L4_r1

7/25/2019 L4_r1

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LPHY 1113 B & D, Physique générale 1 - Leçon 4 (Mécanique, Eric Deleersnijder, www.ericd.be) L4.1

Leçon 4: Frottement1. Introduction (Benson 6.1)

• On pose sur une table horizontale un objet de masse m. Si l'objet est au

repos, il est soumis à deux forces, son poids (

mr

g) et la réaction de la tabler

N = mr

g. Ensuite, on tente de le déplacer en appliquant la force horizontaler

F : une force de frottement statique (

r

f ) tend à s'y opposer.

mr

g

r

N

mr

g

r

N

r

F

r

f

Si l'objet est en

mouvement, une force de

frottement cinétique

existe; elle est dirigée

dans le sens opposéà la vitesse.

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• Le frottement gêne le mouvement des objets, cause de l'usure et convertit

de l'énergie cinétique en chaleur. Mais, le frottement a aussi des avantages:

il permet la marche, la circulation ferroviaire/automobile, etc.

• Il existe du frottement solide-solide (exemple ci-dessus), solide-fluide

(mouvement d'un objet dans un fluide), ainsi que des cas intermédiaires(lubrification). La nature des processus physiques générant une force de

frottement est souvent complexe (voir le “Sujet connexe” à la fin du Chp. 6

de Benson). Heureusement, il existe des paramétrisations simples, qui

sont généralement considérées comme satisfaisantes dans nombre de

modèles de mécanique macroscopique.

2. Frottement solide-solide (Benson 6.1)

• On sait qu'il faut une force minimale pour commencer à faire glisser un

objet. Ensuite, pour le maintenir en mouvement à une vitesse constante, il

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faut une force moins grande. C'est pourquoi Euler (1748) fit la distinction

entre frottement statique et frottement cinétique.

• La force de frottement cinétique obéit assez bien aux trois lois

d'Amontons. Cette force est

- proportionnelle à la charge (c-à-d la force normale à la surface decontact);

- indépendante de l'aire (apparente) de contact (!);

- indépendante de la norme de la vitesse.

• On considère un objet au repos en contact avec un autre. La surface de

contact subit une force normaler

N . On applique au corps une forcer

F qui

grandit progressivement. Tant que la force appliquée n'atteint pas μ s

r

N , la

force de frottementr

fs s'adapte pour maintenir l'équilibre statique:r

fs μ s

r

N (1)μ s[ ] =[r

fs ]

[r

N ]=

MLT 2

MLT 2 =1

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où μ s est le coefficient de frottement statique, qui est adimensionnel.

Dès que le corps est en mouvement, la force de frottement vautr

fc = μ c

r

Nr

uv (2)

où μ c est le coefficient de frottement cinétique, qui est adimensionnel; levecteur unitaire

r

uv est parallèle à la vitesse:

r

uv =

r

v

r

v

(3)

La force de frottement est dirigée dans le sens opposé à la vitesser

v (d'où le

signe “-” dans (2)), mais sa norme est indépendante de la vitesse, car le

vecteurr

uv est unitaire (

r

u =1). En général, on a

μ c < μ s (4)

• La valeur des coefficients de frottement statique et cinétique dépend

fortement des matériaux en contact (voir Tableau 6.1 de Benson).

μ c[ ] =

[r

fc ]

[r

N ]=

MLT 2

MLT 2 =1

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• Application: équilibre sur un plan incliné. Un corps de masse m est au

repos sur un plan incliné d'un angle avec l'horizontale. Déterminer le

coefficient de frottement statique.

y

x

r

j

r

i

mr

g

r

N

mr

g

mr

g//

r

fs

mr

g = mgcos r

j

mr

g// =mg sin r

i

plan incliné

coeff. de frottement: s, c

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Le corps est soumis à deux forces, sont poids mr

g et la réaction du plan

inclinér

R. Le corps étant au repos, ces deux forces doivent être en équilibre

(leur somme doit être nulle):

mr

g + r

R = 0 (5)

On décompose le poids en une partie normale au plan incliné ( mr

g) et unepartie parallèle au plan incliné (

mr

g//):

mr

g = mr

g// + mr

g = mgsin r

i

mr

g//

1 24 34

+ (mgcos )r

j

mr

g

1 244 344

(6)

On décompose aussi la réaction du plan incliné en une partie normale ( r

N)

et une partie tangentielle (

r

fs), qui est due au frottement. On ar

R =

r

fs +

r

N = f sr

ir

fs

{

+ N r

jr

N

{

(7)

On substitue (6)-(7) dans (5), ce qui conduit à

(mgsin f s

=0

1 24 34)r

i + (mgcos + N

=0

1 244 344)r

j = 0 (8)

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L'équilibre du poids et de la réaction du plan incliné impose donc

f s = mgsin (9)

N = mgcos (10)

On substitue (9)-(10) dans la formule (1) et on obtient

f s

N =

mgsin

mgcos = tan μ s (11)

Si l'on augmente l'inclinaison (c-à-d augmenter ), l'équilibre reste possible

aussi longtemps que tan μ s. Si tan >μ s, alors l'équilibre n'est pluspossible, et le corps doit glisser. Il existe donc une valeur critique de

l'inclinaison, crit , telle que

tan crit = μ s (12)

Ainsi, il vient

crit = arctanμ s équilibre possible

> crit

= arctanμ s équilibre impossible glissement

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• Détermination expérimentale du coefficient de frottement statique. On

pose un corps sur un plan horizontal et on l'incline très lentement jusqu'aumoment où le corps se met à glisser. L'angle correspondant est l'angle

critique, crit. On utilise alors (12) pour déterminer le coefficient de

frottement statique, c-à-d μ s = tan crit . L'angle critique ne dépend pas de la

masse du corps.

• Application: glissement avec frottement sur un plan incliné. Un corps

de masse m descend un plan incliné d'un angle avec l'horizontale, avec

> crit. Si X (t ) est la coordonnée du corps mesurée dans le sens de la

descente, la vitesse du corps est

r

v(t ) = d

dt

X (t )

=v x (t )

123

r

i (13)

Puisque le corps descend le plan incliné, le vecteur unitaire pointant dans le

sens de la vitesse estr

uv =

r

i .

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Comme dans le cas où le corps est au repos, il est soumis à deux forces, son

poids mr

g et la réaction du plan inclinér

R =

r

fc +

r

N = f cr

ir

fc

{

+ N r

jr

N

{

(14)

La composante tangentielle de la réaction,

r

fc, est la force de frottementcinétique — et non plus la force de frottement statique. La relation (2)

conduit à

f c = μ c N (15)

Le corps restant en contact avec le plan incliné, la résultante des forces

normales au plan doit être nulle; la relation (10) reste donc valable. En

combinant (10) et (15), il vient

f c = μ

cmgcos

(16)On applique maintenant la seconde loi de Newton

md

dt v x (t ) = mgsin

mr

g//•r

i

1 24 34+ (μ cmgcos )

force de friction

1 244 344=mg(tan

>μ s

{μ c )cos = const. (17)

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La force étant constante, le corps subit un mouvement uniformément

accéléré:

v x (t ) = v x,0 + [g(tan μ c )cos ]t (18)

X (t )=

X 0 +

v x,0 t +

[g(tan

μ c )cos ]

a x =const.

1 24 44 34 44

t 2

2 (19)

• Dans des systèmes mécaniques, pour réduire le frottement entre deux

solides (et lutter contre ses conséquences parfois très néfastes comme legrippage), on fait en sorte qu'une mince couche de liquide lubrifiant se

maintienne entre les deux corps. Dans ce cas, il n'y a plus de contact direct

entre les deux solides et la force de frottement est grandement diminuée.

3. Frottement solide-fluide (Benson 6.4)

• Un solide qui se meut dans un fluide subit une force aérodynamique

(due à l'écoulement du fluide autour du corps), que l'on décompose en

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traînée (

r

f D), qui s'oppose au mouvement, et portance (

r

f L), qui est

normale à la vitesse du corps ( r

v ). Ici, on suppose que la masse volumique

du solide est nettement plus grande que celle du fluide: on peut négliger lapoussée d'Archimède.

• La nature des forces aérodynamiques est complexe. Heureusement, onpeut souvent les paramétriser de façon simple:

r

f D = 1

2

C D Ar

v2 r

uv (20)

r

f L = 1

2C L A

r

v2 r

u (21)

où:

r

u est un vecteur unitaire (

r

u

=1) qui est normal à la vitesse

(

r

u •r

v = 0) dont l'orientation dépend de la forme de l'objet et de son

orientation par rapport à l'écoulement;

A est la surface (frontale) de l'objet (que l'on définit selon les

conventions en vigueur dans le domaine concerné);

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est la masse volumique du fluide dans lequel se meut le corps;

C D et C L sont les coefficients de traînée et de portance; ils sontadimensionnels.

C D ,C L[ ] =

r

f D ,r

f L[ ] [ ] A[ ]

r

v[ ]2 =

MLT 2

( ML3) L2( LT 1)2 =

MLT 2

MLT 2 =1 (22)

• Les coefficients de portance et de traînée ne dépendent pas de la masse

de l'objet (car la masse de l'objet n'influence pas l'écoulement du fluideautour de lui), mais dépendent de la vitesse de l'objet, de sa forme et de

son orientation. A haute vitesse, le coefficient de traînée tend à être

constant, tandis qu'à basse vitesse il tend à être inversément proportionnel à

la vitesse. Donc, à basse vitesse, on peut exprimer la traînée comme suit:r

f D = r

vr

uv = r

v (23)[ ]=[r

f D ]

[r

v]=

MLT 2

LT 1= MT 1

voir (3) :r

v

r

uv =

r

v

r

v

r

v

=

r

v

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où le coefficient ne dépend ni de la vitesse, ni de la masse de l'objet

étudié. Par contre, il dépend de sa forme et de son orientation, et de lamasse volumique du fluide dans lequel l'objet de déplace.

• Application: les voitures de compétition sont légères (moindre inertie) et

profilées (moindre traînée). Inconvénient de la légèreté: force normaleappliquée sur la piste faible, donc force de frottement faible, donc peu de

motricité et de “tenue de route” (possibilité de patinage ou dérapage).

Solution: forme qui induit une portance dirigée vers le bas, le “poids

aérodynamique”. Celui-ci se combine au poids réel, mais n'implique pasune augmentation de l'inertie. En d'autres termes, la voiture a une masse ou

une inertie faible, mais un grand poids (apparent) — à grande vitesse.

Enzo Ferrari, fondateur de la firme éponyme,

aurait déclaré: “L'aérodynamique, c'est pour ceux

qui ne savent pas construire un moteur”.On appréciera la pertinence de cette affirmation...

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4. Chute dans un milieu résistant (Benson 6.4)

• On étudie le mouvement à basse vitesse en milieu résistant d'une particule

de masse m. Elle est soumise à deux forces: le poids (=const.) et la traînée

(

r

v). On peut montrer que la trajectoire s'inscrit dans un plan vertical.

r

i

r

k r

r (t )

mr

g = mgr

k

r

v(t )

r

f D = r

v

trajectoire

• Sans perte de généralité, on peut supposer que le plan du mouvement est

celui des vecteurs orthonormés (r

i ,r

k ). Le problème différentiel à résoudre

est le suivant:

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m

d 2

dt 2

r

r (t )=

m

d

dt

r

v(t )=

mg

r

k

r

v(t ) (24)r

r (0)=r

r0 ,r

v(0)=r

v0 (25)

• On pose

=

m

(26)

Ainsi 1 est un temps caractéristique associé à la friction. La solution de

(24)-(25) est

r

v(t ) = e t r

v0 + 1 e t

r

g (27)

r

r (t ) = r

r0 + 1

e t

r

v0 1

t

e t

2

r

g (28)

On se persuade que cette solution est correcte en vérifiant que (27) est la

dérivée de (28), et que (27)-(28) satisfont (24)-(25).

[ ]= [ ][m]

= MT

1

M = T 1

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• Les expressions (27)-(28) semblent très différentes de celles que l'on

obtient en supposant que la traînée est nulle ( = 0) (voir Sections L3.3 etL3.4):

r

v(t ) = r

v0 + t r

g (29)

r

r (t ) = r

r0 + t r

v0 + t 2

2

r

g (30)

Pourtant, dans les premiers instants, les trajectoires se ressemblent (voir

figure ci-dessous).

r

i

r

k

r

r0

r

v0

= 0

(traînée nulle)

= 1

= 2

0 < 1 < 2

Trajectoires obtenues

pour des positions et vitesses

initiales identiques,et différentes valeurs de .

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• Le développement de Taylor de e t est:

e t =

(1)n( t )n

n! =

n=0

1 t + ( t )2

2

( t )3

6 + ... (31)

Pour t << 1, c-à-d t <<1, on peut tronquer (31) en ne conservant que les

premiers termes, ce qui conduit aux approximations illustrées ci-dessous.

e

t

1 t

1

t + ( t )2

2

1 t +( t )2

2

( t )3

6

Les approximationspolynomiales sont d'autantmeilleures que t <<1

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•

On prende t ~ 1 t +

( t )2

2

( t )3

6 , t 0 (32)

On substitue (32) dans (27)-(28) et en se limitant au premier ordre en t , on

aboutit aux expressions asymptotiques suivantes

r

v(t ) ~ (r

v0 + t r

g)

friction nulle( =0)

1 24 34

r

v0 +

t

2

r

g

( t )

correction dueà la friction

1 244 344

, t 0 (33)

r

r(t ) ~r

r0 + t r

v0 +

t 2

2

r

g

friction nulle( =0)

1 244 34 4

t

2

r

v0 +

t 2

6

r

g

( t )

correction dueà la friction

1 244 34 4

, t 0 (34)

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•

A l'exception d'un mouvement de développant dans le vide, la traînée esttoujours présente. On pourrait donc penser qu'ignorer cette force de friction

n'est jamais acceptable. Les relations asymptotiques (33) et (34) montrent

que cela n'est pas le cas:

Il est légitime de négliger la traînée pour autant que l'on se borne àétudier les premiers instants du mouvement, c-à-d 0 t << 1.

En d'autres termes, la solution obtenue en négligeant la friction (c-à-d en

posant = 0) est une bonne approximation de la solution exacte aussi

longtemps que 0 t << 1, d'où l'importance du temps caractéristique 1

• A mesure que t augmente, le mouvement tend vers un mouvement

rectiligne uniforme dirigé vers le bas:r

v = limt

r

v(t ) = limt

e t rv0 +1 e t

r

g

=

r

g

=

m

r

g = mg

r

k (35)

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Ainsi, quelles que soient la position initiale et la vitesse initiale, la friction

va progressivement annuler la vitesse horizontale et le corps tendra à chuterà la vitesse verticale constante

r

v, que l'on appelle vitesse limite. Ce

comportement est très différent de celui obtenu en négligeant

complètement la friction: dans cette hypothèse, la vitesse horizontale reste

constante et la vitesse de chute augmente indéfiniment. Donc, on aboutit à

la conclusion suivante:

Dès que t est du même ordre de grandeur que 1, la solution obtenue

en négligeant la friction devient irréaliste.

• Pour les grandes valeurs du temps, c-à-d t >> 1, la vitesse est

approximativement constante (et égale à la vitesse limite). L'accélération

est donc négligeable. La résultante des forces agissant sur le corps (poids +traînée) est donc à peu près nulle. D'après (24), on a

0 ~ mgr

k r

v r

v ~ mg

r

k =r

v (36)

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Corps

Parachutiste en chute libre

position verticale

position du saut de l’ange

85

55Parachutiste 6,5

Balle de tennis de table 7

Balle de base-ball 40

Balle de golf 30

Balle en fer (2 cm de rayon) 80

Pierre (1 cm de rayon) 30

Goutte de pluie 10

vL m ⁄ s ( )

La traînée et le poids sont alors approximativement en équilibre.

La plupart des mouvements que l'on observe

dans l'air sont caractérisés par une “haute

vitesse”. La traînée est alors une fonctionquadratique de la vitesse — plutôt qu'une

fonction linéaire. Toutefois, le concept de

vitesse limite reste pertinent. Ci-contre,

quelques valeurs typiques de la vitesselimite dans l'air.

• Tous les mouvements (à “basse vitesse” ou à “haute vitesse”) de chute en

milieu résistant tendent vers une chute verticale à la vitesse limite. C'est

pourquoi ce processus fait l'objet de nombreuses études.

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«Violent»

«Naturel»

«Mixte»Avant le XVIème siècle, on pensait que

la “force du canon” influençait le projectilependant la première partie du trajet, avant que le

mouvement naturel l'emporte progressivement,

entraînant alors le projectile vers le bas. Si cette

description/explication est fausse, l'allure

générale de la trajectoire est compatible avec la

présence de friction.

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Points essentiels

1. La force de frottement tend à s'opposer au mouvement relatif de

deux corps.

2. Pour le frottement solide-solide, on distingue le frottement statiqueet le frottement cinétique. La norme de la force de frottement

cinétique est indépendante de la vitesse et est proportionnelle à la

force de contact normale.

3. Pour le frottement solide-fluide, la force de friction que subit le

solide (la traînée) dépend de la vitesse, de la forme et de

l'orientation du corps.

4. La chute d'un corps en milieu résistant tend toujours vers une

situation où la traînée et le poids sont en équilibre. La vitesse

correspondante (vitesse limite) est verticale et de norme constante.

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