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    Labaque de Smith : un outil mystrieux ?

    Dans le domaine de la radiofrquence, ladaptation dimpdance, le rapport dondes stationnaires et le coefficient de rflexion sont des notions primordiales pour assurer le maximum de transfert de puissance entre une source et une charge. Les lignes de transmission sont indispensables pour canaliser lnergie HF et la vhiculer sur une distance ncessaire par exemple pour le raccordement dun metteur une antenne dune station radioamateur. La distance, la frquence et la vitesse de propagation des ondes sont troitement lies par la notion de longueur donde. Les radioamateurs sont bien conscients de toutes ces notions relativement abstraites et en connaissent les applications pratiques pour assurer le fonctionnement optimum dune station de radio-mission.

    Un nouveau projet technique commence en gnral par un calcul dordre de grandeur pour tablir des valeurs qui sont compatibles avec celles des composants lectroniques mettre en uvre. Il est parfois ncessaire de procder plusieurs approximations successives pour pouvoir converger vers des rsultats pratiques. Afin de garder une vue densemble sur le projet, il est plus commode dutiliser des abaques pour pouvoir cibler certains choix sans perdre le fil conducteur de ce quoi nous voulons aboutir. Une fois que les premires valeurs repres sont acquises, il est toujours temps daffiner certains rsultats par un calcul analytique. Trouver un rsultat du calcul analytique qui est cohrent avec le rsultat qui est issus de lutilisation dun abaque contribue augmenter notre coefficient de certitude sur la validit de ce rsultat.

    Fig. 1 : Abaque de Smith.

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    Le but de cet article est davoir une prise de contact avec ce quest labaque de Smith et de montrer quelques facettes des possibilits pratiques que lon peut en retirer. Nous ne prtendrons pas tre exhaustifs sur ce sujet car les domaines dapplication sont vastes et stendent aux multiples expriences pratiques de chacun des radioamateurs. La comprhension de labaque de Smith nous sera utile pour aborder lutilisation dun analyseur de rseau vectoriel qui fera lobjet dun futur article sur le site Internet ON5VL. Le contenu du dbut de cet article a t inspir en partie par celui du chapitre 28 du livre ARRL Antenna Book 21th Edition sur le sujet de labaque de Smith. La suite de larticle a t inspire par dautres publications dont les sources seront mentionnes au fur et mesure.

    Labaque de Smith a t tabli par Phillip Hagar Smith en 1936 et publi en 1939 suite ses travaux sur les lignes de transmission. P.H. Smith tait un radioamateur trs actif avec son indicatif 1ANB. cette poque, les ingnieurs ne disposaient que de leur rgle calcul et des tables de logarithmes. Les calculs scientifiques taient longs et fastidieux sans laide des outils modernes que nous connaissons aujourdhui. Cest la raison pour laquelle P.H. Smith sintressait aux reprsentations graphiques des relations mathmatiques. En 1969, il publia le livre Electronic Applications of the Smith Chart : In Waveguide, Circuit, and Component Analysis, un ouvrage complet sur le sujet de labaque qui porte son nom : cest le livre de rfrence par excellence.

    Bien que nous disposions aujourdhui de calculatrices scientifiques et dordinateurs performants, labaque de Smith reste un outil actuel et largement utilis telle enseigne que les analyseurs de rseau vectoriels (y compris les plus modernes) disposent dun affichage prvu avec abaque de Smith pour la mesure du coefficient de rflexion et celle des composantes de limpdance complexe.

    Fig. 2 : Analyseur de rseau vectoriel HP 8720A. Source : Wikipedia Smith Chart.

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    Nous supposons que le lecteur est dj familiaris avec les nombres complexes qui symbolisent en lectrotechnique la partie rsistive et la partie ractive dune impdance. Lorsquon applique un signal alternatif aux bornes dune ractance pure (un condensateur ou une bobine de self induction), on observe un dphasage de 90 entre la tension ses bornes et le courant qui la traverse. Lorsquun signal est appliqu une rsistance pure, la tension et le courant sont en phase. Lorsquon a une combinaison dune ractance avec une rsistance, le dphasage peut tre reprsent graphiquement par les vecteurs de Fresnel et limpdance complexe peut tre reprsente sur un plan appel plan complexe comportant un axe X des nombres rels en abscisses (partie rsistive) et un axe Y des nombres imaginaires en ordonnes (partie ractive).

    Dans larticle Analyseur de spectre et mesures scalaires publi sur le site Internet ON5VL, nous nous sommes familiariss avec la notion du coefficient de rflexion () et la relation qui le relie avec une impdance (ZC) chargeant une ligne de transmission dimpdance caractristique (Z0). Le coefficient de rflexion et aussi reli au rapport dondes stationnaires, voir ci-dessous :

    0

    0

    Coefficient de rflexion : avec

    1Rapport d'ondes stationaires : SWR

    1

    CC C C

    C

    Z ZZ R jX

    Z Z

    = = ++

    + =

    Labaque de Smith est un outil graphique qui permet de rsoudre des calculs de ligne de transmission, de circuits dadaptation dimpdance etc., mais qui permet aussi dafficher plusieurs paramtres comme limpdance, ladmittance, le coefficient de rflexion, etc. Du point de vue mathmatique, labaque de Smith reprsente toutes les impdances complexes en fonction des coordonnes polaires dfinies par le coefficient de rflexion dans un plan complexe (transformation bilinaire de Moebius).

    Fig. 3 : Transformation du plan complexe dimpdance Z en plan complexe du coefficient de rflexion sur labaque de Smith (avec rseaux des cercles dimpdance). Source RF engineering basic concepts, Fritz Caspers, CERN, Geneva, Switzerland ; ARRL Pacific Division Convention 11-13 Oct. 2013, Santa Clara, California, USA.

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    Fig. 4 : Transformation du plan complexe dadmittance Y en plan complexe du coefficient de rflexion sur labaque de Smith (avec rseaux des cercles dadmittance). Source RF engineering basic concepts, Fritz Caspers, CERN, Geneva, Switzerland ; ARRL Pacific Division Convention 11-13 Oct. 2013, Santa Clara, California, USA.

    Labaque est utilis en impdance normalise de manire pouvoir servir dans tous les cas de figure de systme dimpdance, en gnral 50 , mais aussi 75 ou toute autre impdance qui est reprsente au point central de labaque (Prime Center). Lorsquon a abouti la solution du calcul, le rsultat est d-normalis en le multipliant par limpdance du systme. Le coefficient de rflexion est lui directement lu sur labaque. Le pourtour de labaque est gradu en fraction de longueur donde ou en degr pour dimensionner la longueur donde lectrique dune ligne de transmission partir de la charge en direction de la source (Toward Generator) ou partir de la source en direction de la charge (Toward Load).

    Comme limpdance est fonction de la frquence de travail, labaque est utilis pour une seule frquence la fois. Toutefois, on peut tracer une courbe reliant plusieurs impdances diffrentes frquences constituant ainsi un lieu gomtrique sur labaque. Cest en gnral le trac de ce lieu qui est affich sur lcran dun analyseur de rseau vectoriel.

    Labaque est constitu des rseaux de cercles pour les coordonnes dimpdance (Z) et des rseaux de cercles miroits pour les coordonnes dadmittance (Y). Ces rseaux peuvent aussi tre tous les deux tracs en couleurs diffrentes sur le mme abaque recevant ainsi lappellation de imittance qui est le contract des deux mots impdance et admittance (YZ).

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    Fig. 5 : Abaque de Smith imittance : rseau de courbes dimpdance en rouge et rseau de courbes dadmittance en bleu.

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    Les relations mathmatiques qui suivent vont nous tre prcieuses en pratique.

    Impdance, admittance et normalisation :

    Ladmittance (Y) en [S] (Siemens) est tout simplement linverse de limpdance (Z) en [] (Ohm). Pour des raisons pratiques, lorsquon composera un rseau srie, on travaillera en impdance car on effectue la somme des impdances. Lorsquon composera un rseau parallle, on travaillera en admittance car on effectue la somme des admittances (linverse de limpdance quivalente est la somme des inverses des impdances). Linverse dune rsistance (R) est la conductance (G) ; linverse dune ractance (X) est une susceptance (B). Une impdance (Z) devient normalise (z) en la divisant par limpdance du systme (Z0) ; une admittance (Y) devient normalise (y) en la divisant par ladmittance du systme (Y0), ce qui revient la multiplier par limpdance du systme. La notation des valeurs normalises est par convention en lettres minuscules. Une impdance caractristique de 50 correspond une admittance de 20 mS (20 milli-Siemens) et non pas 20 ms (20 milliseconde).

    00

    0

    0

    1Admittance :

    Impdance normalise :

    Admittance normalise :

    Impdance complexe : Z=

    Admittance complexe : Y=

    YZ

    Zz

    Z

    Yy

    Y

    R jX

    G jB

    =

    =

    =

    ++

    Inductance, capacitance, susceptance inductive, susceptance capacitive :

    La ractance et la susceptance sont fonction de la frquence (f) et donc de la pulsation () avec = 2f. En impdance complexe, une ractance ou une susceptance est un imaginaire pur ; cest la raison pour laquelle elle est prcde de la notation j .

    Inductance : Z

    Capacitance :

    Susceptance inductive :

    Susceptance capacitive :

    2

    L

    C

    L

    C

    jX j L

    jZ jX

    Cj

    Y jBL

    Y jB j C

    f

    = == =

    = =

    = ==

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    Rsistances et conductances normalises :

    00

    0

    0

    Rsistance normalise : z

    1Conductance normalise :