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L’argumentation, la preuve et la démonstration dans la construction desmathématiques: Des entités conflictuelles ?

Une lettre de Godefroy-Guillaume Leibniz à Chrétien Wolf (1713)1

Fernando HittDépartement de Mathématiques, UQAM, Cinvestav

Résumé

Bien que l’argumentation et la démonstration en mathématiques soient étudiéesdepuis longtemps, on assiste ces dernières années à un regain d’intérêt pour lesujet. Duval (1992-1993) a soulevé la question de la « distance cognitive » qui peutexister entre certains types d’argumentations et de démonstrations enmathématiques. Plus précisément, Duval (Idem) a fait une analyse sur la pertinencequ’il y a à se questionner sur la continuité ou la rupture cognitive qui peut existerentre l’argumentation, la démonstration et l’explication. Balacheff (1999) considèreque du point de vue de l’apprentissage, il ne faut être ni en faveur de la continuité,ni en faveur de la rupture cognitive, entre l’argumentation et la démonstration, maisqu’il faut plutôt considérer l’argumentation comme un obstacle épistémologique àl’apprentissage de la démonstration et, plus généralement, de la preuve enmathématiques. Pour sa part, Tutescu (2003) considère que l’argumentation, qui sebase sur une logique « quotidienne » et le langage naturel, est très éloignée de ladémonstration puisque cette dernière se base sur une logique rigoureuse et unlangage formel. Notre position serait plutôt que l’argumentation ne peut pas sedistinguer facilement de la preuve et de la démonstration dans une situation deconstruction des concepts mathématiques, qu’il existe une dialectique entre cesaspects et que la distance cognitive peut être si ténue qu’elle ne peut être décelée.Cette impossibilité de distinguer l’argumentation, la preuve et la démonstration, parles acteurs de la situation, peut être la source d’un obstacle épistémologique. C’estsous cet angle que nous voulons analyser la correspondance qui a eu lieu, en 1713,entre Leibniz et Wolf (Leibniz, 1713 en Peyroux, 1983) et dégager la difficulté qu’il ya à se prononcer en faveur de l’un ou l’autre lorsqu’on se place dans un processusheuristique de construction des mathématiques. En d’autres mots, si nous nousplaçons dans une mathématique non achevée, il n’est pas possible de faire unedistinction tranchante entre argumentation, preuve et démonstration puisqu’il existeun « mélange naturel » qui produit des démarches heuristiques, nécessaires à laconstruction des connaissances qui sont, en même temps, à l’origine d’obstaclesépistémologiques.

1. Introduction

1.1 L’argumentation et la démonstration face à face !

La problématique sur l’apprentissage de la démonstration en mathématiques et plusgénéralement sur l’apprentissage de la preuve en mathématique est toujoursvivante2. Des chercheurs de différentes disciplines ont été attirés pour des raisons

1 Actes du colloque du Groupe des didacticiens des mathématiques du Québec GDM 2004.

Éditeur Denis Tanguay, Université de Québec à Montréal, pp. 135-146.2 Voir par exemple : http://www.lettredelapreuve.it/.

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diverses sur la démonstration en mathématiques (philosophes, mathématiciens,historiens et didacticiens des mathématiques, etc.).

Les études sur le rôle de l’argumentation3 et de la démonstration ont montréque l’argumentation a comme but la possibilité de convaincre à quelqu’un et que ladémonstration plutôt cherche la vérité d’une proposition. Cette conclusion a étésignalée par Grize & Piérault (1983) :

« La mathématique et le discours quotidien, par exemple, sont des domainesd’activité rationnelle qui ont chacun leur cohérence propre. Si la pensée logico-mathématique procède en dernière analyse par enchaînement de valeurs devérité, il en va tout autrement de la pensée naïve et quotidienne. Non d’ailleursqu’elle manque de rationalité. Elle use aussi de règles de cohérence etd’enchaînement, mais elle se soucie moins d’atteindre la vérité quel’efficacité. »« … Si l’on connaît depuis longtemps ce qui fait une démonstration correcte, onne sait pas encore ce qui fait une « bonne » argumentation. » (p. 7)

Ces auteurs signalent un point important des caractéristiques del’argumentation et de la démonstration. Leur analyse porte, d’une part, sur lescaractéristiques du discours quotidien, et d’autre part, sur la démonstration d’unpoint de vue formel. Est-ce que cette position marque l’existence de deux mondessans liaisons entre eux? Quelle position devons-nous prendre en compte dansl’apprentissage de la mathématique?

Duval (1992-93) a soulevé la question dans son article controversé« Argumenter, démontrer, expliquer : Continuité ou rupture cognitive ? », où il seplace du côté de Grize & Piérault, mais d’un point de vue de l’apprentissage desmathématiques :

« Le développement de l’argumentation même dans ses formes les plusélaborées n’ouvre pas une voie vers la démonstration. Un apprentissagespécifique et indépendant est nécessaire en ce qui concerne le raisonnementdéductif. » (p. 60)

Cette position a été réfutée par Balacheff (1999) qui affirme que, pourl’apprentissage, on ne doit se placer ni en faveur de la continuité, ni de la rupturecognitive entre argumentation et démonstration, il considère plutôt quel’argumentation est constitutive d’un obstacle épistémologique pour l’apprentissagede la démonstration et, plus généralement, de la preuve en mathématiques.Balacheff (Idem) signale :

« L’examen des rapports de l’argumentation et de la démonstration dans cetteapproche centrée sur l’analyse du discours me paraît conforter la conjectured’un rapport conflictuel entre les deux genres lorsque l’on se place dans uneperspective d’apprentissage des mathématiques. Raymond Duval… conclut que

3 Une argumentation est composée d'une conclusion et d'un ou plusieurs "éléments de preuve", que

l'on appelle des prémisses ou des arguments, et qui constituent des raisons d'accepter cetteconclusion. L'argumentation désigne également l'échange discursif effectif par lequel desinterloculeurs tentent de défendre une position ou de faire accepter un point de vue. Plus largement,l'argumentation est un champ d'études à la fois descriptif et critique qui s'intéresse à la mise enforme des arguments (oralement ou par écrit) en vue, notamment, de la persuasion d'un auditoire.(L’encyclopédie Wikipedia).

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la démonstration relève d’un apprentissage « spécifique et indépendant »…«L’argumentation est à la conjecture ce que la démonstration est authéorème »… « dans une perspective d’apprentissage… reconnaître l’existenced’une relation complexe et constitutive du sens de chacune : l’argumentationse constitue en un obstacle épistémologique à l’apprentissage de ladémonstration, et plus généralement de la preuve en mathématique. »

Balacheff (Idem) a invité les chercheurs à débattre la question sans préciserson affirmation. Si bien, Bien qu’on ne peut qu’être d’accord avec le fait que« l’argumentation est à la conjecture ce que la démonstration est au théorème, » Lacritique immédiate que l’on peut faire est que, si les élèves arrivent à uneconjecture sans avoir un besoin à démontrer, ils vont rester dans un mondedifférent du monde de la démonstration ; ce Qui est précisément l’opinion desauteurs précédents ! Pourquoi devons nous considérer l’argumentation commeconstitutive d’un obstacle épistémologique ? Alors, si l’on veut convaincre sur lapertinence de la notion d’obstacle épistémologique, il faut montrer la constructionde connaissance qui s’oppose à une autre connaissance dans le sens de Bachelard(1938). Et si nous prenons comme paradigme cette notion, quoi devons nous fairedans l’enseignement ?

L’approche de Grize & Piérault (1983) et Duval (1992-93) semble avoir plusinfluencé les chercheurs que celle de Balacheff (1999). Nous pouvons constater quela position de Grize et al., et de Duval a été reprise par d’autres chercheurs et cedans des domaines différents, par exemple, en philosophie, Tutescu (2003, p. 68)écrit :

« Néanmoins, il faut distinguer, dès le début, le propre de l'argumentation dupropre de la démonstration. La distinction démonstration /vs/ argumentation seramène à la distinction plus générale langage(s) artificiel(s) /vs/ langagenaturel, ou, à celle plus précise raisonnement /vs/ logique naturelle. »

Et en didactique des mathématiques, par exemple, Tanguay (2005, p. 62) signale:

« Mes hypothèses sont les suivantes :a) L’apprentissage de la démonstration est un processus de longue haleine, quidoit débuter tôt… il faut chercher à faire comprendre aux élèves aussitôt quepossible les règles du jeu.b) Il faut briser ces cercles vicieux qui tiennent l’élève captif :· celui du rapport de la démonstration à l’intuition· celui de la prise de conscience de la valeur épistémique théorique et dustatut opératoire variable des propositions : comment la faire naître si l’élèven’arrive pas à se décentrer des contenus et valeurs de vérité.· Celui de l’apprentissage de la structure hiérarchisée, globalement etlocalement, de la démonstration…c) J’avance pour finir l’hypothèse qu’un travail (sur l’organisation despropositions dans le graphe) fait en équipes, avec ce que cela suppose commeéchanges argumentatifs, favorisera une adhésion intuitive aux mécanismeslogiques de la démonstration… »

En suivant l’argumentation de ses auteurs, il nous semble que leur positionest que la distance cognitive est grande entre l’argumentation et la démonstration ;Et qu’on devrait, en didactique des mathématiques, faire une emphase sur

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l’importance du raisonnement déductif spécifique et indépendant del’argumentation.

1.2 Quelle est la place de la preuve face à l’argumentation et ladémonstration ?

En suivant le travail de Duchet (2001) nous allons prendre en compte la distintionentre preuve et démonstration.

« Un théorème est un texte mathématique M qui se présente sous la formesuivante :« D'après L(règles logiques) , dans T (théorie mathématique), si H (ensembledes hypothèses du théorème), Alors C (conclusion du théorème). »- et pour lequel il existe une démonstration mathématique.Une démonstration mathématique du théorème M est une successiond'énoncés dont le dernier est la conclusion C de M et tels que chacun d'euxest :- soit un axiome ou un théorème de T,- soit une hypothèse de H,- soit une conséquence logique (au sens de L) d'autres énoncés, apparus plus

tôt dans la démonstration.Une preuve mathématique est un discours qui, à propos d'un énoncé précis,convainc une communauté mathématique de l'existence d'une démonstrationcomplète de cet énoncé. (On donne aussi le nom de preuve à l'activité deproduction d'une telle preuve mathématique.) »

Alors, si la preuve mathématique est un discours, il est quelque part entrel’argumentation et la démonstration.

2. Le principe du tiers exclu une nécessité obligatoire dans la constructiondes mathématiques

2.1 Le principe du tiers exclue4

Dans Hitt (2004) nous avons fait une analyse historique sur la naissance du principedu tiers exclu et de la démonstration. Ici, nous voulons seulement signaler que dansla philosophie et dans la mathématique grecque (Ve siècle avant J. C.), le principedu tiers exclu a souvent été utilisé (par exemple, au IIIe siècle avant J. C. lesÉléments d’Euclide ont été écrits à partir de ce principe. Le principe du tiers exclu,dit en forme simple, est qu’étant donné un énoncé mathématique celui-ci est vrai oufaux, il n’y a pas une troisième option ! Dans ce cadre, une démonstrationfonctionne à l’intérieur d’un système formel où l’énoncé est VRAI ou FAUX. Par 4 Le Principe du tiers exclu affirme que si R est une proposition logique, alors la proposition « R ou(non R) » est vraie. Cela signifie qu'une relation ne peut être que vraie ou fausse, mais qu'il n'y a pasde troisième état. Une autre façon de le formuler en logique classique est : non(non(R))= R.Pour Aristote le principe du tiers exclu est une conséquence du principe de non contradiction et dela «définition logique de la vérité».Le principe de non contradiction dit que pour toute proposition R, « R et (non R) » est fausse.En logique classique, où non(non(R)) = R, ce principe est équivalent à celui du tiers exclu :non contradiction : non (R et (non(R)) <=> non(R) ou non(non(R)) <=> non(R) ou R <=> R ounon(R) (tiers exclus). (L’encyclopédie Wikipedia : http://fr.wikipedia.org/wiki/Principe_du_tiers_exclu).

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contre, dans l’argumentation qui s’appui dans la longue naturelle, nous n’avons passtrictement ce type de logique ; en fait, nous n’avons pas le principe du tiers exclu.Heureusement, il y a une logique différente dans la langue naturelle sinon, lacommunication entre les humains deviendrait presque impossible. Et c’est de cepoint de vue que nous devons analyser la dialectique entre l’argumentation et lapreuve.

Les différents auteurs que cités plus haut sont des experts et peuventdégager sans difficulté, dans une situation donnée, ce qui tient de l’argumentationou de la démonstration. Par exemple, si nous analysons les démarches desétudiants (p. e. des étudiants en formation des maîtres au secondaire) du point devue d’un expert, nous sommes amenés à dire que les arguments avancés par lesétudiants sont très éloignés d’une démonstration mathématique. En voici quelquesexemples des arguments éloignés d’une démonstration :

*****

*****

Mais, que voulons nous dire quand nous disons que les arguments desétudiants sont loin d’une démonstration ? Voulons nous dire que l’enseignement doitfaire une emphase sur les règles formelles de la démonstration ?

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2.2 Une preuve rigoureuse, c'est quoi ?

Nous voulons discuter le point de vue d’un mathématicien qui est intéressé surl’enseignement des mathématiques et qui discute sur la preuve rigoureuse(démonstration) en mathématiques. Perrin (1997, p. 2), premièrement, parle sur lapertinence de la rigueur en mathématiques :

« … Or la rigueur en mathématiques est indispensable pour une raison toutesimple : elle seule permet d’être sûr des résultats établis. Il y a beaucoupd’exemples historiques qui montrent que, sans cette rigueur, on peut aboutir àn’importe quoi. …Il n'est pas si simple de définir ce qu'est une démonstrationrigoureuse et d'être assuré qu'une preuve l'est effectivement, et ce, mêmeaujourd'hui où les formalismes sont assez bien établis… »

Perrin (Idem, p. 4) présente un exemple qui nous conduit à douter del’affirmation de Grize & Piérault (1983, p. 7) que nous avons cité plus haut : « … Sil’on connaît depuis longtemps ce qui fait une démonstration correcte, on ne sait pasencore ce qui fait une « bonne » argumentation. ». Le voici l’exemple :

« Pour l'anecdote je citerai une expérience personnelle récente : nous avionscru prouver qu'un certain objet (le schéma de Hilbert Hd,g des courbes dedegré d et genre g) n'était "presque" jamais connexe. La démonstration étaitécrite, soumise à une revue prestigieuse, contrôlée par un rapporteur, acceptéesans problème ! »« Pourtant, en faisant des calculs (assez compliqués) sur un exemple précisnous avons trouvé un contre-exemple. Il nous a fallu quelques jours pouradmettre notre erreur et quelque temps encore pour comprendre où était lafaute dans la démonstration. »

Perrin propose alors une réflexion qui nous semble importante au sujet de laquestion : Quand est-on vraiment sûr qu'un résultat est correct ?

« Je propose ici deux éléments de réponse (issus de mon expérience dechercheur).Le premier est empirique et psychologique : à force de voir fonctionner cerésultat dans des dizaines d'exemples différents, de situations distinctes, onfinit par être vraiment, intimement, convaincu de son exactitude.Le second est plus sérieux : un résultat est définitivement établi lorsque l'on asuffisamment progressé (soi-même ou la communauté) pour qu'il devienne"trivial", c'est-à-dire soit revu, en général par d'autres voies, plus simples ouplus conceptuelles, de manière totalement convaincante. »

Nous pensons que cette approche est similaire à celui de Duchet qu’en fait estdevenue une position très répandue et que la preuve mathématique5 est un élément

5 En mathématiques, une démonstration est un raisonnement qui permet, à partir de certains

axiomes, d'établir qu'une assertion est nécessairement vraie. Les démonstrations utilisent la logiquemais incluent habituellement des éléments du langage naturel en évitant tant que possibled'introduire des ambiguïtés.Dans le contexte de la théorie de la preuve, dans lequel des preuves purement formelles sontconsidérées, des preuves qui ne sont pas entièrement formelles sont appelées des « preuvessociales ». Ce sont des preuves qui sont basées sur des affirmations considérées comme exactesparce qu'elles sont admises par un ensemble de personnes. L'idée est acceptée comme exactelorsqu'elle fait le consensus. (L’encyclopédie Wikipedia).

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importante de le considérer dans la classe de mathématiques comme prélude à ladémonstration en mathématiques.

3. Un résultat est définitivement établi lorsque l'on a suffisammentprogressé (soi-même ou la communauté) pour qu'il devienne "trivial" :Lettre de Leibniz à Wolf (1713)

Avant de commencer notre analyse sur la lettre de Leibniz à Wolf (Peyroux, 1983,pp. 66-70), nous voulons faire une remarque importante. Les différentspersonnages que Leibniz mentionne dans sa lettre sont des mathématiciens quiavaient, comme lui, une connaissance profonde de la démonstration en géométrie.Notre analyse portera sur la construction d’une preuve dans un domaine desmathématiques qui était nouveau à l’époque. Cet exemple peut nous aider àcomprendre les problèmes d’apprentissage de la preuve et de la démonstration enmathématiques.

Si nous nous plaçons dans une situation de construction d’un conceptmathématique et de débat scientifique, et que nous essayons de comprendre lesarguments avancés par un individu, serait-t-il possible à déceler sans difficulté cequi est propre à l’argumentation et ce qui est propre à la démonstration?

Si nous remontons aux années 1700 et si nous pouvions demander à unexpert, à un mathématicien de l’époque, d’analyser la production des étudiants citéedans la section 2.1. Que répondrait–il ? Sa position serait-elle la même que lanôtre ?

Pour essayer de répondre à ces questions, lisons ce que Leibniz a répondu àWolf6 (1713) au sujet d’un résultat obtenu par Guido Grandi7 dans son traité « Dequadratura circuli et hyperbolae » et qui avait soulevé des questionnements de lapart de Marchetti qui refusait ses arguments:

« Tu demandes de moi, Homme Très Célèbre, ce que je pense au sujet de laquestion renouvelée du Très Célèbre Guido Grandi, si 1-1+1-1+1-1 etc. àl’infini est fait _ ; et comment l’absurdité qui semble se montrer dans une telleénonciation, pourrait être évitée. »

Voici à gauche la représentation graphique de Guido Grandi reproduite parLeibniz et une interprétation actuelle, à droite.

6 Nous n’avons pas pu obtenir l’information directe de la lettre de Wolf, et la réfutation de

Marchetti aux arguments de Guido Grandi. Mais, la lettre de Leibniz à Wolf a suffisammentd’éléments pour permettre la reconstruction de la situation, et le résultat de Guido Grandi.

7 Guido Grandi, Quadratura circuli et hyperbolae, deuxième édition, Pisis, ex typographiaFrancisci Bindi, 1710 [première édition, 1703].

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L’argumentation (intuitif) utilisé par Guido Grandi, reproduit par Leibniz était lasuivante :

« Il imagine deux frères dans une affaire de partage occupés à découvrir dansl’héritage paternel une pierre d’un prix immense, et celle-ci est interdite d’êtrevendue par le testament ; c’est pourquoi ils convinrent ainsi entre eux qu’elle seraitplacée dans le musée de l’un des deux. Et ainsi si cette loi est établie entre leshéritiers pour toujours, l’une des deux lignées des frères à qui la pierre seraitdonnée indéfiniment et ôtée indéfiniment possédera correctement en cela la moitiédu droit. »

Nous pouvons constater que les arguments de Guido Grandi s’appuient sur deuxsortes de représentations :

1) visuelle

2) intuitive

Guido Grandi a sûrement utilisé les égalités suivantes pour conjecturer que

« 1 – 1 + 1 – 1 etc. à l’infini, fait _ » : infinil' à etc.11

1 43 xxxxxx

++++=−

et

543111

xxxxxxx

−+−+−=+

etc. à l’infini. Grégoire de Saint-Vincent, Newton,

Mercateur et Wallis avaient travaillé sur ces égalités et Wallis avait même affirméque l’égalité était vraie pour x < 1.

On peut se demander pourquoi Guido Grandi a utilisé des arguments l’unvisuel, l’autre intuitif, pour expliquer sa conjecture pour x = 1. En fait, d’après lalettre de Leibniz, Alessandro Marchetti et Chrétien Wolf ont refusé son argumentintuitif :

« Car effectivement ici une difficulté se montre, objectée à bon droit par toi,Homme très illustre, et par Maître Marchetti. En effet puisque BV –BV ou 1 – 1est 0 ; est-ce qu’il suit que BV – BV + BV – BV + BV –BV + etc., à l’infini ou1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + etc., à l’infini n’est rien d’autre que 0 + 0 + 0 + etc. ?Et comment cela pourrait faire _, n’apparaît pas. »

Face à cette question soulevée d’abord par Marchetti et ensuite par Wolf,Leibniz a répondu avec différents types d’arguments. Signalons que Leibniz étaitd’accord avec le résultat, mais qu’il voulait seulement faire quelques remarques :

« Mais puisque cela fait la matière de mettre en lumière avant tout la Science del’infini (jusqu’à ce jour non encore traitée selon la dignité), et que c’est d’une

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recherche agréable, il vaudra la peine de revenir un peu plus haut et de leramener vers ses sources, ce dont j’ai confiance qu’il ne sera pas déplaisant auTrès Célèbre Grandi, dont nous appuyons ici l’insigne conclusion, quoique nouspensions que quelques uns de ses raisonnements et conséquences manquentde correction, afin que la science ne soit pas atteinte par quelque préjudice. »

En analysant la lettre de Leibniz, nous pouvons ressortir les argumentssuivants :

1. Leibniz s’appuie sur les résultats de Grégoire de Saint-Vincent et deMercateur: « Il a été montré récemment… par Grégoire de Saint-Vincent, que

43111

xxxxxx

++++=−

etc. à l’infini, à savoir si x est posée être une quantité

plus petite que l’unité. Nicolas Mercateur du Holstein transporta cela à5431

11

xxxxxxx

−+−+−=+

etc. à l’infini, ce qu’il montre (en même temps

avec précédent) d’après une certaine division sans interruption ; quoique celaencore suivie du premier en posant +x pour –x ».

2. Leibniz est convaincu que la conjecture est vraie par la simple observation dela représentation graphique: « La figure employée par Maître Grandi poussecela aux yeux d’une certaine façon ».

3. Leibniz appuie le résultat visuel en se basant sur sa Loi de continuité : « Etcela est en accord avec la Loi de Continuité proposée jadis en premier parmoi dans les Nouvelles Littéraires de Bâle et appliqué aux lois duMouvement ; où il est fait que dans des continus l’extrême exclu pourrait êtretraité comme inclus.»

4. Leibniz n’est pas d’accord avec l’exemple intuitif donné par Guido Grandi et ildonne son propre argument (argument qu’il va répéter dans une autre lettreà Dangicourt, datée de 1716) : « Apportons donc maintenant la vraiesolution, peut-être inattendue, certainement particulière, de l’énigme et laraison du paradoxe, en revenant vers la série finie et ensuite en franchissantvers l’infini… En effet la série finie 1 – 1 + 1 – 1 etc. peut être doublementdéveloppée : en effet ou elle existe d’après un nombre pair de nombres et estterminée par -, comme 1 – 1 ou 1 – 1 + 1 – 1 ou 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 ouenfin avancer jusqu’à quelque point ; en ce cas elle produit toujours 0 ; ouelle existe d’après un nombre impair de nombres et est terminée par +,comme 1 ou 1 – 1 + 1 ou 1 – 1 + 1 – 1 + 1 ou enfin avancer jusqu’àquelque point ; en ce cas elle produit toujours 1. Mais puisque la Série estinfinie, c’est-à-dire 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + etc. à l’infini, de telle sorte qu’elle

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excède un nombre quelconque ; alors par la nature évanouissante dunombre, l’assignabilité du pair ou de l’impair s’évanouit encore, et puisqu’iln’y a plus aucune raison pour la parité ou l’imparité, et donc pour produired’avantage 0 que 1, il est fait par une admirable disposition de la nature, quepar le passage du fini à l’infini, le passage depuis la disjonctive (désormaiscessant) à l’unité positive (qui subsiste) deviendrait la moyenne entre lesdisjonctives. Et puisqu’il est montré par ceux qui écrivirent sur l’estimation,que lorsque la moyenne est à prendre entre deux quantités s’appuyant surune égale raison, on doit prendre la moyenne Arithmétique qui est la moitiéde la somme, c’est pourquoi la nature des choses observe ici la même loi dejustice ; et en effet puisque 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + etc. est pareil à 0 dans lecas fini d’un nombre pair de membres, mais est 1 dans le cas fini d’unnombre impair de membres, il suit que dans le cas de l’une et l’autremultitude s’évanouissant de membres infinis où les droits du pair et del’impair sont confondus, et qu’il y a tout autant de raison pour l’un et pour

l’autre, il se produit 21

210=

+, ce qui était proposé. »

Donc, d’après Leibniz, pour différentes raisons, le résultat est vrai :

« La somme 1 – 1 + 1 – 1 etc. à l’infini, fait _ »

La division sans interruption, la représentation visuelle et sa « Loi decontinuité » sont un prélude pour convaincre de la véracité du résultat, et que lapreuve pour Leibniz se trouve dans les arguments avancés dans le quatrième point.

Mais l’histoire ne finit pas là. Dans l’encyclopédie (Dictionnaire raisonné desSciences, des Arts et des Métiers, 1751), D’Alembert indique que Pierre Varignon(1715) a éclairci l’utilisation d’une division illimitée. D’Alembert à ce sujet a écrit cequi suit :

« Un auteur nommé Guido Ubaldus dans son traité De quadratura circuli ethyperbolae, a poussé ce raisonnement plus loin et en a tiré une conséquencefort singulière : ayant pris la suite 1/2 = 1/(1 + 1) et ayant fait la division il atrouvé au quotient 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1, etc. qui à l'infini ne peut jamaisdonner que 1 ou 0; à savoir:

• 1, si on prend un nombre impair de termes;

• 0, si on prend un nombre pair.

D'où cet auteur a conclu que la fraction 1/2 pouvait devenir 1 par une certaineopération et que 0 pouvait être aussi égal à 1/2 et que par conséquent laCréation était possible, puisqu'avec moins on pouvait faire plus.L'erreur de cet auteur venait de n'avoir pas remarqué que la suite 1 - 1 + 1 - 1,etc. et en général 1 - c + c2 - c3, etc. n'exprimait point exactement la valeur dela fraction 1/(1 + c). Car supposons qu'on ait poussé le quotient de la divisionjusqu'à cinq termes, comme la division ne se fait jamais exactement, il y atoujours un reste. Soit r ce reste; pour avoir le quotient exact, il faut, commedans la division ordinaire, ajouter ce reste r divisé par le diviseur 1 + c, à lapartie déjà trouvée du quotient. Ainsi supposons que la série générale soitterminée à -c3, on aura :

11

crccccccc

cr

cccc +

+−+−+−+−=

++−+−=

+ 11

11

11 43322

32

cc

cccc +

+−+−=+ 1

111 4

32

Par conséquent la valeur exacte de 1/2 = 1/(1 + 1) est 111

1111+

+−+− et cette

valeur se trouve toujours égale à 1/2 et non pas zéro ou 1. »

Alors, d’après D’Alembert, il pense que la conclusion est vraie, mais il réfute leprocessus de division sans interruption:

La somme 1 – 1 + 1 – 1 etc. à l’infini, fait _

Nous n’avons pas pu retrouver plus d’information sur la controverse. Mais,pour finaliser nous pouvons ajouter que :

1. Suite à des résultats contradictoires trouvés par quelques mathématiciens duXIXè siècle, en utilisant la « Loi de Continuité de Leibniz », cette loi a étérejetée des mathématiques.

2. Le résultat de la série 1 – 1 + 1 – 1 +… = _ a été rejeté une fois la théoriesur les limites a été construit; à savoir : Soit { }∞=1nns tel que s1 = 1 ;

s2 = 1 – 1, s3 = 1 – 1 + 1 ; s4 = 1 – 1 + 1 – 1 ;… Existe-t-il nns

∞→lim ?

Puisque { }∞=12 nns et { }∞=+ 112 nns sont deux sub-suites qui convergent à différents

nombres 0lim 2 =∞→

nns et 1lim 12 =+

∞→n

ns , puisque si la limite existe elle doit être

unique, alors la limite n’existe pas !

Si nous suivons cette dernière approche dans l’enseignement, alors, nousperdons toute la richesse que l’histoire des mathématiques peut nous apporter pourmieux comprendre la construction des mathématiques.

Conclusion

L’analyse que nous avons faite dans ce document cherche à montrer que si nousnous situons dans les années de 1700, nous pourrions être contents de regardercomment un résultat mathématique « est devenu vrai » parce que une communautéde mathématiciens ont dictaminé sur la véracité de l’énoncé en question, et que lesdésaccords et négociations entre les mathématiciens de cette époque, les ontconduit vers « l’amélioration d’un processus de preuve », même s’ils n’ont pasarrivé à la démonstration de ce résultat.

Tant que les processus à l’infini n’ont pu êtres apprivoisés, il y a eu beaucoupd’erreurs commises du point de vue des mathématiques actuelles. Par contre, celan’a pas empêché de découvrir beaucoup de résultats intéressants. C’est avecl’arithmétisation de l’analyse que l’expert (dans une mathématique actuelle) refusele résultat précédent et donne une démonstration sur la non-existence de la limitede la série 1 – 1 + 1 – 1 +… . N’oublions pas que les mathématiciens qui ont faitdes erreurs sont des mathématiciens qui connaissaient bien la démonstration en

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géométrie et que ça montre que le processus de preuve et de démonstration estbeaucoup plus complexe de ce qu’on avait cru dans le passé.

Une voie à suivre est celle qui comporte l’analyse des processus decommunication et preuve entre les mathématiciens du passé au moment où ilsdiscutent sur la construction d’un concept mathématique, et leur comparaison avecles processus de communication et preuve dans la classe de mathématiques.L’analyse pourrait nous conduire à la découvert des éléments qui déclenchent untype différent du raisonnement qui puisse nous servir à mieux comprendre lesprocessus de preuve chez les mathématiciens et chez nos étudiants. La productiondes activités que, dans un environnement de débat scientifique, puissent provoquerchez nos étudiants une sensibilité à la contradiction est absolument nécessaire.

Nous avons pu constater que les arguments des étudiants sont plutôt prèsdes arguments des mathématiciens du passé et que nous devons faire attentionquand nous présentons aux étudiants « une mathématique achevée » qui est loin deleur compréhension. En fait, cette réflexion n’est pas propre seulement auxmathématiques, Bader (2004, P. 15) signale l’importance de promouvoir le débatscientifique dans la classe de science pour avoir une approche plus réelle sur laconstruction des connaissances.

Dès la didactique des mathématiques, nous pouvons profiter de l’histoire dela mathématique pour mieux comprendre les processus des étudiants pourconstruire des activités que puissent les aider à réfléchir sur la véracité ou pas d’unénoncé et de leur processus de démonstration. Ce que nous avons montré, nousemmène à penser que probablement dans la classe de mathématique, ça peut êtreimportant de demander aux étudiants des « argumentations pour convaincre et desprocessus de preuve» et la confrontation des idées va déclencher une nécessité dedémonstration. Ceci pourra promouvoir une réflexion sur la différence entreargumenter et démontrer ?

À part de la sensibilité à la contradiction, il nous semble qu’une partie trèsimportant dans un apprentissage des processus de démonstration est le rôle ducontre-exemple. Mais ça c’est une autre histoire !!!

Références

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