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La lecture des ondes de coup de blier sur le trac de Bergeron,

Reading of water hammer waves on a Bergeron diagram P A R A. SCHLAG

P R O F E S S E U R A L ' U N I V E R S I T D E H G E , D I R E C T E U R 1HJ L A B O R A T O I R E I ) ' H Y D I A U M Q U E G E N E R A L E

Dans une conduite soumise au phnomne du coup de blier, l'pure de Bergeron permet de dterminer les tats pression-dbit, en autant de sections de la conduite et en autant d'instants qu'on le dsire. Elle permet aussi de connatre tes ondes d'Alliui F et f exprimant tes variations conjointes de dbit et de pression d e p u i s l ' o r i g i n e d u p h n o m n e .

En fait, le phnomne du coup de blier con-siste en une succession d'ondes qui parcourent la conduite, en se croisant et se rflchissant plus ou moins compltement aux points singuliers : extrmits, changements de section, nuds... Plutt qu' des ondes se superposant l ' t a t i n i t i a l , on a affaire des ondes, front plus ou moins raide, qui modifient l'tat existant i m m d i a t e m e n t a v a n t l e u r p a s s a g e .

// est montr que ces ondes peuvent tre lues sur l'pure de Bergeron. Leur considration conduit l'tablissement d'un tableau trs re-prsentatif du phnomne; elle permet aussi le calcul, souvent ais, de tous les t a t s succes-sifs dans les diverses sections de la conduite.

Jn a pipe subjected to the phenomenon of water hammer, the Bergeron diagram allows the dtermination of the pressure-ftow con-ditions in as many sections of the pipe and at any instant desired. One can also dtermine the llievi wave F and f, expressing the twin variations of flow and pressure f r o m t h e l i m e t h e p h e n o m e n o n h e g i n s . In fact, the phenomenon of water hammer consists of a succession of waves which traverse the pipe, passing and reftecting each other more or less entirely, between given points i.e. the ends of the pipe, changes in section, branches, etc. Rather than waves superimposing themselves f r o m t h e s t a r t , we have a System of waves, more or less sieep fronted, which modifu the state c x i s t i n g i m m e d i a t e l y aheac l . It is shown that thse waves may be plotted on a Bergeron diagram. Their considration leads to the establishment of a chari which truely represents the phenomenon and also makes the subsquent calcula lion of ail the successive s h i t e s in the varions sections of the pipe easy.

La so lu t ion des p r o b l m e s de coup de bl ier d a n s les condu i t e s es t base su r les q u a t i o n s c lass iques d 'Allievi :

et :

(c 0 c) = F ( / - - ^L)f(t+ JL) (2)

D a n s ces qua t i ons , F et f sont deux ondes de p r e s s i o n qu i p a r c o u r e n t la c o n d u i t e avec des vi tesses gales ci, et (g/a) F et (g/a) / , d e u x ondes de vi tesse qu i a c c o m p a g n e n t ces ondes de p ress ion .

D a n s son r e m a r q u a b l e ouv rage : Du coup de blier en hydraulique au coup de foudre en

lectricit, Lou i s B E R G E R O N nonce c o m m e sui t les lois ex p r imes p a r les f o rmu le s d'Allievi :

1 E n u n t e m p s et u n lieu q u e l c o n q u e s le long d ' u n e condu i t e , la v a r i a t i o n de p r e s s i o n depuis Vorigine du phnomne es t gale la s o m m e de d e u x ondes de p r e s s ion F et / qu i s'y c ro i sen t cet i n s t a n t ;

2 S i m u l t a n m e n t , la diffrence F f de ces deux ondes est gale a/g fois la va r i a t i on de la v i tesse ce t e m p s et en ce l ieu depuis Vorigine du phnomne.

(C'est n o u s qu i sou l ignons les m o t s d e p u i s l 'or igine du p h n o m n e .)

*

La rso lu t ion d i rec te des q u a t i o n s d'Allievi est assez souven t longue et pa r fo i s difficile.

Article published by SHF and available at http://www.shf-lhb.org or http://dx.doi.org/10.1051/lhb/1957006

N " SPCIAL A / 1 0 5 7 A. S C H L A G

Mais, Lou i s B E R G E R O N a dveloppe et m i s au po in t u n e m t h o d e g r a p h i q u e de r so lu t ion ac -t ue l l emen t b ien c o n n u e de tous les h y d r a u l i -c iens .

D a n s la p r face l ' ouvrage de B E R G E R O N , M. E . G. B A R I L L O N , m e m b r e de l ' Ins t i tu t , cr i t : De t o u t ce q u i se lit s u r le be rge ron , le lec-t eu r d u p r s e n t v o l u m e se r e n d r a c o m p t e ; il p e u t t r e a s s u r que d a n s ces voyages t r a v e r s les c o n d u i t e s h y d r a u l i q u e s ou les r s e a u x lec-t r iques , d a n s lesque ls Louis B E R G E R O N le guide pas p a s et lui m o n t r e les m o i n d r e s p a r t i c u l a -r i ts , i l a p p r e n d r a b e a u c o u p , et q u e s'il es t d j p r p a r p a r la l ec tu re d 'ouvrages t r a i t a n t la q u e s t i o n p a r des m t h o d e s p u r e m e n t m a t h m a -t iques , il a u r a le p la i s i r de r e c o n n a t r e au p a s -sage des p h n o m n e s qu i , j u s q u ' a l o r s , n e lui ta ien t p a s a p p a r u s d a n s t ou t e leur c la r t .

Le b u t de la p r s e n t e no te est de m o n t r e r u n de ces a spec t s qu i , n o t r e conna i s s ance tou t au m o i n s , n ' a p a s encore t s ignal .

O n sa i t que , p o u r le t rac du bergeron , on r e m p l a c e , d a n s l ' qua t ion (2) les vi tesses c p a r les db i t s Q. Les q u a t i o n s (1) et (2) dev iennen t a insi :

H Hn F t + f{t+ J L (4) et :

(Qo Q) a f *

\

^ ( 5 ) a

S t a n t la su r face de la sect ion t r ansve r sa l e de la c o n d u i t e .

Le t r ac p e u t d o n n e r 1' tat (press ion, dbi t) p o u r tou tes les sect ions et lous les i n s -tan t s q u e l 'on ds i r e (*).

C o m m e l 'a m o n t r B E R G E R O N (fig. 9 d e son ou-vrage) , il p e r m e t auss i de c o n n a t r e la g r a n d e u r des deux o n d e s de p ress ion en u n heu et en

(*) N o u s a d o p t o n s l e s n o t a t i o n s H e t Q p o u r l e s t a t s e t 7i et q p o u r les p r e s s i o n s e t d b i t s t r a n s -p o r t s p a r l e s o n d e s .

u n t e m p s q u e l c o n q u e s o le r g i m e est c o n n u . Si A>t es t le p o i n t r e p r s e n t a t i f de Y tat d a n s la sect ion A l ' i n s t an t t, les ondes de p r e s s ion , d a n s cet te sect ion, et cet i n s t a n t , son t r e p r -sen tes s u r le be rge ron , p a r la moi t i des lon-g u e u r s m a r q u e s 2 F et 2 / (fig. 1) (**).

R e m a r q u o n s qu ' i l s 'agi t b ien , c o m m e B E R G E -RON l ' i nd ique l u i - m m e , d ' ondes a y a n t p r o v o q u u n e va r i a t i on de p r e s s i o n depuis l'origine du phnomne.

Les ondes c o r r e s p o n d a n t e s de dbi t son t r e -p r sen t e s p a r la moi t i des l o n g u e u r s :

2 . . F et 2 . S^-.f a a

Bien e n t e n d u , il s 'agit e n c o r e d 'ondes a y a n t p rovoqu u n e va r i a t i on de dbi t depuis l'origine du phnomne.

L ' image du p h n o m n e , ddu i t e d i r e c t e m e n t des q u a t i o n s d 'Allievi , le r e p r s e n t e d o n c c o m m e d la supe rpos i t i on Vtat initial., des d e u x ondes F et / de p ress ion , a c c o m p a g n e s des d e u x ondes de dbi t (gS/a) F et (gS/a) f.

Nous p e n s o n s q u ' u n e r e p r s e n t a t i o n p l u s fi-dle et p lus p a r l a n t e cons i s t e ra i t cons id re r q u e c h a q u e ta t d a n s u n e sect ion q u e l c o n q u e r su l t e de l'tat immdiatement prcdent d a n s la m m e sect ion, modifi p a r le pa s sage , l ' a r r i -ve ou r m i s s i o n d ' u n e ou p l u s i e u r s o n d e s con-jo in te s de p r e s s ion et de dbi t , c i r c u l a n t d a n s c h a q u e t r o n o n c a r a c t r i s t i q u e u n i q u e .

Aux ondes [ F , (gS/a) F ] et [f,(gS/a)f], su-perposes l'tat initial,, n o u s p r o p o s o n s de subs -t i tuer , p o u r c h a q u e in te rva l le de t e m p s , u n e ou p lu s i eu r s ondes se superposant Vtat At p o u r d o n n e r l ' ta t i m m d i a t e m e n t su ivan t t'

L'expos de n o t r e concep t ion est p l u s s imp le d a n s le cas d ' u n e p e r t u r b a t i o n de c a r a c t r e i n s -t a n t a n , e n t r a n a n t d a n s les d iverses sec t ions de la condu i te des va r i a t i ons brusques d ' ta t . N o u s n o u s p l ace rons d ' abord d a n s cet te h y p o t h s e .

Nous a u r o n s , p a r exemple , d a n s u n e sect ion q u e l c o n q u e o la p ress ion l 'or ig ine ta i t H 0 la success ion des p re s s ions r e p r s e n t e f igure 2,

F I G . 2

(**) B e r g e r o n c r i t (p . 15) q u e ce n ' e s t l q u ' u n e c u r i o s i t s a n s i n t r t p o u r l a r s o l u t i o n d e s p r o b l m e s q u i se p o s e n t .

298 LA H O U I L L E B L A N C H E N SPCIAL A/1957

Selon la concep t ion c lass ique , la p r e s s i o n est gale la p r e s s ion l 'or ig ine H 0 a u g m e n t e de la s o m m e a lgb r ique (F + f) des p r e s s i o n s des ondes d 'All ievi .

Nous p r o p o s o n s de cons id re r q u e la p r e s -s ion H* r s u l t e de la p r e s s i o n e x i s t a n t l ' ins -t a n t p r c d e n t H t _ l 5 a u g m e n t e de l ' onde (ou de la s o m m e de d e u x ondes ) de p r e s s i o n h.

E n n o u s r e p o r t a n t la l igu re 1, n o u s voyons a i s m e n t q u e l 'onde [F , (gS/a) F ] p e u t t re r e -p r s e n t e p a r le vec t eu r A O . a et l 'onde [ A ( # S / a ) f] p a r le vec teur a. At.

Cons id rons m a i n t e n a n t d e u x t a t s conscu-t ifs d a n s u n e m m e sec t ion (fig. 3) Af et Af .

F I G . 3

Les ondes d 'Allievi (depu is le d b u t d u p h n o -mne ) son t r ep r sen t e s r e s p e c t i v e m e n t p a r les t r acs vector ie ls A O . a . A f et A O . a ' . A f .

P o u r pa s se r de l ' ta t Af l ' ta t i m m d i a t e -m e n t s u i v a n t Af, on voit q u ' o n p e u t su iv re le t r ac vector ie l dess in en t r a i t for t Af . fc .Af .

Les v e c t e u r s At.b et fc.Af r e p r s e n t e n t p r -c i smen t r e s p e c t i v e m e n t les ondes inc iden te et rflchie q u e n o u s p r o p o s o n s de cons id re r . Ces vec teu r s son t souven t dess ins p r i o r i su r le be rge ron .

Ces o n d e s s e r o n t v i d e m m e n t soumises , en ce qu i conce rne le coefficient a n g u l a i r e des vec-t e u r s q u i les r e p r s e n t e n t , la m m e rgle de s igne q u e les ondes [F , (g$/a)F] et [/, (gS/a)f] : coefficient a n g u l a i r e ngat i f p o u r l 'onde [ F , (gS/a) F ] qu i r e m o n t e la c o n d u i t e et coeffi-c ient a n g u l a i r e posit if p o u r f o n d e [/"> ( # S / a ) / ] qu i descend la condu i t e .

Ce coefficient a n g u l a i r e est =t gS/a. P o s o n s , p o u r la facil i t de l ' c r i tu re , gS/a a.

Nous c r i rons donc :

pour une onde remontant la conduite : h a q

pour une onde descendant la conduite : h = -f-

a g

Si les p o i n t s At et At' s ' a l igna ien t s u r u n e d i -rec t ion 4 ~ ou a, ce la s ignif ierai t q u ' u n e seule o n d e se ra i t env i sager .

*

P o u r m i e u x i l l u s t r e r n o t r e concep t ion , n o u s avons t r a i t le d b u t d u p h n o m n e d u coup de b l ie r d a n s le cas s imp le s u i v a n t :

Condu i t e cons t i t ue de d e u x t r o n o n s AB et BC, longs r e s p e c t i v e m e n t de 100 et 180 m, de sec t ions 0,1 et 0,2 m 2 et p o s s d a n t des clr i ts respec t ives de 1.000 et 900 m / s . Si le t r o n o n AB est a ins i p a r c o u r u p a r l 'onde en u n t e m p s h/x

20,00 -354,24 F I G . 4

N SPCIAL A/1957

q u e n o u s p r e n o n s c o m m e u n i t de t e m p s , le t r o n o n BC se r a p a r c o u r u en u n t e m p s gal 2 un i t s .

Condi t ions in i t i a les : p r e s s ion H 0 = 200 m ; dbit Q 0 = 200 1/s.

Coup de bl ier cr p a r la f e r m e t u r e com-plte et i n s t a n t a n e de l ' ex t rmi t C. On ne t i en t pas c o m p t e d u f r o t t e m e n t .

Les d ivers tats on t t relevs su r le berge-r o n et r e p o r t s la figure 4 sous la fo rme con-vent ionne l le H / Q (*). O n c o n s t a t e r a que , a ins i que cela es t c o n n u , en u n po in t que l conque , ces ta ts v a r i e n t d ' u n e faon d i scon t inue .

Les d ive r s t a t s son t spars p a r des dro i tes obl iques qu i r e p r s e n t e n t les ondes que n o u s p roposons d ' env i sager et qu i c i r cu len t chaque instant d a n s la c o n d u i t e ; n o u s avons i n d i q u leurs v a l e u r s . Il n e s 'agit donc p a s des ondes [F, (gS/a) F ] et [fAgS/a)f]) exp r imes depuis l 'or igine d u p h n o m n e . Si n o u s ds ignons p a r H ' / Q ' et H " / Q " d e u x t a t s conscutifs d a n s u n e m m e sect ion, ce son t ces ondes qu i font pas se r H ' H " et Q ' Q".

P a r exemple , l ' ta t de la sect ion b, au mi l ieu de BC, a v a n t le t e m p s 4, est :

126 ,59 / 7 5 , 8 9 ;

au t e m p s 4, il y a r r i ve d e u x ondes :

48,05/104,67 et 1 2 6 , 5 9 / 275,89.

P a r c o n s q u e n t , l ' ta t du po in t b ap rs 4 de-vient :

H = 126,59 48,05 126,59 = 48,05

Q = 75,89 + 104,67 275,89 = 247,11

De cet te concep t ion p h y s i q u e du p h n o m n e du coup de blier , on p e u t ddu i r e u n e m t h o d e de calcul e x t r m e m e n t s imple et don t le m -can i sme est , p e n s o n s - n o u s , t r s intui t i f .

Cas g n r a l

S u p p o s o n s q u ' u n e ex t r mi t d ' u n t r o n o n caractrist iques u n i q u e , existe ob l iga to i rement une loi 9 (Q, H, f) = 0 r e l i a n t le dbi t et la p re s -sion et qu ' i l y a r r i ve u n e onde inc iden te h%/qit Cette o n d e se rf lchit t o t a l e m e n t ou par t ie l le -m e n t en u n e onde rflchie hr/qr.

P o u r l ' onde i n c i d e n t e :

h; = a q; (1)

(*) H e x p r i m e n m t r e s e t Q e n 1/s .

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et p o u r l ' onde rflchie :

hr = zp oc qr (2) p u i s q u e ces d e u x ondes c i r cu l en t e n sens i n -verses .

L ' ta t , qu i ta i t Qt/B.t a v a n t l ' a r r ive d e l ' onde z et sa rflexion, dev ien t a p r s ;

Q t + i / H f + 1 . L ' t a t (t -f- 1) doi t sa t i s fa i re a u x q u a t i o n s

su ivan te s :

3 0 0 LA H O U I L L E B L A N C H E N SPCIAL A/1957

C) Q passe brusquement de Q t Q t + i * Le p r o b l m e se pose u n peu d i f f remment . On

conna t H^, et Q * + i . Il n ' y a p a s d 'onde inc i -den te , m a i s il y a miss ion d ' u n e onde , q u e n o u s c o n t i n u e r o n s conven t ionne l f emen t appe le r rflchie hr/Qr avec hr = DT a g r .

Nous p o u r r o n s cr i re :

Q * + l = Q* +

N SPCIAL A/1957 A, S C H L A G 301

gn ra t r i ce du coup de bl ier ta i l i n s t a n t a n e . Si elle ta i t p rogress ive , il f a u d r a i t la cons i -

d re r c o m m e cons t i tue d ' u n e success ion de pe -tites manoeuvres i n s t a n t a n e s . Il y a u r a i t cha-que i n s t a n t miss ion , c i rcu la t ion , rflexion, e tc . de pe t i t e s ondes , r e m p l a a n t les modif ica t ions c o n t i n u e s rel les de p re s s ion et de dbi t .

Conc lus ion

La concep t ion d u p h n o m n e d u coup de bl ier que n o u s avons expose ici r su l t e directement du t r a c de B E R G E R O N . N O U S p e n s o n s que tou t en n ' e n t a n t p a s diffrente en p r inc ipe , elle cor-r e s p o n d de p l u s p rs la ra l i t p h y s i q u e que celle o l 'on fai t i n t e r v e n i r des ondes a y a n t p r o -voqu des v a r i a t i o n s de p re s s ion et de dbi t d e p u i s l ' o r ig ine d u p h n o m n e .

N o u s en avons ddu i t : Un t a b l e a u de r e p r s e n t a t i o n t rs in tu i t i f du

p h n o m n e (fig, 4 ) ; Une m t h o d e de calcul , souven t s imple et

auss i exac te qu ' on le ds i re , des ta t s

success i fs d ' a u t a n t de sec t ions q u e l 'on veut , a ins i que des ondes q u i c i r c u l e n t d a n s la c o n d u i t e ou le r seau .

Nous ne p r t e n d r o n s p a s q u e ce t te m t h o d e soit s u p r i e u r e celle i m a g i n e p a r B E R G E R O N . Celle-ci possde d e s a v a n t a g e s b ien c o n n u s : s impl ic i t et a u t o m a t i s m e d ' app l i ca t ion q u i p e r -m e t t e n t d 'en confier l ' excut ion un d e s s i n a -t e u r so igneux, facil i t g a l e m e n t de r e p r e r u n e e r r e u r ventue l le , e tc .

Nous p e n s o n s c e p e n d a n t q u e n o t r e m t h o d e n ' e s t p a s d p o u r v u e d ' i n t r t . E l l e p o u r r a i t m m e pa r fo i s r c l a m e r son tou r , en sa faveur , c e r t a in s avan t ages , p a r exemple , si l 'on ds i r a i t cons id re r u n a m o r t i s s e m e n t de l 'onde a u c o u r s de son t r a j e t . Il suffirai t a lo r s d a n s le ca lcu l de t en i r c o m p t e q u e l ' onde mise u n e ex t r -mi t d ' u n t r o n o n de condu i t e , a r r i ve l ' a u t r e ex t r mi t , affecte d u coefficient d ' a m o r t i s s e -m e n t convenab le . I l n e s 'agi t pa s , b i en e n t e n d u , d ' u n e pe r t e de p re s s ion p a r f r o t t e m e n t h y d r a u -l ique, m a i s d ' un vr i tab le a m o r t i s s e m e n t tel q u e celui que sub i s sen t les ondes de choc se t r a n s -m e t t a n t d a n s les co rps sol ides .

D I S C U S S I O N

Prsident : M . R E M E N I E R A S

M. le P r s i d e n t r e m e r c i e M. S C H L A O e t s o u l i g n e l ' i n t -r t d i d a c t i q u e d e s a n o u v e l l e i n t e r p r t a t i o n de l a c l b r e m t h o d e g r a p h i q u e ; i l s o u h a i t e q u e l e s i n g n i e u r s d e s h u r e a u x d ' t u d e s u t i l i s e n t d a n s d i v e r s cas t y p e s l a m t h o d e d e M. B E R G E R O N s u i v a n t l e p r o c d d e M. S C H L A G e t n o u s f a s s e n t c o n n a t r e , l a l u m i r e d e l e u r e x p r i e n c e l e s a v a n t a g e s e t i n c o n v n i e n t s q u ' e l l e p r s e n t e e n p r a t i q u e p a r r a p p o r t a u x m o d e s d ' e m p l o i u s u e l s .

M. l e P r s i d e n t s a i t t o u t pax* t i cu l i r emen t g r M. S C H L A G d ' a v o i r a d o p t u n e s u g g e s t i o n f a i t e e n s o n t e m p s p a r M. l e P r s i d e n t B A R R I L L O N e t s u i v a n t l a -q u e l l e , en h o m m a g e s o n m i n e n t i n v e n t e u r , on d e v r a i t a p p e l e r l ' p u r e q u i v o u s o c c u p e u n berge-ron , t o u t c o m m e e n s t a t i q u e g r a p h i q u e l ' on d i t u n c r e m o n a e t n o n u n e p u r e d e C r e m o n a .

D e v a n t l e s r e m a r q u e s f o r t i n t r e s s a n t e s d e M. S C H L A G q u i l ' o n t c o n d u i t u n m o d e d e c a l c u l i n d i t , M. P a u l B E R G E R O N v o u d r a i t e s s a y e r d e m o n t r e r s o m m a i r e m e n t les d i f f r e n c e s q u i , s o n a v i s , e x i s t e n t e n t r e l e s m o j ' e n s p r o p o s s p a r MM. A L L I E V I , S C H L A G e t L . B E R -G E R O N p o u r l a s o l u t i o n d u m m e p r o b l m e .

C o n s i d r o n s le ca s s i m p l e d ' u n e f e r m e t u r e p r o g r e s -s ive d e l o i q u e l c o n q u e s u r u n e c o n d u i t e g r a v i t a i r e . R a i s o n n o n s s u r l ' p u r e t r a c e p a r l a m U i o d e g r a -p h i q u e q u i p e r m e t d e m e t t r e en v i d e n c e c h a c u n e d e s t r o i s i n t e r p r t a t i o n s :

1 E n c o n s i d r a n t l e s o n d e s d e p u i s l ' o r i g i n e ( i n t e r -p r t a t i o n A l l i e v i ) , l ' t a t a u p o i n t At,* r s u l t e d e la s u p e r p o s i t i o n l ' t a t o r i g i n e A (lu, qo) d e d e u x o n d e s q u i se c r o i s e n t , s o i t F t , - q u i r e m o n t e le c o u r a n t , et fi+2 q u i l e d e s c e n d . C h a c u n e d e ces o n d e s d e p r e s s i o n est l i e u n e v a r i a t i o n d e d b i t t e l l e q u e l ' o n d e / < + 2

p e u t t r e r e p r s e n t e p a r l e v e c t e u r A M e t l ' o n d e Fus p a r le v e c t e u r M Aus .

2 M. S C H L A G d f in i t l ' t a t en A t t 2 c o m m e r s u l t a n t d e l a s u p e r p o s i t i o n l ' t a t e x i s t a n t n o n p l u s e n A 0 , m a i s e n A

302 LA H O U I L L E B L A N C H E N SPCIAL A/1957

m o u v e m e n t , a p p a r a t b e a u c o u p p l u s i n t u i t i v e q u e l e s d e u x i n t e r p r t a t i o n s p r c d e n t e s .

Ce q u i p r o u v e q u e l a n o t i o n d ' i n t u i t i o n e s t t o u t f a i t r e l a t i v e .

A n o t e r q u e , c o m m e p o u r l ' i n t e r p r t a t i o n d e M . S C H L A G , l a m t h o d e g r a p h i q u e d t e r m i n e p o i n t a p r s p o i n t les v a r i a t i o n s h e t A q e t n o n h ho et q go.

L ' i n t e r p r t a t i o n d e M . S C H L A G p e r m e t d e s u i v r e l e p h -n o m n e p a r l e c a l c u l d ' u n e m a n i r e b e a u c o u p p l u s s i m p l e e t p e u t - t r e p l u s p a r l a n t e q u e p a r l a d t e r m i n a t i o n s u c -c e s s i v e d e s o n d e s F i e t fu II s e m b l e m m e q u ' e l l e s o i t s e u l e j u s q u ' i c i r e n d r e u t i l i s a b l e l e c a l c u l l a m a i n s a n s q u ' o n s o i t r e b u t l ' a v a n c e .

P e u t - t r e p o u r r a i t - e l l e a u s s i f a c i l i t e r l ' e x c u t i o n d e s c a l c u l s p a r l e s m a c h i n e s c a l c u l e r , b i e n q u e s u r ce p o i n t n o u s n ' a y o n s p a s d ' o p i n i o n e t q u ' i l s e r a i t i n t r e s s a n t d e p r e n d r e l ' a v i s , p a r e x e m p l e d e M M . D U B I N e t G U N E A U q u i o n t d j u t i l i s l e s m a c h i n e s p o u r l a r s o l u t i o n d e s p r o -b l m e s r e l a t i f s l ' a r r t d e s p o m p e s s u r r s e r v o i r s a i r . P a r c o n t r e , c o m m e l e f a i t d ' a i l l e u r s r e m a r q u e r M . S C H L A G , e l l e p r s e n t e l e s i n c o n v n i e n t s i n h r e n t s t o u t e s l e s m -t h o d e s a l g b r i q u e s :

I m p o s s i b i l i t d e p o u r s u i v r e l e s c a l c u l s l o r s q u e l e s l o i s f (q h t) = 0 a u x e x t r m i t s d e s t r o n o n s n e p e u v e n t p l u s t r e e x p r i m e s p a r u n e q u a t i o n (cas r e l a t i v e -m e n t f r q u e n t en h y d r a u l i q u e ) ;

P o s s i b i l i t d ' e r r e u r s t o u j o u r s a c c r u e s ; e t n o u s a j o u t e r o n s d a n s l e ca s a c t u e l , q u e l a m t h o d e a l g b r i q u e n e p e r m e t p a s l ' a v a n t a g e o b t e n u p a r l a m -t h o d e g r a p h i q u e d e p o u v o i r , a v e c d e l ' e x p r i e n c e vi-d e m m e n t , s u i v r e l ' e n s e m b l e d u p h n o m n e p a r l a s i m p l e o b s e r v a t i o n d e l ' p u r e a c h e v e .

C o n t r a i r e m e n t l ' a v i s m i s p a r M . A L L T E V I d a n s sa c o r r e s p o n d a n c e a v e c M . L . B E R G E R O N , l ' p u r e t e r m i n e c o n s t i t u e u n v r i t a b l e b a s r e l i e f o t o u t e s l e s fluc-t u a t i o n s d e s t a t s a v e c l e u r s c a u s e s e t l e u r s c o n s -q u e n c e s se p r s e n t e n t s i m u l t a n m e n t a u r e g a r d .

M . S C H L A G e s t e n p r i n c i p e d ' a c c o r d a v e c l e s o b s e r v a -t i o n s p r s e n t e s p a r M . B E R G E R O N e t n o t a m m e n t , a v e c l a f a o n d o n t i l c a r a c t r i s e l e s m t h o d e s d e r s o l u t i o n d ' A L L i E v i , d e L. B E R G E R O N e t l a s i e n n e .

I l c r o i t c e p e n d a n t n c e s s a i r e d e s o u l i g n e r q u e , d a n s

sa m t h o d e , i l n ' e s t p a s q u e s t i o n d ' o b s e r v a t e u r s c i r c u -l a n t d a n s l a c o n d u i t e a v e c l a v i t e s s e a. I l n ' y a a l o r s p a s l i e u d e m a r q u e r B l e p o i n t d e r e n c o n t r e d e s v e c -t e u r s r e p r s e n t a t i f s d e s o n d e s i n c i d e n t e e t r f l ch i e , c a r , e n p r i n c i p e , ce p o i n t n ' a r i e n v o i r a v e c ce q u i se p a s s e d a n s u n e a u t r e s e c t i o n q u e A. A l ' i n s t a n t i + 2, a r r i v e en A u n e o n d e i n c i d e n t e connue ( c ' es t l ' o n d e r f l ch ie d ' u n e a u t r e s e c t i o n s i t u e e n a m o n t , e t u n i n s t a n t a n t r i e u r et p a r l l a s i t u a t i o n l ' i n s t a n t i + 2 e s t r e l i e a u p a s s ) . I l p e u t d o n c d e s s i n e r s o n v e c t e u r r e p r s e n t a t i f , q u i e s t , s u r l a f i gu re d e M . P . B E R -G E R O N , m a r q u Ai Bui, m a i s q u ' i l p r f r e r a i t m a r q u e r p a r e x e m p l e : AiX. D e x, i l m n e u n e d r o i t e c a r a c t -r i s t i q u e d e coe f f i c i en t a n g u l a i r e n g a t i f , q u i l u i d o n n e A i+2 son i n t e r s e c t i o n a v e c l a c o u r b e d ' e x t r m i t l ' i n s t a n t z + 2. C e t t e c o n s t r u c t i o n n ' e s t q u e l a r s o l u -t i o n g r a p h i q u e d u s y s t m e d ' q u a t i o n s q u ' i l a c r i t e s a u p a r a g r a p h e Cas g n r a l e t o n ' i n t e r v i e n n e n t c o m m e d o n n e s , q u e l ' t a t Ai e t l ' o n d e a r r i v a n t e n A au t e m p s i + 2 e t , c o m m e i n c o n n u e s , l ' t a t Ai+a e t l ' o n d e r f l ch ie e n A a u t e m p s i + 2 d o n c r i e n q u e d e s l m e n t s r e l a t i f s l a s e c t i o n A.

Le p o i n t q u ' i l m a r q u e x n ' e s t d o n c e n r i e n r e p r -s e n t a t i f d e l ' t a t d a n s u n e s e c t i o n q u e l c o n q u e u n i n s t a n t q u e l c o n q u e ; c ' e s t u n i q u e m e n t u n p o i n t d e c o n s -t r u c t i o n , m a i s e n f a i t , i l c o n c i d e s o u v e n t a v e c l e p o i n t f i g u r a t i f d ' u n t a t t e l q u e Bi+i.

D ' a u t r e p a r t , l a c o n s t r u c t i o n q u ' i l a e s q u i s s e p l u s h a u t , m o n t r e q u ' a u b e s o i n , s a m t h o d e p o u r r a i t a u s s i s ' a p p l i q u e r a u ca s o l a l o i d ' e x t r m i t e s t d o n n e p a r u n e c o u r b e e t n o n p a r u n e q u a t i o n ; b i e n e n t e n d u , l a m t h o d e d e v i e n t a l o r s g r a p h i q u e e t s a n s d o u t e , p e u t - o n p e n s e r q u ' e l l e p e r d u n e p a r t i e d e s o n i n t r t .

M . S C H L A G t i e n t e n c o r e p r c i s e r q u e son, i n t e n t i o n , e n f a i s a n t s a c o m m u n i c a t i o n , n ' t a i t p a s t e l l e m e n t de p r s e n t e r u n e n o u v e l l e m t h o d e de, c a l c u l , m a i s p l u t t d e m o n t r e r le p h n o m n e d u c o u p d e b l i e r s o u s u n a n g l e s o u s l e q u e l o n n e l e c o n s i d r e p a s s o u v e n t . C 'es l e n t u d i a n t l e b e r g e r o n q u ' i l e s t a r r i v c e t t e c o n c e p -t i o n e t i l c r o i t q u e c ' e s t l u n e p r e u v e s u p p l m e n t a i r e d e l a g r a n d e r i c h e s s e d u m o d e d e r e p r s e n t a t i o n i m a -g i n p a r L . B E R G E R O N .