Kit de survie

download Kit de survie

of 13

  • date post

    05-Jan-2017
  • Category

    Documents

  • view

    218
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Kit de survie

  • Kit de survie - Bac ES

    1. tude du signe dune expressiona) Signe de ax+ b (a 6= 0)

    On dtermine la valeur de x qui annule ax+ b, puis on applique la rgle : signe de a aprs le 0 .x 1 b=a +1ax+ b signe de (a) 0 signe de ab) Signe de ax2 + bx+ c (a 6= 0)

    On calcule la discriminant = b2 4ac (sauf cas vidents) Si < 0, on applique la rgle : toujours du signe de a .x 1 +1ax2 + bx+ signe de a Si = 0, on calcule la racine double : x1 =

    b

    2a.

    On applique alors la rgle : toujours du signe de a et sannule pour x = x1 .x 1 x1 +1ax2 + bx+ signe de a 0 signe de a Si > 0, on calcule les deux racines : x1 =

    b

    2aet x2 =

    b+

    2a.

    On applique alors la rgle : signe de a lextrieur des racines .x 1 x1 x2 +1ax2 + bx+ signe de a 0 signe de (a) 0 signe de a(on suppose que x1 < x2)

    c) Utilisation des variations dune fonction pour dterminer son signe

    Les cas les plus classiques :

    +

    + +

    + +

    0 0

    (minimum positif) (maximum ngatif)

    (f croissante) (f dcroissante)

    TES P.Brachet - http://www.xm1math.net 1/ 13

    http://www.xm1math.net

  • d) Pour les autres expressions :Pour tudier le signe dune expression A(x) (qui nest pas du premier, ni du second degr et aprs avoir factorisau maximum) sur un intervalle I, on rsout linquation A(x) > 0 (on cherche ce qui annule lexpression et omettre le(s) signe(s) +).

    I Exemple : tude du signe de (3 lnx) sur I = ]0; +[.3 lnx > 0 3 > lnx ln(e3) > x e3 > x.On en conclut que lexpression sannule pour x = e3 et quil faut mettre le signe + pour 0 < x < e3 :

    +

    3ln x

    x 0 e 3

    +

    2. Drivation Drives des fonctions usuelles :

    f(x) = a f (x) = 0 f(x) = ax+ b f (x) = a f(x) = x f (x) = 1

    f(x) = x2 f (x) = 2x f(x) = x3 f (x) = 3x2 f(x) = 1x f (x) = 1

    x2

    f(x) =1

    x2 f (x) = 2

    x3f(x) =

    1

    x3 f (x) = 3

    x4f(x) =

    x f (x) = 1

    2x

    Oprations sur les fonctions drivables :Fonction Fonction drive Fonction Fonction drivef + g f + g f2 2 f f

    k f (k rel) k f 1

    f f

    f2

    f g f g + f gf

    g

    f g f gg2

    3. Tangente

    Si f est drivable en a alors une quation de la tangente Cf au point dabscisse a est :y = f(a) + f (a)(x a) Pour dterminer les abscisses des ventuels points de Cf o la tangente est parallle une certaine droitedquation y = mx + p, il suffit de rsoudre lquation f (x) = m. (les coefficients directeurs devant tregaux)

    4. quation f(x) = k

    Si f est continue et strictement croissante ou strictement dcroissante sur un intervalle I et si kest compris entre les valeurs de f aux bornes de I alors lquation f(x) = k admet une unique solution x0dans I. Pour dterminer une valeur approche de x0, on utilise la mthode du balayage .

    I Exemple : la fonction f dfinie par f(x) = x+ lnx est continue et strictement croissante sur I = [1,2] car fest drivable et f (x) = 1 +

    1

    x> 0 sur I. De plus 2 est compris entre f(1) = 1 et f(2) 2,7. On peut donc en

    conclure que lquation f(x) = 2 admet une unique solution x0 dans [1,2].Pour dterminer une valeur approche de x0 101 prs, on balaye lintervalle avec un pas de 0,1 :

    x 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2

    f(x) 1 1,19 1,38 1,56 1,73 1,90 2,07

    On a arrt les calculs aprs 1,6 car 2 a t franchi par f(x).En effet, daprs le tableau, f(1,5) < 2 < f(1,6). On peut donc en dduire que : 1,5 < x0 < 1,6.Conclusion :1,5 est une valeur approche de x0 par dfaut 101 prs.1,6 est une valeur approche de x0 par excs 101 prs.

    TES P.Brachet - http://www.xm1math.net 2/ 13

    http://www.xm1math.net

  • 5. ConvexitDfinition

    tant donn une fonction f drivable sur un intervalle I. f est dite convexe sur I si sa courbe reprsentative est entirement situe au dessus de chacune de sestangentes. f est dite concave sur I si sa courbe reprsentative est entirement situe en dessous de chacune de sestangentes.

    Proprittant donn une fonction f deux fois drivable sur un intervalle ]a; b[. Si, pour tout x de ]a; b[, f (x) > 0 alors f est convexe sur ]a; b[. Si, pour tout x de ]a; b[, f (x) 6 0 alors f est concave sur ]a; b[. Si f (x) sannule en changeant de signe en un point x0 de ]a; b[ alors la courbe de f admet un pointdinflexion en x0 (la courbe traverse la tangente en ce point).

    6. Logarithmea) Proprits

    lnx nexiste que si x > 0

    Si a > 0 et b > 0 :ln(ab) = ln a+ ln b ; ln

    (1

    a

    )= ln a ; ln

    (ab

    )= ln a ln b ; ln (a) = ln a ; lna = 1

    2ln a

    ln e = 1 ; ln 1 = 0 ; ln(en) = n (n entier)

    Signe du logarithme : lnx < 0 si 0 < x < 1 ; lnx > 0 si x > 1

    ln a = ln b a = b ; ln a < ln b a < b ; ln a 6 ln b a 6 b

    Pour les quations et inquations avec logarithme, ne pas oublier de commencer par dfinir les conditionsdexistence (les expressions contenues dans un logarithme doivent tre strictement positives).

    I Exemples dquations et dinquations : lnx+ ln 2 = 5. Condition dexistence : x > 0.Avec cette condition : lnx+ ln 2 = 5 ln (2x) = 5 ln (2x) = ln(e5) 2x = e5 x = e

    5

    2. S =

    {e5

    2

    } ln (x+ 2) 6 1. Condition dexistence : x+ 2 > 0 x > 2.Avec cette condition : ln (x+ 2) 6 1 ln (x+ 2) 6 ln e x+ 2 6 e x 6 e 2. S = ]2; e 2]

    b) Drives

    (lnx) = 1x

    ; (lnu) =u

    u(u > 0)

    I Exemple :(ln(x2 + 5x+ 1)

    ) =

    2x+ 5

    x2 + 5x+ 1

    7. Exponentiellea) Proprits

    y = ex ln y = x ; ln (ex) = x ; eln x = x (pour x > 0)

    Pour tout x, ex > 0 ; e0 = 1 ; e1 = e

    Pour tous rels a et b : ea eb = ea+b ; 1ea

    = ea ;ea

    eb= eab (ea)

    b= eab

    ea = eb a = b ; ea < eb a < b ; ea 6 eb a 6 b

    TES P.Brachet - http://www.xm1math.net 3/ 13

    http://www.xm1math.net

  • I Exemples dquations et dinquations : e2x 2ex 3 = 0 X2 2X 3 = 0 avec X = ex. = 16 ; X = 1 ou X = 3. Do, ex = 1 (impossible) ou ex = 3 x = ln 3. S = {ln 3} ex < 5ex ex < 5

    ex e2x < 5 (car ex > 0) 2x < ln 5 x < ln 5

    2. S =

    ]; ln 5

    2

    [.

    b) Drives

    (ex) = ex ; (eu) = u eu

    I Exemples : (ex) = ex ;(ex

    2+1)

    = 2x ex2+1

    8. Puissances

    Pour tous rels a et b avec a > 0 : ab = eb ln a ; ln ab = b ln a Pour tout rel a > 0 et pour tout entier n > 1 : na = a 1n ; ( na)n = a

    I Exemples : 2x = 5 ln (2x) = ln 5 x ln 2 = ln 5 x = ln 5

    ln 2 Pour tout x, (3x) =

    (ex ln 3

    )= ln 3 ex ln 3 = ln 3 3x.

    9. Primitives

    F est une primitive de f sur un intervalle I si F est drivable sur I et si pour tout x de I, F (x) = f(x). Si F0 est une primitive de f sur intervalle I alors toutes les primitives de f sur I sont de la formeF (x) = F0(x) + C o C est une constante relle. Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.

    Primitives des fonctions usuelles : (F reprsente une primitive de f)

    f(x) = a F (x) = ax f(x) = x F (x) = x2

    2

    f(x) = x2 F (x) = x3

    3f(x) = x3 F (x) = x

    4

    4

    f(x) =1

    x F (x) = lnx f(x) = 1

    x2 F (x) = 1

    x

    f(x) =1

    x3 F (x) = 1

    2x2f(x) =

    1x F (x) = 2x

    f(x) = ex F (x) = ex

    Formules gnrales :forme de f une primitive de f exemples

    U UU2

    2f(x) =

    1

    x lnx F (x) = (lnx)

    2

    2

    U U2U3

    3f(x) = 4(4x+ 1)2 F (x) = (4x+ 1)

    3

    3

    U U3U4

    4f(x) = 2x(x2 + 1)3 F (x) = (x

    2 + 1)4

    4

    U

    U2(U(x) 6= 0)) 1

    Uf(x) =

    3x2

    (x3 + 1)2 F (x) = 1

    x3 + 1

    U

    U3(U(x) 6= 0)) 1

    2U2f(x) =

    7

    (7x+ 1)3 F (x) = 1

    2(7x+ 1)2

    U U

    (U(x) > 0) 2U f(x) =

    33x+ 2

    F (x) = 2

    3x+ 2

    U eU eU f(x) = 4e4x+5 F (x) = e4x+5

    TES P.Brachet - http://www.xm1math.net 4/ 13

    http://www.xm1math.net

  • Recherche pratique dune primitive :Pour les fonctions usuelles, on utilise directement les formules.Pour autres fonctions, il faut dabord identifier la forme qui ressemble le plus la fonction. Si on a la formeexacte, on utilise directement la formule correspondante. Dans le cas contraire, on crit la forme exacte quilfaudrait pour la fonction f et on rectifie en multipliant par le coefficient adquat.

    I Exemple :Soit f dfinie par f(x) = e3x+4. On pense la forme U eU (dont une primitive est eU ) .

    On crit que f(x) =1

    3 3 e3x+4

    forme exacte

    Une primitive de f est donc F dfinie par F (x) =1

    3e3x+4.

    10. Calcul intgral

    Soit f une fonction continue sur un intervalle I :

    Pour tous a et b de I, ba

    f(x) dx = [F (x)]ba = F (b) F (a) o F est une primitive de f sur I.

    I Exemple : e1

    1

    x lnx dx =

    [(lnx)2

    2

    ]e1

    =(ln e)2

    2 (ln 1)

    2

    2=

    1

    2.

    Proprits de lintgrale :Pour f et g continues sur un intervalle I et pour a, b et c de I :

    ab

    f(x) dx = ba

    f(x) dx.

    ba

    f(x) dx+

    cb

    f(x) dx =

    ca

    f(x) dx (Relation de Chasles)

    ba

    (f + g)(x) dx =

    ba

    f(x) dx+

    ba

    g(x) dx (linarit de lintgrale)

    Pour tout rel k, ba

    (kf)(x) dx = k

    ba

    f(x) dx (linarit de lintgrale)

    Si a 6 b et si f(x) > 0 sur [a,b] alors ba

    f(x) dx > 0

    Si a 6 b et si f(x) 6 0 sur [a,b] alors ba

    f(x) dx 6 0

    Si a 6 b et si f(x) 6 g(x) sur [a,b] alors ba

    f(x) dx 6 ba

    g(x) dx

    Valeur moyenne dune fonction sur un intervalle

    Si f est continue sur [a,b], la valeur moyenne de f sur [a,b] est gale 1

    b a

    ba

    f(x) dx

    Calculs dairesf et g sont deux f