JOUEZ AVEC MYSTERO !…

Pour un passage de la langue ordinaire au langage mathématique

MAUGER IsabelleMaîtresse E, RASED d’Evian-les-Bains

Stage filé Mathématiques cycle 3Haute-Savoie 2007 - 2008

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JOUEZ AVEC MYSTERO !

Introduction

La résolution de problèmes permet de donner leur signification à toutes les connaissances qui y sont travaillées […]Chercher, abstraire, raisonner, prouver, il est nécessaire de prendre en compte les démarches mises en œuvre par les élèves, les solutions personnelles qu’ils élaborent, leurs erreurs, leurs méthodes de travail, et de les exploiter dans des moments de débat. (Programmes 2007)

Les évaluations nationales de CM2 proposent des problèmes que les élèves résolvent à l’écrit, après avoir lu un énoncé. Ils peuvent utiliser un cadre pour effectuer leurs recherches.Ce que contient ce cadre, lorsque l’élève ne l’a pas effacé ou raturé, est la seule trace dont dispose l’enseignant pour comprendre la démarche mise en œuvre pour résoudre le problème.Bien souvent, ce contenu permet d’évaluer correctement le travail de l’élève, mais que faire lorsque l’élève montre qu’il n’a pas compris, qu’il a abandonné sa recherche ?

Ce qui manque à l’enseignant, c’est le cheminement de l’élève en temps réel, PENDANT qu’il résout le problème.

Pour cela, il peut être pertinent d’abandonner les énoncés écrits pour se consacrer à des activités oralisées, favorisant un débat constructif. Encore faut-il trouver un support permettant des échanges verbaux actifs autour d’une résolution de problème.Je proposerai le jeu « Mystero » : en effet, son utilisation répond à de nombreux objectifs des programmes, tant pour les mathématiques que pour le chapitre « Dire », consacré aux échanges avec la classe et avec le maître.

Ce qui m’amène à poser la problématique suivante :

En quoi Mystero peut-il aider à faire émerger les mots, les connaissances, les questions dont les élèves disposent pour résoudre un problème au cycle 3 ?

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Voici quelques extraits des programmes 2007 pour répondre à cette problématique :

Les mathématiques

L’essentiel du programme réside dans l’orientation pragmatique d’un enseignement des maths centré sur la résolution de problèmes.

OBJECTIFS

La résolution de problèmes est au centre des activités mathématiques et permet de donner leur signification à toutes les connaissances qui y sont travaillées […]Les situations sur lesquelles portent les problèmes proposés peuvent être issus de la classe, de la vie courante, de jeux, ou s’appuyer sur des objets mathématiques (figures, nombres, mesures…) […] Au travers de ces activités, le développement des capacités à chercher, abstraire, raisonner, prouver, amorcé au cycle 2, se poursuit. Pour cela, il est nécessaire de prendre en compte les démarches mises en œuvre par les élèves, les solutions personnelles qu’ils élaborent, leurs erreurs, leurs méthodes de travail, et de les exploiter dans des moments de débat. Au cycle 3, les élèves apprennent progressivement à formuler leurs raisonnements de manière plus rigoureuse, s’essaient à l’argumentation et à l’exercice de la preuve.[…] l’usage ordinaire de la langue orale et les formulations spontanées des élèves prévalent. Ils sont toutefois complétés par le recours à un lexique et à des formulations spécifiques, nécessaires à la rigueur du raisonnement.L’élaboration des connaissances se réalise au travers de la résolution de problèmes ; leur maîtrise nécessite des moments d’explicitation et de synthèse, et leur efficacité est conditionnée par leur entraînement dans des exercices qui contribuent à leur mémorisation.

Lire, dire, écrire dans toutes les disciplines.

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- L’enseignant veillera à adopter en toute occasion un niveau de langue soutenu, à faire reformuler ou reformuler lui-même les phrases imprécises et maladroites, sans s’inscrire dans la connivence avec le langage des enfants.

DIRE en mathématiques

- Utiliser les connaissances et le lexique spécifique des mathématiques dans les différentes situations didactiques mises en jeu.- Formuler oralement, avec l’aide du maître, un raisonnement rigoureux.- Utiliser les capacités en calcul mental dans un raisonnement.- Participer à un débat et échanger des arguments à propos de la validité d’une solution.

DIRE

Eléments du socle attendus à la fin du cycle 3- Participer à des échanges au sein de la classe ou de l’école :- En attendant son tour de parole,- En écoutant autrui, - En restant dans les propos de l’échange,- En exposant ses propositions de réponse et en explicitant les raisons qui ont conduites à celles-ci.

En m’appuyant sur les objectifs des programmes, je fais deux hypothèses :

1 - Les échanges oraux en petit groupe de trois élèves favorisent le passage de l’usage ordinaire de la langue orale au langage mathématique.En effet, c’est le terme exact qui permet de nommer les objets et les concepts qui permettent aux élèves de s’approprier ce qu’ils énoncent.

2 – Lorsque les élèves s’appuient sur des vérifications systématiques au cours de leurs échanges oraux, ils dévoilent leur cheminement en cours de raisonnement et réussissent à résoudre le problème.

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Mystero

Voici ce qui m’a amenée à choisir le support de Mystero pour amener les élèves à parler, à chercher, à résoudre des problèmes.

Mystero est un jeu qui permet « de compter en s’amusant ». (Ed. La Chenelière)

Extrait du livret qui accompagne le jeu :« Le concept de nombre est d’abord et avant tout une construction de l’esprit qui se réalise dans le subtil équilibre entre la compréhension, le raisonnement et la mémorisation. Le jeu Mystero permet d’amener l’enfant dans cette zone où il lui faudra à la fois comprendre (faire comme si …), raisonner (dénombrer) et se souvenir (reconnaître les chiffres, se rappeler de la disposition des points sur un dé, etc.…)L’essentiel est de pouvoir justifier chaque élément de sa réponse. L’élève doit toujours vérifier si chaque indice a bien été respecté. »

Mystero se compose d’un plateau de jeu comportant 9 cases et des cartes de 1 à 9. Il s’agit d’associer chacune des cartes à une case contenant une image avec des informations diverses : objets de la vie courante, figures géométriques, dés, cartes à jouer… La case du milieu est vide, elle sera complétée par la carte restant en main à la fin du jeu, c’est « Mystero », la carte mystère.

Je me suis beaucoup servi de ce jeu pour travailler le concept de nombre de 1 à 9 avec des élèves en difficulté scolaire. En fait, les élèves ne se contentent pas de compter : ils résolvent des problèmes.« Résoudre des problèmes en utilisant les connaissances sur les nombres naturels et décimaux et sur les opérations étudiées. » (Programmes 2007)

La présentation originale de ce jeu, basé sur des images, permet d’écarter les difficultés suivantes :

• pas de consigne fermée• pas d’opération à poser• pas de grands nombres• pas de structure complexe du problème• pas de méthode imposée pour appréhender la situation• pas de lecture d’un énoncé• pas de mots inducteurs (plus, moins, gagne, …)• pas de fausse représentation du problème

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Ce jeu permet de passer de l’usage de la langue ordinaire au langage mathématique :

• La succession des planches de jeu permet de travailler de façon récurrente :• Des connaissances linguistiques nécessaires à la compréhension : lexique, syntaxe.• Une connaissance du vocabulaire spécifique en mathématiques et des symboles conventionnels.• La capacité de repérer, trier, sélectionner, structurer les informations mathématiques en situation de résolution de problème.• Le passage progressif de la langue naturelle au formalisme du langage mathématique.(Extrait de « Les enjeux didactiques en mathématiques à l’école élémentaire », Joël Briand

Ce jeu favorise l’activité de recherche de l’élève :

• Le contenu du jeu est varié tout en proposant des situations problèmes apparemment récurrentes.• L’élève apprend à chercher : repérer des indices dans l’image, comparer, déduire, organiser des données.• Il s’entraîne à résoudre des problèmes tout en utilisant sa connaissance des nombres, il calcule mentalement, il compare… • Il réinvestit le vocabulaire de géométrie : point, droite, segment, milieu, angle, figure géométrique, sommet, côté, centre, triangle,

rectangle, losange, cercle…• Ses procédures personnelles sont valorisées, Il se sert des échanges et des interactions orales entre élèves, il prend du temps pour laisser

s’exprimer les doutes, il argumente, il met en place une stratégie.• La maîtresse propose des aides minimales : elle apporte des connaissances mathématiques indispensables pour la progression de la

recherche, elle aide à la correction de la syntaxe et du lexique pour parvenir à la production d’une phrase correctement construite. Elle impose la formulation de questions.

• L’élève énonce un raisonnement rigoureux, en ayant recours à un lexique et à des formulations spécifiques.

Ce jeu permet à l’enseignant de suivre en temps réel le cheminement des élèves pendant qu’ils résolvent le problème :

Je me suis appuyée sur les travaux de recherche de Jean Julo (Représentation des problèmes et réussite en mathématiques, PUF Rennes) et de Joël Briand (Les enjeux didactiques en mathématiques à l’école élémentaire), pour construire la grille suivante :

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Le déroulement de ces quatre phases n’est pas essentiellement chronologique : en effet, la résolution de problème se fait en opérant des allers-retours entre ces phases.

Tâche de l’élève Rôle de la maîtresseLecture de l’image = Interprétation

L’élève perçoit les premières informations issues de l’environnement (images, symboles, objets de la vie courante présentant des conventions de lecture, dés, cartes à jouer…) et s’approprie les données du problème.

La maîtresse observe le groupe

Elle écoute les interactions orales entre élèves.Elle relève le vocabulaire utilisé.Elle vérifie que le dénombrement est rapide (reconnaissance immédiate d’une constellation par exemple).

Tri d’informations = Structuration

Au fur et à mesure de l’analyse des images et en fonction des images rencontrées antérieurement – qui ont laissé des traces dans la mémoire - l’élève résout de nouveaux problèmes.

La maîtresse demande à un élève de formuler une phraseA tour de rôle, chaque élève analyse une image de son choix. Il formule une phrase du type « Je vois… alors… »Il formule une hypothèse lorsqu’un choix est possible.La maîtresse note la production orale de l’élève en bleu.

Tâche de l’élève Rôle de la maîtresseOrganisation des données = Opérationnalisation

C’est le passage à l’action effective ou mentale pour atteindre le but. L’élève met en œuvre les connaissances opératoires issues de ses expériences passées. Plus l’élève agit, plus sa représentation se structure.

La maîtresse organise le débatElle demande aux élèves d’argumenter, notamment lorsqu’une image présente plusieurs solutions possibles.L’élève justifie son choix en formulant une phrase du type « Si… alors… »La maîtresse apporte des connaissances si c’est nécessaire.

Vérification = Contrôler ses actions

Tout au long du travail sur les images, l’élève rectifie son raisonnement en vérifiant systématiquement son ou ses choix. Il abandonne une hypothèse, en élabore une autre, en interaction avec les réflexions des autres.A la fin du jeu, il se reporte au tableau de solution, puis rectifie ses erreurs en argumentant.

La maîtresse intervient le moins possibleElle ne manifeste ni approbation, ni refus.Elle poursuit sa prise de notes. Elle relit les questions oralement pour que les élèves formulent leurs phrases avec exactitude lorsque c’est nécessaire.Les élèves vérifient eux-mêmes leurs solutions avec le tableau de solutions. Ils argumentent et justifient les nouveaux choix en cas d’erreur.

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JOUER AVEC MYSTERO

Trois élèves du cycle 3, Angélique (CM1), Aurélia et Mathilde (CM2) ont été retenues pour utiliser les dernières planches du jeu Mystéro.

Les images proposées permettent de s’interroger, d’argumenter, de déduire, d’opérer des choix. Une grande place est dévolue au point d’interrogation, ainsi qu’à des indices de compréhension de plus en plus fins, faisant appel à des conventions codées connues des élèves, mais qu’il s’agit de mettre en lien avec les images pour associer la carte correspondante.

Les trois élèves ont travaillé en interactivité de la planche 30 à la planche 36, soit 7 planches. Mon rôle a consisté à relever la formulation de leurs hypothèses lorsque le choix s’avérait possible selon l’élève. J’ai essayé d’intervenir le moins possible dans leurs échanges, afin de ne pas influer sur leur représentation. Ce sont les échanges qui permettent aux élèves de modifier leur représentation et donc leur justification.

La succession des planches permet d’observer la formulation orale des élèves : il s’agit de repérer le lexique spécifique aux mathématiques utilisé, ainsi que les tournures syntaxiques qui montrent que l’élève met en œuvre une connaissance opératoire.

L’analyse du travail des élèves se décline en cinq parties, suivie de remarques qui décrivent le comportement des élèves ainsi que la vérification de mes deux hypothèses :

- Les certitudes- Les interrogations, les hésitations- Les hypothèses, les erreurs- Les modifications des représentations- Les apports de la maîtresse.

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LES CERTITUDES

Angélique Aurélia MathildeMystero 30 10 mars

3, je vois trois dés. 7, 7 carrés sur la balance. 1, il y a 1 bobine.

Mystero 3114 mars

7, le point d’interrogation, c’est le 7, parce qu’avant, on a la page 6.

4, le chiffre qui manque, c’est le 4.

9, il y a 9 bougies.2, 8 – 6 = 2 (1 carte à jouer)

Mystero 32 9, il y a 9 trombones.5, Quel nombre peut se placer entre 4 et 6 ? *

1, il y a 1 sandwich.3, il y a 3 dés. On ne peut pas faire 5 + 5 = 10, ni 5 – 5 = 0, il n’y a pas les cartes 0 et 10.

2, il y a 2 boutons.6, 4 + 2 = 6. (2 cartes à jouer)4, 4 roues pour les deux vélos.

Mystero 33 6, le chiffre 6.9, Quel nombre manque-t-il sur la calculatrice ?

1, 1 ballon.2, il y a 2 poches sur le pantalon.4, c’est le seul nombre qui reste sur le fond rose.

7, c’est une ligne brisée de 7 segments.5, Quel nombre suit le 4 sur les pages d’un livre ?3, Quel nombre manque entre 2 et 4 ?

Mystero 34 4, Quel nombre peut se placer entre le 3 et le 5 ?7, c’est le dernier nombre sur fond vert.

2, Combien de carrés faut-il pour faire 6 ? 4 + 2 = 6.9, le chiffre 9.

3, 3 triangles, 3 couleurs.8, il y a 8 avions.6, 9 – 3 = 6 (1 carte à jouer)5, E est la 5ème lettre de

9

l’alphabet.Mystero 35 6, Quel nombre se trouve entre

6 et 7 ?9, il manque 9 carreaux.7, 2 + 2 + 3 = 7 (3 cartes à jouer)

2, il y a 2 oiseaux dans l’arbre.5, Combien y a-t-il de points sur ce dé ?

3, C’est la 3ème lettre de l’alphabet.8, il y a 8 segments dans la ligne brisée.4, Quels sont les nombres qui manquent sur la calculatrice ? 4 et 7. C’est le 4, le 7 a été utilisé.

Mystero 3621 mars

7, il y a 7 pièces d’or.2, Quel nombre se trouve avant le 3 ?4, Quel est le nombre qui manque dans la suite des nombres de 1 à 9 ?

3, Quel nombre peut se trouver entre 2 et 4 sur la pendule ?1, c’est le nombre sur le fond violet qui reste.

6, 6ème lettre de l’alphabet.9, 5 + 4 = 9 (2 cartes à jouer)8, il y a 8 lames sur le xylophone.

Analyse des tournures syntaxiques employées par les élèves :

Je vois 1 fois Suggestion de la maîtresse pour une première formulation, jamais réutilisée par les élèves.Il y a

Il n’y a pasY a-t-il

11 fois

1 fois 1 fois

Tournure syntaxique exprimant la constatation et l’affirmation. Cette expression peut être escamotée pour aller directement à l’essentiel (3 triangles). Plus les élèves sont sûres d’elles, moins elles recourent aux mots, oubliant la règle du jeu (je pose ma carte lorsque j’ai formulé une phrase.)Certitude de la négation, qui renforce la justification du choix.La formulation de la question induit une réponse en forme de constatation.

C’est, est, sont 11 fois Verbe d’état exprimant la certitude et le choix.

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Remarques :- * A partir de Mystero 32, le rôle du point d’interrogation présent sur certaines images ayant été éclairci (il s’agit

d’imaginer une partie de l’image qui est dissimulée sous un point d’interrogation), les élèves doivent désormais formuler correctement la question qui correspond à ce signe de ponctuation avant de donner la réponse. L’objectif de cette nouvelle règle du jeu est de vérifier la mise en mots à l’oral, qui devra être proche d’une formulation écrite, telle que les élèves les rencontrent dans des énoncés écrits ordinaires.

Plus les élèves jouent, plus les certitudes augmentent. A partir de la planche 33, toutes les planches sont résolues par le groupe, les apports mutuels pendant les interactions et les apports de la maîtresse sont réinvestis.En observant l’évolution des réponses des élèves, on peut constater qu’elles utilisent une stratégie :

- En jouant chacune à leur tour, elles choisissent d’abord les images pour lesquelles la réponse est assurément univoque.

- Chaque élève se « spécialise » dans une situation qu’elle reconnaît bien et dont elle maîtrise la formulation. - Angélique choisit les images à dénombrer, puis celles où « le nombre se trouve entre… » (spatialité dans la

numération).- Aurélia choisit d’abord les images qui offrent deux possibilités, mais repère les indices qui lui permettent de faire un

choix. Ensuite, elle s’attaque aux situations pour lesquelles il manque quelque chose, ou pour lesquelles il ne reste que cette solution.

- Mathilde commence par des images à dénombrer, dont les segments de la ligne brisée (apport de la maîtresse), puis résout les images qui comportent des cartes à jouer (additions, soustractions), ainsi que les lettres de l’alphabet.

- Angélique jouera seule désormais, de la planche 37 à la planche 40. Il s’agira d’observer sa stratégie et la formulation de ses questions et de ses réponses.

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Analyse du lexique spécifique aux mathématiques employé par les élèves :

Espace Géométrie Lexique Opérations VerbesEntre Se placer Il n’y a pasCarré (cube) TriangleLigne brisée Segment

Chiffre Nombre La suite des nombresLe seul Dernier 3ème 5ème 6èmeCombien

AdditionsAdditions à trousSoustractionsComparaisons (, =)Dénombrement

Il y a C’estManquer ResterSe trouver avant SuivreSe placer Se trouver

Remarques :- Les termes utilisés par les élèves ne sont pas anodins. Ils sont révélateurs de leurs connaissances et de leurs à-peu-

près. De nombreuses confusions émergent alors que des notions couramment utilisées en classe nous semblent acquises. Or plus les connaissances sont assurées, plus le contenu des représentations se précise, et cette phase est essentielle pour s’approprier le problème.

- Formuler une phrase avant de placer une carte n’est pas spontané, surtout lorsque la réponse paraît évidente. Cette contrainte se révèle cependant indispensable car elle permet d’installer la vérification en cours de raisonnement. Vérifier, contrôler ses actions sont des attitudes qui favorisent la réussite. Les bons élèves utilisent ces moyens pour avancer dans leur recherche, les élèves plus en difficulté ont besoin d’avoir l’occasion d’être entendus et éventuellement guidés (sous la forme de question du type « comment as-tu fait pour trouver cette solution ?) pour mener leur tâche à son terme.

- La maîtresse peut reprendre l’élève qui s’exprime, les autres peuvent profiter du lexique employé, décider d’être en accord ou non avec ce qu’il dit. Petit-à-petit, les termes mathématiques s’imposent, la syntaxe se précise, les formulations orales se fluidifient, la résolution des planches s’accélère, et c’est juste !

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LES INTERROGATIONS LES HESITATIONS

Angélique Aurélia MathildeMystero 30 9, je mettrais le 9, je vois 9

marches d’escalier.On pourrait mettre deux nombres, soit le 3 ou le 9.

4, 1 face rouge + 2 faces blanches + 1 face ombre, ça ferait 4.

Mystero 31 2, il y a deux mains ( ?) C’est une ligne ( ?) 6, 6 coins, 6 fils, 6 droites, 6 segments ( ?)

Mystero 32 Mystero 33Mystero 34Mystero 35Mystero 36

Remarques :L’utilisation du conditionnel et des phrases affirmatives énoncées sur un ton interrogatif montrent la perplexité des élèves devant certaines images…Les deux premières planches ont dérouté les élèves : pas de stratégie, elles s’attaquent à des images à solutions multiples, utilisent un vocabulaire inapproprié, formulent des phrases incomplètes, ne perçoivent pas les indices utiles à la représentation du problème.Dès la planche 32, ce genre de formulation restera cantonné à l’oral, dans les interactions entre élèves pour faire avancer la recherche, mais ne me sera plus proposé pour être relevé à l’écrit. Les aller-retour entre les phases d’interprétation, de structuration, d’opérationnalisation et le contrôle des actions seront incessantes et constructives.

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LES HYPOTHESES LES ERREURS

Angélique Aurélia MathildeMystero 30 9, 7 + 2 = 9 2, 7 – 5 = 2Mystero 31 8, 7 + le point d’interrogation =

83, il y a 3 colonnes de cubes.

Mystero 32 Mystero 33Mystero 34Mystero 35Mystero 36

Mystero 30 : Lecture d’un objet présentant une convention codée : la carte à jouer.Aurélia propose : 9, 7 + 2 = 9En faisant cela, elle additionne un chiffre et deux figures. Elle ne se rend pas compte que c’est impossible. Elle ne prend pas non plus en compte la donnée incontournable du 7 sur la carte. Elle ne voit pas qu’il manque des figures placées conventionnellement sur la carte en un groupe de 5 cœurs + 2 cœurs. Comme beaucoup d’élèves perplexes devant un

problème, Aurélia propose une addition.Mathilde propose : 2, 7 – 5 = 2A son tour, Mathilde construit une soustraction impossible (chiffre et figures). L’absence des cœurs est un obstacle à la représentation : il faut les imaginer. Cette fois, Mathilde propose une soustraction à partir des éléments présents, puisque ce n’est pas une addition ! (Si ce n’est pas l’une, c’est l’autre !)C’est en faisant formuler une question aux élèves qu’elles vont comprendre qu’il s’agit de ne s’intéresser qu’aux figures, y compris celles qui ne sont pas visibles sur la carte. La question fait en effet émerger les termes « cœurs » ou « figures ».

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Mystero 31 : Lecture d’un objet présentant une convention codée : la balance en équilibre.Angélique propose : 8, 7 + le point d’interrogation = 8Elle additionne les 7 cubes avec le point d’interrogation, réitérant l’erreur d’Aurélia sur la carte à jouer. Elle ne voit pas qu’il s’agit d’éléments différents. Angélique propose encore une addition, réflexe d’incompréhension.Aurélia propose : 3, il y a 3 colonnes de cubes.

Elle ignore deux éléments de l’image : les plateaux de la balance en équilibre et le point d’interrogation.Une aide de la maîtresse est nécessaire pour pointer la position de la balance et pour apporter le terme « équilibre ». Le rôle du point d’interrogation est également explicité. C’est à l’occasion de cette prise de conscience qu’une nouvelle règle du jeu est imposée : la présence d’un point d’interrogation oblige à formuler correctement une question avant de donner la réponse. Dans les faits, les élèves se servent de leur réponse pour construire la question avec les termes adéquats.

Mystero 37 : Lecture d’une figure géométrique : l’étoile à six branches.Angélique : 6, sur l’étoile il y a 6 côtés. La maîtresse entoure le mot « côtés » et demande leur avis aux autres élèves. Une discussion s’engage : l’étoile a 12 côtés. C’est en balayant les termes « ligne, droite, morceau de droite », que le terme « segment » finit par émerger. Ensuite, les élèves remarquent que d’autres figures se dénombrent par 6 :Aurélia : Il y a 6 sommets. Mathilde : il y a 6 triangles.

Ensuite, prises au jeu, elles poursuivent en cherchant toutes les figures géométriques rencontrées dans l’étoile à 6 branches :

- 2 losanges- 2 grands triangles- 1 hexagone (apport de la maîtresse).

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LES MODIFICATIONS DES REPRESENTATIONS

Angélique Aurélia MathildeMystero 30 3, je mettrais le 3 parce qu’à la

troisième marche, il y a un point d’interrogation. Ca veut dire qu’il n’y a pas le 3.

9, c’est le chiffre qui est sur le fond vert, le même vert que la case.

Mystero 31 6 côtés, droites, 6 segments sur la ligne.

? veut dire : « Combien de cubes remplace-t-il ? » *

8, il y a 8 doigts sur les deux mains.

Le ? fait le poids.Mystero 32 8, il manque 8 cartes.Mystero 33Mystero 34Mystero 35Mystero 36

Remarques :La formulation des phrases se précise, tant pour le lexique spécifique aux mathématiques que pour la syntaxe.

- Le rôle du point d’interrogation s’éclaircit dans les échanges qui ont lieu pendant les planches 30 et 31 : chaque élève apporte son interprétation. A la planche 31, il est décidé que le point d’interrogation induirait obligatoirement la formulation d’une question.

- Les certitudes s’affirment avec l’expression « ça veut dire », et le retour de « c’est » et « il y a ».- Aurélia a découvert l’indice de la couleur sur le fond de la carte, qui implique d’avoir résolu deux images avant

d’imposer « celle qui reste ». Cette découverte deviendra la « spécialité » d’Aurélia.- Les termes « segment » et « manque » sont utilisés à bon escient et seront repris correctement désormais.

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LES APPORTS DE LA MAITRESSE

Angélique Aurélia MathildeMystero 30 2, parce qu’il y a 2 faces.

2 extrémités.Ce ne sont pas des carrés, ce sont des cubes sur la balance.

Mystero 31 6 segments sur la ligne brisée. La balance est en équilibre.Il faut mettre autant de cubes sur le plateau de droite que sur le plateau de gauche.

Mystero 32 Mystero 33 Rappel sur la distinction entre

les termes chiffre, nombre, numéro.

Mystero 34 Ce ne sont pas des carrés, ce sont des cubes sur la balance.

Mystero 35Mystero 36

Remarques :Il s’agit pour la maîtresse d’intervenir le moins possible au cours des échanges. Son rôle consiste à donner la parole à celui qui va jouer, à rappeler que les autres doivent respecter sa réflexion et son choix, qu’ils peuvent donner leur avis lorsque l’élève est arrivé au bout de son raisonnement. La maîtresse note la phrase finale produite par l’élève, même si c’est faux, sans rien exprimer de son accord ou de son désaccord. Elle note également les interventions des autres lorsqu’elles font avancer leur réflexion. Cela peut se traduire par l’apport d’un terme plus juste, notamment pour nommer les objets, ou par l’émission d’une autre hypothèse qui va obliger les élèves à reconsidérer certaines réponses, à opérer de nouveaux choix.

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C’est au cours de cette phase que la maîtresse peut « interrompre » la réflexion des élèves en apportant des éléments indispensables à la compréhension la plus fine, celle qui va se rapprocher des énoncés écrits rencontrés en classe. Je fais en effet l’hypothèse que les élèves seront mieux à même de comprendre un énoncé écrit s’ils sont capables d’utiliser les mots qui les composent à l’oral, s’ils parviennent à les assembler pour produire des phrases sous toutes leurs formes, affirmatives, négatives, interrogatives, s’ils choisissent en toute conscience le terme exact qui permet de nommer les objets et les concepts qui permettent de dévoiler leur cheminement.

Trop souvent, les élèves en difficulté « reçoivent » les termes utilisés en classe, par l’enseignant, par les énoncés écrits. Ils les entendent, ils les lisent, mais ils ne se les approprient pas : cela se manifeste dans leur incompréhension. Ils se figent devant leur énoncé, ils ne cherchent pas. Pour que l’élève s’approprie un mot, construise une phrase, avec des tournures complexes, il faut qu’il ait souvent l’occasion « d’émettre » ce qu’il a reçu. Le jeu Mystero permet aux élèves de se retrouver en petit groupe homogène (niveau équivalent de langage) avec la maîtresse E ou l’enseignant de la classe, pour des séances où ils peuvent prendre la parole sans être court-circuités par les bons élèves qui ont déjà tout compris et qui maîtrisent à la fois la réception et l’émission de messages oraux et écrits, ainsi que les différentes phases de la résolution d’un problème (interprétation, structuration, opérationnalisation, contrôle de ses actions). Les séances en petits groupes favorisent la mise en confiance, les élèves parlent et agissent, ils s’approprient des termes et des tournures de phrases, ils montrent qu’ils comprennent ce qu’ils font et élaborent des stratégies.

Parmi les termes employés par les élèves, certains sont tellement utilisés en classe que leur signification semble acquise pour tous. Or, des confusions qui peuvent sembler anodines même pour des adultes, peuvent se révéler des facteurs de difficulté pour eux. Encore une fois, il s’agit de la représentation que l’élève se fait d’un mot, d’un concept :

- En numération, il est indispensable de s’assurer que les élèves font bien la différence entre chiffre, nombre et numéro. Voici les réflexions les plus courantes des élèves :

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- L’image représente une calculatrice sur laquelle deux chiffres sont masqués par un point d’interrogation. C’est le tour de Mathilde, elle doit poser une question. « Le 5 est déjà utilisé, on peut mettre le 8. Quel nombre peut-on mettre sur la calculatrice ? » La maîtresse note la question, relit à voix haute et entoure le mot « nombre » en demandant à l’élève si c’est le terme le plus exact. Bien entendu, Mathilde rectifie immédiatement en utilisant « chiffre » (si ce n’est pas l’un, c’est l’autre !) Il faut interrompre le jeu pour se pencher avec le groupe sur cette distinction.

- Explication : Aurélia dit : « Un chiffre, c’est 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Un nombre, ça a plusieurs chiffres : à partir de 10, ce sont des nombres. »

- La maîtresse : « Alors 3 ou 9, ce ne sont pas des nombres ? Comment avez-vous résolu la case des avions ? » - Angélique : « J’ai compté 9 avions. » - La maîtresse : « 9 avions, ça donne le chiffre 9 ? » - Angélique : « Non, c’est le nombre 9. » - Mathilde : « Ah ! Alors 0, 1, 2, 3, 4, … ce sont aussi des nombres ! »- La maîtresse : « Oui, on parle d’un nombre quand on a pu compter, quand on a dénombré une quantité d’objets. »- Aurélia : « Moi, pour écrire 10 sur la calculatrice, j’appuie sur 1 et 0, ce sont des chiffres. »- La maîtresse : « Les chiffres servent à écrire les nombres. On peut comparer les chiffres avec les lettres de

l’alphabet. Combien y a-t-il de lettres dans l’alphabet ? » - « 26. » - « Avec les 26 lettres, on peut écrire tous les mots de la langue française. Combien y a-t-il de chiffres ? » - « 9, ah non, 10 avec le 0 ! » - « Avec les 10 chiffres, on peut écrire tous les nombres qui existent, des plus petits jusqu’aux plus grands, jusqu’à

l’infini… »- Cette nécessaire mise au point sera reprise au cours du jeu de nombreuses fois. Il est intéressant de noter avec quelle

application les élèves cherchent le terme exact et l’utilisent à bon escient, jusqu’à ce qu’ils rencontrent le terme « numéro », pour lequel une nouvelle explication sera bienvenue.

- En espace et géométrie, Mystéro permet de revoir de nombreuses figures et d’utiliser les nombreux termes qui doivent être connus des élèves. (voir les programmes et l’étoile à 6 branches).

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- En ce qui concerne la langue, il s’agit de permettre à l’élève de choisir ses mots jusqu’à ce qu’il reconnaisse que ce qu’il a produit est le plus compréhensible possible. Les notes de la maîtresse sont alors précieuses, elle répète ce qui vient d’être produit, elle demande à l’élève s’il trouve cela satisfaisant, aux autres s’ils ont compris où il veut en venir.

- Cet exercice est particulièrement important au moment de la formulation d’une réponse, mais aussi et surtout la formulation d’une question, car les élèves sont moins sollicités pour cette forme de phrase. Or elle fait apparaître les tournures en « Combien… ? », « Quel est… ? », « Quels sont… ? » qui induisent des réponses en termes de chiffre, nombre, numéro, par exemple.

Conclusion

Je rappelle mes deux hypothèses :

1 - Les échanges oraux en petit groupe de trois élèves favorisent le passage de l’usage ordinaire de la langue orale au langage mathématique.En effet, c’est le terme exact qui permet de nommer les objets et les concepts qui permettent aux élèves de s’approprier ce qu’ils énoncent.

2 – Lorsque les élèves s’appuient sur des vérifications systématiques au cours de leurs échanges oraux, ils dévoilent leur cheminement en cours de raisonnement et réussissent à résoudre le problème.

Le jeu « Mystero » remplit bien son rôle : Le langage mathématique des élèves se précise, les tournures syntaxiques sont de plus en plus fluides, les phrases interrogatives sont construites avec les termes spécifiques adéquats.Les élèves échangent, cherchent, agissent, trouvent. Ils échangent des arguments en utilisant un raisonnement rigoureux, ils tiennent à vérifier chacun de leur choix.

Il s’agit maintenant de retourner aux énoncés écrits et de vérifier si des progrès sont présents : les élèves comprennent-ils mieux les énoncés et les questions qui leur sont posées ? Sont-ils plus actifs, cherchent-ils sans abandonner ? Pensent-ils à contrôler et à vérifier leur raisonnement ?

Quoiqu’il en soit, les différents groupes d’élèves qui ont bénéficié de séances avec le jeu « Mystero » ont apprécié ces moments privilégiés où les échanges se faisaient en toute confiance, avec des élèves correspondant à leur capacités langagières.

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MYSTERO ET LES FRACTIONS

L’élaboration des connaissances se réalise au travers de la résolution de problèmes ; leur maîtrise nécessite des moments d’explicitation et de synthèse, et leur efficacité est conditionnée par leur entraînement dans des exercices qui contribuent à leur mémorisation. (Programmes 2007)

Lorsque les élèves ont bien compris et intégré les subtilités du jeu Mystero, ils sont capables de résoudre les plateaux de jeu de plus en plus vite et sans erreur.Ils sont entrainés, ils ont mémorisé des situations qu’ils reconnaissent très vite, ils sont capables de formuler des argumentations et des questions dans un langage mathématique adéquat.Pour renouveler l’intérêt du jeu, c’est le moment de leur proposer de nouveaux plateaux.Au cycle 3, les élèves abordent les nombres décimaux et les fractions. J’ai alors imaginé de reprendre le principe de Mystero, avec des images et des cartes nombres, pour écouter les élèves s’exprimer à partir de situations se résolvant par une fraction.J’ai fait appel à ma collègue de CM1-CM2 pour qu’elle me donne les exemples qu’elle emploie avec ses élèves, trouver dans le langage courant les expressions qui comportent des fractions, imaginer les objets à dessiner pour offrir aux élèves des images lisibles.J’ai dessiné cinq nouveaux plateaux de jeu, avec un jeu de neuf cartes/fractions pour chaque plateau qui vise un objectif différent :

- Mystero 41 : travail sur les termes un demi, un tiers, un quart, un huitième.

- Mystero 42 : les demis, 0,5.- Mystero 43 : les quarts.- Mystero 44 : les huitièmes.- Mystero 45 : les fractions équivalentes.

Pour conclure ce dossier, je vous reproduis le cheminement en temps réel du raisonnement d’Angélique pour Mystero 42. A partir de Mystero 37, Angélique a été prise en charge seule, afin de formuler ses phrases sans l’aide des interactions avec les deux autres élèves.En classe, elle a été souvent absente au moment d’aborder les fractions : elle ne savait pas les nommer, disant « trois deuxièmes » pour 3/2, « un troisième » pour 1/3…

J’ai testé ce jeu avec deux groupes de trois élèves, un de CM1, l’autre de CM2 : c’est toujours aussi efficace, aussi ludique… Alors maintenant, avec vos élèves, JOUEZ avec MYSTERO !

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Mystero 42, Angélique.En vert, c’est le 2ème tour, la correction après vérification sur le plateau des réponses.

1 – Le chocolat.Je prends 1 + ½, parce qu’il y a une plaque + ½ plaque de chocolat.

2 – Les poires.½, il y a une pomme, non, une poire coupée en deux, ça fait ½ poire.2/2 , c’est deux moitiés de poire.

3 – Les carrés jaune et rouge.Ici je vais mettre le 5 sur le 2, le 5/2 parce qu’il y a des couleurs différentes. C’est coupé en deux. Le 5, il y a 5 carrés, le 2 parce qu’il y a deux parties différentes.

4 – La pendule. J’abandonne. C’est parce qu’il y a une question, ça m’embête.

4 bis – 1, il y a un triangle.

5 – La pendule.C’est la moitié d’une horloge. La question, c’est : « Quelle est la demi-heure ? » Je vois une partie bleue, une partie blanche. « Quelle heure est-il ? » Midi six, ah non ! Midi et demi. C’est la moitié d’une heure. « Quel est le chemin que l’aiguille a parcouru ? » (S’ensuit un apport de la maîtresse pour distinguer les unités de mesure pour les distances, et celles pour les durées. Pour formuler la question correcte, l’aide de la maîtresse est nécessaire.)« Combien de temps s’est écoulé sur la partie bleue de la pendule ? » 2/2 heure.½, c’est la pendule coupée en deux, une demi-heure.

6 – Deux bandes unités.4/2, parce que ½ + ½ ça fait 2. Deux moitiés de bande unité.4/2, 4 parties de bandes, et chaque bande est coupée en deux. (Moitié)

7 - La règle graduée.Une règle. Après le 0, j’ai une question. Il faut un nombre décimal.« Quel est le nombre décimal qui se trouve après 0, entre 0 et 1 ? » 0,1.0,5 , j’ai cinq petits traits. (Ce travail serait à reprendre avec Angélique.)

8 – Les bouteilles de ½ litre de lait.Là, je mettrais 3/2. sur les trois bouteilles de lait, il y en a deux qui n’ont pas les lettres en entier. 3, les trois bouteilles, sur 2, les deux qui vont pas. (Angélique ne s’occupe pas de la quantité, elle s’arrête à l’indice des lettres du mot « lait ». S’ensuit une observation fine de l’image, le repérage de l’unité de mesure en litre. « On ne peut pas avoir deux litres dans cette bouteille, elle serait plus grosse que l’autre ! » Angélique comprend que l’image représente des bouteilles dont l’étiquette est tournée de différentes façons.½ + ½ + ½ = 3/2 , 3 bouteilles de ½ litre de lait.

22

23

Mystero 41

1 1   23   2

1   3

2   3

3   4

1   4

1   8

3   3

24

25

Mystero 42

0,5 2   24   2

3   2 0,1

1 + 1    2

1   2 1

5   2

26

27

Mystero 43

1   4

8   4

2   4

1 + 1    4

3   2

3   4

4   4 1

6   4

28

29

2   8 1

 1     

87   8

3   8

5   8

4   8

 10     8

6   8

30

Mystero 44

31

32

1   2

1   3

 10     

41   4

6   8

1   + 1   2 2

3   4

 2     8

3   2

33

Mystero 45

34