Jeux combinatoires et théorie des

groupes

Jeux: Activités intellectuelles ou gestuelles qui n’ont d’autre fin que l’amusement de la personne qui s’y livre.

Combinatoires : Qui étudient les différentes manières de combiner les éléments d’un ensemble.

Théorie : Ensemble organisé de principes, de règles, de lois scientifiques visant à décrire et à expliquer un ensemble de faits.

Groupe :Ensemble E (fini ou infini) d’objets muni d’une loi notée ~

~ vérifie: Evariste Galois, 1811-1832

Fondateur de la

théorie des groupes.

e : élément neutre

• pour a,b, c des éléments de E : (a~b)~c = a~(b~c)

associativité• pour tout a de E, il existe un a’ tel que a~a’ = a’~a =e

a’ inverse (ou symétrique ou opposé) de a

• il existe un élément e dans E tel que pour tout a de E : a~e = e~a =a

Exemple:Ensemble Z des entiers relatifs {…, -3,-2,-1,0,1,2, 3,…} muni de l’addition, loi notée +

X=0: élément neutre

• pour a,b, c des éléments de Z (a+b)+c=a+(b+c)

associativité

• pour tout n de Z, il existe un n’=-n tel que n+(-n)=(-n)+n=0

-n: opposé de n

• pour tout n de Z, x+n=n+x=n

Autre Exemple:

1 2 3

Ils font une course, imaginons Les ordres d’arrivée possibles.

Autre Exemple:

1 2 3

1 2 3

Autre Exemple:

1 2 3

1 2 3

1 3 2

Autre Exemple:

1 2 3

1 2 3

1 3 2

2 1 3

Autre Exemple:

1 2 3

1 2 3

1 3 2

2 1 3

2 3 1

Autre Exemple:

1 2 3

1 2 3

1 3 2

2 1 3

2 3 1

3 2 1

Autre Exemple:

1 2 3

1 2 3

1 3 2

2 1 3

2 3 1

3 2 1

3 1 2

L’application de l’ensemble E={1,2,3} dans lui-même définie par

13

32

21

est une permutation.

L’ensemble des permutations de E est un groupe, appelé groupe symétrique S3

est l’élément neutre.

La loi est la composition notée °.

13

22

31

33

22

11

13

32

21

°

213

322

131

= =

23

32

11

Une partie de la recherche mathématique des deux derniers siècles a consisté à classer et étudier les groupes finis.

… …

Brauer Frobenius Burnside Schur Weyl Lie

Étudier?

• calculer nombre d’éléments

• décrire ses représentations

• décrire ses sous-groupes

(2,2)

Représentations irréductibles de Sn sont indexées par des

partitions de n.

n=4

(4)

(3,1)

(2,1,1)

(1,1,1,1)

Partitions de n : suites décroissantes d’entiers positifs dont la somme vaut n.

Diagramme de Young de forme la partition de 6: (3,2,1)

4

1 11

3 4

On remplit ce diagramme: tableau de Young

<

Tableau de Young de forme (3,2,1), de remplissage (3,0,1,2)

Appelons T l’ensemble des tableaux

• de forme une partition de n

• remplis sur par des nombres de 1 à n.

Peut-on munir T d’une loi?

Si oui, quelles propriétés a-t-elle?

Le tableau sans case est appelé le tableau vide et est noté

A B C D

E F K G

I J H

M N O L

Pour définir cette loi qu’on appelle la multiplication :

Jeu de taquin

A B C D

E F K G

I J H

M N O L

Pour définir cette loi qu’on appelle la multiplication :

Jeu de taquin

A B C D

E F G

I J K H

M N O L

Pour définir cette loi qu’on appelle la multiplication :

Jeu de taquin

A B C D

E F G

I J K H

M N O L

Pour définir cette loi qu’on appelle la multiplication :

Jeu de taquin

A B C D

E F G H

I J K

M N O L

Pour définir cette loi qu’on appelle la multiplication :

Jeu de taquin

A B C D

E F G H

I J K L

M N O

Pour définir cette loi qu’on appelle la multiplication :

Jeu de taquin

5 6

4 4 6

1 2 2 3

4

1 2

n=9

5 6

4 4 6

1 2 2 3

4

1 2

On applique un jeu de taquin (i.e pousser toutes les cases noires vers l’extérieur) en utilisant les règles suivantes:

a b c

d e

f g h

a b c

d e

f g h

• si b, c, e sont vides, rien à faire

• sinon si b>e alors

• sinon a b c

d b e

f g hConvention :

Case vide= case remplie par

5 6

4 4 6

1 2 2 3

4

1 2

A quelle case appliquer le jeu de taquin?

A des coins…

Et quand il y a plusieurs coins?

On en choisit un au hasard, le résultat sera toujours le même

C’est un théorème dont la démonstration n’est pas évidente…

5 6

4 4 6

1 2 2 3

4

1 2

5 6

4 4 6

1 2 2

4

1 2

3

5 6

4 4 6

1 2

4

1 2

2 3

5 6

4 4

1 2 6

4

1 2

2 3

5 6

4 4

1 2 6

4

1 2

2 3

5 6

4 4

1 2 6

4

2

2 3

1

5 6

4 4

1 2 6

4

2

2 3

1

5 6

4 4

1 2 6

4

2

2 3

1

5 6

4 4

1 2 6

4

1 2

2 3

5 6

4 4

1 6

4

1 2

2 2 3

5 6

4

1 4 6

4

1 2

2 2 3

5

4 6

1 4 6

4

1 2

2 2 3

5

4 6

1 4 6

4

1 2

2 2 3

5 6

4 4

2 3 6

1 1 2 2 3

On continue et on obtient

L’ensemble T muni de est-il un groupe?

Groupe:Ensemble E (fini ou infini) d’objets muni d’une

loi notée ~

~ vérifie:

• il existe un élément e dans E tel que pour tout

a de E a~e=e~a =a e: élément neutre

• pour a,b, c des éléments de E

(a~b)~c=a~(b~c) associativité

• pour tout a de E, il existe un a’ tel que

a~a’=a’~a=e a’: inverse de a

c

a b

c

a b

=

=

c

a b

• Tableau vide est élément neutre.

• est associative.

• Mais il n’y a pas d’inverse!

L’ensemble T muni de est un monoïde.

Peut-on faire des tableaux avec des cases doubles?

Oui !

Ce sont des tableaux de dominos.

<

1

1

1

2

32

3

On appelle D l’ensemble des tableaux de dominos.

Quel rapport avec ce qui précède??????????

Il existe une bijection entre

TT

et D TT

= (T 1, T 2) , T1 dans T, T2 dans T

2

1 1 ,

Forme du tableau de dominos = (4,4,3,3)=2(4,3)

Mot associé au tableau de dominos: 1112312

3

2 2

1 1 1 1

2 3

1 1

2

1 1 ,

Forme du tableau de dominos = ( 4,4,3,3)

Mot associé au tableau de dominos: 1112312

2

1 1

1

2 3

1 1

Elle sert à démontrer le théorème suivant:

Théorème: Soient n un entier, p=(p1, …pq) une partition de n, Vp

une représentation irréductible de Sn V(p) * V(p) se décompose en somme de toutes les Véval(d) où d parcourt l’ensemble des tableaux de dominos de forme 2(2p1,…2pq) de mot de Yamanouchi et éval(d) est la partition dont la ième part est le nombre de i apparaissant dans le mot de d.

Mot de Yamanouchi: tout segment initial contient un nombre de i supérieur ou égal au nombre de i+1 contenu dans le même sous mot.

Exemple: 1121 oui éval(1121)=(3,1)

21 non.

V (1) * V (1) =

« V1 1

* V2

1

»= V(2) +V(1,1)

Peut-on faire des tableaux avec des cases

Oui !

Ce sont des tableaux de

doubles

dominos

triples

3-rubans.

Appelons R l’ensemble des tableaux de 3- rubans

Existe-t-il une bijection entre R et qui permette de décomposer le produit de 3 représentations (i.e analogue du théorème précédent) ??

Question ouverte !!!!!

TTT