l3_meca_examen_2009

Problème aux limites / L3MK

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________________________________________________________________________________________________ l3_meca_examen_2009-6.doc - 1 - Laurent BAILLET /LGIT / UFR Mécanique / UJF Grenoble Dodji Léagnon TOKPAVI

Examen écrit de mars 2009 – DUREE 1h30

Avertissements et conseils

• La présentation, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une

part importante dans l’appréciation de la copie.

• Lisez attentivement le sujet avant de commencer et gérez votre temps !

• Aucune copie ou feuille ne sera prise en compte dès que l’examinateur aura quitté la salle d’examens.

Problème I. Poutre encastrée-cisaillée

Une plaque rectangulaire mince ( xp yp zp, zp ( xp,yp)× × ≪ ) est soumise à un cisaillement en

x=0 et encastrée en x=xp (figure 1). La plaque a un module d’Young E et un coefficient de

Poisson ν. Les forces volumiques sont négligées.

Figure 1. Plaque mince encastrée-cisaillée.

On applique sur le segment AD une force linéique yf t y=� �

(ty est en Nm-1). La force P

équivalente (résultante) appliquée en x=0 est égale à yP t .yp= .

1. Donner l’expression reliant la force P à la contrainte de cisaillement xyσ en x=0.

La fonction d’Airy est donnée par l’expression

( ) 2 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4x,y bxy cy dx ex y fxy gy hx ix y jx y kxy lyΦ = + + + + + + + + + + .

où b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l sont les constantes à déterminer.

2. Trouver en se servant de l’équation de compatibilité la relation liant h, j, l.

x

y

yp

xp

O

B

C D

ty

A


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3. A partir de la valeur de yyσ en yp

y2

= ± , montrer que la fonction d’Airy se réduit à

( ) 2 2 3 3x,y bxy cy fxy gy kxyΦ = + + + + .

4. Calculer les contraintes xx yy xy, ,σ σ σ en fonction des constantes b, c, f, g, k. Quelle est la

valeur de la contrainte zzσ (justifier) ?

5. A partir de l’expression de xyσ , en utilisant les conditions aux limites, montrer que

23k(yp)

f 0, b4

= = − .

6. Justifier que yp

2xxyp

2

.zp dy 0σ+

−=∫ et calculer la valeur de c.

7. A partir de l’expression de la contrainte xxσ et de sa valeur en x=0, montrer que g 0= .

8. En utilisant la question 1. montrer que 3

2Pk

yp .zp= −

9. Donner l’expression finale de la fonction d’Airy et retrouver les expressions des

contraintes 2

2xx yy xy

Pxy P yp, 0, y

I 2I 4σ σ σ

= = = − − où

( )3zp. ypI

12=

10. La méthode des éléments finis permet de résoudre numériquement ce problème de

mécanique (utilisation de RDM6). On supposera que les résultats issus de cette méthode

numérique (figure 2) correspondent à la solution exacte.

10a. Comparer et commenter vos résultats analytiques avec ceux obtenus par la méthode

des éléments finis sur la coupe CC’.

10b. D’où proviennent les différences sur la valeur de la contrainte yyσ ?


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Contraintes xxσ

Contraintes yyσ

Contraintes xyσ

Position de la coupe CC’

Contraintes xxσ suivant CC’

Contraintes yyσ suivant CC’

Contraintes xyσ suivant CC’

Figure 2. Simulation éléments finis. Dimensions de la plaque 5m 4m 0.01m× × ,

E=210000MPa, ν=0.3, ty=10Nm.

C

C’

2.05m

5m


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Problème II. Instabilité de pentes

Considérons un élément carré d’unité (dx = dy = 1 et dz<<(dx, dy) ) exposé aux

contraintes principales 1σ (suivant x) et 3σ (suivant y) appliquées aux côtés de l’élément

(figure 3.). On suppose que l’état de contrainte est plan. On définit un plan dont

l’inclinaison est θ par rapport à l’axe x.

1. Donner l’expression du tenseur des contraintes dans (x, y, z).

2. Calculer les contraintes normale nσ et de cisaillement τ s’exerçant sur le plan en

fonction de θ , 1σ et 3σ .

� 3. Le critère de rupture fragile de Mohr-Coulomb est défini pour

0τ ≥ par n Cτ µσ≤ − + ,

0τ ≤ par n Cτ µσ≥ + − ,

où tanµ φ= ( 0)µ ≥ avec φ l’angle de frottement interne du matériau et C (C 0)≥ la

cohésion.

Il y a rupture lorsqu’un couple ( )n ,σ τ vérifie n Cτ µσ= − + (figure 4).

Les chargements bi-axiaux sont tels que : 1 ( 17.5 A)MPaσ = − − , 3 ( 17.5 A)MPaσ = − +

avec la contrainte A (A 0≥ ) que l’on fait varier de 0 à 25MPa. On impose 0.7µ = . La

fonction n nf( , )τ σ τ µσ= + , les contraintes normale nσ et de cisaillement τ sont

représentées sur les figures 5 en fonction de l’angle [ ]0,θ π∈ .

La contrainte de cohésion du matériau est de 12MPa.

Pour quel chargement (valeurs de 1 3,σ σ , n ,σ τ ) y a-t-il rupture ?

Quel est l’angle de rupture θ ?


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Figure 3. Elément de matière et contraintes appliquées.

Figure 4. Critère de rupture de Mohr-Coulomb.

θ

1σ 1σ

3σ

3σ

n�

t�

nσ τ

x

y

τ

nσ C

-C

n Cτ µσ= − +

n Cτ µσ= + −

3σ 1σ


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(a) Fonction n nf( , )τ σ τ µσ= +

(b) Contrainte normale nσ (MPa)

(c) Contrainte de cisaillement τ (MPa)

Figure 5. Variation de n nf( , )τ σ τ µσ= + , nσ et τ en fonction de l’angle [ ]0,θ π∈ .


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______________________________ CORRECTION ______________________________

Problème I. Poutre encastrée-cisaillée

1. L’expression reliant la force P (>0) à la contrainte de cisaillement xyσ (<0) en x=0 est :

( )yp

2xyyp x 0

2

P .zp dyσ+

=−= −∫ .

2. L’équation de compatibilité ( )4 4 4

4 4 2 2x,y 2

x y x y

Φ Φ Φ∆∆Φ

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂ ∂ donne la relation

3h 3l j 0+ + = .

3. On a 2

2 2yy 2

6dx 2ey 12hx 6ixy 2 jyx

Φσ

∂= = + + + +

∂. Or yy yp

y2

x, 0σ=±

∀ = d’où

d=e=h=i=0 (l=0 question 1/) et la fonction d’Airy se réduit à

( ) 2 2 3 3x,y bxy cy fxy gy kxyΦ = + + + + .

4. Les contraintes xx yy xy, ,σ σ σ en fonction des constantes b, c, f, g, k sont

2

xx 2

2

yy 2

22

xy

2c 2 fx 6gy 6kxyy

0x

b 2 fy 3kyx y

Φσ

Φσ

Φσ

∂ = = + + + ∂ ∂ = = ∂ ∂ = − = − − − ∂ ∂

La plaque étant mince, on peut faire l’hypothèse des contrainte plane où zz 0σ = .

5. A partir de l’expression de xyσ , en utilisant le fait que xy

yp0 y

2σ = = ±en , on trouve

23k(yp)f 0, b

4= = − .

6. L’équilibre suivant x s’écrit yp

2xxyp

2

.zp dy 0σ+

−=∫ . En intégrant l’expression obtenue à la

question 4 on obtient c=0.

7. On a ( )xx x 0, y6gy 6kxy 0 g 0σ

= ∀= + = ⇔ = .

8. On a trouvé que


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( ) ( )yp yp yp 2

2 22 2 2xyyp yp ypx 0x 0

2 2 2 x 0

3k(yp)P .zp dy b 2 fy 3ky .zp dy 3ky .zp dy

4σ

+ + +

==− − −=

= = + + = − + ∫ ∫ ∫

On obtient 3

2Pk

yp .zp= − .

9. La fonction d’Airy est finalement égale à ( ) 3

3

3P 2Px,y xy xy

2.yp.zp yp .zpΦ = − , les

expressions des contraintes sont

2

2xx yy xy

Pxy P yp, 0, y

I 2I 4σ σ σ

= = = − − où

( )3zp. ypI

12=

10. Les paramètres du calculs sont

P=0.4N, xp 5m,yp 4m,zp 0.01m= = = , ( )3 4zp. yp

I 0.053m12

= = , E=210000MPa, ν=0.3,

ty=0.1Nm.

Pour x=2.05m, y=±2 on calcule xx

Pxy

Iσ = =±30.94Pa, xy 0Paσ = .

Pour x=2.05m, y=0 on calcule xx

Pxy

Iσ = =0, xy 15.09Paσ = − .

Problème II. Instabilité de pentes

1. L’expression du tenseur des contraintes dans (x, y, z) est

1

3

0 0

0 0

0 0 0

σ

σ σ

=

2. Le vecteur des contraintes est

1

3

sin

n cos

0

σ θ

σ σ θ

− =

avec

sin

n cos

0

θ

θ

− =

. On en déduit

( )T 2 2n 1 3n n sin cosσ σ σ θ σ θ= = + ,

( ) ( )T

3 1n t sin cosτ σ σ σ θ θ= = − .

� 3. Pour les différents chargements, la contrainte de cisaillement est toujours positive

0τ ≥ . Le critère est alors n nC C 12MPaτ µσ τ µσ≤ − + ⇔ + ≤ = . Sur la figure 5.a, le

chargement à la rupture est obtenu pour 1 337.5MPa, 2.5MPaσ σ= − = + . L’angle en

radians est égale à 0.48 rad.


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**************************************** Pr. Laurent BAILLET - UFR Mécanique - Grenoble Laboratoire LGIT Calcul des contraintes tangentielle et normale agissant sur un plan incliné d un angle teta par rapport à l horizontal. Les contraintes principales sigma3 (S3) et sigma1 (S1) sont appliquées sur les faces horizontales et verticales respectivement d un element carré. Critère de Mohr Coulomb : sigtangent=C+mu.signormal S3 __________ | | S1 | | S1 | | |_________| S3 Mars 2009 **************************************** > restart; Contrainte tangentielle (st) et normale (sn) > sigtangent:=(teta,vmu,sig1,sig3)->(sig3-sig1)*sin(teta)*cos(teta);

:= sigtangent → ( ), , ,teta vmu sig1 sig3 ( ) − sig3 sig1 ( )sin teta ( )cos teta

> signormal:=(teta,vmu,sig1,sig3)->sig1*(sin(teta))^2+sig3*(cos(teta))^2;

:= signormal → ( ), , ,teta vmu sig1 sig3 + sig1 ( )sin teta 2 sig3 ( )cos teta 2

Fonction : st+mu*sn > w:=(teta,vmu,sig1,sig3)->sigtangent(teta,vmu,sig1,sig3)+vmu*signormal(teta,vmu,sig1,sig3);

w ( ), , ,teta vmu sig1 sig3 ( )sigtangent , , ,teta vmu sig1 sig3 → := vmu ( )signormal , , ,teta vmu sig1 sig3 +

Trace de la fonction tau+mu*sigman, contrainte tangentielle, contrainte normale sur un plan incline de teta par rapport a l horizontale > vmu:=0.7;sig1:=-37.5;sig3:=2.5;evalf((sig1+sig3)/2);evalf(Pi/4-arctan(vmu)/2);plot([w(teta,vmu,-17.5,-17.5),w(teta,vmu,-25,-10),w(teta,vmu,-30,-5),w(teta,vmu,-37.5,2.5),w(teta,vmu,-42.5,7.5)],teta=0..Pi/2,legend=["s1=-17.5MPa,s3=-17.5MPa","s1=-25MPa,s3=-10MPa","s1=-30MPa,s3=-5MPa","s1=-37.5MPa,s3=2.5MPa","s1=-42.5MPa,s3=7.5MPa"],title="Fonction tau+mu*signan",colour=black,linestyle=[1,2,3,4,5]);plot([signormal(teta,vmu,-17.5,-17.5),signormal(teta,vmu,-25,-10),signormal(teta,vmu,-30,-5),signormal(teta,vmu,-37.5,2.5),signormal(teta,vmu,-42.5,7.5)],teta=0..Pi/2,legend=["s1=-17.5MPa,s3=-17.5MPa","s1=-25MPa,s3=-10MPa","s1=-30MPa,s3=-5MPa","s1=-37.5MPa,s3=2.5MPa","s1=-42.5MPa,s3=7.5MPa"],title="Contrainte normale",colour=black,linestyle=[1,2,3,4,5]);plot([sigtangent(teta,vmu,-17.5,-17.5),sigtangent(teta,vmu,-25,-10),sigtangent(teta,vmu,-30,-5),sigtangent(teta,vmu,-37.5,2.5),sigtangent(teta,vmu,-42.5,7.5)],teta=0..Pi/2,legend=["s1=-17.5MPa,s3=-17.5MPa","s1=-25MPa,s3=-10MPa","s1=-30MPa,s3=-5MPa","s1=-37.5MPa,s3=2.5MPa","s1=-42.5MPa,s3=7.5MPa"],title="Contrainte tangentielle",colour=black,linestyle=[1,2,3,4,5]); >

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