L’apprentissage des › ... › pdf › ...1-_septembre_2015.pdfR. Charnay & M.P. Dussuc -...

L’apprentissage des

quantités et des nombres

au cycle 1

R. Charnay & M.P. Dussuc - septembre 2015 1

L’évolution des programmes Peu de modifications depuis 2002 sur les contenus.

Les inflexions les plus importantes concernent l’apprentissage des quantités et des nombres.

Raisons de ces inflexions :

Travaux dans le domaine de la psychologie

Travaux dans le domaine des neurosciences

Etudes didactiques, résultats des élèves

Quelques sources Michel Fayol : L’acquisition du nombre, Que sais-je, PUF

Stanislas Dehaene : La bosse des maths, Odile Jacob

Rémi Brissiaud : Premiers pas vers les maths, Retz

Roland Charnay : Comment enseigner les nombres et la numération décimale, Hatier


Conséquence

Un rôle accru pour l’école maternelle dans

les apprentissages numériques, dès la PS.


Collection, quantité, nombre

Certains écrits font apparaître une confusion entre

quantité et nombre, amenant à attribuer aux nombres des

compétences qui sont relatives aux quantités.

Précisions à partir de questions de comparaison…


Ces deux collections diffèrent : l’une contient des

cerises, l’autre des pommes.

Ces deux collections se ressemblent : elles contiennent

toutes deux des fruits.

Concept de « catégorisation »


Ces deux collections diffèrent : la quantité de cerises

est plus importante que la quantité de pommes.

Ces deux collections se ressemblent : les volumes de

cerises et de pommes sont voisins.

Concept de « grandeur »


Il y a plus de cerises dans le panier de gauche que

dans celui de droite.


Il y a autant de pommes que de poires.

Concept de « quantité » (effectif)

Ces deux collections n’étant pas visibles simultanément, comment comparer les quantités de poires ?

Concept de nombre pour garder la mémoire des « quantités » et les comparer


Comment caractériser le

concept de nombre ?


Ceci n’est

pas le

nombre

trois…

Langage

- mots

- symboles

- représentations schématiques

Problèmes que la maitrise du concept

permet de résoudre

Les composantes du concept de nombre (d’après G. Vergnaud)


Propriétés et techniques

- définitions

- propriétés

- résultats

- procédures

Composante « langage »

Comment évoquer les nombres ?


Triple code Stanislas Dehaene

représentation analogique

Représentation symbolique

Représentation verbale

(mots dits ou écrits)

1

2

trois

three 3

R. Charnay & M.P. Dussuc - septembre 2015

Fonction des représentations en plus de la fonction d’évocation des quantités

représentation analogique

représentation symbolique

représentation verbale

13

R. C

ha

rna

y &

M.P

. Dussu

c - s

ep

tem

bre

20

15

Capacité antique :

perception globale des

petites quantité, estimation,

représentations mentales

La capacité à circuler entre ces types de

représentations, à passer de l’une à l’autre, à les

associer témoigne d’une certaine maîtrise des

nombres.


Ces trois types de représentations ne se mettent

pas en place simultanément.

Capacités des très jeunes

enfants avant leur arrivée à l’école


Elles concernent les quantités (vers 12 mois)

Discrimination des très petites quantités entre elles

Un objet de deux objets

Puis deux objets de trois objets

Mais pas trois objets de quatre objets

Discrimination des très petites quantités (jusqu’à trois) de quantités plus importantes

Réaction aux modifications de très petites quantités (capacité objet de controverse)


Capacités qui semblent donc limitées aux quantités jusqu’à trois.

Discrimination des très petites quantités (jusqu’à

3)

Avant 12 mois (cité par Dehaene)


Discrimination de quantités très différentes, par

estimation

Quantités dont l’une est au moins le double de l’autre, par exemple 8 et 16

(cité par Dehanene)


Dénombrer Un apprentissage long et difficile


Dénombrer… Dénombrer, ce n’est pas compter…

Compter : associer un objet à chaque mot de la suite

des mots-nombres

Dénombrer : utiliser un moyen qui permet d’exprimer

une quantité par un nombre


un deux trois quatre cinq six

Alors, combien y a-t-il d’objets ?

L’enfant recommence « un, deux, trois… »

Il compte mais ne dénombre pas.

Dénombrer par « subitizing »


Le subitizing s’arrête aux environs de 3, y compris chez

les adultes.

Il est indépendant de l’arrangement spatial des objets.


Tiré de Dehaene

22

Forme de subitizing étendu à des

organisations particulières des objets


Dénombrer par « comptage »


un

deux

trois

huit

un

deux

trois

Etiqueter chaque objet

par un mot nombre

Identifier le dernier mot-

nombre comme cardinal

de la collection

Comprendre que les

objets peuvent être

comptés dans n’importe

quel ordre

24

Un principe supplémentaire essentiel le comptage est une suite de dénombrements


un

un deux

un deux

trois

Apprentissage du fait que chaque nombre est

formé à partir du précédent en ajoutant un.

25

Le dénombrement par comptage

Un apprentissage lent et difficile : cf. les taux d’erreurs


Le dénombrement par comptage Quelques difficultés

Suite verbale non stable, non conventionnelle

Enumération difficile (considérer une fois et une seule chaque

objet de la collection)

Ordre, disposition spatiale, nature des objets (déplaçables ou

non…)

Mauvaise coordination de la correspondance « un objet avec un

mot-nombre »

Absence de cardinalisation lié à un comptage-numérotage

plutôt qu’à un comptage-dénombrement

Très souvent, les élèves de PS ne comprennent pas le

dénombrement par comptage !


Une nécessité : la chaîne verbale Cinq niveaux d’organisation

Chapelet (undeuxtroisquatre) : pas de signification arithmétique

Chaîne insécable : pas de possibilité de commencer à un point quelconque

Chaîne sécable : compter à partir de ; compter jusqu’à ; en avant et en arrière

Chaîne terminale : avancer de 4 à partir de 7 ; compter de 7 à 11 et dire de combien on a avancé

Chaîne bidirectionnelle : chaîne terminale dans les deux sens (en avant et en arrière)


La comptine (chaine verbale)

Utiliser des « chansons » qui la séquencent de manières différentes

Importance de l’entrainement

◦ A partir de 1

◦ A partir de 1 jusqu'à…

◦ A partir de … jusqu'à…

◦ A rebours (décompter)

◦ Dire le suivant ou le précédent

◦ Dire n nombres à partir de …en avant, en arrière

◦ Dire les nombres de … à …, en comptant les nombres énumérés


Chaîne verbale Evolution de la partie conventionnelle


Schéma emprunté à Michel Fayol, d’après Fuson (1982)

30

Un apprentissage lent : d’abord par cœur, puis

aidé par la découverte des principes de formation

des noms de nombres

combinaisons additives : dix-sept, trente-trois…

puis multiplicatives : quatre-vingts…

Le niveau de structuration de la chaîne verbale

en conditionne les utilisations ; il est possible

aussi que les utilisations aident à la structuration


Influence du code verbal

sur l’acquisition de la chaine verbale


Schéma emprunté à Michel Fayol

32


Schéma emprunté à Michel Fayol

33

Dénombrer par « calcul » (calcul de type additif en maternelle)

Par sur-comptage au-delà de x


six, sept

• Par représentation et lecture directe du résultat sur

les doigts

• Par récupération d’un résultat en mémoire : deux et

deux, c’est quatre

• Par utilisation d’une connaissance : un de plus, c’est le

suivant

34

Composante « problèmes »

et propriétés et techniques

permettant leur résolution


Conserver la mémoire des quantités

Evoquer une quantité sans avoir à la

montrer

Réaliser une quantité égale à une

quantité connue



Exemples de problèmes de la PS à la GS

Une situation "de référence"

Préparer juste ce qu'il faut de bouchons

pour en avoir un pour chaque bouteille.

37

Collections assez nombreuses et proches Placer les bouchons : respect de la contrainte


- Activité pratique (possibilité de placer un bouchon à côté de chaque bouteille)

- Pas de nécessité de prendre en compte les quantités pour la résolution

- Pas de problème mathématique

38

Jusqu'à 10 bouteilles, bouchons proches Préparer les bouchons sur un plateau avant de les placer

Vérifier ensuite par un placement effectif


- Problème mathématique : assurer l’égalité des quantités - Procédures

- Correspondance un à un ou par paquets quantités - Dénombrement (subitizing pour 3 bouteilles, comptage ou

décomposition pour plus de 4 ou 5 bouteilles) nombres - Variable : bouteilles déplaçables ou pas

39

Collections éloignées Aller chercher les bouchons en plusieurs, puis en une seule fois




- Utilisation d’une quantité intermédiaire (dessin, doigts, choix d’une constellation…) quantités

- Dénombrement par comptage ou décomposition nombres - Variable : nombre d’essais autorisés

40

Collections éloignées Commander oralement les bouchons (une seule fois)




- Dénombrement par comptage ou décomposition nombres - Variable : quantité de bouteilles

Suite possible (fin GS ou CP) : commande écrite (sans dessiner)

41

Collections éloignées, bouchons par paquets Préparer les bouchons sur un plateau avant de les placer



- Problème mathématique : assurer l’égalité des quantités

- Procédures

- Décomposer la quantité de bouteilles en paquets

- Composer des paquets pour atteindre la quantité de

bouteilles

- Variable : nombre d’essais autorisés

42

Un exemple d’habillage sur ce type de problème CAP MATHS GS


Comparer des quantités

Qui a le plus ? Qui a le moins ?

En particulier, comparer des quantités qui

ne sont pas visibles simultanément.


Evolution d’une situation D’après Les médailles de champion CAP MATHS GS


Des casiers pour les

médailles.

Des sachets de

médailles.

Un sachet de médailles étant donné, choisir un casier qui puisse les contenir

toutes.

On ne peut placer qu’une médaille par case.

Certaines cases peuvent rester vides.

45

Ce qui peut varier

Les casiers parmi lesquels il faut choisir

Un seul : convient-il pour tel lot de médailles ?

Deux : faut-il choisir celui-ci ou celui-là pour tel

lot de médailles ?

Plus de deux : lequel ou lesquels peut-on choisir

pour tel lot de médailles ?

Un seul casier possible ou plusieurs casiers possibles

Nombre de cases indiqué ou pas

S’il est indiqué, est-ce au verso ou au recto ?

…/ …


Ce qui peut varier

Le lot de médailles

Médailles « libres » (pas mises en sachets)

Médailles « pas libres » (mises en sachets

transparents)

Médailles « pas libres » (mises en sachets opaques

avec nombres indiqués)

La distance entre les casiers et le lot de médailles

Les casiers et le lot de médailles peuvent être

visibles simultanément ou pas

Les quantités en jeu

Taille des quantités permettant ou non le recours au

subitzing


Des tâches et des procédures variées de la PS à la MS Des exemples

Médailles « libres » et casiers à disposition : il suffit de placer les

médailles

Travail sur les collections (pas de maths)

Casiers et sachet transparent, visibles simultanément

Travail sur les quantités (et les nombres éventuellement)

Casiers et sachet transparent, non visibles simultanément

Travail sur les nombres

Casiers avec nombres et sachet transparent, non visibles

simultanément


Casiers et sachet opaques avec nombres



Conserver la mémoire des positions

Situer ou retrouver un objet dans une

liste rangée

Placer un objet dans une liste identique à

une liste donnée qui contient déjà un

objet

Situer un événement dans le temps


Exemple de situation


Retrouver l’enveloppe dans laquelle une image a été mise.

50

Contraintes et procédures

Pas de contrainte

Montrer l’enveloppe

Dessiner un signe sur l’enveloppe

Dessiner les enveloppes et marquer l’enveloppe

Contrainte : ne pas dessiner, ne pas montrer

Indiquer le rang occupé par l’enveloppe à l’aide d’un

nombre


Anticiper un résultat sur des

quantités ou des positions en l’absence de celles-ci

Prévoir ce que devient une quantité qui subit

une augmentation ou une diminution

Prévoir le résultat du partage d’une quantité

Prévoir la position atteinte suite à un

déplacement en avant ou en arrière


Evolution d’une situation D’après Le bocal de bonbons CAP MATHS GS


Un bocal de bonbons dont le contenu est connu et dans lequel on ajoute ou

enlève un certain nombre de bonbons.

Trouver la quantité de bonbons qu’il contient alors.

Autre problème possible

On veut partager le contenu du bocal entre plusieurs enfants.

Trouver la quantité de bonbons que chacun recevra.

53

Ce qui peut varier

Le bocal

Ouvert ou fermé

On peut ou non sortir les bonbons pour les dénombrer

Transparent ou opaque

S’il est opaque et fermé, l’anticipation est le seul moyen de répondre

Les quantités initiales

Elles permettent ou non une représentation mentale ou figurée des quantités

Les quantités de bonbons ajoutés ou retirés

Elles influent sur les procédures, notamment dans le cas où

l’anticipation est nécessaire.


Une grande variété de procédures

Celles qui relèvent du subitizing ou comptage

Dénombrement direct des bonbons dans le bocal ou sortis du bocal

Recomptage par représentation des quantités initiales et ajoutées (ou enlevées) : doigts, dessin…

Surcomptage (ou décomptage) en partant de la quantité initiale de bonbons

Celles qui relèvent du calcul sur les quantités

Reconnaissance des quantités sur une figuration (3 doigts levés, puis 2 doigts levés 5 doigts levés)

Appui sur une connaissance : un objet de plus (ou de moins), c’est le nombre d’après ou le nombre d’avant

Celles qui relèvent du calcul sur les nombres

Je sais que deux et encore deux, c’est quatre


ANTICIPER / VALIDER La “manipulation”, oui… mais à sa bonne place !


Manipuler

Favorise

l’appropriation de la

situation et du

problème

Anticiper

Incite à l'expérience

mentale

Permet la validation de

la réponse ou d'une

procédure

Oblige à élaborer des

procédures

Trois aspects importants

La possibilité pour l’enfant d’essayer, de se

tromper, de recommencer

Les interactions entre élèves : imitation, aide,

confrontation, observation

Les interactions avec l’enseignant :

verbalisation, sollicitation


Les repères fondamentaux relatifs aux premiers

apprentissage des quantités et des nombres


Domaines successifs - Très petits nombres

(jusqu’à 3 ou 4)

- Nombres jusqu’à 10 ou

12

- Nombres jusqu’à 20

Dénombrement Expression des

quantités

Essentiellement de

nature additive : - Ajout de 1

- Composition,

décomposition

- Autour de 5 et de 10

- Reconnaissance

immédiate

- Comptage

- Composition de

quantités

- Analogique (collection-témoin)

- Verbale

- Symbolique (chiffres)

Problèmes sur les

quantités et les

rangs - Exprimer

- Egaliser

- Comparer

- Anticiper (Augmentation, diminution,

partage)

- Procédures non

numériques

- Procédures

numériques

Structuration de

domaines

numériques

Stratégies

58

Quelques repères de

progressivité de la PS à la GS


Petite section Deux pistes de travail :

- Assurer une première maîtrise des quantités et des

nombres jusqu’à trois (voire quatre)

- Assurer une maîtrise des quantités dans des cas où le

dénombrement n’est pas possible


Langage

- Doigts (quantités témoins)

- Mots-nombres

Problèmes - Comparer des quantités

- Egaliser des quantités

Quantités et nombres jusqu’à trois (ou quatre)



- Trois c’est plus que deux

- Trois c’est deux et

encore un

- Trois c’est un et un

et encore un

- Subitizing

- Points du dé

Langage - Beaucoup, pas beaucoup

- Pareil, pas pareil

- Assez, pas assez, trop



Quantités dont le dénombrement est impossible



- Invariance des quantités par

déplacement des

objets

- Estimation

- Correspondance

terme à terme

Moyenne section Trois pistes de travail :

- Assurer une maîtrise des quantités et des nombres lorsque le recours au comptage n’est pas nécessaire (reconnaissance immédiate ou rapide jusqu’à cinq ou six).

- Assurer une première maîtrise des quantités et des nombres lorsque une reconnaissance immédiate n’est plus possible.

- Assurer une maîtrise des quantités dans des cas où le dénombrement n’est pas possible.


Langage

- Doigts et dés (quantités témoins)

- Mots-nombres et comptine

verbale



(en particulier éloignées)

Quantités et nombres jusqu’à environ dix



- Un de plus (de moins) et le suivant

(le précédent)

- Suite verbale

- Principes de

l’énumération

- Dénombrement

par comptage de

un en un

- Utilisation des

propriétés

Langage - Beaucoup, pas beaucoup

- Pareil, pas pareil

- Assez, pas assez, trop



Quantités dont le dénombrement est impossible



- Invariance des quantités par

déplacement des

objets

- Estimation

- Correspondance

terme à terme

Grande section Pistes de travail

- Utiliser les nombres pour résoudre des problèmes

(nombres comme outils).

- Etudier les nombres (nombres comme objets d’étude).


Langage

- Doigts (quantités témoins)

- Mots-nombres

- Ecritures chiffrées (jusqu’à 10)

- Circulation entre les différents

registres de langage



- Anticiper (augmentation,

diminution, partage)

- Exprimer une position

Quantités et nombres



- Un de plus (de moins) et le suivant (le précédent)

-Composition et décomposition de petites quantités ou nombres

(verbalement)

- Premières régularités des suites

orales et écrites

- Suite verbale (en avant, en arrière, à partir de …, etc.) jusqu’à trente

- Dénombrement par subitizing,

reconnaissance rapide, comptage

de un en un (au moins jusqu’à 10)

- Utilisation des propriétés


un deux trois quatre cinq

1 2 3 4 5 6 7

• Trouver le mot-nombre associé à une écriture chiffrée

• Trouver l’écriture chiffrée associée à un mot-nombre

un deux trois quatre cinq

1 2 3 4 5 6 7

Ecritures chiffrées

Bande numérique collective ou individuelle en GS

Merci de votre attention Roland Charnay

Septembre 2015


L’apprentissage des › ... › pdf › ...1-_septembre_2015.pdfR. Charnay & M.P. Dussuc -...

Documents

Transcript of L’apprentissage des › ... › pdf › ...1-_septembre_2015.pdfR. Charnay & M.P. Dussuc -...