Jean Paul Cipria Transmission Adsl Et Effet de Peau 120070727

5/12/2018 Jean Paul Cipria Transmission Adsl Et Effet de Peau 120070727 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/jean-paul-cipria-transmission-adsl-et-effet-de-peau-120070727 1/11

P r i n t e d w

i t h

j o l i p r i n t

Sciences Appliquées

Transmission ADSL et Efet de Peau 1

Effet de Peau - 300 KHz et 1 MHz - Diamètre 0,4 mm

.

Je traite en premier lieu du délicat calcul de l’at-ténuation en ligne sur la paire cuivrée en modu-lation ADSL qui fait appel aux fonctions de Bessel( De Kelvins en ce cas). L’abord de cette partie estparticulièrement dicile. Mais la compréhensiondes phénomènes mis en jeu permet l’appréhensionde la maintenance niveau 3 ou expertise sur lesdysfonctionnements des systèmes. Un bon niveaude licence ou de maitrise en science est nécessaire.

La littérature scientique est particulièrement ouesur l’atténuation en ligne dans les hautes fréquences,

surtout lorsque la modulation est par changementde phase. C’est pourquoi je reprends la totalité desexpressions différentielles pour retrouver le fameux‘Effet de peau’.

Attention ! Cette partie est proprement imbuvablepour les non-physiciens mais parfaitement digestepour les ‘dériveurs’ et autres experts en séries imagi-naires. L’intérêt est que si l’on suit les calculs, ou aumoins la méthode, nous ‘comprenons’ le comment! Objet Graalique de la physique.

EFFET DE PEAU ou EFFET PELLICULAIRE

Jean-Paul cipria – Avril 2011

MESURES SUR LES INTERFACES

.

————————————-

.

Effet de peau.1. Introduction à l’Effet de Peau2. Formule d’épaisseur de peau3. Méthode de calcul de l’effet de peau4. Rappels en électromagnétisme5. Équations de Maxwell6. Calcul de l’équation différentielle de la densitéde courant7. Modication de l’équation différentielle (astuce)8. Comment retrouver l’équation d’effet de peaudans l’équation différentielle

12 avril 2011

http://www.nanotechinnov.com/transmission-adsl-effet-peau-1

Pollux

http://joliprint.com/









http://www.nanotechinnov.com/

http://www.nanotechinnov.com/wp-content/uploads/2011/04/Effet-Peau-300KHz-1MHz-Zero2mm.jpg





P r i n t e d w

i t h

j o l i p r i n t



9. Densité relative de courant10. Impédance de surface Zs

A1. Calcul d’atténuation de densité de courantA2. Fonctions de BesselA3. Effet de peau – Démonstration n°2A4. Mesure de débit par atténuation chez Free.

————————————-

.

1. Introduction à l’Effet de Peau

Dans un conducteur métallique les électrons ‘por-teurs de courant’ occupent toute la surface. Dès quela fréquence augmente les lignes de courant versla périphérie du cable deviennent plus inductives,le centre restant à la même valeur. Ceci est du à

l’augmentation du champs magnétique induit parles variations du courant (fréquence) selon les équa-tions de Maxwell.

Les forces électromotrices deviennent perpendi-culaires au sens du courant et tendent à accélérerles électrons vers l’extérieur du conducteur. Ainsile courant devient intense près de la périphérie etdiminue au centre du conducteur.

Explications

Le courant devient plus intense sur une surfaceplus réduite alors nous avons ‘l’impression’ quel’impédance augmente. Celle-ci augmentant avecla fréquence, comme le fait une inductance, nouspouvons donc poser en schéma équivalent une aug-mentation d’inductance sur les lignes périphériquesdu conducteur. Si vous n’avez pas compris ce n’estpas bien grave .

. 2. Formule d’épaisseur de peau

• Epaisseur = f ( fréquence , permitivité rela-tive , conductivité )

• Epaisseur = f ( pulsation , permitivité rela-tive , conductivité )

• Epaisseur = f ( fréquence , permitivité rela-tive , résistivité métrique)

.

• ω : pulsation en radian par seconde [rad/s]ω = 2.π.f

• f : fréquence du courant en Hertz [Hz]• µ

r: perméabilité magnétique relative en

Farad par mètre [F/m]µ

0= 4.Π.10-7 F/m.

• Susceptibilité magnétique du cuivre χ = –1.10-5

• µr = 1 – χ • ρ : résistivité en Ohm-mètre [Ω.m]• ρcuivre = 18.10-9 W.m ??? Sujet à erreur ???• ρ = 1/σ• R=ρ

cu* L/S

• σ : conductivité électrique en Siemens parmètre [S/m]σ = 59,6×106 S·m-1

.

Fréquences δ

12 avril 2011
















P r i n t e d w

i t h

j o l i p r i n t



50 9,38 mm

60 8.57 mm

10 K 0.66 mm

100 K 0.21 mm

1 M 66 µm

10 M 21 µm

.

Epaisseur de peau - Diamètre 0,4 mm versus Fréquence

.

La section S ou circule 80% du courant par

efet de peau

.

.

3. Méthode de calcul

La démonstration de ce phénomène physique sefait en utilisant les équations de Maxwell et enréduisant celles-ci à l’expression de la densité decourant J seulement. C’est à dire en éliminant suc-cessivement l’induction magnétique B, le champs

électrique E (ou J) et les variations temporelles deceux-ci : E/t et B/t dans les quatre équations.

Il s’agit aussi de choisir les quatre équations deMaxwellexpriméesdansl’espacedesω ( ou jω ous ou p suivant le cas ) et non pas celles en temporel.

Pourquoi ?

Non désirons connaitre la réponse en FREQUENCEdu phénomène physique. Il faut donc modier les

équations temporelles par transformées de Fourier(ou de Laplace) pour retrouver des équations fai-sant apparaitre la fréquence au lieu du temps (oule vecteur k si Laplace).

Par aileurs, les équations temporelles, ‘contiennent’intrinséquement plus d’informations, surtout sinous voulons conserver, par exemple, les réponsesimpulsionnelles ou transitoires. Ce qui n’est pas lecas ici.

Nous retrouvons donc une équation différentielledu second ordre dans l’espace. Elle comporte unterme J (densité de courant électrique) qui n’est pasdérivé de la même façon par rapport au équationsde propagation habituelles . Les solutions decette équation de propagation sont les fonctionsde Bessel (et dans un cas particulier les fonctionde Kelvins.)

12 avril 2011












http://www.nanotechinnov.com/wp-content/uploads/2011/04/Epaisseur-peau-diametre-4-dizieme-versus-frequence.jpg





P r i n t e d w

i t h

j o l i p r i n t



4. Rappels en électromagnétisme

Comme en électromagnétisme, l’induction élec-trique D est le phénomène généré par le champélectrique E considéré à l’intérieur du matériau. Cemilieu est déterminé par la constante physiqueε.Il se peut que les lignes d’inductions électriques D soient « concentrées » à l’intérieur du matériau etque E, champ électrique, soit très nettement modié

à l’extérieur. La quantité d’énergie, par contre, n’estpas modiée. Il faut donc utiliser en ce cas :

.

5. Équations Maxwell dans le système MKSAGiorgi(Mètre, Kilogramme, Seconde, Ampère)

J’ai détaillé quelques démonstrations et utilisation

d’équations de Maxwell dans les articles ci-dessus.La résolution n’est pas triviale mais abordable avecles exemples que je donne. Je ne donnerai que la fa-çon de trouver de l’équation différentielle de Bessel.

.

• D = ε . E• J = σ . E• B = µ . H

.

1. rot B = µ.ε .E/t + µ . J rot B = (1/c²).E/t + µ . J rot H = ε.E/t + Jrot H = D/t + J

2. div E = ρ/εdiv D = ρ

3. rot E = -B/t4. div B = 0

.

6. Calcul de l’équation diférentielle

spatiale de la densité de courant J

Nous savons, par transformée de Fourier, et parraisonnement harmonique que :

Nous pouvons écrire B = B0

. ei(ω.t – k.t) . eB

et

• rot E = -B/t• rot E = – i . ω . B• rot J = – i . σ . ω . B

.

• rot [ rot J ]= – i . σ . ω . rot [ B ]

Et nous savons que dans un conducteur en cuivrela variation de champ d’induction une variation de

champ électrique µ.ε .E/t qui est négligeable dansnotre cas :

• rot B = µ.ε .E/t + µ . J• µ.ε .E/t << µ . J• rot B = µ . J

D’ou

• rot [ rot J ] = – i . σ . ω . µ . J

.Et par la formule liant le gradient au rotationnel età la divergence :

• rot [ rot J ] = grad [ div J ] – ΔJ

Comme il n’y a pas d’accumulation de charges dansles conducteurs en cuivre :

Donc

• - ΔJ = – i . σ . ω . µ . J• ΔJ = i . σ . ω . µ . J

12 avril 2011
















P r i n t e d w

i t h

j o l i p r i n t



Nous savons que J s’exprime de façon circulaire J= [ 0 , 0 , J(r) ] puisque le cable est de section rondeet que le Laplacien Δ en coordonnées cylindriquesest, par dénition :

• Δ J = ² J/r² + (1/r) . J/r

D’ou

• ² J/r² + (1/r) . J/r = i . σ . ω . µ . J

Equation diférentielle spatiale de la

densité de courant

² J/r² + (1/r) . J/r – i . σ . ω . µ . J = 0

CQFD

.

7.Modicationdel’équationdifférentielle(as -tuce)

Il faut passer la densité de courant J en coordonnéespolaire ou J s’exprime comme J = [ 0 , 0 , J(r) ]. Nousobtenons l’équation différentielle suivante issue duLaplacien en coordonnées cylindriques :

• ²J(r)/r² + (1/r) . J(r)/r – i . ω . σ . μ . J(r) = 0• r² . ²J(r)/r² + r . J(r)/r – i . ω . σ . μ . r² . J(r) = 0

Posons k²=i.ω.σ.μ

• r² . ² J(r)/dr² + r . J(r)/r – k² . r² . J(r) = 0

Posons x = i . k . r

• x² = -k² . r²• x² = – i . ω . σ . μ . r²

En passant aux opérateurs différentiels :

• dx/dr = i . k• d/dr = i . k . d/dx

• d²/dr² = – k² . d/dx²

d’ou

• r² . ² J(r)/r² + r . J(r)/r – k² . r² . J(r) = 0• r² . (-k²) . ² J(x)/x² + r . i . k . J(x)/x – k² . r² . J(x)

= 0

.

Equation de Bessel

• x² . ² J(x)/x² + ξ . J(x)/x + x² . J(ξ) = 0• x² = – i . ω . σ . μ . r²

CQFD

x² . ²J(x)/dx² + x . J(x)/x + x² . J(x) = 0

.

x²=–i.ω.σ.μ.r²

.

8. Comment retrouver l’équation d’efet de

peau dans l’équation diférentielle

• δ = (2/ω.μ.σ)

• δ² = 2/(ω.μ.σ)• ω . μ . σ = 2/δ²

D’ou

Et nous savons que la racine d’un nombre complexes’écrit comme cela :

• (-i) = e-i.Π/4

• (-i) = ( 1 – i ) /2

D’ou

• x = ( 1 – i ) . r/δ

12 avril 2011
















P r i n t e d w

i t h

j o l i p r i n t



• x = e-i.Π/4 . r/δ

.

D’ou la fonction de Bessel, solution de l’équationdifférentielle :

• J0 (x) = J0(e-i.Π/4 . r.2/δ)

.

9. Densité relative de courant

Nous décomposons la fonction de Kelvin complexepar le produit du module M

0(x) et de la phase Θ(x)

soit :

• J0(x) = J

0(e-i.Π/4 . r.2/δ)

• J0(x) = M

0(r.2/δ) . e-i.θ(r)

J0 (x) s’exprime comme un nombre complexe consti-tué d’une partie réèlle Ber(x) et d’une partie ima-ginaire Bei(x).

• J 0 (x) = Ber (x) + i . Bei(x)

Donc

• M 0(x) = [ Ber ²(x) + Bei²(x) ]½

• Θ(x) = Arctg[ Ber(x)/Ber(x) ]

.

.

L’atténuation absolue est donc M 0(x). Mais il estpréférable de calculer l’atténuation relative A(x)

par rapport à la densité de courant qui existe auniveau de la surface du conducteur lorsque r = d,avec d rayon du cable soit D(a).

• D(d) = D0. M

0(d) . e-i.θ(d)

La densité a un endroit quelquonque du cable estD(x).

• D(x) = D0 . M0(x) . e-i.θ(x)

Soit le rapport de densité relative A(x).

• A(x) = D(x) / D(a)• A(x) = D0 . M

0(x) . e-i.θ(x) / D0 . M

0(d) . e-i.θ(d)

En prenant l’origine des phases enΘ(d) nous avons :

.

A(x) = [ M0(x) / M0(d) ] . e-i.θ(x)

.

10. Impédance de surface Zs

D’après la thèse l’impédance de surface est valablelorsque l’épaisseur de peau est très petite par rap-port à la longueur du conducteur et à son rayon decourbure en approximation monodimentionnelle.

[ Référence : Fournet-79]Par dénition [ Référence : FAWZI_85] l’impédancede surface est :

.

• n est le vecteur normal sortant de la surfacedu conducteur.

• E est le champ électrique tangeant à la sur-face.

• H est le champ magnétique tangeant à lasurface.

• Le signe employé ici × est le produit vecto-

12 avril 2011
















P r i n t e d w

i t h

j o l i p r i n t



riel.

.

• Zs = Hs / Es• Zs = ( 1 + i ) / ( σ . δ )

.

• | Zs | = ρ / ( Π . [ r² - (r - δ )² ] )

.

|Zs|=ρ/(Π.[r²-(r-δ)²])

.

Résistance de surface par effet de peau - Atténuation

.

• Modélisation des câbles d’énergie – Thèse J.Cocquerelle – 2006PDF Sur ce site : Modelisation-cable-these-Coc-

querelle• [Fawzi-85] : Fawzi, Ahmed, Burke, – ‘On the

use of the impedance boundary conditionsin eddy current problems’ – IEEE Trans.Mag, vol 21, Septembre 1985, page 1835-1840

• [Fournet-79] : G. Fournet – ‘Electromagné-tisme à partir des équations locales’ – 1979,Masson, Paris, France.

.

. ————————————– .

ANNEXE 1 Calcul d’atténuation de densité de courant

Jean-Paul CIPRIA – © 12/04/2011 Applications numériques et abaques .

Application pour un cable de diamètre 0,4

mm

• Rayon max du cable r = 0,000 2 m

Données physiques

• f = 300 KHz = 3.105 Hz.• µ = 4.Π.10-7 F/m.

• σ = 59,6×10

6

S·m

-1

Défnitiondesvariablesetconstantesphysiques

• f : fréquence du courant en Hertz [Hz]• µ

r: perméabilité magnétique relative en

Farad par mètre [F/m]µ

0= 4.Π.10-7 F/m.

• Susceptibilité magnétique du cuivre χ = –1.10-5

• µr

= 1 – χ • σ : conductivité électrique en Siemens par

mètre [S/m]σ = 59,6×106 S·m-

12 avril 2011












http://l2ep.univ-lille1.fr/fileupload/file/theses/TheseWEENS.pdf

http://www.nanotechinnov.com/wp-content/uploads/2011/04/Modelisation-cable-these-Cocquerelle.pdf




http://l2ep.univ-lille1.fr/fileupload/file/theses/TheseWEENS.pdf

http://www.nanotechinnov.com/wp-content/uploads/2011/04/Jean_Paul_Cipria_Effet_Peau_Att%C3%A9nuation_calcul_r%C3%A9sistance_surface1.jpg





P r i n t e d w

i t h

j o l i p r i n t



Epaisseur de peau

• δ = (1/Π.f.μ.σ)• δ = (1/Π . 3.105 . 4.Π.10-7 . 59,6×106 )• δ = (1/Π . 3.104 . 4.Π . 59,6 )• δ = (.10-4 ./Π² . 12 . 59,6 )• δ = (.10-4 /7058,74 )• δ = 1,19.10-4 m• δ = 0,119 mm

Abaques d’effet de peau .

.

.

A(x) = [ M0(| x |) / M

0(d) ] . e-i.θ(x)

.

• M0(2.10-4) = à calculer

• M0(x) = à calculer

• x = e-i.Π/4 . r/δ• |x|=r/δ• r ε [0 , 2.10-4 ] mètres.

. Répartition de densité pour un cable de diamètre0,4 mm à une fréquence de 300 KHz .

Effet de Peau - 300 KHz et 1 MHz - Diamètre 0,4 mm

.

.Table : Effet de Peau à 300 KHz sur cuivre dediamètre 0,4 mm .

f 3,00E+005 Hz µ 1,26E-006 F/m

σ 5,96E+007 S·m-1

δ 1,19E-004 m

d 2,00E-004 m

12 avril 2011












http://www.nanotechinnov.com/wp-content/uploads/2011/04/Effet-Peau-300KHz-1MHz-Zero2mm.jpg





P r i n t e d w

i t h

j o l i p r i n t



d/δ 1,68E+000

M0(d) 1,12E+000

.

r r/δ A(r)

0 0,00E+000 1 0,89

1,00E-005 8,40E-002 1 0,89

2,00E-005 1,68E-001 1 0,89

3,00E-005 2,52E-001 1 0,89

4,00E-005 3,36E-001 1 0,89

5,00E-005 4,20E-001 1 0,89

6,00E-005 5,04E-001 1 0,89

7,00E-005 5,88E-001 1 0,89

8,00E-005 6,72E-001 1 0,89

9,00E-005 7,56E-001 1,01 0,9

1,00E-004 8,40E-001 1,01 0,9

1,10E-004 9,24E-001 1,01 0,9

1,20E-004 1,01E+000 1,02 0,91

1,30E-004 1,09E+000 1,02 0,91

1,40E-004 1,18E+000 1,03 0,92

1,50E-004 1,26E+000 1,04 0,93

1,60E-004 1,34E+000 1,05 0,94

1,70E-004 1,43E+000 1,06 0,95

1,80E-004 1,51E+000 1,08 0,97

1,90E-004 1,60E+000 1,1 0,98

2,00E-004 1,68E+000 1,12 1

Table : .

Effet de peau - Fonction de répartition

. Fonction de répartition – Courbe de Wikipédia.

. ————————————————- .

ANNEXE 2 Fonctions de Bessel

12 avril 2011












http://www.nanotechinnov.com/wp-content/uploads/2011/03/300px-Repartition_courant_dans_conducteur_cylindrique.png





P r i n t e d w

i t h

j o l i p r i n t



.

A2. Fonctions de Bessel

Jean-Paul CIPRIA – © 12/04/2011

L’équation différentielle représentant le compor-tement spatial de l’effet de peau quand un couranthaute fréquence (f > 100 KHz) passe dans un conduc-

teur en cuivre a comme solution les fonctions deBessel (J0) du premier ordre.

En effet l’équation différentielle générale de Bessels’écrit de cette façon :

• x² . J(x)/x² + x . J(x)/dx + ( x² – α² ) . J(x) = 0

Lorsque α est un entier alors celui-ci donne ‘l’ordre’de la fonction de Bessel.

• Jn = (x/2)n

.p=0p=

(-1)p

x2p

/(22p

p! ( n + p )! )

D’ou

• J0 = p=0p= (-1)p .(x/2)2p/( p! )²

.

Pour mémoire, Ber et Bei sont les fonctions de Bessel(réèlles et imaginaires) qui sont employées dans lecalcul de l’atténuation due à l’effet de peau. Il est

interessant de regarder à quoi ressemblent cellesdu premier ordre.

En posant x = ω.σ.μ.r² nous nous trouvons dans lessolutions de Kelvins d’ordre 0.

• x².d²J(x)/dx² + x.dJ(x)/dx – i.x².J(x) = 0

.

Partie réèlle de la fonction de Kelvins. : Ber

• Ber(x) = p=0p= (-1)2p (x/2)4p / (2p)!²

Partie imaginaire de la fonction de Kelvins : Bei

• Bei(x) = p=0p= (-1)2p+1 (x/2)4p+1 / (2p+1)!²

.

.

• (Bern = (x/2)n.p=0p= (-1)p x2p/cos(Π.p/2)(22p p! ( n

+ p )! )) ???

.

————————————————-

. ANNEXE 3 Effet de peau – Démonstration n°2

Jean-Paul CIPRIA – © 12/04/2011 . A3. Effet de peau – Démonstration n°2

.

. A terminer (le 05/04/2011)

.

Loi de Biot- Savart

.

B = (μ0 /4.Π). c I.dl Λ (r-r’)/(r-r’)3

.

Nous pouvons simplier cette expression en posantsi nous considérons un conducteur de rayon r etde coécient

• B = μ0 . H• r – r’ –> r

12 avril 2011
















P r i n t e d w

i t h

j o l i p r i n t



• H = (1 /4.Π). c I.dl Λ n /r²

Pour une boucle le périmêtre est :

La circulation ( c ) du champs magnétique générele courant I.

Dans une spire de périmètre L = 2.Π.r

• I = 2.Π . r . H• dH = I / 2.Π . r

Si nous nous plaçons sur un élément de spire dansle conducteur d’épaisseur dx. Alors la surface decouronne dans lequel passe le courant est :

La variation de courant I est le ux de courant Jpar la surface.

• dI = J. dS = J . 2.Π . x . dx

D’ou

• dH = J . 2.Π . x . dx / 2.Π . r• dH = J . x . dx / r• H = (1/r) c J . x . dx + J0

En dérivant H par rapport à r.

• H/r = – (1/r²)c J . x . dx + J

0 /r

• H/r = – H / r + J0/r

.

————————————————-

.

ANNEXE 4

A4. Mesure de débit par atténuation chez Free

Graphe de « Divico » – Débits chez free en fonctionde l’affaiblissement.

Graphe de «Divico» - Débits chez free en fonction de l’affaiblissement.

.

———————————————

.

Réérences sur l’efet de peau

.

————————————————-

.

These de M. HENNERON

.

Egalisation temporelle modulation DMT ADSL

.

ADSL Ligne de transùmission coursB31

.

Jean-Paul CIPRIA – © 14/03/2011

.

12 avril 2011












http://www.nanotechinnov.com/wp-content/uploads/2011/04/TheseHENNERON.pdf

http://www.nanotechinnov.com/wp-content/uploads/2011/04/Egalisation-temporelle-modulation-DMT-ADSL.pdf

http://www.nanotechinnov.com/wp-content/uploads/2011/04/ADSL-Ligne-de-trans%C3%B9mission-coursB31.pdf

http://www.nanotechinnov.com/wp-content/uploads/2011/04/ADSL-Ligne-de-trans%C3%B9mission-coursB31.pdf

http://www.nanotechinnov.com/wp-content/uploads/2011/04/Egalisation-temporelle-modulation-DMT-ADSL.pdf

http://www.nanotechinnov.com/wp-content/uploads/2011/04/TheseHENNERON.pdf

http://www.nanotechinnov.com/wp-content/uploads/2011/04/Debit-ATM-Versus-Affaiblissement-300KHz.gif



Jean Paul Cipria Transmission Adsl Et Effet de Peau 120070727

Documents

Transcript of Jean Paul Cipria Transmission Adsl Et Effet de Peau 120070727