Ordre sur le monoıde de tresse dual

Jean Fromentin

Laboratoire de Mathematiques Nicolas OresmeUniversite de Caen

1/29

Monoıde de tresses positives Le monoıde B�n admet la presentation :

⟨

σ1, ..., σn�1

;σiσj � σjσi si |i� j| ¥ 2

σiσjσi � σjσiσj si |i� j| � 1

⟩�

2/29

Monoıde de tresses positives Le monoıde B�n admet la presentation :

⟨

σ1, ..., σn�1

;σiσj � σjσi si |i� j| ¥ 2

σiσjσi � σjσiσj si |i� j| � 1

⟩�1

i

i�1

n

σi ,

1

i

i�1

n

σ�1

i

2/29

Monoıde de tresses positives Le monoıde B�n admet la presentation :

⟨

σ1, ..., σn�1

;σiσj � σjσi si |i� j| ¥ 2

σiσjσi � σjσiσj si |i� j| � 1

⟩�1

i

i�1

n

σi ,

1

i

i�1

n

σ�1

i

Le groupe des fractions de B�n est Bn, le groupe de tresse a n brins.

2/29

Ordre de Dehornoy

Une tresse β P Bn est σ-positive si elle peut etre representee par unmot contenant du σi, pas du σ�1

i et pas de σ�j pour j ¡ i.

3/29

Ordre de Dehornoy

Une tresse β P Bn est σ-positive si elle peut etre representee par unmot contenant du σi, pas du σ�1

i et pas de σ�j pour j ¡ i. Pour β, β1 P Bn, on pose β   β1 ssi le quotient β�1β1 est σ-positive.

3/29

Ordre de Dehornoy

Une tresse β P Bn est σ-positive si elle peut etre representee par unmot contenant du σi, pas du σ�1

i et pas de σ�j pour j ¡ i. Pour β, β1 P Bn, on pose β   β1 ssi le quotient β�1β1 est σ-positive.

Proposition: La relation   est un ordre total compatible avec la multipli-cation a gauche.

3/29

Ordre de Dehornoy

Une tresse β P Bn est σ-positive si elle peut etre representee par unmot contenant du σi, pas du σ�1

i et pas de σ�j pour j ¡ i. Pour β, β1 P Bn, on pose β   β1 ssi le quotient β�1β1 est σ-positive.

Proposition: La relation   est un ordre total compatible avec la multipli-cation a gauche.

Ce resultat est base sur deux proprietes : Acyclicite et Comparaison

3/29

Motivation R. Laver a montre que tout monoıde engendre par un nombre fini deconjugues de σi est bien ordonne.

4/29

Motivation R. Laver a montre que tout monoıde engendre par un nombre fini deconjugues de σi est bien ordonne.

C’est le cas pour B�n.

4/29

Motivation R. Laver a montre que tout monoıde engendre par un nombre fini deconjugues de σi est bien ordonne.

C’est le cas pour B�n. S. Burckel a montre en que le type d’ordre de B�

n est ωωn�2

.

4/29

Motivation R. Laver a montre que tout monoıde engendre par un nombre fini deconjugues de σi est bien ordonne.

C’est le cas pour B�n. S. Burckel a montre en que le type d’ordre de B�

n est ωωn�2

.

Preuve compliquee utilisant une induction transfinie.

4/29

Motivation R. Laver a montre que tout monoıde engendre par un nombre fini deconjugues de σi est bien ordonne.

C’est le cas pour B�n. S. Burckel a montre en que le type d’ordre de B�

n est ωωn�2

.

Preuve compliquee utilisant une induction transfinie. Le monoıde de tresse dual B��n est engendre par un nombre fini de

conjugues de σi.

4/29

Monoıde de tresse dual Posons ai,j � σi . . . σj�2σj�1

σ�1

j�2. . . σ�1

i .

5/29

Monoıde de tresse dual Posons ai,j � σi . . . σj�2σj�1

σ�1

j�2. . . σ�1

i .

1

2

3

4

a1,4

1

2

3

4

5/29

Monoıde de tresse dual Posons ai,j � σi . . . σj�2σj�1

σ�1

j�2. . . σ�1

i .

1

2

3

4

a1,4

1

2

3

4

Le monoıde de tresse dual a n brin B��n est le sous-monoıde de Bn

engendre par les ai,j avec 1 ¤ i   j ¤ n.

5/29

Representation de ai,j comme corde d’un cercle

1

2

3

4

5

6

6/29

Representation de ai,j comme corde d’un cercle

1

2

3

4

5

6

6/29

Representation de ai,j comme corde d’un cercle

1

2

3

4

5

64

3

2

1

6/29

Representation de ai,j comme corde d’un cercle

1

2

3

4

5

64

3

2

1

6/29

Representation de ai,j comme corde d’un cercle

1

2

3

4

5

64

3

2

1

5

4

3

2

1

6

6/29

Relations entre les ai,j Les tresses ai,j sont soumises aux relations Rn :

7/29

Relations entre les ai,j Les tresses ai,j sont soumises aux relations Rn :

• ap,qar,s � ar,sap,q pour pp�rqpp�sqpq�rqpq�sq ¡ 0,

7/29

Relations entre les ai,j Les tresses ai,j sont soumises aux relations Rn :

• ap,qar,s � ar,sap,q pour pp�rqpp�sqpq�rqpq�sq ¡ 0,

1

2

3

4 �1

2

3

4

7/29

Relations entre les ai,j Les tresses ai,j sont soumises aux relations Rn :

• ap,qar,s � ar,sap,q pour pp�rqpp�sqpq�rqpq�sq ¡ 0,

• ap,qaq,r � aq,rap,r � ap,rap,q pour 1 ¤ p   q   r ¤ n.

1

2

3

4 �1

2

3

4

7/29

Relations entre les ai,j Les tresses ai,j sont soumises aux relations Rn :

• ap,qar,s � ar,sap,q pour pp�rqpp�sqpq�rqpq�sq ¡ 0,

• ap,qaq,r � aq,rap,r � ap,rap,q pour 1 ¤ p   q   r ¤ n.

1

2

3

4 �1

2

3

4

1

2

3

4 �1

2

3

4 �1

2

3

4

7/29

La structure de Garside de B��n

Lemme: Par rapport aux generateurs ai,j , le groupe Bn est presente parles relations Rn.

8/29

La structure de Garside de B��n

Lemme: Par rapport aux generateurs ai,j , le groupe Bn est presente parles relations Rn.

Theoreme: Par rapport aux generateurs ai,j , le monoıde B��n est presente

par les relations Rn.

8/29

La structure de Garside de B��n

Lemme: Par rapport aux generateurs ai,j , le groupe Bn est presente parles relations Rn.

Theoreme: Par rapport aux generateurs ai,j , le monoıde B��n est presente

par les relations Rn. Soit δn la tresse representee par a1,2a2,3...an�1,n � σ1σ2...σn�1

.

8/29

La structure de Garside de B��n

Lemme: Par rapport aux generateurs ai,j , le groupe Bn est presente parles relations Rn.

Theoreme: Par rapport aux generateurs ai,j , le monoıde B��n est presente

par les relations Rn. Soit δn la tresse representee par a1,2a2,3...an�1,n � σ1σ2...σn�1

.

Theorem [Birman-Ko-Lee]: Le monoıde B��n a une structure de Garside

associee a l’element de Garside δn.

8/29

Automorphisme de cyclage Soit φn l’automorphisme de conjuguaison sur B��n associe a δn :

9/29

Automorphisme de cyclage Soit φn l’automorphisme de conjuguaison sur B��n associe a δn :

φn : B��n Ñ B

��n

β ÞÑ δn β δ�1

n

9/29

Automorphisme de cyclage Soit φn l’automorphisme de conjuguaison sur B��n associe a δn :

φn : B��n Ñ B

��n

β ÞÑ δn β δ�1

n

Lemme: Pour tout 1 ¤ i   j ¤ n�1 on a φnpai,jq � ai�1,j�1 etφnpai,nq � a1,i�1 pour 1 ¤ i ¤ n�1.

9/29

Automorphisme de cyclage Soit φn l’automorphisme de conjuguaison sur B��n associe a δn :

φn : B��n Ñ B

��n

β ÞÑ δn β δ�1

n

Lemme: Pour tout 1 ¤ i   j ¤ n�1 on a φnpai,jq � ai�1,j�1 etφnpai,nq � a1,i�1 pour 1 ¤ i ¤ n�1.

6

54

3

2 1

9/29

Automorphisme de cyclage Soit φn l’automorphisme de conjuguaison sur B��n associe a δn :

φn : B��n Ñ B

��n

β ÞÑ δn β δ�1

n

Lemme: Pour tout 1 ¤ i   j ¤ n�1 on a φnpai,jq � ai�1,j�1 etφnpai,nq � a1,i�1 pour 1 ¤ i ¤ n�1.

6

54

3

2 1

9/29

Automorphisme de cyclage Soit φn l’automorphisme de conjuguaison sur B��n associe a δn :

φn : B��n Ñ B

��n

β ÞÑ δn β δ�1

n

Lemme: Pour tout 1 ¤ i   j ¤ n�1 on a φnpai,jq � ai�1,j�1 etφnpai,nq � a1,i�1 pour 1 ¤ i ¤ n�1.

6

54

3

2 1

φ6

9/29

Automorphisme de cyclage Soit φn l’automorphisme de conjuguaison sur B��n associe a δn :

φn : B��n Ñ B

��n

β ÞÑ δn β δ�1

n

Lemme: Pour tout 1 ¤ i   j ¤ n�1 on a φnpai,jq � ai�1,j�1 etφnpai,nq � a1,i�1 pour 1 ¤ i ¤ n�1.

6

54

3

2 1

φ6

9/29

Automorphisme de cyclage Soit φn l’automorphisme de conjuguaison sur B��n associe a δn :

φn : B��n Ñ B

��n

β ÞÑ δn β δ�1

n

Lemme: Pour tout 1 ¤ i   j ¤ n�1 on a φnpai,jq � ai�1,j�1 etφnpai,nq � a1,i�1 pour 1 ¤ i ¤ n�1.

6

54

3

2 1

φ6

L’ordre de φn est n.

9/29

La B��n�1

-fin Le sous-monoıde B��n�1

de B��n est clos par diviseur a droite et ppcm a

gauche.

10/29

La B��n�1

-fin Le sous-monoıde B��n�1

de B��n est clos par diviseur a droite et ppcm a

gauche.

Lemme: Toute tresse β de B��n avec n ¥ 3, admet un unique diviseur a

droite maximal β1 dans B��n�1

. La tresse β1 est appellee la B��n�1

-fin de β.

10/29

La B��n�1

-fin Le sous-monoıde B��n�1

de B��n est clos par diviseur a droite et ppcm a

gauche.

Lemme: Toute tresse β de B��n avec n ¥ 3, admet un unique diviseur a

droite maximal β1 dans B��n�1

. La tresse β1 est appellee la B��n�1

-fin de β. Si la B��n�1

-fin de β est triviale, on note β K B��n�1

.

10/29

La B��n�1

-fin Le sous-monoıde B��n�1

de B��n est clos par diviseur a droite et ppcm a

gauche.

Lemme: Toute tresse β de B��n avec n ¥ 3, admet un unique diviseur a

droite maximal β1 dans B��n�1

. La tresse β1 est appellee la B��n�1

-fin de β. Si la B��n�1

-fin de β est triviale, on note β K B��n�1

.

Remarque: Si β1 est la B��n�1

-fin de β, alors on a β β�1

1K B��

n�1.

10/29

La B��n�1

-fin de δqn Exemple :

δ2

3� a1,2a2,3a1,2a2,3

11/29

La B��n�1

-fin de δqn Exemple :

δ2

3� a1,2a2,3a1,2a2,3

11/29

La B��n�1

-fin de δqn Exemple :

δ2

3� a1,2a2,3a1,2a2,3

1

2 3

11/29

La B��n�1

-fin de δqn Exemple :

δ2

3� a1,2a2,3a1,2a2,3

1

2 3

1

2 3

11/29

La B��n�1

-fin de δqn Exemple :

δ2

3� a1,2a2,3a1,3a1,2

1

2 3

1

2 3

11/29

La B��n�1

-fin de δqn Exemple :

δ2

3� a1,2a2,3a1,3a1,2

11/29

La B��n�1

-fin de δqn Exemple :

δ2

3� a1,2a2,3a1,3a1,2

11/29

La B��n�1

-fin de δqn Exemple :

δ2

3� a1,2a2,3a1,3a1,2

1

2 3

11/29

La B��n�1

-fin de δqn Exemple :

δ2

3� a1,2a2,3a1,3a1,2

1

2 3

1

2 3

11/29

La B��n�1

-fin de δqn Exemple :

δ2

3� a1,2a1,3a1,2a1,2

1

2 3

1

2 3

11/29

La B��n�1

-fin de δqn Exemple :

δ2

3� a1,2a1,3a1,2a1,2

11/29

La B��n�1

-fin de δqn Exemple :

δ2

3� a1,2a1,3 � a1,2a1,2

11/29

La B��n�1

-fin de δqn Exemple :

δ2

3� a1,2a1,3 � a1,2a1,2

Lemme: La B��n�1

-fin de δqn est δ

qn�1

.

11/29

Le B��n�1

-eclatement On reitere cycliquement la construction de la fin avec lessous-monoıdes B��

n�1, φn

�B��

n�1

�, φ2

n

�B��

n�1

�, ... de B��

n .

12/29

Le B��n�1

-eclatement On reitere cycliquement la construction de la fin avec lessous-monoıdes B��

n�1, φn

�B��

n�1

�, φ2

n

�B��

n�1

�, ... de B��

n .

δ2

3� a1,2a1,3 � a1,2a1,2

12/29

Le B��n�1

-eclatement On reitere cycliquement la construction de la fin avec lessous-monoıdes B��

n�1, φn

�B��

n�1

�, φ2

n

�B��

n�1

�, ... de B��

n .

δ2

3� a1,2a1,3 � a1,2a1,2K B��

2P B��

2

12/29

Le B��n�1

-eclatement On reitere cycliquement la construction de la fin avec lessous-monoıdes B��

n�1, φn

�B��

n�1

�, φ2

n

�B��

n�1

�, ... de B��

n .

δ2

3� a1,2a1,3 � a1,2a1,2

12/29

Le B��n�1

-eclatement On reitere cycliquement la construction de la fin avec lessous-monoıdes B��

n�1, φn

�B��

n�1

�, φ2

n

�B��

n�1

�, ... de B��

n .

δ2

3� a1,2a1,3 � a1,2a1,2

12/29

Le B��n�1

-eclatement On reitere cycliquement la construction de la fin avec lessous-monoıdes B��

n�1, φn

�B��

n�1

�, φ2

n

�B��

n�1

�, ... de B��

n .

δ2

3� a1,2a1,3 � a1,2a1,2

12/29

Le B��n�1

-eclatement On reitere cycliquement la construction de la fin avec lessous-monoıdes B��

n�1, φn

�B��

n�1

�, φ2

n

�B��

n�1

�, ... de B��

n .

δ2

3� a1,2a1,3 � a1,2a1,2

12/29

Le B��n�1

-eclatement On reitere cycliquement la construction de la fin avec lessous-monoıdes B��

n�1, φn

�B��

n�1

�, φ2

n

�B��

n�1

�, ... de B��

n .

δ2

3� a1,2a1,3 � a1,2a1,2

12/29

Le B��n�1

-eclatement On reitere cycliquement la construction de la fin avec lessous-monoıdes B��

n�1, φn

�B��

n�1

�, φ2

n

�B��

n�1

�, ... de B��

n .

δ2

3� a1,2a1,3 � a1,2a1,2

12/29

Le B��n�1

-eclatement On reitere cycliquement la construction de la fin avec lessous-monoıdes B��

n�1, φn

�B��

n�1

�, φ2

n

�B��

n�1

�, ... de B��

n .

δ2

3� φ3pa1,3a2,3q � a1,2a1,2

12/29

Le B��n�1

-eclatement On reitere cycliquement la construction de la fin avec lessous-monoıdes B��

n�1, φn

�B��

n�1

�, φ2

n

�B��

n�1

�, ... de B��

n .

δ2

3� φ3pa1,3a2,3q � a1,2a1,2K B��

2

12/29

Le B��n�1

-eclatement On reitere cycliquement la construction de la fin avec lessous-monoıdes B��

n�1, φn

�B��

n�1

�, φ2

n

�B��

n�1

�, ... de B��

n .

δ2

3� φ3pa1,3a2,3q � φ3p1q � a1,2a1,2

12/29

Le B��n�1

-eclatement On reitere cycliquement la construction de la fin avec lessous-monoıdes B��

n�1, φn

�B��

n�1

�, φ2

n

�B��

n�1

�, ... de B��

n .

δ2

3� φ3pa1,3a2,3q � φ3p1q � a1,2a1,2

12/29

Le B��n�1

-eclatement On reitere cycliquement la construction de la fin avec lessous-monoıdes B��

n�1, φn

�B��

n�1

�, φ2

n

�B��

n�1

�, ... de B��

n .

δ2

3� φ3pa1,3a2,3q � φ3p1q � a1,2a1,2

12/29

Le B��n�1

-eclatement On reitere cycliquement la construction de la fin avec lessous-monoıdes B��

n�1, φn

�B��

n�1

�, φ2

n

�B��

n�1

�, ... de B��

n .

δ2

3� φ3pa1,3a2,3q � φ3p1q � a1,2a1,2

12/29

Le B��n�1

-eclatement On reitere cycliquement la construction de la fin avec lessous-monoıdes B��

n�1, φn

�B��

n�1

�, φ2

n

�B��

n�1

�, ... de B��

n .

δ2

3� φ3pa1,3a2,3q � φ3p1q � a1,2a1,2

12/29

Le B��n�1

-eclatement On reitere cycliquement la construction de la fin avec lessous-monoıdes B��

n�1, φn

�B��

n�1

�, φ2

n

�B��

n�1

�, ... de B��

n .

δ2

3� φ2

3pa2,3a1,2q � φ3p1q � a1,2a1,2

12/29

Le B��n�1

-eclatement On reitere cycliquement la construction de la fin avec lessous-monoıdes B��

n�1, φn

�B��

n�1

�, φ2

n

�B��

n�1

�, ... de B��

n .

δ2

3� φ2

3pa2,3q � φ2

3pa1,2q � φ3p1q � a1,2a1,2

12/29

Le B��n�1

-eclatement On reitere cycliquement la construction de la fin avec lessous-monoıdes B��

n�1, φn

�B��

n�1

�, φ2

n

�B��

n�1

�, ... de B��

n .

δ2

3� φ3

3pa1,2q � φ2

3pa1,2q � φ3p1q � a1,2a1,2

12/29

Le B��n�1

-eclatement On reitere cycliquement la construction de la fin avec lessous-monoıdes B��

n�1, φn

�B��

n�1

�, φ2

n

�B��

n�1

�, ... de B��

n .

δ2

3� φ3

3pa1,2q � φ2

3pa1,2q � φ3p1q � a1,2a1,2pa1,2, a1,2, 1, a2

1,2q12/29

Le B��n�1

-eclatement On reitere cycliquement la construction de la fin avec lessous-monoıdes B��

n�1, φn

�B��

n�1

�, φ2

n

�B��

n�1

�, ... de B��

n .

δ2

3� φ3

3pa1,2q � φ2

3pa1,2q � φ3p1q � a1,2a1,2pa1,2, a1,2, 1, a2

1,2qProposition: Pour toute tresse β de B��

n , il existe une unique suitepβp, ..., β1q de B��n�1

telle que

• β � φr�1

n pβrq � ... � β1,

• βr est la B��n�1

-fin de φp�rn pβpq � ... � βr.

12/29

Le B��n�1

-eclatement La suite pβp, ..., β1q est le B��n�1

-eclatement de β.

13/29

Le B��n�1

-eclatement La suite pβp, ..., β1q est le B��n�1

-eclatement de β.

Le B��2

-eclatement de δ2

3est pa1,2, a1,2, 1, a2

1,2q.

13/29

Le B��n�1

-eclatement La suite pβp, ..., β1q est le B��n�1

-eclatement de β.

Le B��2

-eclatement de δ2

3est pa1,2, a1,2, 1, a2

1,2q. La n-largeur de β est la longueur du B��n�1

-eclatement de β.

13/29

Le B��n�1

-eclatement La suite pβp, ..., β1q est le B��n�1

-eclatement de β.

Le B��2

-eclatement de δ2

3est pa1,2, a1,2, 1, a2

1,2q. La n-largeur de β est la longueur du B��n�1

-eclatement de β.

La 3-largeur de δ23 est 4.

13/29

Le B��n�1

-eclatement La suite pβp, ..., β1q est le B��n�1

-eclatement de β.

Le B��2

-eclatement de δ2

3est pa1,2, a1,2, 1, δ2

2q. La n-largeur de β est la longueur du B��

n�1-eclatement de β.

La 3-largeur de δ23 est 4.

13/29

Le B��n�1

-eclatement La suite pβp, ..., β1q est le B��n�1

-eclatement de β.

Le B��2

-eclatement de δ2

3est pa1,2, a1,2, 1, δ2

2q. La n-largeur de β est la longueur du B��

n�1-eclatement de β.

La 3-largeur de δ23 est 4.

Proposition: Le B��n�1

-decomposition de δqn estpan�2,n�1, ..., an�2,n�1looooooooooooomooooooooooooon, 1, δ

qn�1

qq fois

Alors la n-largeur de δqn est q�2.

13/29

Le B��n�1

-eclatement

6

4

5

3

2

1

14/29

Le B��n�1

-eclatement

β0

6

4

5

3

2

1

14/29

Le B��n�1

-eclatement

β0φ6pβ1q6

4

5

3

2

1

14/29

Le B��n�1

-eclatement

β0φ6pβ1qφ26pβ2q

6

4

5

3

2

1

14/29

Le B��n�1

-eclatement

β0φ6pβ1qφ26pβ2q

φ3

6pβ3q 6

4

5

3

2

1

14/29

Forme normale cyclante Pour β P B��2

, il existe un unique p ¥ 0 verifiant β � ap1,2.

15/29

Forme normale cyclante Pour β P B��2

, il existe un unique p ¥ 0 verifiant β � ap1,2. On dit que a

p1,2 est la forme cyclante de β.

15/29

Forme normale cyclante Pour β P B��2

, il existe un unique p ¥ 0 verifiant β � ap1,2. On dit que a

p1,2 est la forme cyclante de β.

On definit une forme cyclante sur B��n par induction sur n.

15/29

Forme normale cyclante Pour β P B��2

, il existe un unique p ¥ 0 verifiant β � ap1,2. On dit que a

p1,2 est la forme cyclante de β.

On definit une forme cyclante sur B��n par induction sur n.

Proposition: Pour β P B��n avec n ¥ 3, la forme normale cyclante de β est

le mot φp�1n pwpq � ... � φnpw2q � w1, ou pβp, ..., β1q est le B��

n�1-eclatement

de β et wi est la forme normale cyclante de βi.

15/29

Forme normale cyclante Pour β P B��2

, il existe un unique p ¥ 0 verifiant β � ap1,2. On dit que a

p1,2 est la forme cyclante de β.

On definit une forme cyclante sur B��n par induction sur n.

Proposition: Pour β P B��n avec n ¥ 3, la forme normale cyclante de β est

le mot φp�1n pwpq � ... � φnpw2q � w1, ou pβp, ..., β1q est le B��

n�1-eclatement

de β et wi est la forme normale cyclante de βi. Le B��2

-eclatement de δ23 est pa1,2, a1,2, 1, a2

1,2q.15/29

Forme normale cyclante Pour β P B��2

, il existe un unique p ¥ 0 verifiant β � ap1,2. On dit que a

p1,2 est la forme cyclante de β.

On definit une forme cyclante sur B��n par induction sur n.

Proposition: Pour β P B��n avec n ¥ 3, la forme normale cyclante de β est

le mot φp�1n pwpq � ... � φnpw2q � w1, ou pβp, ..., β1q est le B��

n�1-eclatement

de β et wi est la forme normale cyclante de βi. Le B��2

-eclatement de δ23 est pa1,2, a1,2, 1, a2

1,2q. La forme normale cyclante de δ2

3 est a1,2a1,3a1,2a1,2.

15/29

Un nouvel ordre :  �n Pour β, β1 P B��

2, il existe deux entiers uniques p et q verifiant β � a

p1,2

et β1 � aq1,2.

16/29

Un nouvel ordre :  �n Pour β, β1 P B��

2, il existe deux entiers uniques p et q verifiant β � a

p1,2

et β1 � aq1,2.

On pose β  �2

β1 ssi p   q est verifie.

16/29

Un nouvel ordre :  �n Pour β, β1 P B��

2, il existe deux entiers uniques p et q verifiant β � a

p1,2

et β1 � aq1,2.

On pose β  �2

β1 ssi p   q est verifie. Pour β, β1 P B��n , avec n ¥ 3, notons pβp, ..., β1q le B��

n�1-eclatement

de β et pβ1q, ..., β11q celui de β1.16/29

Un nouvel ordre :  �n Pour β, β1 P B��

2, il existe deux entiers uniques p et q verifiant β � a

p1,2

et β1 � aq1,2.

On pose β  �2

β1 ssi p   q est verifie. Pour β, β1 P B��n , avec n ¥ 3, notons pβp, ..., β1q le B��

n�1-eclatement

de β et pβ1q, ..., β11q celui de β1. On pose β  �n β1 ssi

16/29

Un nouvel ordre :  �n Pour β, β1 P B��

2, il existe deux entiers uniques p et q verifiant β � a

p1,2

et β1 � aq1,2.

On pose β  �2

β1 ssi p   q est verifie. Pour β, β1 P B��n , avec n ¥ 3, notons pβp, ..., β1q le B��

n�1-eclatement

de β et pβ1q, ..., β11q celui de β1. On pose β  �n β1 ssi p   q ou bien

16/29

Un nouvel ordre :  �n Pour β, β1 P B��

2, il existe deux entiers uniques p et q verifiant β � a

p1,2

et β1 � aq1,2.

On pose β  �2

β1 ssi p   q est verifie. Pour β, β1 P B��n , avec n ¥ 3, notons pβp, ..., β1q le B��

n�1-eclatement

de β et pβ1q, ..., β11q celui de β1. On pose β  �n β1 ssi p   q ou bien p � q et il existe r verifiant

βt � β1t pour t ¡ r, et βr  �n�1β1r.

16/29

Un exemple Soient β et β1 dans B��5

telles que :

17/29

Un exemple Soient β et β1 dans B��5

telles que : β � a3,4a1,5a1,5a3,5a1,4a4,5a3,4a3,4a3,5,

17/29

Un exemple Soient β et β1 dans B��5

telles que : β � a3,4a1,5a1,5a3,5a1,4a4,5a3,4a3,4a3,5, β1 � a4,5a1,4a3,4a1,3a4,5a2,4a2,4a3,5a4,5.

17/29

Un exemple Soient β et β1 dans B��5

telles que : β � a3,4a1,5a1,5a3,5a1,4a4,5a3,4a3,4a3,5, β1 � a4,5a1,4a3,4a1,3a4,5a2,4a2,4a3,5a4,5.

Quel est l’ordre entre β et β1 pour  �5

?

17/29

Un exemple Soient β et β1 dans B��5

telles que : β � a3,4a1,5a1,5a3,5a1,4a4,5a3,4a3,4a3,5, β1 � a4,5a1,4a3,4a1,3a4,5a2,4a2,4a3,5a4,5.

Quel est l’ordre entre β et β1 pour  �5

? Les B��4

-eclatements de β et β1 sont

17/29

Un exemple Soient β et β1 dans B��5

telles que : β � a3,4a1,5a1,5a3,5a1,4a4,5a3,4a3,4a3,5, β1 � a4,5a1,4a3,4a1,3a4,5a2,4a2,4a3,5a4,5.

Quel est l’ordre entre β et β1 pour  �5

? Les B��4

-eclatements de β et β1 sont pa1,2a3,4a3,4a1,3a2,4, a3,4a2,3a2,3a2,4, 1q � pβ3, β2, β1q.

17/29

Un exemple Soient β et β1 dans B��5

telles que : β � a3,4a1,5a1,5a3,5a1,4a4,5a3,4a3,4a3,5, β1 � a4,5a1,4a3,4a1,3a4,5a2,4a2,4a3,5a4,5.

Quel est l’ordre entre β et β1 pour  �5

? Les B��4

-eclatements de β et β1 sont pa1,2a3,4a3,4a1,3a2,4, a3,4a2,3a2,3a2,4, 1q � pβ3, β2, β1q. pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q � pβ13, β1

2, β1

1q.

17/29

Un exemple Soient β et β1 dans B��5

telles que : β � a3,4a1,5a1,5a3,5a1,4a4,5a3,4a3,4a3,5, β1 � a4,5a1,4a3,4a1,3a4,5a2,4a2,4a3,5a4,5.

Quel est l’ordre entre β et β1 pour  �5

? Les B��4

-eclatements de β et β1 sont pa1,2a3,4a3,4a1,3a2,4, a3,4a2,3a2,3a2,4, 1q � pβ3, β2, β1q. pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q � pβ13, β1

2, β1

1q.

(la 5-largeur de β)�(la 5-largeur de β1).17/29

Un exemple Soient β et β1 dans B��5

telles que : β � a3,4a1,5a1,5a3,5a1,4a4,5a3,4a3,4a3,5, β1 � a4,5a1,4a3,4a1,3a4,5a2,4a2,4a3,5a4,5.

Quel est l’ordre entre β et β1 pour  �5

? Les B��4

-eclatements de β et β1 sont pa1,2a3,4a3,4a1,3a2,4, a3,4a2,3a2,3a2,4, 1q � pβ3, β2, β1q. pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q � pβ13, β1

2, β1

1q.

(la 5-largeur de β)�(la 5-largeur de β1). On ne peut pas encore conclure.

17/29

Un exemple Soient β et β1 dans B��5

telles que : β � a3,4a1,5a1,5a3,5a1,4a4,5a3,4a3,4a3,5, β1 � a4,5a1,4a3,4a1,3a4,5a2,4a2,4a3,5a4,5.

Quel est l’ordre entre β et β1 pour  �5

? Les B��4

-eclatements de β et β1 sont pa1,2a3,4a3,4a1,3a2,4, a3,4a2,3a2,3a2,4, 1q � pβ3, β2, β1q. pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q � pβ13, β1

2, β1

1q.

(la 5-largeur de β)�(la 5-largeur de β1). On ne peut pas encore conclure. Les B��

3-eclatements de β3 et β13 sont

17/29

Un exemple Soient β et β1 dans B��5

telles que : β � a3,4a1,5a1,5a3,5a1,4a4,5a3,4a3,4a3,5, β1 � a4,5a1,4a3,4a1,3a4,5a2,4a2,4a3,5a4,5.

Quel est l’ordre entre β et β1 pour  �5

? Les B��4

-eclatements de β et β1 sont pa1,2a3,4a3,4a1,3a2,4, a3,4a2,3a2,3a2,4, 1q � pβ3, β2, β1q. pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q � pβ13, β1

2, β1

1q.

(la 5-largeur de β)�(la 5-largeur de β1). On ne peut pas encore conclure. Les B��

3-eclatements de β3 et β13 sont pa2,3, a1,2a1,2a2,3, a1,3, 1q

17/29

Un exemple Soient β et β1 dans B��5

telles que : β � a3,4a1,5a1,5a3,5a1,4a4,5a3,4a3,4a3,5, β1 � a4,5a1,4a3,4a1,3a4,5a2,4a2,4a3,5a4,5.

Quel est l’ordre entre β et β1 pour  �5

? Les B��4

-eclatements de β et β1 sont pa1,2a3,4a3,4a1,3a2,4, a3,4a2,3a2,3a2,4, 1q � pβ3, β2, β1q. pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q � pβ13, β1

2, β1

1q.

(la 5-largeur de β)�(la 5-largeur de β1). On ne peut pas encore conclure. Les B��

3-eclatements de β3 et β13 sont pa2,3, a1,2a1,2a2,3, a1,3, 1q pa2,3, a1,3a2,3, a2,3, 1, 1q

17/29

Un exemple Soient β et β1 dans B��5

telles que : β � a3,4a1,5a1,5a3,5a1,4a4,5a3,4a3,4a3,5, β1 � a4,5a1,4a3,4a1,3a4,5a2,4a2,4a3,5a4,5.

Quel est l’ordre entre β et β1 pour  �5

? Les B��4

-eclatements de β et β1 sont pa1,2a3,4a3,4a1,3a2,4, a3,4a2,3a2,3a2,4, 1q � pβ3, β2, β1q. pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q � pβ13, β1

2, β1

1q.

(la 5-largeur de β)�(la 5-largeur de β1). On ne peut pas encore conclure. Les B��

3-eclatements de β3 et β13 sont pa2,3, a1,2a1,2a2,3, a1,3, 1q pa2,3, a1,3a2,3, a2,3, 1, 1q

(la 4-largeur de β3)� 4   5 �(la 4-largeur de β13).17/29

Un exemple Soient β et β1 dans B��5

telles que : β � a3,4a1,5a1,5a3,5a1,4a4,5a3,4a3,4a3,5, β1 � a4,5a1,4a3,4a1,3a4,5a2,4a2,4a3,5a4,5.

Quel est l’ordre entre β et β1 pour  �5

? Les B��4

-eclatements de β et β1 sont pa1,2a3,4a3,4a1,3a2,4, a3,4a2,3a2,3a2,4, 1q � pβ3, β2, β1q. pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q � pβ13, β1

2, β1

1q.

(la 5-largeur de β)�(la 5-largeur de β1). On ne peut pas encore conclure. Les B��

3-eclatements de β3 et β13 sont pa2,3, a1,2a1,2a2,3, a1,3, 1q pa2,3, a1,3a2,3, a2,3, 1, 1q

(la 4-largeur de β3)� 4   5 �(la 4-largeur de β13). β3  �4 β13

17/29

Un exemple Soient β et β1 dans B��5

telles que : β � a3,4a1,5a1,5a3,5a1,4a4,5a3,4a3,4a3,5, β1 � a4,5a1,4a3,4a1,3a4,5a2,4a2,4a3,5a4,5.

Quel est l’ordre entre β et β1 pour  �5

? Les B��4

-eclatements de β et β1 sont pa1,2a3,4a3,4a1,3a2,4, a3,4a2,3a2,3a2,4, 1q � pβ3, β2, β1q. pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q � pβ13, β1

2, β1

1q.

(la 5-largeur de β)�(la 5-largeur de β1). On ne peut pas encore conclure. Les B��

3-eclatements de β3 et β13 sont pa2,3, a1,2a1,2a2,3, a1,3, 1q pa2,3, a1,3a2,3, a2,3, 1, 1q

(la 4-largeur de β3)� 4   5 �(la 4-largeur de β13). β3  �4 β13 β  �

5β1.

17/29

Coıncidence avec l’ordre de Dehornoy La relation  �n est un bon ordre.

18/29

Coıncidence avec l’ordre de Dehornoy La relation  �n est un bon ordre.

Theoreme: Pour β, β1 P B��n , on a β  �n β1 ssi β�1β1 est σ-positive.

18/29

Coıncidence avec l’ordre de Dehornoy La relation  �n est un bon ordre.

Theoreme: Pour β, β1 P B��n , on a β  �n β1 ssi β�1β1 est σ-positive.

une nouvelle preuve de la Propriete de Comparaison,

18/29

Coıncidence avec l’ordre de Dehornoy La relation  �n est un bon ordre.

Theoreme: Pour β, β1 P B��n , on a β  �n β1 ssi β�1β1 est σ-positive.

une nouvelle preuve de la Propriete de Comparaison,

 �n et   coıncide sur B��n ,

18/29

Coıncidence avec l’ordre de Dehornoy La relation  �n est un bon ordre.

Theoreme: Pour β, β1 P B��n , on a β  �n β1 ssi β�1β1 est σ-positive.

une nouvelle preuve de la Propriete de Comparaison,

 �n et   coıncide sur B��n ,

 �n est compatible avec la multiplication a gauche,

18/29

Coıncidence avec l’ordre de Dehornoy La relation  �n est un bon ordre.

Theoreme: Pour β, β1 P B��n , on a β  �n β1 ssi β�1β1 est σ-positive.

une nouvelle preuve de la Propriete de Comparaison,

 �n et   coıncide sur B��n ,

 �n est compatible avec la multiplication a gauche,

pB��n , q est un bon ordre de type au plus ωωn�2

.

18/29

Coıncidence avec l’ordre de Dehornoy La relation  �n est un bon ordre.

Theoreme: Pour β, β1 P B��n , on a β  �n β1 ssi β�1β1 est σ-positive.

une nouvelle preuve de la Propriete de Comparaison,

 �n et   coıncide sur B��n ,

 �n est compatible avec la multiplication a gauche,

pB��n , q est un bon ordre de type au plus ωωn�2

.

pB��n , q est un bon ordre de type ωωn�2

.

18/29

Simplification du probleme

Soient β et β1 deux tresses de B��n satisfaisant β  �n β1, montrons que

β�1β1 est σ-positive.

19/29

Simplification du probleme

Soient β et β1 deux tresses de B��n satisfaisant β  �n β1, montrons que

β�1β1 est σ-positive. On construit une tresse γ verifiant β  �n γ et γ ¤�n β1.

19/29

Simplification du probleme

Soient β et β1 deux tresses de B��n satisfaisant β  �n β1, montrons que

β�1β1 est σ-positive. On construit une tresse γ verifiant β  �n γ et γ ¤�n β1. On montre que β�1γ est σn�1-positive et que γ�1β1 est nonσn�1

-negative.

19/29

Simplification du probleme

Soient β et β1 deux tresses de B��n satisfaisant β  �n β1, montrons que

β�1β1 est σ-positive. On construit une tresse γ verifiant β  �n γ et γ ¤�n β1. On montre que β�1γ est σn�1-positive et que γ�1β1 est nonσn�1

-negative. On definit pδn,q � "an�1,n pour q � 0

δqn δ

�qn�1

pour q ¥ 1

19/29

Simplification du probleme

Soient β et β1 deux tresses de B��n satisfaisant β  �n β1, montrons que

β�1β1 est σ-positive. On construit une tresse γ verifiant β  �n γ et γ ¤�n β1. On montre que β�1γ est σn�1-positive et que γ�1β1 est nonσn�1

-negative. On definit pδn,q � "an�1,n pour q � 0

δqn δ

�qn�1

pour q ¥ 1

Proposition: La tresse pδn,q est la plus petite tresse de n-largeur q�2 pourl’ordre  �n.

19/29

Simplification du probleme

Soient β et β1 deux tresses de B��n satisfaisant β  �n β1, montrons que

β�1β1 est σ-positive. On construit une tresse γ verifiant β  �n γ et γ ¤�n β1. On montre que β�1γ est σn�1-positive et que γ�1β1 est nonσn�1

-negative. On definit pδn,q � "an�1,n pour q � 0

δqn δ

�qn�1

pour q ¥ 1

Proposition: La tresse pδn,q est la plus petite tresse de n-largeur q�2 pourl’ordre  �n.

Peut-on prendre pδn,q�2 pour γ avec q � n-largeur de β1 ?19/29

Tresses separatrices pδn,q

Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le

quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.

La preuve est facile.

20/29

Tresses separatrices pδn,q

Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le

quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.

La preuve est facile.

Soit pβp, ..., β1q le B��n�1

-eclatement de β avec p ¤ q�1.

20/29

Tresses separatrices pδn,q

Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le

quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.

La preuve est facile.

Soit pβp, ..., β1q le B��n�1

-eclatement de β avec p ¤ q�1.

β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1

n � δ�qn�1

β�1

1� φnpβ�1

2q � ... � φp�2

n pβ�1

p�1q � φp�1

n pβ�1p q � δp�1

n

20/29

Tresses separatrices pδn,q

Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le

quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.

La preuve est facile.

Soit pβp, ..., β1q le B��n�1

-eclatement de β avec p ¤ q�1.

β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1

n � δ�qn�1

β�1

1� φnpβ�1

2q � ... � φp�2

n pβ�1

p�1q � φp�1

n pβ�1p q � δp�1

n

20/29

Tresses separatrices pδn,q

Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le

quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.

La preuve est facile.

Soit pβp, ..., β1q le B��n�1

-eclatement de β avec p ¤ q�1.

β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1

n � δ�qn�1

β�1

1� φnpβ�1

2q � ... � φp�2

n pβ�1

p�1q � φp�1

n pβ�1p q � δp�1

n

20/29

Tresses separatrices pδn,q

Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le

quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.

La preuve est facile.

Soit pβp, ..., β1q le B��n�1

-eclatement de β avec p ¤ q�1.

β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1

n � δ�qn�1

β�1

1� φnpβ�1

2q � ... � φp�2

n pβ�1

p�1q � φp�1

n pβ�1p q � δp�1

n

20/29

Tresses separatrices pδn,q

Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le

quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.

La preuve est facile.

Soit pβp, ..., β1q le B��n�1

-eclatement de β avec p ¤ q�1.

β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1

n � δ�qn�1

β�1

1� φnpβ�1

2q � ... � φp�2

n pβ�1

p�1q � φp�1

n pβ�1p q � δp�1

n

20/29

Tresses separatrices pδn,q

Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le

quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.

La preuve est facile.

Soit pβp, ..., β1q le B��n�1

-eclatement de β avec p ¤ q�1.

β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1

n � δ�qn�1

β�1

1� φnpβ�1

2q � ... � φp�2

n pβ�1

p�1q � φp�1

n pβ�1p q � δp�1

n

20/29

Tresses separatrices pδn,q

Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le

quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.

La preuve est facile.

Soit pβp, ..., β1q le B��n�1

-eclatement de β avec p ¤ q�1.

β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1

n � δ�qn�1

β�1

1� φnpβ�1

2q � ... � φp�2

n pβ�1

p�1q � φp�1

n pβ�1p q � δp�1

n

20/29

Tresses separatrices pδn,q

Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le

quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.

La preuve est facile.

Soit pβp, ..., β1q le B��n�1

-eclatement de β avec p ¤ q�1.

β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1

n � δ�qn�1

β�1

1� φnpβ�1

2q � ... � φp�2

n pβ�1

p�1q � φp�1

n pβ�1p q � δp�1

n

20/29

Tresses separatrices pδn,q

Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le

quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.

La preuve est facile.

Soit pβp, ..., β1q le B��n�1

-eclatement de β avec p ¤ q�1.

β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1

n � δ�qn�1

β�1

1� φnpβ�1

2q � ... � φp�2

n pβ�1

p�1q � φp�1

n pβ�1p q � δp�1

n

20/29

Tresses separatrices pδn,q

Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le

quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.

La preuve est facile.

Soit pβp, ..., β1q le B��n�1

-eclatement de β avec p ¤ q�1.

β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1

n � δ�qn�1

β�1

1� φnpβ�1

2q � ... � φp�2

n pβ�1

p�1q � δp�1

n β�1p δ�p�1

n � δp�1n

20/29

Tresses separatrices pδn,q

Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le

quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.

La preuve est facile.

Soit pβp, ..., β1q le B��n�1

-eclatement de β avec p ¤ q�1.

β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1

n � δ�qn�1

β�1

1� φnpβ�1

2q � ... � φp�2

n pβ�1

p�1q � δp�1

n β�1p

20/29

Tresses separatrices pδn,q

Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le

quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.

La preuve est facile.

Soit pβp, ..., β1q le B��n�1

-eclatement de β avec p ¤ q�1.

β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1

n � δ�qn�1

β�1

1� φnpβ�1

2q � ... � φp�2

n pβ�1

p�1q � δp�2

n � δnβ�1p

20/29

Tresses separatrices pδn,q

Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le

quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.

La preuve est facile.

Soit pβp, ..., β1q le B��n�1

-eclatement de β avec p ¤ q�1.

β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1

n � δ�qn�1

β�1

1� φnpβ�1

2q � ... � φp�2

n pβ�1

p�1q � δp�2

n � δnβ�1p

20/29

Tresses separatrices pδn,q

Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le

quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.

La preuve est facile.

Soit pβp, ..., β1q le B��n�1

-eclatement de β avec p ¤ q�1.

β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1

n � δ�qn�1

β�1

1� φnpβ�1

2q � ... � φp�2

n pβ�1

p�1q � δp�2

n � δnβ�1p

20/29

Tresses separatrices pδn,q

Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le

quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.

La preuve est facile.

Soit pβp, ..., β1q le B��n�1

-eclatement de β avec p ¤ q�1.

β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1

n � δ�qn�1

β�1

1� φnpβ�1

2q � ... � φp�2

n pβ�1

p�1q � δp�2

n � δnβ�1p

20/29

Tresses separatrices pδn,q

Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le

quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.

La preuve est facile.

Soit pβp, ..., β1q le B��n�1

-eclatement de β avec p ¤ q�1.

β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1

n � δ�qn�1

β�1

1� φnpβ�1

2q � ... � φp�2

n pβ�1

p�1q � δp�2

n � δnβ�1p

20/29

Tresses separatrices pδn,q

Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le

quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.

La preuve est facile.

Soit pβp, ..., β1q le B��n�1

-eclatement de β avec p ¤ q�1.

β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1

n � δ�qn�1

β�1

1� φnpβ�1

2q � ... � φp�2

n pβ�1

p�1q � δp�2

n � δnβ�1p

20/29

Tresses separatrices pδn,q

Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le

quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.

La preuve est facile.

Soit pβp, ..., β1q le B��n�1

-eclatement de β avec p ¤ q�1.

β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1

n � δ�qn�1

β�1

1� φnpβ�1

2q � ... � φp�2

n pβ�1

p�1q � δp�2

n � δnβ�1p

20/29

Tresses separatrices pδn,q

Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le

quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.

La preuve est facile.

Soit pβp, ..., β1q le B��n�1

-eclatement de β avec p ¤ q�1.

β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1

n � δ�qn�1

β�1

1� φnpβ�1

2q � ... � φp�2

n pβ�1

p�1q � δp�2

n � δnβ�1p

20/29

Tresses separatrices pδn,q

Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le

quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.

La preuve est facile.

Soit pβp, ..., β1q le B��n�1

-eclatement de β avec p ¤ q�1.

β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1

n � δ�qn�1

β�1

1� φnpβ�1

2q � ... � φp�2

n pβ�1

p�1q � δp�2

n � δnβ�1p

20/29

Tresses separatrices pδn,q

Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le

quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.

La preuve est facile.

Soit pβp, ..., β1q le B��n�1

-eclatement de β avec p ¤ q�1.

β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1

n � δ�qn�1

β�1

1� φnpβ�1

2q � ... � δp�2

n β�1

p�1δ�p�2n � δp�2

n � δnβ�1p

20/29

Tresses separatrices pδn,q

Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le

quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.

La preuve est facile.

Soit pβp, ..., β1q le B��n�1

-eclatement de β avec p ¤ q�1.

β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1

n � δ�qn�1

β�1

1� φnpβ�1

2q � ... � δp�2

n β�1

p�1� δnβ�1

p

20/29

Tresses separatrices pδn,q

Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le

quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.

La preuve est facile.

Soit pβp, ..., β1q le B��n�1

-eclatement de β avec p ¤ q�1.

β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1

n � δ�qn�1

β�1

1� φnpβ�1

2q � ... � δp�2

n β�1

p�1� δnβ�1

p

20/29

Tresses separatrices pδn,q

Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le

quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.

La preuve est facile.

Soit pβp, ..., β1q le B��n�1

-eclatement de β avec p ¤ q�1.

β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1

n � δ�qn�1

β�1

1� φnpβ�1

2q � ... � δp�2

n β�1

p�1� δnβ�1

p

20/29

Tresses separatrices pδn,q

Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le

quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.

La preuve est facile.

Soit pβp, ..., β1q le B��n�1

-eclatement de β avec p ¤ q�1.

β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1

n � δ�qn�1

β�1

1� φnpβ�1

2q � ... � δp�2

n β�1

p�1� δnβ�1

p

20/29

Tresses separatrices pδn,q

Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le

quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.

La preuve est facile.

Soit pβp, ..., β1q le B��n�1

-eclatement de β avec p ¤ q�1.

β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1

n � δ�qn�1

β�1

1� φnpβ�1

2q � ... � δp�2

n β�1

p�1� δnβ�1

p

20/29

Tresses separatrices pδn,q

Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le

quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.

La preuve est facile.

Soit pβp, ..., β1q le B��n�1

-eclatement de β avec p ¤ q�1.

β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1

n � δ�qn�1

β�1

1� φnpβ�1

2q � ... � δp�2

n β�1

p�1� δnβ�1

p

20/29

Tresses separatrices pδn,q

Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le

quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.

La preuve est facile.

Soit pβp, ..., β1q le B��n�1

-eclatement de β avec p ¤ q�1.

β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1

n � δ�qn�1

β�1

1� φnpβ�1

2q � ... � δp�2

n β�1

p�1� δnβ�1

p

20/29

Tresses separatrices pδn,q

Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le

quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.

La preuve est facile.

Soit pβp, ..., β1q le B��n�1

-eclatement de β avec p ¤ q�1.

β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1

n � δ�qn�1

β�1

1� φnpβ�1

2q � ... � δp�2

n β�1

p�1� δnβ�1

p

20/29

Tresses separatrices pδn,q

Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le

quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.

La preuve est facile.

Soit pβp, ..., β1q le B��n�1

-eclatement de β avec p ¤ q�1.

β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1

n � δ�qn�1

β�1

1� φnpβ�1

2q � ... � δp�3

n � δnβ�1

p�1� δnβ�1

p

20/29

Tresses separatrices pδn,q

Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le

quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.

La preuve est facile.

Soit pβp, ..., β1q le B��n�1

-eclatement de β avec p ¤ q�1.

β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1

n � δ�qn�1

β�1

1� δnβ�1

2� ... � δnβ�1

p�1� δnβ�1

p

20/29

Tresses separatrices pδn,q

Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le

quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.

La preuve est facile.

Soit pβp, ..., β1q le B��n�1

-eclatement de β avec p ¤ q�1.

β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1

n � δ�qn�1

β�1

1� δnβ�1

2� ... � δnβ�1

p�1� δnβ�1

p

20/29

Tresses separatrices pδn,q

Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le

quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.

La preuve est facile.

Soit pβp, ..., β1q le B��n�1

-eclatement de β avec p ¤ q�1.

β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1

n � δ�qn�1

β�1

1� δnβ�1

2� ... � δnβ�1

p�1� δnβ�1

p

20/29

Tresses separatrices pδn,q

Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le

quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.

La preuve est facile.

Soit pβp, ..., β1q le B��n�1

-eclatement de β avec p ¤ q�1.

β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1

n � δ�qn�1

β�1

1� δnβ�1

2� ... � δnβ�1

p�1� δnβ�1

p

20/29

Tresses separatrices pδn,q

Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le

quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.

La preuve est facile.

Soit pβp, ..., β1q le B��n�1

-eclatement de β avec p ¤ q�1.

β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1

n � δ�qn�1

β�1

1� δnβ�1

2� ... � δnβ�1

p�1� δnβ�1

p

20/29

Tresses separatrices pδn,q

Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le

quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.

La preuve est facile.

Soit pβp, ..., β1q le B��n�1

-eclatement de β avec p ¤ q�1.

β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1

n � δ�qn�1

β�1

1� δnβ�1

2� ... � δnβ�1

p�1� δnβ�1

p

20/29

Tresses separatrices pδn,q

Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le

quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.

La preuve est facile.

Soit pβp, ..., β1q le B��n�1

-eclatement de β avec p ¤ q�1.

β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1

n � δ�qn�1

β�1

1� δnβ�1

2� ... � δnβ�1

p�1� δnβ�1

p

20/29

Tresses separatrices pδn,q

Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le

quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.

La preuve est facile.

Soit pβp, ..., β1q le B��n�1

-eclatement de β avec p ¤ q�1.

β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1

n � δ�qn�1

β�1

1� δnβ�1

2� ... � δnβ�1

p�1� δnβ�1

p

20/29

Tresses separatrices pδn,q

Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le

quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.

La preuve est facile.

Soit pβp, ..., β1q le B��n�1

-eclatement de β avec p ¤ q�1.

β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1

n � δ�qn�1

β�1

1� δnβ�1

2� ... � δnβ�1

p�1� δnβ�1

p

20/29

Tresses separatrices pδn,q

Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le

quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.

La preuve est facile.

Soit pβp, ..., β1q le B��n�1

-eclatement de β avec p ¤ q�1.

β�1 � pδn,q � β�1

1� δnβ�1

2� ... � δnβ�1

p�1� δnβ�1

p � δq�p�1n � δ�q

n�1

20/29

Tresses separatrices pδn,q

Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le

quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.

La preuve est facile.

Soit pβp, ..., β1q le B��n�1

-eclatement de β avec p ¤ q�1.

β�1 � pδn,q � β�1

1� δnβ�1

2� ... � δnβ�1

p�1� δnβ�1

p � δq�p�1n � δ�q

n�1

Lemme : Pour une tresse β de B��n dont la n-largeur est au moins q�2,

le quotient pδn,qβ�1 est σ-positif ou trivial.

La preuve est difficile.

20/29

Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2.

21/29

Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3

-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q

21/29

Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3

-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4.

21/29

Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3

-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1

4,2 β est σ-positive.

21/29

Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3

-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1

4,2 β est σ-positive.pδ�1

4,2 β �21/29

Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3

-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1

4,2 β est σ-positive.pδ�1

4,2 β � δ2

3� δ�2

4� β

21/29

Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3

-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1

4,2 β est σ-positive.pδ�1

4,2 β � δ2

3� δ�2

4� φ3

4pa1,3q � φ2

4pa1,3q � φ4pa1,3a2,3q � a1,2

21/29

Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3

-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1

4,2 β est σ-positive.pδ�1

4,2 β � δ2

3� δ�2

4� φ3

4pa1,3q � φ2

4pa1,3q � φ4pa1,3a2,3q � a1,2

21/29

Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3

-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1

4,2 β est σ-positive.pδ�1

4,2 β � δ2

3� φ4pa1,3q � δ�2

4� φ2

4pa1,3q � φ4pa1,3a2,3q � a1,2

21/29

Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3

-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1

4,2 β est σ-positive.pδ�1

4,2 β � δ2

3� φ4pa1,3q � δ�2

4� φ2

4pa1,3q � φ4pa1,3a2,3q � a1,2

21/29

Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3

-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1

4,2 β est σ-positive.pδ�1

4,2 β � δ2

3� φ4pa1,3q � δ�2

4� φ2

4pa1,3q � φ4pa1,3a2,3q � a1,2

21/29

Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3

-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1

4,2 β est σ-positive.pδ�1

4,2 β � δ2

3� φ4pa1,3q � δ�2

4� φ2

4pa1,3q � φ4pa1,3a2,3q � a1,2

21/29

Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3

-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1

4,2 β est σ-positive.pδ�1

4,2 β � δ2

3� φ4pa1,3q � δ�2

4� φ2

4pa1,3q � φ4pa1,3a2,3q � a1,2

21/29

Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3

-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1

4,2 β est σ-positive.pδ�1

4,2 β � δ2

3� φ4pa1,3q � δ�2

4� φ2

4pa1,3q � φ4pa1,3a2,3q � a1,2

21/29

Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3

-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1

4,2 β est σ-positive.pδ�1

4,2 β � δ2

3� φ4pa1,3q � δ�2

4� φ2

4pa1,3q � φ4pa1,3a2,3q � a1,2

21/29

Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3

-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1

4,2 β est σ-positive.pδ�1

4,2 β � δ2

3� φ4pa1,3q � δ�2

4� φ2

4pa1,3q � φ4pa1,3a2,3q � a1,2

21/29

Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3

-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1

4,2 β est σ-positive.pδ�1

4,2 β � δ2

3� φ4pa1,3q � δ�2

4� φ2

4pa1,3q � φ4pa1,3a2,3q � a1,2

21/29

Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3

-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1

4,2 β est σ-positive.pδ�1

4,2 β � δ2

3� φ4pa1,3q � δ�1

4� δ�1

4� φ2

4pa1,3q � φ4pa1,3a2,3q � a1,2

21/29

Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3

-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1

4,2 β est σ-positive.pδ�1

4,2 β � δ2

3� φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,3a2,3q � a1,2

21/29

Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3

-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1

4,2 β est σ-positive.pδ�1

4,2 β � δ2

3� φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,3a2,3q � a1,2

Mais φ4pa1,3q � δ�1

4�

21/29

Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3

-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1

4,2 β est σ-positive.pδ�1

4,2 β � δ2

3� φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,3a2,3q � a1,2

Mais φ4pa1,3q � δ�1

4� a2,4 δ�1

4

21/29

Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3

-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1

4,2 β est σ-positive.pδ�1

4,2 β � δ2

3� φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,3a2,3q � a1,2

Mais φ4pa1,3q � δ�1

4� σ2 σ3 σ�1

2σ�1

3σ�1

2σ�1

1

21/29

Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3

-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1

4,2 β est σ-positive.pδ�1

4,2 β � δ2

3� φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,3a2,3q � a1,2

Mais φ4pa1,3q � δ�1

4� σ2 σ3 σ�1

2σ�1

3σ�1

2σ�1

1

21/29

Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3

-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1

4,2 β est σ-positive.pδ�1

4,2 β � δ2

3� φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,3a2,3q � a1,2

Mais φ4pa1,3q � δ�1

4� σ2 σ�1

2σ�1

3σ2 σ�1

2σ�1

1

21/29

Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3

-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1

4,2 β est σ-positive.pδ�1

4,2 β � δ2

3� φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,3a2,3q � a1,2

Mais φ4pa1,3q � δ�1

4� σ2 σ�1

2σ�1

3σ2 σ�1

2σ�1

1

21/29

Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3

-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1

4,2 β est σ-positive.pδ�1

4,2 β � δ2

3� φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,3a2,3q � a1,2

Mais φ4pa1,3q � δ�1

4� σ�1

3σ2 σ�1

2σ�1

1

21/29

Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3

-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1

4,2 β est σ-positive.pδ�1

4,2 β � δ2

3� φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,3a2,3q � a1,2

Mais φ4pa1,3q � δ�1

4� σ�1

3σ�1

1

21/29

Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3

-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1

4,2 β est σ-positive.pδ�1

4,2 β � δ2

3� φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,3a2,3q � a1,2

Mais φ4pa1,3q � δ�1

4� σ�1

3σ�1

1

21/29

Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3

-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1

4,2 β est σ-positive.pδ�1

4,2 β � δ2

3� φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,3a2,3q � a1,2

Mais φ4pa1,3q � δ�1

4� σ�1

3σ�1

1

21/29

Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3

-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1

4,2 β est σ-positive.pδ�1

4,2 β � δ2

3� φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,3a2,3q � a1,2

Mais φ4pa1,3q � δ�1

4� σ�1

3σ�1

1

21/29

Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3

-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1

4,2 β est σ-positive.pδ�1

4,2 β � δ2

3� φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,3a2,3q � a1,2

Mais φ4pa1,3q � δ�1

4� σ�1

3σ�1

1

21/29

Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3

-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1

4,2 β est σ-positive.pδ�1

4,2 β � δ2

3� φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,3a2,3q � a1,2

Mais φ4pa1,3q � δ�1

4� σ�1

3σ�1

1

21/29

Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3

-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1

4,2 β est σ-positive.pδ�1

4,2 β � δ2

3� φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,3a2,3q � a1,2

Mais φ4pa1,3q � δ�1

4� σ�1

3σ�1

1, qui est σ3-negative.

21/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative.

22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2.

22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

4�

22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,2 a2,3 a

�1

1,2q � δ�1

4

22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,2 a2,3 a

�1

1,2q � δ�1

4

22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,2 a2,3 a

�1

1,2q � δ�1

4

22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,2 a2,3 a

�1

1,2q � δ�1

4

22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,2 a2,3 a

�1

1,2q � δ�1

4

22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,2 a2,3 a

�1

1,2q � δ�1

4

22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,2 a2,3 a

�1

1,2q � δ�1

4

22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,2 a2,3 a

�1

1,2q � δ�1

4

22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,2 a2,3 a

�1

1,2q � δ�1

4

22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,2 a2,3q � φ4pa�1

1,2q � δ�1

4

22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,2 a2,3q � φ4pa�1

1,2q � δ�1

4

22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,2 a2,3q � δ�1

4� φ2

4pa�1

1,2q22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,2 a2,3q � δ�1

4� φ2

4pa�1

1,2q22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,2q � a3,4 δ�1

4� φ2

4pa�1

1,2q22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,2q � δ�1

3� φ2

4pa�1

1,2q22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,2q � δ�1

3� φ2

4pa�1

1,2q22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,2q � δ�1

3� φ2

4pa�1

1,2q22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,2q � δ�1

3� φ2

4pa�1

1,2q22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,2q � δ�1

3� φ2

4pa�1

1,2q22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,2q � δ�1

3� φ2

4pa�1

1,2q22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,2q � δ�1

3� φ2

4pa�1

1,2q pδ�1

4,2 β �22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,2q � δ�1

3� φ2

4pa�1

1,2q pδ�1

4,2 β � δ2

3� φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,3a2,3q � a1,2

22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,2q � δ�1

3� φ2

4pa�1

1,2q pδ�1

4,2 β � δ2

3� φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,3a2,3q � a1,2

22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,2q � δ�1

3� φ2

4pa�1

1,2q pδ�1

4,2 β � δ2

3� φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,3a2,3q � a1,2

22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,2q � δ�1

3� φ2

4pa�1

1,2q pδ�1

4,2 β � δ2

3� φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,3a2,3q � a1,2

22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,2q � δ�1

3� φ2

4pa�1

1,2q pδ�1

4,2 β � δ2

3� φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,3q � δ�1

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22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,2q � δ�1

3� φ2

4pa�1

1,2q pδ�1

4,2 β � δ2

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4� φ4pa1,3q � δ�1

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22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

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3� φ2

4pa�1

1,2q pδ�1

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22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,2q � δ�1

3� φ2

4pa�1

1,2q pδ�1

4,2 β � δ2

3� φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,3a2,3q � a1,2

22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,2q � δ�1

3� φ2

4pa�1

1,2q pδ�1

4,2 β � δ2

3� φ4pa1,2q � δ�1

3� φ2

4pa�1

1,2q � φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,3a2,3q � a1,2

22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,2q � δ�1

3� φ2

4pa�1

1,2q pδ�1

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3� φ2

4pa�1

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22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

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3� φ2

4pa�1

1,2q pδ�1

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22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

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3� φ2

4pa�1

1,2q pδ�1

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22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,2q � δ�1

3� φ2

4pa�1

1,2q pδ�1

4,2 β � δ2

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2,3a1,3q � δ�1

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22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,2q � δ�1

3� φ2

4pa�1

1,2q pδ�1

4,2 β � δ2

3� φ4pa1,2q � δ�1

3� φ4pa�1

2,3a1,3q � δ�1

4� φ4pa1,3a2,3q � a1,2

22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,2q � δ�1

3� φ2

4pa�1

1,2q pδ�1

4,2 β � δ2

3� φ4pa1,2q � δ�1

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2,3a1,3q � δ�1

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22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

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3� φ2

4pa�1

1,2q pδ�1

4,2 β � δ2

3� φ4pa1,2q � δ�1

3� φ4pa�1

2,3a1,3q � δ�1

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22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

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3� φ2

4pa�1

1,2q pδ�1

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On utilise a�1

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1,2.

22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

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3� φ2

4pa�1

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�1

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On utilise a�1

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1,2.

22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

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3� φ2

4pa�1

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4,2 β � δ2

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�1

1,2q � δ�1

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On utilise a�1

2,3a1,3 � a1,3a�1

1,2.

22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,2q � δ�1

3� φ2

4pa�1

1,2q pδ�1

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�1

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On utilise a�1

2,3a1,3 � a1,3a�1

1,2.

22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,2q � δ�1

3� φ2

4pa�1

1,2q pδ�1

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�1

1,2q � δ�1

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On utilise a�1

2,3a1,3 � a1,3a�1

1,2.

22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

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3� φ2

4pa�1

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�1

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On utilise a�1

2,3a1,3 � a1,3a�1

1,2.

22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

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3� φ2

4pa�1

1,2q pδ�1

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�1

1,2q � δ�1

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On utilise a�1

2,3a1,3 � a1,3a�1

1,2.

22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,2q � δ�1

3� φ2

4pa�1

1,2q pδ�1

4,2 β � δ2

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�1

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On utilise a�1

2,3a1,3 � a1,3a�1

1,2.

22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,2q � δ�1

3� φ2

4pa�1

1,2q pδ�1

4,2 β � δ2

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�1

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On utilise a�1

2,3a1,3 � a1,3a�1

1,2.

22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,2q � δ�1

3� φ2

4pa�1

1,2q pδ�1

4,2 β � δ2

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3� φ4pa1,2q � δ�1

3� φ2

4pa�2

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On utilise a�1

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1,2.

22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,2q � δ�1

3� φ2

4pa�1

1,2q pδ�1

4,2 β � δ2

3� φ4pa1,2q � δ�1

3� φ4pa1,2q � δ�1

3� φ2

4pa�2

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On utilise a�1

2,3a1,3 � a1,3a�1

1,2.

22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,2q � δ�1

3� φ2

4pa�1

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On utilise a�1

2,3a1,3 � a1,3a�1

1,2.

22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,2q � δ�1

3� φ2

4pa�1

1,2q pδ�1

4,2 β � δ2

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3� φ4pa1,2q � δ�1

3� φ4pa1,3a

�2

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On utilise a�1

2,3a1,3 � a1,3a�1

1,2.

22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,2q � δ�1

3� φ2

4pa�1

1,2q pδ�1

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�2

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On utilise a�1

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1,2.

22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

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3� φ2

4pa�1

1,2q pδ�1

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�2

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1,2.

22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

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3� φ2

4pa�1

1,2q pδ�1

4,2 β � δ2

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3� φ4pa1,2q � δ�1

3� φ4pa1,3a

�2

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On utilise a�1

2,3a1,3 � a1,3a�1

1,2.

22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,2q � δ�1

3� φ2

4pa�1

1,2q pδ�1

4,2 β � δ2

3� φ4pa1,2q � δ�1

3� φ4pa1,2q � δ�1

3� φ4pa1,3a

�2

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On utilise a�1

2,3a1,3 � a1,3a�1

1,2.

22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,2q � δ�1

3� φ2

4pa�1

1,2q pδ�1

4,2 β � δ2

3� φ4pa1,2q � δ�1

3� φ4pa1,2q � δ�1

3� φ4pa1,3a

�2

1,2a2,3q � a1,2

On utilise a�1

2,3a1,3 � a1,3a�1

1,2.

22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,2q � δ�1

3� φ2

4pa�1

1,2q pδ�1

4,2 β � δ2

3� φ4pa1,2q � δ�1

3� φ4pa1,2q � δ�1

3� φ4pa1,3a

�2

1,2a2,3q � a1,2

On utilise a�1

2,3a1,3 � a1,3a�1

1,2.

22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,2q � δ�1

3� φ2

4pa�1

1,2q pδ�1

4,2 β � δ2

3� φ4pa1,2q � δ�1

3� φ4pa1,2q � δ�1

3� φ4pa1,3a

�2

1,2a2,3q � a1,2

On utilise a�1

2,3a1,3 � a1,3a�1

1,2.

22/29

Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1

4est σ

3-negative. φ4pa2,3q � δ�1

4� δ�1

3n’est pas σ3-negative.

Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1

1,2. φ4pa1,3q � δ�1

4� φ4pa1,2q � δ�1

3� φ2

4pa�1

1,2q pδ�1

4,2 β � δ2

3� φ4pa1,2q � δ�1

3� φ4pa1,2q � δ�1

3� φ4pa1,3a

�2

1,2a2,3q � a1,2

On utilise a�1

2,3a1,3 � a1,3a�1

1,2.

22/29

Barrieres On dit que ai,j est une ak,n-barriere si on a 1 ¤ i   k   j   n.

1

2

3 4

5

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Barrieres On dit que ai,j est une ak,n-barriere si on a 1 ¤ i   k   j   n.

1

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Barrieres On dit que ai,j est une ak,n-barriere si on a 1 ¤ i   k   j   n.

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Barrieres On dit que ai,j est une ak,n-barriere si on a 1 ¤ i   k   j   n.

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Barrieres On dit que ai,j est une ak,n-barriere si on a 1 ¤ i   k   j   n.

1

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1

2

3

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6

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Barrieres On dit que ai,j est une ak,n-barriere si on a 1 ¤ i   k   j   n.

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Barrieres On dit que ai,j est une ak,n-barriere si on a 1 ¤ i   k   j   n.

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Barrieres On dit que ai,j est une ak,n-barriere si on a 1 ¤ i   k   j   n.

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Barrieres On dit que ai,j est une ak,n-barriere si on a 1 ¤ i   k   j   n.

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Barrieres On dit que ai,j est une ak,n-barriere si on a 1 ¤ i   k   j   n.

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Barrieres On dit que ai,j est une ak,n-barriere si on a 1 ¤ i   k   j   n.

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5

6

ai,j est une ak,n-barriere ssi il n’existe pas dans Rn de relation de la

forme ak,nai,j � ... .

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Barrieres On dit que ai,j est une ak,n-barriere si on a 1 ¤ i   k   j   n.

1

2

3 4

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1

2

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5

6

ai,j est une ak,n-barriere ssi il n’existe pas dans Rn de relation de la

forme ak,nai,j � ... . β1 � a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4 contient une a2,5-barriere, a savoir a1,3.

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Barrieres On dit que ai,j est une ak,n-barriere si on a 1 ¤ i   k   j   n.

1

2

3 4

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1

2

3

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6

ai,j est une ak,n-barriere ssi il n’existe pas dans Rn de relation de la

forme ak,nai,j � ... . β1 � a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4 contient une a2,5-barriere, a savoir a1,3.

Proposition: Soit pβp, ..., β1q un B��n�1

-eclatement. Supposons que,pour r ¥ 3, la derniere lettre de βr est ak�1,n�1 avec k   n�1. Alorsβr�1 contient une ak,n-barriere.

23/29

Barrieres On dit que ai,j est une ak,n-barriere si on a 1 ¤ i   k   j   n.

1

2

3 4

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1

2

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ai,j est une ak,n-barriere ssi il n’existe pas dans Rn de relation de la

forme ak,nai,j � ... . β1 � a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4 contient une a2,5-barriere, a savoir a1,3.

Proposition: Soit pβp, ..., β1q un B��n�1

-eclatement. Supposons que,pour r ¥ 3, la derniere lettre de βr est ak�1,n�1 avec k   n�1. Alorsβr�1 contient une ak,n-barriere. Probleme : En general, ce n’est pas suffisant (pour n ¥ 5).

23/29

Escaliers

On dit qu’un mot w de tresse dual est un ak,n-escalier s’il existe : une decomposition w � w0 s1 w1 ... wt�1 st wt,

24/29

Escaliers

On dit qu’un mot w de tresse dual est un ak,n-escalier s’il existe : une decomposition w � w0 s1 w1 ... wt�1 st wt, une suite k � k1   k2   ...   kt�1 � n�1,

24/29

Escaliers

On dit qu’un mot w de tresse dual est un ak,n-escalier s’il existe : une decomposition w � w0 s1 w1 ... wt�1 st wt, une suite k � k1   k2   ...   kt�1 � n�1,telles que pour tout r, la lettre sr est une akr,n-barriere de la forme a ,kr�1

,

24/29

Escaliers

On dit qu’un mot w de tresse dual est un ak,n-escalier s’il existe : une decomposition w � w0 s1 w1 ... wt�1 st wt, une suite k � k1   k2   ...   kt�1 � n�1,telles que pour tout r, la lettre sr est une akr,n-barriere de la forme a ,kr�1

, pour tout r   t, le mot wr ne contient pas de akr�1,n-barriere.

24/29

Escaliers

On dit qu’un mot w de tresse dual est un ak,n-escalier s’il existe : une decomposition w � w0 s1 w1 ... wt�1 st wt, une suite k � k1   k2   ...   kt�1 � n�1,telles que pour tout r, la lettre sr est une akr,n-barriere de la forme a ,kr�1

, pour tout r   t, le mot wr ne contient pas de akr�1,n-barriere.

un ak,n escalier correspond donc a une suite de barrieres serecouvrant deux a deux.

24/29

Escaliers

On dit qu’un mot w de tresse dual est un ak,n-escalier s’il existe : une decomposition w � w0 s1 w1 ... wt�1 st wt, une suite k � k1   k2   ...   kt�1 � n�1,telles que pour tout r, la lettre sr est une akr,n-barriere de la forme a ,kr�1

, pour tout r   t, le mot wr ne contient pas de akr�1,n-barriere.

un ak,n escalier correspond donc a une suite de barrieres serecouvrant deux a deux.

Proposition: Soit pβp, ..., β1q un B��n�1

-eclatement. Supposons que,pour r ¥ 3, la derniere lettre de βr est ak�1,n�1 avec k   n�1. Alors laforme normale de βr�1 est un ak,n-escalier.

24/29

Exemple Le B��4

-eclatement de β1 est pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q,qui est note pβ1

3, β1

2, β1

1q.

25/29

Exemple Le B��4

-eclatement de β1 est pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q,qui est note pβ1

3, β1

2, β1

1q. La derniere lettre de β1

3est a1,4.

25/29

Exemple Le B��4

-eclatement de β1 est pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q,qui est note pβ1

3, β1

2, β1

1q. La derniere lettre de β1

3est a1,4.

La forme normale de β12

est un a2,5-escalier.

25/29

Exemple Le B��4

-eclatement de β1 est pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q,qui est note pβ1

3, β1

2, β1

1q. La derniere lettre de β1

3est a1,4.

La forme normale de β12

est un a2,5-escalier.

1

5

25/29

Exemple Le B��4

-eclatement de β1 est pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q,qui est note pβ1

3, β1

2, β1

1q. La derniere lettre de β1

3est a1,4.

La forme normale de β12

est un a2,5-escalier.

1

5

25/29

Exemple Le B��4

-eclatement de β1 est pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q,qui est note pβ1

3, β1

2, β1

1q. La derniere lettre de β1

3est a1,4.

La forme normale de β12

est un a2,5-escalier.

1

5

25/29

Exemple Le B��4

-eclatement de β1 est pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q,qui est note pβ1

3, β1

2, β1

1q. La derniere lettre de β1

3est a1,4.

La forme normale de β12

est un a2,5-escalier.

1

5

25/29

Exemple Le B��4

-eclatement de β1 est pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q,qui est note pβ1

3, β1

2, β1

1q. La derniere lettre de β1

3est a1,4.

La forme normale de β12

est un a2,5-escalier.

1

5

25/29

Exemple Le B��4

-eclatement de β1 est pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q,qui est note pβ1

3, β1

2, β1

1q. La derniere lettre de β1

3est a1,4.

La forme normale de β12

est un a2,5-escalier.

1

5

25/29

Exemple Le B��4

-eclatement de β1 est pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q,qui est note pβ1

3, β1

2, β1

1q. La derniere lettre de β1

3est a1,4.

La forme normale de β12

est un a2,5-escalier.

1

5

25/29

Exemple Le B��4

-eclatement de β1 est pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q,qui est note pβ1

3, β1

2, β1

1q. La derniere lettre de β1

3est a1,4.

La forme normale de β12

est un a2,5-escalier.

1

5s1

25/29

Exemple Le B��4

-eclatement de β1 est pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q,qui est note pβ1

3, β1

2, β1

1q. La derniere lettre de β1

3est a1,4.

La forme normale de β12

est un a2,5-escalier.

1

5s1

25/29

Exemple Le B��4

-eclatement de β1 est pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q,qui est note pβ1

3, β1

2, β1

1q. La derniere lettre de β1

3est a1,4.

La forme normale de β12

est un a2,5-escalier.

1

5s1 s2

25/29

Exemple Le B��4

-eclatement de β1 est pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q,qui est note pβ1

3, β1

2, β1

1q. La derniere lettre de β1

3est a1,4.

La forme normale de β12

est un a2,5-escalier.

1

5s1 s2

25/29

Exemple Le B��4

-eclatement de β1 est pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q,qui est note pβ1

3, β1

2, β1

1q. La derniere lettre de β1

3est a1,4.

La forme normale de β12

est un a2,5-escalier.

1

5s1 s2

25/29

Exemple Le B��4

-eclatement de β1 est pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q,qui est note pβ1

3, β1

2, β1

1q. La derniere lettre de β1

3est a1,4.

La forme normale de β12

est un a2,5-escalier.

1

5w0 s1 s2

25/29

Exemple Le B��4

-eclatement de β1 est pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q,qui est note pβ1

3, β1

2, β1

1q. La derniere lettre de β1

3est a1,4.

La forme normale de β12

est un a2,5-escalier.

1

5w0 s1 s2

25/29

Exemple Le B��4

-eclatement de β1 est pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q,qui est note pβ1

3, β1

2, β1

1q. La derniere lettre de β1

3est a1,4.

La forme normale de β12

est un a2,5-escalier.

1

5w0 w1s1 s2

25/29

Exemple Le B��4

-eclatement de β1 est pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q,qui est note pβ1

3, β1

2, β1

1q. La derniere lettre de β1

3est a1,4.

La forme normale de β12

est un a2,5-escalier.

1

5w0 w1s1 s2

25/29

Exemple Le B��4

-eclatement de β1 est pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q,qui est note pβ1

3, β1

2, β1

1q. La derniere lettre de β1

3est a1,4.

La forme normale de β12

est un a2,5-escalier.

1

5w0 w1 w2s1 s2

25/29

Utilite des escaliers

Designons σi ... σj�1par δi,j .

.

26/29

Utilite des escaliers

Designons σi ... σj�1par δi,j . La derniere lettre de β1

3est a1,4, qui se decompose en δ1,3 a3,4δ

�1

1,3.

.

26/29

Utilite des escaliers

Designons σi ... σj�1par δi,j . La derniere lettre de β1

3est a1,4, qui se decompose en δ1,3 a3,4δ

�1

1,3. On veut montrer la σ-positivite de φ4pa1,4q � β13..

26/29

Utilite des escaliers

Designons σi ... σj�1par δi,j . La derniere lettre de β1

3est a1,4, qui se decompose en δ1,3 a3,4δ

�1

1,3. On veut montrer la σ-positivite de φ4pa1,4q � β13. il suffit de montrer la σ-positivite de φ4pδ�1

1,3q � β13, i.e., de δ�1

2,4 � β13..

26/29

Utilite des escaliers

Designons σi ... σj�1par δi,j . La derniere lettre de β1

3est a1,4, qui se decompose en δ1,3 a3,4δ

�1

1,3. On veut montrer la σ-positivite de φ4pa1,4q � β13. il suffit de montrer la σ-positivite de φ4pδ�1

1,3q � β13, i.e., de δ�1

2,4 � β13. De maniere generale, δ�k2,4 � β13 est σ-positive pour tout k.

26/29

Utilite des escaliers

Designons σi ... σj�1par δi,j . La derniere lettre de β1

3est a1,4, qui se decompose en δ1,3 a3,4δ

�1

1,3. On veut montrer la σ-positivite de φ4pa1,4q � β13. il suffit de montrer la σ-positivite de φ4pδ�1

1,3q � β13, i.e., de δ�1

2,4 � β13. De maniere generale, δ�k2,4 � β13 est σ-positive pour tout k.

Repose sur le fait que la forme normale de β12

est un a2,5-escalier.

26/29

Exemple de δ�3

2,4β12

1

2

3

4

5

27/29

Exemple de δ�3

2,4β12

1

2

3

4

5

27/29

Exemple de δ�3

2,4β12

1

2

3

4

5

27/29

Exemple de δ�3

2,4β12

1

2

3

4

5

27/29

Exemple de δ�3

2,4β12

1

2

3

4

5

27/29

Exemple de δ�3

2,4β12

1

2

3

4

5

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Exemple de δ�3

2,4β12

1

2

3

4

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Exemple de δ�3

2,4β12

1

2

3

4

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Exemple de δ�3

2,4β12

1

2

3

4

5

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Exemple de δ�3

2,4β12

1

2

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5

δ�1

2,4 a3,4 � a2,3 δ�1

2,4

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Exemple de δ�3

2,4β12

1

2

3

4

5

δ�1

2,4 a3,4 � a2,3 δ�1

2,4

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Exemple de δ�3

2,4β12

1

2

3

4

5

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Exemple de δ�3

2,4β12

1

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Exemple de δ�3

2,4β12

1

2

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δ�1

2,4 a2,3 � a2,4 δ�1

2,4

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Exemple de δ�3

2,4β12

1

2

3

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5

δ�1

2,4 a2,3 � a2,4 δ�1

2,4

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Exemple de δ�3

2,4β12

1

2

3

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Exemple de δ�3

2,4β12

1

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5

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Exemple de δ�3

2,4β12

1

2

3

4

5

δ�1

2,4 a2,4 � a3,4 δ�1

2,4

27/29

Exemple de δ�3

2,4β12

1

2

3

4

5

δ�1

2,4 a2,4 � a3,4 δ�1

2,4

27/29

Exemple de δ�3

2,4β12

1

2

3

4

5

27/29

Exemple de δ�3

2,4β12

1

2

3

4

5

27/29

Exemple de δ�3

2,4β12

1

2

3

4

5

27/29

Exemple de δ�3

2,4β12

1

2

3

4

5

27/29

Exemple de δ�3

2,4β12

1

2

3

4

5

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Exemple de δ�3

2,4β12

1

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3

4

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Exemple de δ�3

2,4β12

1

2

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5

27/29

Exemple de δ�3

2,4β12

1

2

3

4

5

δ�1

2,4 a1,3 � a1,4 δ�1

1,2 δ�1

3,4

27/29

Exemple de δ�3

2,4β12

1

2

3

4

5

δ�1

2,4 a1,3 � a1,4 δ�1

1,2 δ�1

3,4

27/29

Exemple de δ�3

2,4β12

1

2

3

4

5

27/29

Exemple de δ�3

2,4β12

1

2

3

4

5

27/29

Exemple de δ�3

2,4β12

1

2

3

4

5

27/29

Exemple de δ�3

2,4β12

1

2

3

4

5

27/29

Exemple de δ�3

2,4β12

1

2

3

4

5

27/29

Exemple de δ�3

2,4β12

1

2

3

4

5

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Exemple de δ�3

2,4β12

1

2

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Exemple de δ�3

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Exemple de δ�3

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Exemple de δ�3

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a2,4-escalier a3,4-escalier

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Exemple de δ�3

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Exemple de δ�3

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Exemple de δ�3

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δ�1

2,4 a1,4 � a1,4 δ�1

1,3

a2,4-escalier a3,4-escalier

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Exemple de δ�3

2,4β12

1

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δ�1

2,4 a1,4 � a1,4 δ�1

1,3

a2,4-escalier a3,4-escalier

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Exemple de δ�3

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Exemple de δ�3

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a2,4-escalier a3,4-escalier

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Exemple de δ�3

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δ�1

2,4 a1,4 � a1,4 δ�1

1,3

a2,4-escalier a3,4-escalier

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Exemple de δ�3

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δ�1

2,4 a1,4 � a1,4 δ�1

1,3

a2,4-escalier a3,4-escalier

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Exemple de δ�3

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a3,4-escalier

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Exemple de δ�3

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a3,4-escalier

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Exemple de δ�3

2,4β12

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δ�1

3,4 a1,3 � a1,4 δ�1

3,4

a3,4-escalier

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Exemple de δ�3

2,4β12

1

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δ�1

3,4 a1,3 � a1,4 δ�1

3,4

a3,4-escalier

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Exemple de δ�3

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1

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a3,4-escalier

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Exemple de δ�3

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a3,4-escalier

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Exemple de δ�3

2,4β12

1

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δ�1

3,4 a2,4 � a2,4 δ�1

2,3

a3,4-escalier

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Exemple de δ�3

2,4β12

1

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4

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δ�1

3,4 a2,4 � a2,4 δ�1

2,3

a3,4-escalier

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Exemple de δ�3

2,4β12

1

2

3

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Travaux futurs Comment reconnaıtre les B��n�1

-eclatements ?

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Travaux futurs Comment reconnaıtre les B��n�1

-eclatements ? Ou se trouve les elements de B�n dans B��

n relativement a   ?

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Travaux futurs Comment reconnaıtre les B��n�1

-eclatements ? Ou se trouve les elements de B�n dans B��

n relativement a   ? Lien avec la forme normale alternante ?

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Travaux futurs Comment reconnaıtre les B��n�1

-eclatements ? Ou se trouve les elements de B�n dans B��

n relativement a   ? Lien avec la forme normale alternante ? Complexite de l’algorithme en temps et en espace ?

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Travaux futurs Comment reconnaıtre les B��n�1

-eclatements ? Ou se trouve les elements de B�n dans B��

n relativement a   ? Lien avec la forme normale alternante ? Complexite de l’algorithme en temps et en espace ?

J. Fromentin, The cycling normal form in dual braid monoids, arXiv :

math.GR/0712.3836.

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Merci !

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