L2 Parcours Physique Chimie Thermodynamique:...

L2 Parcours Physique ChimieThermodynamique: Transferts thermiques1

Nathalie Daniault

27 avril 2009

1Les deux premiers chapitres sont tirés d’un cours écrit par Charles Fravalo, Professeur (E.R.) de l’Université deBretagne Occidentale. Pour les chapitres suivants, ce cours s’inspire très largement du cours écrit par Yves Jannot,trouvé sur le web à l’adresse suivante http://www.thermique55.com/, du livre “Introduction aux transferts thermiques”de Dominique Marchio et Paul Reboux, cours de l’Ecole des Mines de Paris et du dossier “Transmission de l’énergiethermique” par Alain Degiovanni, Techniques de l’ingénieur, BE 8200.

Table des matières

1 Les potentiels thermodynamiques 51.1 Les fonctions d’état U et H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Energie interne U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Enthalpie H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Les fonctions d’état F et G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.1 L’énergie libre F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2 L’enthalpie libre G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Transformation mathématique de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Application : retour sur les coefficients calorimétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5 Le potentiel chimique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5.2 Définition selon l’enthalpie libre G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5.3 Autres définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5.4 Grandeurs molaires partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5.5 Relation de Gibbs - Duhem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5.6 Calcul de potentiels chimiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6 Equilibre et évolution d’un système thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6.1 Rappel de mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6.2 Cas d’un système isolé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6.3 Transformation monotherme d’un système fermé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.7 Equilibre et évolution d’un système hétérogène fermé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.7.1 Conditions d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.7.2 Evolution d’un système diphasé avec transfert de matière entre les phases . . . . . . . 16

1.8 Variance d’un système : règle de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Changement de phase des corps purs 192.1 Caractéristiques des états de la matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.1 L’état solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.2 L’état fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.3 Autres états . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Définition relatives aux transitions de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3 Description qualitative des transitions de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.1 Palier de température . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3.2 Diagrammes d’équilibre P(T) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4 Étude thermodynamique d’une transition de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4.1 Équilibre d’un corps pur sous deux phases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4.2 Chaleur latente d’une transition de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.4.3 Formule de Clapeyron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5 Étude de l’équilibre liquide-gaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5.1 Les isothermes d’Andrews . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5.2 Point représentatif de l’équilibre liquide-gaz : théorème des moments . . . . . . . . . 27

3

4 TABLE DES MATIÈRES

2.5.3 Chaleur latente de vaporisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.6 Propriétés du point triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Rappels -Définitions - Introduction aux transferts thermiques 313.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2 Définition des grandeurs fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2.1 Température . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2.2 Chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3 Formulation d’un problème de transfert de chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3.1 Bilan d’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3.2 Expression des flux d’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4 Transfert de chaleur par conduction 394.1 L’équation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2 Conduction en régime permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2.2 Notion de résistance thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2.3 Transfert unidirectionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.3 Conduction en régime variable, sans changement d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.3.1 Problème général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.3.2 Nombres sans dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.3.3 Quelques cas d’école . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5 Transfert de chaleur par rayonnement 495.1 Généralités, définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.1.1 nature du rayonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.1.2 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.2 Lois du rayonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.2.1 Loi de Lambert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.2.2 Lois physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.3 Rayonnement mutuel de surfaces opaques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.3.1 Problème général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.3.2 Plans parallèles infinis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6 Transfert de chaleur par convection 576.1 Rappels sur l’analyse dimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6.1.1 Dimensions fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.1.2 Principe de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.1.3 Exemple d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.2 Convection : généralités, définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.2.1 Convection naturelle et forcée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.2.2 Régime d’écoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.3 Expression du flux de chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.3.1 Calcul du flux de chaleur en convection forcée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.3.2 Calcul du flux de chaleur en convection naturelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.4 Introduction à la convection avec changement d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Chapitre 1

Les potentiels thermodynamiques

Dans ce chapitre, on introduit les différents potentiels thermodynamiques ou fonctions thermodynamiquesque l’on utilise selon le type de variables expérimentales accessibles. Ces potentiels thermodynamiques sontdes fonctions d’état extensives. Il s’agit d’énergies exprimées en Joules, à l’exception de l’entropie expriméeen Joule/Kelvin. Quelques exemples d’application de ces fonctions thermodynamiques sont donnés dans cechapitre : obtention des coefficients calorimétriques ainsi que l’équilibre et l’évolution d’un système thermo-dynamique à l’échelle macroscopique. La fin du chapitre est consacrée à l’étude des potentiels chimiques quisont des variables intensives.

1.1 Les fonctions d’état U et H

1.1.1 Energie interne U

Prenons le cas d’un corps pur monophasé constituant un système fermé subissant une transformation réver-sible. L’application des deux principes conduit aux relations

dU = δQ + δW

où δW = −PdV et δQ = TdS soitdU = TdS − PdV

L’état du système est caractérisé par deux variables indépendantes S et V ou variables naturelles de l’énergieinterne U. On dit que le système est divariant (ou bivariant) soit

U = U(S, V )

La différentielle dU étant une différentielle totale exacte, on en déduit les relations

T =(

∂U

∂S

)

Vet P = −

(∂U

∂V

)

S

et(

∂T

∂V

)

S= −

(∂P

∂S

)

V

Cette dernière relation est la relation de Maxwell relative à l’énergie interne. Elle découle de l’égalité deSchwartz associée à la différentielle totale dU.

On peut généraliser les définitions précédentes à un système quelconque n-variant dans lequel une variableintensive extérieure (Xie) est associée à une variable extensive relative au système (Yi). Ces deux variables Xie

et Yi sont conjuguées et l’expression généralisée du travail s’écrit

δW =n−1∑

i=1

XiedYi =n−1∑

i=1

XidYi

5

6 CHAPITRE 1. LES POTENTIELS THERMODYNAMIQUES

car pour une transformation réversible, on a : Xie = Xi

On écrit donc l’énergie interne sous la forme généralisée

dU = TdS +n−1∑

i=1

XidYi

avec U = U(S, Yi)où Yi représente l’ensemble des variables extensives Yi.Dans le cas particulier d’un système di variant (n = 2) soumis aux seules forces extérieures de pression, on

a bien entendu Xi = −P (l’opposée de la pression) et Yi = V .

Exemple énergie interne d’un fil soumis à une force de traction ~Fe = −~Tn . La longueur du fil est Let la tension Tn. Pour un allongement dL du fil, le travail de la force appliquée est appelé travail utile. Il vautδWu = TndL et dU = TdS + TndL

Il s’agit d’un système di variant.

1.1.2 Enthalpie H

On appelle enthapie d’un corps pur monophasé la fonction

H = U + PV

On en déduit la différentielle dH sur un chemin réversible

dH = dU + d(PV )

dH = TdS + V dP

Pour un système divariant, l’enthalpie est fonction des deux variables indépendantes S et P (ou variablesnaturelles de H) soit

H = H(S, P )

on en déduit les relations

T =(

∂H

∂S

)

Pet V =

(∂H

∂P

)

S

et(

∂T

∂P

)

S=

(∂V

∂S

)

P

Cette dernière relation est la relation de Maxwell relative à l’énthalpie.Quant à l’enthalpie généralisée d’un système n-variant, elle s’écrit :

H = U −n−1∑

i=1

XiYi

On calcule alors

dH = δQ + δW −n−1∑

i=1

XidYi −n−1∑

i=1

YidXi

oùδQ = TdS

1.2. LES FONCTIONS D’ÉTAT F ET G 7

et

δW =n−1∑

i=1

XidYi

pour une transformation réversible.On en déduit

dH = TdS −n−1∑

i=1

YidXi

et H s’écrit sous la formeH = H(S, Xi)

Dans le cas du fil de longueur L on a donc

dH = TdS − LdTn

1.2 Les fonctions d’état F et G

1.2.1 L’énergie libre F

On appelle énergie libre ou fonction de Helmholtz, la fonction d’état d’un corps pur monophasé

F = U − TS

La température T du système doit donc être uniforme dans le système et F est une fonction d’état extensiveexprimée en Joule.

Calculons la différentielle totale dF pour un corps pur monophasé constituant un système fermé et subissantune transformation réversible. On a :

dF = dU − TdS − SdT

dF = TdS − PdV − TdS − SdT

dF = −SdT − PdV

On en déduit que les variables naturelles indépendantes de l’énergie libre F sont T et V, d’oùF = F (T, V ) et

S =(

∂F

∂T

)

Vet P =

(∂F

∂V

)

T

et(

∂S

∂V

)

T=

(∂P

∂T

)

V

Cette dernière relation est la relation de Maxwell relative à l’énergie libre.On écrit également l’énergie libre généralisée sous la forme

dF = −SdT +n−1∑

i=1

XidYi

d’oùF = F (T, Yi)

Dans le cas du fil élastique, F se met sous la forme :

dF = −SdT + TndL


1.2.2 L’enthalpie libre G

On appelle enthalpie libre G ou fonction de Gibbs la fonction d’état d’un corps pur monophasé

G = H − TS

G est définie pour un système de température et de pression uniformes. C’est une fonction d’état extensivequi s’exprime en Joule.

Calculons la différentielle dG pour une transformation réversible

dG = dH − TdS − SdT

dG = V dP − SdT

d’où

G = G(T, P )

Les variables naturelles indépendantes de l’enthalpie libre G sont les variables intensives Pet T. On endéduit les trois relations

V =(

∂G

∂T

)

Tet S = −

(∂G

∂T

)

P

et(

∂V

∂T

)

P= −

(∂S

∂P

)

T

Cette dernière relation est la relation de Maxwell relative à l’enthalpie libre.Pour un système n-variant l’enthalpie libre s’écrit sous la forme généralisée

dG = −SdT +n−1∑

i=1

YidXi

d’oùG = G(T, Xi)

Dans le cas du fil élastique, F se met sous la forme :

dG = −SdT − LdTn

1.3 Transformation mathématique de Legendre

On appelle transformation mathématique de Legendre pour un système divariant, une transforma-tion qui permet de changer de fonction thermodynamique, en retranchant à l’énergie interne U(S,Y) lesproduits d’une variable extensive Y par la variable intensive conjuguée X.

La transformation de Legendre a d’autres propriétés intéressantes qui ne seront pas étudiées ici.La différentielle totale dU se mettant sous la forme

d(U −XY ) = TdS + XdY − d(XY ) = TdS − Y dX

On peut prendre deux exemples pour illustrer la définition précédente.

Construction de la fonction enthalpie Dans le cas d’un fluide soumis aux seules forces extérieures de pres-sion, on a X = −P et Y = V . On retrouve alors la définition de la fonction d’état enthalpie

d(U + PV ) = TdS + V dP = dH

1.4. APPLICATION : RETOUR SUR LES COEFFICIENTS CALORIMÉTRIQUES 9

Construction de la fonction enthalpie libre En procédant de même pour les variables S et T, on obtient

d(U −XY − TS) = TdS + XdY − d(XY )− d(TS) = −SdT − Y dX

On retrouve alors l’enthalpie libre dans le cas du fluide précédent (X = -P et Y = V) soit

d(U + PV − TS) = d(H − TS) = −SdT + V dP = dG

La transformation de Legendre peut être généralisée à un système n-variant.

1.4 Application : retour sur les coefficients calorimétriques

Nous redémontrons ici les relations de Clapeyron relatives aux coefficients calorimétriques.Pour une transformation élémentaire réversible, la variation d’entropie s’écrit en fonction de T et de V

dS =δQ

T=

CV

T+

l

TdV

A l’aide de la relation de Maxwell relative à l’énergie libre, on en déduit

l

T=

(∂S

∂V

)

T=

(∂P

∂T

)

V

d’où la relation de Clapeyron pour l

l = T

(∂P

∂T

)

V

En écrivant dS en fonction de T et P soit

dS =δQ

T=

CP

T+

k

TdP

pour une transformation réversible, on a

k

T=

(∂S

∂P

)

T

En comparant avec la relation de Maxwell relative à l’enthalpie libre, on établit immédiatement la relation(

∂S

∂P

)

T= −

(∂V

∂T

)

P

On en déduit la relation de Clapeyron pour k

k = −T

(∂V

∂T

)

P

1.5 Le potentiel chimique

1.5.1 Position du problème

Jusqu’à présent nous avons étudié les systèmes fermés et monophasés où le nombre de moles n étaitconstant. Dans ces conditions, les fonctions thermodynamiques ou potentiels thermodynamiques sont écritsen fonction des variables naturelles et pour un système divariant on a

U = U(S, V ) S = S(U, V )H = H(S, P ) S = S(H,P )F = F (T, V ) G = G(T, P )


Lorsque le nombre de moles du système ou des constituants du système n’est plus invariable, les variablesprécédentes ne sont plus suffisantes pour décrire l’évolution du système, il y a lieu d’y ajouter de nouvellesvariables qui déterminent la composition du système. Cela se produit dans les cas suivants :

- pour un système fermé monophasé à plusieurs constituants, du fait des réactions chimiques entre lesconstituants et la création de nouveaux produits ;

- pour un système fermé où un ou des constituants changent progressivement de phase. Pendant la transition,deux phases coexistent ;

- pour un système ouvert où de la masse est retirée ou ajoutée au système.Les grandeurs pertinentes pour décrire la composition des systèmes précédents sont les nombres de moles

ni (ou les masses Mi) de chaque constituant Ai, dans une phase déterminée. En raisonnant sur les nombres demoles ni, les potentiels thermodynamiques s’écrivent donc :

U = U(S, V, ni) S = S(U, V, ni)H = H(S, P, ni) S = S(H,P, ni)F = F (T, V, ni) G = G(T, P, ni)

Dans ces expressions, on peut naturellement remplacer les nombres de moles ni par les masses Mi desconstituants.

1.5.2 Définition selon l’enthalpie libre G

De toutes les fonctions précédentes, l’enthalpie libre G a un rôle privilégié dans la mesure où les variablesnaturelles P et T peuvent facilement être mesurées et contrôlées par l’expérience (cf chimie).

Imaginons un mélange monophasé composé de r constituants Ai subissant une transformation réversible aucours de laquelle, les variables T, P et ni varient de manière infinitésimale. On a donc

dG =(

∂G

∂T

)

P,ni

dT +(

∂G

∂P

)

T,ni

dP +r∑

i=1

(∂G

∂ni

)

P,T,nj 6=i

dni

Comme nous l’avons vu au chapitre précédent, les deux premières dérivées partielles s’écrivent(

∂G

∂T

)

P,ni

= −S et(

∂G

∂P

)

T,ni

= V

et pour un système fermé dont les nombres de moles des constituants sont fixes (ni = cste), on retrouvebien l’expression

dG = −SdT + V dP

Par définition, le potentiel chimique molaire d’un constituant Ai d’un système monophasé vaut

µi =(

∂G

∂ni

)

P,T,nj 6=i

La variation de G s’écrit donc

dG = −SdT + V dP +r∑

i=1

µidni

La signification physique du potentiel chimique molaire µi qui s’exprime en Jmo1−1 est donc la suivante :- c’est la variable intensive associée au nombre de moles ni du constituant Ai dans une phase déterminée

(ni est une variable extensive) ;- µi traduit l’effet produit sur G par l’apport ou le retrait d’une certaine quantité du constituant Ai dans

une phase déterminée. Le dernier terme du second membre de dG est en effet appelé travail chimique et µi

représente le travail à fournir pour introduire dans le système, une mole du constituant Ai dans une phasedéterminée.

1.5. LE POTENTIEL CHIMIQUE 11

1.5.3 Autres définitions

On peut définir le potentiel chimique à partir des autres fonctions d’état soit

dU = TdS − PdV +r∑

i=1

µidni

avecµi =

(∂U

∂ni

)

S,V,nj 6=i

dH = TdS + V dP +r∑

i=1

µidni

avecµi =

(∂H

∂ni

)

S,P,nj 6=i

dF = −SdT − PdV +r∑

i=1

µidni

avecµi =

(∂F

∂ni

)

T,V,nj 6=i

Il convient cependant de noter que les variables extensives S et V sont moins intéressantes que les variablesintensives T et P d’où la définition la plus courante de µi à partir des dérivées partielles de la fonction d’état G.

1.5.4 Grandeurs molaires partielles

Exprimons une grandeur extensive X quelconque, en fonction des variables intensives T et P et des variablesextensives ni . On a

X = X(T, P, ni)d’où

dX =(

∂X

∂T

)

P,ni

dT +(

∂X

∂P

)

T,ni

dP +r∑

i=1

(∂X

∂ni

)

P,T,nj 6=i

dni

Par définition la grandeur partielle molaire relative au constituant Ai est

ζi =(

∂X

∂ni

)

P,T,nj 6=i

dni

ζi est une grandeur intensive (unité de X par mole). Si on multiplie les variables extensives ni par un nombreréel λ, X est aussi multipliée par λ car les deux premières dérivées partielles sont des grandeurs extensivesassociées à T et P soient S et V respectivement. Par conséquent :

X(T, P, λni) = λX(T, P, ni)Une telle fonction est dite homogène de degré 1 1. Elle vérifie le Théorème d’Euler :Si X = (x1, x2, ..., xn) ∈ R∗

+ et si f est différentiable en X et homogène de degré α alors l’ identité d’Eulerest vérifié

x1∂f

∂x1+ x2

∂f

∂x2+ ... + xn

∂f

∂xn= αf(X)

1Fonction homogène de degré α : f(tX) = tαf(X) ;exemple f(x) = x3, f(3x) = 33x3 = 33f(x) ⇒ α = 3 et x ∂fx

∂x= x(3x2) = 3x3 = 3f(x)


Par application du théorème d’Euler, avec ici α = 1, on déduit que

X(T, P, ni) =r∑

i=1

ni

(∂X

∂ni

)

P,T,nj 6=i

En résumé, toute grandeur extensive X peut se mettre sous la forme

X =r∑

i=1

niζi avec ζi =(

∂X

∂ni

)

P,T,nj 6=i

On peut ainsi exprimer le volume, et toute autre grandeur extensive, d’un système monophasé comprenantles constituants Ai en fonction de sa grandeur molaire partielle

V =r∑

i=1

vini avec vi =(

∂V

∂ni

)

P,T,nj 6=i

volume molaire partiel

En comparant la définition du potentiel chimique µi faite à partir de G et celle de l’enthalpie libre molairepartielle gi, on vérifie que µi = gi. Le potentiel chimique molaire d’un constituant est donc égal à son enthalpielibre molaire.

1.5.5 Relation de Gibbs - Duhem

Comparons l’expression générale de la différentielle de G et celle issue de la relation d’Euler

dG = −SdT + V dP +r∑

i=1

µidni (1.1)

dG = d

(r∑

i=1

µini

)=

r∑

i=1

µidni +r∑

i=1

nidµi (1.2)

On en déduit

r∑

i=1

nidµi = −SdT + V dP

Cette relation est appelée relation de Gibbs-Duhem. Si les valeurs de T et de P sont fixées, ce qui est réalisépar exemple dans le cas d’un changement de phase, on obtient

r∑

i=1

nidµi = 0

1.5.6 Calcul de potentiels chimiques

Pour un corps pur monophasé constituant un système fermé, on a

dG = −SdT + V dP

Si nous supposons n = 1mole, on a G = µ

d’où dµ = −sdT + vdP

Dans cette relation que l’on peut également établir à partir de la relation de Gibbs-Duhem, s et v sont desgrandeurs molaires.

1.6. EQUILIBRE ET ÉVOLUTION D’UN SYSTÈME THERMODYNAMIQUE 13

1.6 Equilibre et évolution d’un système thermodynamique

1.6.1 Rappel de mécanique

Considérons un système mécanique soumis à des forces dérivant d’une énergie potentielle EP (système ditconservatif). Si EC est l’énergie cinétique du système, l’énergie mécanique EM est conservée soit

EP + EC = EM = cste

Désignons par q un paramètre de position d’un système simple à un seul degré de liberté : q est une coor-donnée qui peut être une longueur ou un angle par exemple. On démontre en mécanique les résultats suivants(théorème des travaux virtuels) :

- le système est en équilibre si EP est extrémal2, d’où(

dEP

dq

)

e

= 0

(l’indice e correspond à la position d’équilibre)- l’équilibre est stable si EP est minimal, soit3

(d2EP

dq2

)

e

> 0

Les autres cas d’équilibre où le potentiel n’est pas minimal sont dits instables (EP est maximal ou inflexion-nel)

- enfin, un système exempt de contrainte, évolue spontanément vers sa position d’équilibre stable et sonénergie potentielle décroît soit

dEP < 0 ou ∆EP < 0

En s’appuyant sur ces résultats, il est possible d’établir les conditions d’équilibre thermodynamique ainsique le sens de l’évolution spontanée d’un système. Nous nous intéressons aux cas les plus courants en montrantque les fonctions d’état que nous avons définies jouent le rôle de potentiels thermodynamiques. Notons qu’ils’agit d’un équilibre macroscopique et non d’un équilibre microscopique

1.6.2 Cas d’un système isolé

Bien que dans la pratique, on a rarement affaire à un système isolé, il s’agit d’un cas théorique intéressant.Désignons par E l’énergie totale d’un système isolé (E comprend l’énergie mécanique et l’énergie interne selonla définition vue au premier principe, soit E = EP + EC + U ) et q un paramètre susceptible de faire variercette énergie. Entre deux instants t et t + dt, l’application des deux principes donne :

dE = O et dS = δSi ≥ 0

Pour une transformation finie, l’évolution spontanée d’un système isolé doit donc satisfaire les relations

∆E = O et ∆S = Si ≥ 0

Quant aux conditions d’un équilibre stable, elle s’écrivent

(dS

dq

)

e

= 0 et

(d2S

dq2

)

e

< 0

On peut donc énoncer la proposition suivante :

2δW = ~F .~dl = − ~gradEP . Equilibre si ~F = ~0 soit dEPdq

= 03forme convexe


l’énergie totale d’un système réel isolé reste constante, mais son entropie ne peut que croître, sousl’effet de transformations internes irréversibles. Dans le cas théorique d’une évolution idéale réversible,l’entropie reste constante.

De la même façon, on peut conclure que tout système isolé évolue spontanément en augmentant son en-tropie. L’équilibre thermodynamique, s’il existe, correspond donc à un maximum de l’entropie. Pour avoir uneanalogie parfaite avec la mécanique, on définit parfois comme potentiel thermodynamique la quantité −S, quel’on appelle néguentropie, de façon que la situation d’équilibre stable corresponde à un minimum et non à unmaximum.

1.6.3 Transformation monotherme d’un système fermé

Considérons un système au contact avec un seul thermostat de température constante Te. C’est le cas usueld’un système en contact thermique avec l’atmosphère. Au cours d’une transformation finie monotherme.

F = U − TeS

∆U = W ∗ + Q

avec W ∗ le travail total qui est la somme du travail W des forces extérieures de pression et du travail utile Wu,soit

W ∗ = W + Wu

∆F = ∆U − Te∆S avec ∆S =Q

Te+ Si ⇒ ∆F = ∆U − Te

(Q

Te+ Si

)

∆F = W ∗ + Q−Q− TeSi ⇒ ∆F + TeS

i = W ∗

∆F ≤ W ∗

si ∆F ≥ 0 le travail W ∗ ≥ ∆F ≥ 0 reçu par le système est supérieur ou égal à l’augmentation de F.

si ∆F ≤ 0 le travail−W ∗ ≤ −∆F fourni par le système est inférieur ou égal à la chute de la fonction F. D’oùle nom d’énergie libre pour F, qui représente la part d’énergie récupérable sous forme de travail.

transformation monotherme et isochore

Lors d’une transformation monotherme et isochore le travail des forces de pression est nul W = 0, d’où∆F ≤ Wu . Si le système est soumis aux seules forces pressantes (pas de travail utile) Wu = 0 alors

∆F ≤ 0

Cette inégalité montre que l’énergie libre décroît nécessairement au cours d’une transformation réelle mo-notherme et isochore. On en déduit également que l’équilibre est atteint lorsque F est minimum.

L’énergie libre F est donc le potentiel thermodynamique d’un système chimique subissant transfor-mation monotherme et isochore.

Transformation monotherme et monobare d’un système fermé

Dans la pratique, il s’agit du cas particulier important d’un système évoluant en relation avec le milieu ex-térieur ambiant de température Te constante et de pression Pe également constante (cas de nombreux systèmeschimiques). Le système n’est pas nécessairement à la pression Pe ni à la température Te car l’évolution peutêtre irréversible.

On se rappelle queG = H − TS = U + PV − TS = F + PV

En tenant compte du travail autre que celui des forces de pression, le travail total s’écrit

1.7. EQUILIBRE ET ÉVOLUTION D’UN SYSTÈME HÉTÉROGÈNE FERMÉ 15

W ∗ = −Pe∆V + Wu

où ∆V est la variation de volume du système. L’inégalité établie pour une transformation monotherme esttoujours valable, soit

∆F ≤ W ∗ ou ∆F ≤ −Pe∆V + Wu

En exprimant cette inégalité en fonction de l’enthalpie libre, soit

dG = dF + d(PeV ) ⇒ dG = dF + PedV ou en intégrant ∆G = ∆F + Pe∆V

on obtient donc∆G ≤ Wu

Il convient encore de remarquer que G est définie à partir des grandeurs intensives extérieures Te et Pe et desgrandeurs extensives U, V et S du système.

Si le travail utile est reçu, ∆G ≤ Wu traduit que l’accroissement d’enthalpie libre ne peut excéder le travailutile.

Si le travail utile est fourni par le sytème (Wu < 0)

−∆G ≥ −Wu ⇔ GI −GF ≥ −Wu

Le travail utile fourni par le système ne peut excéder la diminution de son enthalpie libre. GI − GF estappelée exergie : elle représente l’énergie utile maximale.

Evolution et équilibre d’un système chimique

Pour un système chimique on a Wu = 0, d’où

∆G ≤ 0

Pour une transformation monotherme et monobare d’un système chimique, l’enthalpie libre ne peut quedécroître et le minimum de cette fonction définit l’état d’équilibre du système.

L’enthalpie libre G est le potentiel thermodynamique d’un système chimique subissant une transfor-mation monotherme et monobare

Remarque Bien entendu, les conclusions obtenues pour les transformations monotherme et monobare s’ap-pliquent aux transformations isotherme et isobare qui sont constamment en équilibre thermique et mécaniqueavec le milieu extérieur. Dans ce cas, les fonctions F et G sont définies à partir de la température et de la pressiondu système.

1.7 Equilibre et évolution d’un système hétérogène fermé

1.7.1 Conditions d’équilibre

Considérons un corps pur présent sous plusieurs phases, constituant un système fermé hétérogène en équi-libre thermodynamique. Désignons par φ le nombre de phases (φ = 3 si les phases solide, liquide et gazeusesont présentes mais très souvent φ = 2). Le système des φ phases étant en équilibre, la pression P et la tempé-rature T sont communes à toutes les phases. Dans ces conditions, en désignant par nj et µj le nombre de moleset le potentiel chimique molaire de la phase j, la différentielle de l’enthalpie libre s’écrit :

dG = −SdT + V dP +φ∑

j=1

µjdnj


Dans cette expression, les variables extensives entropie et volume sont sommées sur toutes les phases, soit :

S =φ∑

j=1

Sj et V =φ∑

j=1

Vj

Lorsque le système est en équilibre, P et T sont constantes, et l’enthalpie libre est minimale, d’où

dG =φ∑

j=1

µjdnj = 0

Cette relation se met sous la forme

µ1dn1 +φ∑

j=2

µjdnj = 0 (1.3)

Par ailleurs, le système étant fermé, les nombres de moles ne sont pas indépendants. On a en effet

φ∑

j=1

nj = cste soitφ∑

j=1

dnj = 0

Cette dernière relation se met aussi sous la forme

dn1 +φ∑

j=2

dnj = 0 (1.4)

En comparant les relations (1.3) et (1.4), on en déduit

−µ1

φ∑

j=2

dnj +φ∑

j=2

µjdnj = 0

ouφ∑

j=2

dnj(µj − µ1) = 0

Finalement l’équilibre se traduit par les égalité

µj = µ1 ∀jsoit

µ1 = µ2 = µ3

si les trois phases sont présentes. Cette relation appelée relation de l’équilibre chimique, peut être élargie àun ensemble hétérogène de plusieurs constituants sous plusieurs phases.

Conclusion : pour un système hétérogène en équilibre thermodynamique, le potentiel chimique detout constituant est le même, quelle que soit la phase à laquelle il appartient.

1.7.2 Evolution d’un système diphasé avec transfert de matière entre les phases

Considérons un système fermé constitué d’un corps pur présent sous deux phases distinctes (n1 et n2

moles). On étudie la transformation qui fait passer le constituant d’une phase à l’autre à pression et à tempéra-ture constantes. Pour une transformation élémentaire lors de cette transition, on a

dG =φ=2∑

j=1

µjdnj

1.8. VARIANCE D’UN SYSTÈME : RÈGLE DE GIBBS 17

soitdG = µ1dn1 + µ2dn2

Puisquen1 + n2 = cste

dn2 = −dn1

d’oùdG = dn1(µ1 − µ2)

Comme dans cette transformation dG < 0, le sens de l’évolution est déterminé par le signe de µ1 − µ2.Si µ1 < µ2 le nombre de moles de la phase 1 augmente (dn1 > 0) au détriment de celui de la phase 2

(dn2 < 0).Conclusion : le transfert de matière entre deux phases se fait dans le sens des potentiels chimiques décrois-

sants. En d’autres termes, le constituant quitte la phase où le potentiel chimique est le plus élevé pour aller verscelle où il est le plus faible. Le transfert s’arrête lorsque l’équilibre entre les potentiels chimiques est réalisé.

1.8 Variance d’un système : règle de Gibbs

Les variables d’état intensives d’un système chimique (pression, température, fractions molaires) ont ungrand intérêt car elles sont plus facilement contrôlables par l’expérimentateur ;

- elles sont indépendantes de la quantité de matière ;- elles permettent d’exprimer l’équilibre du système facilementPar définition la variance φ d’un système thermodynamique est le nombre minimal de grandeurs intensives

qu’il suffit de connaître pour déterminer toutes les autres (ou le nombre de variables intensives indépendantes).C’est également le nombre de grandeurs intensives nécessaires et suffisantes pour définir un état d’équilibre dusystème.

On considère un système composé de r constituants A1, ...Ai, ...Ar en équilibre sous φ phases Φ1, ...,Φj ,...Φφ. Si B est le nombre total de variables intensives et Λ le nombre de relations entre elles, la variance s’écrit

σ = B − Λ

1. les variables intensives sont- la température T- la pression P- la fraction molaire xj

i du constituant i dans la phase j soit rφ fractions molaires au total.On a donc B = 2 + rφ

2. pour une phase donnée j, on ar∑

i=1

xji = 1

d’où φ relations (une relation par phase).

3. chaque constituant Ai étant en équilibre physique, il y a unicité du potentiel chimique pour chaqueconstituant, soit

µ1i = µ2

i = ... = µφi

Il y a donc φ− 1 relations par constituant et r(φ− 1) relations pour les r constituants.

4. s’il existe k équilibres chimiques indépendants entre les constituants, on a k constantes d’équilibres d’oùk relations

5. le nombre total de relations s’écrit donc

Λ = φ + r(φ− 1) + k


6. On en déduit la varianceσ = 2 + rφ− [φ + r(φ− 1) + k]

σ = c + 2− φ

où c = r− k est le nombre de constituants indépendants. L’expression de σ est connue sous le nom de larègle de Gibbs.

Pour un corps pur monophasé (r = 1, k = 0, φ = 1 et σ = 2) le système est divariant car P et T peuventêtre choisis arbitrairement.

L’équilibre entre deux phases d’un corps pur (r = 1, k = 0, φ = 2 et σ = 1) peut exister. Le système estalors monovariant : si P est imposée T l’est aussi et réciproquement car il existe une relation P (T ).

Pour tous les corps à l’exception de l’hélium, l’équilibre des trois phases est possible (r = 1, k = 0, φ = 3et σ = 0) et le système est invariant. L’équilibre des 3 phases se produit pour une pression et une températurecaractéristiques du corps : c’est le point triple. A titre d’exemple, pour l’eau les caractéristiques du point triplesont T = 273, 16K et P = 6, 13hPa.

Exemple de calcul de variance

équilibre 1H2O(liq) ↔ H2O(gaz)

on a r = 2 et k = 1 d’où c = 1, φ = 2, et σ = 1. Il s’agit d’un système monovariant, entièrement déterminépar la pression ou la température

équilibre 2PC15(gaz) ↔ PC13(gaz) + C12(gaz)

On a r = 3 et k = 1 d’où c = 2, φ = 1, et σ = 1. Trois variables intensives sont nécessaires pour décrirele système (P, T et une fraction molaire) .

Chapitre 2

Changement de phase des corps purs

2.1 Caractéristiques des états de la matière

On ne s’intéresse ici qu’aux trois états classiques de la matière : l’état solide, l’état liquide et l’état gazeux,ces deux derniers étant qualifiés d’état fluide.

2.1.1 L’état solide

Dans un solide, sous l’effet de l’agitation thermique, chaque atome vibre autour d’une position d’équilibremoyenne quasiment fixe. Parmi les solides, il convient de distinguer les solides cristallins pour lesquels lesatomes sont disposés selon une structure spatiale périodique, des solides amorphes pour lesquels il y a absencede structure. L’état cristallin est donc caractérisé par un ordre à courte et à grande distance alors que dansl’état amorphe, il n’y a pas d’ordre à grande distance. Un corps généralement cristallin, peut parfois existersous plusieurs structures. il s’agit alors de variétés allotropiques, comme le fer α et le fer γ qui sont deux étatssolides distincts.

2.1.2 L’état fluide

Les molécules ne possèdent plus de position moyenne d’équilibre fixe mais se déplacent librement les unespar rapport aux autres, sous l’effet de l’agitation thermique : c’est le chaos moléculaire. L’agitation thermiquese traduit par un phénomène de diffusion du aux chocs successifs et aléatoires des molécules entre elles. Ladiffusion permet le transfert des molécules, de leur quantité de mouvement, et de leur énergie (transfert dechaleur) au sein du fluide. Parmi les fluides, il convient de distinguer 1’état liquide de l’état gazeux, bien quedans certains cas, une telle distinction soit parfois difficile à établir. Il est en effet possible de passer de manièrecontinue de l’état liquide à l’état gazeux : on parle alors de continuité de l’état fluide. Alors qu’un solide a uneforme propre bien définie, les fluides prennent la forme des récipients qui les contiennent, tout en s’adaptant auchamp gravitationnel. C’est ainsi que la surface libre d’un liquide au repos reste perpendiculaire au champ dela pesanteur. Ceci est vrai pour un liquide dans un petit récipient comme pour l’eau des océans ou l’atmosphèreentière soumis à la gravitation de la Terre. Pour distinguer simplement l’état liquide de l’état gazeux, on peutdire qu’aux températures et aux pressions usuelles, les liquides ont des masses volumiques beaucoup plusgrandes que celle des gaz (facteur 103 environ). La compressibilité est également un élément de comparaisonintéressant, celle des liquides étant très faible par rapport à celles des gaz (facteur 10−5 environ).

2.1.3 Autres états

Il existe parfois un état intermédiaire entre l’état cristallin et l’état fluide. C’est l’état mésomorphe observédans des milieux particuliers appelés cristaux liquides. Si dans l’état fluide, il y a absence d’ordre à grandedistance, dans les cristaux liquides, cet ordre existe dans la position et l’orientation des molécules de formeallongée. On peut également considèrer les plasmas, qui sont des gaz très denses et fortement ionisés, commeun état de la matière.

19

20 CHAPITRE 2. CHANGEMENT DE PHASE DES CORPS PURS

Un corps pur peut exister sous plusieurs états physiques, ou phases, une phase étant une partie homogèned’un système ayant les mêmes propriétés physiques et chimiques. Les changements d’état physiques sont éga-lement appelés changement de phase.

Enfin, les buts de ce chapitre sont détudier :- les équilibres entre les phases.- les transitions de phase d’un corps pur,

2.2 Définition relatives aux transitions de phase

La figure 1 schématise les différentes transitions de phase entre les états solide, liquide et gazeux. Sur lafigure 1 on a également reporté un axe orienté dans le sens d’une entropie croissante.

La nomenclature reportée sur la figure 1 n’étant pas toujours respectée, il convient d’apporter quelquesprécisions :

– on emploie couramment le terme de phase vapeur pour désigner l’état gazeux d’un corps qui dans lesconditions normales de température et de pression est liquide ou solide (vapeur d’eau par exemple ouvapeur de sodium). L’emploi des deux termes ne porte pas à conséquence.

– le terme condensation est également employé pour le passage de l’état gazeux à l’état liquide : on dit quela vapeur d’eau se condense en eau liquide (nuage par exemple).

– le terme évaporation correspond à une vaporisation lente en présence d’air atmosphérique, alors que lavaporisation se fait de manière rapide et uniquement en présence de la vapeur du corps qui se vaporise.

– enfin, une transition de phase a une définition bien plus large que ne le laisse entrevoir la figure 1. A titred’exemple, un corps pur peut présenter plusieurs formes solides et généralement cristallines. Il s’agit devariétés allotropiques et le passage d’une variété à l’autre est également une transition de phase. En fait,à chaque fois qu’un corps subit un changement de ses propriétés physiques et/ou chimiques on est enprésence d’une transition de phase.

2.3 Description qualitative des transitions de phase

2.3.1 Palier de température

Chauffons un corps pur solide de manière réversible, sous une pression fixée. Le système étant monovariant(σ = 1), la température de fusion TF reste constante pendant toute la durée de la fusion où les phases solideet liquide coexistent. On met ainsi en évidence le palier de fusion de la figure 2 où l’abscisse v représente levolume massique du corps (m3kg−1) qui subit une discontinuité lors de la transition de phase.

2.3. DESCRIPTION QUALITATIVE DES TRANSITIONS DE PHASE 21

De la même façon le palier de température s’observe pour toutes les transitions de phases qui sont donc destransformations isobare et isotherme.

2.3.2 Diagrammes d’équilibre P(T)

Si on représente tous les points expérimentaux P-T représentant les changements d’état, on obtient les troiscourbes d’équilibre qui délimitent les régions du plan P-T où le corps est sous forme solide, liquide et gazeuse.Ces trois courbes représentées figure 3 sont :

– la courbe d’équilibre entre la phase solide et la phase liquide Psl(T ) ou courbe de fusion/solidification– la courbe d’équilibre entre la phase liquide et la phase gazeuse Plg(T ) ou courbe de vaporisation/ liqué-

faction– la courbe d’équilibre entre la phase solide et la phase gazeuse Psg(T ) ou courbe de sublimation/ conden-

sation


Le point triple τ

Les trois courbes se coupent en un point unique qui est le point triple τ . En ce point, le système est invariant(σ = 0) et il y a équilibre des trois phases. Le point triple est une caractéristique d’un corps (sauf pour l’héliumqui n’a pas de point triple). Quelques valeurs expérimentales sont données dans le tableau ci-dessous.

Transformation isobare AB

Pour comprendre les différentes transitions de phase, examinons la transformation isobare AB de l’eau à lapression P = 1 atmosphère, sur le schéma de la figure 3a. On peut imaginer un glaçon auquel on apporte trèslentement une quantité de chaleur de manière continue.

En A, l’eau est sous forme de glace. En chauffant la glace, le point figuratif de la transformation vient en Foù la glace commence à fondre à la température de fusion TF = 273, 15K(0oC). Si on continue à apporter dela chaleur au système, toute la glace fond sans augmentation de température. La transition de phase correspondau palier de température de la figure 2 et pendant toute la fusion, le point représentatif reste en F.

Lorsque toute l’eau est sous forme liquide, la chaleur apportée au système contribue à augmenter la tem-pérature qui croît jusqu’à la température d’ébullition TE = 373, 15K(100oC). Le point figuratif est alors E etl’eau passe entièrement sous forme de vapeur en ce point : c’est le palier de vaporisation/liquéfaction.

Enfin, de E à B, la chaleur apportée au système augmente la température de la vapeur d’eau.

Existence des chaleurs latentes de transition de phase

Soit une transition de phase isobare et isotherme coupant une courbe d’équilibre P (T ). Une telle transitionest caractérisée par le transfert d’une certaine quantité de chaleur entre le système et l’extérieur appelée chaleurlatente. Par exemple, pour faire fondre la glace, il faut fournir au système, une quantité de chaleur appeléechaleur latente de fusion. Inversement, lorsque l’eau liquide se transforme en glace, il y a libération de cettechaleur latente. De la même façon, une transition vapeur-liquide libère une quantité de chaleur égale à la chaleurlatente de vaporisation (ou de liquéfaction) alors qu’il faut fournir cette chaleur latente au système pour latransformation inverse gaz-liquide. Enfin, une chaleur latente de sublimation doit être fournie au système lorsde la transition solide-gaz, cette chaleur latente étant libérée lors de la transformation inverse.

Le point critique C

La courbe de vaporisation/liquéfaction est limitée par le point triple et le point critique C dont les coordon-nées sont également une caractéristique d’un corps. La limitation de cette courbe d’équilibre signifie que l’onpeut faire passer un corps de l’état liquide à l’état gazeux de manière continue, en contournant le point C. Il ya alors continuité de l’état fluide car on passe de manière continue, sans transition de phase, de l’état gazeux àl’état liquide par la transformation AB reportée sur la figure 4. Cette transformation contourne le point critiqueC, sans couper une courbe d’équilibre et aucune chaleur latente n’intervient dans une telle transformation.

2.4. ÉTUDE THERMODYNAMIQUE D’UNE TRANSITION DE PHASE 23

Quelques coordonnées de points critiques sont rassemblées dans le tableau ci-dessous.

2.4 Étude thermodynamique d’une transition de phase

2.4.1 Équilibre d’un corps pur sous deux phases

Imaginons un système hétérogène constitué de deux phases 1 et 2 formant un système hétérogène à l’équi-libre. Sur la figure 5, le point figuratif I de ce système se trouve sur la courbe d’équilibre 1-2.

Si µ1 et µ2 sont les potentiels chimiques massiques de la phase 1 et de la phase 2 au point I, la conditiond’équilibre entre les deux phases s’écrit

dG = dn1(µ1 − µ2) = 0


Les potentiels chimiques massiques des deux phases sont donc égaux, d’où :

µ1 = µ2

A cette condition d’équilibre chimique, s’ajoute une condition mécanique sur l’égalité des pressions desdeux phases

P1 = P2 = P

et une condition thermique sur l’égalité des températures des deux phases

T1 = T2 = T

Si les variables intensives µ, P et T sont identiques d’une phase à l’autre, il n’en est pas de même duvolume massique v. En effet, d’une façon générale, il y a variation de volume lors d’un changement de phasesoit v1 6= v2 comme le montre le palier de la figures 2.

2.4.2 Chaleur latente d’une transition de phase

Par définition, la chaleur latente massique L12 de transition de phase d’un corps pur à la temperature Tet sous la pression P(T) est la quantité de chaleur nécessaire pour réaliser, de manière réversible, à T et à Pconstantes la transition de phase de l’unité de masse du corps de la phase 1 à la phase 2.

Imaginons une transformation réversible faisant passer l’unité de masse d’un corps pur de la phase 1 àla phase 2. Si u est l’énergie interne massique et h l’enthalpie massique (en Jkg−1), la quantité de chaleurélémentaire, mise en jeu pour réaliser cette transformation s’écrit

(δq)p = du + Pdv = d(u + Pv) = dh

car P = cste. On en déduit la chaleur latente de de transition de phase L12

L12 =∫ 2

1(δq)p = h2 − h1 = ∆h12

Comme l’entropie massique s s’écrit

ds =(δq)p

T

on a finalementL12 = ∆h12 = T∆s12

ouL12 = h2 − h1 = T (s2 − s1)

La chaleur latente massique de transition phase est donc la variation d’enthalpie massique. Pour les autresfonctions thermodynamiques massiques on établit aisément :

∆u12 = u2 − u1 = ∆h12 − P (v2 − v1)

et∆f12 = −P (v2 − v1)

Selon les relations précédentes, les chaleurs latentes L12 sont positives lorsque la transition de phase 1-2se traduit par une augmentation de l’entropie. Comme entre les phases gazeuse (g), liquide (l) et solide (s), ona sg > sl > ss les chaleurs latentes de fusion Lsl = Lf , de vaporisation (ou liquéfaction) L1g = Lv et desublimation Lsg = Ls sont des quantités positives.

Le tableau ci-dessous donne quelques valeurs des chaleurs latentes de fusion et de vaporisation pourquelques corps, sous la pression de une atmosphère. On donne également les température d’ébullition TE et defusion TF .

2.4. ÉTUDE THERMODYNAMIQUE D’UNE TRANSITION DE PHASE 25

2.4.3 Formule de Clapeyron

Considérons les points voisins A et A’ appartenant à la courbe d’équilibre P = P (T ) de la figure 6. Lescoordonnées de A et de A’ sont respectivement (T, P ) et (T + dT, P + dP )

En A et en A’ il y a équilibre entre la phase 1 et la phase 2 d’où les égalités des potentiels chimiquesmassiques µ (ou enthalpies libres massiques g) soit :

µ1 = µ2 ou g1 = g2

On peut donc écrire en A et en A’ respectivement

g1(T, P ) = g2(T, P )g1(T + dT, P + dP ) = g2(T + dT, P + dP )

De la même façong1(T + dT, P + dP ) = g1(T, P ) + dg1

g2(T + dT, P + dP ) = g2(T, P ) + dg2

On en déduitdg1 = dg2

soitv1dP − s1dT = v2dP − s2dT

si v et s sont le volume massique et l’entropie massique respectivement. On obtient donc la relation

s2 − s1 = (v2 − v1)dP

dT

D’après la définition de la chaleur latente de transition de phase L12, vue précédemment, il vient


L12 = T (s2 − s1) = T (v2 − v1)dP

dT

On obtient ainsi la formule de Clapeyron qui montre que L12 ne dépend que de la température T car dPdT

est la pente de la courbe d’équilibre P = f(T ). La formule de Clapeyron est générale et s’applique aux troistransitions de phase étudiées.

2.5 Étude de l’équilibre liquide-gaz

2.5.1 Les isothermes d’Andrews

On détermine le réseau d’isothermes d’Andrews d’un fluide à l’aide d’un dispositif dont le principe de lafigure 7 est celui de la machine de Cailletet (1850)

La machine est une enceinte contenant le fluide (C02 par exemple) sous une pression et une température quel’on peut faire varier. La pression P, contrôlée par un piston, est mesurée par un manomètre et la température Test imposée par une enceinte d’eau constituant un thermostat, que l’on peut chauffer ou refroidir. Lorsque, pourdifférentes températures, on fait varier le volume massique v en changeant la pression P, on obtient le réseaud’isothermes d’Andrews de la figure 8

2.5. ÉTUDE DE L’ÉQUILIBRE LIQUIDE-GAZ 27

Pour T < Tc les isothermes présentent trois parties :

1. la courbe AG est relative au gaz ou vapeur sèche et en G la première goutte de liquide apparaît. La vapeurqui est alors en équilibre avec le liquide est appelée vapeur saturante.

2. un palier isobare GL appelé palier de liquéfaction (vaporisation) correspondant à l’équilibre dit saturantentre le liquide et la vapeur. Sur ce palier GL, la pression est dite pression de vapeur saturante Ps et ellesuit la relation d’équilibre Ps = Ps(T )

3. une partie LB représentant la courbe de compressibilité isotherme du liquide. A partir de L il n’y a plusde phase gazeuse : seul le liquide existe.

Les points G et L sont appelés point de rosée et point d’ébullition respectivement. Ces points s’inscriventsur la courbe de rosée GC et sur la courbe d’ébullition LC. Le point C est le point critique ou les deux courbesont une tangente horizontale. L’ensemble des deux courbes est la courbe de saturation qui délimite le domainede coexistence des deux phases.

La longueur GL du palier de liquéfaction décroît lorsque la pression augmente. Elle devient nulle en C oùl’isotherme critique (T = Tc) présente un point d’inflexion à tangente horizontale, d’où

(∂P

∂v

)

T=Tc

=

(∂2P

∂v2

)

T=Tc

= 0

Au point critique C, on ne peut distinguer le liquide du gaz : on a un tout simplement un fluide.Pour T > Tc, les isothermes présentent un point d’inflexion à tangente oblique qui disparaît lorsque T

devient suffisamment grand. Ce domaine est celui du fluide.

2.5.2 Point représentatif de l’équilibre liquide-gaz : théorème des moments

Imaginons un équilibre liquide-gaz à la température T (figure 9). On désigne par vl le volume massique duliquide saturant (point L) et par vg le volume massique de la vapeur saturante (point G).

Au point intermédiaire I, d’abscisse v sur le palier de liquéfaction LG, on a un mélange hétérogène desdeux phases liquide et vapeur à l’équilibre. Désignons par xg le titre massique de la phase vapeur

xg =mg

m

avec mg la masse de vapeur pour une masse unité m de mélange. Quant au titre massique de la phaseliquide, il vaut

xl =ml

m=

m−mg

m= 1− xg


avec ml la masse de liquide (ml = m−mg). Au point I, le volume massique v vaut donc

v = xgvg + (1− xg)vl

On en déduitxg =

v − vl

vg − vl=

LI

LGet 1− xg =

IG

LG

La position de I sur le palier LG permet ainsi de calculer géométriquement le titre massique xg. Il est clairque xg = 1 au point G (vapeur saturante) et xg = 0 au point L (liquide de saturation). En égalant les expressionsde LG dans les deux relations précédentes, on déduit également

(1− xg)LI = xgIG

Cette dernière relation traduit le théorème des moments par analogie avec la mécanique.La relation obtenue en I pour le volume massique v du mélange peut être étendue aux énergies massiques

en ce même point I, soit :u = xgug + (1− xg)ul

h = xghg + (1− xg)hl

s = xgsg + (1− xg)sl

2.5.3 Chaleur latente de vaporisation

Appliquée à la transition liquide-gaz, la formule de Clapeyron donnant la chaleur latente massique devaporisation vaut

Lv = T (vg − vl)dPs

dT

Dans cette relation Ps = Plg est appelée pression de vapeur saturante. On a également les relations

Lv = ∆hlg = T∆slg ou Lv = hg − hl = T (sg − sl)

Dans le cas où la vapeur saturante est assimilable à un gaz parfait on a la relation

Psvg =RT

M

avec M la masse molaire du corps. Par ailleurs, si on se situe suffisamment loin du point critique vg À vl,d’où la relation approchée

Lv =RT 2

PsM

dPs

dT=

RT 2

M

d (lnPs)dT

2.6 Propriétés du point triple

Rappelons d’abords qu’au point triple, il y a équilibre entre les trois phases solide, liquide et gazeuse. Lesystème est invariant (σ = 0) et il y a égalité des 3 potentiels chimiques

µs(Tτ ) = µl(Tτ ) = µg(Tτ )

Considérons une transformation réversible, isotherme et isobare au point triple (Tτ , Pτ ) qui fait passerl’unité de masse d’ un corps pur de l’état solide à l’état liquide, puis à l’état gazeux et enfin ‘a l’état solide.Pour cette transformation cyclique réversible, on a :

∆h = ∆hsl + ∆hlg + ∆hgs = 0

∆h = Lf + Lv − Ls = 0

2.6. PROPRIÉTÉS DU POINT TRIPLE 29

On en déduit la relation suivante au point triple

Ls = Lf + Lv

D’autre part, comme vg À (vl, vs), les formules de Clapeyron s’écrivent de manière approchée

Ls ' TvgdPsg

dTet Lv ' Tvg

dPs

dT

Sachant que Ls > Lv on en déduitdPsg

dT>

dPs

dT

Au point triple, la pente de la coourbe de sublimation est supérieure à celle de la courbe de saturation.

Chapitre 3

Rappels -Définitions - Introduction auxtransferts thermiques

3.1 Introduction

La thermodynamique permet de prévoir la quantité totale d’énergie qu’un système doit échanger avec l’ex-térieur pour passer d’un état d’équilibre à un autre.

La thermique (ou thermocinétique) se propose de décrire quantitativement (dans l’espace et dans le temps)l’évolution des grandeurs caractéristiques du système, en particulier la température, entre l’état d’équilibreinitial et l’état d’équilibre final.

Les deux notions fondamentales en transferts thermiques sont la température et la chaleur. La température(T) caractérise l’état d’un corps ; la chaleur (Q) exprime un échange énergie.

Lorsque deux points dans l’espace sont à des températures différentes, il y a systématiquement transfert dechaleur toujours du corps “chaud” vers le corps “froid”. C’est une conséquence directe du deuxième principede la thermodynamique. Considérons un système isolé :

T1 T2

δQ

dS = dS1 + dS2

dS =δQ

T1+−δQ

T2= δQ

(1T1− 1

T2

)

dS = δQT2 − T1

T1T2

dS > 0 ⇒ T2 > T1

Ce processus est irréversible, car bien qu’isolé du milieu extérieur, il y a création d’entropie.

3.2 Définition des grandeurs fondamentales

3.2.1 Température

C’est une variable d’état qui, du point de vue de la structure intime de la matière, caractérise le degréd’agitation de ses particules.

31

32 CHAPITRE 3. RAPPELS -DÉFINITIONS - INTRODUCTION AUX TRANSFERTS THERMIQUES

L’énergie cinétique EC de chaque particule est liée à la température T par EC = 32kT , où k = R

N =8,314

6,025 1023 = 1, 38 10−23JK−1. Avec k la constante de Boltzmann, R, la constante des gaz parfaits et N lenombre d’Avogadro.

Elle résulte donc de la détermination d’une moyenne et, de ce fait, il est impossible, en toute rigueur, dedéfinir la température en un point géométrique.

L’unité de la température est définie comme suit (JO 23/12/75) :”le Kelvin (K) est la fraction 1/273.16 de latempérature thermodynamique du point triple de l’eau”. On utilise fréquemment la température Celsius définiepar la différence T −T0 entre deux températures thermodynamiques T et T0 avec T0 = 273.16K. Un intervalleou une différence de températures peuvent s’exprimer soit en Kelvin soit en degrés Celsius.

Champ de température

Nous dirons qu’à l’instant t la température d’un corps est uniforme si, en cet instant, tous les appareils demesure indiquent la même valeur T quelle que soit leur position. Nous dirons en outre qu’elle est constante siT est indépendante de l’instant d’observation. Si ces deux conditions ne sont pas réalisées, nous dirons que latempérature est une fonction scalaire T(x,y,z,t) des coordonnées du repère d’espace-temps.

Les transferts d’énergie sont déterminés à partir de l’évolution dans l’espace et dans le temps de la tempé-rature T(x,y,z,t). La valeur instantanée de la température en tout point de l’espace est un scalaire appelé champde température. Nous distinguerons deux cas :

– Champ de température indépendant du temps : le régime est dit permanent ou stationnaire.– évolution du champ de température avec le temps : le régime est dit variable ou instationnaire.

Gradient de température

à l’intérieur d’un corps homogène, on peut définir à chaque instant t des surfaces isothermes caractériséespar T(x,y,z,t)=cste. La variation de température par unité de longueur est maximale le long de la normale à lasurface isotherme. Cette variation est caractérisée par le gradient de température :

isotherme T0

grad (T)

−−→grad(T ) =

∂T

∂n−→n avec

−→n Vecteur unitaire de la normale∂T∂n dérivée de la température le long de la normale

En coordonnées cartésiennes le vecteur gradient de température −→∇T a pour coordonnées1(

∂T∂x , ∂T

∂y , ∂T∂z

).

1

soit −→∇T = A−→x + B−→y + C−→z et −→dl = dx−→x + dy−→y + dz−→z−→∇T.−→dl = dT = Adx + Bdy + Cdz

dT = ∂T∂x

dx + ∂T∂y

dy + ∂T∂z

dz

⇒ A = ∂T∂x

; B = ∂T∂y

; C = ∂T∂z

3.2. DÉFINITION DES GRANDEURS FONDAMENTALES 33

3.2.2 Chaleur

Définitions

Le premier principe de la thermodynamique affirme l’existence d’une fonction d’état d’équilibre thermo-dynamique, l’énergie interne U(A) correspondant à un état déterminé (ici l’état A) et définie à une constanteadditive près.

L’augmentation d’énergie interne U(B) - U(A) est due à :– la réalisation d’un travail macroscopique WA→B , par exemple des forces de pression.– la réalisation d’un transfert d’énergie microscopique, qui donc ne se voit pas, mais existe néanmoins, qui

est appelé, par définition, la chaleur lors de la transformation QA→B .On déduit donc la définition formelle de la chaleur (parce qu’on a énoncé le premier principe, non évident

per se) :Q(A→B) = U(B)- U(A) - W(A→B) le long de la transformation de A à BSi nous insistons sur le “long de la transformation”, c’est que l’intégrale curviligne (par exemple des forces

de pression ) n’est pas indépendante du chemin suivi pour aller de A vers B.La chaleur est donc une forme d’énergie au même titre que le travail d’un système de forces au cours

d’un déplacement. La prise en compte d’une quantité de chaleur Q implique une situation évolutive. Il s’agitforcément d’un échange d’énergie entre plusieurs corps (ou entre plusieurs domaines d’un même corps) aucours d’un laps de temps déterminé. L’unité est le Joule (J).

Flux de chaleur

Si entre deux instants t et t’, l’interaction étudiée s’accompagne d’un échange de chaleur δQ, on appelleflux thermique moyen la quantité δQ/(t′ − t) et, par un passage à la limite, on peut définir :

– Un flux thermique instantané (c’est une puissance) en Watt (W) :

Φ(W ) =δQ(J)

dt(s)

– Un flux thermique à travers une surface, c’est la quantité de chaleur qui traverse la surface par unité detemps.

– Ramené à l’unité de surface on parle de densité de flux thermique (Wm−2) :

ϕ(W m−2) =1

S(m2)

δQ(J)

dt(s)où S est l’aire de la surface traversée

– On peut également définir le vecteur densité de flux thermique en tout point ~ϕ :

dΦ = ~ϕ.~n.dS où ~n normale à la surface dS

~ϕ caractérise en chaque point M du milieu, la direction, le sens et l’intensité du flux thermique. L’en-semble des ~ϕ constitue un champ de vecteurs analogue aux autres champs physiques : champ électrique,champ de forces ...– Lignes de courant, tubes de courants Les lignes de courant sont les courbes tangentes en chaque

point aux vecteurs densité de flux ~ϕ ; l’ensemble des lignes de courant s’appuyant sur un contourfermé constitue un tube de courant.

Chaleur spécifique

Lorsqu’un corps reçoit, ou perd, de l’énergie sous forme de chaleur, on constate expérimentalement que satempérature augmente ou baisse. l’énergie calorifique correspond

– pour les gaz et les liquides, à l’agitation moléculaire (EC = 32kT ) ;


– pour les solides, à l’agitation de vibration autour d’une position.Pour une même quantité d’énergie, la masse (m) à échauffer intervient en diluant cette chaleur : plus la

masse est importante, plus la variation de température ∆T est faible (il y a plus de molécules à mettre enmouvement avec la même énergie).

Enfin la qualité de la matière intervient, sous la forme d’un coefficient c, appelé chaleur spécifique (oumassique) : la chaleur spécifique (J kg−1 K−1) est la quantité de chaleur nécessaire pour élever la températurede l’unité de masse de 1 degré Celsius.

L’équation fondamentale régissant la quantité de chaleur en fonction des variables citées (à pression cons-tante) est :

Q = mc∆T (3.1)

Avec m la masse (quantité de matière) du système concerné, c, la chaleur spécifique de la matière dont estconstitué le système et ∆T la variation de température.

Changement d’état : Chaleur latente

L’équation ci dessus (3.1) s’applique pour un état (ou phase) fixé de la matière. Or la matière peut se trouversous trois états différents (solide, liquide, vapeur) qui correspondent à des états de désorganisation (entropie)croissante. Lorsqu’il y a changement d’état (de phase), la température ne varie pas tant qu’il reste deux phasesen présence : par exemple, dans la casserole, l’eau est à 100oC que le gaz (la quantité de chaleur fournie) soitfort ou moyen, il y a seulement plus ou moins d’eau qui s’évapore. à chaque unité de masse évaporée, il a falluapporter une certaine quantité d’énergie : c’est la chaleur latente de changement de phase (L) :

– chaleur latente de fusion (solidification) : passage de l’état solide à l’état liquide ;– chaleur latente de vaporisation (liquéfaction) : passage de l’état liquide à l’état vapeur ;– chaleur latente de sublimation (condensation) : passage de l’état solide à l’état vapeur ;L(J kg−1) quantité de chaleur nécessaire pour évaporer l’unité de masse d’un corps pour qu’il change

d’état et

Q = mL (= ∆H variation d’entropie)

3.3 Formulation d’un problème de transfert de chaleur

3.3.1 Bilan d’énergie

Il faut tout d’abord définir un système (S) par ses limites dans l’espace et il faut ensuite établir l’inventairedes différents flux de chaleur qui influent sur l’état du système et qui peuvent être :

(S)

Φe

Φst

ΦsΦg

Φst flux de chaleur stockéΦg flux de chaleur généréΦe flux de chaleur entrantΦs flux de chaleur sortant

∣∣∣∣∣∣∣∣∣dans le système (S)

3.3. FORMULATION D’UN PROBLÈME DE TRANSFERT DE CHALEUR 35

On applique alors le 1er principe de la thermodynamique pour établir le bilan d’énergie par unité de temps(en W) du système (S) :

Φe + Φg = Φs + Φst (3.2)

3.3.2 Expression des flux d’énergie

Il faut maintenant établir les expressions des différents flux d’énergie. En reportant ces expressions dans lebilan d’énergie, nous obtiendrons l’équation différentielle dont la résolution permettra de connaître l’évolutionde la température en chaque point du système.

Conduction

C’est le transfert de chaleur dans la masse d’un milieu matériel, sans déplacement de matière, sous l’in-fluence d’une différence de température. La propagation de la chaleur par conduction à l’intérieur d’un corpss’effectue selon deux mécanismes distincts : une transmission par les vibrations des atomes ou molécules etune transmission par les électrons libres. C’est donc un mécanisme de chocs qui intervient.

S

1T 2TT1 T2>

x

−λS ∂T∂x

La théorie de la conduction repose sur l’hypothèse de Fourier : la densité de flux de chaleur 2 est propor-tionnelle au gradient de température :

−→ϕ Wm−2 = −λ−−→grad T = −λ

−→∇T (3.3)

et sous forme algébrique, le flux de chaleur unidirectionnel s’écrit :

Φ = −λS ∂T∂x avec

Φ(W ) Flux de chaleur transmis par conductionλ(Wm−1K−1) Conductivité thermique du milieux(m) Variable d’espace dans la direction du fluxS(m2) Aire de la section de passage du flux de chaleur

* Le gradient de température en chaque point est normal à la surface isotherme passant par ce point** Nous pouvons écrire la quantité de chaleur ayant traversé la surface dS pendant l’intervalle de temps dt :

dQ = −λ−−→grad T.~n dS dt = −λ

∂T

∂ndS dt

Convection

C’est le transfert de chaleur entre un solide et un fluide, l’énergie étant transmise par déplacement du fluide.Le mouvement du fluide peut avoir deux causes. Ou bien il est imposé de l’extérieur par une machine (pompe,ventilateur , compresseur) ; c’est la convection forcée. Ou bien le contact du fluide avec la surface du solide(paroi) plus chaude ou plus froide crée des différence de masse volumique, génératrices de mouvement au seindu fluide ; c’est la convection naturelle.

2−→ϕ est souvent noté −→jQ dans la littérature


Ce mécanisme de transfert est régi par la loi de Newton :

Φ = hS(Tp − T∞) avec

Φ(W ) Flux de chaleur transmis par convectionh(Wm−2K−1) Coefficient de transfert de chaleur par convectionTp (K) Température de surface du solideT∞ (K) Température du fluide loin de la surface du solideS(m2) Aire de la surface de contact solide/fluide

(3.4)

S TP

T∞

Φ

La valeur du coefficient de transfert de chaleur par convection h est fonction de la nature du fluide, de satempérature, de sa vitesse et des caractéristiques géométriques de la surface de contact solide/fluide.

rayonnement

C’est un transfert d’énergie électromagnétique entre deux surfaces (même dans le vide).C’est une transmission d’énergie à distance, entre deux corps séparés ou non par un milieu matériel. C’est le

cas de l’énergie qui nous vient du soleil. L’interprétation physique est la suivante : tout corps émet des particulesdésignées par “photons” ; ceux ci se déplacent à la vitesse de la lumière et transportent une énergie fonction deleur “longueur d’onde”. Un corps C émettant des photons dans toutes les directions possibles, certains d’entreeux sont reçus par l’autre corps C’ et éventuellement absorbés, en tout ou partie. Bien entendu, le corps C’ émetaussi des photons dont certains seront reçus et absorbés par C. le bilan net se traduit par un échange d’énergieentre C et C’.

Dans les problèmes de conduction, on prend en compte le rayonnement entre un solide et le milieu envi-ronnant et dans ce cas nous avons la relation :

Φ = σεpS(T 4p − T 4∞) avec

Φ(W ) Flux de chaleur transmis par rayonnementσ(Wm−2K−4) Constante de Stephan = 5.67 10−8

εp Facteur d’émission de la surfaceTp (K) Température de la surfaceT∞ (K) Température du milieu environnant la surfaceS(m2) Aire de la surface

(3.5)

Stockage d’énergie

Le stockage d’énergie dans un corps correspond à une augmentation de son énergie interne au cours dutemps d’où (à pression constante) :

Φst = ρ V c ∂T∂t avec

Φst(W ) Flux de chaleur stockéρ(kgm−3) Masse volumiqueV(m3) Volumec(J kg−1 K−1) Chaleur spécifiqueT(K) Températuret(s) temps

(3.6)

ρ, V et c sont supposés constants, le produit ρV c est appelé la capitance thermique du corps.

3.3. FORMULATION D’UN PROBLÈME DE TRANSFERT DE CHALEUR 37

STP

T∞

Φ

Génération d’énergie

Elle intervient lorsqu’une autre forme d’énergie (chimique, électrique, mécanique, nucléaire) est convertieen énergie thermique. Nous pouvons l’écrire sous la forme :

Φg = qV avec

Φg(W ) Flux d’énergie thermique généréeq(Wm−3) Densité volumique d’énergie générée par unité de tempsV(m3) Volume

(3.7)

Combinaison des modes de transfert

Le transfert de chaleur ou transfert thermique se réalise généralement par une combinaison de plusieursmode.

Par exemple, le système chauffage central, combine la convection (en général forcée) pour chauffer le fluidedans la chaudiére, la conduction pour chauffer les parois du radiateur et la convection (en général naturelle) pourchauffer l’air autour du radiateur. Dans le cas du chauffage d’un solide (non transparent au sens strict du terme)par radiation, la transmission de chaleur sera une combinaison de radiation et de conduction. C’est le cas duverre chauffé par le rayonnement solaire. Dans ce cas, le transfert pourra être également combiné avec uneconvection naturelle derriére la vitre d’une piéce.

On notera que parfois le transfert thermique s’accompagne d’un transfert de matière. Par exemple, c’est lecas de l’ébullition où une partie du liquide subit une transformation de phase et le gaz ainsi créé se déplace.

Chapitre 4

Transfert de chaleur par conduction

4.1 L’équation de la chaleur

Dans sa forme monodirectionnelle, elle décrit le transfert de chaleur unidirectionnel au travers d’un murplan :

0

L L>>e

ex+dxx

Φx+dxΦx

Φg

Φst

Considérons un système d’épaisseur dx dans la direction x et de section d’aire S normalement à la directionOx. Le bilan d’énergie sur ce système s’écrit1 :

Φx + Φg = Φx+dx + Φst avec

Φx = −(λxS ∂T

∂x

)x

Φg = qS dx

Φx+dx = −(λxS ∂T

∂x

)x+dx

Φst = ρ c Sdx∂T∂t

En reportant dans le bilan d’énergie et en divisant par dx nous obtenons :(λxS ∂T

∂x

)x+dx

−(λxS ∂T

∂x

)x

dx+ qS = ρ c S

∂T

∂t

soit

∂

∂x

(λxS

∂T

∂x

)+ qS = ρ c S

∂T

∂t=⇒ ∂

∂x

(λx

∂T

∂x

)+ q = ρ c

∂T

∂t

et dans le cas tridimensionnel, nous obtenons l’équation de la chaleur dans le cas le plus général :

∂

∂x

(λx

∂T

∂x

)+

∂

∂y

(λy

∂T

∂y

)+

∂

∂z

(λz

∂T

∂z

)+ q = ρ c

∂T

∂t

1avec son volume V = Sdx

39

40 CHAPITRE 4. TRANSFERT DE CHALEUR PAR CONDUCTION

soit 2

−→∇.(λ.−→∇T

)+ q = ρ c ∂T

∂t (4.1)

cette équation peut se simplifier dans un certain nombre de cas :– (a) Si le milieu est isotrope (pas de direction privilégiée) : λx = λy = λz = λ– (b) S’il n’y a pas de génération d’énergie à l’intérieur du système : q = 0– (c) Si le milieu est homogène, λ n’est fonction que de la température TLes hypothèses (a)+(b) permettent d’écrire :

λ

(∂2T

∂x2+

∂2T

∂y2+

∂2T

∂z2

)+ (−→∇λ).(−→∇T ) = ρ c

∂T

∂t

avec l’hypothèse (c) (λ = f(T ))3 :

λ

(∂2T

∂x2+

∂2T

∂y2+

∂2T

∂z2

)+

dλ

dT

[(∂T

∂x

)2

+(

∂T

∂y

)2

+(

∂T

∂z

)2]

= ρ c∂T

∂t

– (d) si de plus λ est constant (écart modéré de température), nous obtenons l’équation de Poisson4 :

a∇2T = ∂T∂t (4.2)

le rapport a(m2s−1) = λρ c est appelé diffusivité thermique. La diffusivité thermique exprime l’aptitude

d’un corps à transmettre la chaleur plutôt qu’à l’absorber.– (e) En régime permanent (champ de température indépendant du temps), nous obtenons l’équation de

Laplace :

∇2T = 0 (4.3)

Par ailleurs les hypothèses (a), (c) et (d) permettent d’écrire5 :– équation de la chaleur en coordonnées cylindrique (r, θ, z) :

1r

∂

∂r

(r∂T

∂r

)+

1r2

∂2T

∂θ2+

∂2T

∂z2+

q

λ=

1a

∂T

∂t

Dans le cas d’un problème à symétrie cylindrique où la température T ne dépend que de r distance à l’axeet du temps t (2.4) peut s’écrire sous une forme simplifiée :

1r

∂∂r

(r ∂T

∂r

)+ q

λ = 1a

∂T∂t

– équation de la chaleur en coordonnées sphériques (r, θ, ϕ) :

1r2

∂

∂r

(r2 ∂T

∂r

)+

1r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂T

∂θ

)+

1r2 sin2 θ

∂2T

∂ϕ2+

q

λ=

1a

∂T

∂t

Dans le cas d’un problème à symétrie sphérique où la température T ne dépend que de r distance aucentre de symétrie et du temps t (2.5) peut s’écrire sous une forme simplifiée :

1r2

∂∂r

(r2 ∂T

∂r

)+ q

λ = 1a

∂T∂t

2avec −→∇ .(−→−) l’opérateur différentiel divergence d’un champ de vecteurs3on a alors pour chaque terme dérivé de λ(T )

∂λ

∂x

∂T

∂x=

(∂λ

∂T

∂T

∂x

)∂T

∂x=

∂λ

∂T

(∂T

∂x

)2

=dλ

dT

(∂T

∂x

)2

4avec ∇2 l’opérateur différentiel Laplacien, qui peut aussi s’écrire ∆5voir annexe I

4.2. CONDUCTION EN RÉGIME PERMANENT 41

4.2 Conduction en régime permanent

4.2.1 Généralités

L’équation de transfert se réduit à :

div(λ−−→grad T ) + q = 0

Dans le cas de la conduction morte (pas de source interne), le système est à flux conservatif puisque :

div(λ−−→grad T ) = 0 → div(~ϕ) = 0

4.2.2 Notion de résistance thermique

Pour un système sans source interne et dont la conductivité thermique λ est indépendante de la température,on introduit la notion de résistance thermique d’un tube de courant (analogue à la résistance électrique). Soitun tube de courant compris entre deux surface isothermes (voir figure) :

Φ = −λ(s) S(s) dTds

il vient dsλ(s) S(s) = −dT

Φ

soit en intégrant entre les deux surfaces isothermes∫ s2s1

dsλ(s) S(s) = − ∫ T2

T1

dTΦ

le flux étant conservatif∫ s2s1

dsλ(s) S(s) = T1−T2

Φ

que l’on peut écrire T1 − T2 = R Φavec R résistance du tube de courant : R =

∫ s2s1

dsλ(s) S(s)

Une analogie est alors possible avec la loi d’Ohm :

U = RI ⇔ ∆T = RΦ (4.4)

où R =∫ s2

s1

ds

λ(s) S(s)(4.5)

4.2.3 Transfert unidirectionnel

Mur simple

On se place dans le cas où l’écoulement est unidirectionnel et qu’il n’y a pas de génération ni de stockaged’énergie.

On considère un mur d’épaisseur e, de conductivité thermique λ, et de grandes dimensions transversalesdont les faces extrèmes sont à des températures T1 et T2.


T2

0 e

λT1

x x+dx

Section

S

Φx Φx+dx

Les surfaces isothermes sont planes et parallèles, la résistance d’un mur s’écrit (relation 4.5)

R =∫ e

0

ds

λ(s) S(s)=

1λ S

∫ e

0ds =

e

λS

et le flux de chaleur traversant la surface S du mur selon (4.5) :

Φ(W ) = (T1−T2)e

λS?? (4.6)

Cette relation est analogue à la loi d’Ohm en électricité (I = UR ) qui définit l’intensité du courant comme

le rapport de la différence de potentiel électrique sur la résistance électrique. La température apparaît ainsicomme un potentiel thermique et le terme R(KW−1) = e

λS apparaît comme la résistance thermique d’un murplan d’épaisseur e, de conductivité thermique λ et de surface latérale S, on a donc le schéma équivalent suivant :

T1 T2

ϕ

R = eλS

Mur multicouches

C’est le cas des murs réels constitués de plusieurs couches de matériaux différents et où on ne connaét queles températures Tf1 et Tf2 des fluides en contact avec les deux faces du mur de surface latérale S :

4.2. CONDUCTION EN RÉGIME PERMANENT 43

Les surfaces isothermes sont planes et parallèles, la résistance d’un mur s’écrit (relation 4.5)

R =e

λS

avec e, épaisseur du mur et S sa surface. D’où

RT =N∑

n=1

en

λnS+

1h1S

+1

h2S

Et le flux Φ échangé lors de la traversée du mur :

Φ(W ) =Tfl1 − Tfl2

1h1S + eA

λAS + eBλBS + eC

λCS + 1h2S

Nous avons considéré que les contacts entre les couches de différentes natures étaient parfaits et qu’il n’existaitpas de discontinuités de températures aux interfaces. En réalité, compte tenu de la rugosité de surfaces, unemicro-couche d’air existe entre les creux des surfaces en regard et crée une résistance thermique R (l’air estisolant) appelée résistance thermique de contact. La formule précédente (??) s’écrit alors :

Φ(W ) = Tfl1−Tfl21

h1S+

eAλAS

+RAB+eB

λBS+RBC+

eCλCS

+ 1h2S

(4.7)

Le schéma électrique équivalent est le suivant :

T4T3T2T1Tfl1 Tfl2

RBCeB

λBSRABeA

λAS1

h1S1

h2SeC

λCS

Remarque : une résistance thermique ne peut être définie qu’entre deux surfaces isothermes.

Mur composite

C’est le cas le plus couramment rencontré dans la réalité où les parois ne sont pas isotropes. Considérons àtitre d’exemple un mur de largeur L constitué d’agglomérés creux.

En supposant le transfert unidirectionnel et en tenant compte des axes de symétrie, on peut se ramener aucalcul du flux à travers l’élément isolé sur la droite de la figure et calculer la résistance thermique R équivalente


d’une portion de mur de largeur L et de hauteur l = l1 + l2 + l3 en utilisant les lois d’association des résistancesen série et en parallèle6 par la relation :

R = R1 + R2 +1

1R3

+ 1R4

+ 1R5

+ R6 + R7

avec R1 =1

h1lL; R2 =

e1

λ1lL

R3 =e2

λ2l1L; R4 =

e2

λ1l2L; R5 =

e2

λ2l3L

R6 =e3

λ1lL; R7 =

1h2lL

selon le schéma électrique équivalent :

R4

R5

R7

Tfl1

R1 R2

R3

T2T3

R6

Tfl2T1 T4

Cylindre creux long

On considère un cylindre creux de conductivité thermique λ, de rayon intérieur r1, de rayon extérieur r2,de longueur L, les températures des faces internes et externes étant respectivement T1 et T2. On suppose que legradient longitudinal de température est négligeable devant le gradient radial. Le flux de chaleur est radial et larésistance thermique du cylindre, par application de l’équation 4.5 s’écrit :

R =∫ s2

s1

ds

λ(s) S(s)=

1λ

∫ r2

r1

dr

2πrL=

12πλL

ln

(r2

r1

)

Et par application de la relation ∆T = RΦ, on obtient :

Φ(W ) = −λ2πLT1 − T2

ln (r1/r2)=

2πλL(T1 − T2)ln (r2/r1)

6

Φ = Φ3 + Φ4 + Φ5 =T2 − T3

R3+

T2 − T3

R4+

T2 − T3

R5= (T2 − T3)

(1

R3+

1

R4+

1

R5

)

4.3. CONDUCTION EN RÉGIME VARIABLE, SANS CHANGEMENT D’ÉTAT 45

4.3 Conduction en régime variable, sans changement d’état

4.3.1 Problème général

La formulation générale de l’équation de la chaleur est (4.1)

∇.(λ−→∇T

)+ q = ρ c

∂T

∂t

Elle nécessite une condition initiale T0 en tout point, et deux conditions aux limites. Envisageons le cas particu-lier où la conductivité ne dépend pas de la température dans la gamme de températures considérée. On obtientalors l’équation de Fourier :

∇2T +q

λ=

1a

∂T

∂t

4.3.2 Nombres sans dimension

le nombre de variables dans un problème de transfert thermique peut être réduit par l’introduction denombres sans dimensions. Montrons le sur cet exemple de conduction unidirectionnelle avec dégagement dechaleur interne.

Soit :

∂2T∂x2 + q

λ = 1a

∂T∂t pour 0 < x < l et t > 0

∂T∂x = 0 pour x = 0 et t > 0

λ∂T∂x = −h(T − T∞) pour x = l et t > 0

T = T0 pour 0 < x < l et t = 0

En utilisant les nombres sans dimension suivant :

x∗ = xl , θ = T−T∞

T0−T∞ , Bi = hlλ Nombre de Biot

G = ql2

λ(T0−T∞), F0 = at

l2Nombre de Fourier

le système devient :

∂2θ∂x2∗

+ G = ∂θ∂F0

pour 0 < x∗ < 1 et F0 > 0∂θ∂x∗ = 0 pour x∗ = 0 et F0 > 0

λ ∂θ∂x∗ = −Biθ pour x∗ = 1 et F0 > 0

θ = 1 pour 0 < x∗ < l et F0 = 0

Deux nombres adimensionnels sont particulièrement importants en régime variable :– Le nombre de Biot : Bi = Résistance thermique interne

Résistance thermique externe = lλS / 1

hS , l est la dimension caractéristique dumilieu, l = r pour une sphère.

Bi = hlλ (4.8)

Il mesure l’épaisseur thermique du domaine : on dit que le milieu est mince thermiquement (dans le sensde l) si le nombre de Biot est inférieur é 1. Cela signifie que la résistance externe bloque l’écoulementde chaleur. On peut alors considèrer la température uniforme suivant la dimension de l.


– Le nombre de Fourier :

Fo = λ∆Tl

l2

ρcl3 ∆Tt

= atl2

(4.9)

C’est le rapport du flux à travers l2 à la vitesse de stockage dans l3, ou encore rapport de la chaleur traversantsur la chaleur accumulée. Le nombre de Fourier caractérise la pénétration de la chaleur en régime variable.

4.3.3 Quelques cas d’école

Milieu à température uniforme

On va étudier le transfert de chaleur vers un milieu à température uniforme, ce qui est à priori contradictoirecar il est nécessaire qu’il y ait un gradient thermique pour qu’il se produise un transfert de chaleur. Cetteapproximation du milieu à température uniforme peut néanmoins être justifiée dans certains cas : Considéronspar exemple la trempe d’une bille métallique qui consiste à immerger une bille initialement à la température Ti

dans un bain à température T0 maintenue constante. Si on suppose que la température de la bille est uniforme,ce qui sera d’autant plus vrai que sa dimension est petite et sa conductivité thermique élevée, on peut écrire lebilan thermique7 de cette bille entre deux instants t et t+dt :

−hS(T − T0) = ρ c VdT

dt⇒ dT

T − T0= − hS

ρ c Vdt ⇒ T − T0

Ti − T0= exp

(− hS

ρ c Vt

)

On remarque que le regroupement ρ c VhS est homogéne à un temps, on l’appellera τ la constante de temps

du système :

τ(s) =ρ c V

hS

Cette grandeur est fondamentale dans la mesure où elle donne l’ordre de grandeur de temps du phénoménephysique, on a en effet : T−T0

Ti−T0= exp

(− tτ

). Ceci s’apparente é la décharge d’un condensateur, ce qui permet de

poursuivre l’analogie électrique : τ = RC, R(KW−1) = 1/hS est la résistance superficielle et C(JK−1) = ρcVest la capacité thermique.

La définition des nombres sans dimension (Biot et Fourier) permet d’évaluer l’évolution de la températurede la bille par

T − T0

Ti − T0= exp (−Bi Fo)

7Il n’y a pas de conduction car la température est uniforme dans la bille, il n’y a que de la convection : on écrit ici “variationd’énergie = somme des flux entrants”.

4.3. CONDUCTION EN RÉGIME VARIABLE, SANS CHANGEMENT D’ÉTAT 47

Milieu semi-infini, problème unidirectionnel

Un milieu semi infini est une paroi d’épaisseur suffisamment grande pour que la perturbation appliquée surune face ne soit pas ressentie par l’autre face. Le milieu semi infini est initialement à la température uniformeTi. On impose brutalement la température T0 sur sa surface, cette condition est appelée condition de Dirichlet.

Milieu semi infini

0 x

Ti = T (x, t = 0)

T0 = T (x = 0, t)

l’équation de la chaleur s’écrit :

∂2T

∂x2=

1a

∂T

∂t

avec les conditions aux limites :

T (x, 0) = Ti

T (x = 0, t) = T0

limx→∞T (x, t) = Ti

On effectue le changement de variables suivant :T = T−Ti

T0−Tid’où ∂T

∂x = 1T0−Ti

∂T∂x , ∂2T

∂x2 = 1T0−Ti

∂2T∂x2 et ∂T

∂t = 1T0−Ti

∂T∂t .

L’équation devient :

∂2T∂x2 = 1

a∂T∂t


T (x, 0) = 0T (x = 0, t) = 1lim

x→∞ T (x, t) = 0

On pourra utiliser pour résoudre cette équation aux dérivées partielles soit la méthode de superposition, soitla transformation de Laplace soit des méthodes numériques appropriées.

Milieu semi-infini, température sinusoidale imposée en surface, régime périodique établi

0 x

Milieu semi infini

T (x, t = 0) = Ti

T (x = 0, t) = T0 cos ωt + Ti

l’équation de la chaleur s’écrit :

∂2T

∂x2=

1a

∂T

∂t


T (x = 0, t) = T0 cosωt + Ti

T (∞, 0) = Ti

On effectue le changement de variables suivant : T = T − Ti d’où ∂T∂x = ∂T

∂x , ∂2T∂x2 = ∂2T

∂x2 et ∂T∂t = ∂T

∂t .


Les conditions aux limites deviennent T (x = 0, t) = T0 cosωt et T (∞, 0) = 0L’équation devient :

∂2T

∂x2=

1a

∂T

∂t(4.10)

En régime permanent forcé une solution de 2.10 s’écrit en notation complexe :

T = X(x).<[eıωt

](4.11)

où l’excitation étant de nature périodique, on recherche une solution périodique de même fréquence ω quel’excitation. Donc 2.10 devient :

eıωt ∂2X

∂x2=

ıω

aXeıωt ⇒ ∂2X

∂x2=

ıω

aX ⇒ ∂2X

∂x2− ıω

aX = 0

Or ı = (1+ı)2

2 d’oé :∂2X

∂x2− (1 + ı)2

2aωX = 0

Les racines de l’équation caractéristique sont ±(1 + ı)√

ω2a Donc

X(x) = Ae−(1+ı)√

ω2a

x + Be(1+ı)√

ω2a

x

X(x) doit tendre vers une limite finie quand x tend vers +∞, donc B = 0.L’équation 2.11 devient :

T = T − Ti = Ae−(1+ı)√

ω2a

xeıωt = Ae−√

ω2a

xeı(ωt−√

ω2a

x)

Soit, en notation réelle

T − Ti = T0e−√

ω2a

x cos (ωt−√

ω

2ax)

En tenant compte des conditions aux limites.– L’amplitude des oscillations décroét rapidement lorsqu’on s’éloigne de l’interface.– L’amplitude des oscillations décroét rapidement quand la fréquence d’excitation augmente : une excita-

tion de fréquence élevée appliquée à la surface d’un solide ne modifiera sa température que sur une faibleprofondeur.

– Entre les températures T1 et T2 de deux points distants respectivement de x1 et x2 de la surface, il existeun déphasage égal é

√ω2a(x1 − x2) : la connaissance de ω et la mesure de la température au sein du

milieu en deux points situés à des distances connues x1 et x2 de la surface peut permettre d’évaluer ladiffusivité thermique a.

Chapitre 5

Transfert de chaleur par rayonnement

5.1 Généralités, définitions

5.1.1 nature du rayonnement

Tous les corps, quelque soit leur état, solide, liquide ou gazeux, émettent un rayonnement de nature électro-magnétique. Cette émission d’énergie s’effectue au détriment de l’énergie interne du corps émetteur. le rayon-nement se propage de manière rectiligne à la vitesse de la lumière, il est constitué de radiations de différenteslongueurs d’ondes comme l’a démontré l’expérience de William Herschel :

Si l’on déplace le long de l’écran un thermomètre, on mesure la température Te caractérisant l’énergiereçue par l’écran dans chaque longueur d’onde. En construisant la courbe Te = f(λ) on obtient la répartitionspectrale de l’énergie rayonnée pour la température T0 de la source. On constate que :

– l’énergie émise est maximale pour une certaine longueur d’onde λm variable avec T0.– l’énergie n’est émise que sur un intervalle [λ1, λ2] de longueur d’onde caractérisant le rayonnement

thermique.

5.1.2 Définitions

Classification

Les grandeurs physiques seront distinguées selon :– La composition spectrale du rayonnement : si elle concerne un intervalle spectral étroit dλ autour d’une

longueur d’onde λ elle est dite monochromatique– La distribution spatiale du rayonnement : si elle caractérise une direction donnée de propagation elle est

dite directionnelle (Gx).Si la grandeur est relative à l’ensemble du spectre et/ou à l’ensemble des directions de l’espace elle est dite

totale.

49

50 CHAPITRE 5. TRANSFERT DE CHALEUR PAR RAYONNEMENT

Définitions relatives aux sources

FluxOn appelle flux d’une source S la puissance rayonnée notée Φ(W ) par S dans tout l’espace qui l’entoure,

sur toutes les longueurs d’ondes.– le flux envoyé par un élément de surface dS dans un angle solide dΩ1 est noté d2Φ.– le flux envoyé dans tout l’espace par un élément de surface dS est noté dΦ.– le flux envoyé par une surface S dans un angle solide dΩ entourant la direction Ox est noté dΦx

X

Z

YO

dΩ

r

dS

α

~n

dS cos α

Intensité énergétique dans une directionSource ponctuelle, toutes les longueurs d’onde λ du spectre, directionnelleOn appelle intensité énergétique Ix le flux par unité d’angle solide émis par une source ponctuelle dans un

angle solide dΩ entourant la direction Ox :

Ix(Wsr−1) = ddΩ(dΦx) = d2Φx

dΩ (5.1)

Luminance énergétique dans une direction (brillance)Source étendue dS, toutes les longueurs d’onde λ du spectre, directionnelle

~n

−→dS

α

Ox

Soit α l’angle fait par la normale ~n à la surface émettrice dS avec la direction Ox suivant laquelle la surfacepossède une intensité énergétique Ix :

Lx(Wm−2sr−1) = IxdSx

= IxdS cos α = d2Φx

dΩdS cos α (5.2)

On déduit des relations précédentes l’expression du flux d2Φx envoyé par un élément de surface dSi deluminance Lx sur un autre élément dSk :

d2Φx = IxdΩ = LxdSixdΩ = LxdSi cosαidΩ1dΩ = dS cos α

r2 : l’angle solide sous lequel depuis un point O on voit une surface dS est par définition l’aire de la surface intersectionde la sphère de rayon unité et du cône de sommet O s’appuyant sur le contour de la surface dS.

5.1. GÉNÉRALITÉS, DÉFINITIONS 51

Ox

r

αi

αk −→dSk

−→dSi

où dΩ est l’angle solide duquel depuis la surface dSi on voit la surface dSk donc : dΩ = dSk cos αkr2

d2Φx = LxdSi cos αidSk cos αk

r2 (5.3)

émittance énergétique (radiance)Source étendue dS, toutes les longueurs d’onde λ du spectre, toutes les directionsL’émittance monochromatique d’une source à la température T vaut :

MλT (Wm−3) = dΦλ+dλλ

dS dλ (5.4)

L’émittance totale est la densité de flux de chaleur émise par rayonnement par l’élément de surface dS surtout le spectre des longueurs d’ondes. Elle n’est plus fonction que de la température T de la source :

MT (Wm−2) =λ=∞∫λ=0

MλT dλ = dΦdS (5.5)

Définitions relatives aux récepteurs

éclairementC’est l’homologue de l’émittance pour une source. L’éclairement est le flux reçu par unité de surface récep-

trice, en provenance de l’ensemble des directions.Réception du rayonnement

ϕ ρλ λΤ

ϕλ

ϕλαλΤ

ϕλ τλΤ

corps a T

incident

reflechi

absorbe

transmis

Quand un rayon incident d’énergie ϕλ

frappe un corps à la température T, une partie ϕλρ

λTde l’énergie

incidente est réfléchie par la surface S, une autre partie ϕλα

λTest absorbée par le corps qui s’échauffe, et le

reste ϕλτ

λTest transmis et continue son chemin :

On a évidemment ϕλ

= ϕλρ

λT+ ϕ

λα

λT+ ϕ

λτ

λTd’où ρ

λT+ α

λT+ τ

λT= 1.


On définit ainsi les pouvoirs monochromatiques réfléchissant ρλT , absorbant αλT et filtrant τλT qui sontfonction de la nature du corps, de son épaisseur, de la longueur d’onde λ et de l’angle d’incidence.

Si on considère l’énergie incidente sur tout le spectre des longueurs d’onde, on obtient les pouvoirs réflé-chissant ρT , absorbant αT et filtrant τT totaux.

Milieu transparent et opaqueUn milieu est dit transparent si tout le flux incident est transmis, dans le domaine de longueur d’onde

considéré ; son facteur de transmission τ = 1Un milieu est dit opaque s’il ne transmet aucune fraction du rayonnement incident dans le domaine de

longueur d’onde considéré ; son facteur de transmission τ = 0

Corps noir, corps gris

Corps noirC’est un corps qui absorbe toutes les radiations qu’il reçoit indépendamment de son épaisseur, de sa tem-

pérature, de l’angle d’incidence et de la longueur d’onde du rayonnement incident. Il est défini par αT = 1.Propriétés du corps noir :– tous les corps noirs rayonnent de la même manière.– le corps noir rayonne plus que le corps non noir à la même température.– puisqu’il absorbe tout, il ne réfléchit rien du rayonnement incident ; il apparaît noir à température ordi-

naire.– c’est un concept théorique.Corps grisUn corps gris est un corps dont le pouvoir absorbant α

λTest indépendant de la longueur d’onde λ du

rayonnement qu’il reçoit. Il est défini par αλT

= αT .

5.2 Lois du rayonnement

5.2.1 Loi de Lambert

Dans le cas où la source est isotrope, la luminance est indépendante de la direction Lx = L.

or Ln = InS

et Lα = IαS cos α

Ln = Lα ⇒ Iα = In cosα

S

In

L L

Luminance d’unesource isotrope

Intensite energetiqued’une source isotrope

Iα

In

Iα

αα

C’est la Loi de Lambert pour une source isotrope.Remarque : lorsqu’un corps suit la loi de Lambert, on montre, après intégration sur toutes les directions,

qu’émittance et luminance sont proportionnelles.

M(Wm−2) = πL

avec M et L émittance et luminance totales.

5.2. LOIS DU RAYONNEMENT 53

5.2.2 Lois physiques

Loi de Kirchoff

à une température T donnée et pour une longueur d’onde λ donnée, le rapport MλT

αλT

est le même pour tousles corps.

pour le corps noir : αλT

= 1, le rapport MλT

αλT

est donc égal à M0λT

en appelant M0λT

l’émittance mono-chromatique du corps noir donc :

MλT (Wm−3) = α

λTM0

λT

L’émittance monochromatique de tout corps est égale au produit de son pouvoir absorbant monochromatiquepar l’émittance monochromatique du corps noir à la même température, d’où l’intérét de connaître le rayonne-ment émis par le corps noir.

Dans le cas du corps gris on peut généraliser cette loi ce qui facilite les applications. En effet, pour un corpsgris α

λT= αT , donc :

MT (Wm−2) =∞∫

0

MλT

dλ =∞∫

0

αλT

M0λT

dλ = αT

∞∫

0

M0λT

dλ

En appelant M0T

l’émittance totale du corps noir à la température T, nous obtenons pour un corps gris :

MT (Wm−2) = αT M0T

Rayonnement du corps noir

émittance monochromatique Elle est donnée par la loi de Planck :

M0λT

(Wm−3) = C1λ−5

exp(

C2λT

)−1

avecC1 = 3.742 10−16Wm−2

C2 = 1.4385 10−2m.K(5.6)

La loi de Planck permet de tracer les courbes isothermes représentant les variations de M0λT

en fonction de lalongueur d’onde pour diverses températures.

Remarques


– La longueur d’onde λM pour laquelle l’émission est maximale varie avec la température T de la source :

λM(m) = 2.897 10−3

T et M0λM T (Wm−3) = 0.410(

T

10

)5

(5.7)

C’est la loi (du déplacement) de Wien.– pour le soleil (T ≈ 5777K) 90% de l’énergie est émise entre 0.31 et 2.5µm, le maximum étant situé

dans le spectre visible. Par contre un corps noir à 373K(100oC) a son émission maximale vers λ = 8µmdans l’Infra Rouge.

émittance totale M0T

L’intégration de la formule de Planck pour toutes les longueurs d’onde donne l’émittance totale M0T ducorps noir qui n’est plus fonction que de la température T, on obtient la loi de Stephan-Boltzmann :

M0T (Wm−2) = σT 4 avec σ = 5, 675 10−8Wm−2K−4 (5.8)

Rayonnement des corps non noirs

émissivitéOn définit les propriétés émissives des corps réels par rapport aux propriétés émissives du corps noir dans

les même conditions de température et de longueur d’onde et on les caractérise à l’aide de coefficients appelésémissivités. Ces coefficients monochromatiques ou totaux sont définis par :

ελT

= MλT

M0λT

et εT = MT

M0T

(5.9)

D’après la Loi de Kirchoff, on montre que :

αλT

= ελT

Cas des corps grisIls sont caractérisés par α

λT= αT soit d’après ce qui précède : ε

λT= εT or MT = εT M0T ; nous en

déduisons l’émittance du corps gris à la température T :

MT (Wm−2) = εT σT 4 (5.10)

5.3 Rayonnement mutuel de surfaces opaques

5.3.1 Problème général

Considérons deux surfaces opaques S1 et S2 séparées par un milieu parfaitement transparent, et à destempératures respectives T1 et T2. Le problème industriel consiste à déterminer le flux net Φ échangé entre lesdeux surfaces.

La surface S1 émet un flux Φ1 dont une partie seulement, soit Φ12 vient frapper S2. De ce flux Φ12, unepartie est absorbée par S2, le reste est réfléchi (puisqu’il s’agit de surfaces opaques) ; une partie frappe S1 etainsi de suite.

De même, S2 émet un flux Φ2 dont une partie seulement, soit Φ21 vient frapper S1. De ce flux Φ21, unepartie est absorbée par S1, le reste est réfléchi et ainsi de suite.

Finalement le flux net échangé Φ s’obtient en effectuant pour l’une des surfaces, par exemple pour S1, unbilan thermique tenant compte :

– du flux qu’elle émet, soit −Φ1 (perte),– des flux qu’elle reçoit après chaque réflexion de Φ12 et absorbe une partie,– du flux émis par S2 dans sa direction soit Φ21, dont elle absorbe une partie,– des flux qu’elle reçoit après chaque réflexion de Φ21, et dont elle absorbe une partie.Dans le cas général, le calcul nécessite le recours à la résolution numérique.

5.3. RAYONNEMENT MUTUEL DE SURFACES OPAQUES 55

5.3.2 Plans parallèles infinis

Ce cas est particulièrement simple car on est certain que le flux émis par chaque plan vient frapper l’autre.On suppose que les plans sont gris, alors Φ1 émis par S1 frappe S2, qui absorbe ε2Φ1 et réfléchi (1 − ε2)Φ1.le schéma ci-après amorce les répartitions de Φ1. On voit que les flux absorbés successifs, tant pour S1 quepour S2 sont en progression géométrique de raison q = (1 − ε1)(1 − ε2). Les bilans2 s’établissent donc ainsirelativement à Φ1

S1 perd S1 absorbe S2 absorbeΦ1

ε1(1−ε2)1−(1−ε1)(1−ε2)Φ1

ε21−(1−ε1)(1−ε2)Φ1

Φ1

(1− ε1)(1− ε2)Φ1

(1− ε1)n(1− ε2)

nΦ1

S2S1

ε2Φ1

ε1(1− ε2)Φ1 (1− ε2)Φ1

ε2(1− ε1)(1− ε2)Φ1

(1− ε1)2(1− ε2)

2Φ1

ε1(1− ε1)(1− ε2)2Φ1 (1− ε1)(1− ε2)

2Φ1

Il faut maintenant effectuer le même calcul relativement au flux Φ2 émis par S2. Il suffit d’échanger lesréles de S1 et S2 et de changer les indices :

S2 perd S2 absorbe S1 absorbeΦ2

ε2(1−ε1)1−(1−ε1)(1−ε2)Φ2

ε11−(1−ε1)(1−ε2)Φ2

Il est maintenant possible de faire le bilan complet de S1 ; tous calculs faits on trouve que S1 perd (et doncque S2 reçoit) un flux net Φ égal é :

Φ =ε2Φ1 − ε1Φ2

ε1 + ε2 − ε1ε2

Dans le cas de corps gris, Φ1 et Φ2 peuvent s’exprimer en fonction des températures par la loi de Stéphan :Φ1 = ε1σS1T

41 et Φ2 = ε2σS2T

42 . Comme les aires des surfaces en regard ont même valeur S :

Φ(W ) = rσS(T 41 − T 4

2 ) avec1r

=1ε1

+1ε2− 1

r est le coefficient de transfert. Dans le cas de surfaces noires il est égal é 1. De ce fait Φ(W ) = σS(T 41 −T 4

2 ).Pour des surfaces grises r est inférieur à l’unité.

2la somme d’une suite infinie de raison q inférieur à 1 a pour valeur 1−q∞1−q

≈ 11−q

Chapitre 6

Transfert de chaleur par convection

6.1 Rappels sur l’analyse dimensionnelle

6.1.1 Dimensions fondamentales

On peut exprimer les grandeurs physiques en fonction d’un nombre limité de dimensions fondamentales.Exemples : Vitesse : LT−1, viscosité dynamique : ML−1T−1, force : MLT−2.Sur ces exemples on voit que le nombre de dimensions fondamentales est de 3 : Masse M, Longueur (L),

Temps (T). Ces trois dimensions fondamentales ne sont pas toujours suffisantes. Pour les problèmes de transfertde chaleur, il est nécessaire d’ajouter une 4eme dimension : la température θ, on pourra y ajouter si nécessairela quantité de chaleur Q (Q, homogéne à un travail qui s’exprime en fonction des dimensions fondamentalespar Q = ML2T−2 n’est pas une vraie dimension fondamentale).

6.1.2 Principe de la méthode

Si on peut représenter mathématiquement une loi physique en exprimant la variable physique G1 en fonc-tion d’un certain nombre d’autres variables physiques indépendantes G2, · · ·Gn, c’est à dire siG1 = f(G2, G3, · · ·Gn) ou encore f(G1, G2, · · ·Gn) = 0 le problème peut être simplifié de la manière sui-vante :

– on écrit pour chaque variable Gi l’équation aux dimensions en fonction des dimensions fondamentales.On dispose alors de n équations qui ont nécessité p dimensions fondamentales pour caractériser toutesles grandeurs physiques.

– on préléve p de ces n équations que l’on considère comme équations de base. Il faut que chaque dimen-sion fondamentale apparaisse au moins une fois sur l’ensemble des p équations.

– les (n-p) équations restantes se présentent alors sous forme de (n-p) rapports sans dimensions appelésgroupements π qui sont des grandeurs “réduites”, On obtient alors une équation réduite :

g(π1, π2, · · ·πn) = 0

Un groupement π est le rapport d’une équation aux dimensions d’une grandeur physique n’appartenantpas à l’ensemble des équations de base au produit des équations de base, chacune d’elle étant portée àune certaine puissance :

πi =[Gi]

[G1]ai [G2]

bi · · · [Gp]ei

Pour chaque dimension fondamentale M, L, T, θ, Q figurant au dénominateur, on fait la somme desexposants que l’on identifie avec l’exposant de la même dimension figurant dans l’équation aux dimen-sions de la grandeur physique du numérateur. On obtient ainsi un système linéaire de p équations dont larésolution permet de déterminer les p exposants des équations de base du dénominateur.Il suffit alors d’écrire le rapport π en fonction des grandeurs physiques attachées aux équations auxdimensions de départ.

57

58 CHAPITRE 6. TRANSFERT DE CHALEUR PAR CONVECTION

6.1.3 Exemple d’application

Considérons un fluide en circulation forcée dans une canalisation cylindrique pour lequel on se proposede déterminer le coefficient de convection h relatif au transfert de chaleur fluide-paroi qui correspond à uneconvection forcée :

h

hTemperature θp

Fluide θf Vitesse u

Tube

Détermination des grandeurs physiques

Il faut déterminer tous les paramêtres dont dépend la densité de flux de chaleur Φ (liée à h par Φ = h∆T ).Ce sont ici :

– Les caractéristiques du fluide :– λ coefficient de conductibilité thermique– cp chaleur massique– ρ masse volumique– µ viscosité dynamique

– Les caractéristiques de l’écoulement :– u vitesse moyenne du fluide

– La géométrie de la surface d’échange– D diamêtre de la conduite

– L’écart de température fluide-paroi ∆Td’oé :

f(λ, cp, ρ, µ, u, D,∆T, Φ) = 0

équation aux dimensions des grandeurs

Il faut ensuite écrire l’équation aux dimensions fondamentales M, L, T, θ, Q de chacune des grandeurs, cequi s’écrit ici :

λ : QT−1L−1θ−1

cp : QM−1θ−1

ρ : ML−3

µ : MT−1L−1

u : LT−1

D : L

∆T : θ

Φ : QT−1L−2

Détermination des groupements π

Il faut maintenant choisir 5 équations de base (toutes les dimensions fondamentales ont été utilisées) defaçon à ce que les 5 dimensions fondamentales figurent au moins une fois dans l’ensemble des équations.

Prenons par exemple λ, ρ, u, D, ∆T , il reste Φ, cp et µ.

6.1. RAPPELS SUR L’ANALYSE DIMENSIONNELLE 59

On écrit alors les rapports sans dimension correspondant à ces variables sous la forme :

π1 =Φ

(∆T )a1λb1ρc1Dd1ue1; π2 =

cp

(∆T )a2λb2ρc2Dd2ue2; π3 =

µ

(∆T )a3λb3ρc3Dd3ue3

Pour chaque rapport de π, on remplace les grandeurs physiques par leur équation aux dimensions ce qui donnepar exemple pour π1 :

[π1] =QT−1L−2

θa1 (QT−1L−1θ−1)b1 (ML−3)c1 Ld1 (LT−1)e1

Pour chaque dimension fondamentale, on identifie les exposants de puissance entre numérateur et dénomi-nateurs relatifs à une même dimension ce qui conduit au système :

(Q) : 1 = b1(T ) : −1 = −b1− e1(L) : −2 = −b1− 3c1 + d1 + e1(θ) : 0 = a1− b1(M) : 0 = c1

⇒

b1 = 1a1 = 1e1 = 0c1 = 0d1 = −1

Le rapport π1 s’écrit donc :

π1 =ΦD

∆Tλ

ce qui avec Φ = h∆T peut encore s’écrire :

π1 =hD

λ

On obtient de la même manière

π2 =ρuDcp

λet π3 =

µ

ρDu

Le théoréme de Vaschy-Buckingham nous permet d’affirmer que la relation :

f(λ, cp, ρ, µ, u, D,∆T, Φ) = 0

entre 8 variables peut s’exprimer à l’aide des trois nombres sans dimension π1, π2, π3 sous la forme :

f(π1, π2, π3) = 0 ou π1 = f(π2, π3)

Signification physique de ces groupements

– π1 = hDλ est le Nombre de Nusselt. Il peut aussi s’écrire : Nu = D

λ / 1h . C’est donc le rapport de

la résistance thermique de conduction à la résistance thermique de convection. Il caractérise le type detransfert de chaleur.

– π3 = µρDu = 1

Re, c’est l’inverse du nombre de Reynolds qui caractérise le type de transfert de chaleur.

– π2 = ρuDcp

λ , c’est le nombre de Peclet. On peut aussi l’écrire : Pe = ρuDµ .

cpµλ et faire apparaître un

nouveau nombre sans dimension Pr = cpµλ appelé Nombre de Prandtl. Ce nombre est calculable pour

un fluide donné indépendamment des conditions expérimentales (il ne dépend que de la température) etcaractérise l’influence de la nature du fluide sur le transfert de chaleur par convection. On préfére doncchercher une relation sous la forme

Nu = f(Re, Pr)


Quelques groupements sans dimension

Groupement

Re = ρDuµ Nombre de Reynolds

Pr = cpµλ Nombre de Prandtl

Nu = hDλ Nombre de Nusselt

Pe = ρuDcp

λ Nombre de Peclet

Ma = hρucp

Nombre de Margoulis

6.2 Convection : généralités, définitions

Les transferts de chaleur qui s’effectuent simultanément avec des transferts de masse sont dits transferts dechaleur par convection.

6.2.1 Convection naturelle et forcée

Selon la nature du mécanisme qui provoque le mouvement du fluide on distingue :– La convection libre ou naturelle : Le fluide est mis en mouvement sous le seul effet des différences de

masse volumique résultant des différences de températures sur les frontiéres et d’un champ de forcesextérieures (la pesanteur).

– La convection forcée :Le mouvement du fluide est induit par une cause indépendante des différences detempératures.

6.2.2 Régime d’écoulement

Compte tenu du lien entre le transfert de masse et le transfert de chaleur, il est nécessaire de considèrer lerégime d’écoulement. Considérons à titre d’exemple l’écoulement d’un fluide dans une conduite :

– En régime laminaire : L’écoulement s’effectue par couches pratiquement indépendantes. Entre deux filetsfluides adjacents les échanges de chaleur s’effectuent donc :– par conduction uniquement si l’on considère une direction normale aux filets fluides.– par convection et conduction (négligeable) si l’on considère une direction non normale aux filets

fluides.– En régime turbulent : l’écoulement n’est pas unidirectionnel : l’échange de chaleur dans la zone turbu-

lente s’effectue par convection et conduction dans toutes les directions. On vérifie que la conduction esten général négligeable par rapport à la convection.

6.3 Expression du flux de chaleur

De même qu’au niveau moléculaire on explique la viscosité des gaz par la transmission des quantités demouvement des molécules lors des chocs inter moléculaires, on explique la transmission de la chaleur par latransmission d’énergie cinétique lors de ces mêmes chocs. Cette liaison intime des phénoménes de viscositéet de transfert de chaleur conduisent à l’analogie de Reynolds : dans un écoulement fluide avec transfert dechaleur dans un tube, le profil des vitesses et le profil des températures sont liés par une relation de similitude

Quelque soit le régime d’écoulement, il demeure une sous-couche laminaire dont l’épaisseur est d’autantplus réduite que l’écoulement est grand. L’analogie de Reynolds montre que le gradient thermique est parti-culièrement important au voisinage de la paroi, c’est à dire dans cette sous-couche laminaire. Quelque soit le

6.3. EXPRESSION DU FLUX DE CHALEUR 61

régime d’écoulement du fluide, on considère que la résistance thermique est entiérement située dans le filmlaminaire qui joue le réle d’isolant thermique.

On considère que cette résistance thermique R est équivalente à celle que le flux de chaleur rencontreraiten conduction à travers une paroi dont l’épaisseur serait celle du film laminaire et qui possèderait les mêmescaractéristiques thermiques que le fluide soit :

R =e

λavec

e : épaisseur du film laminaireλ : conductivité thermique du fluide

Rigoureusement la densité de flux de chaleur s’écrit alors :

Φ(Wm−2) =e

λ(Tp − Ti)

où Tp(K) est la température de la paroi et Ti(K) est la température à la limite du film laminaire.Pour un régime thermique bien établi, on peut considèrer en premiére approximation que par suite des

courants de convection la masse fluide au-delé du film laminaire est à température constante et prendre commeloi de la densité de flux de chaleur la relation :

Φ(Wm−2) =e

λ(Tp − T∞) avec T∞(K) : température du fluide loin de la paroi

Cette loi simple présente néanmoins une énorme difficulté dans son application puisque l’on ne connaét pasl’épaisseur e du film laminaire. C’est ce qui améne é définir un coefficient de transfert superficiel ou coefficientde transfert de chaleur par convection par :

h(Wm−2K−1) =λ

e

Quelque soit le type de convection (libre ou forcée) et quelque soit le régime d’écoulement du fluide (lami-naire ou turbulent), le flux de chaleur Φ est donné par la relation dite loi de Newton :

Φ(W ) = hS∆T (6.1)

6.3.1 Calcul du flux de chaleur en convection forcée

L’application de l’analyse dimensionnelle montre que la relation liant le flux de chaleur transféré parconvection aux variables dont il dépend peut être recherchée sous la forme d’une relation entre trois nombresadimensionnels (cf §4.1.3) :

Nu = f(Re, Pr)

Le calcul d’un flux de chaleur transmis par convection forcée s’effectue donc de la manière suivante :– Calcul des nombres adimensionnels de Reynolds et de Prandtl– Suivant la valeur de Re et de Pr, choix de la corrélation– Calcul de Nu par application de cette corrélation– Calcul de h = λNu

D et de Φ = hS(Tp − T∞)

6.3.2 Calcul du flux de chaleur en convection naturelle

Considérons un fluide au repos en contact avec une paroi plane à température T0. Si l’on porte la paroi àune température T = T0 + ∆T , le fluide en contact avec la paroi va s’échauffer et la masse du volume unité vapasser de ρ0 à ρ0 −∆ρ :

Il sera donc soumis à une force ascensionnelle ~f = −∆ρ~g. Pour un volume unité (u) m = ρ d’oé :∆ρg = ργ et γ = ∆ρ

ρ g, où γ est l’accélération ascensionnelle du fluide.

En introduisant le coefficient de dilatation volumique du fluide défini par β = 1ρ

∆ρ∆T il vient :

γ = βg∆T


t = 0

Tp = T0 + ∆TTp = T0

m = ρ0 −∆ρV = 1u

m = ρ0

V = 1u

t

~f = ∆ρ~gFluide a T0, ρ0 Fluide a T0, ρ0

Dans le cas d’un transfert de chaleur par convection naturelle le long d’une plaque plane, le coefficient deconvection dépend des caractéristiques du fluides λ,ρ,µ, cp, β, g, de la paroi, caractérisée par la longueur L etde l’écart de températures aux bornes du film ce que l’on peut traduire par une relation du type :

Φ = f(λ, ρ, µ, cp, β, g, L,∆T )

qui se réduit dans le système M,L,T,θ,Q à une relation entre trois nombres adimensionnels

Nu = f(Gr, Pr)

oé

Gr =βg∆Tρ2L3

µ2est le nombre de Grashof

6.4 Introduction à la convection avec changement d’état

Lorsqu’une paroi céde (algébriquement) de la chaleur à un mélange liquide-vapeur, il en résulte un chan-gement d’état, donc un transfert de masse de l’une des phases vers l’autre. Dans le cas d’un apport de chaleur,il y a diminution de la phase liquide. Lorsqu’il existe une surface de séparation continue entre le liquide et savapeur, on emploie le terme d’évaporation 1. dans le cas général, l’interface est constituée par la surface d’ungrand nombre de bulles contenant la phase vapeur : c’est l’ébullition.

S’il y a au contraire retrait de chaleur, on assiste à une condensation. Dans tous les cas, le transfert de masseexige un déséquilibre thermodynamique. Au voisinage d’un même point, les températures des deux phases sontgénéralement différentes, de même que leurs pressions. Dans l’ébullition en particulier, la pression de la vapeurPsat(Te) d’une bulle entourée d’eau surchauffée é Te (Te > Tsat(Te) ) est supérieure à celle du liquide Pe, enraison des phénoménes de tension superficielle. L’observation visuelle met en évidence plusieurs régimes detransfert de masses auxquels correspondent des régimes différents de transfert thermique.

Là s’arrêtera notre cours, nous laissant perplexes devant une casserole d’eau bouillante ...

1

– Vaporisation : passage de l’état liquide à l’état gazeux sous l’effet de la chaleur (latente)– évaporation : transformation d’un liquide en vapeur par sa surface libre à toute température– ébullition : état d’un liquide soumis à l’action de la chaleur et dans lequel se forment des bulles de vapeur

Annexe

Dans un repère orthogonale et curviligne x1, x2, x3 un vecteur élémentaire est donné par :

−→dl = (h1dx1, h2dx2, h3dx3)

où h1, h2, h3 sont fonctions de x1, x2, x3

Les expressions générales pour ~∇u, ~∇.−→v et ~∇×−→v s’écrivent :

−→∇u =(

1h1

∂u∂x1

, 1h2

∂u∂x2

, 1h3

∂u∂x3

)

−→∇.−→v = 1h1h2h3

(∂

∂x1(h2h3v1) + ∂

∂x2(h1h3v2) + ∂

∂x3(h1h2v3)

)

−→∇ ×−→v = 1h1h2h3

−→e x1h1

−→e x2h2−→e x3h3

∂∂x1

∂∂x2

∂∂x3

h1v1 h2v2 h3v3

où −→e x1 ,−→e x2 ,

−→e x3 sont les vecteurs unitaires du repère (x1, x2, x3) et (v1, v2, v3) les composantesdans ce repère du vecteur −→v .

Coordonnées cylindriques

x1 = ρ, x2 = θ, x3 = z−→dl = (dρ, ρdθ, dz) =⇒ h1 = 1, h2 = ρ, h3 = 1−→v = (vρ, vθ, vz)

−→∇u =(

∂u∂ρ , 1

ρ∂u∂θ , ∂u

∂z

)

−→∇.−→v = 1ρ

(∂∂ρ(ρvρ) + ∂

∂θ (vθ) + ∂∂z (ρvz)

)

= 1ρ

∂∂ρ(ρvρ) + 1

ρ∂vθ∂θ + ∂vz

∂z

−→∇ ×−→v = 1ρ

−→e ρ

−→e θρ−→e z

∂∂ρ

∂∂θ

∂∂z

vρ ρvθ vz

−→∇2u = −→∇.(−→∇u) = 1

ρ

(∂∂ρ(ρ∂u

∂ρ ) + ∂∂θ (1

ρ∂u∂θ ) + ∂

∂z (ρ∂u∂z )

)

= 1ρ

∂∂ρ

(ρ∂u

∂ρ

)+ 1

ρ2∂2u∂θ2 + ∂2u

∂z2

63


Coordonnées sphériques

x1 = r, x2 = θ, x3 = ϕ−→dl = (dr, rdθ, r sin θdϕ) =⇒ h1 = 1, h2 = r, h3 = r sin θ−→v = (vr, vθ, vϕ)

−→∇u =(

∂u∂r , 1

r∂u∂θ , 1

r sin θ∂u∂ϕ

)

−→∇.−→v = 1r2 sin θ

(∂∂r (r2 sin θ vr) + ∂

∂θ (r sin θ vθ) + ∂∂ϕ(r vϕ)

)

= 1r2

∂∂r (r2 vr) + 1

r sin θ∂∂θ (sin θ vθ) + 1

r sin θ∂vϕ

∂ϕ

−→∇ ×−→v = 1r

−→e r

−→e θr−→e ϕ

∂∂r

∂∂θ

∂∂ϕ

vr r vθ r sin θ vϕ

−→∇2u = −→∇.(−→∇u) = 1

r2 sin θ

(∂∂r (r2 sin θ ∂u

∂r ) + ∂∂θ (sin θ ∂u

∂θ ) + ∂∂ϕ( 1

sin θ∂u∂ϕ)

)

= 1r2

∂∂r

(r2 ∂u

∂r

)+ 1

r2 sin θ∂∂θ

(sin θ ∂u

∂θ

)+ 1

r2 sin2 θ∂2u∂ϕ2

L2 Parcours Physique Chimie Thermodynamique:...

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