La méthode de Newton-Raphson appliquée àla résolution de...

La méthode de Newton-Raphson appliquée à la résolution de systèmes d’équations linéaires ou du second degré

La mLa mLa mLa mééééthode de Newton thode de Newton thode de Newton thode de Newton –––– RaphsonRaphsonRaphsonRaphson

� Algorithme utilisé pour résoudre des systèmes d’équations non linéaires, qui consiste à construire, à partir de valeurs approchées de la solution, une suite convergente vers une solution.

� Dans le plan, les itérés successifs sont donnés par :

−=+ )(')(

1

0

k

kkk xf

xfxx

fixéx

GGGGéééénnnnééééralisation de la mralisation de la mralisation de la mralisation de la mééééthode thode thode thode au cas multidimensionnel:au cas multidimensionnel:au cas multidimensionnel:au cas multidimensionnel:

� Considérant un vecteur X IRⁿ, une fonction

F : IRⁿ→IRⁿ continuement dérivable, on cherche àrésoudre le système F(X)=0.

� Les itérés successifs obtenus par la méthode de Newton-Raphson sont donnés par :

[ ]

−= −+

1

1

0

)(')( kkkk XFXFXX

fixéX

∈

Convergence de lConvergence de lConvergence de lConvergence de l’’’’algorithmealgorithmealgorithmealgorithme

� La méthode de Newton-Raphson multidimensionnelle a une convergence quadratique locale, comme sa version unidimensionnelle.

Les contraintes gLes contraintes gLes contraintes gLes contraintes gééééomomomoméééétriques:triques:triques:triques:Distance entre 2 pointsDistance entre 2 pointsDistance entre 2 pointsDistance entre 2 points

On cherche à placer un point Xi (xi,yi) à une distance d d’un point A(xa,ya). On veut donc :

Pour des raisons de commodité évidentes, on résoudra ici l’équation

dyyxx aiai =−+− 22 )()(

0)()( 222 =−−+− dyyxx aiai

Les contraintes gLes contraintes gLes contraintes gLes contraintes gééééomomomoméééétriques:triques:triques:triques:Distance dDistance dDistance dDistance d’’’’un point un point un point un point àààà une droiteune droiteune droiteune droite

On cherche à placer un point Xi (xi,yi) à une distance d d’une droite D d’équation cartésienne ax+by+c=0. On veut donc :

Et on résoudra :

²² ba

cbyaxd ii

+++

=

0²²²

²²²

2²²

2²

²²²

²²2

²²²

² =−+

++

++

++

++

++

dba

cy

ba

bcx

ba

acy

ba

byx

ba

abx

ba

aiiiiii

Les contraintes gLes contraintes gLes contraintes gLes contraintes gééééomomomoméééétriques:triques:triques:triques:Point appartenant Point appartenant Point appartenant Point appartenant àààà un cercleun cercleun cercleun cercle

On cherche à placer un point Xi (xi,yi) sur un cercle C de centre A(xa,ya) et de rayon r. On veut donc :

Et on résoudraryyxx aiai =−+− 22 )()(

0)()( 222 =−−+− ryyxx aiai

Les contraintes gLes contraintes gLes contraintes gLes contraintes gééééomomomoméééétriques:triques:triques:triques:Point appartenant Point appartenant Point appartenant Point appartenant àààà une droiteune droiteune droiteune droite

On cherche à placer un point Xi (xi,yi) sur une droite D d’équation cartésienne ax+by+c=0. On veut donc :

0=++ cbyax ii

Les contraintes gLes contraintes gLes contraintes gLes contraintes gééééomomomoméééétriques:triques:triques:triques:Point milieu dPoint milieu dPoint milieu dPoint milieu d’’’’un segmentun segmentun segmentun segment

On cherche à placer un point Xi (xi,yi) au milieu du segment reliant A(xa,ya) et B(xb,yb). On a alors deux équations à résoudre :

Et2

bai

xxx

+=

2ba

i

yyy

+=

Mise en place du problMise en place du problMise en place du problMise en place du problèèèème:me:me:me:dimensionsdimensionsdimensionsdimensions

� Saisie du nombre de pointsnombre de pointsnombre de pointsnombre de points n à placer dans le plan.

� Saisie du nombre k de contraintesnombre k de contraintesnombre k de contraintesnombre k de contraintes à rentrer. Si il est inconnu, on considérera que k vaut 2n, qui est le nombre de contraintes maximal.

Mise en place du problMise en place du problMise en place du problMise en place du problèèèème:me:me:me:

CrCrCrCrééééation du vecteur des inconnuesation du vecteur des inconnuesation du vecteur des inconnuesation du vecteur des inconnues

� X IRn

X=

∈

n

n

y

x

y

x

y

x

M

2

2

1

1

Mise en place du problMise en place du problMise en place du problMise en place du problèèèème: me: me: me: CrCrCrCrééééation de la matrice des coefficientsation de la matrice des coefficientsation de la matrice des coefficientsation de la matrice des coefficients

� Matrice à 3 dimensions A, composée de k matrices carrées Ak, de taille 2n+1

� Chacune contiendra les coefficients coefficients coefficients coefficients (initialement nuls) d’une équation, obtenus par interprétation d’une contrainte saisie par l’utilisateur

++++

+

+

k

nn

k

n

k

n

k

n

kk

k

n

kk

aaa

aaa

aaa

12,122,121,12

12,22,21,2

12,12,11,1

L

MMM

L

L

▪Les ai,i sont les coefficients des termes xi²

▪ Les ai,j sont les coefficients des termes xixj.

▪Les ai,2n+1 sont les coefficients des termes xi.

▪ a2n+1,2n+1 est le terme constant

Mise en place du problMise en place du problMise en place du problMise en place du problèèèème: me: me: me: CrCrCrCrééééation du vecteur F(X)ation du vecteur F(X)ation du vecteur F(X)ation du vecteur F(X)

� F IRn, qui contiendra l’évaluation en X de la fonctionfonctionfonctionfonction IRⁿ→IRⁿ que l’on cherchera à annuler :

F=

� Chaque coordonnée est calculée par la formule :

∈

)(

)(

)(

2

2

1

Xf

Xf

Xf

n

M

12,12

2

1

12,

2

1

2

)( ++

=

+

= =

++= ∑∑∑ nn

n

i

iniji

n

i

n

ij

ijk axaxxaXf

Mise en place du problMise en place du problMise en place du problMise en place du problèèèème: me: me: me: CrCrCrCrééééation de la matrice jacobienne Fation de la matrice jacobienne Fation de la matrice jacobienne Fation de la matrice jacobienne F’’’’(X)(X)(X)(X)

� F1 matrice carrée de taille 2n

� Chaque terme est calculé par la formule :

n

nnn

n

n

x

Xdf

x

Xdf

x

Xdf

x

Xdf

x

Xdf

x

Xdf

x

Xdf

x

Xdf

x

Xdf

2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

1

2

2

1

2

1

1

1

)()()(

)()()(

)()()(

L

M

L

L

=1F

12,

2

1

2)( +

≠=

++= ∑ nl

n

lii

ililll

l

k axaxaXdx

df

Mise en place du problMise en place du problMise en place du problMise en place du problèèèème:me:me:me:

saisie de valeurs initialessaisie de valeurs initialessaisie de valeurs initialessaisie de valeurs initiales

� La saisie de valeurs approchées de la solution est recommandée pour la convergence de l’algorithme

� Les valeurs sont assignées dans X.

Saisie des contraintesSaisie des contraintesSaisie des contraintesSaisie des contraintes

� A chaque ième contrainte ajoutée, on attribue aux termes de Ai correspondants leurs valeurs dans l’équation obtenue.

Saisie des contraintes:Saisie des contraintes:Saisie des contraintes:Saisie des contraintes:Distance Distance Distance Distance àààà un pointun pointun pointun point

� 1ère possibilité:� Fixer la distance d entre 2 points Xi1 et Xi2 à placer.

� Equation :

� Coefficients

1

2

2

1

122,122

112,122

122,112

112,112

=−=−=

=

−−

−−

−−

−−

ii

ii

ii

ii

a

a

a

a

0²2²²2² 2

22221212122122112112 =−+−++− −−−− dxxxxxxxx iiiiiiii

²

1

2

2

1

12,12

22,22

12,22

22,12

12,12

da

a

a

a

a

nn

ii

ii

ii

ii

−==

−=−=

=

++

Saisie des contraintes:Saisie des contraintes:Saisie des contraintes:Saisie des contraintes:Distance Distance Distance Distance àààà un pointun pointun pointun point

� 2ème possibilité� Fixer la distance d entre un point Xi1 à placer et un nouveau point

B(abs,ord) à définir.

� Equation :

� Coefficients :

0².2²².2² 2

1212112112 =−+−++− −− dordxordxabsxabsx iiii

²²²

2

1

2

1

12,12

12,12

12,12

12,112

112,112

dordabsa

orda

a

absa

a

nn

ni

ii

ni

ii

−+=−=

=−=

=

++

+

+−

−−

Saisie des contraintes:Saisie des contraintes:Saisie des contraintes:Saisie des contraintes:Distance Distance Distance Distance àààà une droiteune droiteune droiteune droite

� Saisie de la distance d et des coefficients de l’équation cartésienne de la droite ax+by+c=0� Equation :

� Coefficients :

0²²²

²²²

2²²

2²

²²²

²²2

²²²

²212221212 =−

++

++

++

++

++

+ −−− dba

cx

ba

bcx

ba

acx

ba

bxx

ba

abx

ba

aiiiiii

²²2

²²2

²²²

12,2

2,12

12,12

ba

aba

ba

aba

ba

aa

ii

ii

ii

+=

+=

+=

−

−

−−

²²²²

2²²

2²²

²

12,12

2,2

2,12

2,2

dcaba

bca

ba

aca

ba

ba

nn

ni

ni

ii

−=+

=

+=

+=

++

−

Saisie des contraintes: Saisie des contraintes: Saisie des contraintes: Saisie des contraintes: Appartenance Appartenance Appartenance Appartenance àààà un cercleun cercleun cercleun cercle

� Saisie des coordonnées (abs,ord) du centre et du rayon r du cercle sur lequel placer le point Xi.� Equation :

� Coefficients :

0²².2²².2² 221212 =−+−++− −− rordxordxabsxabsx iiii

²²²

2

1

2

1

12,12

12,2

2,2

12,12

12,12

rordabsa

orda

a

absa

a

nn

ni

ii

ni

ii

−+=−=

=−=

=

++

+

+−

−−

Saisie des contraintes: Saisie des contraintes: Saisie des contraintes: Saisie des contraintes: Appartenance Appartenance Appartenance Appartenance àààà une droiteune droiteune droiteune droite

� Saisie des coefficients (a,b,c) de l’équation cartésienne de la droite � Equation :

� Coefficients :

012112 =++− cbxax ii

ca

ba

aa

nn

ni

ni

===

++

+

+−

12,12

12,12

12,112

Saisie des contraintes: Saisie des contraintes: Saisie des contraintes: Saisie des contraintes: Point milieu dPoint milieu dPoint milieu dPoint milieu d’’’’un segmentun segmentun segmentun segment

� 1ère possibilité� Placer le point Xi au milieu du segment reliant deux autres points Xi1

et Xi2 à placer.

� Equations:

puis

� Coefficients

puis

2121

1

12,122

12,112

12,12

=

=

−=

+−

+−

+−

ni

ni

ni

a

a

a

02 12

122112 =−+−

−−i

ii xxx 0

2 22212 =−+

iii x

xx

2121

1

12,22

12,12

12,2

=

=

−=

+

+

+

ni

ni

ni

a

a

a


� 2ème possibilité:

� Placer le point Xi au milieu du segment reliant un autre point Xi1 à placer et un nouveau point B(abs,ord) à définir.

� Equations :

puis

� Coefficients :

puis

2

21

1

12,12

12,112

12,12

absa

a

a

nn

ni

ni

−=

−=

=

++

+−

+−

02 12

112 =−+−

−i

i xabsx 0

2 22 =−+

ii x

ordx

2

21

1

12,12

12,12

12,2

orda

a

a

nn

ni

ni

−=

−=

=

++

+

+


� 3ème possibilité� Placer son point Xi au milieu de 2 nouveaux points B1(abs1,ord1) et B2(abs2,ord2) à définir.

� Equations

puis

� Coefficients

puis

221

1

12,12

12,12

absabsa

a

nn

ni

+−=

=

++

+−

02

2112 =+

−ixabsabs

02

212 =+

ixordord

221

1

12,12

12,2

ordorda

a

nn

ni

+−=

=

++

+

Calcul du nouvel itéré :Formule

� Une fois que l’utilisateur a fini de saisir ses contraintes, on a rempli nos matrices F et F1.

� On peut calculer le premier itéré:

On a pour cela besoin d’inverser F1.

[ ] 1

0001 )(')( −−= XFXFXX

Calcul du nouvel itéré :Pseudo-inverse

� Permet de pallier aux problèmes de systèmes sous-contraints, ou non libres.

� Décomposition en valeurs singulières

� La matrice unitaire V contient un ensemble de vecteurs de base orthonormés pour M, dits « d'entrée » ou « d'analyse »

� La matrice unitaire U contient un ensemble de vecteurs de base orthonormés pour M, dits « de sortie »

� La matrice diagonale D contient les valeurs singulières de la matrice M.

� La pseudo inverse est alors donnée par :

VUDF t=1

UVDF t11 −+ =

SolutionSolutionSolutionSolution

� Réitération du procédé tant que la condition d’arrêt (norme de F nulle) n’est pas satisfaite : on recalcule F et F1 avec les nouvelles valeurs de X, on inverse F1, on calcule le nouvel itéré.

� En fin de programme, on affiche les coordonnées trouvées pour résoudre le problème de contraintes géométriques posé.

Exemple 1Exemple 1Exemple 1Exemple 1

� A à distance 2 de la droite y=x

� B sur le cercle de centre A et de rayon 3

� distance entre B et C=2


� A sur le cercle de centre (0,0) de rayon 1

� A sur la droite d'équation y=x+1

� distance entre A et B=2

� B milieu de [C;D]

� C sur la droite d'équation y=x

� D sur la droite d'équation y=-x

� distance entre C et E=3

� distance entre E et P(0,4)=1


� A sur la droite d'équation x-y-1=0

� B milieu du segment [(0,0),(1,1)]

� C appartient au cercle de rayon 2 et de centre point 2

� D milieu du segment [B;C]

� A a une distance de 1.5 de D

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