ` lquation de Lorenz, mme sil e e a e e faut bien constater quil sagit pour lessentiel dune liste de probl`mes ouverts pour e mathmaticiens [79]. e Je vais me contenter ici de prsenter les travaux fondamentaux de Guckhene heimer et Williams qui ont construit les mod`les gomtriques de Lorenz [33, 82] e e e (indpendamment de Afraimovich, Bykov et Shilnikov [2]). Le probl`me initial e e consiste ` justier les phnom`nes observs par Lorenz sur son quation direntielle. a e e e e e Nous avons vu que lquation direntielle en elle-mme est une approximation e e e grossi`re du phnom`ne physique. Le probl`me de dmontrer que les quations de e e e e e e Lorenz poss`dent bien les proprits en question nest donc peut-tre pas le plus e ee e intressant. Guckhenheimer et Williams se donnent en fait un autre but : il sagit e de sinspirer des comportements observs par Lorenz pour construire des champs e de vecteurs, appels mod`les gomtriques de Lorenz, qui vrient les proprits e e e e e ee suivantes : lensemble des points non errants nest pas hyperbolique, puisque celui-ci contient ` la fois des points non singuliers et un point singulier ; a ils ne sont pas structurellement stables ; ils constituent un ouvert dans lespace des champs de vecteurs. Considrons dabord un champ de vecteurs linaire : e e dy dz dx = ax, = by, = cz dt dt dt avec 0 < c < a < b. Soit C le carr [1/2, 1/2] [1/2, 1/2] {1} R3 . Lore bite partant dun point (x0 , y0 , 1) de ce carr est (x0 exp(at), y0 exp(bt), exp(ct)). e

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Appelons T les zones triangulaires o` ces orbites viennent rencontrer les plans u 1 |z|b/c et z > 0. Il sagit dquations x = 1. Elle sont dnies par x = 1, |y| e e 2 donc de triangles prsentant un point de rebroussement en leur sommet infrieur. e e On consid`re alors la zone B balaye par les orbites qui partent de C jusquau moe e ment o` elles rencontrent T , a laquelle on ajoute toutes les orbites futures des u ` points de {x = 0; 1/2 y 1/2; z = 1} (qui ne rencontrent jamais T ) ainsi que larte saillante {1 x 1; y = 0; z = 0} (voir la gure 14). e

C

T

T+

Fig. 14 Le bloc B

Le champ de vecteurs de Lorenz que nous allons construire co ncidera ` lextrieur de la bo on avec ce champ de vecteurs linaire dans la bo B. A e te e te, proc`de diremment. On fait en sorte que les orbites qui sortent de T reviennent e e a lintrieur du carr C. On obtient donc un champ de vecteurs qui nest dni pour ` e e e linstant qu` lintrieur dun domaine D ayant lallure de la gure 15. a e

Fig. 15 Mod`le gomtrique e e e

Le but est essentiellement de comprendre la dynamique ` lintrieur de D mais on a e peut bien sr complter le champ ` lextrieur si on souhaite un champ dni dans u e a e e lespace tout entier. Un tel champ de vecteurs X est un mod`le gomtrique de e e e Lorenz.

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Notons cest un fait important quil nest pas tout ` fait exact de dire que a les points des triangles reviennent dans le carr : la pointe fait exception puisquelle e provient du point singulier a lorigine. Il y a beaucoup de faons dorganiser le retour ` c de T dans C, mais on peut faire en sorte que lapplication de retour de Poincar : e R : C C soit de la forme suivante : F (x, y) = (f (x), H(x, y)).

f

Fig. 16 Applications de retour

Techniquement, on demande que H(x, y) > 1/4 pour x > 0 et que H(x, y) < 1/4 pour x < 0. Mais surtout, on demande que lapplication f : [1/2, 1/2] [1/2, 1/2] vrie les conditions suivantes : e 1. f (0 ) = 1/2, f (0+ ) = 1/2 ; 2. f (x) > 2 pour tout x dans [1/2, 1/2]. La seconde condition implique que pour tout intervalle J contenu dans [1/2, 1/2], il existe un entier l > 0 tel que f l (J) = [1/2, 1/2]14 . Pour dcrire la structure des orbites a lintrieur de la bo Williams introduit e ` e te, le concept de patron ( template en anglais). La gure 17 est extraite de [15]15 : il sagit dune surface branche R3 plonge dans lespace, sur laquelle on peut e e dnir un semi-ot t (t e 0). Semi-ot signie ici que t : nest dni e que pour t 0 et que t1 +t2 = t1 t2 pour tous t1 , t2 . On voit les trajectoires du semi-ot sur la gure : un point de a un futur mais na pas de pass, prcisment a e e e ` cause des deux feuillets qui entrent en contact le long dun intervalle. Lapplication de premier retour sur cet intervalle est choisie comme tant lapplication f dnie e e prcdemment. La dynamique du semi-ot nest pas dicile a comprendre : les e e ` orbites tournent sur la surface, tantt en passant par laile gauche et tantt par o o k laile droite, selon le signe des itrs dun point f (x). ee Il sagit maintenant de construire un ot a partir du semi-ot par une mthode ` e des courbes bien connue, dite de la limite projective. On consid`re lespace abstrait e c : R qui sont des trajectoires de t dans le sens suivant : pour tout s R et t R+ , on a t (c(s)) = c(s + t). Etant donn un point x sur , choisir une telle e courbe c telle que c(0) = x revient ` choisir un pass pour x : on remonte le a e semi-ot et a chaque franchissement de la ligne double, on fait lun des deux choix `14 Le 15 Incidemment,

fait que le graphe de f ne ressemble pas ` la gure 13 rsulte simplement de choix dirents de notations. a e e cette gure montre que la qualit dun article ne dpend pas que de la qualit de ses illustrations... e e e

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Fig. 17 Le patron

possibles. Lapplication c c(0) a donc des bres totalement discontinues, qui sont des ensembles de Cantor. Lespace est un ensemble compact abstrait e muni dun ot t dni par t (c)(s) = c(s + t), ce qui a maintenant un sens pour tout t rel. e Fixons un mod`le de Lorenz X, engendrant un ot t et associ a une application e e` de retour f . Williams tablit dans [82] que : e Il existe un compact contenu dans la bote D tel que : lensemble -limite de tout point de D est contenu dans ; est invariant par t et la restriction de t ` est topologiquement conjugue a e t agissant sur ; a ` est topologiquement transitif : il contient des points dont lorbite est dense dans ; la runion des orbites priodiques est dense dans . e e Voil` donc prcise lintuition de Lorenz selon laquelle lattracteur se comporte a e e comme une surface within the limits of accuracy of the printed values . On voit galement que la dynamique topologique du champ de vecteurs est e compl`tement dtermine par celle de lapplication f . Pour la comprendre, on utilise e e e la notion de suite de ptrissage ( kneading sequence en anglais) introduite vers e cette poque dans un contexte plus gnral. Il sagit des deux suites k , k = e e e qui ne sont autres que les signes de f k (1/2 ) et f k (1/2+ ) pour k 0 (on convient par exemple que le signe de 0 est +). Il est clair que deux applications f du genre prcdent qui sont conjugues par un homomorphisme (prservant lorientation) e e e e e dnissent les mmes suite k , k . La rciproque est vraie. Revenant au champ de e e e vecteurs, ces deux suites sobtiennent en considrant les deux sparatrices instables e e qui partent de lorigine, qui vont intersecter le carr C une innit de fois, tantt e e o dans la partie x > 0 et tantt dans la partie x < 0. Les deux suites dcrivent donc o e prcisment le cheminement de ces deux sparatrices. Il devrait tre clair que ces e e e e champs sont structurellement instables car une petite perturbation peut changer les suites k , k . Guckenheimer et Williams dmontrent que les deux suites contiennent toute e linformation topologique sur le champ de vecteurs. Prcisment, ils tablissent le e e e

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thor`me suivant : e e Il existe un ouvert U dans lespace des champs de vecteurs de R3 et une application continue de U vers un disque de dimension 2 tels que deux champs X, Y de U sont conjugus par un homomorphisme proche de lidentit si et seulement si e e e (X) = (Y ). Il nest pas question ici dvoquer les preuves mais il faut insister sur un point e important : le ot de Lorenz, bien que non hyperbolique, est quand mme singulier e hyperbolique . En chaque point x de lattracteur , on peut dcomposer lespace e s tangent en une somme directe dune droite Ex et dun plan Fx de faon ` ce que les c a proprits suivantes soient satisfaites : ee s Ex et Fx dpendent continment du point x et sont invariants par la e u direntielle du ot t ; e s e les vecteurs de Ex sont contracts par le ot : il existe C > 0, > 0 tel que s pour tout t > 0 et tout v Ex , on ait ||dt (v)|| C exp(t)||v|| ; les vecteurs de Fx ne sont pas ncessairement dilats par le ot mais ils ne e e s sont pas autant contracts que les vecteurs de E . Prcisment, si u Fx et e e e s v Ex sont unitaires, on a ||dt (u)|| C exp(t)||dt (v)|| pour tout t > 0 ; le ot dilate uniformment le volume bi-dimensionnel de Fx : det(dt |Fx ) e C exp( t) pour un > 0 et tout t > 0. Pour chaque point x de , on peut considrer lensemble W s (x) des points y de e 3 t t R tels que la distance || (x) (y)|| tende vers 0 plus vite que exp(t). Il sagit s dune courbe lisse dont la tangente en x est Ex . La collection de ces courbes dnit un e feuilletage dun voisinage ouvert de ce qui justie la terminologie attracteur : tous les points de ce voisinage ouvert sont attirs par et leurs trajectoires sont e asymptotes ` une trajectoire contenue dans . La surface branche est obtenue a e a partir despaces de feuilles locaux de ce feuilletage. Il faut bien sr dmontrer ` u e que toutes ces structures existent et surtout quelles subsistent par perturbation du champ de vecteurs. Ainsi louvert dans lespace des champs de vecteurs dtect par Guckenheimer e e et Williams est hors du domaine des syst`mes hyperboliques mais on parvient cepene dant a comprendre la dynamique de ce type de champs (au moins dun point de vue ` qualitatif). Comme on le voit, la spcicit de ces champs provient du fait quils sont e e en quelque sorte des suspensions dapplications f de lintervalle mais quils poss`dent e un point singulier dans leur ensemble non errant. Dune certaine mani`re leur dye namique se ram`ne a une dynamique en temps discret mais dune autre mani`re la e ` e prsence du point singulier fait que le temps de retour sur le carr C nest pas born. e e e Il serait na de penser quil suse dajouter ce type de phnom`ne aux syst`mes hyf e e e perboliques pour avoir une vue densemble de la dynamique gnrique. Nous verrons e e plus loin quelques autres types de phnom`nes qui se produisent de mani`re stable e e e en dehors de lhyperbolicit. Mais le phnom`ne Lorenz que je viens de dcrire est e e e e sans aucun doute lun des quelques-uns qui semblent reprsenter signicativement e une situation gnrique. Nous reviendrons plus loin sur cette question. e e Bien entendu les mod`les gomtriques de lattracteur de Lorenz ont t inspirs e e e ee e par lquation originale de Lorenz et rien ne permettait darmer que lquation e e ` de Lorenz se comporte eectivement comme un mod`le gomtrique. A vrai dire, e e e la question ntait pas cruciale puisquil est bien clair que Lorenz aurait pu faire e

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dautres choix pour tablir son quation, qui rsultait de troncatures un peu are e e bitraires de sries de Fourier. Lorenz lui-mme narmait dailleurs pas que son e e quation avait un sens physique. Il nempche que la question de savoir si les dynae e miques de Guckenheimer-Williams ont un lien avec celle de Lorenz tait naturelle, et e Smale la choisit comme lun des mathematical problems for the next century en 1998 [78]. Le probl`me fut rsolu positivement en 1999 par Tucker [80] (donc avant e e le next century !). Il sagit donc de construire un carr C adapt a lquation e e ` e originale de Lorenz, lapplication de retour sur C, et de vrier quelles ont les proe prits requises par le mod`le gomtrique. La dmonstration se fait par ordinateur ee e e e e et il sagit de borner les erreurs. La dicult majeure qui rend le probl`me tr`s e e e dlicat est bien sr la prsence du point singulier qui fait que les temps de retour e u e tendent vers linni... Pour une description concise de la mthode employe, on peut e e consulter [81].

66.1

La topologie de lattracteur de LorenzBirman, Williams et leur sac de nuds

Nous avons vu que les orbites priodiques sont denses dans lattracteur dun e mod`le gomtrique de Lorenz. Pour mieux apprhender la topologie de lattracteur, e e e e Birma

L'Attracteur de Lorenz, Paradigme Du Chaos - Ghys

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