La formule d'coulement, oule problme du bassin qui se vide par gravit

par Marcel Dlze

1. IntroductionQu'il s'agisse d'un bassin, d'un rservoir ou d'une cuve, nous supposons que son contenu liquide s'en chappe par un trou sousl'effet de la gravit.

H

hHtL

H2L

H1L

Sachant qu'un bassin se vide en 100 minutes, combien de temps faut-il pour qu'il se vide de la moiti ?

Ne rpondez pas 50 minutes ! En effet, lorsque le bassin est plein, la pression sur le trou de sortie est grande. Au dbut, lebassin se vide rapidement. Par contre, lorsqu'il est bientt vide, la pression sur le trou de sortie devient faible. Ainsi, vers lafin, le bassin se vide lentement. Dans ces circonstances, il serait aberrant de rsoudre le problme au moyen d'une fonctionaffine.

La dernire tabelle de cet article indique qu'il faut rpondre 29.3 min.

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2. Modlisation du problme d'coulement

Hypothses et notations

Une cuve de hauteur H et de section horizontale S uniforme est initialement pleine. Au temps t = 0, le liquide commence s'couler par gravit par un trou de section s situ au point (2) sur le fond de la cuve. On note h(t) la hauteur du liquide dansla cuve au temps t. Par hypothse, h(0) = H. On suppose que le liquide est incompressible et que sa viscosit est nulle.

Etablissement de l'quation diffrentielle de l'coulement

Avec les notationsp1 = pression au point (1) = pression atmosphrique

p2 = pression au point (2) = pression atmosphrique = p1z1 = altitude du point (1) ; z2 = altitude du point (2) ; h = z1 - z2 = hauteur du liquide l'instant t

v1 = vitesse du liquide au point (1) ; v2 = vitesse du liquide au point (2) ;

l'quation de Bernoulli exprime la conservation de l'nergie le long d'un filet de courant lorsque le liquide n'est pasvisqueux:

p1 + v12

2+ g z1 = p2 +

v22

2+ g z2

On en tire

(1)v12

+ 2 g h = v22

Pour un fluide incompressible, l'quation de continuit exprime la conservation du volume

S v1 = s v2

Tirons v2 de cette dernire quation et substituons dans l'quation (1)

v12

+ 2 g h =S

s

2

v12

D'o

v12

=2 g

I Ss

M2 - 1 h

Posons

q =g

2 KI Ss

M2 - 1O

Ainsi,

v12

= 4 q2 h

v1 = 2 q h

D'autre part,

2 ecoulement.nb

v1 = -dh

dt

Finalement, h(t) satisfait l'quation diffrentielle ordinaire avec condition initiale

dh

dt= - 2 q h et h H0L = H

o q et H sont deux constantes positives.

3. Rsolution de l'quation diffrentielle

3.1 Equation de Bernoulli

L'quation diffrentielle, d'inconnue hHtL,dh

dt= - 2 q h

1

2

est une quation de Bernoulli, car elle est de la forme

dh

dt+ p HtL h = q HtL hn

avec pHtL = 0 et n = 12

. Elle se rsoud en multipliant les deux membres par h-n = h-1

2 =1

h, puis en effectuant le

changement de variable z = h-n+1 = h1

2 .

dh

dth-

1

2 = - 2 q h1

2 h-1

2

(2)h-1

2 dh

dt= - 2 q

dz

dt=dz

dh dh

dt=1

2 h-

1

2 dh

dt

En substituant dans l'quation (2),

2dz

dt= -2 q

dz

dt= -q

On obtient ainsi une quation diffrentielle ordinaire qui est linaire.

3.2 Solution gnrale

En intgrant chaque membre par rapport au temps, on obtient

z = -q t + c o c est une constante d' intgration

h1

2 = -q t + c Hpuisque h 0 et q > 0, il s' ensuit que c > 0Lh = Hc - q tL2

h HtL = Hc - q tL2

ecoulement.nb 3

3.3 Solution particulire

En tenant compte la condition initiale

H = h H0L = Hc - q 0L2 = c2

c = H

Finalement,

h HtL = J H - q tN2

4. Formule indpendante des caractristiques du bassinT = dure de la vidange

h HTL = 0 < > T = Hq

= fraction de la dure de la vidange (ou pourcentage de la dure)

=t

T=

q

H t

= taux de remplissage (ou pourcentage du volume restant dans la cuve)

=h HtLH

=

I H - q tM2

H=

H - q t

H

2

= 1 -q

H t

2

= H1 - L2

On obtient ainsi un rsultat indpendant des caractristiques du bassin

= H1 - L2

Taux de remplissage en fonction de la fraction de la dure

Exemple numrique: une cuve se vide en 100 min. Quel est le taux de remplisage de la cuve aprs 50 min ?Ne rpondez pas 50 % ! La tabelle ci-dessous indique que, aprs 50 min, la cuve est aux trois-quarts vide (taux deremplissage de 25 %).

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Fraction de la dure

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Taux de remplissage

4 ecoulement.nb

% dure % volume

0 100.0

10 81.0

20 64.0

30 49.0

40 36.0

50 25.0

60 16.0

70 9.0

80 4.0

90 1.0

100 0.0

Fraction de la dure en fonction du taux de remplissage

Exemple numrique: une cuve se vide en 100 min. Combien de temps faut-il pour qu'elle soit moiti pleine ?Ne rpondez pas 50 min ! La tabelle ci-dessous indique que la cuve est demi pleine aprs 29.3 min.

= 1 -

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Taux de remplissage

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Fraction de la dure

% volume % dure

100 0.0

90 5.1

80 10.6

70 16.3

60 22.5

50 29.3

40 36.8

30 45.2

20 55.3

10 68.4

0 100.0

ecoulement.nb 5