L. Dumas Mod elisation et simulation num erique du ux...

Modelisation etsimulation

numerique duflux sanguin

L. Dumas

Modelisation duflux sanguin

Optimisation parmethodesevolutionnaires

Optimisation etmodelesapproches

Simulationnumerique duflux sanguin

Conclusion

Modelisation et simulation numeriquedu flux sanguin

Laurent Dumas

Laboratoire de Mathematiques de VersaillesUniversite de Versailles Saint Quentin en Yvelines

Ecole d’ete Sourdun, 30 aout 2012



L. Dumas





Conclusion

1 Modelisation du flux sanguin

2 Optimisation par methodes evolutionnaires

3 Optimisation et modeles approches

4 Simulation numerique du flux sanguin

5 Conclusion



L. Dumas





Conclusion

Presentation du probleme

La modelisation et la simulation numerique des ecoulementssanguins dans l’arbre arteriel est un probleme general complexecar elle necessite des simulations tridimensionnelles avecinteraction fluide-structure.

Une des difficultes de cette modelisation est la determinationprecise des nombreux parametres du modele pour un patientdonne.



L. Dumas





Conclusion

Presentation du probleme

Afin de reduire les couts de telles simulations, des modelessimplifies monodimensionnels d’interaction fluide structure avecbifurcation d’arteres ont ete developpes.

Le but est ici de reconstruire fidelement a l’aide de mesures noninvasives toutes les variables hemodynamiques et mecaniquesd’un patient donne (pression, vitesse, modules de Young, etc...)pour l’ensemble de son reseau arteriel.

Grace a une telle reconstruction, le praticien disposerad’informations utiles a un depistage precoce des principalesmaladies cardiovasculaires.



L. Dumas





Conclusion

Dispositif experimental

Le processus experimental, non invasif et bien adapte auprobleme, est deja disponible et s’appelle l’echotracking.

Il mesure a l’aide de techniques Doppler, les diametres arterielset les vitesses centrales a diverses positions du reseau arteriel.



L. Dumas





Conclusion

Dispositif experimental

Les donnees d’echotracking utilisees ici ont ete fournies parl’equipe de pharmacologie de l’Hopital Georges Pompidou.

Parmi les donnees disponibles pour differents patients, lesmesures temporelles de diametre d’artere et de vitesse centraleseront utilisees ici :

0.81

0.82

0.83

0.84

0.85

0.86

0.87

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

Diamètre interadventiciel Vitesse centrale

s s

cm

- 30

- 20

- 10

0

10

20

30

40

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

cm/s



L. Dumas





Conclusion

Depistage des maladies cardiovasculaires

Actuellement, le test associe de depistage des maladiescardiovasculaires est basee sur le calcul d’un parametre appelePWV (Pulse Wave Velocity).

Ce coefficient est relie a la rigidite de l’artere a l’aide de larelation :

PWV =L

∆t=

√Eh

2rρ

ou E designe le module de Young de l’artere.



L. Dumas





Conclusion

Modelisation du flux sanguin : hypotheses

y

x

zO

Section circulaire

Ωt

Pour chaque artere, le domaine Ωt est cylindrique, oriente selonOz, et de longueur constante L.

Les quantites impliquees sont supposees constantes sur chaquesection de l’artere.

References : Formaggia, Nobile, Quarteroni (2001),Sherwin et al.(2003), Gerbeau et al. (2005).



L. Dumas





Conclusion

Derivation des equations du modele

Apres integration des equations de Navier Stokes sur chaquesection, on obtient le systeme d’inconnues Ai (t, z) (section del’artere) et Qi (t, z) (debit moyen) relatif a l’artere i :

∂Ai

∂t+∂Qi

∂z= 0

∂Qi

∂t+

∂

∂z

(Q2

i

Ai

)+

Ai

ρ

∂Pi

∂z+ Kr

Qi

Ai= 0

Une loi de comportement lineaire elastique complete le systeme :

Pi − Pext = βi (z)

(√Ai (z , t)−

√A0,i (z)

)



L. Dumas





Conclusion

Les parametres du modele

Le parametre Kr represente la resistance visqueuse del’ecoulement par unite de longueur du tube et est considereconnu dans cette etude.

Les principaux parametres devant etre estimes sont lescoefficients βi de chaque artere. Cette valeur, proportionnelle a larigidite de l’artere peut etre constante ou dependre de z . Il existeune valeur theorique de βi issu d’une moyennisation formelle :

βi (z) =4√πh0Ei (z)

3A0

ou h0 et Ei (z) representent respectivement l’epaisseur et lemodule de Young de l’artere i .

Un autre parametre important du modele est la section del’artere i au repos z → A0,i (z).



L. Dumas





Conclusion

Forme conservative du modele

Le modele precedent peut etre recrit sous forme conservative :

∂U

∂t+∂F (U)

∂z= B(U)

ou U = (A,Q)t et F (U) =

QQ2

A+

β

3ρA

32

.

Il peut etre observe que ce systeme est hyperbolique et que le

Jacobien H =∂F

∂Uadmet toujours deux valeurs propres reelles de

signe oppose pour les valeurs admissibles de U : λi = QA ± c ou

c =

√A

ρ

∂p

∂A



L. Dumas





Conclusion

Conditions aux limites

Le systeme est complete par deux conditions aux limitesappropriees pour les variables caracteristiques W1 et W2. Enparticulier, une pression (ou une section) peut etre imposee enentree.

Aux bifurcations, trois conditions additionnelles sont imposees(conservation de la masse et deux conditions sur la pression).

Aux sorties, une condition numerique artificielle correspondant aune resistance equivalente du reseau en aval est imposee.

(A2,Q2)

(A3,Q3)

(A1,Q1)

(R2)

(R3)



L. Dumas





Conclusion

Probleme inverse : la fonction cout

En vue de la construction d’un reseau arteriel utilisant lesresultats d’un echotracking, la foncion cout a minimiser est dutype suivant :

J(βi , ...) =∑

pts∈P1,...,PN

M∑i=1

(errA(ti , pts) + errQ(ti , pts))

avec errA(ti , pts) = |A(ti , pts)− Aexp(ti , pts)|2errQ(ti , pts) = |Q(ti , pts)− Qexp(ti , pts)|2

Les nombres minimaux N de points en espace et M de points entemps, permettant de reconstruire correctement le flux sanguinβ doivent en particulier etre determines.



L. Dumas





Conclusion





5 Conclusion



L. Dumas





Conclusion

Probleme d’optimisation a resoudre

On s’interesse donc ici au probleme de l’optimisation globaled’une fonction J : O ⊂ IRn → IR dont l’evaluation est complexeet couteuse.

En general, la fonction J est evaluee a partir de la resolutiond’une EDP ou d’un systeme d’EDP, ici le systeme couple d’EDPsur le reseau d’arteres.



L. Dumas





Conclusion

Methodes existantes

L’estimation du gradient de la fonction est en general difficile aobtenir, d’ou la necessite de recourir a des methodesd’optimisation sans derivees.

Il n’existe par ailleurs aucune methode d’optimisation globaledeterministe, hormis pour certaines fonctions particulierescomme les polynomes.

Dans le cas general, le choix se restreint aux methodesdeterministes multi-start ou aux algorithmes evolutionnaires.

Il est alors en general necessaire de reflechir a des strategiesd’acceleration de convergence pour obtenir un temps de calculraisonnable.



L. Dumas





Conclusion

Algorithmes evolutionnaires : historique

Les algorithmes evolutionnaires (algorithmes genetiques,strategies d’evolution, PSO, etc...) sont des methodesstochastiques d’optimisation qui tirent leur nom d’une analogieavec certaines lois d’evolution biologiques, voire economiques.

References : Holland (1976), Goldberg (1989), Cerf (1994),Schoenaueur (1996), Hansen (2001), etc...



L. Dumas





Conclusion

Principe general d’un algorithme genetique (GA)

Choix d’une population initiale P1 = X 1i ∈ O, 1 ≤ i ≤ Np

for ng from 1 to Ngen

Evaluation de J(Xngi ), 1 ≤ i ≤ Np.

for k from 1 toNp

2

Selection de (Xngα ,X

ngβ ) en fonction de leur facteur de sante.

Croisement : remplacer (Xngα ,X

ngβ ) par (Y

ngα ,Y

ngβ ).

Mutation : remplacer (Yngα , y

ngβ ) par (Z

ngα , z

ngβ ).

end for

Generation de la nouvelle population Png .

end for



L. Dumas





Conclusion

Principe general d’une strategie d’evolution (ES)

Choix d’une population initiale de µ parents :P1 = X 1

i ∈ O, 1 ≤ i ≤ µfor ng from 1 to Ngen

Creation d’une population de λ ≥ µ enfants Ong par :

Croisement a ω parents Yngi = 1

ω(∑ω

j=1 Xngj )

Mutation : remplacer Yngi par Z

ngi

Evaluation de J(Zngi ), 1 ≤ i ≤ λ

Selection des meilleurs µ parents dans la population Png ∪ Ong .

end for



L. Dumas





Conclusion

Principe general d’un essaim de particules (PSO)

Choix d’une population initiale P1 = (X 1i , v

1i , p

1i ), 1 ≤ i ≤ Np

de particules ayant la position actuelle Xi ∈ O, la vitesse vi etune meilleure position pi .

for ng from 1 to Ngen

Evaluation de J(Xngi ), 1 ≤ i ≤ Np.

Actualisation de la meilleure position individuelle et globale(pngg )

Calcul des nouvelles vitesses de chaque particule :

vng +1

i = ωvngi + c1ρ1(p

ngi − x

ngi ) + c2ρ2(p

ngg − x

ngi )

Calcul des nouvelles positions de chaque particule :

Xng +1

i = Xngi + v

ng +1

i

end for



L. Dumas





Conclusion

Un resultat de convergence pour les ES

Il existe tres peu de resultats de convergence des AlgorithmesEvolutionnaires.

La plupart de ces resultats concernent des fonctions spheriques :J(x) = g(||x ||2) avec g croissante.

Soit par exemple une strategie d’evolution (1, 1) representee parla suite de vecteurs aleatoires (Xn) et ayant une mutationgaussienne de variance σ||Xn||. Sous certaines hypothesestechniques et pour une fonction spherique, Xn converge presquesurement vers le minimum de J et :

limn→+∞

1

nln

(||Xn||||X0||

)= c < 0



L. Dumas





Conclusion





5 Conclusion



L. Dumas





Conclusion

Modeles approches

On cherche ici a construire une fonction approchee J (appeleeaussi metamodele ou surface de reponse) de la fonction exacte Ja partir d’un certain nombre de points Xi , 1 ≤ i ≤ N ou lafonction exacte est supposee connue.

De tels modeles sont incorpores dans le processus d’optimisationafin de reduire le nombre d’evaluations de la fonction exacte.



L. Dumas





Conclusion

Modeles approches : methode de krigeage

La premiere methode presentee ici, appelee methode dekrigeage, est une methode probabiliste basee sur la minimisationde la variance de l’estimation en un point X donne.

L’approximation de la fonction cout en un point X ∈ IRn s’ecrit :

J(X ) =N∑i=1

ω(Xi )J(Xi )

On suppose par ailleurs que J(X ) est une realisation de lavariable aleatoire j(X ) dont la covariance est connue :

cov(j(X ), j(Y )) = c(X ,Y )



L. Dumas





Conclusion


En cherchant a minimiser var (j(X )− j(X )) tout en imposantE (j(X )− j(X )) = 0, on aboutit a une relation permettant dedeterminer J(X ) :

J(X ) = KTC−1z

ou K est le vecteur colonne de terme general c(Xi ,X ), C est lamatrice de terme general c(Xi ,Xj), et z le vecteur colonne determe general J(Xi ).

Une estimation de la variance au point X est egalementdisponible :

var (j(X )− j(X )) = c(X ,X )− KTC−1K



L. Dumas





Conclusion


La fonction de correlation est en general choisie comme etant detype exponentielle :

c(X ,Y ) = θ1 exp

(−1

2

n∑i=1

(xi − yi )2

r 2i

)+ θ2

Les parametres Θ = (θ1, θ2, r1, ..., rn) sont alors determines parle principe du maximum de vraisemblance, c’est a dire enmaximisant la fonction :

L(Θ) = p(J(X1), ..., J(XN)) =1√

(2π)N det Cexp

(−1

2zTC−1z

)



L. Dumas





Conclusion

Modeles approches : methode RBF

Une autre methode possible, appelee methode RBF, estconstruite comme une combinaison lineaire de fonctions radialescentrees en chacun des points Xi .

L’approximation de la fonction cout en un point X ∈ IRn s’ecritalors :

J(X ) =N∑i=1

wih(||X − Xi ||)

ou h designe une fonction r 7→ h(r) dite fonction de base radiale.



L. Dumas





Conclusion


Les poids (wi )1≤i≤N sont calcules par resolution de l’equationmatricielle Aw = z traduisant l’exactitude du reseau sur lespoints (Xi )1≤i≤N , ou la matrice A ∈MN(R) a pour termegeneral ai,j = h(||Xi − Xj ||) et le second membre a pour termegeneral zi = J(Xi ).

On a donc ici :J(X ) = RTA−1z

ou R est le vecteur colonne de terme general h(||X − Xi ||).

Pour des fonctions h bien choisies, on peut montrer que lamatrice A est toujours inversible voire definie positive.



L. Dumas





Conclusion


Afin de determiner les parametres optimaux des fonctions debase du modele RBF, une methode de type ’leave-one out’ peutetre utilisee.

Cette methode consiste a entrainer le reseau sur tous les pointssauf un et a tester l’erreur commise sur ce point. En repetant ceprocede sur tous les points, on aboutit a une erreur globale qu’ils’agit de rendre minimale.

La methode RBF rejoint alors la methode de krigeage si unefonction gaussienne est choisie dans les deux cas. Seule la faconde chercher les parametres optimaux de cette gaussiennedifferent.



L. Dumas





Conclusion


Dans le cas ou le nombre de points N est tres grand, la matriceA peut etre mal conditionnee. Afin d’eviter ce probleme, deuxchoix sont possibles.

Soit un procede de regularisation de Tychonov est ajoutepermettant de reduire le conditionnement de A. Dans ce cas, lamethode RBF cesse d’etre une methode d’interpolation.

Soit le nombre de points N est reduit a m en ne considerant queles plus proches points du point X a calculer. Dans ce cas, lereseau construit devient local.



L. Dumas





Conclusion

Modeles approches : sparse grids

La methode des sparse grids (introduite en 1963 par Smoliakpour l’integration numerique) est une methode hierarchiqued’interpolation bien adaptee au cas des grandes dimensions.

Le principe consiste a construire en 1D l’interpolation de manierehierarchique puis a effectuer un produit tensoriel en ne gardantque les fonctions de base dont le support est le plus etendu :

J(X ) =∑

|(i1,...,in)|1≤k+n

∆i1 (x1)⊗ ...⊗∆in(xn)

ou

∆i (x) = gi (x)− gi−1(x) =∑

x ij∈X

i∆

(J(x ij )− gi−1(x i

j ))aij(x)



L. Dumas





Conclusion


En dimension n, la methode des sparse grids au niveau k permetd’approcher une fonction reguliere avec une erreur de l’ordre deO(k−2(log k)n−1) avec O(k(log k)n−1) points (au lieu deO(k−2) avec kn points pour une grille uniforme).

Differents type de sparse grids existent (en fonction de larepartition des points et des fonctions de base). On utilise ici lessparse grids qui utilise les points et les polynomes de Chebychevpermettant d’obtenir une approximation polynomiale.



L. Dumas





Conclusion


Exemple d’approximation de la fonction de Michalewicz pour unniveau N = 4 (29 points) :



L. Dumas





Conclusion

Couplage fort/faible

Il existe deux types de couplage possibles entre les methodesd’optimisation et les modeles approches pour optimiser unefonction J donnee.

La premiere idee consiste a piloter l’optimisation avecl’algorithme d’optimisation (evolutionnaire en general) et autiliser le modele approche pour un certain nombresd’evaluations (couplage fort).

La deuxieme idee consiste a piloter l’optimisation avec lemodeles approche en utilisant un algorithme d’optimisation pourameliorer sa precision au cours des iterations (couplage faible).



L. Dumas





Conclusion

Exemple de couplage fort : l’algorithme AGA

A partir d’une base de type Algorithme Genetique, un algorithmeplus performant, appele AGA, a ete construit.

Il consiste a n’evaluer exactement que les points les plusperformants suite a une pre-evaluation approchee par unemethode de type RBF.

Le nombre de tels points decroit au cours des generations pourne plus concerner qu’un seul element lors de la dernieregeneration de l’algorithme.



L. Dumas





Conclusion

Exemple d’utilisation de l’algorithme AGA

Sur la fonction de Rastrigin, le gain compare a un AG classiquese situe entre un facteur 2 et 10 (pour n = 6 et n = 20representes ci dessous) :

0 500 1000 1500 2000 2500

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

convergence history

Neval

fmin

AGA

GA

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

0

20

40

60

80

100

120

convergence history

Neval

fmin

AGA

GA



L. Dumas





Conclusion

Exemple de couplage faible : l’algorithme GOSGrid

Dans cette nouvelle approche, la methode des sparse grids estutilisee comme metamodele global.

L’idee de l’algorithme consiste a ameliorer la representativite dumodele a l’aide d’un principe de reprise locale dans les zonesd’interet.

A un niveau hierarchique donne, les zones d’interet sontrecherchee par une methode d’optimisation de type gradient(donc locale) ou evolutionnaire (donc globale).

Une telle approche est particulierement adaptee aux problemesen grande dimension vu les proprietes de l’interpolation parsparse grids.



L. Dumas





Conclusion

Exemple d’utilisation de l’algorithme GOSGrid

Les premiers resultats mettent en evidence un gain importantcompare a un ES performant (exemple ci-dessous : fonction deMichalewicz en dimension 5) .



L. Dumas





Conclusion





5 Conclusion



L. Dumas





Conclusion

Simulation numerique d’une artere saine

L’objectif de cette premiere simulation est d’ajuster le modele1D aux resultats d’un modele 3D existant (calcule a l’aide dulogiciel LifeV).

Un algorithme genetique est utilise ici pour determiner la valeuroptimale de β. La fonction cout est basee sur les profils de A etQ en trois positions.



L. Dumas





Conclusion

Simulation numerique d’une artere saine

Il s’avere en fait possible de retrouver les resultats du modele 3Da un cout largement moindre.

0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.0080.775

0.780

0.785

0.790

0.795

0.800

0.805

0.810

0.815

0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008−5

0

5

10

15

20

pt P (calcul 3D)

pt P(modèle 1D)

pt M (calcul 3D)

pt M (modèle 1D)

pt D (calcul 3D)

pt D (modèle 1D)

0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008

−2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

pt P (calcul 3D)

pt M (calcul 3D)

pt D (calcul 3D)

pt P(modèle 1D)

pt M (modèle 1D)

pt D (modèle 1D)

pt P (calcul 3D)

pt P(modèle 1D)

pt M (calcul 3D)

pt M (modèle 1D)

pt D (calcul 3D)

pt D (modèle 1D)

A noter aussi que le coefficient β optimal est largement inferieura celui issu d’une derivation formelle.



L. Dumas





Conclusion

Simulation numerique d’une artere stenosee

L’objectif de cette nouvelle simulation est de reconstruire lafonction de rigidite d’une artere z 7→ β(z) en supposant quecelle-ci est du type suivant :

Les 4 inconnues associees sont la position et la rigidite de laplaque : a1, a2, β1 et β2.

Les problemes inverses presentes ici sont construits a partir dedonnees synthetiques calculees avec le modele 1D.



L. Dumas





Conclusion


Quand les profils de A et Q sont connus en 3 positionsdifferentes, il est possible de reconstruire la forme exacte de lafonction de rigidite.

0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.0080.76

0.77

0.78

0.79

0.80

0.81

0.82

0.83

valeurs de section issues du calcul cible 1D en 3 points

t

p

0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008−2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

valeurs de debit issues du calcul cible 1D en 3 points

t

p

pt P (calcul cible)

pt M (calcul cible)

pt D (calcul cible)

pt P(après optmim.)

pt M (après optmim.)

pt D (après optmim.)

0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008

−10000

−5000

0

5000

10000

15000

20000

valeurs de pression issues du calcul cible 1D en 3 points

t

p

pt P (calcul cible)

pt M (calcul cible)

pt D (calcul cible)






L. Dumas





Conclusion


Quand les profils de A et Q sont connus seulement en uneposition en aval du saut de rigidite, il est encore possible delocaliser la plaque et de donner une estimation du saut derigidite, assez peu precise cependant.

0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.0080.76

0.77

0.78

0.79

0.80

0.81

0.82

0.83

valeurs de section issues du calcul cible 1D en 3 points

t

p

0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008−2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

valeurs de debit issues du calcul cible 1D en 3 points

t

p

pt P (calcul cible)

pt M (calcul cible)

pt D (calcul cible)




0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008

−10000

−5000

0

5000

10000

15000

20000

valeurs de pression issues du calcul cible 1D en 3 points

t

p

pt P (calcul cible)

pt M (calcul cible)

pt D (calcul cible)




pt P (calcul cible)

pt M (calcul cible)

pt D (calcul cible)






L. Dumas





Conclusion

Simulation numerique des arteres d’un patient sain

La simulation presentee ici a consiste a reconstruire le reseauarteriel des membres inferieurs d’un patient sain a l’aide demesures non invasives par echotracking en quelques points dureseau.

Artère fémorale commune

Artère fémorale superficielle

Artère fémorale profondeArtère poplité

Artèe tibiale postérieure

Artère descendante du genou

Artère tibiale antérieure

1

2

3

5

4

6 7

Le modele fluide-structure simplifie precedent a ete utilise pourmodeliser le reseau arteriel. Le probleme inverse a resoudrepossede pour inconnues les parametres physiques et numeriquesdu modele.



L. Dumas





Conclusion


La fonction cout a minimiser est construite a partir des 4mesures realisees par echotracking :

J2(ψ) =∑

k∈1,2,4,6

‖∼Q(ψ, k)− Qecho(k)‖l2‖Qecho(k)‖l2

ou les parametres ψ a determiner sont :

Les coefficients β de chacune des arteres du reseau : βi ,i ∈ 1, . . . , 7.Les coefficients Rt reglant les resistance en sortie de reseau : R i

t ,i ∈ 3, 5, 6.



L. Dumas





Conclusion


Artère iliaque interne

Artère poplité

Artère femorale superficielle

Artère tibiale antérieures s

ss

cm/s cm/s

cm/s cm/s

Vitesse moyenne mesurée par écho-tracking Vitesse moyenne simulée

J 2QPatient 1 : résultats obtenus avec la fonction

- 15

- 10

- 5

0

5

10

15

20

25

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

- 15

- 10

- 5

0

5

10

15

20

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

- 15

- 10

- 5

0

5

10

15

20

25

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

- 4

- 2

0

2

4

6

8

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0



L. Dumas





Conclusion



Artère poplité


s s

s

cm cm

cm

Aire de la section mesurée par écho-tracking

Aire de la section simulée


0.50

0.55

0.60

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

2 2

2

0.502

0.504

0.506

0.508

0.510

0.512

0.514

0.516

0.518

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

0.395

0.400

0.405

0.410

0.415

0.420

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0



L. Dumas





Conclusion


Profils d’aire et de vitesse pour les 4 arteres :


Artère poplité


Artère tibiale antérieures s

ss

cm/s cm/s

cm/s cm/s

Vitesse moyenne mesurée par écho-tracking Vitesse moyenne simulée


- 15

- 10

- 5

0

5

10

15

20

25

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

- 15

- 10

- 5

0

5

10

15

20

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

- 15

- 10

- 5

0

5

10

15

20

25

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

- 4

- 2

0

2

4

6

8

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0


Artère poplité


s s

s

cm cm

cm

Aire de la section mesurée par écho-tracking

Aire de la section simulée


0.50

0.55

0.60

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

2 2

2

0.502

0.504

0.506

0.508

0.510

0.512

0.514

0.516

0.518

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

0.395

0.400

0.405

0.410

0.415

0.420

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Autres informations mises a la disposition du praticien : profilsde pression, coefficients de rigidite des 7 arteres, etc...



L. Dumas





Conclusion

Conclusions et perpectives

La simulation numerique est un outil d’aide au diagnostic deplus en plus utilisee dans differents domaines medicaux.

Les methodes evolutionnaires d’optimisation sont les plusefficaces dans ce contexte pour determiner les parametres dumodele utilise, specifiques a chaque patient.

L’introduction de modeles approches s’avere en generalindispensable pour obtenir un temps de calcul raisonnable.

Les travaux presentes ici montrent qu’un examen non invasif etpeu couteux comme l’echotracking couple a une simulationnumerique du flux sanguin pourra ameliorer la prediction desrisques de maladies cardiovasculaires.

L. Dumas Mod elisation et simulation num erique du ux...

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