La gravitation en Astronomie

La gravitationen Astronomie

II - Physique

18/01/2005 Orbite de Mars 2

La gravitation en astronomie

# La Terre

• Masse de la Terre

• Gravité et satellites

• Paléoastronomie

• Le système Terre-Lune

• Marées

# Le système solaire

• Sphéricité des corps célestes

• La connaissance du système solaire

Mesure de la masse du Soleil

Mesure de la masse des planètes

• Gravité à la surface des corps

Gravité et atmosphères planétaires

# Les étoiles

• Sphéricité des corps célestes

• Aplatissement des pôles

• Gravité à la surface des corps

• Binaires et masses des étoiles

• Gravitation et évolution stellaire

• Rotation des étoiles et éjection de masse

• Les trous noirs

# Les galaxies

• La masse de la Galaxie et des galaxies

• Dynamique des galaxie et la masse cachée

• Energie des quasars

• Mirages et lentilles gravitationnelles


La connaissance du système solaire

! Mesure des distances

Le système de Copernic et les lois de Kepler permettent de connaître les distances dans les système solaire de façon relative

• La distance Soleil-Terre étant l’unité de distance.• Application de la 3ème loi de Kepler• Observation des positions des planètes en conjonctions, oppositions et quadrature.

La parallaxe d’un astre du système solaire, est l’angle sous lequel on voit le rayon équatorial du centre de cet objet.

Soleil

Terre

Connaître la distance d’une planète ou du Soleil c’est connaître sa parallaxe.

On observe :• les planètes au plus près (opposition de Mars) ou petites planètes (Eros)• les passages de Mercure et Vénus devant le Soleil

Méthode moderne : échos radar


Par la 3ème loi de Keplera

P

GM MSo l P

3

2 24

( )

! Mesure de la masse du Soleil

Calcul de la Masse du Soleil

Mercure Vénus Terre Mars Jupiter Saturne Uranus Neptune Pluton

demi grand axe 0,387 0,723 1 1,524 5,203 9,555 19,218 30,11 39,439

P sid. (jours) 87,969 224,701 365,256 686,98 4332,589 10759,23 30688,48 60182,29 90469,7

masse (kg) 3,28 1023 4,87 1024 5,97 1024 6,42 1023 1,80 1027 5,69 1026 8,70 1025 1,03 1026 1,53 1022

sans tenir compte de la masse de la planète

Masse calculée

en tenant compte de la masse de la planète

Masse calculée

Fichier excel : tab_pla_masses.xls



P

GM MSo l P

3

2 24

( )




demi grand axe 0,387 0,723 1 1,524 5,203 9,555 19,218 30,11 39,439

P sid. (jours) 87,969 224,701 365,256 686,98 4332,589 10759,23 30688,48 60182,29 90469,7

masse (kg) 3,28 1023 4,87 1024 5,97 1024 6,42 1023 1,80 1027 5,69 1026 8,70 1025 1,03 1026 1,53 1022


Masse calculée 1,989 1030 1,989 1030 1,989 1030 1,989 1030 1,991 1030 2,000 1030 2,000 1030 2,000 1030 1,989 1030


Masse calculée




P

GM MSo l P

3

2 24

( )




demi grand axe 0,387 0,723 1 1,524 5,203 9,555 19,218 30,11 39,439

P sid. (jours) 87,969 224,701 365,256 686,98 4332,589 10759,23 30688,48 60182,29 90469,7

masse (kg) 3,28 1023 4,87 1024 5,97 1024 6,42 1023 1,80 1027 5,69 1026 8,70 1025 1,03 1026 1,53 1022


Masse calculée 1,989 1030 1,989 1030 1,989 1030 1,989 1030 1,991 1030 2,000 1030 2,000 1030 2,000 1030 1,989 1030


Masse calculée 1,989 1030 1,989 1030 1,989 1030 1,989 1030 1,989 1030 1,999 1030 2,000 1030 2,000 1030 1,989 1030



! Mesure de la masse des planètes

• La planète a des satellites : 3ème loi de Kepler

• La masse calculable par les perturbations sur les autres planètes.


Masse de la terre

! Mesure de la masse de la Terre par l’orbite de la lune

mV

aG

M m

a

Va

P

LT L

L

2

2

2

.

a = 384400 km ; G = 6,672 10-11 m3 kg-1 s-2 ; PL = 27,32166 jours

MT = 6,03 1024 kg (valeur réelle 5,98 1024 kg)

Si l’on considère la masse de la Lune petite par rapport à celle de la Terre, la trajectoire de la Lune donne la masse de la Terre.

Première approximation, l’orbite est un cercle

L’accélération de la pesanteur est égale à la force centripète.

Ma

G PTL

4 2 3

2



Masse de la terre

! Remarque

mV

aG

M m

a

Va

P

LT L

L

2

2

2

.

Appliquer les deux lois de la mécanique et dynamique à l’équilibre Terre-Lune :

Revient à écrire la troisième loi de Kepler.

a

P

GM

LT

3

2 24

mV

aG

M m

aLT L

2

2 .

Va

PL

2

• expression de la force centripète

• expression de la force de gravité

On exprime la vitesse en fonction de la période de révolution et du demi grand axe (cas d’orbite circulaire a = R)


! Gravité à la surface des corps

Gravité à la surface des planètes et du Soleil

gG M

R

.2

Avoir la masse et la dimension d’un corps c’est connaître la gravité à la surface :





gG M

R

.2






gG M

R

.2

Pour une étoile- sa température- l’aspect du spectre- le débit de perte de masse


Pour une planète donnée, la gravité influencera- le relief- la stratification des couches- son atmosphère (composition, pression)- la possibilité de vie et le type de vie


! Gravité et atmosphères planétaires

La température d’un gaz est la mesure de son énergie cinétique moyenne

1

2

3

22

1

m v kT

v m T

k

.

v itesse m o y en n e d ' ag ita tio n ; m asse d e la p articu le ; T em p éra tu re ab so lu e

co n stan te d e B o ltzm a n n 1 ,3 8 0 6 6 2 1 0 J. K-2 3

Molécule d’hydrogène à 300 K, v moyen = 1,9 km/s.

Si la vitesse d’évasion est proche de la vitesse d’échappement, les particules s’évaporent.


Gravité et satellites

! Vitesse de satellisation

V

R

G M

R

VG M

R

T

T

T

T

T

2

2

.

.

G = 6,672 10-11 m3 kg-1 s-2 ; RT = 6378 km ; MT = 5,98 1024 kg

! Vitesse d’évasion

1

2

1 1

2

02

2 2

0

m vG M m

rdr G M m

dr

rG M m

rG M m

R

vG M

R

sT S

R

T S

R

T SR

T ST

T

T

T TT

. . . . .

.

Au ras de la surface terrestre, orbite d’équilibre

Pour qu’un objet s’échappe de l’attraction terrestre, il faut que sa vitesse (ou son énergie cinétique) au départ l’amène à l’infini avec une vitesse nulle


Vitesse de satellisation et d’évasion dans le système solaire

VG M

RT

T

.

vG M

RT

T0

2

.


! Satellite dont la période T orbitale est égale à celle de la Terre

Satellite géostationnaire

VR

T

G M

R

R

T

G M

R

RG M T

S T

S

S T

S

ST

2

4

4

2 2

2

2

23

. .

.

.

De la surface de la Terre, le satellite semble fixe.

A quelle distance de la Terre est un satellite géostationnaire ?

En orbite circulaire :


Caractéristique de l'orbite

Rayon de l’orbite : RS = 42245 kmHauteur au-dessus du sol : RS - RT = 42245 - 6378 = 35867 km

Satellite géostationnaire(suite)

Orbite du satellite ISO

r

V

périg

ée

G

Terre

apog

ée

Le cas du satellite ISO (Infrared Space Observatory)

• Lancement non réussi• Orbite géostationnaire mais elliptique.

Comportement du satellite ?

Il faut prendre la période sidérale : 23h56mn, et h = 35789 km


Le système solaire

Sphéricité des corps célestes

Tout corps gazeux ou liquide isolé, par la fluidité même prend la symétrie sphérique sous l’action de la gravité ou des tensions superficielles.

Déformation à la symétrie sphérique :• rotation -> bourrelet équatorial• binarité -> effet de marées

Planète : la solidification se fait à partir d’une forme qui est proche d’une sphère

Déformation de surface par • par impacts• rotation interne de la matière qui reste fluide (dérive des continents).

L’écart à la sphéricité : limité par la stabilité de masses flottant et pesant sur le magmat.

Densité Sial (croûte terrestre solide) : 2,8Manteau (visqueux) : 3,3


Le système solaireSphéricité des corps célestes

La hauteur de la croûte étant limité, la partie émergé ne peut dépasser une certaine hauteur : ~10 km.

Valeur maximum : Q = 60 cal.g-1 pour du quartz.hQ

gm ax

h

h

S

Si on charge la croûte, elles s’enfonce dans le manteau. La poussée d’Archimède équilibre la pesanteur.

Autre limitation : résistance limité à la déformation.

L’affaissement de matière de h transforme de

l’énergie potentielle en chaleur

S h g h énergie potentielle

masse volumique, g gravité, Q chaleur de fusion

h S Qénergie absorbée

Si l’énergie absorbée est plus grande que la chaleur de fusion, la montagne descend.


Hauteur limite de fusion du manteau sous la pression de la masse au-dessus.

Valeur maximum : Q = 60 cal.g-1 pour du quartz.hQ

gm ax

Si l’énergie absorbée est plus grande que la chaleur de fusion, la montagne descend.

g F GM

RP lanète

P

2Pour une masse unité


Sur Terre cela c'est la différence d’altitude entre les sommets les plus élevés et les fosses marines les plus profondes.

Bibliographie : Cahiers Clairaut no 16 page 9.

Gravité à la surface d’une planète.

Cte gravitation G = 6,67420E-11 Masse Soleil 1,9890E+30

Mercure Venus Terre Mars Lune

Masse en M solaire 6023600 408 523,71 332946 3 098 708 27070926

Masse (kg) 3,30201E+23 4,8688E+24 5,9739E+24 6,4188E+23 7,3474E+22

Rayon 2440 6052 6378 3397 1737

g 3,703 8,873 9,801 3,712 1,625

h max. (km) 67,74 28,27 25,59 67,56 154,38

% Rayon planète 2,78 0,47 0,40 1,99 8,89

Fosse + profonde (m) 2500 2000 8850 6000 5600

Sommet + élevé (m) 4600 11000 11520 27000 7500

Pour Mercure et la Lune, le résultat du calcul donne des valeurs irréalistes.


Lune - maximum de hauteur des montagnes : 8000 m.

Pourquoi une telle différence ?

- Mauvaise connaissance de la chaleur de fusion du manteau lunaire.- Modèle un peu simpliste

Pour Mercure et la Lune, le résultat du calcul donne des valeurs irréalistes.


Paléoastronomie

La rotation de la Terre est ralentie à cause des dissipations d’énergie dues aux marées.La paléologie permet de retrouver l’évolution de la durée du jour depuis plusieurs centaines de millions d’années.

La relation parait bien linéaire et l’on extrapole cette variation vers la début de la formation de la Terre

A quelle époque, la force centrifuge due à la rotation de la Terre compensait la gravité ?


! Paléoastronomie (réponses)

V

RG

M

R

equa t

équa t

T

équa t

.

. .

.2

2

Equilibre gravité - force centripète

V équat. = 7,9 km/s

Equation de la droite de variation de la durée du jour :

- point 1 : t = 0, P = 24h- point 2 : t = -475 millions d’années, P = 21h

Equation de la droite : P = a t + P0 a = 6.315 10-3

P0 = 24

t = (P - P0)/a = -3575 millions d’années.

A cette vitesse, la période de rotation vaut : 1h25mn

Période antérieure à la formation de la LuneCette vitesse aurait pu permettre à la Lune de se former par éjection de matière de la Terre.

Mais la vitesse de rotation est irréaliste lors de la formation par accrétion.


Le système Terre-Lune

En réalité très compliqué.Mouvements de la Lune est l’un des plus complexe à analyser.

Le système Terre-Lune est apparemment un système fort simple : deux corps en interaction gravitationnelle.

• Le plan de l’orbite de la Lune n’est pas dans le plan équatorial de la Terre• La Terre possède un bourrelet équatorial• L’attraction solaire est très importante• Les autres planètes sont très perturbatrices


Effets différentiels FA < FB < FC

A est moins attiré que B donc il monte (plus loin)B est plus attiré que C il monte aussi (plus près).

! Marées

Les forces de gravitation exercées par la Lune sur la Terre expliquent les marées

En pleine mer, amplitude 50 cmSur les côtes : effets effet de résonance et d’entonnoir de 3 à 19 m.Sur les continents, amplitude 20 cm.Effet maximal quand la Lune passe au méridien ou est à l’opposé.

Périodicité des maréesCombinaison de

! Rotation de la Terre sur elle-même! Rotation de la Lune autour de la Terre

Quelle période ?


! Périodicité des marées

2

1

T M

2

2 7 3

T M

,

2

2

12

2

2 7 3

2 7 3

2 6 31 0 4

T T

T

M M

M

,

,

,, jo u rs = 2 4 h 5 5 m n

Terre

Lune

Temps écoulé entre deux passages de la Lune au méridien TM

Vitesse de rotation de la Terre :

Vitesse de rotation de la Lune :

La Terre a fait un tour de plus :

.

Temps entre marée haute - marée basse : 6h13mn

Temps entre deux pleine mers : 12h27mn

Valeurs moyennes, la Lune n’ayant pas une rotation uniforme.

Les étoilesBinaires et masses des étoiles

Dans le ciel un couple d'étoiles angulairement proches peuvent être très loin l'une de l'autre, c'est un couple optique

Il existe des systèmes multiples à 3 ou plus d'étoiles (systèmes hiérarchisés)

Au voisinage du Soleil, dans une sphère de 10 pc de rayon, la moitié des étoiles sont des systèmes doubles.

Définition étoiles doubles ou binaires : association permanente de deux étoiles gravitant l’une autour de l’autre sous l’action de leur attraction mutuelle.

Observations :


Pour déterminer l’orbite d’une planète dans le système solaire, il faut définir six éléments :

Eléments des orbites des planètes ou étoiles doubles

! le demi-grand axe a! l’excentricité e! l’inclinaison i! la longitude du noeud ascendant ! l’argument du périhélie et longitude du périhélie ! l’instant de la planète au périhélie


Etoiles doubles (suite)

Les orbites, les périodes de rotation sont fonctions des masses des objets.Les lois de Kepler et centre de gravité s'appliquent :

a1 et a2 : demi-grands axes des orbites autour du centre de gravitéP : période du mouvementG : constante de la gravitation universelle 6,67 10-11 N m2 kg-2

M MG P

a a

a M a M

1 2

2

2 1 23

1 1 2 2

4

( )

a

P

GM MT

TS T

3

2 24

. ( )

a

PT

T

3

21

M MA

PA a a

1 2

3

2

1 2

La 3ème loi de Kepler appliquée à la Terre s'écrit

Avec pour unité de temps : l'année, et unité de distance : l'unité astronomique, la relation devient

masse Terre négligeable devant celle du Soleil

L’observation donne les mouvements relatifs des deux corps, la période P. On déduit A, et la somme des masses. Si a1 et a2 sont mesurés, le rapport des masses est connu, donc les masses individuellement.


Masses mesurées d’étoiles

Relation masse - luminosité

L’influence de la masse sur la structure et la luminosité se traduit par une relation trouvée par l’observation et ensuite expliquée théoriquement:

la relation période - luminosité des étoiles


Gravitation et évolution stellaire

L’évolution des étoiles est conditionnée par les réactions nucléaires qui se passent en son centre.

Celles-ci dépendent entre autre• des conditions de pression et température (masse de l’objet)• de la composition chimique.

La gravité agit par• la masse• tri gravitationnel

Durée de vie des étoiles :• quelques millions d’années pour les plus massives• quelques milliards pour les moins massives


Rotation des étoiles et éjection de masse

La formation des étoiles se fait par la contraction gravitationnelle de nuages de gaz froids qui sont, avant perturbation en équilibre gravitationnel, et ont une quantité de mouvement.

VR

PéquSo l

ro t

2

VG M

R

V

éjecSo l

So l

é jec

4 4 0 1k m . s

La conservation du moment angulaire lors de la formation de l’étoile donne des vitesses de rotation élevées pour certaines étoiles

Rotation du Soleil : période 24,9 j à l’équateur

Vitesse à l’équateur 2 km/s

Si l’étoile tourne très vite, la force centrifuge peur excéder la gravité.

Pour le Soleil

Dans les étoiles chaudes la vitesse est de l’ordre de 200 à 250 km/s

Exemples : étoile Be (B à émission) V > 500 km/s


Les trous noirs

Objets théoriques, phase finale de l’évolution de certains objets. L’évolution par la contraction gravitationnelle qui agit toujours, les a amenés dans un état tel que la masse et le volume atteints donne à l’objet une densité extrêmement élevée.

cG M

R

2.

Dans ces conditions l’action de la masse sur le rayonnement électromagnétique est relativiste et tout photon sera piégé si la masse et le rayon imposent une vitesse de libération plus grande que celle de la lumière.

Application au Soleil

Quelle rayon aurait le Soleil s’il devenait un trou noir ? Densité ? Gravité à la surface ?

M = 1,989 . 1030 kg, G = 6,672 . 10-11 N.m2.kg-2


Rayon et densité ?

RG M

c

dM

R

22 9 5 3

43

1 8 1 0

2

3

1 9 3

.m

, k g . m

g

g

G M

RG M

R

R

RT N

So l

So l

T N l

T N

So l

T N

So l

2

2

2

2

2

21 07 0 0 0 0 0

35 5 1 0,

Vitesse de libération est égale à celle de la lumière :

Gravité à la surface d’un trou noir solaire ?


Au XVIIIème siècle Laplace (1749-1827) et John Mitchell (1724-1793) et avaient imaginé la possibilité de leur existence.

Modèle proposé : étoile ayant la de la densité du Soleil, mais de 500 rayons solaires.

Etait-ce réaliste ? Calcul ?


La vitesse de libération devient :

L’estimation est fort correcte.

M

vG M

R

G M

R

v

= 5 0 0 5 0 0 5 0 0 M = 2 ,5 0 1 0

5 0 0 5 0 0

k m s

S o l3 8

S o l

S o l

2 2 5 0 0

5 0 0

3 0 8 3 2 0 1

. .

Galaxies

La masse de la Galaxie et des galaxies

Le Soleil suit l’ensemble du mouvement de la Galaxie qui est une rotation différentielle.

Situé à 8,5 kpc du centre, le Soleil est entraîné par la rotation de la Galaxie à une vitesse de 220 km/s.

Il y a équilibre gravitationnel avec la force centrifuge due à la rotation et par symétrie sphérique, seule la masse à l’intérieur de ce rayon contribue à son orbite.

Période de rotation du Soleil ?

Masse de la Galaxie ?


! Période de rotation du Soleil dans la Galaxie

P

2 8 5 1 0 0 0 2 0 6 2 6 5 1 5 1 0

2 2 0 1 07 5 1 0 2 4 0 1 0

11

31 5 6 , ,

, s ans

Une période de 240 106 ans est de l’ordre de la périodicité des glaciations.

Période de rotation :

Conséquences possibles

Relation ? Traversée de zones interstellaires plus denses.

Le Soleil “accrête” de la matière, devient plus chaud temporairement, ce qui provoque plus de nébulosité, et un refroidissement temporaire de la surface ?

PR

V

2.


! Rotation du Soleil et masse de la Galaxie

V

R

G M

R

MV R

G

So l

So l So l

So l So l

2

2

2

in t

in t

On applique la relation d’équilibre force centrifuge-gravité

Le Soleil est sur une orbite circulaire stable :

Equilibre rotation - gravité

# Réponse : 1011 masses solaires.

Masse des galaxies

Observation des vitesses de rotation des galaxies par effet Doppler (Vitesses radiales)

Distances des galaxies connues => masse de la galaxie et distribution de masse

Nombres d’étoiles


Dynamique des galaxie et la masse cachée

Les amas de galaxies regroupent quelques dizaines à quelques milliers de galaxies diverses : spirales, elliptiques, naines, irrégulières.L’ensemble est en mouvement sous les effets de la gravité et semble en équilibre : il n’y a

pas collapse vers le centre de gravité du système, ni évasion par éjection.

VG M

r

2

V

G

M

r

v itesse m o y en n e d ' ag ita tio n d es g a lax ies,

co n stan te d e la g rav ita tio n u n iv erse lle ,

m asse to ta le d e l' am as

la d istan ce m o y en n e en tre les g a lax ies

VG M

r

2

2

La condition de stabilité s’exprime par

Si l’amas est stationnaire, configuration et distribution des vitesses est stables, on a le théorème du viriel

Estimation masse des galaxies par la luminosité des étoiles

Masse observée est toujours beaucoup plus faible que la masse calculée par le théorème du viriel .

Recherche :masse cachée (étoiles de faibles masses, gaz neutre),masse non baryonique (monopôles, cordes).


Energie des quasars

Les quasars objets lointains, rayonnent une quantité phénoménale d’énergie.Energie estimée équivalente au rayonnement de 1000 galaxies.

L L L So lq u asar g a lax ie W 1 0 1 0 1 0 1 03 3 1 0 3 9

Où trouver la source ?

Une solution possible est la présence d’un trou noir massif, de 1000 à 10000 masses solaires.

Mais quelle quantité de matière faut-il ingurgiter ?


! Energie et quasar

Soit un quasar de 1000 masses solaires qui attire et absorbe 1 masse m (1 masse solaire) par an

Rayon :

L’énergie récupérée par la chute du corps, est celle du travail de la force de gravitation :

Travail fourni égale l’énergie récupérée transformée en chaleur, donc en rayonnement :

On calcul :

Puissance rayonnée

RG M

cT N

T N k m

2

3 0 0 02

GM m

rT N

2

EG M m

rdr

R

T NT N

2

E G M mdr

rG M m

r

G M m

R

E

2

RR

T N T NT N

T N

T NT N

J

1

8 8 1 0 4 6,

PE

3 6 5 2 4 3 6 0 0

2 8 1 0 3 9, W


Mirages et lentilles gravitationnel

Dès 1704, Newton se pose la question : les corps massifs dévient-ils la lumière ?

La théorie de la relativité générale répond par l’affirmative.Vérification en 1919 par Eddington lors d’une éclipse de SoleilDéviation d'un rayon rasant le Soleil : 1,75 “.

Conséquence : si la masse déviante est presque ponctuelle, on peut avoir deux images : un mirage gravitationnel.

L’objet déflecteur est une lentille gravitationnelle.


! Mirages gravitationnels

Croix d’Einstein

La répartition et la quantité de masse déviante peuvent donner aux images mirages des formes complexes :

• multi-images• arcs de cercles...

Outil puisant pour• étudier les masses et détecter des corps massifs.• évaluer les différences de distances entre les divers chemins : mesurer des distances

cosmologiques.

Bibliographie : Cahiers Clairaut no 18, 3-10.


Gravitation quand tu nous trompe !

La vision du monde n’est-elle pas que mirages ?


Fin

La Gravitationen Astronomie

La gravitation en Astronomie

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