La résolution de problèmes au Cycle 2

Animation pédagogique – Aurillac 2 – Février 2011

Rappel des textes :

« L’apprentissage des mathématiques développe l’imagination, la rigueur et la précision ainsi que le goût du raisonnement. »

« La résolution de problèmes fait l’objet d’un apprentissage progressif et contribue à construire le sens des opérations. »

Instructions Officielles de juin 2008

« Dès le cycle 2, les élèves doivent prendre conscience du fait que résoudre un problème ne revient pas à trouver, tout de suite, les calculs à effectuer pour répondre à la question posée. Une élaboration est, en général, nécessaire, faite d'étapes ou d'essais plus ou moins organisés… »

Instructions Officielles de 2002

Définitions d’un point de vue de la psychologie cognitive :

« Par problème, il faut entendre toute situation dans laquelle il faut découvrir des relations, développer des activités d’exploration, d’hypothèse et de vérification, pour produire une solution. »

G. Vergnaud – Psychologie du développement cognitif et didactique

des Mathématiques – Revue Grand N n°38 – 1986

« Il y a problème lorsque le sujet ne dispose pas immédiatement d’une réponse de routine applicable à la situation. »

M. Richelle, R. Droz

Définition du problème mathématique :

Un problème mathématique est constitué d’un ensemble d’informations…

…faisant l’objet d’un questionnement ou d’une consigne…

…ce qui nécessite une recherche ou un traitement…

…qui implique l’utilisation de notions et d’outils mathématiques.

La présentation de ces informations peut être variée: texte, tableau, schéma, graphique, dessin…

Ce questionnement est souvent explicite: formulation d’une question, mais peut être à la charge de celui qui résout le problème.

Il faut construire un chemin pour parvenir à une solution.

Les notions et les outils en font la spécificité du problème mathématique…

Les caractéristiques des problèmes mathématiques:

L’énoncé écrit d’un problème utilise à la fois des écrits narratifs, informatifs et prescriptifs :

Pb1: A la fin d’une partie de cartes, Mario et Théo se partagent les 24 cartes qu’ils ont gagnées. Mario en prend 13 et donnent les autres à Théo.« Ce n’est pas juste! » dit Théo.

Pourquoi?

Dans une lecture narrative, il faut imaginer, se représenter l’histoire racontée dans l’énoncé, en faisant appel à son vécu ou à ses connaissances.

Pb2: M. Dupré achète un cartable à 24 €, un livre à 10€ et un classeur à 5€. Combien dépense-t-il?

Dans une lecture informative, il faut chercher les informations et les organiser.

Pb3:

La lecture prescriptive nécessite de déterminer le problème posé, de sélectionner les informations et de les traiter à partir de la consigne donnée.

La partie injonctive de l’énoncé correspond à la consigne à exécuter.

La consigne peut être un ordre: la tâche attendue est explicite; des verbes d’action sont utilisés à l’impératif.

La consigne peut être une question: la tâche attendue est implicite.

Calcule le prix des 2 cahiers.

Trace un cercle de rayon 5cm.

Peut-il acheter les 2 livres? Pourquoi?

- Lire l’énoncé et lui donner du sens.

- Avoir une représentation sémantique globale correcte du problème.

- Disposer et utiliser convenablement les notions et les outils mathématiques.

- Réaliser le passage entre les informations et les notions ou outils grâce à des reformulations orales et écrites diverses (récit oral de « l’histoire » du problème, des dessins, des schémas, des écritures mathématiques, des opérations…)

Donc résoudre un problème c’est…

Dans quel but ?

- Pour introduire ou approfondir des notions nouvelles

- Pour vérifier les acquisitions

- Pour chercher

Varier les domaines … … et les formes d’énoncés :

Numérique,

Géométrique,

Logique.

- Forme écrite: textes, images, dessins, tableaux, graphiques,

- Forme orale

Quels problèmes proposer ?

Jade a acheté une balle de 3€, un livre de 4€ et un collier. Elle a payé 12€. Combien coûte le collier?

La typologie des problèmes :

TYPE FONCTION PLACE

La situation problème

(pour apprendre)

Construction d’une connaissance nouvelle

En début de situation d’apprentissage ou de séance

Le problème d’application

(pour apprendre)

Entraînement à la maîtrise du sens d’une connaissance nouvelle

Après la construction d’une connaissance

Le problème de réinvestissement

(pour apprendre)

Utilisation d’une connaissance dans un contexte différent de celui dans lequel on l’a découverte

Pour enrichir le sens d’une connaissance et son champ d’application

Le problème complexe ou d’intégration

(pour apprendre)

Utilisation conjointe de plusieurs connaissances

Après un travail sur diverses connaissances

Le problème ouvert

(pour chercher)

Apprendre à chercher

Indépendant des apprentissages notionnels

Dorian a gardé toutes les bougies

de ses gâteaux d’anniversaire.

Depuis son premier anniversaire

jusqu’à aujourd’hui, il a soixante-

six bougies.

Quel est l’âge de Dorian ?

Rallye maths CE Cantal

Les compétences sollicitées :

1 – Les compétences de maîtrise de la langue orale et écrite :

- Savoir distinguer un énoncé de problème d’un autre type d’écrit.

- Savoir identifier le contexte relatif à l’énoncé: de quoi s’agit-il?

- Savoir rechercher des informations dans l’énoncé et répondre à des questions posées sur l’énoncé.

- Savoir distinguer des informations utiles et inutiles pour une question donnée ou pour la totalité du problème. fin de cycle 2

- Savoir associer diverses informations présentées sur des supports différents (images, tableaux, dessins, textes..) fin de cycle 2

- Savoir rédiger la réponse à la question posée.

2 - Les compétences mathématiques :

- Savoir choisir les bons outils (de calcul, de tracé..)

- Savoir mener à bien les calculs.

- Savoir déduire de nouvelles informations à partir d’informations présentes.

- Savoir rédiger la solution du problème.

- Comprendre qu’un problème a une ou plusieurs solutions.

- Comprendre que la démarche de résolution de problème n’est pas unique.

3 - Les compétences transversales :

- Savoir se concentrer assez longtemps: réfléchir, échanger, changer de point de vue.

- Savoir expliquer ce qu’on a fait, communiquer sa démarche.

- Savoir se représenter la situation, ne pas oublier ce qu’on cherche.

- Savoir s’organiser et gérer des données.

On comprend mieux la représentation des élèves sur ce qu’est un problème :

Les différents niveaux de résolution :

Exemple d’un problème de multiplication:

Un pépiniériste a planté 10 rangées de 4 peupliers.

Combien a-t-il planté de peupliers?

1er niveau: l’élève « mime » l’énoncé soit :

- en utilisant ses doigts si la quantité recherchée le lui permet,

- en utilisant du matériel,

- soit en dessinant

2ème niveau: l’élève utilise des procédures intermédiaires : addition réitérée

4+4+4+4+4+4+4+4+4+4=40

3ème niveau: l’élève utilise la procédure experte (il reconnait immédiatement l’opération pertinente)

4x10=40

La démarche de résolution de problèmes :

Appropriation de l’énoncé :-Se représenter l’histoire-Traiter l’information-Rechercher la question

Phase de recherche :-Tâtonnements: essais/erreurs-Recherche d’une solution, par écrit

Mise en commun/Confrontation :-Explicitation des procédures-Argumentation/débat

Synthèse et institutionnalisation :-Validation des procédures pertinentes-Institutionnalisation des propriétés découvertes

Phase individuelle

Phase individuelle ou en groupes

Phase collective

Phase collective

Quelques difficultés rencontrées par les élèves :

Le lexique :

Expl: Alan, Bruno et Clara se partagent équitablement un paquet de 19 bonbons.

Combien de bonbons aura chaque enfant ?

Des informations inutiles :

Expl: Un boulanger a fabriqué 32 croissants. A 10 heures du matin, il en a déjà vendu 28.

Combien de croissants y a-t’il encore dans la boulangerie ?

L’accumulation d’informations :

Expl: Le mercredi matin, l’émission de télévision préférée de Léa commence à 8h15. Elle dure 20 min. Léa a un cours de danse 10 min après la fin de l’émission.

A quelle heure son émission de télévision se termine-t-elle?

A quelle heure son cours de danse commence-t-il ?

La grandeur des données :

Expl: Une école a besoin de 86 cahiers. Le libraire vend les cahiers par paquets de 20.

Combien de paquets l’école doit-elle commander ?

Comment aider les élèves ?

Pour dédramatiser cette application et donner à l’ensemble de la classe des outils autres que les techniques opératoires.

Prendre conscience que maîtriser les opérations ne permet pas uniquement à résoudre un problème.

- Le cas particulier des problèmes pour chercher:

• Pas de problème de lexique.

• Énoncé généralement court.

• Pas de réponse immédiate possible: passage par la manipulation, la représentation.

• Démarche: appropriation individuelle, recherche en groupe et mise en commun.

• Le problème à chercher a avant tout des objectifs méthodologiques.

Expl1: Le marchand de glaces a 4 parfums: citron, vanille, fraise, pomme.

Trouve tous les cornets de glace à 3 boules qu’il peut réaliser.

Expl 2: J’ouvre mon livre. En ajoutant les numéros de 2 pages que je vois, je trouve 17.

A quelles pages ai-je ouvert mon livre?

- Le cas des problèmes pour apprendre:

Travailler la forme écrite de l’énoncé: le champ sémantique, le lexique, les informations, les données…

Mais aussi la forme orale: penser aux petits problèmes oraux qui requièrent attention, sélection d’informations.

Expl 3: Qui suis-je?

J’ai trois chiffres.

Mon chiffre des centaines est le plus petit nombre impair.

Mon chiffre des dizaines est nul.

Mon chiffre des unités est la moitié du nombre des dizaines.

Des outils et liens disponibles:

- Maths en mots CE1 – CE2 - Jean-Luc BREGEON – BORDAS

- Aider les élèves en difficultés en mathématiques CP/CE1 – Catherine BERDONNEAU – HACHETTE Education - Tomes 1 et 2

- Activités numériques à la Maternelle – Alain DESCAVES, Sylvie VIGNAUD – HACHETTE Education

- Les liens de Pernoux en maths incontournables: http://dpernoux.free.fr/DP081000.htm- Liste de liens en maths pour enseignants et élèves: http://stepfan.free.fr/dos/ElemMaths.htm- Exercices en ligne pour élèves: http://championmath.free.fr/index.html- Liste de liens en maths à l’Académie de Dijon pour enseignants et élèves: http://ia89.ac-dijon.fr/tice89/index.php/2006/09/17/39-mathematiques- Jean Louis Sigrist : Site très complet pour les élèves comme pour les enseignantshttp://www.jlsigrist.com- Site de formateurs: http://peysseri.club.fr/index.htm

- Le rallye maths Cantal:

http://www3.ac-clermont.fr/ien-aurillac2/spip.php?rubrique19